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Matematika spanyol nyelven emelt szint — írásbeli vizsga 1811

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MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

2019. május 7. 8:00

Időtartam: 300 perc

Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati

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9.

má

jus

7.

Matematika spanyol nyelven emelt szint

1811 írásbeli vizsga 2 / 24 2019. május 7.

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Informaciones importantes 1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 300 minutos, acabado este tiempo debe

finalizar el trabajo.

2. El orden para resolver los ejercicios es opcional.

3. En la parte II solo tiene que resolver cuatro de los cinco ejercicios propuestos. Tiene que escribir el número del ejercicio que no resuelva en este cuadrado. Si para el profesor que corrige no queda absolutamente claro cuál es el ejercicio que el alumno no desea que se le corrija, entonces no recibirá puntos por el ejercicio 9.

4. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar otra ayuda electrónica ni impresa.

5. Por favor, especifique los pasos que ha seguido en el desarrollo del ejercicio hasta

llegar a la solución porque la mayoría de los puntos que puede obtener se dan por las explicaciones.

6. Preste atención a que todos los pasos en el proceso de la resolución puedan seguirse de

manera clara.

7. Durante el desarrollo de la explicación es aceptable el uso de la calculadora – sin más razonamiento – para las operaciones siguientes: suma, resta, multiplicación, división,

elevar a la potencia, sacar raíz, calcular n!,

kn

se pueden sustituir las tablas del libro de

fomulas (seno, coseno, tg, ctg, log y sus inversos), dar el valor aproximado de y e, determinar las raíces de la ecuación de segundo grado. En aquellos casos donde el texto del ejercicio no exige explicaciones detalladas también se puede utilizar la calculadora sin razonamiento matemático para determinar la media y la desviación típica. En cualquier otro caso, los cálculos con cálculadora hay que considerarlos como pasos sin razonamiento por los que no se pueden conceder puntos.

8. Al resolver los ejercicios, si necesita hacer referencia a alguno de los teoremas conocidos, (por ejemplo, el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura), no tiene que especificar su enunciado ni la demostración; es suficiente nombrarlos y aplicarlos explicando por qué puede hacerlo. Por otra parte, si necesita utilizar otros teoremas que no tienen nombre concreto, deberá comentar explícitamente su enunciado (sin demostración) y justificar su aplicación en el problema.



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9. Tiene que explicar el resultado (la respuesta del problema) también con alguna o algunas frases.

10. Escriba con bolígrafo. Se pueden hacer los dibujos a lápiz. Todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta.

11. Solo se puede puntuar una solución por ejercicio. En caso de que haya varios

procedimientos para la resolución, debe indicar, con absoluta claridad, cuál es el válido.

12. Por favor, no escriba nada en los recuadros de puntuación de color gris.



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I.

1. Resuelva las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales:

a) 2 22 31 2 8 0x x+ + ⋅ − =

b) 34 0sen x senx− =

a) 6 puntos

b) 7 puntos

T.: 13 puntos



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2. Para planificar la contrucción de una red de cables entre distintos pueblos tal que sus

gastos sean mínimos, al principio dibujaron un grafo completo. En este grafo cada vértice corresponde a los pueblos y cada arista a un cable. A continuación sobre cada arista del grafo anotaron los gastos de la construcción del cable asignado. Después borraron “las aristas de mayor coste”, una tras otra, de tal forma que después de borrarlas el grafo siguiera quedando conexo. Al borrar dos tercias partes de las aristas del grafo completo obtuvieron un grafo del árbol, (obtenemos la red de cables más económica).

a) ¿Cuántos pueblos participaron en este proyecto?

