MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET „A”tancsics16.hu/matematika/doc/taneszkozok/h-amat0701-02_diak-mf_1felev.pdf · 6 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 071. számok és műveletek

MATEMATIKAKOMPETENCIATERÜLET„A”

Matematika7. évfolyamTANULÓI MUNKAFÜZET

1. félév

A kiadvány KHF/4004-17/2008. és KHF/4063-18/2008. engedélyszámon 2008. 08. 22. időponttóltankönyvi engedélyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás

feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag

ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné

Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet és Szeredi Éva

Alkotószerkesztő: Csahóczi Erzsébet és Kozics Anikó

Grafika: Király és Társa Kkt, dr. Fried Katalin

Lektor: Makara Ágnes

Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0701 – H-AMAT0702

© Szerzők:

Csahóczi Erzsébet, Kovács Csongorné, Szeredi Éva, Tóth László

Educatio Kht. 2008.

Tömeg: 620 grammTerjedelem: 28,07 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők:Tantárgypedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné

Tudományos-szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy KatalinTechnológiai szakértő: Karácsony Orsolya

tartalom

071. számok és műveletek

0711. A hatványozás fogalma és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0712. Számok normál alakja, mértékváltások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0713 . Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

0714. Műveletek tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

072. GEoMETriAi TrAnszforMációK 0721. Transzformációk, középpontos tükrözés, párhuzamos szárú szögek . . . . . . . . . . . . . 91

0722. Szimmetrikus alakzatok, paralelogramma, szabályos sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . 111

073. ARáNY, ARáNYossáG, százAlékszámÍtás, stAtIsztIkA 0731. Az arány fogalmának ismétlése és mélyítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 0732. Egyenes és fordított arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

074. számelmélet 0741. Oszthatóság, számolás maradékokkal, prímtényezős felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

sZáMoK és műveletek0711. A hatványozás fogalma és tulajdonságai

KÉSzíTETTÉK: CSAHóCzi ErzSÉbET, KOVÁCS CSONGOrNÉ, SzErEdi ÉVA

6 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 071. számok és műveletek tANulóI muNkAfüzet

1. FElaDatlaP

Szövegek „érdekeS” Számokkal

szemelvények

a) Egy lift nélküli ház harmadik emeletén lakó ember napi átlagban 140 lépcsőfokot jár meg. Ez évente több mint 500 000 lépcsőfokot jelent. 40 év leforgása alatt ez több mint 2 000 000 lépcső-fokot jelent, ami hozzávetőleg 300 km.

b) A Lektor magyar helyesírás- és ellenőrző és elválasztó program közel 105 szónak ismeri a tol-dalékos alakváltozásait. Ha ehhez hozzászámítjuk az igekötős alakokat és a szóösszetételeket, akkor elmondhatjuk, hogy 25 ∙ 106, egymástól eltérő nyelvi formát kezel.

c) Magyarországon fejenként és naponta átlagban 150 liter ivóvizet fogyasztunk (és csaknem ugyanennyit szennyvízzé alakítunk). Az iparban kb. 4,5 milliárd m3 vizet fogyasztunk évente. A balaton teljes vízmennyisége 1 800 000 000 m3!

d) Egy vasszög tömege körülbelül 2,8 g. Egy vasatom átmérője 0,000 000 028 cm. rajzolj mindegyikre egy-egy példát, használj különböző színeket! e) A kilőtt rakéta kezdősebességének nagyságától és irányától függ, hogy visszaesik-e a Földre

vagy sem. Ha a kilövés sebessége 7,9 km/s (kozmikus sebesség), akkor az űrhajó a Föld körül kering.

f) A Marianna-árok a Föld legmélyebb pontja, Japán közelében húzódik, a tenger mélyén. A ten-gerszinthez viszonyított magassága –11 033 m.

1. írd a szorzatalakot hatványalakba, a hatványalakot szorzatalakba! Számítsd ki az értékét!

a) 5 ∙ 5 ∙ 5

(–3) ∙ ( –3) ∙ ( –3) ∙ ( –3)

10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

(–1) ∙ (–1) ∙ (–1) ∙ (–1) ∙ (–1) ∙ (–1) ∙ (–1) ∙ (–1)

– 18

∙ – 18

110

∙ 110

∙ 110

∙ 110

0,2∙0,2∙0,2

1,5 ∙ 1,5

23

∙ 23

∙ 23

∙ 23

b) 34 26 107

(–3)4 (–10)3 (–1)9

12

4 0,32 1,12

(–0,5)3

tANulóI muNkAfüzet 0711. A hatványozás fogalma és tulajdonságai 7

2. írd a szorzatalakot hatványalakba, a hatványalakot szorzatalakba! Számítsd ki az értékét!

a) 5 ∙ 5 ∙ 5 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

(–1)∙(–1)∙(–1)∙(–1) (–1)∙(–1)∙(–1)∙( –1)∙( –1)∙( –1)∙( –1)

17

∙ 17

– 17

∙ – 17

110

∙ 110

∙ 110

0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2

0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 25

∙ 25

∙ 25

∙ 25

b) 1010

(–2)5

13

(–3)5

(–10)4

210

34

2

344

(–0,3)2

1,52

(0,1)4

(–0,1)4

(–0,5)4

(–1)20

– 12

4


2. FElaDatlaP

1. Töltsétek ki a táblázat üres mezőit!

ezer száz tíz egy tized század ezred tízezred

1000

110000

0,001

103

2. írjátok be a helyi érték táblázatba a szemelvények szövegeiben található számokat!

109 108 107 106 105 104 103 102 10 1 110

1102

1103

1104

1105

1106

1107

1108

1109


3. Melyik több? Tedd ki a megfelelő (<, >, =) jelet! a)

103 105 110

3 110

5 1103

110

5

35

25

3–52 (–5)2 (–2)3 –23

110

4 1100

2 32

4 34

2 (–2)2 (–8)3

b) Melyik több és hányszor?

28 43 35 93 86 48

56 252 495 710 106 203

25 52 28 163 64 38

4. Csoportverseny Minden csoport kap nyolc számkártyát, ezeket kell nagyság szerint sorba rendezni:

ÖSSZEGZéSA hatványozás művelete az ismételt szorzás rövidítésére szolgál. Például:

105 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 100 000

Az ismétlődő szorzótényező (itt a 10) a hatvány alapja, a szorzótényezők darabszáma (itt az 5) a hatvány kitevője, és ezt a hatványt tíz az ötödiken-nek olvassuk.

A hatványozás felírása általánosan:an = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a … ∙ a

n darab tényező

Itt n a tényezők darabszáma, ha n egynél nagyobb pozitív egész szám.az an az a számnak az n-edik hatványa, a hatványalap a, n a hatványkitevő.Bármely pozitív természetes szám 0-dik hatványa 1-gyel egyenlő:

a0 = 1, ha a 0.

(–8)2 (–5)9 0,110 (–1)23 4 5

3 (–10)3 4 7

5 0,87


3. FElaDatlaP

1. írd be a hatványtáblázatba a megfelelő értékeket! Próbálj szabályosságokat keresni!

21= 31= 41= 51= 101=

22= 32= 42= 52= 102=

23= 33= 43= 53= 103=

24= 34= 44= 54= 104=

25= 35= 45= 55= 105=

26= 36= 46= 56= 106=

2. A három állítás közül kettő igaz, egy hamis. Melyik a hamis?

a) 2-nek van olyan hatványa, amelyik 4-nek is hatványa

b) 4-nek minden hatványa kettőnek is hatványa.

c) 2-nek minden hatványa 4-nek is hatványa.

3. Oldd meg a nyitott mondatokat a pozitív egész számok körében!

2a = 4b

a

b

2x = 3y

x

y

2s = 8t

s

t

3c = 9d

c

d

4r = 8m

r

m

5k = 10n

k

n


4. FElaDatlaP

1. Hány szorzással jutsz célba? Minden lépésben ugyanazzal a számmal szoroztunk.

a) Hány kettes tényező hiányzik?

1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 64 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 128

1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 256 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 512

b) Hány tényező hiányzik? Használhatod a hatványtáblázatot!

1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 ∙ 2 = 4096

1 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ … ∙ 4 ∙ 4 = 4096

1 ∙ 8 ∙ … ∙ 8 ∙ 8 = 4096

2. Milyen számokat jelölnek a betűk?

102 ∙ 103 = 10a a = …… 109 ∙ 103 ∙ 105 = 10b b = ……

103 ∙ 102 ∙ 105 ∙ 1010 = 10c c = …… 103 ∙ 103 ∙ 105 = 10d d = ……

10e ∙ 10e = 1010 e = …… 10f ∙ 10g = 1010 f = ……; g = ……

10h ∙ 10h ∙ 10h = 1012 h = …… 10i ∙ 10j ∙ 10k = 1012 i = ……; j = ……; k = ……

ÖSSZEGZéS

Azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevők összegződnek, mert a kitevők a tényezők darabszámát adják meg.

Azonos alapú hatványok szorzata olyan hatvány, amelynek az alapja ugyanaz, a kitevője pedig a tényezők kitevőinek összege. Például:

103 ∙ 102 ∙ 105 ∙ 1010 = 10(3+2+5+10) = 1020

a3 ∙ a2 ∙ a5 ∙ a10 = a(3+2+5+10) = a20

2k ∙ 2m = 2k+m

ak ∙ am = ak+m

3. Keresd meg a hiányzó kitevőket!

a)

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 210 23 ∙ 2 = 211

5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 53 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 515 33 ∙ 3 ∙ 32 ∙ 35 = 311


b) írd be a hiányzó hatványokat!

c) írd fel hatványalakban!

(10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) : (10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) =

= 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 107

104 = 107 : 104 =

(5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) : (5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5

5 ∙ 5 = 54

52 = 54 : 52 =

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

2 ∙ 2 ∙ 2 = 26

23 = 26 : 23 =

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 311

34 = 311 : 34 =

∙ 42

: 42

43 45

∙ 31

35 36

∙ ……

: 23

21 24

∙ 34

: ……

33 37

: ……

∙ ……

: ……

72 77

∙ ……

: ……

54 59

∙ a3

: ……

a5 a8

∙ ……

: ……

b5 b7


d) írd fel egyetlen hatványként!

105 : 102 = 69 : 62 =

911 : 95 = 37 : 36 =

510 : 55 = 212 : 24 : 23 =

315 : 312 = 78 : 74 : 72 =

205 : 202 = 118 : 114 : 111 =

a8 : a4 = b12 : b3 =

ÖSSZEGZéSAzonos alapú hatványok osztásakor az osztó kitevőjét kivonjuk az osztandó kitevőjéből.Azonos alapú hatványok hányadosa olyan hatvány, amelynek az alapja ugyanaz, a kitevője pedig a tényezők kitevőinek a különbsége. Például:

108 : 102 = 10(8–2) = 106

a8 : a5 = a(8–5) = a3

{ugyanez törtes alakban is: a8

a5 = a(8–5) = a3}

2k : 2m = 2k–m

ak : am = ak–m

Ezzel a feladattal ellenőrizheted, mennyire érted a hatványozást.írd fel az eredményt egyetlen hatványként!

52 ∙ 53 = 7 ∙ 74 ∙ 73 =

105 : 10 = 108 : 102 =

43 ∙ 48 : 45 = 1012 : 107 ∙ 104 =

írd be a hiányzó kitevőket!

8 ∙ 8 = 812 3 : 34 = 35

2 ∙ 28 : 25 = 27 115 : 112 : 11 = 11


5. FElaDatlaP

vegyeS gyakorló feladatok

1. Minden embernek két szülője van. A szülőknek is két szülőjük van, ez 2 ∙ 2 nagyszülőt jelent. A nagyszülők szülei még kétszerennyien vannak. Ez 22 = 4 nagyszülőt, 23 = 8 dédszülőt… a 10. lépésben 210 = 1024 őst jelent. 100 év alatt átlagosan több mint 3 leszármazott generáció kelet-kezik. Ez 1000 év alatt több mint 30 generációt jelent. Ennek alapján ki tudod találni, hogy 1000 évvel ezelőtt hány ősöd élt.

2. Milyen számokat írhatunk az n helyébe, hogy igaz legyen 600 < n4 < 6000? írjunk az n helyébe 10-et: 104 = 10 000. Ez jóval nagyobb, mint 6000, tehát a 10 túl nagy.

írjunk az n helyébe kisebbet, például 6-ot: 64 = 1296. Ebben az esetben igaz az egyenlőtlenség, mert 600 < 1296 < 6000. Jelöld az előbbi nyíldiagramon! írjunk az n helyébe még kisebb számot, például 3-at: 34 = 81. Ez már túl kicsi. Ezt is jelöld a fenti nyíldiagramon! Ezek szerint az n helyébe elég a 3 és a 10 közötti számok közül válogatnunk.

Próbálgass tovább!

3. Ebbe a pohárba egy olyan sejtet tettünk, amelyik percenként kettéosztódik. Az új sejtek ugyanak-korák, mint a régiek, és ezek is percenként kettéosztódnak. (Először 1 percnyi élet után osztódnak ketté.)

a) Hány perc múlva lesz 64 sejt a pohárban? b) Hány perc múlva lesz 128 sejt a pohárban? c) Hány perc múlva lesz 256 sejt a pohárban? d) Hány perc múlva lesz körülbelül 1000 sejt a pohárban? e) Hány perc múlva lesz körülbelül 106 sejt a pohárban? f) Hányadik percben lesz körülbelül 109 sejt a pohárban? g) A pohár 1 óra alatt telt meg. Tudod-e, hány perc múlva

volt félig a pohár? Mikor volt negyedrészig és mikor harmadrészig a pohár?

h) Három pohárba tettünk ugyanilyen sejtecskéket: az elsőbe 1-et, a másodikba 2-t, a harmadikba 4-et.

A harmadik pohár 1 óra alatt telt meg. Mennyi idő alatt telt meg a második pohár? És mennyi idő alatt az első pohár?

500 3000 60000 9000

n4

0n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Egy városban 4 kerület van. Minden kerületben van 4 utca van. Minden utcában 4 ház. Mindegyik házban 4 emelet, minden emeleten 4 lakás van. Minden lakásban négyen laknak. Hányan laknak a városban?

2. írd le a szorzatokat hatványalak segítségével rövidebben!

6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6

(–15) ∙ (–15) ∙ (–15) ∙ (–15)

0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2

(–5) ∙ (–5) ∙ (–5) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (–3)

x ∙ x ∙ y ∙ y ∙ x ∙ y ∙ x ∙ x ∙ x ∙ y ∙ y

(a+b) ∙ (a+b) ∙ (a+b) ∙ (a+b) ∙ (a+b)

k ∙ n ∙ n ∙ m ∙ n ∙ k ∙ k

3. írd fel szorzat alakban a következő hatványokat!

104 (–4)6

115 31

174 0,326

1,22 333

23

4

– 45

2

4. írd fel hatványalakban, majd számítsd ki!

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 (–5) ∙ (–5)

(–2) ∙ (–2) ∙ (–2) 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0

1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

0,1 ∙ 0,1 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1

5. Melyik a nagyobb? a) (–1)4 vagy (–1)5 23 vagy 32

52 vagy 25 106 vagy 107

0,13 vagy 0,12 50 vagy 0,52

b) 106 vagy 756 827 9 ∙ 107 vagy 934 ∙ 104

9 ∙ 32 ∙ 106 vagy 87 ∙ 105 6 ∙ 108 vagy 60 ∙ 107


6. igaz legyen! itt gyűjtsd a számokat!

a) 10 000 < 3n < 30 000 n:

b) 2b négyjegyű szám b:

c) 5c ötjegyű szám c:

d) 38 2a ∙ 3a 216 a:

7. írd át a műveletekben szereplő számokat hatványalakba! Végezd el a műveleteket! Ha ügyes vagy, minden eredményt kiolvashatsz a hatványtáblázatból.

a) 16 ∙ 16 = 8 ∙ 32 =

4 ∙ 16 = 32 ∙ 32 =

b) 16 ∙ 2048 4096 : 512

128 ∙ 256 81 ∙ 177 147

59 049 : 243 729 ∙ 243

59 049 : 19 683 6561 ∙ 2187

1 594 323 : 177 147 625 ∙ 15 625

7776 : 216 16 807 ∙ 343

390 625 : 78 125 16 807 ∙ 117 649

8. Figyeld meg a szabályszerűséget, és pótold a hiányzó részeket! Hány szorzással jutsz el az 1-től a végeredményig?

a)

b)

c)

1∙ 8 ∙ 8

………∙ 8

32 768

1∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

∙ 2………

∙ 2

∙ 2………

∙ 232 768

1∙ 4 ∙ 4

………∙ 4

32 768


9. Keress a megadott három hatvánnyal egyenlőket! Próbáld megoldani a feladatot minél kevesebb számolással!

2 ∙ 23 = 33 ∙ 33 = 4 ∙ 22 = 311 : 35 =

95 : 93 = 42 = 93 = 35 : 3 =

93 : 32 = 32 ∙ 92 = 156 : 56 = 124 : 34 =

82 : 4 = 34 =

10. Találd ki a hiányzó kitevőket!

511 ∙ 53 = 5a 72 ∙ 73 ∙ 75 = 7b

611 : 63 = 6a 72 ∙ 73 : 75 = 7b

10 ∙ 102 ∙ 102 ∙ 105 = 10c 113 ∙ 11d ∙ 115 = 1113

10 ∙ 109 : 102 ∙ 105 = 10c 113 ∙ 11d : 115 = 1113

2x ∙ 2x = 216 3x ∙ 3y = 312

220 : 2x = 212 3x : 3y = 32

6f ∙ 6f ∙ 6f = 612 7x ∙ 7y ∙ 7z = 710

615 : 6f : 62 = 612 7x ∙ 7y : 7y = 710

11. írd be a hiányzó adatokat!

2 = 43 3 = 93 2 = 83 3 = 272

3 = 62 4 = 82 4 = 83 3 = 273

9 = 273 3 = 272 54 = 25 56 = 125

28 = 4 212 = 4 212 = 4 212 = 6

212 = 2 38 = 4 38 = 2 3 = 272

12. Melyik nagyobb? Tedd közéjük a <, > vagy = jelet!

92 36 24

212 48 215 86 88 316312 98 68 316

45 103 220 106 59 1253210 103 410 106


13. Figyelmesen olvasd el a feladatot, és válaszolj a kérdésekre! Ebbe a pohárba egy olyan sejtet tettünk, amelyik percenként 4 részre osztódik. Az új sejtek ugyan-

akkorák, mint a régiek, és ezek is percenként 4 részre osztódnak. (Először 1 percnyi élet után osz-tódnak 4 részre.) Ez a pohár 35 perc alatt telik meg.

a) 34 perc múlva a pohár mekkora részében lesznek sejtek?

b) Mikor lesz negyedrészéig a pohár?

c) Mikor lesz tizenhatod részig a pohár?

d) Hány perc múlva lesz 64 sejt a pohárban?

e) Hány perc múlva lesz 256 sejt a pohárban?

f) igaz-e, hogy 5 perc múlva 1000-nél több sejt van a pohárban?

g) igaz-e, hogy 10 perc múlva 3000-nél kevesebb sejt van a pohárban?

h) igaz-e, hogy 10 perc múlva 1 milliónál több sejt van a pohárban?

