Скуп комплексних бројева

скуп свих бројева

реални комплексни имагинарни

Andrija Stanković III/5Marija FilipovićPavle StojanovićPredmetni profesor-Vinka GrozdanovićPrva niška gimnazija ‘’Stevan Sremac’’

Дефиниција Скуп свих уређених парова реалних бројева у којем су

једнакост, сабирање и множење дефинисани на следећи начин:dbcadcba ,),(),(

),(),(),( dbcadcba

),(),(),( bcadbdacdcba

Rbaba ),,(),(

C

),( baz

назива се скупом комплексних бројева

а сваки такав уређен пар назива се комплексан број

Решење једначине зове се имагинарна јединица

Комплексан број се често пише и у алгебарском облику

012 x

1,1 2 ii

ibaz

Скуп комплексних бројева представља подскуп Декартовог производа са горе наведеним особинама.

RRC

0 x

y

a

b

z = a ,b = a + i b( )

Сваком комплексном броју

одговара

коњуговано комплексни број

односно

Cz

Cz

),(),,( bazbaz односно

ibazibaz ,

Операције са комплексним бројевима

Нека су дата два комплексна броја и тада се могу увести следеће операције:

• Сабирање:

• Одузимање:

111 ibaz 222 ibaz

)()( 212121 bbiaazz

)()( 212121 bbiaazz

Обзиром да је одузимање операција инверзна сабирању, ако је онда је , што значи да се разлика два комплексна броја геометријски може интерпретирати помоћу њиховог збира.

z = z + z1 2

z1

z2

z1

z2

z = z - z1 2

0 0

21 zzz 21 zzz

,

• Множење:

• Дељење се уводи као операција инверзна множењу:

)()( 2112212121 babaibbaazz

122

1 zzzzzz ))(( 2211 ibaibaiba , тј.

одакле добијамо систем од две једначине са две непознате:

baabb

bbaaa

221

221

Решавањем ове две једначине добија се

22

22

211222

22

2121 ,ba

babab

babbaa

a

, тј. i

bababa

babbaa

zz

z 22

22

211222

22

2121

2

1

Степеновање комплексног броја природним бројем се изводи помоћу операција множења:

putan

n zzzz ...

Напомена. Имамо да је 1,,1 224232 iiiiiiii уопште:

0,,1,,1 3424144 Nniiiiii nnnn

Манделбротов скуп или мапа квадрата

комплексних бројева• У наредном делу показаћемо како

генијалност математичког истраживања отвара врата новој, наизглед неисцрпној, ризници фантастичних слика и облика.

• Иза ових имагинација крије се фамилија идеја у свету опште познатих под називом “комплексни динамички системи “.

• У ствари, имамо посла са хаосом који се манифестује у комплексној равни. Видећемо како једноставна квадратна итерација даје изузетно компликоване фрактале који представљају експериментална открића савремене математике а уз помоћ рачунарске графике- Манделбротов скуп!

• Манделбротов скуп представља данас свакако најпопуларнији фрактал и један од најзанимљивијих математичких објекта.

• Многи математичари сматрају да он није само најкомплекснији већ и најлепши објекат кога су видели.

• Од 1979. године, када је Манделброт први пут публиковао резултате свог експеримента, сваким даном интерес за фрактале је у порасту.

• Данас , уз помоћ моћних рачунара као и великог броја графичких програма, Манделбротов скуп користи се за генерисање слика у области компјутерске графике. Тако је рад аматера математичара достигао неслућен и непредвидив значај .

zn=xn+iyn

zn+1=xn+1+iyn+1

c=a+ib

zn+1= zn2+

c

zn+1=(xn2-yn

2+a)+i (2xnyn+b)xn+1= xn

2-yn2+a

yn+1=2xnyn+bz=(x,y) z=x+iy

Интеративнипроцес:

x ->x2-y2+a z -> z2+ c: y ->2xy+b

Фрактална геометрија и фрактали у архитектуриМанделбротов скуп и скупови Џулија комплексне итерације

Фрактална геометрија и фрактали у архитектуриМанделбротов скуп и скупови Џулија комплексне итерацијепример

c=(a, b) = (1/2, -1/2) c= 1/2 -(1/2)iz0=(x0, y0) = (0, 0) z0=0

x1 = x02-y0

2 + a = 02-02+ 1/2 = 1/2y1= 2*x0*y0+ b = 2*0*0 + (-1/2) = -1/2

x2= x12-y1

2+ a = (1/2)2 -(-1/2)2 + 1/2 = 1/2y2= 2*x1*y1+ b = 2*(1/2)*(-1/2) + (-1/2) = -1

x3= x22 -y2

2+ a = (1/2)2 -(-1)2 + 1/2 = -1/4

y3 = 2*x2*y2+ b = 2*(1/2)*(-1) + (-1/2) = -3/2

z1= 1/2 –(1/2)i, z2= 1/2 –i, z3= -1/4 –(3/2)i, …

z1= (1/2, –(1/2)), z2=( ½, –1), z3= (-1/4, –(3/2)), …

Фрактална геометрија и фрактали у архитектуриМанделбротов скуп и скупови Џулија поље Џулија скупа

Поље Џулија скупа Kc се дефинише за сваки комплексни број c.

За сваку тачку z0 комплексне равни, генерише се низ z1, z2, z3, ...помоћу итерационог правила zn+1= zn

2+ c.

Ако низ не одлази у бесконачност(ограничен је–не тежи бесконачности), z0 припада Kc;ако низ одлази у бесконачност(није ограничен-тежи бесконачности), z0 не припада пољу Kc.

Критеријум: Ако је неки члан низа zj, на одстојању већем од два, од координатног почетка (|zj|>2) низ одлази у бесконачност и z0 не припада пољу Kc.

Фрактална геометрија и фрактали у архитектуриМанделбротов скуп и скупови Џулија поље Џулија скупа

Критеријум: Ако је неки члан низа zj, наодстојању већем

oд два, од координатног почетка z0 не припада пољу Kc.

Број итерација потребан да се дође до члана низа на одстојању већем од два, од координатног почетка може бити велики.

Да би се остварио у реалном времену, потребно је увести ограничење: максималан број итерација N.

Уколико после тог броја итерација растојање није веће од два, сматра се да z0 припада пољу Kc .

"Вечност није довољна да га се целог прегледа" (James Gleick)

Andrija Stanković III/5Marija FilipovićPavle StojanovićPredmetni profesor-Vinka GrozdanovićPrva niška gimnazija ‘’Stevan Sremac’’