Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
XIV. PREDAVANJE
7. Matematično modeliranje
kompleksnih dinamičnih sistemov
Razlogov za matematični opis naravnih sistemov je več. Matematični opis nam omogoča
izračun posameznih količin, ki določajo stanje sistema, napoved časovnega obnašanje
sistema, v posebnih primerih, kjer eksperiment ni mogoč (prehitro oziroma prepočasno
časovno spreminjanje količin sistema, prevelike oziroma premajhne dimenzije sistema), pa je
matematični pristop tudi edina možnost pri napovedi obnašanja sistema.
7.1 Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi
Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi poteka preko posameznih cikličnih faz v smislu
razvoja (evolucije) sistema v težnji po ujemanju rezultatov simulacije z dejstvi
(eksperimentalnimi rezultati). Gre za sistemski pristop reševanja problemov.
Izbira sistema in identifikacija parametrov pojava
Prvi korak k zasnovi matematičnega modela je opazovanje sistema. Izbira sistema je
pogojena z zastavljenim problemom. Glede na zastavljen problem izberemo sistem (S), ki
ga ločimo od okolice.
Nadalje je pomembna identifikacija parametrov pojava (izbira količin, ki določajo stanje
sistema). Določiti je potrebno vhodno izhodne količine, ki ponazarjajo vpliv okolice na
stanje sistema ter količin znotraj sistema, ki določajo njegovo stanje.
Izbira bistvenih parametrov
V drugem koraku med količinami in parametri izberemo bistvene. Izbira pri tem ni
univerzalna in je odvisna predvsem od tega, katere količine na sistem bistveno vplivajo in kaj
nas v sistemu zanima (zastavitev problema).
Kot primer navedimo gibanje planeta okoli Sonca.
- V kolikor nas zanima tir in obhodni čas planeta, nas masa in velikost planeta ne
zanimata.
- Pri proučevanju težnostnega pospeška v gravitacijskem polju pa je pomembna masa
planeta in njegova velikost.
Zapis matematičnih relacij
Z izbiro ključnih parametrov sistem idealiziramo in ga opišemo v matematični obliki z
ustreznimi enačbami (algebrajske, diferencialne, diferenčne). S tem smo izdelali matematični
model.
Verifikacija matematičnega modela
Ko je matematični model izdelan, sledi pomemben korak. To je verifikacija modela. Pri tem
gre za reševanje enačb, pri čemer preverimo matematično pravilnost rešitev in fizikalno
logičnost. Rezultate fizikalno interpretiramo, jih primerjamo z rezultati eksperimentov in
ocenimo pravilnost oziroma natančnost matematičnega modela.
Razvoj strukture in dinamike sistema
Glede na ujemanje rezultatov med simulacijo matematičnega modela in eksperimentalnimi
rezultati, prilagodimo matematičen model v smislu njegove strukture in dinamike. Pri tem je
težnja po vključevanju minimalnega števila členov v model, ki še zadovoljivo opiše
delovanje obravnavanega sistema (minimalni model).
7.1.1 Kompleksnost strukture in dinamike sistemov
Sistemi v naravi in družbi so običajno zelo kompleksni tako v smislu njihove strukture kot
dinamike (procesi, ki potekajo znotraj kompleksnih struktur).
Struktura in dinamika sistemov sta med seboj povezani. Struktura sistema namreč narekuje
njegovo dinamiko, hkrati pa se v težnji po učinkovitejšem delovanju lahko glede na
dinamiko sistema spreminja njegova struktura (evolucija sistema).
kompleksnost sistemov
kompleksna struktura
kompleksna dinamika
struktura sistema
dinamika sistema
eksperiment
struktura
primerjava rezultatov (eksperiment, model)
dinamika sistema
PROBLEM
Vpliv tokov na strukturo sistema
Struktura in tokovi: vodni tok, toplotni tok, tok informacij, tok energije (hrane)
Struktura v naravi - Zlati rez (struktura, ki omogoča optimalni pretok)
Φ = 1,618034…
Φ = 1,618034…
Fibonaccijevo zaporedje
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, … Φ = 1,618034… Zaporedje ulomkov konvergira proti Φ
7.2 Vrste dinamičnih sistemov
7.2.1 Deterministični in stohastični sistemi
Deterministični sistemi
Če je sistem determinističen, to pomeni, da
lahko vsaj v principu napovemo njegovo
obnašanje (sistem je lahko tudi kaotičen).
Primer determinističnega sistema bi bila
recimo biljardna miza z biljardnimi kroglami,
kjer nam obnašanje krogel popiše kar
srednješolska fizika (to je Newtonova
mehanika).
