27
XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični opis naravnih sistemov je več. Matematični opis nam omogoča izračun posameznih količin, ki določajo stanje sistema, napoved časovnega obnašanje sistema, v posebnih primerih, kjer eksperiment ni mogoč (prehitro oziroma prepočasno časovno spreminjanje količin sistema, prevelike oziroma premajhne dimenzije sistema), pa je matematični pristop tudi edina možnost pri napovedi obnašanja sistema. 7.1 Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi poteka preko posameznih cikličnih faz v smislu razvoja (evolucije) sistema v težnji po ujemanju rezultatov simulacije z dejstvi (eksperimentalnimi rezultati). Gre za sistemski pristop reševanja problemov. Izbira sistema in identifikacija parametrov pojava Prvi korak k zasnovi matematičnega modela je opazovanje sistema. Izbira sistema je pogojena z zastavljenim problemom. Glede na zastavljen problem izberemo sistem (S), ki ga ločimo od okolice. Nadalje je pomembna identifikacija parametrov pojava (izbira količin, ki določajo stanje sistema). Določiti je potrebno vhodno izhodne količine, ki ponazarjajo vpliv okolice na stanje sistema ter količin znotraj sistema, ki določajo njegovo stanje. Izbira bistvenih parametrov V drugem koraku med količinami in parametri izberemo bistvene. Izbira pri tem ni univerzalna in je odvisna predvsem od tega, katere količine na sistem bistveno vplivajo in kaj nas v sistemu zanima (zastavitev problema). Kot primer navedimo gibanje planeta okoli Sonca. - V kolikor nas zanima tir in obhodni čas planeta, nas masa in velikost planeta ne zanimata. - Pri proučevanju težnostnega pospeška v gravitacijskem polju pa je pomembna masa planeta in njegova velikost. Zapis matematičnih relacij Z izbiro ključnih parametrov sistem idealiziramo in ga opišemo v matematični obliki z ustreznimi enačbami (algebrajske, diferencialne, diferenčne). S tem smo izdelali matematični model.

7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

XIV. PREDAVANJE

7. Matematično modeliranje

kompleksnih dinamičnih sistemov

Razlogov za matematični opis naravnih sistemov je več. Matematični opis nam omogoča

izračun posameznih količin, ki določajo stanje sistema, napoved časovnega obnašanje

sistema, v posebnih primerih, kjer eksperiment ni mogoč (prehitro oziroma prepočasno

časovno spreminjanje količin sistema, prevelike oziroma premajhne dimenzije sistema), pa je

matematični pristop tudi edina možnost pri napovedi obnašanja sistema.

7.1 Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi

Prepoznavanje sistemov v naravi in družbi poteka preko posameznih cikličnih faz v smislu

razvoja (evolucije) sistema v težnji po ujemanju rezultatov simulacije z dejstvi

(eksperimentalnimi rezultati). Gre za sistemski pristop reševanja problemov.

Izbira sistema in identifikacija parametrov pojava

Prvi korak k zasnovi matematičnega modela je opazovanje sistema. Izbira sistema je

pogojena z zastavljenim problemom. Glede na zastavljen problem izberemo sistem (S), ki

ga ločimo od okolice.

Nadalje je pomembna identifikacija parametrov pojava (izbira količin, ki določajo stanje

sistema). Določiti je potrebno vhodno izhodne količine, ki ponazarjajo vpliv okolice na

stanje sistema ter količin znotraj sistema, ki določajo njegovo stanje.

Izbira bistvenih parametrov

V drugem koraku med količinami in parametri izberemo bistvene. Izbira pri tem ni

univerzalna in je odvisna predvsem od tega, katere količine na sistem bistveno vplivajo in kaj

nas v sistemu zanima (zastavitev problema).

Kot primer navedimo gibanje planeta okoli Sonca.

- V kolikor nas zanima tir in obhodni čas planeta, nas masa in velikost planeta ne

zanimata.

- Pri proučevanju težnostnega pospeška v gravitacijskem polju pa je pomembna masa

planeta in njegova velikost.

Zapis matematičnih relacij

Z izbiro ključnih parametrov sistem idealiziramo in ga opišemo v matematični obliki z

ustreznimi enačbami (algebrajske, diferencialne, diferenčne). S tem smo izdelali matematični

model.