14. Hány részre osztódik percenként az a sejt, amelyikből 4 perc alatt 4096 sejt keletkezik osztódással? Próbálgass!

Lehet-e, hogy percenként 5 részre osztódik? Lehet-e, hogy percenként 10 részre osztódik?


Hatványtáblázat

sZáMoK és műveletek0712. számok normál alakja, mértékváltások

KÉSzíTETTÉK: CSAHóCzi ErzSÉbET, KOVÁCS CSONGOrNÉ, SzErEdi ÉVA, TóTH LÁSzLó


1. FElaDatlaP

SzámóriáSok éS SzámtörpékSzemelvények Szczepan Jelenski: Pitagorasz nyomában c. könyvéből

Gondoljunk a csillagokkal teleszórt égre, a hullámoktól fodrozódó tengerre, a sivatag homokszemcséire, és azonnal feldereng bennünk a számóriások, a megszámlálhatatlan, valóban szinte végtelen nagyságok fogalma.Vagy gondolkozzunk el a napsugarakban táncoló porszemek méretein, a pókháló vastagságán vagy azon, mennyi ideig tart egy szempillantás, és ismét feltárulnak előttünk a felfoghatatlan számok mélységei, ezúttal a végtelenül kicsinyekéi.Ezek a számóriások és számtörpék valahol a végtelennek elérhetetlen mélységében vesznek el, mivel bár-mely számon túl – legyen az akármilyen nagy vagy akármilyen kicsiny – léteznek még nagyobb vagy még kisebb számok. És mégis… mindez a határtalan, végtelen, megszámlálhatatlan valami belefér az ember gondolatába.

A. mIllIóAki talán azzal ámítaná magát, hogy tökéletesen tudja, „mi az a millió”, és hajlandó ezt a számot gondolko-dás nélkül alkalmazni az élet különféle jelenségeire, az próbáljon hosszabb gondolkodás nélkül megfelelni arra a kérdésre, milyen vastag lenne a milliószorosára nagyított emberi hajszál. Vajon karvastagságú lenne-e, vagy egy fenyő törzséhez hasonlítható, talán egy nagyobb méretű hordóhoz?A vastagságában milliószorosára növelt emberi hajszál 70 méter átmérőjű lesz! A belsejében nyugodtan kör-beutazhatnánk gépkocsival, lefektetve pedig, városaink szinte egyetlen utcájában sem férne el.Hihetetlen!De mégis igaz. Az emberi hajszál átlagos vastagságát 0,07 mm-nek vehetjük. Ezt 1 000 000-val szorozva, pontosan 70 métert kapunk.És milyen méreteket érne el egy szúnyog – egy közönséges, bosszantóan dünnyögő szúnyog – egymilliószo-rosára növelve? Az első példa után, kétségtelenül, már könnyebb lesz tájékozódni a milliószorosára növelt kis rovar méreteit illetően, és mégis sokak számára biztosan hihetetlennek tűnik, ha azt hallják, hogy a szúnyog 5 kilométer hosszú lesz.Egy rövid kis szorzás igazolja ezt az ellentmondásosnak látszó tényt:1 000 000 · 5 mm = 5 000 000 mm = 5 kmEgyik csodálkozásból a másikba esünk, ha megvizsgáljuk a milliószorosra növelt apró tárgyak méreteit. Mil-liószoros nagyítással zsebórák 50 km átmérőre tesznek szert, az ember magassága 1700 km lenne. Millió lépéssel elgyalogolhatnánk Budapesttől Nyíregyházáig és vissza. Ebben a könyvben nincs egymillió betű. Az egymillió oldalas könyv 50 m vastag lenne. Időszámításunk kezdetétől napjainkig még nem telt el egymillió nap, ez csak mintegy 800 év múlva következik be.Ilyenféle összehasonlítást felsorolhatnánk még – milliót! Ám ez a néhány példa bizonyára mindenkit meg-győz arról, hogy még a „közönséges egymilliót” sem tudjuk tökéletesen elképzelni. Mit mondjunk hát a még sokkal nagyobb számokról?!

B. zűRzAvAR A mIllIáRdok és bIllIók közöttMikor a Franciaországra nézve oly szerencsétlen francia-porosz háború (1870–1871) után megállapították a békefeltételeket, melyek szerint Franciaország a győztes Németországnak az akkori időkben roppant nagy: 5 billió frankot kitevő hadisarcot volt köteles fizetni, sok francia valósággal kétségbeesett. Ebben a feltétel-ben – jogosan – láthatták nemzetgazdaságuk teljes tönkretételét, mivel sok országban a billiót milliószor milliónak számolják, tehát kifejezésére az egyes után tizenkét nullát írnak. Ezért nagy megkönnyebbülés, sőt „örömmámor” lett úrrá, mikor az összeget számszerűen kiírva is nyilvánosságra hozták, és meggyőződhettek arról, hogy „csak” 5 000 000 000, azaz 5 ezer millió frankról van szó.

tANulóI muNkAfüzet 0712. Számok normál alakja, mértékváltások 23

Németországban, Angliában és Európa néhány más államában – például Magyarországon is – a számlálás alapjának a hatjegyű osztályokat tekintik, ez azt jelenti, hogy millió = 1 000 000 = 106

billió = 1 000 000 000 000 = 1012

trillió = 1 000 000 000 000 000 000 = 1018

quadrillió = = 1024

quintillió = = 1030

Ezzel szemben Amerikában, Franciaországban és Dél-Európa országaiban a számlálás alapját a háromjegyű osztályok képezik, vagyis ezer = 1 000 = 103

millió = 1 000 000 = 106

billió = 1 000 000 000 = 109

trillió = 1 000 000 000 000 = 1012

quadrillió = 1 000 000 000 000 000 = 1015

quintillió = 1 000 000 000 000 000 000 = 1018

Ebből az összehasonlításból látható, hogy amagyar billió = 1012 = francia trilliómagyar trillió = 1018 = francia quintillió.

c. bIllIók, tRIllIók és más …IllIókValaki, mikor arról társalogtak, mekkora távolságra van a Föld a Naptól, azt mondta, ő biztosan tudja, hogy a Nap tőlünk „valahány millió vagy billió kilométerre van”…„Valahány millió vagy billió kilométerre van!” Tudomásul kell vennünk, hogy még sok művelt ember sem tudja világosan megkülönböztetni a milliót a billiótól, még kevésbé a milliót a trilliótól.Hogy elcsodálkoznának ezek az emberek, ha megtudnák, hogy 1 millió másodperc nem egészen két hét alatt múlik el, 1 billió másodperc pedig (1 billió = 1012) 30 000 évnél is tovább tart.Időszámításunk kezdete óta még csak az első milliárd perc múlt el. Nevezetesen 1902. április 29-én 10 óra 40 perckor vette kezdetét a második milliárd perc. A milliárd (109) pedig ezerszer kevesebb a billiónál.Az emberi hajszál billiószorosra növelve 6-szor vastagabb volna, mint a Földgömb, a billiószorosára növelt szúnyog pedig 50-szer nagyobb lenne a Nap tényleges méreteinél.Aki kíváncsi a további számcsoportok elnevezéseire, vessen egy pillantást az itt következő táblázatra: szeksztillió = 1036

szeptillió = 1042

oktillió = 1048

nonillió = 1054

decillió = 1060

centezillió = 10600

A világegyetem összes ismert égitesteinek tömege grammokban kifejezve nem sokkal több 20 nonilliónál.Megáll az ész e számóriások határtalansága láttán, mégis meglepődünk, ha megtudjuk, hogy az ember szíve rövid élete során kifáradás nélkül, megállás nélkül több mint egymilliárdszor dobban.


d. számpáRARáNYok és számkolosszusokA rendkívül nagy számokról térjünk át most a mérhetetlenül kicsiny számokra. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezeket a számokat szintén alig ismerjük, és a közöttük fennálló arányokban éppoly kevéssé tudunk tájékozódni, mint a számóriások birodalmában.Vegyük példának a 0,001 másodpercet. Nevetségesen kis időparány, nemde? Mit mérhetünk ilyen kicsiny időszakasszal? Mi történhetik 0,001 másodperc alatt?A nagyon mérsékelt, óránként 36 km-es sebességgel haladó vonat 0,001 másodperc alatt 1cm-nyi utat hagy maga után, a repülőgép pedig 0,001 másodperc alatt 10 cm-t halad előre. A hang ennyi idő alatt 33 cm-t fut be, a puskagolyó 70 cm-t. A Föld 0,001 másodperc alatt 30 m-t halad pályáján. A villám többnyire 0,001 másodpercnél sokkal rövidebb ideig tart, de ez alatt az idő alatt kilomé-teres távolságokra jut el. Ezt a nevetségesen kis időmennyiséget most már sokkal kevésbé találjuk nevetségesnek, sőt nagyon is kéz-zelfoghatónak tartjuk. Menjünk hát akkor tovább az egyre kisebb és kisebb számok mélyére.0,000 001 másodperc alatt a fény 300 m utat tesz meg. Ám ez az időszakasz is „méltóságteljesnek” tűnik, ha a röntgensugarakra gondolunk, melyeket a másodpercenként 25 000 billiós rezgésszámmal jellemezhe-tünk.Tudjuk már, mekkorák lennének a milliószorosukra növelt tárgyak. Az emberi hajszál vastagsága 70 m lenne, a szúnyog hossza 5 km, az egér hossz 100 km, az ember magassága 1700 km-t érne el, a híres Eiffel torony pedig szint a Holdig érne. De vajon mekkora lenne egy atom, ha milliószorosára növelnénk? Mint egy picinyke pont, kisebb annál, mint amilyennel ez a mondat végződik.

1. Töltsd ki a táblázatot!

311 255 257, 321 0,001 23 13 000

Tízszerese

Százszorosa

Századrésze

Tizede

Ezerszerese

Ezredrésze

2. Hányszorosa vagy hányadrésze?

34,12-nek a 341200?

0,023-nak a 23?

5122-nek az 5,122?

12 000-nak a 0,012?

0,000 005-nek a 0,05?

33 000,55-nek a 3,300 055?

0,001170-nek a 11700?


2. FElaDatlaP

A nagyon nagy és nagyon kicsi számok leírása során a nullák számát csökkenteni tudjuk hatványalak segítségével. de mindig marad egy olyan rész, amit már jobban nem lehet lerövidíteni.

Például: 708 000 000 = 708 millió = 708 ∙ 106

0,000 007 08 = 708 százmilliomod = 708 : 108 = 708 ∙ 1

108

Ezt a közös számtömböt pirossal megjelöltük. A bennük levő számjegyeket értékes jegyeknek szokás nevezni a természettudományokban.Az értékes jegyek előtt vagy mögött álló nullákat helykitöltő nulláknak is nevezhetjük. Ezek leírását spórolhatjuk meg a 10 hatványok használatával.

1. Az állítások közül némelyik igaz, némelyik nem. Tippeld meg, melyek az igazak! Az állításokban szereplő „érdekes” számokat írd be a táblázatba, számmal is, a hatványjelölés segítségével is! Több-féle felírás is lehetséges.

Színezd pirossal az értékes jegyeket és zölddel a helykitöltő nullákat! Az utolsó oszlopot egyelőre hagyjátok üresen, ezt majd később fogjátok kitölteni.

a) Az Eiffel torony építéséhez 25 millió szegecset használtak fel.

b) A hélium atom átmérője 0,000 000 05 mm.

c) Egy hajszál átmérője átlagosan 0,075 mm.

d) A Föld lakossága 2050-ig várhatóan meghaladja a 9 milliárdot.

e) A Föld 0,001 másodperc alatt 3 métert halad a pályáján

f) A legszegényebb országok városlakóinak 78,2%-a él nyomornegyedekben.

g) Az összes ötjegyű szám leírásához összesen 45 000 számjegy kell.

h) 1 millió másodperc körülbelül 2 hónap alatt telik el.

számmal szöveggel röviden normálalakban


2. Ebben a feladatban a táblázat első oszlopában álló számot kell felírnod szorzatként vagy hányados-ként, úgy, hogy az egyik tényező egy tíz hatvány legyen.

a = b · c vagy a = b : c c = 10n

Töltsd ki a táblázat színes mezőit a megadott információk alapján! a)

a b művelet c

523 szorzás 103 b =

0,012 osztás 106 b =

0,00025 szorzás 107 a =

0,12 osztás 104 a =

3 140 000 3,14 10n n =

b)

a b művelet c

0,045 1 < b < 10 10n b =n =

100 < a < 1000 777 500 10n a =n =

23 000 l b < 10 10n b =n =

0,1 a < 1 51,22 10n a =n =


3. A most következő példákban ugyanaz a feladat, mint az előzőben, de még azt is kikötjük, hogy a 1 b < 10 legyen. Tehát a táblázat első oszlopában álló számot kell felírnod szorzatként vagy hányadosként, úgy, hogy az egyik tényező egy és tíz közé essen – az egyet beleértve – a másik pedig egy tíz hatvány legyen.

a = b · c vagy a = b : c c = 10n

Töltsd ki a táblázat színes mezőit a megadott információk alapján!

a b művelet c

523 10n b =n =

0,012 10n b =n =

3,25 szorzás 107 a =

5,12 osztás 104 a =

3 140 000 3,14 10n n =

0,045 10n b =n =

10 < a < 100 7,200 10n a =n =

23 010 10n b =n =

0,1 < a < 1 5,22 10n a =n =

tudnivalóMinden számot felírhatunk olyan kéttényezős szorzatként amelynek egyik tényezője 1 és 10 közé esik, a másik tényezője pedig egy 10 hatvány vagy annak reciproka.

Például:25 000 000 = 2,5 ∙ 107

0,000 000 05 = 5 : 108 = 5 ∙ 1

108

A számoknak ezt az alakját normálalaknak nevezzük.

ÖSSZEGZéSA szám normálalakjában szereplő 10 hatvány jól jellemzi a szám nagyságát. Ezt a szám nagyságrendjének is szokás nevezni.


4. írd fel a számokat normálalakban!

a) 30 400

5000 30 000

b) 38 420

425 5300

5310 5318

37 000 37408

c) 32,6 408,4

5004,41 203,25

d) 0,1 0,01

0,001 0,0001

e) 0,2 0,004

0,16 0,0007

0,019 0,123

0,0041 0,0205

3. FElaDatlaP

1. Keressünk olyan – nem feltétlenül matematikai vonatkozású – példákat, melyek leírásához igen nagy számok kellenek! Néhányat felsoroltunk a következő táblázat bal oldalán.

a) Próbáljátok kitalálni, hogy a jobboldali számok közül melyik melyiknek felel meg?

1 Ennyiféleképpen lehet kitölteni a LOTTO-t A 390 000 000 000 000 000 000 000

2 Kb. ennyi ember élt összesen a Földön b 43 252 003 274 489 856 000

3 rubik-kocka különböző helyzetei-nek száma C 96 000 000 000

4 Egy emberben átlagosan előfor-duló baktériumok száma d 14 325 000 000

5 Két 9-es segítségével leírható legnagyobb szám E 387 420 489

6 ilyen távolságra jutott a Földtől (km-ben) a legtávolabbi űreszköz F 43 949 268

biztosan sokan meglepődtetek egy-két eredményen, de utána is járhattok, vagy kereshettek hasonlóan nagy számokat az interneten. A feladatlap végén találhattok néhány „óriást”.

b) írjátok fel a számokat normálalakba és állapítsátok meg mindegyiknek a nagyságrendjét!

c) Állítsátok nagyság szerint sorba a számokat és a két legkisebbet olvassátok ki!

d) A többi szám kiolvasásához használhatjátok a következő táblázatot!


A kiolvasásához hármas csoportosítást alkalmazunk, így végül is háromjegyű számokat kell kiolvasni. Mit kell azonban mondanunk az egyes tagok után?

43 252 003 274 489 856 000 =43..., 252..., 3..., 274..., 489..., 856...

Azt tudjuk, hogy az utolsó háromjegyű szám után semmit se kell mondanunk. Előtte a következő elnevezéseket használjuk:

103 1 000 Ezer

106 1 000 000 Millió

109 1 000 000 000 Milliárd

1012 1 000 000 000 000 billió

1015 1 000 000 000 000 000 billiárd

1018 1 000 000 000 000 000 000 Trillió

1021 1 000 000 000 000 000 000 000 Trilliárd

1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvadrillió

1027 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvadrilliárd

1030 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvintillió

1033 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kvintilliárd

Természetesen a nevek tovább folytatódnak, de nekünk ennyi is bőven elegendő. Aki nem elégszik meg 36 jegyű szám kiolvasásával, az biztosan megtalálja az interneten a táblázat folytatását akár 300 jegyig is. Azt is fontos tudnunk, hogy Amerikában nem használják az „-árd” végződésű tagokat, így ők másképpen mondják a 9-nél többjegyű számokat. Ne lepődjünk meg, ha onnan származó hírek-ben a Föld lakosságát már billiókban mérik!Ennek megfelelően a fenti szám kiolvasását – Európában – így kell kezdeni:

43 trillió,…

2. Állítsd az alábbi mennyiségeket nagyság szerint növekvő sorrendbe, becslés alapján. Azután keresd meg a hozzájuk tartozó adatokat (mindegyiket megtalálod vagy a bevezető szemelvények-ben, vagy a feladatgyűjtemény 7. feladatában) és ellenőrizd a becslésedet!

– egy hajszál vastagsága – a másodpercek száma két hétben – a csillagok száma a Tejútrendszerben – Az EU lakosainak száma – a hangyák száma a Földön – ennyi másodperc alatt tesz meg a fény 300m-t

3. Készítsetek láncot – minél hosszabbat – az előző feladathoz hasonlóan a munkafüzetetekben meg-található, vagy az általatok gyűjtött adatokból. Olyan számokat keressetek, amelyeket érdekesnek találtok!

Keverjétek össze ezeket a mennyiségeket, és adjátok oda egy másik csoportnak, hogy állítsa helyes sorrendbe! Cseréljetek valamelyik csoporttal feladatot, majd kölcsönösen ellenőrizzétek a megol-dásokat!

A saját láncotokat felrakhatjátok a poszteretekre!


4. Gyakorlásként olvassatok ki néhány matematikai vonatkozású számot.

a) A legkisebb szám, aminek több mint 1000 osztója van: 245044800

b) Az 1, 2 és 3 számjegyeket egyszer felhasználva hogyan írható le a legnagyobb szám? Természe-tesen hatványozást használunk, de vajon melyik adja a legnagyobb számot, a

123, 312, 231 vagy 321? Eláruljuk, hogy a szám, amit ki kell olvasnod a 10460353203.

c) biztosan ismeritek a sakk kitalálójának esetét a perzsa sahhal. A játékért fizetségül a sakktábla első mezőjére 1 búzaszemet kért, majd a többire mindig az előzőnek a dupláját, valahogy így:

1, 2, 4, 8, 16, 32,... egészen a 64. mezőig. Összegezve az egymást követő mezőkön lévő magvakat, kiokoskodhatjuk, hogy ez összesen 264 –1 darab búzaszemet jelentene. Azt már megbecsülni is nehéz, hogy ez hány darab, álljon tehát itt az eredmény:

18 446 744 073 709 551 615 d) Végezetül egy utolsó nagy szám. Ha meg akarod kapni, hogy hozzávetőlegesen hány darab

atom építi fel a tested, akkor a kilogrammban mért szám (xy) után írj 26 nullát. Kezdheted is a szám kiolvasását!

