Embed Size (px)
Citation preview
ISBN 978-609-433-012-4
DEM
O
Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 10 klas÷“ kūr÷:
Egidijus Bajorinas, Nijol÷ Drazdauskien÷, Rolandas Jakštys, Juozas Mačys, Zita Manstavičien÷, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Gintar÷ Saulyt÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Arūnas Ūsaitis, Valdas Vanagas, Aldona Žalien÷, Elmundas Žalys. Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius.
10 klas÷“ PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:
Kornelija Intien÷, Vida Meškauskait÷, Regina Rudalevičien÷, Valdas Vanagas, Albina Vilimien÷.
Technologijos © TEV, 2008–2014
DEM
O
Pagrindiniai skyreliai
3
1. PROCENTAI1.1. Didiname ir mažiname 12 1.2. Kiek procentų daugiau? Kiek procentų mažiau? 141.3. Procentai ir kartai 161.4. Sudėtinių procentų formulė 18
2. TRUPMENINIAI RAIDINIAI REIŠKINIAI2.1. Prastiname trupmenas su vienu kintamuoju 362.2. Sudedame ir atimame trupmenas su vienu kintamuoju 382.3. Dauginame ir dalijame trupmenas su vienu kintamuoju 402.4. Kvadratinį trinarį skaidome dauginamaisiais 422.5. Prastiname sudėtingesnes trupmenas su vienu kintamuoju 44
3. TRUPMENINĖS LYGTYS3.1. Sprendžiame trupmenines lygtis f(x) = 0 60 3.2. Sprendžiame sudėtingesnes trupmenines lygtis 62 3.3. Sprendžiame judėjimo uždavinius 643.4. Sprendžiame darbo uždavinius 663.5. Lygčių sistemos, kurių tik viena lygtis yra tiesinė 68
4. NElygybIų sIsTEMos, KvADRATINės NElygybės4.1. Sprendžiame tiesinių nelygybių sistemas 84 4.2. Sprendžiame dvigubąsias nelygybes 86 4.3. Sprendžiame kvadratines nelygybes ax2 + bx 0 884.4. Sprendžiame kvadratines nelygybes ax2 + c 0 904.5. Sprendžiame kvadratines nelygybes ax2 + bx + c 0 92
5. FUNKCIJOS5.1. Dviejų dydžių funkcinė priklausomybė 1105.2. Funkcijų savybės 112 5.3. Funkcijos y = ax + b 1145.4. Funkcijos y = a (a ≠ 0) 1165.5. Funkcijos y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 1185.6. Braižome parabolę 1205.7. Sprendžiame uždavinius, remdamiesi funkcijų grafikais 122
g(x)
x
><><
><DEM
O
}}
Kam lygi trupmena?
{
4
Prieš skyriaus turinio puslapį yra įvadas, kurio tikslas – patraukliai supažindinti su tema, nagrinėjama šiame skyriuje.
Stipresniems mokiniams skirti skyreliai:• Pateikiama skyriaus
teorijos santrauka ir pavyzdžiai.
• Uždavinių atverstiniai žinioms pagilinti ir įtvirtinti. Paskutiniai uždaviniai, pažymėti ženkleliu , skirti smalsesniems.
• Samprotavimai, įrodymai, uždaviniai, skirti tiems, kurie nori žinoti daugiau.
Šis X klasės vadovėlis „Matematika Tau+“, kaip ir IX klasės vadovėlis, parengtas laikantis atnaujintų Pagrindinio ugdymo programų dvasios ir turinio. X klasės vadovėlio struktūra yra analogiška IX klasės vadovėlio struktūrai.
Informacija mokiniui
tauMatematika
Vadovėlio komplektą sudaro:
• vadovėlis (1 ir 2 dalys); • pratybų sąsiuviniai; • uždavinynas;
• savarankiškų ir kontrolinių darbų knygelės; • pasirengimo egzaminui knygelės; • kompiuterinės priemonės.
DEM
O
5
Mes kuriame vadovėlius, orientuotus į ateitį, skirtus šiuolaikiškiems mokiniams ir kūrybingiems mokytojams. Kiekvienas TEV vadovėlių komplektas turi bent vieną kompiuterinę mokymo priemonę. Kiekvieno vadovėlio skaitmeninę versiją galima rasti internete.
Mes siekiame, kad mokiniai ne tik skaitytų vadovėlio tekstą, bet ir dirbtų su vadovėliu, pasitelkę kompiuterines mokymo priemones, naudotųsi interneto ištekliais, bendrautų su mokytojais, taikytų informacinių technologijų pasiekimus ugdymo procese.
Mes norime, kad mokytojai ne tik aktyviai naudotųsi prie vadovėlio priderintomis papildomomis mokymo priemonėmis, bet ir patys tobulintų vadovėlio turinį, diferencijuotų mokymą, integruotų matematiką su kitais dalykais, naudodami mobilias interaktyvias kompiuterines (MIKO) knygas, kurios įeina į kiekvienos klasės vadovėlių komplektą.
Mūsų tikslas buvo parengti vadovėlių komplektą – pagalbininką mokytojui, draugišką bet kuriam mokiniui. Kaip tai pavyko – sužinosime po kelerių metų, tačiau atsiliepimų, pastabų, kritikos laukiame visada. TEV vadovėlių komplektai nuolat atnaujinami ir tobulinami, todėl visa tai, kas padėtų pagerinti mūsų kūrinį, atsiras kituose leidimuose.
Ačiū Jums iš anksto!
struktûra
Šios vadovėlio dalies pirmajame atverstinyje (p. 6, 7) trumpai apžvelgiama pagrindinės mokyklos algebros kurso struktūra. Čia primenama, ko buvo mokoma anksčiau, ir parodoma, kas nagrinėjama pirmoje vadovėlio dalyje.
Antrojoje vadovėlio dalyje daugiausia dėmesio skiriama geometrijai, todėl pirmuosiuose atverstiniuose (p. 4–7) pateikiama pagrindinės mokyklos geometrijos kurso struktūra.
Baigiamieji skyreliai padės:• Pasitikrinti, kaip pavyko suprasti ir
įsiminti skyriuje nagrinėtus dalykus.• Pasikartoti ankstesnę medžiagą ir
pasirengti nagrinėti kitą skyrių.
Pagrindinių skyrelių atverstiniai, skirti visiems mokiniams:• Kairiajame puslapyje yra teorinė
medžiaga. Ji pateikiama klausimais ir užduotimis, kurias atlikti padeda šauktukas ir klaustukas . Kas yra svarbiausia – surašyta lentoje.
• Dešiniajame puslapyje yra tik su tuo skyreliu susiję uždaviniai.
DEM
O
Skaičiai, veiksmai, reiškiniai
6
Kaip atsirado matematika? Kaip ji vystėsi?
Pirmiausia žmonėms prisireikė natūraliųjų skaičių: N = {1, 2, 3, ...}. Vėliau žmonėsišmoko sudėti, dauginti, kelti laipsniu, pavyzdžiui:
2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6, 23 = 8.
Atimtis yra veiksmas, atvirkščias sudėčiai, dalyba –– daugybai, šaknies traukimas ––kėlimui laipsniu. Pavyzdžiui:
5 − 3 = 2, 6 : 3 = 2, 3√
8 = 2.
Dviejų natūraliųjų skaičių sudėties, daugybos ir kėlimo laipsniu rezultatas visada yranatūralusis skaičius. Bet:• atimant prisireikia skaičių, priešingų natūraliesiems, ir skaičiaus 0;• dalijant prisireikia trupmeninių skaičių;• traukiant šaknį –– iracionaliųjų skaičių.Pavyzdžiui:
2 − 5 = −3,
2 − 2 = 0;2 : 3 = 2
3,
5 : 2 = 2,5;
√2,
3√
5.
Iš skaičių, veiksmų ir skliaustų sudaromi skaitiniai reiškiniai, pavyzdžiui:
2 · 3 − 4,(32 − 1
) · (−2).
Skaitiniame reiškinyje vietoj kurio nors skaičiaus parašę raidę, gauname reiškinį suvienu kintamuoju, pavyzdžiui,
2 · x − 4. .
Reiškinio su kintamuoju reikšmė priklauso nuo kintamojo reikšmės.
Kai x = 3, tai 2x − 4 = 2 · 3 − 4 = 2. .
DEM
O
Lygtys, nelygybės, funkcijos
7
Kai ieškome reiškinio f (x) kintamojo x reikšmių, su kuriomis to reiškinio:• reikšmė lygi kokiam nors skaičiui a, tai sprendžiame lygtį
f (x) = a;• reikšmės yra mažesnės už a, tai sprendžiame nelygybę f (x) < a.
Kai ieškome dviejų reiškinių f (x) ir g(x) kintamojo x reikšmių, su kuriomis:• tų reiškinių reikšmės yra lygios, tai sprendžiame lygtį f (x) = g(x);• reiškinio f (x) reikšmės yra ne mažesnės už reiškinio g(x) reikšmes, tai sprendžiame
nelygybę f (x) � g(x).
Reiškinio f (x) reikšmių y priklausomybė nuo x reikšmių vadinama funkcine priklau-somybe, arba funkcija.
Rašoma: y = f (x).
Prieš pradėdami nagrinėti pirmą skyrių, prisiminkime, kaip sprendžiami procentųuždaviniai (žr. p. 8, 9).
DEM
O
Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje
8
Perkame išsimokėtinai
1. Parduotuvėje kabo skelbimas:
XXI amžius
2
5
0
0
L
t
Naudodamiesi reklaminio skelbimo duomenimis, apskaičiuokite:1) kiek litų iš viso teks sumokėti už kompiuterį, perkamą išsimokėtinai;
?
2) keliais litais pabrangsta kompiuteris, perkamas išsimokėtinai;
???
3) kiek procentų pabrangsta kompiuteris, perkamas išsimokėtinai.
??
,
;
2. Baldų komplektą galima įsigyti išsimokėtinai, sumokėjus 500 Lt pradinį įnašą irvienus metus kas mėnesį mokant po 60 Lt. Kiek kainuoja baldų komplektas,perkamas iš karto, jei, perkamas išsimokėtinai, komplektas pabrangsta 22 %?
DEM
O
9
Einame į banką
3. Ponią Zitą sudomino banko skelbimas:
PABLITAS
ma priskai iuotoč mis palūkanomis*.
Ponia Zita pasidėjo į „Pablito“ banką 1000 litų, sutarusi 10 % metinių palūkanų.1) Kiek litų palūkanų gaus ponia Zita, jei ji indėlį atsiims po metų?
Kiek iš viso pinigų gaus ponia Zita iš banko po metų?
jam
2) Kiek litų palūkanų gaus indėlininkė Zita, jei indėlį ji atsiims po 2 metų, oindėlio pratęsimo rūšis yra:a) sumà? b) suma ir palūkanos?Kiek iš viso pinigų gaus ponia Zita iš banko a) atveju? b) atveju?
4. Bankas „Plius“ palūkanas skaičiuoja (vieną kartą per metus) nuo indėlio ir nuopriaugusių palūkanų sumos. Bankas moka 6 % metinių palūkanų. Kiek palūkanųsumokės bankas per 3 metus už indėlį, lygų:a) 3000 Lt? b) 85 000 Lt? c) 3 600 000 Lt?
DEM
O
1 skyrius
10
Agurkas augdamas sunkėja, džiūdamas –– lengvėja
Agronòmas tyrinėjo agurkùs. Pirmadienį jis pasvėrė jau spėjusį truputį paaugti agurkėlį–– šis svėrė 20 gramų. Antradienį to agurkėlio masė jau buvo lygi 100 gramų, otrečiadienį svarstyklės rodė 200 g.
Pirmadienis Antradienis Trečiadienis
20 g
100 g
200 g
1 užduotis.Kiek kartų ir keliais procentais pasunkėjo agurkas:1) nuo pirmadienio iki antradienio?2) nuo antradienio iki trečiadienio?3) nuo pirmadienio iki trečiadienio?
Agronomas, nuskynęs tą 200 gramų agurką, nustatė, kad jame yra net 99 % vandens.Tada jis tą agurką pradėjo džiovinti –– garinti iš jo vandenį. Ketvirtadienį jau spėjusia-me padžiūti agurke vandens tebuvo 98 %, o penktadienį agurkas jau buvo susitraukęsiki 20 gramų...
Trečiadienis Ketvirtadienis Penktadienis
200 g 20 g? g
99 % H O
2
98 % H O
2
? H O
2
%
2 užduotis.1) Kiek gramų svėrė agurkas ketvirtadienį?2) Kiek procentų vandens buvo agurkėlyje penktadienį?3) Kiek kartų ir keliais procentais sumažėjo agurko masė:
a) nuo trečiadienio iki ketvirtadienio?b) nuo ketvirtadienio iki penktadienio?c) nuo trečiadienio iki penktadienio?
DEM
O
Procentai
11
• Šiame skyriuje toliau mokysimės spręsti su pròcentais susijusius uždavinius.
• Mokysimės procentus „keisti“ kartais.
• Sužinosime, ką vadiname sudėtiniais pròcentais.
• Nagrinėsime situacijas, dažnai pasitaikančias gyvenime: – skolinimąsi, – pirkimą išsimokėtinai.
1.1. Didiname ir mažiname 121.2. Kiek procentų daugiau? Kiek procentų mažiau? 141.3. Procentai ir kartai 161.4. Sudėtinių procentų formulė 18
Apibendriname 20Sprendžiame 22 Besidomintiems 26
PrabaPromilės
Testas 28Pasitikriname (atsakymai – 144 puslapyje) 30 Kartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje 32
0,9 · a –10 %
a +10 %
1,1 · a
`DEM
O
Procentai112
1.1. DIDINAME IR MAŽINAME
1 užduotis.Onos alga buvo 1600 Lt. Kokia dabar yra Onos alga, jei ji padidėjo 25 %?
2 užduotis.Jono alga buvo 2000 Lt. Kokia dabar yra Jono alga, jei ji sumažėjo 20 %?
200 220 198
+ 10 % – 10 %
¥ 1 + —
10
100
¥ 1 – —
10
100
DEM
O
13
5. Dviratis kainavo 800 Lt. Kokia dabar yra dviračio kaina, jei ji:a) padidėjo 20 %? b) sumažėjo 10 %?c) padidėjo 12 %? d) sumažėjo 12 %?
6. Į banko sąskaitą padėta 3500 Lt.1) Kiek litų palūkanų bus gauta po metų, jei banko metinių palūkanų norma
lygi: a) 5 %? b) 6 %? c) 8,5 %? d) 9,1 %?2) Kokia pinigų suma bus sąskaitoje po metų kiekvienu atveju?