Page 2: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Verifikacija matematičnega modela

Ko je matematični model izdelan, sledi pomemben korak. To je verifikacija modela. Pri tem

gre za reševanje enačb, pri čemer preverimo matematično pravilnost rešitev in fizikalno

logičnost. Rezultate fizikalno interpretiramo, jih primerjamo z rezultati eksperimentov in

ocenimo pravilnost oziroma natančnost matematičnega modela.

Razvoj strukture in dinamike sistema

Glede na ujemanje rezultatov med simulacijo matematičnega modela in eksperimentalnimi

rezultati, prilagodimo matematičen model v smislu njegove strukture in dinamike. Pri tem je

težnja po vključevanju minimalnega števila členov v model, ki še zadovoljivo opiše

delovanje obravnavanega sistema (minimalni model).

7.1.1 Kompleksnost strukture in dinamike sistemov

Sistemi v naravi in družbi so običajno zelo kompleksni tako v smislu njihove strukture kot

dinamike (procesi, ki potekajo znotraj kompleksnih struktur).

Struktura in dinamika sistemov sta med seboj povezani. Struktura sistema namreč narekuje

njegovo dinamiko, hkrati pa se v težnji po učinkovitejšem delovanju lahko glede na

dinamiko sistema spreminja njegova struktura (evolucija sistema).

kompleksnost sistemov

kompleksna struktura

kompleksna dinamika

struktura sistema

dinamika sistema

eksperiment

struktura

primerjava rezultatov (eksperiment, model)

dinamika sistema

PROBLEM

Page 4: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Struktura v naravi - Zlati rez (struktura, ki omogoča optimalni pretok)

Φ = 1,618034…

Page 5: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Φ = 1,618034…

Fibonaccijevo zaporedje

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, … Φ = 1,618034… Zaporedje ulomkov konvergira proti Φ

Page 6: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.2 Vrste dinamičnih sistemov

7.2.1 Deterministični in stohastični sistemi

Deterministični sistemi

Če je sistem determinističen, to pomeni, da

lahko vsaj v principu napovemo njegovo

obnašanje (sistem je lahko tudi kaotičen).

Primer determinističnega sistema bi bila

recimo biljardna miza z biljardnimi kroglami,

kjer nam obnašanje krogel popiše kar

srednješolska fizika (to je Newtonova

mehanika).

�⃗�(𝑡) =𝑑�⃗�

𝑑𝑡, �⃗� = 𝑚�⃗�

1. Newtonov zakon: �⃗� = 0 (v = const.)

2. Newtonov zakon: m�⃗� = �⃗�,

3. Newtonov zakon: �⃗�ij = −�⃗�ji.

Stohastični sistemi

Stohastični sistemi so nasprotno sistemi,

katerih obnašanje je naključno, o tem kakšen

bo izid lahko govorimo le z določeno

verjetnostjo.

Primer enostavnega stohastičnega procesa je

metanje kocke ali dobitek na loto.

Sedmica: Štirica:

Page 7: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Modeliranje naključnih števil

Na začetku so zapisovali zaporedja naključnih števil. Rand Corp (1955) je s pomočjo rulete

zapisal zaporedje 1000000 števil iz katerega lahko sestavimo 125000 osemmestnih naključnih

števil.

Danes računalniški program določi naključno število v času simulacije. V večini programskih

paketov se uporabljajo linearni kongruentni grneratorji (dve števili sta kongruentni, če je

njun ostanek pri deljenju z istim deljiteljem enak).

Ni+1=aNi+b (mod m) , naslednik je ostanek pri deljenju z m

m – največja vrednost

oznaka: LCG(m, a, b, N0)

Najpogosteje: LCG(232

, 69069, 0, 1)

primer naključnega generatorja:

a=71, b=21, m=51

N0=62 (seme)

N1=71.62+21=4423 (mod 51)=37 4423/51=86,72 86

.51=4387 4423-4387=37

LCG(51, 71, 21, 62) LCG(232

, 69069, 0, 1)

8007006005004003002001000

70

60

50

40

30

20

10

0

TIME

N1

8007006005004003002001000

2e+32

1.8e+32

1.6e+32

1.4e+32

1.2e+32

1e+32

8e+31

6e+31

4e+31

2e+31

0

TIME

N2

Page 8: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi

Časovno zvezne sisteme zapišemo z diferencialnimi enačbami, diskretne pa z diferenčnimi

enačbami.

