Upload
tri-mahardhika
View
264
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
upload
Citation preview
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Persamaan Diferensial Orde I
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
2
Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial
Definisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
3
Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2)
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut
an(x) yn + an-1(x) y
n-1 + + a0(x) y = f(x)
dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), , a0(x) adalah
koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
4
ContohContoh
dt
dN(1)
(2) y + 2 cos 2x = 0
(3) y + ex y + sin xy = ex sin x , orde 2
x3 y+ cos 2x (y)3= x2 y2 , orde 2
= kN , N = N(t)
(4)
, orde 1 dimana N peubah tak bebas t peubah bebasnya
, orde 1 dimana y peubah tak bebas x peubah bebasnya
2/6/2015 5
SolusiSolusi
Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.
Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
6
ContohContoh
(1) y = cos x + c solusi umum
Persamaan Diferensial y + sin x = 0
Karena
(cos x + c) + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 solusi khusus
Persamaan Diferensial y + sin x = 0
Karena
(cos x + 6) + sin x = -sin x + sin x = 0
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
7
PDB Orde 1PDB Orde 1
PDB dengan variabel terpisah
PDB Linear
PDB dengan koefisien fungsi homogen
2/6/2015 8
1. PDB 1. PDB variabelvariabel terpisahterpisah
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
( ) ( )g y dy f x dx
3dy xdx
3 3dy x dy x dxdx
3dy x dx
41
4y x C
Contoh : 1. tentukan solusi umum PD
2/6/2015 9
Jawab:
ydx
dyxx ln
xx
dx
y
dy
ln
xxdx
y
dy
ln
cxy lnlnlnln
xcy lnlnln
xcy ln
Jadi solusi umum PD tersebut
adalah
xcy ln
2. tentukan solusi umum PD ( ln ) 'x x y y
( ln ) 'x x y y
2/6/2015 10
yexdx
dy 3
dxxe
dyy
3
dxxdyey 3
cxe y 4
4
1
cxy 4
4
1ln
c4)2(
4
1ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
41ln 34
y x
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 cc
3' ; (2) 0yy x e y 3. Tentukan Solusi Khusus dari
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
11
LatihanLatihan
2
21
dy x
dx y
2
3'
(1 )
xy
y x
2 2' 1y x y xy
1)0(,21
cos2
yy
xy
dx
dy
2' 2(1 )(1 ), (0) 0y x y y
2 3' (1 2 )(1 2 )y y x x
1)0(,0)1( yyedx
dye xx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
2
34
xdy e
dx y
2/6/2015 12
2. PDB Linear2. PDB Linear
PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
' ( ) ( )y P x y r x
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral dxxPe
)(
( ) ( )
( ) ' ( )P x dx P x dx
ye r x e
Integralkan kedua ruas terhadap x
( ) ( )( )
P x dx P x dxye e r x dx c
( ) ( ) ( )' ( ) ( )
P x dx P x dx P x dxy e P x ye r x e
Solusi Umum PDB linear : ( ) ; ( )h hy e e r x dx c h P x dx
2/6/2015 13
ContohContoh
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
xexyx
y 22
' (bagi kedua ruas dengan x)
Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x
2 2( ) ( ) 2lnP x h x dx x
x x
( )h hy e e r x dx c cdxexee xxx 2)ln(ln .
22
2 xx e dx c
31. ' 2 xxy y x e
2/6/2015 14
Jawab:
22. ' ( 1) ; (0) 3y y x y
( ) 1 ( ) 1P x h x dx x
( )h hy e e r x dx c 2( 1)x xe e x dx c 21 2( 1)x x xe x e x e dx (dengan integral parsial) 21 2( 1) 2x x x xe x e x e e c
xcexxy 2121 2 2 1 xy x ce
(0) 3 3 1 2y c c
Sehingga SK : 2 1 2 xy x e
2/6/2015 15
LatihanLatihan
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
211
2'.4
x
x
yyxxyy sectan'.3
xeyy 2'.1 1')1(.2 2 xyyx
6. ' 1 , (1) 0xxy x y e y
22'.5 xyy
27. ' 3 ; (0) 1xy e y y
8. sin ' 2 cos sin 2 , 26
x y y x x y
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
16
Fungsi homogenFungsi homogen
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
17
3. PD 3. PD dengandengan koefisienkoefisien fungsifungsi homogenhomogen
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk ( , )
'( , )
A x yy
B x y
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy ''
dx
dy
dx
du
= x + u
dy = x du + u dx
dengan
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
18
ContohContoh
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut
'x y
yx
1.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
x
yx
dx
dy
x
y
dx
dy1 u
dx
dxudux
1 dxudxudux 1
dxdux x
dxdu x
dxdu cxu ln
cxx
y ln xcxxy ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
19
ContohContoh
2.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2
x
xyy
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy2
2
uudx
dxudux22
dxuudxudux 22
dxuudux 2 x
dx
uu
du
2 xdx
uu
du2
cxuu
dulnln
)1(
cxduuuln
1
11
cxuu ln1lnln
0xy2ydx
dyx 22 , y(1)=1
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
20
Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)
cxuu
ln1
ln
cx
xyxy
ln1
ln
cxxyy
lnln
cxxy
y
2)1( cxcxy
cx
cxy
1
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga
c
c
11
2
1c
Jadi solusi khusus PD di atas adalah x
xy
2
2
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
21
LatihanLatihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xy
yx
dx
dy
2
3 22
2
2 2
x
xyy
dx
dy
yx
yx
dx
dy
3
2
22
x
yxyx
dx
dy
yx
yx
dx
dy
2
34
yx
xy
dx
dy
2
34
2y dx x dy = 0
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
22
Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal
Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.
Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:
Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.
Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:
1
'( , )
yDf x y
Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari
1'
( , )y
Df x y
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
23
ContohContoh
2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk
2
yc
x
Kemudian turunkan yaitu: 2cxy
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'
22'
x
yxy
x
yy 2'
1'
2 / 2
xy
y x y
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
24
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
)(2
22
ellipscyx
'2
xy
y
y
x
dx
dy
2
xdxydy2 cx
y 2
22
2cxy
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola 2cxy
adalah )(2
22
ellipscyx
x
y
2/6/2015 [MA 1124]
KALKULUS II
25
LatihanLatihan
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
2 2 2x y c y x c 2 2 2x y c 4 x2 + y2 = c
4.
2.
1.
5.
y = cx 3.