7. Skaičius B gaunamas skaičių A padidinus p procentų.Kam lygus skaičius B, jei:a) A = 120, p = 20 %? b) A = 12,4, p = 5 %? c) A = 2
3 , p = 1 %?
8. Skaičius A gaunamas skaičių B sumažinus p procentų.Kam lygus skaičius A, jei:a) B = 120, p = 15 %? b) B = 3,3, p = 3 %? c) B = 10 2
5, p = 7 %?
9. Prekė kainavo 100 Lt. Kiek kainuoja prekė dabar, jei jos kaina keitėsi taip:a) iš pradžių padidėjo 50 %, o tada sumažėjo 50 %?b) iš pradžių sumažėjo 40 %, o tada padidėjo 40 %?c) iš pradžių padidėjo 20 %, o tada vėl padidėjo 20 %?d) iš pradžių sumažėjo 30 %, o tada sumažėjo 20 %?
10. Kiek pinigų reikia padėti į banką vieniems metams, norint gauti 1500 Lt palūka-nų, jei banko metinių palūkanų norma lygi:a) 4 %? b) 8 %? c) 7,5 %? d) 9 %?
11. Vidurdienį mėgintuvėlyje buvo 1 bakterija. Kas valandą bakterijų skaičius mė-gintuvėlyje padidėja:a) 100 %; b) 200 %; c) 400 %.Kiek bakterijų bus mėgintuvėlyje 13 val.? 14 val.? 22 val.?
12
00
13
00
14
00
22
00
+ 300 % + 300 % + 300 % + 300 %
. . .
DEM
O
Procentai114
1.2. KIEK PROCENTŲ DAUGIAU? KIEK PROCENTŲ MAŽIAU?
Jono ūgis yra 2 metrai, Onos ūgis –– 1,6 metro.
1 užduotis. Keliais procentais Jonas yra aukštesnis už Oną?
2 užduotis. Keliais procentais Ona yra žemesnė už Joną?
DEM
O
15
12. 1) Keliais procentais skaičius A yra didesnis už skaičių B, jei:a) A = 100, B = 80? b) A = 120, B = 100?c) A = 10, B = 5? d) A = 125, B = 25?
2) Keliais procentais skaičius B yra mažesnis už skaičių A?
13. a) Batai atpigo nuo 350 Lt iki 280 Lt. Keliais procentais atpigo batai?b) Batai pabrango nuo 280 Lt iki 350 Lt. Keliais procentais pabrango batai?
14. Spinta kainuoja 400 Lt, stalas –– 320 Lt, kėdė –– 200 Lt. Keliais procentais:a) spinta yra brangesnė už stalą? už kėdę?b) kėdė yra pigesnė už stalą? už spintą?c) stalas yra brangesnis už kėdę? pigesnis už spintą?
15. a) Kokia yra banko metinių palūkanų norma, jei banke per metus 1800 Lt indėlisišaugo iki 1980 Lt?
Sąskaita Sąskaita
2010-01-01 2011-01-01
1800 Lt 1980 Lt
%?
b) Į banką padėjus 3000 Lt, po metų gauta 180 Lt palūkanų. Kokia to bankometinių palūkanų norma?
16. Žinoma, kad skaičius A yra didesnis už skaičių B, t. y. A > B. Įsitikinkime,kad A už B yra didesnis A−B
B· 100 %.
I būdas. 1) B –– 100 %,
A –– x %;⇒ x % = A
B· 100 %.
2) x % − 100 % = AB · 100 % − 100 % = (
AB − 1
) · 100 % = A−BB · 100 %.
II būdas. A už B yra didesnis A − B vienetų.Randame, kurią skaičiaus B dalį sudaro skaičius A − B:
A − B
B, o procentais tai yra
A − B
B· 100 %.
Užduotis. Įsitikinkite, kad B už A yra mažesnis A−BA · 100 %.
DEM
O
Procentai116
1.3. PROCENTAI IR KARTAI
Lentelėje surašyta, kiek litų kainavo dviratis kiekvieną vasaros mėnesį.
MĖNUO Birželis Liepa RugpjūtisKAINA 1000 1200 1080
1 užduotis.
1) Kiek procentų liepos mėnesio kaina didesnė už birželiomėnesio kainą?
2) Iš kokio skaičiaus padauginus birželio mėnesio kainą,gaunama liepos mėnesio kaina?
2 užduotis.
1) Kiek procentų rugpjūčio mėnesio kaina mažesnė užliepos mėnesio kainą?
2) Iš kokio skaičiaus padauginus liepos mėnesio kainą,gaunama rugpjūčio mėnesio kaina?
3 užduotis.1) Iš kokio skaičiaus padauginus birželio mėnesio kainą,
gaunama rugpjūčio mėnesio kaina?2) Kiek procentų rugpjūčio mėnesio kaina didesnė už bir-
želio mėnesio kainą?
1000
1200
1080
+ ? % ¥ ??
¥ !!– ! %
¥ !?+ ?! %
200
¥ ¥1,1 0,9
220 198
+ 10 % – 10 %
¥ 1,1 ¥ 0,9
A A 1 +◊ A 1 +◊p100
p100
– – 1 –
t100
–
+ %p – %t◊
DEM
O
17
17. Duoti du skaičiai A ir B:a) A = 50, B = 40; b) A = 120, B = 90; c) A = 80, B = 20.1) Iš kokio skaičiaus padauginus B, gaunamas A? Keliais procentais A yra
didesnis už B?2) Iš kokio skaičiaus padauginus A, gaunamas B? Keliais procentais B yra
mažesnis už A?
18. Kostas užrašė teigiamą skaičių x. Miglė tą skaičių padaugino iš 1,5. AntanasMiglės gautą skaičių padaugino iš 0,8. Keliais procentais:a) Miglės skaičius yra didesnis už Kosto skaičių?b) Antano skaičius yra mažesnis už Miglės skaičių?c) Antano skaičius yra mažesnis (ar didesnis) už Kosto skaičių?
19. Jonas parašė programėlę, kuri, įvestą į kompiuterį, teigiamąskaičių A:1) padidina 20 % ir išspausdina gautą skaičių B;2) skaičių B padidina 10 % ir išspausdina gautą skaičių C;3) skaičių C sumažina 50 % ir išspausdina gautą rezultatą D.a) Kokius skaičius B, C ir D išspausdins programėlė, jei A = 100? A = 1000?b) Kokie skaičiai turėtų būti parašyti vietoj debesėlių?
B = · A; C = · A; D = · A.
20. Pinigų kiekis banko sąskaitoje keitėsi taip: iš pradžių padidėjo dvigubai, tadapadidėjo 50 % ir galiausiai sumažėjo trigubai. Kiek dabar banko sąskaitoje yrapinigų, jei iš pradžių joje buvo: a) 1000 Lt? b) 253,12 Lt? c) x Lt?
21. Keliais procentais padidėjo (ar sumažėjo) galutinė prekės kaina, palyginti supradine, jei ji keitėsi taip:a) iš pradžių padidėjo 50 %, o tada sumažėjo 50 %?b) iš pradžių padidėjo 20 %, o tada padidėjo 30 %?c) iš pradžių padidėjo 10 %, tada padidėjo 20 %, o galiausiai sumažėjo 30 %?
x! !! !!!
+ 20 % + 30 % – 50 %
+
–
? %
Matome, kad ji %
%
sudaro 78 pradinės kainos.
Vadinasi, galutinė kaina yra 22 mažesnė už pradinę.
DEM
O
Procentai118
1.4. SUDĖTINIŲ PROCENTŲ FORMULĖ
Šiltnamyje auga agurkas. Šiandien jis sveria 200 gramų.
1 užduotis. Agurkas kasdien vis priauga po 50 % dienos pradžioje buvusios masės.1) Kiek svers agurkas po: a) 1 dienos? b) 2 dienų? c) 3 dienų?
200 g ? g ?? g ??? g
+ 50 % + 50 % + 50 %
Šiandien Po 1 dienos Po 2 dienų Po 3 dienų
2) Įsitikinkite, kad po 3 dienų to agurko masė bus lygi 200 · 1,53 gramų.
2 užduotis. Tas 200 gramų agurkas nuskintas ir paliktas džiūti. Kasdien jo masėsumažėja po 50 % dienos pradžioje buvusios masės.1) Kiek svers agurkas po: a) 1 dienos? b) 2 dienų? c) 3 dienų?
200 g ? g ?? g ??? g
– 50 % – 50 % – 50 %
Šiandien Po 1 dienos Po 2 dienų Po 3 dienų
2) Įsitikinkite, kad po 3 dienų to agurko masė bus lygi 200 · 0,53 gramų.
200 220 242
+ 10 % + 10 %
¥ 1,1 ¥ 1,1
¥ 1,1
2
3 užduotis. Užrašykite formulę, kuria remiantis galima apskaičiuoti dydžio A
reikšmę An, kai A sumažėja n kartų po p procentų.
DEM
O
19
22. Parodą pirmą dieną aplankė 4000 žmonių. Kiekvieną kitą dieną parodos lankyto-jų skaičius padidėdavo po 10 %, palyginti su prieš tai buvusios dienos lankytojųskaičiumi. Kiek žmonių aplankė parodą:1) antrą dieną?2) trečią dieną?3) per visas keturias parodos dienas?
23. Automobilevičių šeima prieš 3 metus nusipirko naują automobilį už 36 000 litų.Per metus to automobilio vertė sumažėja 15 %, palyginti su jo verte tų metųpradžioje. Kokia to automobilio vertė:1) buvo praėjus 1 metams po automobilio įsigijimo?2) buvo praėjus 2 metams po automobilio įsigijimo?3) yra šiandien?4) Iš kokio skaičiaus padauginus pradinę automobilio kainą, gaunama šios die-
nos automobilio vertė? Atsakymą parašykite laipsniu, o tada nurodykite tolaipsnio apytikslę reikšmę šimtųjų tikslumu.
5) Kokį skaičių procentų šiandien automobilio vertė yra mažesnė, palyginti supradine? Atsakymą parašykite procento tikslumu.
24. Paveikslas iš pradžių kainavo 350 Lt. Jo kaina buvo mažinama du kartus tuopačiu procentų skaičiumi. Dabar paveikslas kainuoja 283 Lt 50 ct. Keliais pro-centais buvo mažinama paveikslo kaina kiekvieną kartą?
25. Kaimelio gyventojų skaičius dvejus metus iš eilės didėjo po 25 % kasmet. Dabarkaimelyje gyvena 600 žmonių. Kiek žmonių gyveno kaimelyje prieš 2 metus?
26. Ona nubraižė kvadratą. Ilona nubraižė kvadratą, kurio kraštinė 50 % trumpesnėuž Onos kvadrato kraštinę. Tadas nubraižė trečią kvadratą, kurio kraštinė 50 %trumpesnė už Ilonos kvadrato kraštinę. Galiausiai Simas nubraižė kvadratą, kuriokraštinė 50 % trumpesnė už Tado kvadrato kraštinę. Tado kvadrato perimetraslygus 80 cm.1) Kokio ilgio yra Simo kvadrato kraštinė?2) Koks yra Ilonos kvadrato plotas?3) Koks yra Onos kvadrato perimetras?
27. Į banką padėta 12 000 Lt dvejiems metams. Banko metinių palūkanų normalygi 6 %. Kiek palūkanų sumokės bankas, jei antrųjų metų palūkanos bus skai-čiuojamos nuo bendros padėtos į banką ir priaugusių palūkanų sumos?
Sąskaita Sąskaita Sąskaita
2010-01-01 2011-01-01 2012-01-01
10 000 Lt 10 600 Lt 11 236 Lt
+ 6 % + 6 %
DEM
O
Procentai120
APIBENDRINAMEProcentai ir kartai1 % skaičiaus A galima rasti taip:A · 1
100 = A · 0,01.
p % skaičiaus A galima rasti taip:A · p
100 = A · 0,01 · p.
Jei skaičius B yra p % didesnis už skaičiųA, taiB = A · (
1 + p100
).
Jei skaičius B yra p % mažesnis už skaičiųA, taiB = A · (
1 − p100
).
1 % skaičiaus 50 yra50 · 1
100 = 50 · 0,01 = 0,5.
24 % skaičiaus 50 yra50 · 24
100 = 50 · 0,24 = 12.
Skaičius, 24 % didesnis už skaičių 50,yra50 · (1 + 24
100) = 50 · 1,24 = 62.
Skaičius, 24 % mažesnis už skaičių 50,yra50 · (1 − 24
100) = 50 · 0,76 = 38.
Jei A > B, tai:• A už B yra didesnis
A−BB · 100 %;
• B už A yra mažesnisA−B
A · 100 %.
10 už 8 yra didesnis10−8
8 · 100 % = 25 %.8 už 10 yra mažesnis10−8
10 · 100 % = 20 %.
Jei skaičius A yra n kartų didesnis už skaičiųB, t. y.A = B · n (n > 1),
tai A už B yra didesnis(n − 1) · 100 %.
10 už 2 yra didesnis 5 kartus, t. y.10 = 2 · 5.Vadinasi, 10 už 2 yra didesnis(5 − 1) · 100 % = 400 %.
Jei skaičius A yra n kartų mažesnis už skai-čių B, t. y.A = B : n = B · 1
n (n > 1),
tai A už B yra mažesnis(1 − 1
n
) · 100 %.
2 už 10 yra mažesnis 5 kartus, t. y.2 = 10 : 5 = 10 · 1
5 .
Vadinasi, 2 už 10 yra mažesnis(1 − 1
5) · 100 % = 80 %.
PalūkanosPalūkanos –– pinigų suma, kurią moka bankas už jam paskolintus pinigus.Metinių palūkanų nòrma –– procentais nurodytas palūkanų, kurias sumoka bankas per1 metus, dydis.Pàprastosios palūkanos –– tai palūkanos, kurios skaičiuojamos daugiau kaip 1 kartą,bet kiekvieną kartą tik nuo indėlio sumos.Sudėtinės palūkanos –– tai palūkanos, kurios skaičiuojamos daugiau kaip 1 kartą, betkiekvieną kartą (pradedant antruoju) ne tik nuo indėlio sumos, bet ir nuo jau anksčiaupriskaičiuotų palūkanų sumos, t. y. nuo priaugusio indėlio.
DEM
O
21
Paprastųjų procentų formulėJei dydis A padidėja n kartų po p procentų(kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuopradinės dydžio A reikšmės), tai po n kartųdydžio A reikšmė bus lygiAn = A · (
1 + p100 · n
).
Jei dydis A sumažėja n kartų po p procentų(kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuopradinės dydžio A reikšmės), tai po n kartųdydžio A reikšmė bus lygiAn = A · (
1 − p100 · n
).