Časovno zvezni sistemi

Razvoj sistemov v zvezdnem času

Poznamo parcialne in navadne diferencialne enačbe.

Pri navadnih diferencialnih enačbah imamo le eno neodvisno spremenljivko (čas), pri

parcialnih diferencialnih enačbah pa nastopa več neodvisnih spremenljivk.

Primer parcialne diferencialne enačbe je valovna enačba (časovna in krajevna odvisnost);

Odmik delcev iz ravnovesne lege vzdolž osi x,

Primer navadne diferencialne enačbe

Enačbo gibanja za dušen oscilator lahko zapišemo kot:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 + 𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0, katere rešitev je

)cos(0 texx d

bt

Primer parcialne diferencialne enačbe

Valovna enačba (časovna in krajevna odvisnost):

1

𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 −𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 = 0, katere rešitev je:

)sin(0 kxtuu

2

/2k

kc /

Diskretni sistemi

Primer preprostega enodimenzionalnega diskretnega sistema, ki ga je proučeval avstralski

fizik Robert May, opisuje razvoj populacije:

)1( nn1n xrxx ,

kjer je x število populacije v i-tem času, parameter r pa odraža dinamiko sistema. Enačba je

znana tudi kot logistična enačba.

Page 9: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.2.3 Linearni in nelinearni sistemi

Linearni fizikalni sistem lahko opišemo z linearno diferencialno enačbo:

𝑓(𝑡) = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑎2

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑥

𝑑𝑡2 ,

pri čemer so 𝑎𝑖 poljubne konstante .

Primeri linearnih diferencialnih enačb

RC člen: 𝑑𝑈2

𝑑𝑡𝑅𝐶 + 𝑈2 = 𝑈1

dušeno nihanje: 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0

Primer nelinearne diferencialne enačbe

Primer nelinearnega sistema je nihanje matematičnega nihala. Enačbo nihanja dušenega

matematičnega nihala zapišemo kot:

0)(sin2 2

02

2

ωdt

db

dt

d ω

dt

d

, bωω

dt

d2)(sin2

0

,

.

pri čemer je odklon nihala iz ravnovesne lege, b koeficient dušenja in 0 lastna frekvenca

nihala.

Linearizacija

Nelinearne sisteme lahko lineariziramo v bližnjem območju ravnovesnih leg. Funkcijo

razvijemo v taylorjevo vrsto okoli ravnovesnega stanja – upoštevamo le linearni člen.

primer:

)0cos(0)()0(sin)(sin

02 2

02

2

ωdt

db

dt

d ω

dt

d

, bωω

dt

d22

0

Page 10: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.2.4 Dimenzija sistemov

Pri proučevanju časovnega poteka obnašanja sistema imamo običajno opravka s sistemom

navadnih diferencialnih enačb I. reda

).....,,( n21ii xxxfx , xi(0)=x0,i i=1,2,3, …, N

Diferencialne enačbe višjega reda z uvedbo nove spremenljivke prevedemo na sistem enačb I.

reda.

Primer:

Diferencialna enačba II reda (2 dimenzionalni sistem)

02 2

02

2

xωdt

dxb

dt

xd v

dt

dx , bvxω

dt

dv22

0

Število diferencialnih enačb I. reda oziroma največja stopnja odvoda določa dimenzijo

sistema.

N – dimenzija sistema (1D, 2D, 3D)

Dimenzija sistema vpliva na določene lastnosti sistema:

- V 1D sistemu ne moremo dobiti oscilacij,

- Dimenzija kaotičnih sistemov mora biti N>2.