�⃗�(𝑡) =𝑑�⃗�
𝑑𝑡, �⃗� = 𝑚�⃗�
1. Newtonov zakon: �⃗� = 0 (v = const.)
2. Newtonov zakon: m�⃗� = �⃗�,
3. Newtonov zakon: �⃗�ij = −�⃗�ji.
Stohastični sistemi
Stohastični sistemi so nasprotno sistemi,
katerih obnašanje je naključno, o tem kakšen
bo izid lahko govorimo le z določeno
verjetnostjo.
Primer enostavnega stohastičnega procesa je
metanje kocke ali dobitek na loto.
Sedmica: Štirica:
Modeliranje naključnih števil
Na začetku so zapisovali zaporedja naključnih števil. Rand Corp (1955) je s pomočjo rulete
zapisal zaporedje 1000000 števil iz katerega lahko sestavimo 125000 osemmestnih naključnih
števil.
Danes računalniški program določi naključno število v času simulacije. V večini programskih
paketov se uporabljajo linearni kongruentni grneratorji (dve števili sta kongruentni, če je
njun ostanek pri deljenju z istim deljiteljem enak).
Ni+1=aNi+b (mod m) , naslednik je ostanek pri deljenju z m
m – največja vrednost
oznaka: LCG(m, a, b, N0)
Najpogosteje: LCG(232
, 69069, 0, 1)
primer naključnega generatorja:
a=71, b=21, m=51
N0=62 (seme)
N1=71.62+21=4423 (mod 51)=37 4423/51=86,72 86
.51=4387 4423-4387=37
LCG(51, 71, 21, 62) LCG(232
, 69069, 0, 1)
8007006005004003002001000
70
60
50
40
30
20
10
0
TIME
N1
8007006005004003002001000
2e+32
1.8e+32
1.6e+32
1.4e+32
1.2e+32
1e+32
8e+31
6e+31
4e+31
2e+31
0
TIME
N2
7.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi
Časovno zvezne sisteme zapišemo z diferencialnimi enačbami, diskretne pa z diferenčnimi
enačbami.
Časovno zvezni sistemi
Razvoj sistemov v zvezdnem času
Poznamo parcialne in navadne diferencialne enačbe.
Pri navadnih diferencialnih enačbah imamo le eno neodvisno spremenljivko (čas), pri
parcialnih diferencialnih enačbah pa nastopa več neodvisnih spremenljivk.
Primer parcialne diferencialne enačbe je valovna enačba (časovna in krajevna odvisnost);
Odmik delcev iz ravnovesne lege vzdolž osi x,
Primer navadne diferencialne enačbe
Enačbo gibanja za dušen oscilator lahko zapišemo kot:
𝑚𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 + 𝑏𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0, katere rešitev je
)cos(0 texx d
bt
Primer parcialne diferencialne enačbe
Valovna enačba (časovna in krajevna odvisnost):
1
𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 −𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 = 0, katere rešitev je:
)sin(0 kxtuu
2
/2k
kc /
Diskretni sistemi
Primer preprostega enodimenzionalnega diskretnega sistema, ki ga je proučeval avstralski
fizik Robert May, opisuje razvoj populacije:
)1( nn1n xrxx ,
kjer je x število populacije v i-tem času, parameter r pa odraža dinamiko sistema. Enačba je
znana tudi kot logistična enačba.
7.2.3 Linearni in nelinearni sistemi
Linearni fizikalni sistem lahko opišemo z linearno diferencialno enačbo:
𝑓(𝑡) = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝑎2
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑥
𝑑𝑡2 ,
pri čemer so 𝑎𝑖 poljubne konstante .
Primeri linearnih diferencialnih enačb
RC člen: 𝑑𝑈2
𝑑𝑡𝑅𝐶 + 𝑈2 = 𝑈1
dušeno nihanje: 𝑚𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0
Primer nelinearne diferencialne enačbe
Primer nelinearnega sistema je nihanje matematičnega nihala. Enačbo nihanja dušenega
matematičnega nihala zapišemo kot:
0)(sin2 2
02
2
ωdt
db
dt
d ω
dt
d
, bωω
dt
d2)(sin2
0
,
.
pri čemer je odklon nihala iz ravnovesne lege, b koeficient dušenja in 0 lastna frekvenca
nihala.