En un campeonato de fútbol en otoño participaron 10 pueblos donde cada uno de estos iba con un equipo. Cada equipo jugó un partido con el resto de los equipos. Los ganadores de cada partido obtenían 3 puntos, los perdedores 0 puntos, y si el partido quedaba en empate, ambos equipos obtenían un punto. Al final del campeonato la suma de los puntos obtenidos de los 10 equipos daba 130 puntos en total.

b) ¿Cuántos partidos terminaron en empate?

a) 6 puntos

b) 5 puntos

T.: 11 puntos



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3. Consideremos todos los números naturales de siete cifras los cuales también contienen

todos los siguientes dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a) Cogemos cada número de siete cifras y lo anotamos en un papel rectangular de

medida 0,5 x 2 cm (un número de siete cifras en un rectángulo). ¿Será suficiente para cortar 8 folios de medida A4 para todos estos papelitos rectangulares? (Las medidas de un folio A4 son 21 cm x 29,7 cm.)

b) Ordenamos de menor a mayor todos estos números. Justifique que en la posición 721 se encuentra el 2134567.

Tenemos una hoja rectangular, de medidas 21 cm x 29,7 cm, y la doblamos por la diagonal (tal y como se puede observar en el dibujo adjunto).

c) Calcule el área de la parte doble (parte gris oscura en el

dibujo).

a) 4 puntos

b) 4 puntos

c) 5 puntos

T.: 13 puntos



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4. Cerca de la orilla del mar donde el fondo es llano se instalan cuatro detectores

(A, B, C, D). Se dibuja un plano donde las posiciones de los detectores en el sistema de coordenadas son: A(0; –12,5), B(10; –7,5), C(48; 14).

a) Justifique que los puntos A, B, y C no están alineados.

En este plano las unidades de los ejes de cordenadas equivalen a 20 m en la realidad.

b) ¿De cuántos metros sería la distancia real entre los puntos A y D si en el punto D instalan un detector que se encuentra a la misma distancia de A que de B, si además sabemos que la distancia entre el punto D y C es de 1000 m?

a) 4 puntos

b) 10 puntos

T.: 14 puntos



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II.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número

del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 5. Lanzamos un dado regular dos veces. Consideremos ahora el resultado del primer

lanzamiento como el primer término de una progresión aritmética, y el segundo, como la diferencia de esta progresión.

a) Entre estas progresiones ¿cuántas de ellas cumplen la condición de que la suma de

los primeros diez términos son menor de 100? (Dos progresiones son diferentes si tienen distintos números en los primeros términos o en su diferencia.)

Consideremos ahora todos los números enteros positivos de cuatro cifras los cuales no tienen entre las cifras algún 0.

b) ¿Cuántos números de cuatro cifras existirían entre ellos (en cualquier orden) de tal

manera que formaran términos consecutivos de una progresión aritmética?

Janka lanzó un dado regular cuatro veces. Se dió cuenta de que si el resultado del quinto lazamiento es un 3, entonces la media de los números obtenidos también será de 3. Si el resultado del quinto lazamiento es un 4, entonces la mediana de estos números también será de 4. Si el resultado del quinto lazamiento es un 5, entonces la moda (única) de estos números también será un 5.

c) ¿Cuáles serían los cuatro primeros resultados de los lanzamientos que realiza Janka?

(No importa el orden de los resultados.)

a) 5 puntos

b) 5 puntos

c) 6 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 6. La longitud del arco de un sector circular de radio r, es i. El perímetro de este sector

circular sería: 2r+i = 10 cm. a) Sea el radio del sector circular 2 cm. Determine el ángulo central α, el área del sector

circular T y además calcule también el radio de la base de un cono de revolución R, que va a tener este sector circular como superficie lateral.

b) Justifique que entre todos los sectores circulares posibles con perímetro de 10 cm,

tiene área máxima, el sector circular que tiene de ángulo central 2 radianes. a) c) Indique si la afirmación siguiente es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

El área de un sector circular que tiene 10 cm de perímetro es siempre menor que el área de un sector circular que tiene 20 cm de perímetro.

a) 5 puntos

b) 8 puntos

c) 3 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 7. Tenemos una caja con distintas bolas, 4 rojas y 3 verdes. En la caja introducimos s bolas

amarillas. De todas estas bolas sacamos dos con reemplazamiento. a) Determine el valor de s si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas sean

verdes es de 0,09.