Page 11: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.3 Opredelitev odnosov med količinami stanja

7.3.1 Linearne in nelinearne zveze

Linearna zveza: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Nelinearna zveza: 𝑦 = f (𝑥) , primer: 𝑦 = a ∙ sin (𝑥)

7.3.2 Pozitivni in negativni vplivi

(pozitiven in negativen vpliv; +,-)

Primeri:

b(a)=ka b(a)=ka2 b(a)=k/a

db/da=k db/da=2ka db/da=-k/a2

Več zaporednih vplivov:

Liho število negativnih vplivov negativen vpliv

Sodo število negativnih vplivov pozitiven vpliv

a b(a)

a b(a) c(b) d(c) e(d)

a

b(a)

Page 12: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.3.2 Povratna vezava

Linearne zveze med količinami:

𝑏 = 𝐾0𝑎 + 𝐾2𝑐

𝑐 = 𝐾1𝑏

𝑐 = 𝑎𝐾0𝐾1

1 − 𝐾1𝐾2

7.2.3 Primeri zapisa matematičnih relacij

Fizika

1. Sila vzgona in upora na letalsko krilo v odvisnosti od naklona krila

𝐹𝑢~∆𝑝 ∙ 𝑆 =𝜌𝑣2

2𝑆

𝐹𝑢 = 𝑐𝑢(𝛼)𝜌𝑣2

2𝑆,

𝐹𝑣𝑧𝑔 = 𝑐𝑣𝑧𝑔(𝛼)𝜌𝑣2

2𝑆

upor vzgon

b c

a

K0 K1

K2

-20 -10 0 10 20 30 40

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Fvzg

[N]

[°]

-20 -10 0 10 20 30 40

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fu [N]

[°]

Page 13: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Biologija

2. Populacijska dinamika

Dve vrsti tekmujeta za isto hrano (travo), ki je omejena.

Ostali vplivi (plenilci, ostala hrana, …) so zanemarljivi.

- imamo dve vrsti živali (zajci in ovce),

- zajci se hitreje razmnožujejo kot ovce,

- vsaka vrsta se lahko razmnoži do nekega maksimalnega števila ob odsotnosti druge vrste,

- obe vrsti tekmujeta za isto hrano, ki je omejena (konflikt),

- konflikt med vrstama se bolj pozna pri zajcih (so manjši in jih je več, ko pride do konflikta).

x – zajci y - ovce

�̇� = 3𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥(3 − 𝑥 − 2𝑦)

�̇� = 2𝑦 − 𝑦2 − 𝑥𝑦 = 𝑦(2 − 𝑦 − 𝑥)

Kemija

Signalna molekula S reagira s kinazo E, pri čemer nastane kompleks SE. Nastanek

kompleksa določa sklopitvena konstanta , razpad pa razklopitvena konstanta . Nato se

kinaza E v kompleksu SE fosforilira z reakcijsko konstanto . S tem postane kinaza aktivna

Ep in je podvržena defosforilaciji, hitrost katere določa konstanta .

SEES

, EpSpSE

, pEEp

.

Družba

Romeo in Julija. Bolj je Romeo zaljubljen v Julijo bolj ga ona zavrača. Bolj je Julija

zaljubljena v Romea, bolj jo on ljubi.

R=Romeova ljubezen do Julije J=Julina ljubezen do Romea

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝑎𝐽,

𝑑𝐽

𝑑𝑡= −𝑏𝑅

Page 14: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.4 Ponazoritev dinamičnih sistemov

Blokovne sheme

Količine, ki določajo stanje sistema, in njihove tokove ponazorimo z blokovnimi shemami.

Naloga:

Nariši blokovne sheme za naslednje enačbe:

a) 1D sistem

dx/dt=-k

dx/dt=k1-k2

dx/dt=k1x(t)

dx/dt=-x(t)

b) 2D sistem

dx/dt=v, dv/dt=a, a=g-kv

dx/dt=v, dv/dt=a, a=g-kv

02 2

02

2

xωdt

dxb

dt

xd v

dt

dx , bvxω

dt

dv22

0

x(t) y(t)

Page 15: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.5. Simulacija dinamike sistemov

Analitična rešite

Numerično reševanje diferencialnih enačb

7.5.1 Numerično reševanje diferencialnih enačb

Diferencialna enačba: 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡) , 𝑥(0) = 𝑥0

Iterativno reševanje diferencialnih enačb.

Diferencialno enačbo zapišemo v diferenčno obliko.

Eulerjeva metoda:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑡𝑖)∆𝑡

𝑡𝑖+1 = 𝑡𝑖 + ∆𝑡

Pri Eulerjevi metodi rešitev aproksimiramo s tangento.