Körülbelül xy00 000 000 000 000 000 000 000 000 darab atom van a testemben.

4. FElaDatlaP

1. Párosítsd a dolgokat és a mértékeket! egy hangya területe 1500 m2 egy tompaszög időtartama 45 perc egy kakas tömege 20 dkg egy matekóra időtartama 2 hét egy kert területe 2 dm2

egy emeletes ház hosszúsága 3 mm egy lapulevél szélessége 4 m egy zacskó cukorka magassága 15 m egy hegyesszög nagysága 170˚ egy külföldi utazás térfogata 1 dm3

egy keskeny utca nagysága 30° egy doboz tej tömege 3 kg

2. Egy ünnepségen minden emberre 1 m2 helyet számítanak, hogy ne legyenek túl zsúfoltan. így egy 10 m széles sorban 10 ember fér el egymás mellett. Hány ember fér el egy 10 m ∙ 10 m nagyságú területen?

3. Fehéregerek rendeznek ünnepséget, ahol minden résztvevőre 1 dm2 helyet számítanak, hogy ne legyenek túl zsúfoltan. így egy 1 m széles sorban 10 egér fér el egymás mellett. Hány egér fér el egy 1 m2 nagyságú területen?

4. Mikor vitorláshalak rendeznek ünnepséget, akkor természetesen függőlegesen is tudnak terjesz-kedni. Ott mindenkinek 1 dm3 helyet számítanak. Hány vitorláshal fér el egy 1 m3 térfogatú koc-kában?

5. Egy templomban mozaikképet rendelnek, 1 cm2-es négyzet alakú pici kövecskékből. Mennyi kövecske kell 1 dm2 nagyságú képrészlethez?

A megrendelt kép 1 m2 nagyságú. Hány kövecskéből rakja ki ezt a mester?


6. A színesrúd-készlet kis fehér kockájának minden éle 1 cm. Hány kellene belőlük ahhoz, hogy kitöltsenek egy 1 dm3 méretű üres kockát?

Mennyi kellene ahhoz, hogy egy 1 m3 méretű ládát kitöltsenek?

7. Milliméter papíron keríts körül 1 dm2-t! Hány cm2 és hány mm2 található benne?

8. írd be a hiányzó váltószámokat!

a) 1 km = ………… m 1 m = ………… dm

1 dm = ………… cm 1 cm = ………… mm

b) 1 km2 = ………… m2 1 m2 = ………… dm2

1 dm2 = ………… cm2 1 cm2 = ………… mm2

c) 1 m3 = ………… dm3 1 dm3 = ………… liter

1 dm3 = ………… cm3 1 cm3 = ………… mm3

d) 1 dm3 = ………… liter = ………… dl 1 dl = ………… cl

1 cl = ………… ml = ………… cm3

e) 1 t = ………… q 1 q = ………… kg

1 kg = ………… dkg 1 dkg = ………… g

f) 1 nap = ………… óra 1 óra = ………… perc 1 perc = ………… másodperc

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Végezd el a szorzásokat!

15 ∙ 0,1 300 ∙ 0,02

0,5 ∙ 10 000 0,023 ∙ 0,1

220 ∙ 0,01 0,001 ∙ 1 000

0,1 ∙ 0,1 0,1 ∙ 10

0,03 ∙ 0,01 2500 ∙ 0,001

0,11 ∙ 0,01 0,1 ∙ 100

2. Pirossal írd át az értékes jegyeket, zölddel a helykitöltő nullákat!

000034,002300 0,0000543 0020000

35,000023000 000000,000203 3007,00500000


3. Oldd meg a nyitott mondatokat!

354 ∙ 10x = 35 400 000 x ∙ 102 = 12,5 x = x =

0,12 ∙ 105 = a 0,025 ∙ y = 2500 a = y =

p ∙ 104 = 1,205 0,00032 ∙ 107 = z p = z =

56 000 : x = 5,6 345,6 : 103 = y x = y =

7,3 : z = 0,00073 900 500 : 105 = b z = b =

c : 104 = 0,0015 375 000 : k = 0,00375

c = k =

4. írd át tizedes tört alakba a normálalakban megadott számokat! rendezd őket nagyság szerinti sor-rendbe! írd mindegyik mellé szöveggel, mennyi a nagyságrendje.

a) 6,12 ∙ 102 = b) 5,32 ∙ 106 =

c) 7,35 : 102 = d) 8,555 : 104 =

e) 3,0022 ∙ 108 = f) 1,0099 : 107 =

g) 3,11 ∙ 109 = h) 9,1999 ∙ 1

105 =

i) 6,0101 ∙ 1

103 =

5. írd át normálalakba!

a) 325,11 = b) 0,002544 =

c) 5 000 120 = d) 0,0505 =

e) 340 100 000 000 = f) 0,001 3 =

g) 37 000 = h) 423,01 =

i) 78 001,10 =


6. A következő táblázat legfelső sora azt mutatja, hogy az abban az oszlopban szereplő számok mennyit érnek – mennyi a helyi értékük. Töltsd ki az üresen hagyott helyeket!

Ebbe a táblázatba 10000-nél kisebb, de legfeljebb négy tizedes jegyet tartalmazó számokat írunk.

Az x szám 103 102 101 1 1101

1102

1103

1104

100 10–1 10–2 10–3 10–4

beváltás után legfeljebb ekkora szám lehet ebben az oszlopban

9999,9999 9 9 9

x = 0 8 0 3 0 1 1 0

x = 0 0 31 23 0 5 0 0

Mindent válts be, amit lehet x = 543,22

Csak a kék cellákat használd x = 13,25 0 0 0 0 0 0

x = 0 1 0 0 5 22 13 0

x = 0 0 111 22 11 0 0 2

Csak a kék cellákat használd x = 258,5 0 0 0 0 0

Mindent válts be, amit lehet x = 3 032,013

x = 5 0 0 124 55 0 12

x = 0 0 3 52 5 13 22 1

Csak a kék cellákat használd x = 2538,12 0 0 0 0

7. Érdekességként megmutatunk néhány további nagy számot. Többségük természetesen becsült, kerekített érték, de alkalmas nagy számok kiolvasásának, összehasonlításának gyakorlására. írd le a számokat normál alakban is!

103 – ezer

3,6 másodperc van egy órában 3,6 ∙ 103

5 bázisból áll a legegyszerűbb vírus dNS molekulája 5 ∙ ……3

28 a különböző ismert gerinces fajok száma …… ∙ 104

40 km/óra egy űrhajó sebessége 4 ∙ 10……

40 km az Egyenlítő hossza …… ∙ 104

380 km a Hold átlagos távolsága …… ∙ 10……

106 – millió

32 másodperc van egy évben (31,536) 3,1536 ∙ ……

45 km2 a Föld felszíne (óceánokkal szárazföldekkel) …… ∙ 107

150 km a Föld-Nap távolság …… ∙ 10……

280 az EU lakósságának száma …………

280 bázisból áll egy átlagos baktérium dNS-molekulája …………

800 km3 a Földön lévő víz össztérfogata …………


109 – milliárd

1 a Mcdonalds által eladott hamburgerek száma (2004-ig) …………

2 másodperc hosszúságú egy átlagos életkor …………

6 bázisból áll az emberi dNS …………

200 csillag van a Tejútrendszerben …………

900 a galaxisok száma …………

8. A következő nagy számokat próbáld fejben normál alakra hozni!

1012 – billió

1 az összes hal száma a Föld vizeiben

9 km-t tesz meg a fény egy év alatt (9,46)

50 a sejtek száma egy emberben

1015 – billiárd

1 a homokszemek száma egy (átlagos) tengerparti strandon

1 a hangyák száma a Földön

453 kg a Föld légkörének tömege

938 km a Tejút átmérője

1018 – trillió

1 szem gabonát termelt az emberiség

8 km a galaxisok átlagos távolsága

24 km a legtávolabbi, szabad szemmel látható objektum az égen, az Andromeda-galaxis

1021 – trilliárd

6 pohárnyi víz van az óceánokban

50 csillag alkotja az Univerzumot

375 km az Univerzum keresztmetszete

1024 – kvadrillió

6 kg a Föld össztömege

24 atom (H és O) van egy pohár vízben

1036 – sextillió

a valaha élt összes élőlény száma a Földön

1042 – septillió

az atomok száma a légkörben

1045 – septilliárd

142 az atomok száma a Föld összes vizében

1048 – octillió

89 az atomok száma a Földön

1057 – nonilliárd

az atomok száma a Napban


1066 – undecillió

az atomok száma a Tejútban

80 féleképpen állítható sorrendbe egy 52 lapos francia kártya

Szinte hihetetlen, hogy egy csomag kártya magamögé utasítja a galaxisunk összes atomját, de itt 52! (fak-toriálisról) van szó! Azaz minden atom mellé különböző sorrendben megkevert paklit tehetnénk…

1078 – tredecillió

az atomok száma az Univerzumban

9. Folytasd a sort! Váltsd át minél többféleképpen! Használd a 10 hatványait! Például:

1 km = 103 m = 104 dm = 105 cm = 106 mm

13 m = 1,3 ∙ 103 mm= 1,3 ∙ 102 cm = 1,3 ∙ 101 dm = 1,3 : 103 km

a) Tömeg:

1 t =

30 kg =

45 dkg =

b) Hosszúság:

500 mm =

2500 m =

3,5 dm =

c) Terület:

1 m2 =

5 dm2 =

0,02 km2 =

d) Térfogat, űrmérték:

50 l =

250 dl =

0,1 hl =

3 m3=

25 dm3=

300 cm3=


10. Ebbe a táblázatba hosszúságokat írunk. Végezd el a megfelelő átváltásokat! a)

Az x hosszúság km m dm cm mm


akármekkora akár- mekkora 999 9

x = ………… m 35 712 0 4 0

x = ………… cm 0 0 317 23 5

Mindent válts be, amit lehet x = 1 643,11 m

Csak a kék cellákat használd x = 513,25 m 0 0 0

x = ………… cm 0 1 0 0 5

x = ………… mm 0 0 53 7 12

Csak a kék cellákat használd x = 448,52 dm 0 0 0

Mindent válts be, amit lehet x = 3 032,013 m

x = ………… dm

……… m 0 5 0 124 55

x = ………… m

……… dm 0 0 3 52 5

Csak a kék cellákat használd x = 32 538,12 dm 0


b) Ebbe a táblázatba területeket írunk. Végezd el a megfelelő átváltásokat!

Az x terület km2 m2 dm2 cm2 mm2


akármekkora akár- mekkora 999 999 99 99 99

x = ………… m2

……… dm2 0 812 22 0 0

x = ………… cm2

……… dm2 0 0 31 23 0

Mindent válts be, amit lehet x = 8 193,22 m2

Csak a kék cellákat hasz-náld x = 245,25 dm2 0 0 0

x = ………… m2

……… dm2 0 1120 500 0 0

x = ………… m2

……… km2 3 678 000 1 100 0 0

Csak a kék cellákat hasz-náld x = 258,5 cm2 0 0

Mindent válts be, amit lehet x = 3 032,013 m2

x = ………… mm2

………… cm2 0 0 555 120 55

x = ………… m2

………… dm2 0 60 300 50 0

Csak a kék cellákat hasz-náld x = 25,3812 m2 0 0

sZáMoK és műveletek0713. racionális számok

KÉSzíTETTÉK: TóTH LÁSzLó, SzErEdi ÉVA


A számok és a számírás történetének áttekintése, számok különböző írásmódja

„A hinduktól jutott el hozzánk az a csodálatos számírási rendszer, amelyben minden szám felírható tíz jeggyel azáltal, hogy minden jelnek alaki- és helyi értéket tulajdonít. Ez a nagy jelentőségű és zseniális módszer olyan egyszerűnek tűnik, hogy emiatt fel sem tudjuk fogni igazán a nagyszerűségét. De éppen egyszerűsége és a művele-tek nagyon könnyű elvégezhetősége helyezi ezt az aritmetikai rendszert a leghasznosabb felfedezések sorába. Hogy milyen nehéz lehetett egy ilyen módszer felfedezése, arra következtethetünk abból a tényből, hogy az ókor két leg-nagyobb elméjének: Arkhimédésznek és Apollóniosznak a zsenije sem jutott el a helyi értékes számírási rendszer felfedezéséig.” Laplace

Számok a régmúlt időkben

Ma természetesnek vesszük, hogy a számokkal, mennyiségekkel kapcsolatban egy mindenki számára érthető írásmódot alkalmazunk, ami – ellentétben a beszélt nyelvvel – szinte valamennyi nép számára érthető. A „kétszer kettő egyenlő négy” hangalak csak mintegy 15 millió – a magyar nyelvet értő – ember számára mond valamit, de ha ugyanezt a számok nyelvén írjuk le:

2 ∙ 2 = 4akkor ez szinte mindenki számára érthető lesz. Ugyanez vonatkozik például a százhuszonháromezer-négyszázötvenhat számra, melyet igen változatos hangalakkal ejtenének különböző nyelveken, de leírva

123 456már mindenki számára ugyanazt a számot jelenti, sőt nem egy tulajdonságát is kiolvashatja belőle. Meglepő módon a nem is olyan távoli múltban ez az igen egyszerű írásmód egyáltalán nem volt ismert, miközben a korok nagy matematikusai már igen magas szintű felfedezéseket tettek a matema-tika világában.

Menjünk most vissza sok-sok évezredet visszalapozva a történelem kezdeti időszakába.Mi lehetett az első matematikára utaló tevékenysége őseinknek?Hogyan jegyezhetők le a számok számjegyek nélkül?

1. FElaDatlaP

1. A szemelvények elolvasása után válaszolj a kérdésekre!

A csoport:

Az ősember – kézenfekvő módon – az ujjait használta a számoláshoz. Az ujj latin neve digitus, innen szárma-zik a számjegy angol neve a digit. A nagyobb számok megjelenítéséhez már köveket rakosgattak edényekbe, vagy csomókat kötöttek bõrcsíkokra. A kapott ered-ményeket a barlang falába, falapokra vagy csontba faragva rögzítették. A túl sok kő és csomó kezelése per-sze nehézkes volt, ezért kitalálták az átváltásos szám-ábrázolást. Eleinte a hatvanas számrendszer alakult ki (Mezopotámia), a tizenkettes (angolszász népek), valamint a tízes (rómaiak). Az alapműveletek egyik első ismert eszköze a világ szinte minden táján 3-4 ezer éve különböző formában feltűnő abakusz volt. Alapváltozatában vágatokba helyezett apró kövekből állt. A kövecske latin neve calculus. Innen származik a mai kalkulátor szó. Az abakuszt golyós számolótáblává tökéletesítve a XVI. századig, mint fő számolást segítő eszközt használták és egyetemeken tanították a vele végzett szorzást és osztást. Az abakuszt némileg módosítva mind a mai napig használják Oroszországban, Kínában és Japánban.

© Mikhail Kokhanchikov | dreamstime.com

tANulóI muNkAfüzet 0713 . Racionális számok 41

a) Honnan származik a számítástechnikában alapfogalomnak számító digit és digitális elnevezés?

b) Mely népek milyen számrendszert alkalmaztak?

c) Milyen ősi, de máig is használatos számolóeszköz segítette a számolást?

d) Hol használnak ilyen eszközöket napjainkban is?

e) Váltsátok át a 11 óra 11 perc 11 másodpercet másodpercekre!

11 : 11 : 11 = ………… másodperc

f) Váltsátok át a 11 111 másodpercet óra : perc : másodperc alakra!

11 111 másodperc = ……… : ……… : ………

Használhattok kalkulátort! Melyik feladat volt az egyszerűbb?

B. csoport:A számfogalom kialakulása a számlálással kezdődött. Már az őskorban is könnyedén számon tartotta a juhász a juhait, pedig még húszig sem tudott számlálni! Hogyan? Egyszerűen! Reggel, amikor az akolból egyenként engedte ki a juhokat, minden juh kiengedésekor egy kavicsot dobott az ajtó melletti gödörbe. Este pedig, amikor egyesé-vel engedte be az akolba az állatokat, minden juh beengedésekor kivett egy kavicsot a gödörből. Ha az összes megérkezett juh beengedése után is maradt még kavics a gödör-ben, akkor tudta, hogy hány elbitangolt juh keresésére kell indulnia, ha pedig a kavicsok hamarabb fogytak el, mint a juhok, akkor tudta, hogy mennyi az aznapi szaporulat.A legrégibb „számírással” az úgynevezett rovásfákon találkozunk. Amikor a juhász átvette a gazdától a juhnyájat, akkor egy pálcára vésték be vonalakkal (rovásokkal), hogy hány anyajuh és hány kos van a nyájban. Majd a rováspálcát hosszában kettéhasították, az egyik fele maradt a gazdánál, a másik fele lett a juhászé. Így utólagos változtatásról, hamisításról szó sem lehetett. Természetesen egész nyáron a juhász is rováspálcákon tartotta számon az állományt, a megszülető kisbárányokat és külön rováspálcán az elhullott juhokat. Mind a mai napig őrzi ezt az eljárásmódot a nyelvünk: „Dögrovásra jutott.” Ősszel azután, „számadáskor”, nem volt gondja a számadó juhásznak, mert

az eredeti rováspálca adatai, valamint saját rováspálcáinak adatai alapján el tudott a gazdának számolni a juhokkal, s megkaphatta a megszolgált bérét. Hazánkban még a múlt században is sok helyütt az ivóban bevésett rovásokkal tartotta számon a csapos, hogy ki mennyit fogyasztott: „Sok van már a rovásodon!”

a) Hogyan tarthatta számon a juhász a nyáj számának változását anélkül, hogy számszerűen tudta, mennyi jószága volt?

b) Mi volt a számírás legősibb, legkezdetlegesebb módja?

c) Honnan ered, mire utal a nyelvben meghonosodott „dögrovásra jutott”, illetve „Sok van már a rovásodon!” kifejezés?

d) A köznapi életben hol alkalmazzuk a rovásírásra emlékeztető írást?

c. csoport:Egyiptomban a fáraók korában is már tízes szám-rendszer volt használatban (minden valószínű-ség szerint azért, mert a két kezünkön összesen tíz ujjunk van), és a hieroglifákon alapuló szá-mírás egymillióig volt kidolgozva. Az egyiptomi feliratokon az 1-es számjegy írásjele a pálca, s kilencig a megfelelő számú függőleges, vagy víz-szintes pálcával jelölték a számot. A 10-es számjegy jele a halom (egyesek szerint: cipó), amiből egymás mellé akár kilencet is lehet írni. A 100-as hieroglifikus jele a kígyó (zsinór), az 1000-es jele a lótuszvirág, a 10 000-es jele a nádkéve (ujj), a 100 000-es jele az ebihal (menyhal), és az 1 000 000 jele egy feltartott kezű emberalak. A számokat az összeadási elvnek megfelelően kell az egyiptomi feliratokon olvasni: helyi


érték nélkül, jobbról balra következnek a mind kisebb és kisebb egységek, amelyek értékeit összegezve kapjuk a számot. Érdekes, hogy már az egyiptomiak is használták a törtszámokat, de csak egységszámlálójú törtekkel (úgynevezett törzstörtekkel) dolgoztak. Az egyiptomi számolómesterek mind a négy alapműveletet elvégezték, de a szorzást és az osztást az összeadásra igyekeztek visszavezetni.

a) Melyik országban alkalmazták a tízes számrendszert elsőként és mekkora számokat tudtak leje-gyezni?

b) Soroljátok fel néhány példával, hogyan jelölték az egyiptomiak 10 hatványait! Alkalmazták-e a helyi értékes írásmódot?

c) Csak az egészekkel tudtak számolni az egyiptomiak?

d) írd le óegyiptomi módra a 432 számot!

e) Add össze az első 4 törzstörtet!

f) Hogyan lehetne egy törtet, például a törzstörtek összegére bontani?