Linearizacija
Nelinearne sisteme lahko lineariziramo v bližnjem območju ravnovesnih leg. Funkcijo
razvijemo v taylorjevo vrsto okoli ravnovesnega stanja – upoštevamo le linearni člen.
primer:
)0cos(0)()0(sin)(sin
02 2
02
2
ωdt
db
dt
d ω
dt
d
, bωω
dt
d22
0
7.2.4 Dimenzija sistemov
Pri proučevanju časovnega poteka obnašanja sistema imamo običajno opravka s sistemom
navadnih diferencialnih enačb I. reda
).....,,( n21ii xxxfx , xi(0)=x0,i i=1,2,3, …, N
Diferencialne enačbe višjega reda z uvedbo nove spremenljivke prevedemo na sistem enačb I.
reda.
Primer:
Diferencialna enačba II reda (2 dimenzionalni sistem)
02 2
02
2
xωdt
dxb
dt
xd v
dt
dx , bvxω
dt
dv22
0
Število diferencialnih enačb I. reda oziroma največja stopnja odvoda določa dimenzijo
sistema.
N – dimenzija sistema (1D, 2D, 3D)
Dimenzija sistema vpliva na določene lastnosti sistema:
- V 1D sistemu ne moremo dobiti oscilacij,
- Dimenzija kaotičnih sistemov mora biti N>2.
7.3 Opredelitev odnosov med količinami stanja
7.3.1 Linearne in nelinearne zveze
Linearna zveza: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Nelinearna zveza: 𝑦 = f (𝑥) , primer: 𝑦 = a ∙ sin (𝑥)
7.3.2 Pozitivni in negativni vplivi
(pozitiven in negativen vpliv; +,-)
Primeri:
b(a)=ka b(a)=ka2 b(a)=k/a
db/da=k db/da=2ka db/da=-k/a2
Več zaporednih vplivov:
Liho število negativnih vplivov negativen vpliv
Sodo število negativnih vplivov pozitiven vpliv
a b(a)
a b(a) c(b) d(c) e(d)
a
b(a)
7.3.2 Povratna vezava
Linearne zveze med količinami:
𝑏 = 𝐾0𝑎 + 𝐾2𝑐
𝑐 = 𝐾1𝑏
𝑐 = 𝑎𝐾0𝐾1
1 − 𝐾1𝐾2
7.2.3 Primeri zapisa matematičnih relacij
Fizika
1. Sila vzgona in upora na letalsko krilo v odvisnosti od naklona krila
𝐹𝑢~∆𝑝 ∙ 𝑆 =𝜌𝑣2
2𝑆
𝐹𝑢 = 𝑐𝑢(𝛼)𝜌𝑣2
2𝑆,
𝐹𝑣𝑧𝑔 = 𝑐𝑣𝑧𝑔(𝛼)𝜌𝑣2
2𝑆
upor vzgon
b c
a
K0 K1
K2
-20 -10 0 10 20 30 40
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Fvzg
[N]
[°]
-20 -10 0 10 20 30 40
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Fu [N]
[°]
Biologija
2. Populacijska dinamika
Dve vrsti tekmujeta za isto hrano (travo), ki je omejena.
Ostali vplivi (plenilci, ostala hrana, …) so zanemarljivi.
- imamo dve vrsti živali (zajci in ovce),
- zajci se hitreje razmnožujejo kot ovce,
- vsaka vrsta se lahko razmnoži do nekega maksimalnega števila ob odsotnosti druge vrste,
- obe vrsti tekmujeta za isto hrano, ki je omejena (konflikt),
- konflikt med vrstama se bolj pozna pri zajcih (so manjši in jih je več, ko pride do konflikta).
x – zajci y - ovce
�̇� = 3𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥(3 − 𝑥 − 2𝑦)
�̇� = 2𝑦 − 𝑦2 − 𝑥𝑦 = 𝑦(2 − 𝑦 − 𝑥)
Kemija
Signalna molekula S reagira s kinazo E, pri čemer nastane kompleks SE. Nastanek
kompleksa določa sklopitvena konstanta , razpad pa razklopitvena konstanta . Nato se
kinaza E v kompleksu SE fosforilira z reakcijsko konstanto . S tem postane kinaza aktivna
Ep in je podvržena defosforilaciji, hitrost katere določa konstanta .
SEES
, EpSpSE
, pEEp
.
Družba
Romeo in Julija. Bolj je Romeo zaljubljen v Julijo bolj ga ona zavrača. Bolj je Julija
zaljubljena v Romea, bolj jo on ljubi.
R=Romeova ljubezen do Julije J=Julina ljubezen do Romea
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝑎𝐽,
𝑑𝐽
𝑑𝑡= −𝑏𝑅
7.4 Ponazoritev dinamičnih sistemov
Blokovne sheme
Količine, ki določajo stanje sistema, in njihove tokove ponazorimo z blokovnimi shemami.