Skaičių 50 padidinę 3 kartus skaičiu-mi, kuris sudaro 10 % skaičiaus 50,gauname50 · (1 + 10
100 · 3) = 50 · 1,3 = 65.
Skaičių 50 sumažinę 3 kartus skaičiu-mi, kuris sudaro 10 % skaičiaus 50,gauname50 · (1 − 10
100 · 3) = 50 · 0,7 = 35.
Sudėtinių procentų formulėJei dydis A padidėja n kartų po p procentų(kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuopadidėjusios dydžio A reikšmės), tai po n
kartų dydžio A reikšmė bus lygiAn = A · (
1 + p100
)n.
Jei dydis A sumažėja n kartų po p procentų(kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuosumažėjusios dydžio A reikšmės), tai po n
kartų dydžio A reikšmė bus lygiAn = A · (
1 − p100
)n.
Skaičių 50 padidinę 3 kartus po 10 %,kiekvieną kartą tuos procentus skai-čiuodami nuo padidėjusio skaičiaus,gauname50 · (1 + 10
100)3 = 50 · 1,13 =
= 50 · 1,331 = 66,55.Skaičių 50 sumažinę 3 kartus po 10 %,kiekvieną kartą tuos procentus skai-čiuodami nuo sumažėjusio skaičiaus,gauname50 · (1 − 10
100)3 = 50 · 0,93 =
= 50 · 0,729 = 36,45.
Kiek svėrė agurkas ketvirtadienį?
Prisiminkime 10 puslapyje esančios 2 užduoties 1) punktą.Trečiadienį agurkas svėrė 200 gramų. Jame buvo 99 % vandens. Kiek tas agurkassvėrė ketvirtadienį, jei jame buvo 98 % vandens?1 klausimas. Kiek gramų svėrė trečiadienio agurke buvęs vanduo ir kiek gramų svėrėagurko sausosios medžiagos?
1 %
gx99 % H O
g
2
y
S žiagosausosios med
2 %
gx98 %
g
H
2
zO
Trečiadienis Ketvirtadienis
2 klausimas. Kiek gramų sausųjų medžiagų agurke buvo ketvirtadienį?3 klausimas. Kiek svėrė agurkas ketvirtadienį?
DEM
O
Procentai122
SPRENDŽIAME
28. Raskite p procentų skaičiaus A, kai:a) A = 10, p = 10 %; p = 50 %; p = 150 %; p = 110 %; p = 210 %;b) A = 101, p = 1 %; p = 13 %; p = 101 %; p = 113 %; p = 513 %.
29. Raskite skaičių, kuris yra p procentų didesnis už skaičių A, kai:a) A = 10, p = 10 %; p = 50 %; p = 100 %; p = 110 %; p = 150 %;b) A = 1001, p = 1 %; p = 17 %; p = 100 %; p = 200 %; p = 350 %.
30. Raskite skaičių, kuris yra p procentų mažesnis už skaičių A, kai:a) A = 10, p = 10 %; p = 50 %; p = 63 %; p = 90 %;b) A = 270, p = 1 %; p = 22 %; p = 99 %.
DEM
O
23
31. Rokas nori nusipirkti muzikinį centrą „Garsas“. Jis renkasi, kurioje iš dviejųparduotuvių tą centrą pirkti.
Parduotuvė
„MUZIKA“Parduotuve
„NATA“
.
Kurioje parduotuvėje muzikinį centrą „Garsas“ pirkti yra pigiau? kiek procentųpigiau? kokį skaičių kartų pigiau?
32. a) Keliais procentais skaičius 2200 yra didesnis už skaičių 1650?b) Keliais procentais skaičius 1650 yra mažesnis už skaičių 2200?
33. Kėdė kainuoja 125 Lt, o stalas –– 175 Lt.a) Keliais procentais stalas yra brangesnis už kėdę? Iš kokio skaičiaus padau-
ginus kėdės kainą, gaunama stalo kaina?b) Keliais procentais kėdė yra pigesnė už stalą? Iš kokio skaičiaus padauginus
stalo kainą, gaunama kėdės kaina?
34. Cukraus kilogramo kaina sumažėjo 20 %. Kiek procentų daugiau cukraus galimanupirkti už tuos pačius pinigus?
35. Parduotuvė per 3 dienas pardavė 120 kg miltų. Pirmą dieną buvo parduota 25 %miltų, antrąją –– 20 % daugiau negu pirmąją.1) Kiek kilogramų miltų parduotuvė pardavė trečią dieną?2) Kiek procentų miltų parduotuvė pardavė trečią dieną?3) Kurią dalį miltų parduotuvė pardavė antrą dieną? Atsakymą parašykite pa-
prastąja trupmena.
36. Muilas sveria 55 % daugiau negu taukai, reikalingi tam muilui pagaminti. Kiekkilogramų taukų reikia, norint pagaminti 31 kg muilo?
37. Giedrė pirko dviratį „Aras“ parduotuvėje „Greitis“, o Justas tokį patį dviratį pirkoparduotuvėje „Kelias“.
1) Kiek procentų atpigo dviratis parduotuvėje „Greitis“?2) Kiek litų atpigo dviratis parduotuvėje „Kelias“?3) Kiek litų sumokėjo Giedrė ir kiek –– Justas, pirkdami dviračius?
DEM
O
Procentai124
38. Knygos kaina sumažinta tiek procentų, kiek litų ji kainavo prieš kainos sumaži-nimą. Keliais procentais sumažinta knygos kaina, jei dabar ji kainuoja 16 Lt?
39. Sviestas gaunamas iš pieno. Pirmiausia iš pieno gaunama grietinėlė, kuri sudaro21 % pieno masės. Tada iš grietinėlės gaunamas sviestas, kuris sudaro 23 %grietinėlės masės. Kiek reikės pieno, norint iš jo pagaminti 483 kg sviesto?
40. Batai, paltas ir kostiumas kartu kainuoja 1900 litų. Paltas 20 % brangesnis užbatus, bet 25 % pigesnis už kostiumą. Kiek kainuoja batai, paltas ir kostiumasatskirai?
41. a) Prekės kaina buvo didinama tris kartus, atitinkamai 10 %, 20 % ir 25 %.Keliais procentais pabrango prekė?
b) Prekės kaina buvo mažinama tris kartus, atitinkamai 10 %, 20 % ir 25 %.Keliais procentais atpigo prekė?
c) Prekės kaina iš pradžių buvo padidinta 20 %, o tada –– sumažinta 17 %. At-pigo ar pabrango prekė ir keliais procentais pakito prekės kaina?
42. Telefono kaina yra 800 Lt. Perkant jį išsimokėtinai, reikia sumokėti 320 Lt pradi-nį įnašą ir 12 mėnesių reikia mokėti mėnesio įmokas, kurios sudaro 6 % telefonokainos. Keliais procentais pabrangsta telefonas, perkamas išsimokėtinai?
43. Dviratis kainuoja 850 eurų. Perkant jį išsimokėtinai, kaina padidėja 20 %. Pra-dinis įnašas lygus 300 eurų. Koks yra mėnesio įmokos dydis, jei mokama:a) 6 mėnesius? b) 12 mėnesių? c) 1,5 metų?
44. Spinta kainuoja 1400 Lt. Perkant ją išsimokėtinai, reikia iš karto sumokėti 25 %kainos ir per metus kas mėnesį mokėti po: a) 100 Lt; b) 105 Lt; c) 95 Lt.Apskaičiuokite:1) išsimokėtinai perkamos spintos kainą;2) keliais procentais pabrangsta spinta, perkama išsimokėtinai (atsakymą para-
šykite vieneto tikslumu).
45. Muzikinis centras kainuoja 900 $. Kai jis perkamas išsimokėtinai, kaina padidėja162
3 %. Pradinis įnašas lygus 300 $. Per kiek laiko bus sumokėta už centrą, jeikas mėnesį reikia mokėti po: a) 50 $? b) 75 $?Atsakymą parašykite metais.
46. Į banką padėta 12 000 Lt. Kokia pinigų suma bus banke po metų; po dvejųmetų; po trejų metų; po n metų, jei banko metinių palūkanų norma lygi 7 %, omokamos palūkanos yra: a) paprastosios? b) sudėtinės?
47. Į banką padėta 4000 Lt. Kokia yra banko metinių:a) paprastųjų palūkanų norma, jei per 2 metus indėlis išaugo iki 4640 Lt?b) sudėtinių palūkanų norma, jei per 2 metus indėlis išaugo iki 4410 Lt?
iki 4665,6 Lt? iki 4368 Lt 10 ct?
DEM
O
25
48. Keleriems metams į banką buvo padėta 8000 litų, jei:a) buvo skaičiuojamos 5 % paprastosios metinės palūkanos, o indėlis išaugo iki
9600 Lt?b) buvo skaičiuojamos 4 % sudėtinės metinės palūkanos, o indėlis išaugo iki
8652 Lt 80 ct?
49. 1) Prekė, kainavusi 1,6 Lt, pabrango 25 %. Kiek procentų reikia atpiginti prekę,kad ji vėl kainuotų 1,6 Lt?
2) Prekė, kainavusi a Lt, pabrango 25 %. Kiek procentų reikia atpiginti prekę,kad ji vėl kainuotų a Lt?
3) Prekė, kainavusi a Lt, pabrango b %. Kiek procentų reikia atpiginti prekę,kad ji vėl kainuotų a Lt?
50. 1) Prekė, kainavusi 2 Lt, atpigo 20 %. Kiek procentų reikia pabranginti prekę,kad ji vėl kainuotų 2 Lt?
2) Prekė, kainavusi a Lt, atpigo 20 %. Kiek procentų reikia pabranginti prekę,kad ji vėl kainuotų a Lt?
3) Prekė, kainavusi a Lt, atpigo b %. Kiek procentų reikia pabranginti prekę,kad ji vėl kainuotų a Lt?
a b+? %
– ! %
51. Graži pasaka.Geroji mergaitė Ernesta su šauniuoju berniuku Valdestu šventė savo gimtadienius.Berniukas padovanojo mergaitei gėlių ir vieną norą, kurį pats sugalvojo:„Sveikinu Tave ir linkiu, kad išsipildytų mano noras, kurį aš sugalvojau Tau...!“Mergaitė neliko skolinga –– ji taip pat sugalvojo norą ir padovanojo jį berniukui.Visą šią gražią šventę stebėjo Norų angelas. Jis nusileido iš dangaus ir tarė:„Jūsų padovanoti gražūs norai išsipildys, jei išgersite po dvi lygiai iki pusėspripildytas taureles stebuklingų gėrimų“.
Dviejose taurelėse yra vienos rūšies,
o kitose dviejose – kitos rūšies
stebuklingo gėrimo.
„Bet atminkite, –– tarė Angelas, –– Jūs abu turite išgerti po vieną kiekvienosrūšies gėrimo taurelę. Tik tada Jūsų norai išsipildys!“Tai pasakęs Angelas pakilo. Bėda ta, kad jis pamiršo pasakyti, kuriose taurelėsekoks gėrimas yra...1) Kokia tikimybė, kad jaunuoliams atsitiktinai pasirinkus po dvi taureles, jų
norai išsipildys?2) Laimei, berniukas ir mergaitė sugalvojo, kaip galima išspręsti šį uždavinį
nespėliojant! Pabandykite ir Jūs...
DEM
O
Procentai126
PRABA
Mas°
ė 3,04gPraba 585Kaina XXX Lt
52. Sidabrinės grandinėlės masė yra 6 gramai. Kiek gramų gryno sidabro yra gran-dinėlėje, jei jos praba lygi 916◦? 875◦? 925◦?
53. Auksinė grandinėlė sveria 25 gramus, o joje yra 18,75 gramo gryno aukso.Kokia yra grandinėlės praba?
54. Kiek sveria 916 prabos sidabrinė segė, jei gryno sidabro joje yra 22,9 g?
55. Auksinio lydinio masė yra 40 g. Gryno aukso ir priedų santykis lygus 9 : 1.a) Kokia yra lydinio praba?b) Kiek gramų gryno aukso yra lydinyje?
56. Juvelyras sulydė 1 gramą aukso, kurio praba yra 375◦, 2 gramus sidabro, kuriopraba yra 800◦, ir 3 gramus platinos.1) Kiek lydinyje yra miligramų gryno aukso? sidabro? platinos?
2) Kokia yra lydinio sidabro praba? aukso praba? platinos praba?3) Koks yra lydinio visų tauriųjų metalų bendras promilių skaičius?
DEM
O
Besidomintiems27
PROMILĖS
Mantė yra atostogavusi prie Juodosios, Raudonosios, Negyvosios ir Báltijos jūrų. Jaipasirodė, kad Báltijos jūros vanduo yra pats nesūriausias, o sūriausias yra Negyvosiosjūros vanduo.
Baltijos
– 8
jūra‰
promilėmis
3
‰
57. a) Išreikškite procentais: 3 ‰; 27 ‰; 0,5 ‰; 200 ‰.b) Išreikškite promilėmis: 40 %; 9 %; 0,8 %; 1,43 %.
58. Kiek kilogramų druskos yra 1 tonoje:a) Juodosios jūros vandens? b) Raudonosios jūros vandens?
59. Į stiklinę, kurioje yra 150 g vandens, įberiama 2 g druskos. Kokia yra druskoskoncentracija tirpale? Atsakymą parašykite promilėmis.
60. Jūros vandens druskingumas lygus 15 ‰. Kiek gėlo vandens reikia įpilti į 30 kgjūros vandens, kad gauto vandens druskingumas būtų 10 ‰?
61. Koks vandens druskingumas, jei tas vanduo gautas sumaišius po 1 kg Báltijos,Juodosios, Raudonosios ir Negyvosios jūrų vandens?
DEM
O
Procentai128
TESTAS
62. Paltas kainavo 350 Lt. Jo kainą sumažino 20 %. Dabar paltas kainuoja:A 320 Lt B 300 Lt C 330 Lt D 280 Lt
63. Slidės kainavo 300 Lt. Jų kainą padidino 15 %. Dabar slidės kainuoja:A 315 Lt B 325 Lt C 335 Lt D 345 Lt
64. Baldų komplektas kainavo 2000 Lt. Jo kainą sumažino 200 Lt. Kiek procentųbuvo sumažinta baldų komplekto kaina?A 1 % B 10 % C 20 % D 18 %
65. Klasėje yra 10 mergaičių, o tai sudaro 50 % visų klasės mokinių. Kiek klasėjeyra mokinių?A 20 B 25 C 30 D 35
66. Stovykloje yra 110 berniukų, o tai sudaro 55 % visų stovyklautojų. Kiek yrastovyklautojų?A 165 B 605 C 200 D 220
67. Kam lygus skaičius x, jei jis yra 30 % didesnis už skaičių 60?A 78 B 90 C 80 D 68
68. Džiovinami obuoliai netenka 84 % svorio. Kiek nedžiovintų obuolių reikia pa-imti, norint gauti 16 kg džiovintų obuolių?A 80 kg B 90 kg C 100 kg D 110 kg
69. Miltų masė sudaro 75 % iškeptos duonos masės. Kiek kilogramų duonos galimaiškepti iš 330 kg miltų?A 245 kg B 255 kg C 440 kg D 405 kg
70. Prekė kainavo 200 Lt. Iš pradžių ji pabrango 25 %, o tada atpigo 20 %. Kiekprekė kainuoja dabar?A 225 Lt B 205 Lt C 200 Lt D 190 Lt
71. Prekė kainavo 300 Lt. Iš pradžių ji atpigo 40 %, o tada pabrango 10 %. Kiekprekė kainuoja dabar?A 148 Lt B 270 Lt C 250 Lt D 198 Lt
72. Naudodamiesi reklaminių lapelių duomenims, nustatykite, kurioje parduotuvėje–– „Knyga“ ar „Mokykla“ –– pigiau galima nupirkti 4 rašiklius „Plunksna“.