Page 16: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Primeri:

1. Enakomerno gibanje (ds/dt=v0)

i ti si

0 t0 s0

1 t1=t0+t s1= s0+v0t

2 t2=t1+t s2= s1+v0t

3 t3=t2+t s3= s2+v0t

2. Met navzgor brez upora (dh/dt=v, dv/dt=-g)

i ti vi hi

0 t0 v0 h0

1 t1=t0+t v1= v0-gt h1= h0+v0t

2 t2=t1+t v2= v1-gt h2= h1+v1t

3 t3=t2+t v3= v2-gt h3= h2+v2t

3. Poševni met (dx/dt=vx, dvx/dt=0, dy/dt=vy, dvy/dt=-g)

i ti vx,i vy,i xi yi

0 t0 v0 vy0 x0 y0

1 t1=t0+t v1= v0+0 vy1= vy0-gt x1= x0+v0t y1= y0+vy0t

2 t2=t1+t v2= v1+0 vy2= vy1-gt x2= x1+v0t y2= y1+vy1t

3 t3=t2+t v3= v2+0 vy3= vy2-gt x3= x2+v0t y3= y2+vy2t

Obstajajo tudi druge metode. V praksi se je najbolj uveljavila metoda Runge-Kutta 4. reda

Page 17: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Metoda Runge-Kutta

Da določimo čim natančnejši premik, izračunamo vrednost funkcije 𝑓(𝑥, 𝑡) v m-točkah.

Tako dobimo m-premikov v smeri tangent, na koncu pa sestavimo premik iz uteženega

povprečja dobljenih premikov.

Dvostopenska eksplicitna Runge-Kutta metoda

k1=f(t, yi)

k2=f(t+t/2, yi+k1/2)

yi+1=yi+k2t

Metoda Runge-Kutta 4-reda

k1=f(t, yi)

k2=f(t+t/2, yi+k1/2)

k3=f(t+t/2, yi+k2/2)

k4=f(t+t, yi+k3)

yi+1=yi+1/6(k1+2k2+2k3+ k4)t

Page 18: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.5.2 Vloga računalnika pri simulaciji dinamičnih sistemov

Tabelarično orientirani računalniški programi

Excel

Grafično orientirani računalniški programi

Matlab (Simulink)

Dynasys

Powersim

Stella

Vensim

Berkely Madonna

Page 19: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični
Page 20: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.6 Ponazoritev dinamike sistemov

7.6.1 Prikaz časovne odvisnosti

Časovno zvezni sistemi

Primer 1: Linearni sistem

�̇� = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑑𝑡 =1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥 → 𝑡 = ∫

1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥

𝑥

𝑥0

𝑡 =1

𝑎𝑙𝑛 |

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎𝑥0 + 𝑏| → 𝑥 = 𝑓(𝑡)

Primer 2: Nelinearni sistem

�̇� = sin(𝑥)

𝑑𝑡 =1

sin 𝑥𝑑𝑥 → 𝑡 = ∫

1

sin 𝑥𝑑𝑥

𝑥

𝑥0

𝑡 = 𝑙𝑛 |

1sin 𝑥0

+1

tg 𝑥0

1sin 𝑥

+1

tg 𝑥

| → 𝑥 = 𝑓(𝑡)

Diskretni sistemi

Primer preprostega enodimenzionalnega diskretnega sistema, ki ga je proučeval avstralski

fizik Robert May. Sistem opisuje razvoj populacije:

)1( nn1n xrxx ,

kjer je x število populacije v i-tem času, parameter r pa odraža dinamiko sistema. Enačba je

znana tudi kot logistična enačba.

a=0,1, b=-1

302520151050

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

0.55

0.5

N

x

Page 21: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

7.6.2 Vektorsko polje in trajektorije v fazni ravnini

V nadaljevanju si bomo ogledali prikaz spreminjajoče se količine v vektorskem polju.

1D sistem

Ker imamo opravka z eno-dimenzionalnimi sistemi, govorimo o tako imenovanem

vektorskem polju na premici oziroma prikazu toka količine na premici.

Puščice na sliki predstavljajo smeri hitrostnih vektorjev spreminjajoče se količine x.

Če je 𝒅𝒙/𝒅𝒕 > 0 potem se vrednost količine x povečuje, kar ponazarjajo puščice v desno. V

primeru, ko je 𝒅𝒙/𝒅𝒕 < 0, se vrednost količine x zmanjšuje, kar ponazarjajo puščice v levo.