Naloga:
Nariši blokovne sheme za naslednje enačbe:
a) 1D sistem
dx/dt=-k
dx/dt=k1-k2
dx/dt=k1x(t)
dx/dt=-x(t)
b) 2D sistem
dx/dt=v, dv/dt=a, a=g-kv
dx/dt=v, dv/dt=a, a=g-kv
02 2
02
2
xωdt
dxb
dt
xd v
dt
dx , bvxω
dt
dv22
0
x(t) y(t)
7.5. Simulacija dinamike sistemov
Analitična rešite
Numerično reševanje diferencialnih enačb
7.5.1 Numerično reševanje diferencialnih enačb
Diferencialna enačba: 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡) , 𝑥(0) = 𝑥0
Iterativno reševanje diferencialnih enačb.
Diferencialno enačbo zapišemo v diferenčno obliko.
Eulerjeva metoda:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑡𝑖)∆𝑡
𝑡𝑖+1 = 𝑡𝑖 + ∆𝑡
Pri Eulerjevi metodi rešitev aproksimiramo s tangento.
Primeri:
1. Enakomerno gibanje (ds/dt=v0)
i ti si
0 t0 s0
1 t1=t0+t s1= s0+v0t
2 t2=t1+t s2= s1+v0t
3 t3=t2+t s3= s2+v0t
2. Met navzgor brez upora (dh/dt=v, dv/dt=-g)
i ti vi hi
0 t0 v0 h0
1 t1=t0+t v1= v0-gt h1= h0+v0t
2 t2=t1+t v2= v1-gt h2= h1+v1t
3 t3=t2+t v3= v2-gt h3= h2+v2t
3. Poševni met (dx/dt=vx, dvx/dt=0, dy/dt=vy, dvy/dt=-g)
i ti vx,i vy,i xi yi
0 t0 v0 vy0 x0 y0
1 t1=t0+t v1= v0+0 vy1= vy0-gt x1= x0+v0t y1= y0+vy0t
2 t2=t1+t v2= v1+0 vy2= vy1-gt x2= x1+v0t y2= y1+vy1t
3 t3=t2+t v3= v2+0 vy3= vy2-gt x3= x2+v0t y3= y2+vy2t
Obstajajo tudi druge metode. V praksi se je najbolj uveljavila metoda Runge-Kutta 4. reda
Metoda Runge-Kutta
Da določimo čim natančnejši premik, izračunamo vrednost funkcije 𝑓(𝑥, 𝑡) v m-točkah.
Tako dobimo m-premikov v smeri tangent, na koncu pa sestavimo premik iz uteženega
povprečja dobljenih premikov.
Dvostopenska eksplicitna Runge-Kutta metoda
k1=f(t, yi)
k2=f(t+t/2, yi+k1/2)
yi+1=yi+k2t
Metoda Runge-Kutta 4-reda
k1=f(t, yi)
k2=f(t+t/2, yi+k1/2)
k3=f(t+t/2, yi+k2/2)
k4=f(t+t, yi+k3)
yi+1=yi+1/6(k1+2k2+2k3+ k4)t
7.5.2 Vloga računalnika pri simulaciji dinamičnih sistemov
Tabelarično orientirani računalniški programi
Excel
Grafično orientirani računalniški programi
Matlab (Simulink)
Dynasys
Powersim
Stella
Vensim
Berkely Madonna
7.6 Ponazoritev dinamike sistemov
7.6.1 Prikaz časovne odvisnosti
Časovno zvezni sistemi
Primer 1: Linearni sistem
�̇� = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑡 =1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥 → 𝑡 = ∫
1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
𝑡 =1
𝑎𝑙𝑛 |
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎𝑥0 + 𝑏| → 𝑥 = 𝑓(𝑡)
Primer 2: Nelinearni sistem
�̇� = sin(𝑥)
𝑑𝑡 =1
sin 𝑥𝑑𝑥 → 𝑡 = ∫
1
sin 𝑥𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
𝑡 = 𝑙𝑛 |
1sin 𝑥0
+1
tg 𝑥0
1sin 𝑥
+1
tg 𝑥
| → 𝑥 = 𝑓(𝑡)
Diskretni sistemi
Primer preprostega enodimenzionalnega diskretnega sistema, ki ga je proučeval avstralski
fizik Robert May. Sistem opisuje razvoj populacije:
)1( nn1n xrxx ,
kjer je x število populacije v i-tem času, parameter r pa odraža dinamiko sistema. Enačba je
znana tudi kot logistična enačba.
a=0,1, b=-1
302520151050
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
N
x
7.6.2 Vektorsko polje in trajektorije v fazni ravnini
V nadaljevanju si bomo ogledali prikaz spreminjajoče se količine v vektorskem polju.