2. FElaDatlaP

a római éS az arab Számok

Hosszú út vezetett Babilóniától, Egyiptomon át a ma megszokott számírásig. Az egyik legelterjedtebb és máig is használt írásmódot a rómaiaktól örököltük. Szinte hihetetlen, hogy Európában egészen a XIII. száza-dig kizárólag ebben a formában jegyezték le a számokat. Ami még meghökkentőbb ilyen számokkal kellett műveleteket végezniük.

1. Hol találkozhatunk ma római számokkal?

2. Milyen szimbólumokat használunk római számírásnál?

3. beszélhetünk-e helyi értékes írásmódról? Maga a számolás külön tudomány volt ezekkel a számokkal. Erről mi magunk is meggyőződhe-

tünk, ha összevetjük a számolást a mai és a római számokkal.

4. írjunk fel néhány számot római számmal! Próbáljunk meg ebben a formában műveleteket (például összeadást, szorzást) elvégezni!

38 + 49 =

111 ∙ 44 =

Mi okozza a nehézséget?

5. Egyértelmű-e a számok átírása római számmá? Próbáld meg a 498-at átírni római számmá!

6. Mutassuk meg, hogy a táblázatban szereplő számok mindegyike 999-t jelöl.

999 CMXCiX LMVLiV XMiX VMiV iM


arab Számok-e az arab Számok?

Az európai kultúrkörben, de lényegében világszerte használt számjegyeket arab számoknak nevezzük, pedig ezek a számok hindu eredetűek. A XIII. század környékén arab közvetítéssel jutottak el Európába. Míg Indi-ában már a Honfoglalás kora előtt használták a tízes számrendszert és a mai számjegyeket, Európában még több mint 500 évig a római számok voltak az uralkodók. Érdekes, hogy ma pont az arabok nem használják az „arab számokat”. Nézzük meg milyenek is az igazi arab számok. Nehezítésül egy kicsit összekevertük a számjegyeket, próbáljatok rendet teremteni köztük!

Próbáljuk meg kitalálni, melyik számjegy mennyit érhet! Természetesen lehet tippelni is!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. FElaDatlaP

a Helyi értékeS íráSmód

1. Mi a hasonlóság és mi a különbség az ókori egyiptomi és a mai szám-írásmód között?

2. Mit értünk azon, hogy a többjegyű számok egyes számjegyeinek alaki és helyi értéke is van?

3. Hányféle alaki értékű számjegyet használunk? Miért a 9 a legnagyobb alaki értékű számjegy? (Miért nincs szükség 10-es számjegyre? Hogyan ábrázoljuk a 10-et?)

4. a) Soroljuk fel a 2 416 053 számban előforduló alaki értékeket (számjegyeket) növekvő sorrend-ben!

b) Soroljuk fel a számban szereplő helyiértékeket növekvő sorrendben!

5. a) Soroljuk fel a 31,015 számban előforduló alaki értékeket (számjegyeket) növekvő sorrendben! b) Soroljuk fel a számban szereplő helyi értékeket növekvő sorrendben!

6. írd fel a helyi értékeket 10 hatványaiként!

7. Van-e legnagyobb ezek között a számok között?

8. Van-e legkisebb ebben a számhalmazban? Melyik a legkisebb?

9. Miért 10 hatványait használjuk helyi értékeknek?

10. Használhatnánk-e más alapszámot?

11. Melyik helyi értéken szerepelnek az egyes számjegyek a mintául választott 2 416 053 számban?

12. Előfordulhat-e egy számjegy többször is?

13. Előfordulhat-e egy helyi érték többször is?

14. Melyik számjegy éri a legtöbbet a számban, miért?


15. Hogyan kapjuk meg egy-egy szám tényleges, más szóval valódi értékét?

16. Mennyit érnek az egyes számjegyek külön-külön és mennyit együtt?

17. írjuk le a számot helyi érték szerint bontott összegalakban!18. írjuk le a következő számokat is helyi érték szerint bontott összeg alakban! Használjuk a hatvány

jelölést!

1 234 =

10 203 040 =

10 110 001 =

nem tízeS alapú SzámrendSzerek

Láttuk, hogy a tízes számrendszer helyi értékeit a 10 hatványai alkotják. Azt is tudjuk, hogy nem szükségszerű, hogy a 10 legyen az alapszám. Ha mást választunk, annak két következménye lesz: 1. A helyi értékek ennek az új alapnak a hatványai lesznek. 2. A felhasználható számjegyek száma megváltozik. Például az 5-ös számrendszerben a helyi értékek (jobbról balra) 1, 5, 25, 125... lesznek. Ez esetben már 5-ös számjegyre sem lesz szükség, hiszen az 5-t 1 db ötös és 0 db egyes segítségével írhatjuk le.A számrendszereknek, különösen a kettes, nyolcas és tizenhatos számrendszernek kitüntetett szerepe van az informatikában. Mivel kettes számrendszerben csak kétféle (0 és 1) számjegyeket használha-tunk, a számítógépek számára ez az írásmód sokkal könnyebben kezelhető, mint a tízes számrend-szer. Szerencsére a számítások során a gép végzi mind a tízesből kettesbe, mind a kettesből tízesbe történő átszámítást.A 31-et például kettes számrendszerben 111112 alakban írhatjuk. Könnyen ellenőrizhetjük az eredmé-nyünket, hiszen elég összeadnunk a helyi értékeket, azaz kettő hatványait:

111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Más számrendszerekből történő átszámításnál is a helyi értékes írásmódról tanultakat alkalmazzuk, csak a helyi értékek más alapszám hatványai lesznek:

12345 = 1 · 53 + 2 · 52 + 3 · 51 + 4 · 50 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194

Más számrendszerekbe történő átszámításnál a „leltározásnak” megfelelő eljárással számolunk. Az átszámítandó számot az új alappal elosztjuk, a maradékot feljegyezzük. Az osztás során kapott hánya-dost, mint osztandót ismét elosztjuk az új alappal és az eljárást addig folytatjuk, míg a hányados 0 nem lesz. Ekkor a feljegyzett maradékokat fordított sorrendben egymás után írva kapjuk a nem tízes számrendszerbeli alakot. Például, ha 148-at akarjuk 5-ös számrendszerbe átírni, akkor a következő számításokat végezzük:

148 : 5 = 29 3

29 : 5 = 5 4

5 : 5 = 1 0

1 : 5 = 0 1 Tehát a 148 = 10435

Ne feledjük el a 0 maradékot is beírni a számba!


4. FElaDatlaP

1. Milyen számjegyek használhatók a tízestől eltérő alapú számrendszerekben?

2. írjuk le helyi érték szerint bontott összegalakban az ötös számrendszerben leírt 2434 számot!

3. Mennyit ér tízes számrendszerben a 24345 szám?

4. Hasonlítsuk össze a számpárokat, és tegyük ki a megfelelő relációjelet anélkül, hogy átszámíta-nánk tízes számrendszerbe!

(Hasonlítsátok össze a jegyek számát, az alaki és a helyi értékeket! Figyeld meg a legnagyobb helyi értéken szereplő szám értékét! Hasonlítsd össze a számrendszer alapszámait és a számjegyeket!) a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119

c) 1114 101 0102

5. írd át kettes számrendszerbe a 100-at!

6. Melyik számrendszerben lehet a 100 alakja 400?

7. Modellezzük a számítógép működését! Számítsuk át a tagokat (tényezőket) 2-es számrendszerbe, végezzük el a két szám összeadását, összeszorzását. Az eredményeket számítsuk vissza tízesbe és ellenőrizzük!

5. FElaDatlaP

1. A következő néhány számot írjátok le számjegyekkel! Százhuszonnégyezer, kétezer-egy, hatezer-ötszáz, hétmillió-háromszázötvenhétezer, hétmillió-

háromszázötvenhét, ezerhuszonnégy, hatszázmilliárd. a) Hogyan jegyezted le a számokat? b) Hány jegyű számokat kaptál? c) Hány nullára végződnek a számok? d) Lehetett volna kevesebb jellel is leírni valamelyik számot? e) A fenti számokat más alakban is felírtuk. írd mindegyik mellé az előző számok közül a megfe-

lelőt!

kifejezés szám7 000 000 + 350 + 7

2 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 1625 ∙ 53 ∙ 31

7 ∙ 106 + 3 ∙ 105 + 5 ∙ 104 + 7 ∙ 103

6 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 56,5 ∙ 103

111110100012

f) A kifejezések közül melyik összeg, melyik szorzat? g) írd fel az 1024 számot minél többféle alakban – tízes számrendszerbeli helyiértékes bontásban,

normálalakban, prímtényezős alakban, stb. h) Melyik szorzat tekinthető normálalaknak?


6. FElaDatlaP

1. Ugyanazt a két számot megadtuk többféle alakban is. A két számról kérdéseket írtunk. Melyik állításra melyik alak alapján könnyű válaszolni?

A = 6,4 ∙ 103 = 6 ∙ 103 + 4 ∙ 102 = 28 ∙ 53 és B = 1,6 ∙ 103 = 103 + 6 ∙ 102 = 26 ∙ 53

a) Melyik nagyobb? A vagy b?

b) A ∙ B = ?

c) A : B = ?

d) Hány százas szerepel A-ban?

e) A + B = ?

f) (A + B) osztható-e 25-tel?

A téli éjszakák ragyogó csillagáról, a Szíriuszról az olvashatjuk, hogy mintegy 9 fényévnyi távol-ságra van. Hány km-re lehet ez az égitest, ha tudjuk, hogy a fény 1 másodperc alatt 300 000 km-t tesz meg és 1 fényév az a távolság, amit a fény 1 év alatt megtesz?

Az eredményt a következő szorzat adja: 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365 ∙ 9 ∙ 300 000 (km) Mit jelentenek az egyes tényezők? A szorzat kiszámításához érdemes fejszámolással és normál alakkal dolgozni: 60 ∙ 60 = 3 600 = 3,6 ∙ 103 24 ∙ 365 25 ∙ 4 ∙ 90 = 9 000 = 9 ∙ 103 9 ∙ 300 000 = 2 700 000 = 2,7 ∙ 106 A szorzat normál alakokkal tehát: 3,6 ∙ 103 ∙ 9 ∙ 103 ∙ 2,7 ∙ 106 = 3,6 ∙ 9 ∙ 2,7 ∙ 103 ∙ 103 ∙ 106 3 ∙ 27 ∙ 103+3+6 = 81 ∙ 1012 = 8,1 ∙ 1013

2. A következő feladatok eredményét az adatok normál alakra történt átszámítása után kerekítéssel határozzátok meg!

a) A Földtől legtávolabbra jutott ember alkotta eszközt, a Voyager-1 űrszondát 1977. szeptember 5-én bocsátottak fel.

Hány km-re jutott el, ha 1 óra alatt 61 690 km-t tesz meg? Hányszor van távolabb, mint a Nap, ha központi csillagunk 150 millió km-re van tőlünk?

b) A mai ismereteink szerint a Világegyetem 900 milliárd galaxisból áll, és egy ilyen galaxisban (mint amilyen a mi Tejútrendszerünk is) átlagosan 200 milliárd csillag van.

Hány csillag van az égen? Ezeknek csak egy töredékét, alig 3000-t láthatunk szabad szem-

mel . – Hányadrésze ez az összes csillagnak?

c) Mennyi a Föld és a Hold össztömege, ha a Föld tömege: 5 970 000 000 000 000 000 000 tonna, míg a Holdé 74 000 000 000 000 000 000 t? Normál alakban és kerekítve a 6 ∙ 1021 és a számokat kellene összeadni. Vigyázni kell, mert itt

nem segít igazán a normál alak, hiszen a 6 és a 7,4 nem azonos nagyságrendekhez tartoznak.


7. FELADATLAP

Vizsgáljuk meg, hogy mely formában adott számokat könnyű nagyság szerint összehasonlítani, ren-dezni?

1. Állítsd növekvő sorrendbe a következő számokat:

Md, CCX, XCV, CXCV, XXXViii, CXXVi.

2. Az A-val vagy a B-vel jelölt szám a nagyobb?

A = 47264738465325347568 vagy B = 921374657483746746

a) írjuk át A-t és B-t normálalakba két értékes jegyre kerekítve, majd hasonlítsuk össze a normála-lakban lejegyzett számokat!

b) Hányszorosa megközelítőleg a nagyobb szám a kisebbnek?

3. Állítsd növekvő sorrendbe a normálalakban megadott számokat!

3,17 ∙ 109; 9,7 ∙ 107; 7 ∙ 1013; 3,16 ∙ 1010; 3,097 ∙ 109

4. Állítsd növekvő sorrendbe a következő számokat!

725 ∙ 108; 79,7 ∙ 107; 127 ∙ 106; 0,16 ∙ 109; 1111 ∙ 106

8. FElaDatlaP

a terméSzeteS Számok

1. Mely számok tartoznak a természetes számok közé?

2. Van-e a természetes számok közt legkisebb, legnagyobb? Hány 100-nál, 1000-nél kisebb természe-tes szám van? Hány természetes szám van a 100 és az 1000 között? Hány 4 jegyű természetes szám van?

Mely műveletekre zárt a természetes számkör?

3. a) Milyen természetes számot írhatunk a betűk helyére, hogy a művelet eredménye biztosan ter-mészetes szám legyen?

b) Hányféle értéket adhatunk a-nak, b-nek, c-nek és d-nek, hogy a feltétel teljesüljön?

50 + a, 50 – b, 50 ∙ c, 50 : d

4. Milyen természetes számot írjunk az a, b, c, d helyére, hogy a művelet eredménye ne természetes szám legyen?

a) 6 + a, 6 – b, 6 ∙ c, 6 : d

b) N + a, N – b, N ∙ c, N : d

(N valamilyen természetes számot jelöl)


5. A következő feladatok mindegyikéhez válasszátok ki a hozzáillő nyitott mondatot, majd keressétek meg azok megoldását! Keress megoldást az egyenletekhez! Gondold meg, hogy a kapott megoldás elfogadható-e a szöveges feladat megoldásaként! indokolj!

a) Egy három kocsiból álló villamoson összesen 120-an utaztak, az első kocsiban 65-en, a máso-dikban 75-en. Hány utas volt a harmadik kocsiban?

b) Egy hordóban 120 liter bor volt, melyből először 65, majd 75 litert fejtettek át egy-egy kisebb hordóba. Hány liter bor maradt az eredeti hordóban?

c) A Holdon a napsütötte talaj hőmérséklete 120 fok volt. A naplemente után 1 órával 65 fokkal csökkent a hőmérséklet, újabb egy óra elteltével további 75 fokkal. Hány fokos lett a Hold fel-színe ezen a helyen 2 órával a naplemente után?

d) Az Alföldnek 120 m tengerszint feletti magasságban lévő pontjából fúrást végeznek. Első nap 65, második nap további 75 m-t haladtak lefelé. Milyen magasságban állt ekkor a fúró feje?

120 – 65 – 75 = x; 120 + (–65) + (–75) = x

x = 120 – (65 + 75) ; 65 + 75 + x = 120

6. Változtassátok meg az előző feladat szövegében szereplő adatokat úgy, hogy mindegyiknek legyen megoldása!

7. írjátok fel a feladatokat nyitott mondatokkal! Keressetek megoldást! indokoljátok meg, miért nem lehet természetes számmal igazzá tenni egyiket sem!

a) Melyik számot kell hozzáadni a 10-hez, hogy 2-t kapjunk?

b) Melyik számmal kell megszorozni a 10-et, hogy 2-t kapjunk?

c) Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy –1-et kapjunk?

d) Melyik számot kell megszoroznunk önmagával, hogy az eredmény 10 legyen?

8. Válasszátok ki a 4 nyitott mondat közül azt, amelyik megfelel a szöveges feladatnak, majd keres-sétek meg a megoldását is! Értelmezhetőek-e a kapott megoldások a szöveges feladok megoldása-ként?

F + 2 ∙ F+ 4 ∙ F = 25 F + (F – 2) + (F + 2) = 25

F + (F + 2) + ( F + 4) = 25 F + (F – 2) + (F – 4) = 25

a) Egy 25-ös létszámú osztályt három nyelvi csoportra osztottak. Angolt 2-vel, németet 4-gyel kevesebben tanulják, mint a franciát. Hányan tanulják az egyes nyelveket, ha mindenki ponto-san egy nyelvet tanul?

b) 25 füzetet úgy kell elhelyezni három fiókban, hogy az alsóban kettővel, a középsőben néggyel több legyen, mint a legfelsőben. Hány füzet legyen az egyes fiókokban?

c) Egy 25 km-es távot 3 részletben futottunk végig. A második órában kétszer, a harmadikban pedig négyszer annyit futottunk, mint az elsőben. Mekkora távot teljesítettünk az első, a máso-dik, illetve a harmadik órában?

d) Egy 25 hektáros erdőben háromféle fa van. A tölgyes területe két hektárral nagyobb, a bükkösé pedig két hektárral kisebb, mint a fenyvesé. Mekkora az egyes fafajtákra jutó terület?

9. Változtassátok meg az előző feladatban szereplő szövegek mindegyikében szereplő 25-ös számot olyanra, hogy mindegyiknek legyen megoldása!


10. A következő feladatoknál gondoljátok meg, lehet-e a fák száma, illetve egy telek oldalának hossza tört szám?

a) Hány sorba helyezzünk el 100 fát egy négyzet alakú telken, ha minden sorban és oszlopban ugyanannyi fát akarunk elhelyezni?

b) Hány sor legyen, ha 50 fát szeretnénk ültetni az előző feltételek szerint?

c) Mekkora egy 50 m2-es telek egy oldalának a hossza?

9. FElaDatlaP

a paScal-HáromSzög

Az alapműveletek gyakorlását a természetes számokkal kezdjük. Elsősorban sorozatok kapcsán nyílik alkalmatok számolni, de egyben gondolkodni is. Lehet fejben is számolni, írásban is, de keressetek lehetőségeket, amelyekkel megkönnyítitek a számolást.

1. Az itt látható Pascal-háromszögben könnyen felismerhető szabály szerint helyezkednek el a szá-mok. Megtalálhatjátok benne a természetes számok sorozatát is. írjátok be a hiányzó számokat a sejtekbe és ellenőrizzétek az utolsó sorral, hogy jól dolgoztatok-e! Adjátok össze az egy sorban lévő számokat! Hogy még mennyiféle érdekesség van benne, elrejtve annak felfedezése rátok vár.

A továbbiakban is természetes számokból képezünk különböző sorozatokat. Megvizsgáljuk a soro-zatban szereplő számok tulajdonságait, megpróbáljuk felírni azokat valamilyen szabállyal.


2. Számoljatok fejben 13-tól 5-ösével, a kétjegyű számok körében! Mi lesz az utolsó tag? Lesz-e a sorozat tagjai közt:

a) törtszám;

b) negatív szám;

c) 5-nek többszöröse;

d) 10-nek hatványa;

e) 8-cal osztható szám;

f) 6-nak hatványa?

g) Mire végződik a legnagyobb háromjegyű, négyjegyű szám?

