Upload
ngotu
View
259
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENGERTIAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial.
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensialtersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut an(x) yn + an-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x) dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB.
Mohamad Sidiq
CONTOH
dN =kN, N = N(t), orde 1 di mana N peubah
tak bebas, t peubah bebasnya.
y’ + 2 cos 2x = 0, orde 1 di mana y peubah
tak bebas x peubah bebasnya.
y” + ex y’ + sin xy = ex sin x, PD orde 2.
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2, PD orde 2.
Mohamad Sidiq
SOLUSI PD
Persamaan diferensial di mana y sebagaipeubah tak bebas yang bergantung padapeubah bebas x atau suatu fungsi y = f(x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f(x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaanidentitas.
Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f(x) memuat konstantasembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
Mohamad Sidiq
CONTOH
y = cos x + c solusi umum
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena
(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
y = cos x + 6 solusi khusus
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena
(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
Mohamad Sidiq
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE 1
PDB terpisah
PDB dengan koefisien fungsi homogen
PDB Linier
Mohamad Sidiq
PDB TERPISAH
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
Contoh:
Tentukan solusi umum PD
o (x ln x) y' = y y’ = dy/dx
o y’ = x3e –y y(2) = 0
Mohamad Sidiq
PENYELESAIAN
o 𝑥 ln 𝑥 𝑦′ = 𝑦
𝑥 ln 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦
𝑑𝑦
𝑦=
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
න𝑑𝑦
𝑦= න
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
ln 𝑦 = ln(ln 𝑥) + ln 𝑐
ln 𝑦 = ln(𝑐 ln 𝑥)
𝑦 = 𝑐 ln 𝑥
Jadi solusi umum PD tersebut adalah
𝑦 = 𝑐 ln 𝑥
Mohamad Sidiq
PENYELESAIAN
o 𝑦′ = 𝑥3𝑒−𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥3𝑒−𝑦
𝑑𝑦
𝑒−𝑦= 𝑥3𝑑𝑥
න𝑒𝑦𝑑𝑦 = න𝑥3𝑑𝑥
𝑒𝑦 =1
4𝑥4 + 𝑐
𝑦 = ln(1
4𝑥4 + 𝑐)
Diketahui y(2)=0, sehingga:
0 = ln1
424 + 𝑐
1 = 4 + 𝑐 𝑐 = −3
Jadi solusi khusus PD tersebut adalah:
𝑦 = ln(1
4𝑥4 − 3)
Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2
1−𝑦2
2.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑥2+4𝑥+2
2(𝑦−1)
3.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2
𝑦(1+𝑥3)
4.𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑦2 + 𝑥𝑦2
5. 𝑦′ = (1 + 2𝑦)(1 + 𝑥2 + 2𝑥3)
6. 𝑦′ = 2 1 + 𝑥 1 + 𝑦2 , 𝑦 0 = 0
7. 𝑦′ =𝑦 cos 𝑥
1+2𝑦2, 𝑦 0 = 1
8. (1 + 𝑒𝑥)𝑦′+, 𝑒𝑥𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1
Mohamad Sidiq
FUNGSI HOMOGEN
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = knA(x,y), k konstanta sembarang
Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak!