1D sistem
Ker imamo opravka z eno-dimenzionalnimi sistemi, govorimo o tako imenovanem
vektorskem polju na premici oziroma prikazu toka količine na premici.
Puščice na sliki predstavljajo smeri hitrostnih vektorjev spreminjajoče se količine x.
Če je 𝒅𝒙/𝒅𝒕 > 0 potem se vrednost količine x povečuje, kar ponazarjajo puščice v desno. V
primeru, ko je 𝒅𝒙/𝒅𝒕 < 0, se vrednost količine x zmanjšuje, kar ponazarjajo puščice v levo.
Velikost hitrosti določa velikost vrednosti 𝑑𝑥/𝑑𝑡.
2D sistem
Obnašanje sistema prikažemo v faznem prostoru, ki prikazuje, kako se ena količina
spreminja v odvisnosti od druge. Vsaka točka v dvodimenzionalnem faznem prostoru vsebuje
tri podatke (x1, x2, t). Če torej sledimo časovnemu poteku dinamičnega sistema, dobimo v
faznem prostoru krivuljo, ki prikazuje časovni potek dinamičnega sistema in jo imenujemo
trajektorija.
Primer 1:
�̇� = 𝑣
�̇� = −𝜔2𝑥
Primer 2:
�̇� = 𝑎𝑥
�̇� = −𝑦
0.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
x
v
3D sistem
Primer: Lorenzov kaotični sistem
σyσxx ,
xzyrxy ,
bzxyz ,
Prikaz kaotičnega gibanja Lorenzovega modela konvektivnega gibanja molekul
tekočine (enačba Napaka! Vira sklicevanja ni bilo mogoče najti.a,b,c; =10, r=28,
b=8/3) v faznem prostoru.
y
z
x
Vaje – Mat. mod. kompleksnih sistemov
1. Naloga
Let rakete na vodni pogon
2. Naloga
Čolniček na vodni pogon
primerjava zračnega in vodnega upora
Graf hitrosti in odmika čolnička v odvisnosti od časa
Graf maksimalnega odmika v odvisnosti od preseka luknje
3. Naloga
Kroženje lun okoli Jupitra
Masa Velika polos Obhodni čas Ekscentričnost Mala polos
m[kg] ai[km] t[s] e[] bi[km]
Io 8,93×1022 421800 152853 0,0041 421796
Europa 4,8×1022 671100 306822 0,0094 671070
Ganymede 1,48×1023 1070400 618153 0,0011 1070399
Callisto 1,08×1023 1882700 162666 0,0074 1882648
Vj0 – vektor začetne hitrosti Jupitra
rj0 – krajevni vektor začetne lege Jupitra
vi0 – vektor začetne hitrosti i-te lune (1 – Io, 2 – Europa, 3 – Ganymede, 4 – Callisto)
Ri – razdalja med i-to luno in Jupitrom
Fgj – vektor gravitacijske sile na Jupiter
Fgi – absolutna vrednost gravitacijske sile na i-to luno
mi – masa i-te lune
M – masa Jupitra
G – gravitacijska konstanta [𝑘𝑚3
𝑘𝑔 ℎ2]
a – velika polos eliptičnega tira
b – mala polos
e – ekscentričnost
4
10 8,918
i i
ij
m vkm
vM h
4
10 227,1
i i
ij
m r
r kmM
0
0
2i
abv
T
21b a e
2 2( ) ( )i i j i jR x x y y
2
igi
i
m MF G
R
(sila na luno)
4
1
gj gi
i
F F
(sila na jupiter)
gix ix giF k F , ( )
cos( )i j
ix
i
x xk
R
(x-os)
giy iy giF k F , ( )
sin( )i j
iy
i
y yk
R
(y-os)
4. Naloga
Let smučarskega skakalca.
−𝐹𝑔 − 𝐹𝑢𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
−𝐹𝑢𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑢𝑦 =1
2𝑟𝑜𝑐𝑦𝑆𝑣𝑦
2
𝐹𝑢𝑥 =1
2𝑟𝑜𝑐𝑥𝑆𝑣𝑥
2
𝑐𝑥 = 0,0103𝛾
𝑐𝑦 = −0,00025𝛾2 + 0,0228𝛾 − 0,092
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑣𝑦
𝑣) 𝛾 = 𝛽 − 𝛼
ℎ = 80m ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥/70m) − 83m
Tir leta pri spreminjanju začetnega odriva