Velikost hitrosti določa velikost vrednosti 𝑑𝑥/𝑑𝑡.

2D sistem

Obnašanje sistema prikažemo v faznem prostoru, ki prikazuje, kako se ena količina

spreminja v odvisnosti od druge. Vsaka točka v dvodimenzionalnem faznem prostoru vsebuje

tri podatke (x1, x2, t). Če torej sledimo časovnemu poteku dinamičnega sistema, dobimo v

faznem prostoru krivuljo, ki prikazuje časovni potek dinamičnega sistema in jo imenujemo

trajektorija.

Primer 1:

�̇� = 𝑣

�̇� = −𝜔2𝑥

Primer 2:

�̇� = 𝑎𝑥

�̇� = −𝑦

0.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

x

v

Page 22: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

3D sistem

Primer: Lorenzov kaotični sistem

σyσxx ,

xzyrxy ,

bzxyz ,

Prikaz kaotičnega gibanja Lorenzovega modela konvektivnega gibanja molekul

tekočine (enačba Napaka! Vira sklicevanja ni bilo mogoče najti.a,b,c; =10, r=28,

b=8/3) v faznem prostoru.

y

z

x

Page 23: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

Vaje – Mat. mod. kompleksnih sistemov

1. Naloga

Let rakete na vodni pogon

Page 24: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

2. Naloga

Čolniček na vodni pogon

primerjava zračnega in vodnega upora

Graf hitrosti in odmika čolnička v odvisnosti od časa

Graf maksimalnega odmika v odvisnosti od preseka luknje

Page 25: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

3. Naloga

Kroženje lun okoli Jupitra

Masa Velika polos Obhodni čas Ekscentričnost Mala polos

m[kg] ai[km] t[s] e[] bi[km]

Io 8,93×1022 421800 152853 0,0041 421796

Europa 4,8×1022 671100 306822 0,0094 671070

Ganymede 1,48×1023 1070400 618153 0,0011 1070399

Callisto 1,08×1023 1882700 162666 0,0074 1882648

Vj0 – vektor začetne hitrosti Jupitra

rj0 – krajevni vektor začetne lege Jupitra

vi0 – vektor začetne hitrosti i-te lune (1 – Io, 2 – Europa, 3 – Ganymede, 4 – Callisto)

Ri – razdalja med i-to luno in Jupitrom

Fgj – vektor gravitacijske sile na Jupiter

Fgi – absolutna vrednost gravitacijske sile na i-to luno

mi – masa i-te lune

M – masa Jupitra

G – gravitacijska konstanta [𝑘𝑚3

𝑘𝑔 ℎ2]

a – velika polos eliptičnega tira

b – mala polos

e – ekscentričnost

4

10 8,918

i i

ij

m vkm

vM h

4

10 227,1

i i

ij

m r

r kmM

0

0

2i

abv

T

21b a e

2 2( ) ( )i i j i jR x x y y

2

igi

i

m MF G

R

(sila na luno)

4

1

gj gi

i

F F

(sila na jupiter)

gix ix giF k F , ( )

cos( )i j

ix

i

x xk

R

(x-os)

giy iy giF k F , ( )

sin( )i j

iy

i

y yk

R

(y-os)

Page 26: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični
Page 27: 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov predavanj... · XIV. PREDAVANJE 7. Matematično modeliranje kompleksnih dinamičnih sistemov Razlogov za matematični

4. Naloga

Let smučarskega skakalca.

−𝐹𝑔 − 𝐹𝑢𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

−𝐹𝑢𝑥 = 𝑚𝑎𝑥

𝐹𝑢𝑦 =1

2𝑟𝑜𝑐𝑦𝑆𝑣𝑦

2

𝐹𝑢𝑥 =1

2𝑟𝑜𝑐𝑥𝑆𝑣𝑥

2

𝑐𝑥 = 0,0103𝛾

𝑐𝑦 = −0,00025𝛾2 + 0,0228𝛾 − 0,092

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑣𝑦

𝑣) 𝛾 = 𝛽 − 𝛼

ℎ = 80m ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥/70m) − 83m

Tir leta pri spreminjanju začetnega odriva