3. Fejben számoljatok, de írásban jegyezzétek le a tagokat! Folytassátok a sorozatot az utolsó tag dup-lázásával! Legyen a kiindulási szám:

a) 1

b) 125

c) 3

d) 120

e) Van-e olyan szám, amelyik több sorozatban is előfordul?

f) Hányszorosa bármely tag a kettővel, hárommal előtte lévőnek?

g) Hogyan lehet könnyen 2 hatványaival szorozni, osztani fejben?

4. indulj ki a 33-ból! A következő tag legyen az előző 100-szorosa! Nevezd meg a sorozat első 6 tagját! Milyen írásmóddal lehetne könnyen és kevés számjegy felhasználásával az első 10 tagot leírni?

a collatz-probléma

5. A következő feladatban több sorozatot is elindítunk, de mindegyikre ugyanazt a szabályt alkal-maztuk. Fedezd fel a szabályt, majd folytasd a sorozatokat!

a) 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1…

b) 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40…

c) 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53…

d) 128, 64, 32, 16…

Adj meg egy pozitív egész számot! (N)

igen

nem

Oszd el 2-vel!

N páros?

Szorozd meg 3-mal és adj hozzá 1-et!


Alkalmazzátok a folyamatábrán feltüntetett eljárást a 28, 29, 30,… kezdőszámokkal és folytassátok a sorozatot! Mit figyelhettek meg?Matematikusok feltételezik, hogy bármely pozitív egésztől indulva előbb-utóbb eljutunk az 1-hez. Aki egy szép hosszú sorozatra kíváncsi, próbálkozzon a 27, 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63 kezdőszámok valamelyikével, de nem árt, ha tud programot írni hozzá, vagy legalábbis zsebszámológéppel is segíti munkáját.

10. FElaDatlaP

A következő feladatokkal a fejszámolást és írásbeli számolást gyakorolhatjátok.

1. Ezeket a feladatokat fejben próbáljátok kiszámítani!

a) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 =

b) 100 – 99 + 98 – 97 + 96 – ... – 3 + 2 – 1 =

c) (10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2) : (5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ) =

d) 1000 – 25 ∙ 8 + 37 ∙ (45 – 15 ∙ 3) =

2. Ezeket a feladatokat írásban számítsd ki!

a) 18693 + 222222 + 6178839 + 1234567 =

b) 654321 + 456790 + 123456 =

c) 3688214 – 2453647 =

d) 9526969 – 1872648 =

e) 1279463 – 723 908 =

f) 617 ∙ 40 =

g) 367 ∙ 37 =

h 402 859 ∙ 19 =

i) 9721 ∙ 127 =

j) 172 205 : 31=

k) 96 252 : 78=

l) 298 845:29 =

Az eddigi feladatokban természetes számok szerepeltek. Foglaljuk össze a legfontosabb ismereteket ezekről a számokról:

ÖSSZEGZéSA természetes számokhoz dolgok megszámlálásával juthatunk el. Megállapodás szerint a 0-t is természetes számnak tekintjük. A természetes számok jele: nBármely két természetes számot összeadva, vagy összeszorozva mindig természetes számot kapunk.

A kivonás és osztás elvégezhetőségéhez bővítenünk kell a természetes számok halmazát!


Az EGész száMoKKIVONÁSSAL A NEGATÍV SzÁMOK VILÁGÁBA

Láttuk, hogy a kivonással kijutunk a természetes számok köréből. Hogy ne kelljen korlátokat szabni ennek a műveletnek, kibővítjük a természetes számok halmazát a negatív egész számokkal.A pozitív és negatív számokat előjelük segítségével különböztethetjük meg. Az előjelet csak nega-tív számoknál kell kitenni, de pozitív számok esetén is használhatjuk, különösen, ha hangsúlyozni kívánjuk pozitív előjelét. Gyakran halljuk, olvassuk ezt téli időszakokban, amikor a hőmérsékletet előjeles számmal adják meg. Nyárra ez feleslegessé válik.

A negatív számok meglehetősen későn kaptak szerepet a matematikusok közt. Csak a középkor vége felé, a Xii–XV. században kezdték használni ezeket, mint hiányt jelentő számokat. Az1500-as évek legnagyobb matematikusai Cardano, Stifel nem létező (fiktív), vagy abszurd számoknak nevezték, de 100 évvel később még descartes (ejtsd: dékárt) is a hamis jelzővel illette a negatív számokat. Érdekes, hogy ezer évvel korábban az indiai matematikusok már használták a nega-tív számokat, és minden műveletet elvégeztek velük. Euró-pában egy ideig p és n betűkkel különböztették meg a pozi-tív és negatív számokat, a + és – előjelek is csak az 1500-as években terjedtek el. Milyen területeken használják napjainkban a negatív számokat? Sorolj fel néhányat és azt is tedd hozzá milyen nagyságúak ezek a számok!Milyen mennyiségek nem vehetnek fel negatív értékeket?

11. FElaDatlaP

SzÁMOK ELLENTETTJE, SzÁMOK ABSzOLúT ÉRTÉKE

Elevenítsünk fel két korábban tanult fogalmat!

1. Figyeljétek meg a következő számpárokat: (5 ; –5), (20 ; –20), (–11 ; 11), (a ; –a)

a) Milyen művelettel kaphatod meg az első számból a másodikat?

b) Milyen művelettel kaphatod meg a másodikból az elsőt?

c) Mennyi lesz ezeknek a számpároknak az összege?

d) Van-e párja a 0-nak? Mi lesz a párja?

e) Hogyan nevezzük ezeket a számpárokat?

f) Mi lesz bármely szám ellentettjének az ellentettje? igazold az előzőek alapján!

2. Milyen közös tulajdonsága van a 25 – 15 és a 15 – 25 kivonások eredményének?

tudnivalóKét számot egymás ellentettjének nevezzük, ha csak előjelükben térnek el egymástól.Egy szám ellentettjét –1-gyel való szorzással is megkaphatjuk.A számegyenesen a 0-tól egyenlő távolságra található számok egymás ellentettjei. Ellentett számok összege 0.

Számok

Egész számok–1 –2 –3 –4 –5 –6

–10 –20 –50 –100 –789 –1000 –5555 –9999 –11111

T

ermészetes számok

0 1 2 3 4 5

10 20 30 40 50

100 1000 10000


3. Mely számok találhatók a számegyenesen a 0-tól 25, 12, 1, 0, illetve –1 egységnyire?

4. Sorold fel azokat az egész számokat, melyek 5 egységnél közelebb vannak a 0-hoz!

5. Hány olyan egész szám van, amelynek távolsága legfeljebb 10 egység a 0-tól?

6. Színezd ki a számegyenesen azokat a számokat, melyek a 0-tól legalább 4, de kevesebb, mint 8 egy-ségre vannak!

–15 –10 –5 0 5 10 15

7. Fogalmazd át a 8-as feladatot úgy, hogy az abszolút érték fogalmát is felhasználod!

8. írj fel nyitott mondatokat, melyek megoldásait (vagy azok számát) az előző feladatok adják:

tudnivalóEgy szám abszolút értékén a számegyenesen a nullától való távolságát értjük.Egy szám abszolút értéke negatív szám esetén a szám ellentettje, egyébként önmaga. Egy szám, vagy kifejezés (x) abszolút értékének jele: |x|

12. FElaDatlaP

1. Az abszolút érték és ellentett fogalmak ismeretében válaszolj a kérdésekre!

a) Hány olyan szám van, aminek az ellentettje 100?

b) Hány olyan szám van, aminek az abszolút értéke 100?

c) Hány olyan szám van, aminek az ellentettje –100?

d) Hány olyan szám van, aminek az abszolút értéke –100?

e) Mely számok nagyobbak az ellentettjüknél?

f) Mely számok kisebbek az abszolút értéküknél?

g) Melyik szám nagyobb 12-vel az ellentettjénél?

h) Melyik szám kisebb 8-cal az abszolút értékénél?

2. Mi lehetett a szám, ha:

a) hozzáadtam az abszolút értékét, így 0-t kaptam,

b) hozzáadtam az ellentettjét, így 0-t kaptam,

c) kivontam az ellentettjét, így nullát kaptam,

d) hozzáadtam az abszolút értékét és az ellentettjét, így 0-t kaptam.

3. Mely egész számokra igazak a következő állítások?

a) |x| = x b) x + (–x) = 10 c) x +|x| = 10 d) x – 2 ∙ x = –x

e) x > |x| f) |x| < 5 g) |x| < –5 h) –x > x


4. igaz vagy hamis? Hasonlítsátok össze a természetes számok, a negatív egészek és az egész számok halmazát a következő állítások alapján! Az utolsó sorhoz keressetek olyan állítást, amire teljesül-nek a feltételek!

Pozitív egészek

Negatív egészek

Egész számok

Végtelen sok eleme van.

Van legnagyobb eleme.

bármely eleménél van kisebb eleme.

bármely elemének abszolút értéke is benne van.

bármely elemének ellentettje is benne van.

bármely két elemének összege is benne van.

bármely két elemének szorzata is benne van.

bármely két elemének hányadosa is benne van.

Minden eleme természetes szám.

i i H

ÖSSZEGZéSA természetes számok halmazát a negatív egész számokkal kiegészítve az egész számok halmazához jutunk. Az egész számok halmazának jele: ZAz egész számok összege, szorzata és különbsége is mindig egész számot eredményez.

13. FElaDatlaP

1. Fejben számoljatok! Hogyan kapjátok meg a különbséget?

12 – 15 = 100 – 101 = 499 – 1000 =

1 – 1 000 000 = 666 – 777 = 1234 – 5678 =

2. Keressük meg a nyitott mondatok megoldását!

a) 20 – a = –5 5 – b = –20 100 – c = –100 0 – d = –1234

b) a –20 = –5 b – 5 = –2 c – 379 = –379 d – 50 = –100

3. írjunk fel négy kivonást, melyeknek eredménye –20! Az elsőnek pozitív szám legyen a kisebbí-tendője a másodiknak negatív! A harmadiknál a kisebbítendő, a negyediknél a kivonandó legyen nulla!

4. Van-e legnagyobb illetve legkisebb egész szám?

5. Melyik a legkisebb pozitív egész?

6. Melyik a legnagyobb negatív egész?


7. Mindegyik feladathoz használjatok számegyenest!

a) Jelöljétek be a számegyenesen a –6-nál nagyobb negatív egészeket! Hány számot találtatok?

b) Jelöljétek be a számegyenesen a 4-nél kisebb pozitív egészeket! Hány számot találtatok?

c) Jelöljétek be a számegyenesen a –4-nél nagyobb egészeket! Hány ilyen szám van?

d) Jelöljétek be a számegyenesen az 5-nél kisebb egészeket! Hány ilyen szám van?

e) Karikázzátok be a számegyenesen pirossal a –7-nél nagyobb egészeket, kékkel a 3-nál kisebb egészeket! Mely számokat karikáztátok be mindkét színnel?

f) Karikázzátok be a –3-nál nem kisebb egészeket pirossal, a 3-nál nem nagyobb egészeket kékkel! Hány számot karikáztál be mindkét színnel?

8. Mely egész számok teszik igazzá a következő állításokat?

0 < a < 5 –3 < b < 2 –10 c < –7

–503 < d –499 –1 e 1 –3 > f > 13

9. Hány megoldása van az egyenlőtlenségeknek az egész számok körében?

–20 < a < 20 –100 b 100 –500 c < 0

–45 d < –55 –109 < e < 109

ALAPMŰVELETEK

A természetes számok körében nem igazán kellett szabályokat megfogalmazni a műveletek értelme-zésére, elvégzésére. Ha a negatív számokat is bevonjuk, akkor az alapműveletek részben új értelmet nyernek. Emlékezzetek az első csodálkozásra, amikor kiderült, hogy hozzáadással is csökkenhet és elvétellel is növekedhet valami, gondoljunk csak az adósságra és vagyoni helyzetünkre. Az összeadás és kivonás műveleténél új szabályokat fogalmaztunk meg, melyek a negatív számok hozzáadását, kivonását tette lehetővé. A szorzás új értelmet nyert, hiszen a negatív egésszel történő szorzás már nem írható fel összeadásként. A hatványozás is új problémákat vetett fel akár az alap, akár a kitevő helyére került negatív egész szám.

14. FElaDatlaP

1. A továbbiakban a négy alapműveletet az egész számok körében gyakoroljuk. Először a tábláza-tok kitöltésével idézzétek fel a legfontosabb szabályokat! indokoljátok meg, mely feltételek mellett kerülnek bizonyos cellákba azonos számok!

a)

a b a + b |a + b| |a| + |b| |a| + b a + |b| – |a| + b

–5 +8

–9 +2

–10 –4

+2 –8


b)

a b a – b b – a |a – b| |b – a| |a| – |b| |b| – |a| |a| – b

–5 +8

–9 +2

–10 –4

+2 –8

c)

a b a · b |a · b| |a| · |b| |a| · b a · |b|

–5 +8

–9 +2

–10 –4

+2 –8

2. Végezd el a következő műveleteket! (Használjátok ki, hogy a feladatokban azonos abszolút értékű számok szerepelnek, így egyrészt fej-

ben számolhattok, másrészt az eredményeket megfelelő módosítással felhasználhatjátok a későbbi feladatokban! A műveletek elvégzésekor fogalmazzátok meg az alkalmazandó szabályt!)

a) +65 + (+13) = +65 +( –13) =

–65 + (+13) = –65 + (–13) =

b) +65 – (+13) = +65 – (–13) =

–65 – (+13) = –65 – (–13) =

c) +65 ∙ (+13) = +65 ∙ (–13) =

(–65) ∙ (+13) = (–65) ∙ (–13) =

d) +65 : (+13) = +65 : (–13) =

(–65) : (+13) = (–65) : (–13) =

e) +65 : 0 = 0 : 13 =

(–65) : 0 = 0 : 0 =

3. Oldd meg a nyitott mondatokat! (A nyitott mondatok igazzá tételénél alkalmazzátok az előbb használt szabályokat!)

+9 + a = +5; –9 + b = –7; –2 + c= –8; +15 + d = –15; –77 + e = 0

f – (+9) = –3; g – (+7) = –9; –5 – h = –20; +3 – i = +8; –11 – j = +11

(+25) ∙ k = –75; (–11) ∙ m = +77; n ∙ (–6) = –48; (–33) ∙ p = 0; q ∙ q = –9

–60 : s =–6; –49 : t = +7; u : (–3) = –6; v : (+5) = –5; x : (–9) = 0; (–5) : y = 0


TöBBTAGú öSSzEGEK, öSSzEVONÁS

Egy feladat megoldása során több műveletet tartalmazó műveletsorral is találkozhatunk. A következő számkifejezések ilyenek.

4. Végezd el az összevonásokat! (Csoportosítsd előjel szerint a számokat, majd a kapott két különböző előjelű összeggel számolj

tovább!)

33 + (–7) + (–11) + 20 + (–41) =

(–48) + (–50) + 26 + (–66) + (–100) =

(–28) + 21 + 70 + (–9) + 58 =

123 + 248 + (–73) + 301 + (–473) =

5. Végezd el az összevonásokat! (Ha figyelmesen megnézitek a tagokat, akkor kiderül, hogy lehetőség van a számolás megkönnyí-

tésére.)

100 + (–55) + 30 + 25 + (–101)=

(–20) + 30 + 40 + (–50) + 60 =

(–45) + 30 (–70) + (–25) + 40 =

333 + 444 + 555 + (–777) + (–500) =

6. írd át a kivonásokat összeadássá! Utána számolj az összeadásnál ismételtek szerint!

25 – (–12) – (–8) + 13 =

(–10) + 18 – (–7) =

100 – (–30) + 25 + 5 – 20 =

–8 – 5 – (–11) + 9 + (–11) =

7. írd át a műveletsort, hogy csak pozitív számok szerepeljenek benne! Ezután lépésről lépésre szá-molj!

3 + (–5) – (–7) –2 =

–9 + (–6) – (–7) + 3 + (–2) – (–10) =

8. Oldd meg az egyenleteket! A megoldás előtt végezd el a lehetséges műveleteket!

(–35) + (–40) + x = 0

75 + (–30) + x = 100

(–56) + 46 + (–20) + x = –76

100 + (–55) + 30 + 25 + (–101) + x = 0


TöBBTÉNYEzŐS SzORzATOK, HATVÁNYOzÁS

9. Végezd el a szorzásokat! (Előbb állapítsd meg a szorzat előjelét, utána számítsd ki az abszolút értékét!)

4 ∙ 5 ∙ ( –3) ∙ 10 = (–5) ∙ (–3) ∙ (–10) ∙ 4 =

(–2) ∙ (–4) ∙ (–25) ∙ (–7) = (–4) ∙ 7 ∙ 2 ∙ (–25) =10. Végezd el a szorzásokat! Határozd meg a szorzatok előjelét többféleképpen! (Összeszámolhatjuk a negatív tényezőket (figyelembe véve a negatív alaphoz tartozó kitevőket),

vagy csak a két tényező előjeléből állapítjuk meg.)

(–2)3 ∙ 32 = (–2)4 ∙ (–5)2 =

(–2)2 ∙ (–2)3 ∙ (–2)4 ∙ (–5)9 = (–1)111 ∙ (–111)1 =

11. Végezd el a műveleteket! (Ügyelj a sorrendre!)

(–10) +(–3) ∙ (–5)2 =

{(–10) + (–3)} ∙ (–5)2 =

(–10) + {(–3) ∙( –5)}2 =

{–10 + (–3) ∙ (–5) }2 =

töRtekOSzTÁSSAL A TöRTSzÁMOK VILÁGÁBA

Az osztás több szempontból is különleges szerepet tölt be az alapműveletek körében. Ez a művelet nemcsak a természetes, de az egész számok köréből is kivezet. Az alábbi osztások közül válasszuk ki azokat, melyek hányadosa nem egész szám:

12345 : 5 = 54321 : 4 = 3333 : 10 =

77777 : 7 = 120 : 61 = 1234 : 4321 =

Ha nem akarunk az egész számok köréből kilépni, akkor maradékos osztást is végezhetünk. A mara-dék lehetővé teszi, hogy „kijátsszuk” az osztás, egész számok köréből történő kilépését. Ez tette lehe-tővé, hogy az osztással már alsó tagozatban is foglalkozzunk, de ennek az volt az ára, hogy az ered-mény – a hányados – mellett megjelent a maradék. Az oszthatóságra, maradékokra a matematika egy külön fejezete, a számelmélet szól.

Ha meg kívánunk szabadulni a maradékoktól, akkor az osztás elvégzéséhez az egészeket ki kell egé-szítenünk a tört számokkal.

bármely osztás eredményét felírhatjuk tört alakban úgy, hogy az osztandót a számlálóba, az osztót a nevezőbe írjuk. Az így kapott törtet persze egyszerűsíthetjük is.

15. FElaDatlaP

1. írjátok fel törtként a hányadosokat, majd egyszerűsítsetek, ha lehet!

32 : 10 = 50 : 15 = 63 : 14 =

60 : 7 = 45 : 9 = 100 : 99 =


Láthatjátok, hogy minden osztáshoz tartozik egy tört alak, még ahhoz is, amelyiknek eredménye egész szám .

A két egész szám hányadosával előálló számokat racionális számoknak nevezzük.