„KNYGA“ „Mokykla“
mažiau!
A „Knyga“ B „Mokykla“ C Abiejose parduotuvėse kainuos vienodai
DEM
O
29
73. Kvadrato ABCD kraštinė lygi 5 cm.a) Kvadrato kraštinę padidinus 20 %, jo perimetras padidės:
A 1 cm B 24 cm C 36 cm D 4 cmb) Kvadrato kraštinę padidinus 20 %, jo plotas padidės:
A 4 cm2 B 10 cm2 C 11 cm2 D 36 cm2
74. Teigiamas skaičius B yra 50 % didesnis už skaičių A. Skaičius B lygus:A 2 · A B 1,5 · A C 1,2 · A D 0,5 · A
75. Teigiamas skaičius B lygus 2,5 · A. Keliais procentais skaičius B yra didesnisuž skaičių A?A 350 % B 150 % C 50 % D 250 %
76. Kiek procentų skaičiaus 30 sudaro skaičius 12?A 60 % B 40 % C 140 % D 250 %
77. Kiek procentų skaičiaus 24 sudaro skaičius 60?A 60 % B 40 % C 140 % D 250 %
78. Skaičius 18 sudaro 40 % skaičiaus a. 20 % skaičiaus 2a yra lygu:A 18 B 9 C 36 D 45
79. Į banką padėta 4000 Lt. Kiek palūkanų bus gauta po metų, jei banko metiniųpalūkanų norma lygi 8 %?A 3200 Lt B 4320 Lt C 320 Lt D 32 Lt
80. Bankas moka 6 % metinių palūkanų. Kiek pinigų gaus indėlininkas po metų, jeiį banką padės 2000 Lt?A 3200 Lt B 2240 Lt C 2120 Lt D 2012 Lt
81. Kiek pinigų reikia padėti į banką, norint per metus gauti 300 Lt palūkanų, jeibanko metinių palūkanų norma lygi 6 %?A 318 Lt B 1800 Lt C 5300 Lt D 5000 Lt
82. Į banką padėta 1500 Lt. Per metus tas indėlis išaugo iki 1575 Lt. Kokia yrabanko metinių palūkanų norma?A 2 % B 7,5 % C 5 % D 4,7 %
83. Į banką padėta 1000 Lt. Bankas moka 5 % metinių sudėtinių palūkanų. Kiekpalūkanų sumokės bankas per 2 metus?A 102,5 Lt B 100 Lt C 40 Lt D 250 Lt
84. Kampas A sudaro 50 % kampo B. Kampas C sudaro 150 % kampo A. Rašantkampus nuo mažiausio iki didžiausio, jų tvarka yra:A A, B, C B A, C, B C B, A, C
D B, C, A E C, A, B F C, B, A
DEM
O
Procentai130
PASITIKRINAME
85. Spausdintuvas, kuris kainavo 400 Lt, buvo atpigintas 80 Lt.1) Kokia yra naujoji spausdintuvo kaina?2) Keliais procentais atpigo spausdintuvas?3) Keliais procentais reikia padidinti naująją spausdintuvo kainą, kad gautume
senąją jo kainą?86. Stalinė lempa kainavo 120 Lt. Naujasis tos lempos modelis yra 30 Lt brangesnis.
1) Keliais procentais naujojo lempos modelio kaina yra didesnė už senojo mo-delio kainą?
2) Kiek procentų reikia sumažinti naujojo lempos modelio kainą, kad ji būtų120 Lt?
87. Muzikinis centras kainavo 960 Lt. Jo kaina buvo sumažinta du kartus:• pirmą kartą jis atpigo 20 %;• antrą kartą jo kaina sumažėjo dar 37,5 %.1) Kiek kainavo muzikinis centras, jo kainą sumažinus pirmąjį kartą?2) Kiek litų buvo sumažinta kaina antrąjį kartą?3) Kiek procentų galutinė centro kaina yra mažesnė už pradinę?4) Iš kokio skaičiaus padauginus pradinę kainą, gaunama galutinė kaina?
88. Gitara, kainavusi 120 Lt, pirmą kartą pabrango 20 %, o antrą kartą –– dar 30 %.1) Kiek procentų pabrango gitara iš viso?2) Kiek procentų reikia sumažinti galutinę gitaros kainą, kad gautume pradinę
jos kainą? Atsakymą parašykite procento tikslumu.89. a) Telefonas kainavo 450 Lt. Iš pradžių jo kainą padidino 10 %, o vėliau ––
sumažino 10 %. Kaip pasikeitė galutinė telefono kaina procentais, palygintisu pradine (padidėjo ar sumažėjo ir kiek)?
b) Spausdintuvas kainavo 300 Lt. Iš pradžių jo kainą sumažino 20 %, o vėliau–– padidino 20 %. Kaip pasikeitė galutinė spausdintuvo kaina procentais,palyginti su pradine (padidėjo ar sumažėjo ir kiek)?
90. Lentelėje surašyta, kiek maždaug žmonių gyveno Žemėje tam tikru praėjusiulaikotarpiu ir kiek jų turėtų gyventi 2028 m.
Metai 8000 1000 1000 1600 1720 1802m. pr. Kr. m. pr. Kr.
Gyveno 5 50 310 500 750 1žmonių mln. mln. mln. mln. mln. mlrd.Metai 1928 1961 1974 1987 1999 2028Gyveno 2 3 4 5 6 8žmonių mlrd. mlrd. mlrd. mlrd. mlrd. mlrd.
Kiek kartų ir kiek procentų padidėjo gyventojų skaičius:a) nuo 1802 m. iki 1961 m.?b) nuo 1928 m. iki 2028 m.?c) nuo 1000 m. pr. Kr. iki 1999 m.?
DEM
O
31
91. Jei automobilio savininkas keičia vieną automobilio amortizatorių dirbtuvėse„Amor“, tai jam kainuoja 120 litų. Tose dirbtuvėse kabo skelbimas:
Keičiant 2 amortizatorius,nuolaida
15 %!
Keičiant amortizatorius,nuolaida
visus 4
20 %!
a) Kiek kainuos vieno amortizatoriaus pakeitimas, keičiant du amortizatorius?b) Kiek reikės sumokėti už 4 amortizatorių pakeitimą?
92. Į banką padėta 10 500 Lt. Kokia pinigų suma bus banke po metų, jeigu bankometinių palūkanų norma lygi:a) 8 %? b) 6,5 %? c) 7,25 %?
93. Kokia yra banko metinių palūkanų norma, jei indėlis per metus išaugo:a) nuo 4500 Lt iki 4770 Lt?b) nuo 14 280 Lt iki 15 208,2 Lt?
94. Kiek pinigų reikia padėti į banką, kuris moka 6 % metinių palūkanų, kad pometų indėlio su palūkanomis suma būtų lygi:a) 6360 Lt? b) 4187 Lt? c) 4033,3 Lt?
95. Į banką padėta 10 000 Lt. Kokia pinigų suma bus banke po trejų metų, jei bankasmoka 5 %:a) metinių paprastųjų palūkanų?b) metinių sudėtinių palūkanų?
96. Skalbimo mašina kainuoja 900 Lt. Perkant ją išsimokėtinai, reikia sumokėti120 Lt pradinį įnašą ir kas mėnesį visus metus mokėti po 80 Lt.1) Kiek litų kainuoja skalbimo mašina, perkama išsimokėtinai?2) Keliais procentais pabrangsta skalbimo mašina, perkama išsimokėtinai?3) Kokį skaičių kartų pabrangsta skalbimo mašina, perkama išsimokėtinai?
97. Kompiuterį, kurio kaina yra 1600 Lt, galima įsigyti išsimokėtinai, sumokant200 Lt pradinį įnašą ir kas mėnesį mokant vienodo dydžio įmokas. Apskai-čiuokite mėnesio įnašo dydį, jei žinoma, kad išsimokėtinai perkamo kompiuteriokaina lygi 2000 Lt, o likusią sumą reikia sumokėti per:a) 6 mėn; b) 1,5 metų; c) 3 metus.
98. Valties variklis, perkamas išsimokėtinai, pabrangsta 25 %. Pirkimo išsimokėtinaisąlygos yra tokios:• Iš karto reikia sumokėti 200 Lt pradinį įnašą;• 10 mėnesių mokėti po Lt.Kas turėtų būti parašyta vietoj debesėlio, jei žinoma, kad visų 10-ties mėnesiniųįmokų bendra suma 200 litų viršija variklio, perkamo neišsimokėtinai, kainą?
DEM
O
144
Atsakymai
Perkame išsimokėtinai
1. 1) 2800 Lt; 2) 300 Lt; 3) 12 %.
2. 1000 Lt.
DEM
O
145
Atsakymai
Einame į banką
3. 1) 100 Lt; 1100 Lt; 2) a) 200 Lt; 1200 Lt; b) 210 Lt; 1210 Lt.
4. a) 573,05 Lt; b) 16236,36 Lt; c) 687657,6 Lt.
DEM
O
146
Atsakymai
1.1. Didiname ir mažiname
5. a) 960 Lt; b) 720 Lt; c) 896 Lt; d) 704 Lt.
6. 1) a) 175 Lt; b) 210 Lt; c) 297,5 Lt; d) 318,5 Lt;2) a) 3675 Lt; b) 3710 Lt; c) 3797,5 Lt; d) 3818,1 Lt.
7. a) 144; b) 13,02; c) 101150 .
8. a) 96; b) 11,78; c) 9 84125 .
9. a) 75 Lt; b) 84 Lt; c) 144 Lt; d) 56 Lt.
10. a) 37500 Lt; b) 18750 Lt; c) 20000 Lt; d) 16666,67 Lt.
11. a) 13 val. bus 2 bakterijos; 14 val. bus 4 bakterijos; 22 val. bus 1024 bakterijos;b) 13 val. bus 3 bakterijos; 14 val. bus 9 bakterijos; 22 val. bus 310 bakteriju
(59 049);c) 13 val. bus 5 bakterijos; 14 val. bus 25 bakterijos; 22 val. bus 510 bakteriju
(9 765 625).
DEM
O
147
Atsakymai
1.2. Kiek procentų daugiau? Kiek procentų mažiau?
12. 1) a) 25 %; b) 20 %; c) 100 %; d) 400 %;2) a) 20 %; b) 162
3 %; c) 50 %; d) 80 %.
13. a) 20 %; b) 25 %.
14. a) 25 %; 100 %; b) 37,5 %; 100 %; c) 60 %; 20 %.
15. a) 10 %; b) 6 %.
16. Be komentaru.DE
MO
148
Atsakymai
1.3. Procentai ir kartai
17. a) 1) 1,25; 25 %; 2) 0,8; 20 %;b) 1) 11
3 ; 3313 %; 2) 0,75; 25 %;
c) 1) 4; 300 %; 2) 0,25; 75 %.
18. a) 50 %; b) 20 %; c) didesnis 20 %.
19. a) Kai A = 100, tai B = 120, C = 132, D = 66. Kai A = 1000, tai B = 1200,C = 1320, D = 660.
b) 1,2; 1,32; 0,66.
20. a) 1000 Lt; b) 253,12 Lt; c) x Lt.
21. a) Sumazejo 25 %; b) padidejo 56 %; c) sumazejo 7,6 %.
DEM
O
149
Atsakymai
1.4. Sudėtinių procentų formulė
22. 1) 4400 zmoniu; 2) 4840 zmoniu; 3) 18 564 zmones.
23. 1) 30 600 Lt; 2) 26 010 Lt; 3) 22 108,5 Lt; 4) 0,853 ≈ 0,61; 5) 39 %.
24. 10 %.
25. 384 zmones.
26. 1) 10 cm; 2) 1600 cm2; 3) 320 cm.
27. 1483,2 Lt.
DEM
O
150
Atsakymai
Sprendžiame
28. a) 1; 5; 15; 11; 21; b) 1,01; 13,13; 102,01; 114,13; 518,13.
29. a) 11; 15; 20; 21; 25; b) 1011,01; 1170; 2002; 3003; 4504,5.
30. a) 9; 5; 3,7; 1; b) 267,3; 210,6; 2,7.
DEM
O
151
Atsakymai
Sprendžiame
31. Pigiau pirkti „Natoje“; 229 % pigiau; 1 1
44 karto pigiau.
32. a) 3313 %; b) 25 %.
33. a) 40 %; 1,4; b) 2847 %; 5
7 .
34. 25 %.
35. 1) 54 kg; 2) 45 %; 3) 310 .
36. 20 kg.
37. 1) 16 %; 2) 167,2 Lt; 3) Giedre – 714 Lt; Justas – 712,8 Lt.
DEM
O
152
Atsakymai
Sprendžiame
38. 80 Lt arba 20 Lt.
39. 10 000 kg.
40. Batai – 500 Lt; paltas – 600 Lt; kostiumas – 800 Lt.
41. a) 65 %; b) 46 %; c) atpigo 0,4 %.
42. 12 %.
43. a) 120 euru; b) 60 euru; c) 40 euru.
44. a) 1) 1550 Lt; 2) 11 %; b) 1) 1610 Lt; 2) 15 %; c) 1) 1490 Lt; 2) 6 %.
45. a) 15 men. = 1 312 metu = 1,25 metu; b) 10 men. = 5
6 metu.
46. a) 12 840 Lt; 13 680 Lt; 14 520 Lt; 12 000 + 840n;b) 12 840 Lt; 13 738,8 Lt; 14 700,52 Lt; 12 000 · 1,07n.
47. a) 8 %; b) 5 %; 8 %; 4,5 %.
DEM
O
153
Atsakymai
Sprendžiame
48. a) 4 metams; b) 2 metams.