1. A(x,y) = x + y
A(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y)
A(x,y) = x + y, fungsi homogen dengan derajat 1
2. A(x,y) = x2 + xy
A(kx,ky) = k2x2 + kx ky
= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)
A(x,y) = x2 + xy, fungsi homogen dengan derajat 2
Mohamad Sidiq
PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSI HOMOGEN
Persamaan Diferensial Biasa yang dapat dituliskan
dalam bentuk 𝑦′ =𝐴(𝑥,𝑥)
𝐵(𝑥,𝑦)dengan A,B fungsi
homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian:
Menggunakan subtitusi y = ux, u = u(x), u=y/x
𝑦′ = 𝑢′𝑥 + 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑢
𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥
Mohamad Sidiq
CONTOH
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut:
1. 𝑦′ =𝑥+𝑦
𝑥
Penyelesaian:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥 + 𝑦
𝑥Misalkan 𝑦 = 𝑢𝑥, maka 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1 +
𝑦
𝑥
𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑥= 1 + 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥 = 1 + 𝑢 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 =𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥 u = ln 𝑥 + 𝑐
𝑦
𝑥= ln 𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐𝑥
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐𝑥
Mohamad Sidiq
CONTOH
2. 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦2 − 2𝑥𝑦 = 0, 𝑦 1 = 1
Penyelesaian:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2+2𝑥𝑦
𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑦
𝑥)2+2(𝑦
𝑥). Misalkan 𝑦 = 𝑢𝑥, maka 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥,
sehingga: 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑥= 𝑢2 + 2𝑢 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢2 + 2𝑢 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑢 = (𝑢2+𝑢)𝑑𝑥𝑑𝑢
(𝑢2+𝑢)=
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑢
(𝑢2+𝑢)=
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑢(𝑢+1)= ln𝑥 + 𝑐 )
1
𝑢−
1
𝑢+1) 𝑑𝑢 = ln 𝑐𝑥 ln 𝑢 − ln 𝑢 + 1 = ln 𝑐𝑥
ln𝑢
𝑢+1= ln 𝑐𝑥 ln
Τ𝑦 𝑥
Τ𝑦 𝑥+1= ln 𝑐𝑥 ln
𝑦
𝑦+𝑥= ln 𝑐𝑥
𝑦
𝑦+𝑥= 𝑐𝑥 𝑦 1 − 𝑐𝑥 = 𝑐𝑥2 𝑦 =
𝑐𝑥2
1−𝑐𝑥 𝑦 1 = 1 𝑐 =
1
2
Jadi solusi khusus dari PD di atas adalah 𝑦 =𝑥2
2−𝑥Mohamad Sidiq
LATIHAN SOAL
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1. 2𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
2.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2+2𝑦2
2𝑥𝑦
3.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2+2𝑥𝑦
𝑥2
4.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥+3𝑦
𝑥−𝑦
5.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2
6.𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
4𝑥+3𝑦
2𝑥+𝑦
7.𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑦−3𝑥
2𝑥−𝑦
Mohamad Sidiq
PDB LINIER
PDB Linier adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
𝑦′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥)
Penyelesaian :
oKalikan kedua ruas dengan faktor integral 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
o Sehingga diperoleh:
𝑦′𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥) 𝑦𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥′= 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
o Integralkan kedua ruas:
𝑦𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 Solusi Umum PDB
Mohamad Sidiq
CONTOH
Selesaikan persamaan diferensial berikut
1. 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥3𝑒𝑥
Penyelesaian:
𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥3𝑒𝑥 𝑦′ − 2𝑦
𝑥= 𝑥2𝑒𝑥 𝑝 𝑥 = −
2
𝑥dan 𝑞 𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥
Faktor integrasi: 𝑒 −2
𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−2 ln 𝑥 = 𝑥−2
Kedua ruas dikalikan dengan 𝑥−2, sehingga didapatkan:1
𝑥2𝑦′ −
2
𝑥3𝑦 = 𝑒𝑥
1
𝑥2𝑦
′= 𝑒𝑥
1
𝑥2𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥 + 𝑐𝑥2
Jadi solusi umumnya adalah 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥 + 𝑐𝑥2
Mohamad Sidiq
CONTOH
2. 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥 + 1 2, 𝑦 0 = 3Penyelesaian:
𝑦′ + 𝑦 = 𝑥 + 1 2 𝑝 𝑥 = 1 dan 𝑞 𝑥 = (𝑥 + 1)2
Faktor integrasi: 𝑒 1𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
Kedua ruas dikalikan dengan 𝑒𝑥, sehingga didapatkan:𝑒𝑥𝑦′ + 𝑒𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2 (𝑒𝑥𝑦)′ = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2
′(𝑒𝑥𝑦) = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2 𝑑(𝑒𝑥𝑦) = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2 𝑑𝑥
𝑒𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2 − 𝑥)2 + 1)𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 𝑥 + 1 2 − 2 𝑥 + 1 𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑥 + 1 2 − 2 𝑥 + 1 + 2 + 𝑐𝑒−𝑥 𝑦 = 𝑥2 + 1 + 𝑐𝑒−𝑥 => Solusi UmumDiketahui 𝑦 0 = 3, sehingga 3 = 1 + 𝑐 c = 2Jadi solusi khusus adalah 𝑦 = 𝑥2 + 1 + 2𝑒−𝑥
Mohamad Sidiq