A hányadost megkaphatjuk tizedes tört alakban is, ha az írásbeli osztást folytatjuk az egész rész után. A legtöbb számológép vagy matematikai program is tizedes törtként adja meg a hányadost.A kivonáshoz hasonlóan az osztásnál sem cserélhetők fel a műveletben szereplő számok. Nézzük meg, hogyan változik a hányados, ha felcseréljük az osztandót és az osztót!

SzÁMOK REcIPROKA

2. Végezd el az osztásokat! A hányadosokat tizedes törttel add meg! Majd szorozd össze a két hánya-dost!

8 : 5 = 5 : 8 =

Ha jól számoltál, akkor eredményül 1-et kaptál.Még szembetűnőbben mutatkozik ez meg, ha az osztások eredményét törtként írjuk le:

8 : 5 = 85

5 : 8 = 58

85

∙ 58

= 4040

tudnivalóKét számot reciprok számoknak nevezünk, ha szorzatuk 1.

3. írd a számok mellé a reciprokukat!

a) 45

715

9920

1725

b) Hogyan kaphattuk meg ezeknek a számoknak a reciprokát? Mit tükröz az utolsó példa? Fogal-mazd meg!

c) Ezeknek a számoknak a reciprokát is számítsd ki!

1,3 3 45

0,4 2,5 5 123

Mennyiben nehezebb ez a feladat az előzőnél, hogyan hidalható át a nehézség?Találtál-e az adott számok közt olyanokat melyek egymás reciprokai? Hogyan írható fel könnyen egy egész szám reciproka?

4. Van-e reciproka a 0-nak? indokoljátok a választ!

5. Van-e olyan szám, ami megegyezik a reciprokával?


6. Az ellentettről és a reciprokról tanultakkal egészítsd ki a táblázat hiányos mondatait!

Ha két szám egymás ellentettje, akkor összegük 0.

Ha két szám egymás reciproka, akkor ………

………………………………………………………

Ha két szám összege 0, akkor …………………

………………………………………………………Ha két szám szorzata 1, akkor a két szám egy-más reciproka.

Az egyetlen szám, ami egyenlő az ellentettjével a 0.

Az egyetlen pozitív szám, amely ………………

………………………………………………………

Ellentett számok csak előjelükben különböznek, abszolút értékük megegyezik.

Egy szám reciprokát a számláló és nevező felcserélésével kaphatjuk meg.

Egy szám ellentettjének az ellentettje maga a szám .

………………………………………………………

………………………………………………………

Ha egy számot a-val jelölünk, akkor …………

………………………………………………………

Ha egy számot a-val jelölünk, akkor az a

reciproka: 1a

. Az a nem lehet nulla.

Egy szám ellentettjét (–1)-gyel való szorzással kapjuk. (Megkaphatjuk úgy is, hogy kivonjuk a számból a kétszeresét.)

Egy szám reciprokát a (–1)-edik hatványa adja. (Pozitív szám esetén megkaphatjuk úgy is, hogy elosztjuk a számot a négyzetével.)

műveletek A RAcIoNálIs számköRbeNA TöRTTEL VALó SzORzÁS ÉS OSzTÁS

A racionális számok körében mindegyik alapművelet elvégezhető. Egyes a műveletek azonban új értel-met nyerhetnek. Már a negatív számmal való szorzás sem volt visszavezethető azonos tagok összegére és ugyanez a helyzet fennáll a törttel való szorzásnál is.Például:

23

∙ 4 = 23

+ 23

+ 23

+ 23

= 83

23

∙ 45

= ?

Törttel való szorzás nem értelmezhető összeadásként, mert a tagok száma nem lehet tört. Ezért új értelmezést adtunk a törttel való szorzásnak:

23

∙ 34

jelentése: 23

-nak a 34

része.

tudnivalóBármely szám törttel adott részét a törttel való szorzással kapjuk meg.

Például:

5-nek a 34

része: 5 ∙ 34

= 5 ∙ 34

= 154


3,5-nek a 47

része: 3,5 ∙ 47

= 3,5 ∙ 47

= 147

= 2

38

-nak a 29

része: 31

84 ∙ 21

93 = 112

A valahányad részt sokszor százalékban adjuk meg. A százalék, a 100 nevezőjű törtnek másfajta jelö-lése. Például:

35100

= 35% 125100

= 125% 500100

= 500% 3,5100

= 3,5%

Nemcsak 100-as nevezőjű törtek írhatók százalék alakba:

3350

= 66100

= 66% 1220

= 60100

= 60% 1260

= 210

= 20100

= 20%

240300

= 80100

= 80%

Ezeket a törteket egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel alakítottuk századokká.

78

= 56

= 411

= 20150

=

Ezeket a törteket nem tudjuk századokká alakítani egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel. ilyenkor osztás-sal tizedes törtté alakítjuk a törtet és (esetleg kerekítés után) ebből kapjuk a százalék alakot:

78

= 7 : 8 = 0,875 = 87,5% 56

= 5 : 6 = 0,83• 83%

411

= 20150

=

Osztás után írjátok át a két törtet százalékokká!Nemcsak a törtek írhatók át százalékra, hanem fordítva, a százalékok is törtekké:

75% = 75100

= 34

120% = 120100

= 65

123% = 123100

12,5% = 12,5100

= 25200

= 54

16. FElaDatlaP

1. írjátok tört alakba a következő százalékban megadott számokat! Lehetőség szerint egyszerűsítse-tek!

16% = 45% = 80% = 225% = 600% = 1111% =

A törttel való osztásnak is új értelmet adhatunk.

Ha 5-nek a 34

része: 5 ∙ 34

= 154

, akkor az a szám aminek a 34

része 154

az 5, amit a

154

: 34

= 154

∙ 43

= 5 osztással kapunk meg.


tudnivalóEgy szám vagy mennyiség tört részéből az egész mennyiséget osztással kapjuk meg.

Például:

Melyik szám 89

része a 163

?

Válasz: 163

: 89

= 163

∙ 98

= 6, tehát a 6-nak a 89

része a 163

.

2. Figyeljetek a kérdésre! írjátok fel a megfelelő művelettel, majd számítsátok ki!

Mennyi 15-nek a 23

része; 45

része; 29

része; 30%-a?

Melyik számnak a 23

része; 45

része; 29

része; 30%-a a 15?

A NÉGY ALAPMŰVELET A RAcIONÁLIS SzÁMKöRBEN

3. Tegyétek próbára tudásotokat az itt szereplő műveletek elvégzésével!

A = 0,2 B = 2,5 C = 23

D = 1 16

A + B = C + D = A + C = B + D = (A + B) · A =

A – B = C – D = A – C = B – D = (B – A) : B =

B – A = D – C = C – A = D – B = (C + D) · C =

A · B = C · D = A · C = B · D = (D – C) : D =

A : B = C : D = A : C = B : D = A · A – C · C =

B : A = D : C = C : A = D : B = A · B · C : D =

A következő feladatsorokkal fejleszthetitek tudásotokat.

4. Alapműveletek tizedes törtekkel:

a) 3,45 + 56,8 + 111 + 0,243 =

1001,333+109,077+333,1001 =

5,13 + (–3,2) + 4,87 + (–6,8) =

–0,1 + 0,02 + (–0,003) + 0,0004 =


b) 54,79 – 17,9 = 23,8 – 7,26 =

70 – 0,25 = 50,1 – 1,22 =

100 – 100,01= 0,15 – 10,14 =

c) 34,25 ∙ 1,6 = 342,5 ∙ 0,16 =

(–10,01) ∙ 10,1 = (–0,25) ∙ (–0,32) =

2,345 ∙ 0,165 ∙ 0 = 0,25 ∙ 3,45 ∙ 400 =

d) 35,7 : 3 = 77,7 : 15 =

(–2,64) : 24 = (–12) : (–0,4) =

0,121 : 4,4 = 71,1 : 0,36=

5. Alapműveletek törtekkel, vegyes számokkal. Számolás közben idézzétek fel a műveletekről tanul-takat! Ne feledkezzetek meg az egyszerűsítésekről!

a) 3

8 + 5

4 ; 9

7 + 4

5 ; 3

4 + 2

5 + 7

10 ; 4

3 + 3

5 + 5

4 ; 5 2

5 + 4

5 ; 3 5

6 + 2 1

3

b) 13

8 – 5

8 ; 1 – 4

7 ; 5

9 – 1

3 ; 3

8 – 1

7 ; 2 4

5 – 1

2 ; 3 1

3 – 5

6 ; 2 5

8 – 1 3

4

c) 2

7 ∙ 3; 5

8 ∙ 7; 3

5 ∙ 5; 2 1

3 ∙ 9; 2

5 ∙ 1

3 ; 8

15 ∙ 5

4 ; 55

16 ∙ 15

22 ∙ 24

25 ; 5 5

8 ∙ 1 1

15

d) 6

11 : 3; 5

8 : 2; 1 3

5 : 8; 6 1

4 : 15; 4

9 : 3

5 ; 12

7 : 9

14 ; 9

4 : 1 1

2 ; 1 19

21 : 3 4

7

tudnivalóAz egész és tört számok halmazának egyesítésével kapott halmaz a racionális számok halmaza. A racionális számok halmazának jele: Q.A racionális számok köréből egyik alapművelet sem vezet ki. A természetes számokból a négy alapművelet – véges sok – alkalmazásával kapott szám mindig racionális. A racionális számok mindig felírhatók két egész szám hányadosaként.

17. FELADATLAP

1. Hasonlítsuk össze az egész és a racionális számok néhány tulajdonságát! Néhány egyszerűnek tűnő kérdés meglepő válaszokat rejt!

a) Melyik a legkisebb pozitív egész szám?

b) Melyik a legkisebb pozitív tört szám?

c) Hány egész szám van az 1 és az 1000 között? Melyik a legkisebb és a legnagyobb?

d) Hány tört szám van az 1 és a 2 között? Melyik a legkisebb és a legnagyobb?

e) 1-nél nagyobb, vagy 1-nél kisebb pozitív racionális számból van-e több?


2. A táblázat kiegészítésével végezzétek el a két számhalmaz összehasonlítását!

……………………………………………………… Racionális számok

Jele: z Jele: ……………

Egész számok köréből az

……………………………………………………… művelete kivezet.

racionális számok köréből egyik alapművelet sem vezet ki.

bármely két különböző egész szám között

……………………………………………………… sok egész szám található.

bármely két különböző racionális szám között

……………………………………………………… sok racionális szám található.

Két nem szomszédos egész szám között

……………………………………………………… legkisebb és legnagyobb egész szám.

Két különböző racionális szám között

……………………………………………………… legkisebb, illetve legnagyobb racionális szám.

Az egymást követő egész számok egységnyi távolságra helyezkednek el a számegyenesen, így beszélhetünk szomszédos egészekről.

A racionális számoknak nem adhatók meg a közvetlen szomszédjai, nincs hozzájuk legkö-zelebb eső racionális szám.

3. igaz–hamis?

a) Minden racionális szám egész szám.

b) Minden természetes szám racionális szám.

c) Van olyan racionális szám, ami természetes szám.

d) Van olyan egész szám, ami nem racionális szám.

e) bármely két különböző racionális szám közt található további racionális szám.

f) Két racionális szám különbsége nem lehet kisebb, mint 0,0000001.

g) Az 1 és a 1 000 000 között több egész szám van, mint racionális szám a 0 és az 1 között.

VÉGES ÉS VÉGTELEN SzAKASzOS TIzEDES TöRTEK

A racionális számokat tizedes törtként is felírhatjuk. Nézzük meg, hogy milyen lehet ez a tizedes tört!Mivel minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként, a tizedes tört alakot ennek a két számnak az osztásával kapjuk. Például:

25

= 2 : 5 = 0,4; 38

= 3 : 8 = 0,375; 7980

= 79 : 80 = 0,9875.

A törtek tizedes tört alakja véges, mert egy véges sok osztás után 0 maradékot kaptunk.

ismerünk azonban más eseteket is. Az 13

a legegyszerűbb példa arra, hogy egy racionális szám tize-

des tört alakja másképpen is viselkedhet:

13

= 1 : 3 = 0,33333…

ami soha nem ér véget, mert minden osztás után megjelenik ugyanaz a maradék.Az ilyen végtelen tizedes törtek jelölésénél az ismétlődő számjegy fölé pontot teszünk:


23

= 2 : 3 = 0,66666… = 0,6 • 512

= 5 : 12 = 0,41666… = 0,46 •

Az első tört az ismétlődő számmal kezdődött. ilyen esetekben tiszta szakaszost tizedes törtről beszé-lünk. A második törtnek van nem ismétlődő része – 0,41 –, majd ezt követi a szakasz. Az ilyen számo-kat vegyes szakaszos tizedes törteknek nevezzük. A szakasz állhat 1 vagy több jegyből:

49

= 4 : 9 = 0,4444… = 0,4 • 511

= 5 : 11 = 0,454545… = 0,4 •5•

Ügyeljünk arra, hogy utóbbi szám nem azonos a számmal hiszen ez vegyes szakaszos tizedes tört,

melynél 1 számjegyből áll a szakasz. Utóbbi szám a 4190

tizedes tört alakja.

Felvetődik a kérdés, hogy miért lesznek az osztás során kapott végtelen tizedes törtek szakaszosak?

18. FElaDatlaP

1. égezzétek el a következő osztásokat! Figyeljétek meg hány jegyből áll a szakasz! Alkalmazzátok a megfelelő jelölést!

a) 40 : 9 = 50 : 9 =

b) 60 : 11 = 70 : 11 =

c) 80 : 7 = 90 : 7 =

Észrevehetitek, hogy a szakasz hosszát az osztó határozza meg. 9-cel osztva például, mindig egyje-gyű szakaszt kaptunk. Azt sem nehéz kitalálni, melyik szám adja az ismétlődő szakaszt.Ha 11-gyel osztunk, akkor mindig két jegyből álló szakaszt kapunk. Osszatok el további számokat 11-gyel, és figyeljétek meg, milyen számok alkotják a szakaszt! Mennyi a szakaszt alkotó számjegyek összege? Mi lesz az első számjegy?7-tel osztva úgy tűnhet, sosem ér véget az osztás, de ha meggondoljuk, hogy a maradék csak 7-féle lehet (1, 2, 3, 4, 5, 6 és 0), akkor a 6. osztás után vagy véges tizedes törtet kapunk, vagy egy korábbi maradéknak kell megjelennie. Tehát a szakasz nem lehet hosszabb, mint 7 – 1 = 6 jegy.

1 : 7 = 0,142857 142857…2 : 7= 0,285714 285714…3 : 7= 0,428571 428571…4 : 7= 0,571428 571428…5 : 7= 0,714285 714285…6 : 7= 0,857142 857142…

Érdemes megfigyelni, mi lesz a szakasz, ha 7-tel osztunk. Látható, hogy valóban mindegyik osztás 6 jegyű szakaszt eredményezett. Figyeld meg a szakaszban szereplő számok sorrendjét! Mit veszel észre?Nem a 7-es az egyetlen osztó, amelyik így viselkedik. Keressetek számoló- vagy számítógéppel olyan osztókat, amelyeknél a szakasz hossza eggyel rövidebb, mint az osztó helyén lévő szám!Ha sokjegynyi pontossággal működő programotok van, akkor ugyanezt vehetitek észre 17-tel, 19-cel, 23-mal vagy 29-cel osztva. Tévedés lenne ebből arra következtetni, hogy minden prím esetében ez a helyzet, hiszen például a 13-mal történő osztásnál csak 6 jegyből áll a szakasz. Megállapítható, hogy az osztásnál kapott végtelen szakaszos tizedes törtben a szakasz jegyeinek száma mindig kevesebb, mint az osztó helyén lévő szám.


19. FElaDatlaP

1. Végezzétek el az osztást a szakasz felismeréséig, majd jelöljétek megfelelően a kapott végtelen tize-des törtet!

5555,5 : 45 = 617,25 : 5 = 1111 : 9 = 1358 : 11 =

2. Állítsuk a 1. feladatban kapott négy hányadost nagyság szerint növekvő sorrendbe!

3. írjuk át tizedes törtté a következő törteket!

a) A feladat megoldását nagyban könnyíti, hogy a nevezőben 10 hatványai szerepelnek.

310

= 49100

= 1231000

= 211000

= 6710

=

b) A következő törtekből bővítéssel olyan törtekhez juthatunk, melyeknek nevezői szintén 10 hat-ványai. Miért? Figyeld meg a nevezők prímtényezős felbontását!

45

= 1325

= 34

= 750

= 920

=

c) Miért nem lehet a következő törteket bővíteni az előző mintájára? ismét a nevező prímtényezős felbontása adja meg a választ. Milyen módon alakíthatod át a törtet tizedes törtté?

23

= 59

= 911

= 1112

= 1315

=

ÖSSZEfoGlaláSHa egy tört nevezőjében 10 valamelyik hatványa szerepel, akkor a számlálóban elhelyezett tizedesvesszővel közvetlenül átírhatjuk tizedes törtté:

123100

= 1,23

451000

= 0,045

Ha a tört nevezőjének prímtényezős felbontásában legfeljebb 2-es és 5-ös primtényezők vannak, akkor bőví-téssel 10 hatvánnyá alakíthatjuk. Ezután az előzőek szerint történhet az átalakítás:

3320

= 33 ∙ 520 ∙ 5

= 165100

= 1,65

111250

= 111 ∙ 4250 ∙ 4

= 4441000

= 0,444

Keressünk összefüggést a tört rész hossza és a nevező prímtényezős felbontásában szereplő kitevők közt!Ha a nevező prímtényezős felbontásában nemcsak 2-es és 5-ös prímtényezők vannak, akkor nem lehet 10-hatványú nevezőre bővíteni. Ekkor – osztással – végtelen tizedes törtet kapunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában se 2-es se 5-ös nem szerepel, akkor tiszta szakaszos tizedes törtet kapunk, ami a szakasszal kezdődik. Ha szerepel 2-es vagy 5-ös, akkor vegyes szakaszos tizedes tört lesz az eredmény, amiben van nem ismétlődő rész is.


1511

= 15 : 11 = 1,363636... = 1,3•6•

6855

= 68 : 55 = 1,2363636... = 1,23•6•

309275

= 309 : 275 = 1,12363636... = 1,123•6•

Keress összefüggést a nem ismétlődő rész hossza és a nevező prímtényezős felbontásában szereplő kitevők közt!

4. írjátok át a 29

, 1150

, 21100

, 15

, 1990

, 733

, 53250

törteket tizedes törtté, majd rendezzétek azokat

növekvő sorrendbe!

5. döntsétek el a következő törtek közül melyeknek lesz véges tizedes tört alakja!

114

, 411

, 771000

, 56

, 521

, 1732

, 111200

, 1324

, 1524

, 10011024

Próbáljátok megállapítani a törtrészben szereplő jegyek számát!