49. 1) 20 %; 2) 20 %; 3) 100b100+b
.
50. 1) 25 %; 2) 25 %; 3) 100b100−b
.
51. Galvosukis... Naudojant kokias nors papildomas priemones, pvz., sugraduotamenzurele, ta uzdavini isspresti nesunku. Bet kaip ji isspresti turint tik tas 4taureles?
DEM
O
154
Atsakymai
Praba
52. 5,496 g; 5,25 g; 5,55 g.
53. 750◦.
54. 25 g.
55. a) 900◦; b) 36 g.
56. 1) 375 mg; 1600 mg; 2850 mg; 2) 26623◦; 62,5◦; 475◦; 3) 8041
6◦.
DEM
O
155
Atsakymai
Promilės
57. a) 0,3 %; 2,7 %; 0,05 %; 20 %; b) 400‰; 90‰; 8‰; 14,3‰.
58. a) 20 kg; b) 40 kg.
59. 13 319‰.
60. 15 kg.
61. 79,5 %.DE
MO
156
Atsakymai
Testas
62. D.
63. D.
64. B.
65. A.
66. C.
67. A.
68. C.
69. C.
70. C.
71. D.
72. C.
DEM
O
157
Atsakymai
Testas
73. B.
74. B.
75. B.
76. B.
77. D.
78. A.
79. C.
80. C.
81. D.
82. C.
83. A.
84. B.
DEM
O
158
Atsakymai
Pasitikriname
85. 1) 320 Lt; 2) 20 %; 3) 25 %.
86. 1) 25 %; 2) 20 %.
87. 1) 768 Lt; 2) 288 Lt; 3) 50 %; 4) 0,5.
88. 1) 56 %; 2) ≈ 36 %.
89. a) Sumazejo 1 %; b) sumazejo 4 %.
90. a) 3 kartus, 200 %; b) 4 kartus, 300 %; c) 120 kartu, 11 900 %.
DEM
O
159
Atsakymai
Pasitikriname
91. a) 102 Lt; b) 384 Lt.
92. a) 11 340 Lt; b) 11182,5 Lt; c) 11261,25 Lt.
93. a) 6 %; b) 6,5 %.
94. a) 6000 Lt; b) 3950 Lt; c) 3805 Lt.
95. a) 11 500 Lt; b) 11576,25 Lt.
96. 1) 1080 Lt; 2) 20 %; 3) 1,2 karto.
97. a) 300 Lt; b) 100 Lt; c) 50 Lt.
98. 180 Lt.
DEM
O
ISBN 978-609-433-012-4
DEM
O
O kitiems mokytojams labiau patinka „Tikrinamieji darbai“.Čia 16 savarankiškų ir 9 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus), o uždavinių dar daugiau – iš viso 410!
Net 18 savarankiškų ir 9 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus), – visoms X klasės matematikos temoms! Iš viso 343 uždaviniai!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta mokytojai☺
Papildomi uždaviniai, skirti visoms pagrindinės mokyklos temoms. Visi su sprendimais ar nurodymais ir atsakymais. Nors uždaviniai sunkoki, jokių korepetitorių nereikia, kai sprendimai labai aiškūs.
Manome, kad mūsų vadovėliuose uždavinių pakanka. Bet jeigu pritrūksite arba jie pasirodys per paprasti, išbandykite uždavinyną. Jame rasite net 400 uždavinų, o jų atsakymai yra svetainėjehttp://matau.vadoveliai.lt
Jei reikia spręsti, bet neaišku, nuo ko pradėti, atsiverskite pratybų sąsiuvinį. Jame galite skaičiuoti, braižyti, piešti, spalvinti. O sėkmingai žengę pirmąjį žingsnį, galėsite imtisir sunkesnių užduočių.
Jei nebepadeda nei draugų, nei mokytojų patarimai, pabandykite žvilgtelėti į „Patarimų“ knygeles. Žinoma, jos skirtos mokytojams, bet kai ką naudingo ten gali rasti ir mokiniai. Pavyzdžiui, sprendimus ar visų uždavinių teisingus atsakymus. Patarimas: tik nereikia nusirašinėti☺
jûSø PAGALBININKAI
DEM
O
ISBN 978-609-433-015-5
DEM
O
6. Stačiojo trikampio Smailiojo kampo SinuSaS, koSinuSaS ir tangentaS
6.1. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas 126.2. Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas 146.3. Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentas 16 6.4. Kaip rasti kampo dydį, žinant jo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmę 186.5. Dar kartą statieji trikampiai 20
7. apSkritimai, tieSėS ir kampai 7.1. Centrinis kampas. Išpjova 367.2. Išpjovos lanko ilgis ir plotas 38 7.3. Apskritimo kirstinė. Nuopjova 407.4. Apskritimo liestinė 42
8. Erdvinių kūnų tiEsės ir plokštumos8.1. Erdvinių kūnų tiesės 58 8.2. Erdvinių kūnų plokštumos 60 8.3. Kampas tarp tiesės ir plokštumos 628.4. Kampas tarp plokštumų 64
9. tikimybėS9.1. Skaičiuojame tikimybes 809.2. Tikimybių savybės 82
pagrindinėS mokykloS kurSo kartojimaS 90
Pagrindiniai skyreliai
3
DEM
O
Apibrėžimas, teorema, aksioma
4
Trikampio vidurio linija
Prisiminkime, ką sutarta yra vadinti trikampio vidurio linija.
APIBRĖŽIMAS.Atkarpà, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus,vadinama trikampio vidurio linija.
Apibrėžiant trikampio vidurio liniją, vartojama sąvoka atkarpà. Ją taip pat reikiaapibrėžti.
Ãtkarpa vadinama tiesės dalis, esanti tarp dviejų taškų.
Atkarpõs apibrėžime yra sąvokos tiesė ir tãškas. Šios sąvokos laikomos pirminėmis,t. y. jos nėra apibrėžiamos.
Iš taško ir tiesės gauname spindulį ir atkarpą:
TEOREMA. (Trikampio vidurio linijos savybė.)Trikampio vidurio linija yra lygiagreti su trikampio kraštine ir yra lygi jos pusei.
Įsitikinkime šio teiginio teisingumu.
Nusibraižykime brėžinį ir remdamiesi juo užrašykime, ką turime įrodyti.
A
B
C
M N Duota: �ABC, AM = MB, CN = NB.Įrodyti: MN ‖ AC, MN = AC
2 .
DEM
O
Trikampio ir trapecijos vidurio linija
5
Įrodymas.1) Pastebėkime, kad trikampiai ABC ir MBN yra panašūs pagal dvi atitinkamai
proporcingas kraštines ir lygų kampą tarp jų. Iš tikrųjų:
�ABC � �MBN , nes ABMB = CB
NB = 2 (paaiškinkite kodėl)ir ∠B –– bendras abiem trikampiams.
2) Kadangi �ABC � �MBN , o jų panašumo koeficientas lygus 2, tai:
ACMN
= 2, ∠A = ∠M , ∠C = ∠N (paaiškinkite kodėl).
3) Iš lygybės ACMN = 2 gauname, kad
MN = AC2 .
4) Iš lygybės ∠A = ∠M (arba iš lygybės ∠C = ∠N ) gauname, kad
MN ‖ AC (paaiškinkite kodėl).
Teorema įrodyta.
Įrodydami šią teoremą rėmėmės kitomis teoremomis. Pavyzdžiui, rėmėmės teorema,kuri vadinama trikampių panašumo požymiu (pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų).
ka ka kc
kb kb
a a
b b
Jei
tai c
Tą teoremą irgi reikia įrodyti. Ją įrodant, vėl teks remtis kitomis teoremomis. Bet begalo taip tęstis negali. Todėl reikalingi teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo.
AKSIOMA. Per du taškus eina vienintelė tiesė.
Užduotis. (Projektinis darbas.)1) Pasidomėkite ir užrašykite daugiau teiginių, kurie laikomi teisingais be įrodymo
(aksiomų).2) Užrašykite keletą jums žinomų apibrėžimų.3) Užrašykite keletą jums žinomų teoremų. Pabandykite kurią nors iš tų teoremų
įrodyti.
DEM
O
Apibrėžimas, teorema, aksioma
6
Trapecijos vidurio linija
APIBRĖŽIMAS.Atkarpa, jungianti trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus,vadinama trapècijos vidurio linija.
TEOREMA. (Trapecijos vidurio linijos savybė.)Trapecijos vidurio linija yra lygiagreti su pagrindais ir yra lygi jų sumos pusei.
A
B C
D
NM
Duota: ABCD –– trapecija (AD ‖ BC, AB ∦ DC),AM = MB, DN = NC.
Įrodyti: MN ‖ AD(BC), MN = AD+BC2 .
Įrodymas. 1) Nubrėžkime kurią nors trapecijos įstrižainę, pavyzdžiui, BD.
A
B C
D
NMP
2) Įsitikinkime, kad P yra BD vidurio taškas.Tarkime priešingai, t. y. kad P nėra BD viduriotaškas. Tada yra toks taškas T , kuris yra BD vi-durio taškas (ir T nesutampa su P ). Tada MT yra�ABD vidurio linija, o NT yra �DBC viduriolinija. Vadinasi, A
B C
D
NMP
T
MT ‖ AD; NT ‖ BC.
Kadangi AD ‖ BC, tai galima tvirtinti, kad taškai M , T ir N yra vienoje tiesėje,kuri lygiagreti su trapecijos pagrindais.Tarę, kad P nėra BD vidurio taškas, įsitikinome, kad tada yra dvi tiesės (MPN
ir MT N ), einančios per taškus M ir N . Bet juk per du taškus galima nubrėžtitik vieną tiesę (aksioma). Vadinasi, mūsų prielaida, jog P nėra BD vidurys, yraneteisinga. Vadinasi, BP = PD.
3) Kadangi MP yra trikampio ABD vidurio linija, tai:
MP = AD
2, MP ‖ AD.
4) Kadangi NP yra trikampio...
DEM
O
Trikampio ir trapecijos vidurio linija
7
Išspręskite šio puslapio uždavinius, naudodamiesi trikampio ir trapecijos vidurio linijųsavybėmis.
1. Trikampio ABC kraštinių ilgiai yra tokie: AB == 5 cm, BC = 8 cm, AC = 12 cm. Atkarpa MN
yra trikampio vidurio linija (AM = MB, CN == NB). Apskaičiuokite:a) trikampio MBN perimetrą;b) trapecijos AMNC perimetrą.
A
B
C
M N
2. Trikampio DEF vidurio linija KL yra lygiagreti su trikampio kraštine DE.Trikampio DEF plotas lygus 48 cm2. Apskaičiuokite trikampio KLF plotą.
3. Naudodamiesi paveikslėlio duomenimis, apskaičiuo-kite trapecijos ABCD:a) vidurio linijos ilgį;b) šoninės kraštinės CD ilgį;c) perimetrą;d) plotą.
A
B C
D
6
3
10
4. Pavaizduota lygiašonė trapecija ABCD, kurios šoni-nė kraštinė lygi 10 dm, o perimetras yra 50 dm. Ap-skaičiuokite trapecijos:1) vidurio linijos ilgį;2) pagrindų ilgius, jei trapecijos aukštinė lygi 6 dm;3) plotą.
A
B C
D
5. Apskaičiuokite trapecijos plotą, jei jos aukštinės ilgis yra 15 mm, o vidurio linijosilgis –– 24 mm.
6. Įrodykite formulę.a) SABC = MN · BD;
A
B
CD
M N
b) SABCD = MN · BE.
A
B C
DE
M N
DEM
O
Kartojame tai, ko prireiks 6 skyriuje
8
7. Remdamiesi paveikslėlio duomenimis, apskaičiuokite nežinomus stačiojo trikam-pio kraštinių ilgius ir trikampio plotą.
A
B C D E
F
M
N
P
a) b) c)
? ? ?
?
?
? ?; ;
8. Apskaičiuokite pavaizduoto stačiojo trikampio perimetrą ir plotą.
A
B C
1
0
m
30∞ 60∞
a) b)
M
N
P
2
c
m
9. Apskaičiuokite pavaizduoto stačiojo trikampio smailiųjų kampų dydžius.
A A
B
BC
C
2
4
a) b) c)
3
3 3 2 2
B
CA
2
DEM
O
9
10. Pavaizduoti du trikampiai ABC ir A1B1C1.Paaiškinkite, kodėl galima tvirtinti, kad tie trikampiai yra panašūs.
A A AA1
A1
A1
B
B
BB1
B1
B1
C
C
CC
1
C1
C1
a) b) c)
2
4
3 6
40∞
40∞
40∞
100∞2
3
4
6
3
4,5
A A1
BB
1
C C1
kc
kb
kac a
b
ka
kb
kcc a
b
kb
kcc
b
11. Pavaizduotas trikampis ABC. Atkarpa B1C1 yra lygiagreti su trikampio kraštineBC. Apskaičiuokite, kas turėtų būti parašyta vietoj klaustukų.
A
BC
C1
B1
CB = 10 cm, C1B1 = 2 cm,AC = 8 cm, AC1 = ? cm,AB1 = 1,5 cm, AB = ? cm,P�ABC = ? · P�AB1C1 ,S�ABC = ? · S�AB1C1 .
DEM
O
6 skyrius
10
Statusis trikampis
Stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦):• kraštinių ilgius sieja lygybė AC2 + BC2 = AB2;• smailiųjų kampų dydžius sieja lygybė ∠A + ∠B = 90◦.
Remdamiesi šiomis lygybėmis, galime apskaičiuoti stačiojo trikampio:• trečiosios kraštinės ilgį, kai žinome kitų dviejų jo kraštinių ilgius;• smailiojo kampo dydį, kai žinome kito smailiojo kampo dydį.
A
B
C
1 užduotis.1) Nubraižykite statųjį trikampį ABC (∠C = 90◦),
kurio AC = 10 cm, BC = 5 cm.2) Apskaičiuokite kraštinės AB ilgį.3) O kaip sužinoti kampų A ir B dydžius?
Žinoma, kampus A ir B galite išmatuoti.Bet matuodami dažniausiai gausite tikapytiksles reikšmes...
A
B
C10 cm
5cm
?
??
.
2 užduotis.1) Nubraižykite statųjį trikampį ABC (∠C = 90◦),
kurio AB = 10 cm, ∠A = 40◦.2) Apskaičiuokite kampo B dydį.3) O kaip sužinoti kraštinių AC ir BC ilgius?
Galite matuoti liniuote. Bet ja tiksliųilgių, ko gero, negausite... A
B
C? cm
??
cm
40∞
1
0
c
m
DEM
O
Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas
11
• Šiame skyriuje sužinosime, ką vadiname stačiojo trikampio smailiojo kampo:– sinusu; – kosinusu; – tangentu.