Tenemos una caja con distintas bolas, 4 rojas, 3 verdes y k azules (k ≥ 1). De estas bolas sacamos tres sin reemplazamiento.

b) Justifique que la probabilidad de que las bolas sean de colores diferentes es:

72( 7)( 6)( 5)

kk k k+ + +

.

c) Determine el valor de k, si la probabilidad de que saquemos tres bolas diferentes es

la misma que la probabilidad de que saquemos tres bolas y todas estas sean azules.

a) 4 puntos

b) 5 puntos

c) 7 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 8. El largo de la superficie del agua del lago Balaton es de aproximadamente 76,5 km y la

anchura media es de aproximadamente 7,7 km. a) Calcule la profundidad media del Balaton si el volumen estimado del agua es de

2 mil millones m3. Escriba su respuesta en metros, redondeando un decimal.

Ádám y Misi quieren dar la vuelta alrededor del Balaton durante un día en bicicleta. La longitud de la pista de bicicletas es de 205 km. Parten inicialmente a las 7 de la mañana. Luego, hacen un descanso para comer y concluyen que su velociadad media antes del descanso fue de 16 km/h. Descansaron 60 minutos y después continuaron su viaje. Para llegar al destino antes del anochecer decidieron aumentar su velocidad media a unos 20 km/h en lo que queda de ruta. Así finalmente, volvieron de nuevo a su punto de partida a las 7 y media de la tarde.

b) ¿A qué hora descansaron los chicos?

La mayor anchura del Balaton se encuentra entre Balatonvilágos y Balatonalmádi, y es de aproximadamente 12,7 km.

c) ¿Cuántos metros tendría que subir al menos el faro, del nivel del agua para que los

bañistas que están en la playa de Balatonalmádi vean las señales de tormenta que emite el faro que está en el puerto de Balatonvilágos, si tenemos en cuenta la curvatura de la Tierra? (Consideramos la Tierra como una esfera de radio de 6370 km.)

a) 3 puntos

b) 6 puntos

c) 7 puntos

T.: 16 puntos



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del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 2. 9. En el siguiente dibujo adjunto representamos las

gráficas acotadas en el intervalo abierto ]x1; x2[, se puede observar la gráfica de la función f, la primera derivada f’, y la segunda derivada f”. Sin importar el orden, asignamos cada una de las tres funciones a cada una de las siguientes letras: a, b, c. Según la afirmación A de la tabla siguiente, en el dibujo de las gráficas, a correspondería con la función f, b sería la primera derivada f’ y finalmente c sería la segunda derivada f”. En la tabla también se puede observar todas las posibilidades que existen para ordenar las letras a, b y c.

a) Determine los valores lógicos de las afirmaciones B, C, D, E, F. Aquí no es necesario justificar sus respuestas. (Ya afirmamos que A es falsa.)

f f ′ f ′′ la afirmación es verdadera / falsa

A a b c falsa B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a

b) Partiendo de las relaciones entre la función y sus derivadas justifique que la

afirmación A es falsa.

En un sistema de cordenadas cartesianos se colocan los siguientes puntos:

A(0; 4), B(0; 1), C(p; 1), D(p; 4), donde p > 0. La curva2

4xy = divide en dos partes

iguales el área del rectángulo formado por ABCD. c) Justifique que p > 4, y posteriormente calcule el valor de p.

a) 3 puntos

b) 3 puntos

c) 10 puntos

T.: 16 puntos



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el número del ejercicio

puntuación máxima obtenida máxima obtenida

I. parte

1. 13

51

2. 11 3. 13 4. 14

II.parte

16

64

16 16 16 ← ejercicio no elegido

Puntuación de la parte escrita del examen 115

fecha profesor que corrige

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