6. igaz–hamis? (Az állítások tovább nem egyszerűsíthető törtekre vonatkoznak.)

a) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 2 hatványa, akkor tizedes tört alakja véges.

b) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 10 hatványa, akkor tizedes tört alakja véges.

c) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páros, akkor tizedes tört alakja véges.

d) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páratlan, akkor tizedes tört alakja végtelen.

e) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője 1-nél nagyobb és 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re vég-ződik, akkor tizedes tört alakja végtelen.

f) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört véges tizedes törtté írható, akkor reciprokának tizedes tört alakja is véges.

g) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője páros, vagy 5-re végződik, és tizedes tört alakja végtelen, akkor a tizedes törtben lesz nem ismétlődő rész is.

h) Ha egy tovább nem egyszerűsíthető tört nevezője legalább kétjegyű és abban csak egyforma számjegyek találhatók, akkor annak tizedes tört alakja nem lehet véges.

i) Ha egy tört tizedes tört alakja véges, akkor annak négyzete is 3., 4. stb. hatványa is véges tizedes törtet ad. (Próbáld bebizonyítani véleményed!)

7. Számítógépes programmal, sok jegy pontossággal, írjátok át tizedes tört alakba az

1

49, 1

499 , 1

4999, törteket! Milyen érdekességet veszel észre a törtrészben?

tudnivalóA racionális számok tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört.


VÉGES TIzEDES TöRTEK TöRT ALAKJA

Az előzőekben törteket hoztunk tizedes tört alakra, most végezzük el ennek a feladatnak a fordított-ját! Az 1-nél kisebb számok esetén a tört rész kerül a számlálóba és a legkisebb helyérték a nevezőbe:

0,7 = 710

= 0,37 = 37100

0,00123 = 123100000

Ha a tizedes tört egynél nagyobb, akkor a számlálóba a tizedes tört kerül, de tizedes vessző nélkül:

5,67 = 567100

333,3 = 333310

10,01 = 1001100

írjátok át a következő tizedes törteket törtalakba, majd végezd el a lehetséges egyszerűsítéseket:

0,1; 0,12; 0,123; 0,1234; 0,12345; 1,2345; 12,345; 123,45!

PÉLDÁK NEM RAcIONÁLIS SzÁMOKRA

bár az alapműveletek nem vezetnek ki a racionális számok köréből, ez nem jelenti azt, hogy nincse-nek nem racionális számok. Később megismerkedünk olyan műveletekkel, melyek a racionális szá-mok köréből is kivezetnek. Az így kapott számokat irracionális számoknak nevezzük. bebizonyítható, hogy az irracionális számok nem írhatók fel egész számok hányadosaként és tizedes tört alakjuk vég-telen és nem szakaszos.ilyen irracionális szám a görög (pi) betűvel jelölt szám, melynek közelítő értéke: 3,141592653… Ez a szám játszik szerepet a kör kerületének és területének kiszámításában. Ugyancsak irracionális számmal adható meg annak a négyzetnek az oldala, melynek területe 2 terü-letegység. Ez a hosszúság megközelítőleg: 1,414213562... Ezeket a számokat a gyakorlatban a megvas-tagított kerekített értékükkel szokták helyettesíteni.Mi magunk is tudunk irracionális számokat „gyártani”, ha valamilyen szabályossággal végtelen, nem szakaszos tizedes törtet állítunk elő. ilyenek például:

0,10110111011110111110...0,123456789101112131415...0,2481632641282565121024...

Fogalmazd meg, milyen szabályszerűséggel állítottuk elő a fenti irracionális számokat! igaz-e, hogy ezek végtelen tizedes törtek? igaz-e, hogy nem szakaszosak?Az irracionális számokkal kiegészítő anyagként találkozhattok ennek a fejezetnek a végén.

20. FElaDatlaP

1. írjatok konkrét példát racionális számokkal a következő esetekre! Ha nem találtok megoldást indo-koljátok meg, miért nincs!

a) Két tört összege egész.

b) Két különböző tört különbsége egész.

c) Két különböző tört szorzata egész.

d) Két azonos tört szorzata egész.

e) Két különböző tört hányadosa egész.

f) Két negatív egész szám összege természetes szám.


g) Két negatív egész különbsége természetes szám.

h) Két negatív szám szorzata negatív.

i) Két nem pozitív szám szorzata nem negatív.

j) Két pozitív szám szorzata kisebb bármelyiküknél.

k) Egy egész és egy tört szorzata egész.

l) Egy egész és egy tört összege egész.

2. Helyezzétek el a következő számokat a halmazábrában!

49

, –33, 5,123, 2006, –0,15

666, 6,66 –666

, 6,6•, 6,60660666066660…

a) Milyen számok kerülnek a halmazábra kék részébe? b) Milyen számok kerülnek a halmazábra sárga részébe? c) A halmazábra melyik színű részébe kerülhet két zöld szám összege, illetve szorzata? d) A halmazábra mely részébe kerülhet két sárga szám összege, illetve szorzata e) Hova kerülhet két sárga szám hányadosa? f) Van-e olyan szám a felsoroltak közt, amelyik a halmazábra fehér részébe került? Miért? g) Lehet-e két kék szám összege, különbsége, szorzata, hányadosa zöld szám?

Egész számok

Természetes számok

Racionális számok

Számok


21. FElaDatlaP

Hány racionáliS Szám van?

Tudjuk, hogy a racionális számok száma végtelen, hiszen magukban foglalják az ugyancsak végtelen sok számot tartalmazó egészek halmazát. Míg azonban a számegyenes bármekkora – véges – részét lefedve véges számú egész számot takarnánk le, addig racionális szám a számegyenes legrövidebb szakaszán is végtelen sok van. A fekete csík által lefedett egészek száma véges, mert láthatóan kevesebb, mint 200.

–150 –100 –50 0 50 100 150

Ezzel a fekete csíkkal mind a negatív, mind a pozitív számok közül végtelen sokat fedtünk le.

–0,3 –0,2 –0,1 0 0,1 0,2

Legyen A és b a számegyenesen két különböző racionális szám. Mutassuk meg, hogy van közöttük is racionális szám!

A C B

1. Legyen a C az AB szakasz felezőpontja. igaz-e, hogy C-hez tartozó szám racionális? Mivel C az A és a B számtani közepe, ezért értékét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk a két számot,

majd elosztjuk 2-vel. Mivel ezek a műveletek nem vezetnek ki a racionális számok köréből, ezért C is racionális szám lesz. Hasonló eljárással kaphatunk racionális számokat A és C, illetve C és B között, méghozzá tetszőlegesen sokat.

2. Keressünk racionális számot a következő számok között:

a) 13

és 12

b) 1100

és 199

c) 0,001 és 0,002

d) 1,111 és 1,1111

3. Keressetek 3-3 számot, melyek igazzá teszik a következő egyenlőtlenségeket!

a) –0,01 < a < 0,01

b) 15

< b < 25

c) 15

< c < 14

d) 0,3 < d < 13

e) 0,123 < e < 0,1234

f) 0,3•

< f < 0,34

g) 0,1•

21•

< g < 0,1•

2•


Mivel racionális számokat a számegyenes bármely részén találunk, és bármelyik kettő közt végtelen további található, felvetődik a kérdés, hogy a racionális számokhoz tartozó pontok kitöltik-e a száme-gyenest, vagy maradnak olyan pontok, amelyek nem racionális számokhoz tartoznak.A kérdés megválaszolásához térjünk vissza a racionális számok tizedes tört alakjához.Tudjuk, hogy minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként, ebből adódóan a tizedes tört alakjuk vagy véges, vagy végtelen, de utóbbi esetben is szakaszos tizedes tört. Adódik a következő kérdés:

vannak-e végtelen, nem SzakaSzoS tizedeS törtek?

bár eddig ilyenekkel nem találkoztunk, hiszen az alapműveletek nem szolgáltatnak erre lehetőséget, de ettől még előállíthatunk ilyeneket:

4. Folytassátok a tört részt egy benne fellelhető szabály szerint további számjegyekkel!

a) 0,10110111011110111110…

b) 0,123467891011121314…

c) 0,2357111317…

d) 0,1123581321…

e) 0,02040801603206401280256…

f) Meg lehet-e mondani bármely törtrészről a felismert szabály alapján, hogy mi lesz a 20., 50., 100. tag?

g) Kialakulhatnak-e ezekben a végtelen tizedes törtekben a racionális számokra jellemző ismé-lődő szakaszok?

A végtelen nem szakaszos tizedes törtek nem racionális számok. A fenti módon előállított számokat irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

5. Készítsünk végtelen tizedes törteket! Mit gondoltok, az adott szabály racionális vagy irracionális számot eredményez-e? Minek alapján tudjátok eldönteni?

a) írjátok a törtrészbe az 5 többszöröseit!

b) írjátok a törtrészbe az egymást követő pozitív egészek 5-ös maradékát!

c) írjátok a tört részbe az egymást követő pozitív egészek négyzetét!

d) írjátok a tört részbe az egymást követő pozitív egészek négyzetének utolsó számjegyét!

e) Vegyétek az 18

tizedes tört alakját, majd írjátok a törtrész végére a 2. feladat b) pontjában sze-

replő számot!

f) Vegyétek az 1/3 tizedes tört alakját és adjátok hozzá az 2. feladat a.) feladatban szereplő szá-mot!

Most, hogy láttunk néhány irracionális számot, feltehetjük a kérdést:

Hány irracionáliS Szám van?

Láttuk, hogy bármely két racionális szám között végtelen sok racionális szám van. Van-e bármely két racionális szám között irracionális szám is?

Láttuk, hogy két racionális szám közé könnyen beilleszthetünk további racionális számokat. Azt is láttuk, hogy egy racionális szám tizedes tört alakjának megfelelő módosításával hozzá tetszőlegesen közel álló irracionális számokhoz juthatunk.


6. Keressetek irracionális számokat, melyek igazzá teszik az egyenlőtlenségeket:

a) 0,5 < a < 0,6

b) 0,6 < b < 23

c) 0,6• < c < 0,7

7. Láttuk, hogy bármely két racionális szám között van irracionális. Elmondható ez vajon fordítva is, azaz bármely két irracionális szám között is van irracionális és racionális szám? Próbáld a tizedes törtekkel megismert lehetőségek felhasználásával igazolni elképzelésed!

A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. A valós számok teljesen kitöl-tik a számegyenest, azaz a számegyenes minden pontja megfelel egy valós számnak. A valós számok halmazát r betűvel jelöljük.

Az iracionális számok szerepe nemcsak a számegyenes „kitöltésében” áll. Számtalan valós problémá-nak csak az irracionális számok körében van megoldása. Ezek közül íme kettő:

• Ha egy négyzet területe van megadva, akkor az oldala általában irracionális szám. Például, ha a területe 2 (cm2), akkor az oldala 1,414213562... (cm) kezdetű irracionáls szám. Pontosan négyzet-gyök kettő-nek nevezzük és — 2 -vel jelöljük.

• bármely kör kerületének hosszát elosztva az átmérő hosszával egy 3,141592653... kezdetű irracio-nális számot kapnánk, melyet a görög pi ( ) betűvel jelölünk. Ezeken a példákon kívül is számtalan feladat vezetne irracionális számokhoz, de ezeket gyakorlati megfontolásból a mindennapi éleben racionális számmá kerekítjük.

sZáMoK és műveletek0714. műveletek tulajdonságai

KÉSzíTETTÉK: TóTH LÁSzLó, SzErEdi ÉVA


1. FElaDatlaP

Az előző órákon számokkal, majd a velük végezhető műveletekkel foglalkoztunk. Most megismer-jük a műveletek legfontosabb tulajdonságait. Ehhez először kicsit másképpen tekintünk rájuk, mint eddig .Az alsó tagozatban szabályjátékokkal szemléltettük a hozzárendeléseket. Ezeket sokszor egy játékgép segítségével szemléltettük. Általában az volt a feladat, hogy kitaláljuk mi is történhetett a bedobott számokkal, majd újabb számokat bedobva, alkalmaztuk azokon a felismert szabályt. A művelet fogal-mának megértéséhez nézzünk meg néhány ilyen „gépet”.

1. Az első fajta gépekbe egy-egy számot dobunk be. A bemenő számot A-val, a kimenőt pedig C-vel jelöltük.

a) Táblázatba foglaltunk néhány eredményt, a hiányzó helyre keress megfelelő számot!

be: A 75 123 0 1 A

ki: C 77 125 1246 1

be: A 9 46 0 111 A

ki: C 110 147 0 1101

be: A 4,5 8,1 9 0 99,9 A

ki: C 5,4 9 0

b) A következő gépekbe már két-két számot dobunk be. A bemenő számokat A és B, a kimenőt pedig C jelöli. Most is táblázatba foglaltunk néhány eredményt. Töltsd ki a táblázat üres részeit!

be: A 75 123 12345 4321 A

be: B 25 234 67890 B

ki: C 100 357 1234

be: A 4,7 12,3 0,123 5,8 A

be: B 5,2 2,34 1,234

ki: C 9,9 14,64 10 C

be: A 25 –123 –85 –55

be: B –25 234 –15 B

ki: C 0 111 100 C

Hasonlítsuk össze a gépek működését! Mennyiben azonos és mennyiben eltérő a működésük?

be: A

ki: C

?

be

ki: C

?

A B

tANulóI muNkAfüzet 0714. Műveletek tulajdonságai 75

A mindennapi életben is megkülönböztethetjük a két műveletet. Sok olyan szolgáltatás van, mely-nek díja két részből áll, egy változóból és egy állandóból. Például a telefonszámlán, mindig feltün-tetnek egy előfizetői díjat. A számlánk természetesen a lebeszélt percektől függ, de ehhez mindig hozzájön az alapdíj. Állapítsd meg, mennyi lehet az alapdíj a következő számlákból:

január február március áprilisbeszélgetés díja 5300 Ft 4750 Ft 6580 Ft 550 FtFizetendő 7800 Ft 7250 Ft 9080 Ft 3050 Ft

Hasonló a helyzet, ha intercity vonattal utazunk. Ebben az esetben is mindig ugyanazzal az összeg-gel fizetünk többet az adott útra vonatkozó árnál, függetlenül attól, hogy hány km-t utazunk.

2. A következő táblázatokban megtalálhatjátok az alapműveleteket. Van, ahol egy, van ahol két bemenő adathoz rendeltünk hozzá egy kimenő adatot. Töltsétek ki a táblázat hiányzó részeit!

a)

be: A 33 45 11,01 555 999

ki: C 13 25 90,1 29,5 b)

be: A 75 1000 45 617 5005 A

be: B 25 1 7 890 728 B B

ki: C 50 999 4006 672 C c)

be: A 11,1 15 4,25 10,01 20,1 A

be: B 3,5 6,8 0,26 2,15

ki: C 7,6 8,2 9,9 3,85 10,9 C d)

be: A 43 1000 –10 123 –55 25

be: B 50 –5 7 200 25 11

ki: C –7 1005 –17 100 –20 e)

be: A 33 45 101 555 999

ki: C 66 90 202 99 f)

be: A 75 150 111 32 A

be: B 25 8 222

ki: C 1875 1200 3936 C g)

be: A –3 –5 –111 32 –3

be: B 4 –20 222

ki: C –12 100 –3936 12 h)

be: A 35 –5 110 3,2 –25,5

ki: C 7 –1 0,64 –0,6 i)

be: A 75 123 12345 111111 A

be: B 25 3 15 461 B

ki: C 3 41 33 327 C C


j)

be: A –45 3,5 –144 12,6 –28 –5,8

be: B 9 7 –6 4 –10

ki: C –5 0,5 –7 –11 –0,5

A táblázatok kitöltésével sorba vettük az alapműveleteket. Az összeadás után a kivonás, szorzás és osztás következett.

Észrevehettétek, hogy az összeadáshoz hasonlóan a szorzásnál is kétféle táblázattal találkoztatok. Az egyiknél egy, a másiknál két bemenő adat volt. Érdemes itt is különbséget tenni a két eset közt. Pél-dául, ha vásárolunk valamilyen iparcikket, akkor a tényleges ára mellett 20% forgalmi adót is fizet-nünk kell. Az így fizetendő bruttó összeget az adó nélküli, nettó ár 1,2-del történő megszorzásával kapjuk.

3. Egyes négyszögek kerületét is 4-gyel való megszorzással kapjuk. Melyek ezek a négyszögek?

A téglalap területének kiszámítása már az oldalak összeszorzásával történik. Ez esetben két adathoz – a és b oldal – rendeljük hozzá a szorzatukat.

tudnivalóösszeadás esetén tagokról, szorzás esetén tényezőkről beszélünk.

ismételjük át az alapműveletek szereplőinek nevét!

Az összeadandó számokat külön-külön tagoknak, együtt összegnek nevezzük.

66 + 33 = 99

tagok összeg2 tagú összeg

57 – 44 = 13kisebbítendő kivonandó különbség

tagok

Az összeszorzandó számokat külön-külön tényezőknek, de együtt már szorzatnak nevezzük:

13 ∙ 31 = 403

tényezők szorzat2 tényezős szorzat

57 : 3 = 19osztandó osztó hányados

tényezők


KAPcSOLATOK Az ALAPMŰVELETEK KözöTT

A négy alapművelet között többféle kapcsolatot is megfigyelhetünk:

Azt szoktuk mondani, hogy az összeadás párja a kivonás, a szorzásé pedig az osztás. A párba állítást az is indokolja, hogy az összeg hiányzó tagját kivonással, a szorzat hiányzó tényezőjét osztással kap-hatjuk meg.

4. A hiányzó adat kiszámítását nyitott mondatokkal is felírhatjuk. Keressétek meg az egyenletek megoldásait! Milyen művelettel számolhatjuk ki az ismeretlent?

a) 54 321 + A = 111 111 b) 5555 – B = 4444 c) C – 1728 = 1672

d) 16 ∙ D = 3936 e) 222 ∙ 222 : E = 66 f) F : 505 = 606

Észrevehettétek, hogy a kivonás hiányzó tagját összeadással vagy kivonással kaphattátok meg, attól függően, hogy a kisebbítendőt vagy a kivonandót kellett kiszámítani.Az osztásnál is szorzással kapjuk a hiányzó osztandót, de osztással az ismeretlen osztót.

MŰVELETEK SORRENDJE

Olvasásnál megszoktuk, hogy balról jobbra haladva követjük a leírt szöveget. Számolásnál nem min-den esetben tehetjük ezt meg. Számítsd ki zsebszámológéppel a következő műveletsor eredményét!

100 – 4 ∙ 32 =

Ha a műveleteket balról jobbra végeznénk, akkor:

100 – 4 = 96 96 ∙ 3 = 288 2882 = 82 944-et kapnánk eredményül.

Nekünk azonban pont fordított sorrendben kellett haladnunk:

32 = 9 4 ∙ 9 = 36 100 – 36 = 64.

Korábbi tanulmányainkból tudjuk, hogy a műveletek elvégzésének sorrendjét nem az egymáshoz viszonyított helyzetük, hanem a rangjuk határozza meg.

tudnivalóA műveletek sorrendje:Ha van zárójel, akkor először a zárójelben levő műveleteket végezzük el, mégpedig a magasabb rangú műveletet előbb, mint az alacsonyabb rangúakat. A legalacsonyabb rangú műveletek az összeadás és a kivonás. Ezeket követi a szorzás és az osztás. A legma-gasabb rangú művelet a hatványozás. Tehát a hatványozás megelőzi a szorzást és az osztást, azok pedig megelőzik a kivonást és az összeadást.Ha egy műveletsorban több azonos rangú művelet van, akkor már valóban balról jobbra haladhat a műve-letek elvégzése.