• Mokysimės tas žinias taikyti, ieškodami stačiojo trikampio nežinomų kraštinių ilgių ir kampų dydžių.
6.1. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas 126.2. Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas 146.3. Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentas 166.4. Kaip rasti kampo dydį, žinant jo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmę 186.5. Dar kartą statieji trikampiai 20
Apibendriname 22Sprendžiame 24Besidomintiems 26
Smailiojo kampo sekantas, kosekantas ir kotangentasFunkcijos y = sin x, y = cos x, y = tg x, kai x Î (0°; 90°)
Testas 28Pasitikriname (atsakymai – 142 puslapyje) 30Kartojame tai, ko prireiks 7 skyriuje 32
A
B
C
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas12
6.1. STAČIOJO TRIKAMPIO SMAILIOJO KAMPO SINUSAS
1 užduotis.
1) Nusibraižykite kokį nors statųjį trikampį ABC, kurio ∠C = 90◦, ∠A = 40◦.2) Išmatuokite statinio, esančio prieš kampą A, ilgį.3) Išmatuokite įžambinės ilgį.4) Statinio, esančio prieš kampą A, ilgį padalykite iš įžambinės ilgio.5) Palyginkite visų klasės mokinių gautus rezultatus.6) Iš tikrųjų �ABC (∠C = 90◦, ∠A = 40◦) kraštinių BC ir AB ilgių santykis BC
ABnepriklauso nuo trikampio dydžio, ir visi turėjote gauti tą patį (ar panašų) rezultatą.
A A1
B B1
C C1
:
A
B
C
Į
ž
a
m
b
in
ė
Statin
is
prieš
–A
rašoma:
2 užduotis. 1) Užrašykite, kam lygus lentoje pavaizduoto stačiojo trikampio ABC
(∠C = 90◦) smailiojo kampo B sinusas.
A
B
C8
6
10
2) Apskaičiuokite stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) smailiųjų kampų A ir B
sinusų reikšmes, jei BC = 3 cm, AB = 5 cm.
DEM
O
13
12. Apskaičiuokite pavaizduoto stačiojo trikampio smailiųjų kampų sinusus.a)
e) f) g) h)
b) c) d)
A
A
A A
A
B
B
B
B
B
C C
C C
C
12
15
91
2
52
3
4
8
8
A
A
AB B
B
C C
C
30∞ 60∞
20
5
45∞2
13. 1) Nubraižykite kokius nors stačiuosius �ABC (∠C = 90◦), kurių:∠A = 20◦; 40◦; 60◦; 80◦.
2) Matuodami ir skaičiuodami nustatykite tų trikampių kampų A ir B sinusųapytiksles reikšmes (šimtųjų tikslumu).
14. Įrodykite, kad:a) sin 30◦ = 1
2 ;b) sin 60◦ =
√3
2 .30∞
60∞
A
B
C
1) Nubraižykite statųjį �ABC, kurio ∠C = 90◦, ∠A = 30◦, ∠B = 60◦.2) Statinio, esančio prieš 30◦ kampą, ilgį pažymėkite kokia nors raide, pvz.,
BC = a.3) Užrašykite, kam lygi įžambinė AB (prisiminkite statinio prieš 30◦ kampą
savybę).4) Apskaičiuokite statinio AC ilgį (remkitės Pitagoro teorema).5) Apskaičiuokite santykius BC
AB, AC
AB.
15. Įrodykite, kad sin 45◦ = 1√2
.
45∞A
B
C
16. Nubraižykite kokį nors statųjį �ABC (∠C = 90◦), kurio:a) sin ∠A = 2
3 ;b) sin ∠B = 3
4 ;c) sin ∠A = 0,7. A
B
C
5a2a
17. Paaiškinkite, kodėl stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso reikšmė yra di-desnė už 0 ir mažesnė už 1.
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas14
6.2. STAČIOJO TRIKAMPIO SMAILIOJO KAMPO KOSINUSAS
1 užduotis. Pavaizduoti statieji trikampiai, kurių ∠A = ∠A1. Paaiškinkite, kodėlyra teisinga lygybė:
A A1
B B1
C C1
Statinis prie – AA
B
C
Į
ž
a
m
b
in
ė
rašoma:
2 užduotis.1) Užrašykite, kam lygus lentoje pavaizduoto stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦)
smailiojo kampo B kosinusas.
A
B
C8
6
10
2) Apskaičiuokite stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) smailiųjų kampų A ir B
kosinusų reikšmes, jei AC = 4 cm, AB = 5 cm.
DEM
O
15
18. Apskaičiuokite pavaizduoto stačiojo trikampio smailiųjų kampų kosinusus.a)
e) f) g) h)
b) c) d)
A
A
A A
A
B
B
B
B
B
C C
C C
C
12
15
91
2
52
3
4
8
8
A
A
AB B
B
C C
C
30∞ 60∞
20
5
45∞2
19. Įrodykite, kad:a) cos 30◦ =
√3
2 ;b) cos 60◦ = 1
2 .30∞
60∞
A
B
C
20. Įrodykite, kad cos 45◦ = 1√2
.
21. Nubraižykite kokį nors statųjį �ABC (∠C = 90◦), kurio:a) cos ∠A = 2
3 ; b) cos ∠B = 25 ; c) cos ∠A = 0,4.
22. Įrodykite, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso reikšmės kvadrato irto kampo kosinuso reikšmės kvadrato suma lygi 1.
A
B
C
23. Paaiškinkite, kodėl stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinuso reikšmė negalibūti lygi neigiamam skaičiui; būti lygi 0; būti didesnė už 1.
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas16
6.3. STAČIOJO TRIKAMPIO SMAILIOJO KAMPO TANGENTAS
Ankstesniuose
1 užduotis. Pavaizduoti statieji trikampiai, kurių ∠A = ∠A1. Paaiškinkite, kodėlyra teisinga lygybė:
A A1
B B1
C C1
iš
Statinis prie –A
Statin
is
prieš
–A
A
B
C
rašoma:
2 užduotis.1) Užrašykite, kam lygus lentoje pavaizduoto stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦)
smailiojo kampo B tangentas.
A
B
C8
6
10
2) Apskaičiuokite stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) smailiųjų kampų A ir B
tangentų reikšmes, jei AC = 4 cm, CB = 3 cm.
DEM
O
17
24. Apskaičiuokite pavaizduoto stačiojo trikampio smailiųjų kampų tangentus.a)
e) f) g) h)
b) c) d)
A
A
A A
A
B
B
B
B
B
C C
C C
C
12
15
91
2
52
3
4
8
8
A
A
AB B
B
C C
C
30∞ 60∞
20
5
45∞2
25. Įrodykite, kad:a) tg 30◦ = 1√
3;
b) tg 60◦ = √3;
c) tg 45◦ = 1.30∞
60∞
A
B
C45∞
A
B
C
26. 1) Nubraižykite kokį nors statųjį trikampį ABC (∠C = 90◦), kurio:a) tg ∠A = 1
2 ; b) tg ∠B = 3; c) tg ∠A = 0,6; d) tg ∠B = 2,5.2) Apskaičiuokite to trikampio sin ∠A; cos ∠B.
27. Įrodykite, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo tangento reikšmė yra lygi tokampo sinuso reikšmei, padalytai iš to kampo kosinuso reikšmės.
A
B
C
28. Ar gali stačiojo trikampio smailiojo kampo tangento reikšmė būti didesnė už 1?už 2? už 100?
29. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.
a) sin 30◦ + cos 30◦ + tg 30◦; b) 2 · sin 45◦ + cos 60◦ − tg 45◦2 .
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas18
6.4. KAIP RASTI KAMPO DYDĮ, ŽINANT JO SINUSO, KOSINUSOAR TANGENTO REIKŠMĘ
Užduotis. Naudodamiesi skaičiuotuvu ir lentele, raskite:a) sin ∠A, cos ∠A ir tg ∠A reikšmes, kai ∠A = 25◦; ∠A = 37◦; ∠A = 86◦.b) ∠A dydį laipsniais, kai sin ∠A = 0,191; cos ∠A = 2
5 ; tg ∠A = 2.
DEG
0.642787609
DEG
40
DEG
0
DEG
0.7 0.7
2ndF DEG
45.572996
2ndF DEG
DEM
O
19
30. Nustatykite stačiojo �ABC smailiųjų kampų dydžių apytiksles reikšmes(1◦ tikslumu) ir apskaičiuokite nežinomos kraštinės ilgį.
a)
d)
b)
e)
c)
f)
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
3
2
5
6
5
5,2
4
7,6
13
4
10
3
31. Naudodamiesi skaičiuotuvu arba lentele, apskaičiuokite trikampio ABC (∠C == 90◦, AC = 10 cm, BC = 5 cm, žr. p. 10, 1 užduotį) apytiksles kampų A ir B
dydžių reikšmes.
32. Apskaičiuokite klaustukais pažymėtų kampų dydžius (1◦ tikslumu).
A
A
A A
B
B
BB
C
C
C
CD
D
D D
?∞?∞
?∞
?∞?∞ ?∞
?∞
?∞
?∞ ?∞
a)
d)
b)
e)
c)
f)
E?∞
7
3
E F
A
A
BB
C
C
D D
O 2
2
3
ABCD – trapecija BD AC4 cm, 8 cm= =
1
5
9
10
6
6
4
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas20
6.5. DAR KARTĄ STATIEJI TRIKAMPIAI
A
C Ba
cb
1 užduotis. Apskaičiuokite stačiojo �ABC (∠C = 90◦) statinio AC ilgį (0,1 cmtikslumu), kai įžambinė AB = 10 cm, o ∠B = 50◦.
A
BC
?
20∞
8
m
2 užduotis. Apskaičiuokite stačiojo �ABC (∠C = 90◦) statinio BC ilgį (0,1 cmtikslumu), kai įžambinė AB = 5 cm, o ∠B = 70◦.
A
BC?
25∞
9
m
3 užduotis. Apskaičiuokite stačiojo �ABC (∠C = 90◦) statinio AC ilgį (0,1 cmtikslumu), kai kitas statinis BC = 8 cm, o ∠B = 65◦.
A
BC
?
40∞2 m
DEM
O
21
33. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite:1) tikslią statinio AC ilgio reikšmę;2) tikslią statinio BC ilgio reikšmę;3) tikslias trikampio perimetro P ir ploto S reikšmes;4) apytiksles AC, BC, P ir S reikšmes (0,1 tikslumu). A
B
C36∞
4
c
m
A
B
C
2
c
m
32∞
34. Apskaičiuokite trikampio ABC (∠C = 90◦, ∠A = 40◦, AB = 10 cm, žr. p. 10,2 užduotį) statinių ilgių tikslias ir apytiksles reikšmes (dešimtųjų tikslumu).
35. Apskaičiuokite, kas turėtų būti parašyta vietoj klaustukų. Atsakyme surašykitetikslias reikšmes.
A
B
C
5
m
? m ?
?
?∞
?m
?cm
?∞
?∞D
E F3 cm
?
c
m
28∞ 57∞
66∞
M
P
T
1
a) b) c)
36. Pavaizduotas lygiagretainis ABCD (AB = 5 cm, ∠A = 40◦). Nubrėžta joaukštinė BE (ED = 3 cm).
1) Kam lygūs lygiagretainio kampų B, C ir D
dydžiai?2) Apskaičiuokite BE, AE, PABCD, SABCD
apytiksles reikšmes (0,1 tikslumu). A
B C
DE3 cm
5
c
m
40∞
lygiagretainiu.
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas22
APIBENDRINAME
Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas,kosinusas ir tangentasStačiojo trikampio smailiojo kampo:• sinusu vadiname prieš tą kampą esančio statinio
ilgio santykį su įžambinės ilgiu:
A
B
C
sin ∠A = BCAB
,
sin ∠B = ACAB ;
• kòsinusu vadiname prie to kampo esančio statinioilgio santykį su įžambinės ilgiu:
A
B
C
cos∠A = ACAB
,
cos∠B = BCAB ;
• tángentu vadiname prieš tą kampą esančio stati-nio ilgio santykį su kito statinio ilgiu:
A
B
C
tg ∠A = BCAC
,
tg ∠B = ACBC .
Smailiojo kampo sinuso ir kosinuso reikšmės yraintervalo (0; 1) skaičiai, o tangento reikšmės yraintervalo (0; +∞) skaičiai.Verta įsiminti!
– =A
sin – =A
cos – =A
tg – =A
30∞ 45∞ 60∞
–
–
—
—
—
—
—
1
2
1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
3
1 3
A
B
C
3
4
5
sin ∠A = 35 , sin ∠B = 4
5 ;
cos ∠A = 45 , cos ∠B = 3
5 ;
tg ∠A = 34 , tg ∠B = 4
3 .
Kai ∠A ∈ (0◦; 90◦), tai:0 < sin ∠A < 1,0 < cos ∠A < 1,tg ∠A > 0.
To paties kampo sinuso, kosinuso ir tangento ryšiai
(sin ∠A)2 + (cos ∠A)2 = 1,sin∠Acos∠A
= tg ∠A.
(sin 30◦)2 + (
cos 30◦)2 == (1
2)2 + (√
32
)2 = 14 + 3
4 = 1.
sin 30◦cos 30◦ =
12√3
2
= 12 :
√3
2 == 1
2 · 2√3
= 1√3
= tg 30◦.
DEM
O
23
Smailiųjų kampų sinusų, kosinusų ir tangentų reikšmių lentelė
α = sin α ≈ cos α ≈ tg α ≈ α = sin α ≈ cos α ≈ tg α ≈1◦ 0,017 1,000 0,017 46◦ 0,719 0,695 1,0362◦ 0,035 0,999 0,035 47◦ 0,731 0,682 1,0723◦ 0,052 0,999 0,052 48◦ 0,743 0,669 1,1114◦ 0,070 0,998 0,070 49◦ 0,755 0,656 1,1505◦ 0,087 0,996 0,087 50◦ 0,766 0,643 1,1926◦ 0,105 0,995 0,105 51◦ 0,777 0,629 1,2357◦ 0,122 0,993 0,123 52◦ 0,788 0,616 1,2808◦ 0,139 0,990 0,141 53◦ 0,799 0,602 1,3279◦ 0,156 0,988 0,158 54◦ 0,809 0,588 1,376
10◦ 0,174 0,985 0,176 55◦ 0,819 0,574 1,42811◦ 0,191 0,982 0,194 56◦ 0,829 0,559 1,48312◦ 0,208 0,978 0,213 57◦ 0,839 0,545 1,54013◦ 0,225 0,974 0,231 58◦ 0,848 0,530 1,60014◦ 0,242 0,970 0,249 59◦ 0,857 0,515 1,66415◦ 0,259 0,966 0,268 60◦ 0,866 0,500 1,73216◦ 0,276 0,961 0,287 61◦ 0,875 0,485 1,80417◦ 0,292 0,956 0,306 62◦ 0,883 0,469 1,88118◦ 0,309 0,951 0,325 63◦ 0,891 0,454 1,96319◦ 0,326 0,946 0,344 64◦ 0,899 0,438 2,05020◦ 0,342 0,940 0,364 65◦ 0,906 0,423 2,14521◦ 0,358 0,934 0,384 66◦ 0,914 0,407 2,24622◦ 0,375 0,927 0,404 67◦ 0,921 0,391 2,35623◦ 0,391 0,921 0,424 68◦ 0,927 0,375 2,47524◦ 0,407 0,914 0,445 69◦ 0,934 0,358 2,60525◦ 0,423 0,906 0,466 70◦ 0,940 0,342 2,74726◦ 0,438 0,899 0,488 71◦ 0,946 0,326 2,90427◦ 0,454 0,891 0,510 72◦ 0,951 0,309 3,07828◦ 0,469 0,883 0,532 73◦ 0,956 0,292 3,27129◦ 0,485 0,875 0,554 74◦ 0,961 0,276 3,48730◦ 0,500 0,866 0,577 75◦ 0,966 0,259 3,73231◦ 0,515 0,857 0,601 76◦ 0,970 0,242 4,01132◦ 0,530 0,848 0,625 77◦ 0,974 0,225 4,33133◦ 0,545 0,839 0,649 78◦ 0,978 0,208 4,70534◦ 0,559 0,829 0,675 79◦ 0,982 0,191 5,14535◦ 0,574 0,819 0,700 80◦ 0,985 0,174 5,67136◦ 0,588 0,809 0,727 81◦ 0,988 0,156 6,31437◦ 0,602 0,799 0,754 82◦ 0,990 0,139 7,11538◦ 0,616 0,788 0,781 83◦ 0,993 0,122 8,14439◦ 0,629 0,777 0,810 84◦ 0,995 0,105 9,51440◦ 0,643 0,766 0,839 85◦ 0,996 0,087 11,43041◦ 0,656 0,755 0,869 86◦ 0,998 0,070 14,30142◦ 0,669 0,743 0,900 87◦ 0,999 0,052 19,08143◦ 0,682 0,731 0,933 88◦ 0,999 0,035 28,63644◦ 0,695 0,719 0,966 89◦ 1,000 0,017 57,29045◦ 0,707 0,707 1,000
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas24
SPRENDŽIAME
37. Apskaičiuokite stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) nežinomų kraštinių ilgiusir kampų dydžius (1◦ tikslumu), kai:1) žinomas įžambinės ilgis ir vieno smailiojo kampo dydis:
a) AB = 120 mm, ∠A = 25◦; b) AB = 85 dm, ∠B = 33◦;2) žinomas vieno statinio ilgis ir vieno smailiojo kampo dydis:
a) CB = 70 m, ∠A = 48◦; b) AC = 44 cm, ∠B = 70◦;3) žinomi vieno statinio ir įžambinės ilgiai:
a) AC = 24, AB = 35; b) AB = √101, BC = √
51;4) žinomi statinių ilgiai:
a) AC = 82, BC = 40; b) AC = BC = 2√
13.Atsakymus parašykite suapvalintus iki vienetų.
38. Nesinaudodami skaičiuotuvu ir lentele, nubraižykite kampą A. Tada išmatuokitejo dydį matlankiu, kai:a) sin ∠A = 3
5 ; b) cos ∠A = 25 ; c) tg ∠A = 11
4 .Gautus rezultatus patikrinkite naudodamiesi skaičiuotuvu ar lentele.
39. Įrodykite, kad stačiajam trikampiui ABC (∠C = 90◦) teisinga lygybė(sin ∠A)2 + (sin ∠B)2 = 1.
40. Surašykite skaičius didėjimo tvarka.a) sin 20◦, sin 41◦, sin 15◦, sin 73◦; b) cos 20◦, cos 41◦, cos 15◦, cos 73◦;c) tg 20◦, tg 41◦, tg 15◦, tg 73◦; d) sin 25◦, cos 25◦, tg 25◦, tg 45◦.
41. Įrodykite, kad stačiajam trikampiui ABC (∠C = 90◦) teisingos lygybės.a) sin ∠A = cos ∠B, sin(90◦ − ∠A) = cos ∠A;b) sin ∠B = cos ∠A, cos(90◦ − ∠A) = sin ∠A.
42. Įrodykite, kad:
a) 1 + (tg α)2 = 1(cos α)2 ; b) (cos α)2 = 1
1+(tg α)2 ; c) (sin α)2 = (tg α)2
1+(tg α)2 .
43. Apskaičiuokite x reikšmę (dešimtųjų tikslumu).
e)
b)
d)
a) c)
f)
A
B
CD x
x
x25∞
4 cm
2
c
m
A C
B
D30∞
x66∞
3
6
A
B
CD48∞
48∞
30∞
40∞
16
4
A
A
B
B
C
C
Dx
x10
10
DEM
O
25
44. Apskaičiuokite rombo ABCD kampų dydžius (laipsnio tikslumu) ir kraštinėsilgį, kai jo įstrižainių ilgiai yra AC = 14 cm, BD = 10 cm.
45. a) Apskaičiuokite atstumą tarp A ir B. b) Apskaičiuokite upės plotį.A
B
C
40∞25
m
A
BC
D
50∞
8m
12 m
c) Apskaičiuokite stulpo aukštį.
50∞ 35∞35 m
46. Kodėl padidėjo lentos plotas?
1 12
2
3
3
4
4
1 pav. 2 pav.
Šachmatų lenta (jos matmenys 8 × 8) supjaustyta į 4 dalis taip, kaip parodyta1 pav. Iš tų 4 dalių sudėta stačiakampė lenta (jos matmenys 5×13), kaip parodyta2 pav.
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas26
Smailiojo kampo sekantas, kosekantas ir kotangentas
Turint statųjį trikampį ABC (∠C = 90◦), galima užrašyti šešis kraštinių ilgių santy-kius:
A
B
C
1) BCAB , 2) AC
AB , 3) BCAC ,
4) ABBC , 5) AB
AC , 6) ACBC .
Mes jau žinome, kad matematikai tris pirmuosius santykius „pakrikštijo“ kampo A
sinusu, kosinusu ir tangentu:
BC
AB= sin ∠A,
AC
AB= cos ∠A,
BC
AC= tg ∠A.
Kiti likę trys santykiai kampo A atžvilgiu taip pat turi savo pavadinimus ir žymenis:
AB
BC= cosec∠A,
AB
AC= sec ∠A,
AC
BC= ctg ∠A.
Kitaip sakant, su stačiojo trikampio smailiuoju kampu yra susiję 6 skaičiai:• sinusas –– santykis statinio ilgio prieš tą kampą su įžambinės ilgiu;• kosinusas –– santykis statinio ilgio prie to kampo su įžambinės ilgiu;• tangentas –– santykis statinio ilgio prieš tą kampą su kito statinio ilgiu;• kosèkantas –– santykis įžambinės ilgio su prieš tą kampą esančio statinio ilgiu;• sèkantas –– santykis įžambinės ilgio su prie to kampo esančio statinio ilgiu;• kotángentas –– santykis statinio ilgio prie to kampo su kito statinio ilgiu.
Santykiai BCAB
ir ABBC
yra vienas kitam atvirkštiniai, todėl
cosec∠A = 1sin ∠A
, sec ∠A = 1cos ∠A
, ctg ∠A = 1tg ∠A
.
Taigi šių trijų santykių (cosec, sec, ctg) prisireikia retai.
DEM
O
Besidomintiems27
Funkcijos y = sin x, y = cos x, y = tg x, kai x∈ (0◦; 90◦)
Nagrinėkime, kaip keičiasi sin x reikšmė y, kampui x didėjant nuo 0◦ iki 90◦. Kitaipsakant, nagrinėkime funkciją y = sin x, kai x ∈ (0◦; 90◦).Koordinačių plokštumoje sužymėję taškus (x; sin x), gausime y = sin x grafiką. Ma-tome, kad x reikšmėms didėjant y reikšmės didėja nuo 0 iki 1.Funkcijos y = sin x apibrėžimo sritis yra x ∈ (0◦; 90◦), reikšmių sritis –– y ∈ (0; 1).Funkcija yra didėjanti.
6∞ 12∞ 18∞ 24∞ 30∞ 36∞ 42∞ 48∞
45∞
54∞ 60∞ 66∞ 72∞ 78∞ 84∞ 90∞0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Y
X
yx
sin=
y
xc
o
s
=
yx
t
g
=
Užduotis. Apibūdinkite funkcijas y = cos x ir y = tg x, kai x ∈ (0◦; 90◦).
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas28
TESTAS
47. Pabaikite sakinį.a) Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusu vadiname...b) Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusu vadiname...c) Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentu vadiname...
A statinio, esančio prieš tą kampą, ilgio santykį su kito statinio ilgiuB statinio, esančio prieš tą kampą, ilgio santykį su įžambinės ilgiuC statinio, esančio prie to kampo, ilgio santykį su kito statinio ilgiuD statinio, esančio prie to kampo, ilgio santykį su įžambinės ilgiu
48.
A B
C
3 4
5
a) sin ∠A =b) cos ∠A =c) tg ∠A =
A 45 B 3
5 C 43 D 3
4A 4
5 B 35 C 4
3 D 34
A 45 B 3
5 C 43 D 3
4
49.
A
B
C
a) sin ∠A =b) cos ∠B =c) tg ∠A =
A ACAB B BC
AB C ACBC D BC
AC
A ACAB B BC
AB C ACBC D BC
AC
A ACAB
B BCAB
C ACBC
D BCAC
50. a) sin 30◦ = A 12 B
√2
2 C√
32 D Kitas atsakymas
b) cos 45◦ = A 12 B
√2
2 C√
32 D Kitas atsakymas
c) tg 60◦ = A 12 B
√2
2 C√
32 D Kitas atsakymas
51.
A B
C
65∞2
a) AC = A 2 · sin 65◦ B 2 · cos 65◦ C 2 · tg 65◦b) BC = A 2 · cos 25◦ B 2 · sin 25◦ C 2 · tg 25◦
52.
A
B
C
60∞ 1
0
c
m
a) AB = A 5 cm B 5√
3 cm C 0,5 cm D√
32 cm
b) AC = A 5 cm B 5√
3 cm C 0,5 cm D√
32 cm
53. Kuriame iš pavaizduotų trikampių kampo A sinuso reikšmė lygi√
32 ?
A B C DA A
A
A
B B B
B
C C
C
C
2
2
3
3 3
3
1
1
DEM
O
29
54.
A B
C
a) CB =A AB · sin ∠B B AB · cos ∠A C AB · cos ∠B D AB · tg ∠B
b) CB =A AC · tg ∠A B AC · tg ∠B C AC · cos ∠B D AC · sin ∠A
55.
35∞5
A
B C
DE
ABCD –– lygiagretainis,AB = 5 cm, AD = 10 cm,∠A = 35◦.
Jei sin 35◦ ≈ 0,6, cos 35◦ ≈ 0,8, tg 35◦ ≈ 0,7, tai:a) BE = A 3 cm B 4 cm C 3,5 cm D 6 cmb) AE = A 3 cm B 4 cm C 3,5 cm D 6 cmc) SABCD = A 60 cm2 B 30 cm2 C 40 cm2 D 35 cm2
56. Kam lygi reiškinio reikšmė?
a) sin 60◦ + cos 30◦ A√
3 B√
34 C
√3+12 D 1
b) tg 45◦ + 2 · sin 30◦ A 32 B
√2+22 C 2 D 1 + √
3
c) (sin 45◦)2 − 2 · cos 45◦ A 12 − √
2 B 1−√2
2 C 1 − √2 D −1
257. Pavaizduotas trikampis supjaustytas į 4 dalis (žr. 1 pav.). Iš tų dalių sudėtas kitas
trikampis (žr. 2 pav.). Iš kur atsirado ta „skylutė“?A Apatinė figūra (2 pav.), įskaitant ir skylutę, nėra trikampisB Stebuklas
1 pav.
2 pav.
?
DEM
O
6 Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas30
PASITIKRINAME
58. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) sin 30◦ + cos 60◦; b) cos 30◦ + sin 45◦;
c) tg 45◦ − cos 45◦ + 2 · sin 60◦; d)(
sin 60◦)2 − (cos 30◦)2;
e)(
sin 25◦)2 + (cos 25◦)2; f)
(cos 10◦)2 + (
sin 10◦)2.
30∞ 45∞A D
B E
C F
59. Stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) kampo A dydis lygus 10◦, o įžambinė lygi10 cm. Apskaičiuokite trikampio:a) statinių ilgius; b) plotą; c) aukštinės, nubrėžtos į įžambinę, ilgį;d) trikampio ABC visų trijų vidurio linijų ilgius.Atsakymus parašykite dešimtųjų tikslumu.
A
B
C
D
.
DEM
O
31
60.
A
B C
DE
10
20
F
Duota: ABCD –– lygiašonė trapecija,AB = 10 cm, BC = 20 cm,∠A = 45◦.
Apskaičiuokite trapecijos:a) aukštinės ilgį; b) ilgesniojo pagrindo ilgį;c) plotą; d) vidurio linijos ilgį.
61. Kas turėtų būti parašyta vietoj daugtaškių?
a b
cαβ
a) sin α = ······ ; b) sin β = ······ ;c) cos α = ······ ; d) cos β = ······ ;e) tg α = ······ ; f) tg β = ······ .
62. Apskaičiuokite trikampio ABC (∠C = 90◦) nežinomus kraštinių ilgius (dešim-tųjų tikslumu) ir kampų dydžius (1◦ tikslumu), jei:
A
BC
a) AB = 2 cm, ∠A = 35◦;b) AC = 2 cm, ∠B = 20◦;c) AC = 2 cm, AB = 3 cm;d) AC = 4 cm, CB = 1 cm.
63. Saulės spinduliai su žemės paviršiumi sudaro 60◦ kampą. Apskaičiuokite me-džio, kurio aukštis yra 24 metrai, šešėlio ilgį (0,1 m tikslumu).
64. Pavaizduotas stačiãkampis ABCD (AD > AB),kurio perimetras lygus 40 cm, o įstrižainė BD sukraštine AD sudaro 30◦ kampą. Apskaičiuokitestačiakampio kraštinių ilgius (0,1 cm tikslumu). 30∞
A
B C
D
65. Gedimino pilies kalno aukštis nuo papėdės yra apie 48 m. Kalno šlaitai suhorizontu sudaro apie 37◦ kampą. Kokį maždaug atstumą metrais reikia įveikti,einant tiesia linija, norint pasiekti Gedimino pilį trumpiausiu keliu?
66. Apskaičiuokite stačiojo trikampio perimetrą, jei jo įžambinės ilgis lygus 28 cm, ovienas iš smailiųjų kampų lygus 55◦. Atsakymą užrašykite decimetro tikslumu.
DEM
O
142
Atsakymai
Trapecijos vidurio linija
1. a) 12,5 cm; b) 14,5 cm.
2. 12 cm2.
3. a) 8; b) 5; c) 24; d) 24.
4. 1) 15 dm; 2) 7 dm, 23 dm; 3) 90 dm2.
5. 360 mm2.
6. a) SABC = 12 · AC · BD = 1
2 · 2MN · BD = MN · BD;
b) SABCD = 12 · (AD + BC) · BE = 1
2 · 2MN · BE = MN · BE.
DEM
O
143
Atsakymai
Kartojame tai, ko prireiks 6 skyriuje
7. a) AC = 2√
5 cm, S�ABC = 4 cm2;b) FE = 2
√2 cm, S�DEF = 3
√2 cm2;
c) NP = 2 m, MP = 2√
2 m, S�MNP = 2 m2.
8. a) P = 15 + 5√
3 m, S = 12,5√
3 m2;b) P = 6 + 2
√3 cm, S = 2
√3 cm2;
9. a) ∠C = 30◦, ∠B = 60◦; b) ∠A = 30◦, ∠C = 60◦; c) ∠A = ∠C = 45◦.
10. a) Pagal dvi proporcingas krastines ir lygu kampa tarp ju.b) Kampai yra lygus.c) Krastines yra proporcingos.
11. AC1 = 1,6 cm, 7,5 cm, P�ABC = 5 · P�AB1C1 , S�ABC = 25 · S�AB1C1 .
DEM
O
144
Atsakymai
6.1. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas
12. a) sin ∠A = 35 , sin ∠B = 4
5 ;
b) sin ∠A = 2√5
, sin ∠B = 1√5
;
c) sin ∠A = 3√13
, sin ∠B = 2√13
;
d) sin ∠A =√
32 , sin ∠B = 1
2 ;
e) sin ∠A =√
32 , sin ∠B = 1
2 ;
f) sin ∠A = 12 , sin ∠B =
√3
2 ;
g) sin ∠A = sin ∠B =√
22 ;
h) sin ∠A = sin ∠B =√
22 .
13. 2) sin 20◦ ≈ 0,3, sin 70◦ ≈ 0,9;sin 40◦ ≈ 0,6, sin 50◦ ≈ 0,7;sin 60◦ ≈ 0,8, sin 30◦ ≈ 0,5;sin 80◦ ≈ 0,9, sin 10◦ ≈ 0,2.
14.
30∞
60∞2a a
3a
a) sin 30◦ = a2a
= 12 ;
b) sin 60◦ =√
3a2a
=√
32
15.
a
a2
a 45∞
45∞
sin 45◦ = a√2a
= 1√2
.
16. a) BC = 2a, AB = 3a; b) AC = 3a, AB = 4a; c) BC = 7a, AB = 10a.
17. Staciojo trikampio statinio ilgis a visada yra mazesnis uz izambines ilgi b. Sinu-sas yra statinio ilgio santykis su izambines ilgiu, t. y. a
b . Santykis ab yra mazesnis
uz 1, nes a < b. Santykis ab > 0, nes a ir b yra teigiami skaiciai.
DEM
O
145
Atsakymai
6.2. Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas
18. a) cos ∠A = 45 , cos ∠B = 3
5 ;
b) cos ∠A = 1√5
, cos ∠B = 2√5
;
c) cos ∠A = 2√13
, cos ∠B = 3√13
;
d) cos ∠A = 12 , cos ∠B =
√3
2 ;
e) cos ∠A = 12 , cos ∠B =
√3
2 ;
f) cos ∠A =√
32 , cos ∠B = 1
2 ;
g) cos ∠A = cos ∠B =√
22 ;
h) cos ∠A = cos ∠B =√
22 .
19.
30∞
60∞2a a
3a
a) cos 30◦ =√
3a2a
=√
32 ;
b) cos 60◦ = a2a
= 12 .
20.
a
a2
a 45∞
45∞
cos 45◦ = a√2a
= 1√2
.
21. a) AC = 2a, AB = 3a; b) BC = 2a, AB = 5a; c) AC = 4a, AB = 10a.
22. sin ∠A = BCAB
, cos ∠A = ACAB
;
(sin ∠A)2 + (cos ∠A)2 = BC2
AB2 + AC2
AB2 = BC2+AC2
AB2 = AB2
AB2 = 1.
23. Kosinusas –– tai statinio ilgio a santykis su izambines ilgiu c. Tas santykis:ac > 0, nes a > 0, c > 0;ac �= 0, nes a �= 0;ac < 1, nes a < c.
DEM
O
146
Atsakymai
6.3. Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentas
24. a) tg ∠A = 34 , tg ∠B = 4
3 ;
b) tg ∠A = 12 , tg ∠B = 2;
c) tg ∠A = 1,5, tg ∠B = 23 ;
d) tg ∠A = √3, tg ∠B = 1√
3;
e) tg ∠A = √3, tg ∠B = 1√
3;
f) tg ∠A = 1√3
, tg ∠B = √3;
g) tg ∠A = tg ∠B = 1;h) tg ∠A = tg ∠B = 1.
25.
30∞
60∞2a a
3a
3
3a
3a
3
a
a2
a 45∞
45∞
a) tg 30 —– — ;∞ = =
b) tg 60 —– ;∞ = =
c) tg 45 – 1.∞ = =a
a
aa
1
26. a) BC = a, AC = 2a; b) AC = 3a, BC = a;c) BC = 6a, AC = 10a; d) AC = 5a, BC = 2a.
27. tg ∠A = BCAC
, sin ∠A = BCAB
, cos ∠A = ACAB
;sin∠Acos∠A
= BCAB : AC
AB = BCAB · AB
AC = BCAC = tg ∠A.
28. Taip.
29. a) 12 +
√3
2 + 1√3
= 1+√3
2 + 1√3
=√
3+3+22√
3= 5+√
32√
3;
b) 2 ·√
22 + 1
2 − 12 = √
2.DEM
O
147
Atsakymai
6.4. Kaip rasti kampo dydį, žinant jo sinuso, kosinuso ar
tangento reikšmę
30. a) ∠A ≈ 59◦, ∠C ≈ 31◦, AC = √34;
b) ∠A ≈ 39◦, ∠C ≈ 51◦, AC = √41;
c) ∠A ≈ 40◦, ∠C ≈ 50◦, BC = √69;
d) ∠A ≈ 72◦, ∠C ≈ 18◦, AC = 2√
10;e) ∠A ≈ 47◦, ∠C ≈ 43◦, BC = 3,2
√3;
f) ∠A ≈ 53◦, ∠C ≈ 37◦, AC = 5.
31. ∠A ≈ 27◦, ∠B ≈ 63◦.
32. a) ∠CAD ≈ 31◦, ∠CAB = 59◦;b) ∠A ≈ 48◦, ∠D ≈ 132◦;c) ∠A ≈ 25◦;d) ∠ABE ≈ 11◦, ∠D ≈ 34◦;e) ∠ABO ≈ 63◦, ∠BCO ≈ 27◦;f) ∠B ≈ 117◦, ∠C ≈ 63◦.
DEM
O
148
Atsakymai
6.5. Dar kartą statieji trikampiai
33. 1) AC = 4 · cos 36◦ (cm);2) BC = 4 · sin 36◦ (cm);3) P = 4 + 4 · cos 36◦ + 4 · sin 36◦ (cm), S = 8 · sin 36◦ · cos 36◦ (cm2);4) AC ≈ 3,2 cm, BC ≈ 2,4 cm, P ≈ 9,6 cm, S ≈ 3,8 cm2.
34. AC = 10 · cos 40◦ ≈ 7,7 cm, BC = 10 · sin 40◦ ≈ 6,4 cm.
35. a) AC = 5 · sin 66◦, BC = 5 · cos 66◦, ∠A = 24◦;b) DE = 3 · tg 28◦, DF = 3
cos 28◦ , ∠D = 62◦;
c) MT = 1sin 57◦ , MP = tg 33◦, ∠T = 33◦.
36. 1) ∠C = 40◦, ∠B = ∠D = 140◦;2) BE ≈ 3,2 cm, AE ≈ 3,8 cm, PABCD ≈ 23,6 cm, SABCD ≈ 21,8 cm2.
DEM
O
149
Atsakymai
Sprendžiame
37. 1) a) AC = 120 · cos 25◦ ≈ 109 mm, BC = 120 · sin 25◦ ≈ 51 mm, ∠B = 65◦;b) AC = 85 · sin 33◦ ≈ 46 dm, BC = 85 · cos 33◦ ≈ 71 dm, ∠A = 57◦;
2) a) AC = 70tg 48◦ = 70 · tg 42◦ ≈ 63 m, AB = 70
sin 48◦ ≈ 94 m, ∠B = 42◦;
b) BC = 44tg 70◦ = 44 · tg 20◦ ≈ 16 cm, AB = 44
sin 70◦ ≈ 47 cm, ∠A = 20◦;
3) a) BC = √649 ≈ 25, ∠A ≈ 47◦, ∠B = 43◦;
b) AC = 5√
2 ≈ 7, ∠A ≈ 45◦, ∠B ≈ 45◦;4) a) AB = √
8324 = 2√
2081 ≈ 91, ∠A ≈ 44◦, ∠B = 46◦;b) AB = √
104 = 2√
26 ≈ 10, ∠A = ∠B = 45◦.
38. a) ∠A ≈ 37◦; b) ∠A ≈ 66◦; c) ∠A ≈ 51◦.
39.
A
B
C
sin ∠A = BCAB , sin ∠B = AC
AB ;
(sin ∠A)2 = BC2
AB2 , (sin ∠B)2 = AC2
AB2 ;
(sin ∠A)2 + (sin ∠B)2 = BC2
AB2 + AC2
AB2 == BC2+AC2
AB2 = AB2
AB2 = 1.
40. a) sin 15◦, sin 20◦, sin 41◦, sin 73◦; b) cos 73◦, cos 41◦, cos 20◦, cos 15◦;c) tg 15◦, tg 20◦, tg 41◦, tg 73◦; d) sin 25◦, tg 25◦, cos 25◦, tg 45◦.
41.
A
B
C
a) sin ∠A = BCAB
, cos ∠B = BCAB
; 90◦ − ∠A = ∠B,
sin(90◦ − ∠A) = sin ∠B = ACAB ; cos ∠A = AC
AB .
b) sin ∠B = ACAB , cos ∠A = AC
AB ;
90◦ − ∠A = ∠B, cos(90◦ − ∠A) = cos ∠B = BCAB
, sin ∠A = BCAB
.
42. tg α = sin αcos α .
a) 1 + ( sin αcos α
)2 = 1 + (sin α)2
(cos α)2 = (cos α)2
(cos α)2 + (sin α)2
(cos α)2 = (cos α)2+(sin α)2
(cos α)2 = 1(cos α)2 ;
b) 11+(tg α)2 = 1
1+ (sin α)2
(cos α)2
= 1(cosα)2+(sin α)2
(cos α)2
= 11
(cos α)2= (cos α)2;
c) (tg α)2
1+(tg α)2 =(
sin αcos α
)2
1+(
sin αcos α
)2 =(sin α)2
(cos α)2
(cosα)2+(sin α)2
(cos α)2
=(sin α)2
(cosα)21
(cosα)2= (sin α)2
(cos α)2 · (cos α)2
1 = (sin α)2.
43. a) 4 · tg 48◦ ≈ 4,4; b) 8 · tg 48◦ ≈ 8,9; c) 12 · cos 66◦ ≈ 4,9; d) 5√
3 − 3;e)
√4 − 16 · (tg 25◦)2 ≈ 0,7 cm; f) 10·sin 40◦
cos 20◦ ≈ 6,8.
DEM
O
150
Atsakymai
Sprendžiame
44. AB = √73, ∠A ≈ 70◦, ∠C ≈ 70◦, ∠B ≈ 110◦, ∠D ≈ 110◦.
45. a) AB = 25 · tg 40◦ ≈ 25 · 0,8 = 20 (m);b) AD = 12 · tg 50◦ − 8 ≈ 12 · 1,2 − 8 = 6,4 (m);
50∞ 35∞35 m
A
B C D
AB = BC · tg 50◦ ≈ BC · 1,192,AB = (BC + 35) · tg 35◦ ≈ (BC + 35) · 0,7;
1,192BC = 0,7BC + 24,5,0,492BC = 24,5,BC ≈ 50 (m);AB ≈ 50 · 1,192 ≈ 60 (m).
46. 2 pav. turi buti toks:
Tarpo tarp daliu plotelio dydis lygus 1 langeliui.
DEM
O
151
Atsakymai
Testas
47. a) B; b) D; c) A.
48. a) A; b) B; c) C.
49. a) B; b) B; c) D.
50. a) A; b) B; c) D.
51. a) B; b) B.
52. a) A; b) B.
53. D.
DEM
O
152
Atsakymai
Testas
54. a) C; b) A.
55. a) A; b) B; c) B.
56. a) C; b) C; c) A.
57. A.
DEM
O
153
Atsakymai
Pasitikriname
58. a) 1; b)√
3+√2
2 ; c) 1 −√
22 + √
3; d) 0; e) 1; f) 1.
59. a) BC ≈ 1,7 cm, AC ≈ 9,8 cm; b) 8,6 cm2; c) 1,7 cm;d) 5 cm; 0,9 cm; 4,9 cm.
DEM
O
154
Atsakymai
Pasitikriname
60. a) 5√
2 cm; b) 20 + 10√
2 cm; c) 100√
2 + 50 cm2; d) 20 + 5√
2 cm.
61. a) sin α = ac ; b) sin β = b
c ; c) cos α = bc ; d) cos β = a
c ; e) tg α = ab ; f) tg β = b
a .
62. a) ∠B = 55◦, AC ≈ 1,6 cm, BC ≈ 1,1 cm;b) ∠A = 70◦, AB ≈ 5,8 cm, BC ≈ 5,5 cm;c) BC ≈ 2,2 cm, ∠A ≈ 48◦, ∠B ≈ 42◦;d) AB ≈ 4,1 cm, ∠A ≈ 14◦, ∠B ≈ 76◦.
63. ≈ 13,9 m.
64. AB ≈ 7,3 cm, AD ≈ 12,7 cm.
65. ≈ 80 m.
66. ≈ 7 dm.
DEM
O
ISBN 978-609-433-015-5
DEM
O