2. FElaDatlaP

1. Az alábbi műveletsor elvégzésénél mely esetekben lehet balról jobbra haladva a helyes eredmény-hez eljutni? Ahol nem, ott zárójelek elhelyezésével erősítsd meg a megfelelő sorrendet úgy, hogy az eredmény ne változzon!

a) 34 + 95 – 55 – 78 + 94 =

b) 45 : 9 ∙ 4 + 15 – 20 =

c) 250 ∙ 4 – 600 : 100 + 333=

d) 550 + 45 ∙ 20=

2. Számítsuk ki a következő műveletsorok eredményét! Végezz ellenőrzést a zsebszámológépeddel!

a) 15 + 24 ∙ 5 – 8 ∙ 15 =

b) 111 – 999 : 33 =

c) 125 ∙ 24 – 32 ∙ 52 =

d) 24 – 24 + 4 ∙ 2 =

e) 103 + 2 ∙ 102 + 3 ∙ 10 + 4 =

f) 103 – 2 ∙ 102 – 3 ∙ 10 – 4 =

Elképzelhető, hogy a zárójeles műveletsor további zárójeleket is tartalmaz. ilyenkor bentről kifelé haladva számítjuk ki az eredményt.A következő feladatsor megoldásával nyomon követhetitek a helyes sorrendet:

15 ∙ (100 : (37 – 12) + 2) + (100 – 33 ∙ 3) =

15 ∙ (100 : 25 + 2) + (100 – 33 ∙ 3) =

15 ∙ (4 + 2) + (100 – 33 ∙ 3) =

15 ∙ 6 + (100 – 33 ∙ 3) =

15 ∙ 6 + (100 – 99) =

15 ∙ 6 + 1 =

90 + 1 =

Több, egymásba ágyazott zárójel esetén szokás eltérő alakú zárójelpárokat alkalmazni, hogy könnyeb-ben megtalálhassuk mindegyiknek a párját. Például:

15 – {25 ∙ [32 + 5 ∙ (17 – 3)–77 : 11]} ∙ 4=

15 – (25 ∙ (32 + 5 ∙ (17 – 3)–77 : 11)) ∙ 4

Az ilyen kifejezéseknél is elegendő egyféle zárójelpár használata. A legtöbb matematikai program nem is fogadja el, vagy másképpen értelmezi a kapcsos { }, illetve a szögletes [ ] zárójelpárokat.Számítógép használatánál különösen fontos, hogy megfelelően használjuk a zárójeleket. Ha egy műveletsort helytelenül írunk be, akkor a legtöbb program jelzi a hiba helyét, sőt lehetnek olyanok is, amelyek maguktól pótolják a zárójel hiányzó párját.

3. Hol van a hiba a következő feladatokban?

a) 5 ∙ (12 + (35 – 27) : 4

b) 25 ∙ {[75 + 25 ∙ (28 – 12) + 56 : (17 – 9)} : 4]

c) 36 – (15 ( ∙ 5 + 35 – 27))


4. A következő feladatsorok kiszámításánál a zárójeleket is vegyétek figyelembe:

a) 231 – 77 : 7 + 4 b) (231 – 77) : 7 + 4

c) 231 – 77 : (7 + 4) d) (231 – 77) : (7 + 4)

Ha a 231 – 777 + 4

kifejezést számítógéppel szeretnénk kiszámítani, melyik kifejezés adná a helyes ered-

ményt?

Vannak esetek, amikor a zárójelet nem tesszük ki, mégis úgy tűnik, mintha jelen volna.

A 18 + 4221 – 6

kifejezésben nem látunk zárójelet, az osztás (törtvonal) magasabb rendű művelet, mint az

összeadás vagy a kivonás, mégis az összeadással és a kivonással kezdünk. így az eredmény:

6015

= 4 lesz.

Hasonló esettel találkozhatunk hatványozásnál is, ha a kitevőben összeg vagy különbség van:

59–7 59 –7, hanem

59–7 = 52 = 25

Ezek a példák azt mutatják, hogy a törtek számlálójában, nevezőjében (vagy a későbbiekben, a hat-vány kitevőjében) levő műveleteket akkor is előbb végezzük el, ha azok nincsenek zárójelbe téve.

Ügyeljünk arra, hogy ezeket a „láthatatlan” zárójeleket be kell írni, ha számítógéppel ilyen felada-

tokat oldatunk meg. Például a 23+4 – 56 ∙ 7 – 1

kifejezést a következőképpen kell beírni:

(2̂ (3 + 4) – 5) / (6 ∙ 7 – 1)

(a számítógépek a hatványozáshoz többnyire a ^ jelet használják)

5. írd le a szöveggel megadott feladatokat műveletsorral, majd számold ki!

a) 63 és 27 összegének a 10-szerese.

b) A 45 és 9 hányadosának a 7-szerese.

c) 64 és 36 szorzatának 200-zal megnövelt értéke.

d) A 100-nak és a 12 és 8 összegének a hányadosa

e) 350 és 25 hányadosánál 10-zel kisebb szám

f) A 8 és a 6 összegének és különbségének a szorzata

Mely esetekben kellett zárójelet használnod és miért?

A FELcSERÉLHETŐSÉG VIzSGÁLATA

Miért fontos nevükben is megkülönböztetnünk a kivonásban és az osztásban szereplő számokat?Az összeadás és szorzás műveleténél a bemenő adatok sorrendjét felcserélve azt tapasztalhatjuk, hogy eredmény nem változik.

Például 3 + 2 = 2 + 3 vagy 5 ∙ 6 = 6 ∙ 5

Általánosságban:

tudnivalóa + b = b + a, és a ∙ b = b ∙ a


Az összeadásnak és a szorzásnak ezt a közös tulajdonságát felcserélhetőségnek nevezzük. Nézzük meg, hogy teljesül-e a felcserélhetőség tulajdonsága a másik két alapműveletre is? Először a kivonás tagjait cseréltük fel:

35 – 24 = 11 és 24 – 35 = –11, vagy

2000 – 999 = 1001 és 999 – 2000 = –1001

Látható, hogy erre a műveletre nem teljesül a felcserélhetőség tulajdonsága. Mit mondhatunk a két eredményről? Figyeljük meg az összegüket!

Nézzük meg, mi történik, ha az osztásban szereplő számok sorrendjét cseréjük fel!

18 : 9 = 2 és 9 : 18 = 0,5, vagy

25 : 10 = 2,5 és 10 : 25 = 0,4

Az osztásnál szereplő számok sem cserélhetők fel. Vizsgáljuk meg most is a két eredményt, ezúttal a szorzatuk kiszámolásával!

3. FElaDatlaP

1. a) írjuk le műveletsorral a következőket: Egy léghajó 2000 m magas hegyről indult. Az első órában 1500 m-t emelkedett, majd 800 m-t

süllyedt, ezután újabb 1300 m-es süllyedés következett, majd 1000 m emelkedés. Milyen maga-san volt ezek után a léghajó?

b) Tekintsünk minden emelkedést egy hozzáadásnak, a süllyedést pedig elvételnek. Felcserélhe-tők-e ezek a műveletek? Vegyük például előre az emelkedéseket!

c) Megváltoztathatjuk-e az első tagot, azaz az indulás magasságát? Mit fejez ki a következő műve-letsor?

d) Milyen számot nem írhatunk az első helyre, figyelembe véve a járművünket? Látható, hogy mindegyik esetben ugyanaz a magasság lesz a végeredmény.

Eltekinthetünk a léghajótól és felírhatjuk a számokat növekvő sorrendben úgy, hogy vigyék maguk-kal az előttük lévő műveleti jeleket is:

– 800 + 1000 – 1300 + 1500 + 2000 = 2400

Ha kizárólag összeadás és kivonás szerepel egy műveletsorban, akkor a számok felcserélhetők, de csak úgy, hogy viszik magukkal az előttük lévő műveleti jelet. Első tagként egy 0-t írhatunk, hogy ne műveleti jellel kezdjük a kifejezést:

0 – 800 + 1000 – 1300 + 1500 + 2000 = 2400

Meggyőződhetünk erről pénzügyek lejegyzésénél is, ha a hozzáadással bevételt, kivonással kifizetést tüntetünk fel. A következő bevételek és kifizetések a sorrendtől függetlenül ugyanahhoz a végered-ményhez vezetnek. Próbáljátok meg többféle sorrendben felírni a számokat! Olyanokkal kezdjétek, melyek során nem kerültök adósságba!


6 cm

8 cm

10 cm

8 cm

10 cm

6 cm

∙ 360 : 9 : 40 ∙ 15 : 30 ∙ 60

2. írjátok le a számokat többféle sorrendben és hasonlítsátok össze az eredményeket! Keressetek olyan sorrendeket, melyek megkönnyítik a számolást!

–5 000, +3 000, +12 000, +15 000, –8 000, +2 000, –12 000

Nemcsak az előző két művelet szereplőinek sorrendje cserélhető fel.

6. Figyeljétek meg a következő két műveletsort! Mely műveletek szerepelnek benne? Hogyan fogal-maznátok át az előzőekben alkalmazott szabályt?

240 : 10 ∙ 6 : 12 ∙ 3 : 9 = 240 : 12 ∙ 3 ∙ 6 : 9 : 10 =

7. A következő kártyákat is írjátok le különböző sorrendben, majd számoljátok ki az eredményeket. Milyen számot kell a kártyák elé írni, hogy ne műveleti jellel kezdődjön a feladatsor? Próbáljatok olyan megoldásokat keresni, hogy a számítások során a természetes számok körében maradjatok!

cSOPORTOSÍTHATóSÁG: cSuPA öSSzEADÁS, cSuPA SzORzÁS

4. FElaDatlaP

Vizsgáljuk meg a többtagú összeadásnak és szorzásnak egy másik tulajdonságát is!

1. írjátok le a szöveghez illeszkedő műveletsort! Használjatok zárójeleket!

a) Jancsi 6000 Ft-ot gyűjtött kerékpárra. Szülei 12 000 Ft-tal, nagyszülei 7500 Ft-tal egészítették ki, amit karácsonyra egy összegben ajándékoztak Jancsinak. Mennyi pénzzel rendelkezett így Jancsi?

b) Jancsi 6000 Ft-ot gyűjtött az év során, amihez szülei további 12 000 Ft-ot tettek hozzá. Az így összegyűjtött pénzt a nagyszülők 7500 Ft-tal egészítették ki. Mennyi pénze lett így Jancsinak?

c) Mi a szerepe a zárójelnek? Megváltoztattátok-e a számok sorrendjét? Megváltoztattátok-e a műveletek sorrendjét?

A két műveletsort így is felírhattátok: 6000 + (12 000 + 7500) és (6000 + 12 000) + 7500

d) Számítsátok ki a két összeget!

e) Változtassátok meg az összeadásokat szorzásokra! Egyenlő lesz-e a két szorzat értéke? Könnyen beláthatjuk, hogy a szorzás is hasonló tulajdonsággal rendelkezik.


2. A fenti egybevágó téglatestek térfogatát sokféleképpen felírhatjuk. Összeszorozhatjuk az élek hosszát növekvő sorrendben egymás mellé írva így: (6 ∙ 8) ∙ 10, vagy így: 6 ∙ (8 ∙ 10).

a) Számítsátok ki a két szorzatot! Fogalmazzátok meg a tapasztaltakat!

b) írjunk összeadást a szorzások helyett! Egyenlő lesz-e a kapott két összeg értéke?

Tapasztalatainkat a következőképpen általánosíthatjuk:

tudnivaló(a + b) + c = a + (b + c) és (a ∙ b) ∙ c = a · (b ∙ c)

Az összeadásnak és a szorzásnak ezt a tulajdonságát csoportosíthatóságnak nevezzük.

3. írj az előző összefüggésekben az összeadás helyett kivonást, a szorzás helyett osztást! döntsd el néhány konkrét szám beírásával, hogy ezek a műveletek csoportosíthatóak-e!

öSSzEG, KüLöNBSÉG HOzzÁADÁSA, KIVONÁSA

Vizsgálódjunk tovább, mikor szabad zárójelet betenni egy műveletbe, vagy elhagyni belőle?

4. Figyeld meg melyik művelet eredménye, hogyan változik meg a zárójel elhagyásával!

a) 100 + (33 + 20) 100 + 33 + 20

b) 444 + (120 – 20) 444 + 120 – 20

írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!

Láttuk, hogy összeg és különbség hozzáadásánál a zárójel elhagyható.

tudnivalóa + (b + c) = a + b + c és a + (b – c) = a + b – c

5. Számítsd ki a feladatsorokat! írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!

a) 500 – (350 + 100) = 500 – 350 + 100 =

b) 36 – (15 – 10) = 36 – 15 – 10 =

6. Összeg vagy különbség kivonásánál a zárójel elhagyása megváltoztatta az eredményt. Hogyan kellene megváltoztatni a műveleti jeleket, hogy a bal és jobb oldal egyenlő legyen?

a) 500 – (350 + 100) = 500 – 350 100 =

b) 1000 – (600 – 150) = 1000 – 600 150 =

Fogalmazzátok meg az összegek és különbségek kivonásának módját az alábbi szabályok alapján:

tudnivalóa – (b + c) = a – b – c és a – (b – c) = a – b + c


SzORzÁS ÉS OSzTÁS SzORzATTAL, VAGY HÁNYADOSSAL

5. FElaDatlaP

1. Figyeld meg melyik művelet eredménye, hogyan változik meg a zárójel elhagyásával!

a) 100 ∙ (33 ∙ 20) 100 ∙ 33 ∙ 20

b) 4 ∙ (120 ∙ 20) 4 ∙ 120 ∙ 20

írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!

Láttuk, hogy szorzattal, vagy hányadossal való szorzásnál a zárójel elhagyható.

tudnivalóa ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c és a ∙ (b : c) = a ∙ b : c

2. Számítsd ki a feladatsorokat! írj a műveletsorokhoz megfelelő szöveges feladatot!

a) 500 : (5 ∙ 10) = 500 : 5 ∙ 10 =

b) 36 : (12 : 3) = 36 : 12 : 3 =

3. Ha szorzattal vagy hányadossal osztunk, akkor a zárójel elhagyása megváltoztatja az eredményt. Változtasd meg valamelyik műveleti jelet úgy, hogy a zárójel elhagyása után ne változzon az ered-

mény!

a) 500 : (5 ∙ 10) = 500 : 5 10 =

b) 36 : (12 : 3) = 36 : 12 3 =

Fogalmazzátok meg azt, amit a feladatokban szorzattal, illetve hányadossal való osztásról megfi-gyelhettetek. Az alábbi szabályok segíthetnek:

tudnivalóa : (b ∙ c) = a : b : c és a : (b : c) = a ∙ b ∙ c

A következő feladatokban szorzatok, illetve hányadosok hozzáadása, elvétele történik:

4. Megváltoztatja-e az eredményt a zárójel elhagyása? Sejtésedet számolással ellenőrizd, majd magya-rázd meg a tapasztaltakat!

a) 250 + (16 ∙ 5) = 250 + 16 ∙ 5 =

b) 500 – (25 ∙ 8) = 500 – 25 ∙ 8 =

c) 50 + (60 : 4) = 50 + 60 : 4 =

d) 100 – (75 : 3) = 100 – 75 : 3 =

Látható, hogy szorzat vagy hányados hozzáadásánál, kivonásánál elhagyható a zárójel, mert a műve-letek sorrendje miatt mindenképpen ezekkel kellett kezdeni a számolást.


tudnivalóa + (b ∙ c) = a + b ∙ c és a – (b ∙ c) = a – b ∙ c

a + (b : c) = a + b : c és a – (b : c) = a – b : c

5. Megváltozik-e az eredmény, ha összeget vagy különbséget szorzunk, vagy osztunk és elhagyjuk a zárójelet?

a) (240 + 15) ∙ 6 = 240 + 15 ∙ 6 =

b) (525 – 75) ∙ 4 = 525 – 75 ∙ 4 =

c) (444 + 44) : 4 = 444 + 44 : 4 =

d) (1250 – 350) : 50 = 1250 – 350 : 50 =

Összeg vagy különbség szorzásánál, osztásánál a zárójel elhagyása megváltoztatja az eredményt.Ezeknél az eseteknél minden tagot meg kell szoroznunk, vagy el kell osztanunk, tehát:

(240 + 15) ∙ 6 = 240 ∙ 6 + 15 ∙ 6

(525 – 75) ∙ 4 = 525 ∙ 4 – 75 ∙ 4

(444 + 44) : 4 = 444 : 4 + 44 : 4

(1250 – 350) : 50 = 1250 : 50 – 350 : 50

tudnivaló(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c és (a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c

(a + b) : c = a : c + b : c és (a – b) : c = a : c – b : c

6. Melyik a nagyobb? Számolás nélkül állapítsd meg, majd indokolj!

a) (145 + 227) ∙ 528 145 + 227 ∙ 528

b) (824 + 444) ∙ 15 824 + 444 ∙ 15

c) 23 + 65 ∙ 45 + 99 (23 + 65) ∙ (45 + 99)

d) 347 ∙ (768 – 521) 347 ∙ 768 – 521

e) 475 ∙ (144 – 142) 475 ∙ 144 – 475 ∙ 142

TOVÁBBI MŰVELETEK ÉS AzOK TuLAJDONSÁGAI

Nemcsak az alapműveletekkel lehet két számhoz valamilyen számot hozzárendelni. A következő sza-bályok maguk is egy-egy műveletnek tekinthetők:


6. FElaDatlaP

1. Nézzük meg a következő táblázatokat! Mi lehet a hozzárendelés szabálya, mit csinál a gép, ha A-t és B-t bedobva C-t adja ki? Fejezd be a

táblázat kitöltését! Segítségül megadtuk a szabályokat, de nem a táblázatok sorrendjében.

C = 2 ∙ A + B; C = (A + 1) ∙ (B + 1); C = (A ∙ B) : 2; C = A2 + B;

C értéke: A és B közül a nagyobb; C: A és B számjegyei összegének a szorzata.

a)

A 3 11 3 345 111 0

B 5 2 7 354 10999

C 5 11 7 354 0 b)

A 5 2 5 10 0

B 8 0 1 10 4 20

C 18 4 11 30 100 c)

A 4 2 10 0 1

B 5 25 20 37 20 10

C 10 25 100 0 25 d)

A 4 9 0 3 5

B 9 9 5 10 3 5

C 50 100 6 44 54 e)

A 2 1 10 5 5

B 5 11 0 1 25 1000

C 9 12 100 26 11000 f)

A 100 9 111 13 123 20

B 200 70 101 45 456

C 2 63 6 36 10

2. Keress a műveletek között olyanokat, melyekben A és B felcserélésével ugyanazt az eredményt kapod!

a) C = (A ∙ B) : 2 b) C = (A + 1) ∙ (B + 1) c) C : A és B számjegyei összegének a szorzata d) C = 2 ∙ A + B e) C : A és B közül a nagyobb f) C = A2 + B


Néhány további műveletet találtunk ki. A műveleti jeleket önkényesen választottuk:

AB jelentse a két szám közül a nem nagyobbat,AB jelentse a két szám átlagát, azaz összegük felét,AB jelentse az elsőnél 1-gyel nagyobb és a másodiknál 1-gyel kisebb szám szorzatát,AB jelentse A és B összegének és különbségének a szorzatát.

3. Számítsuk ki a következő műveletek eredményét:

16 10 =; 5 5 =; (6 2) 10 =; 6 (2 10) =

16 10 =; 5 5 =; (6 2) 10 =; 6 (2 10) =

16 10 =; 5 5 =; (4 3) 2 =; 4 (3 2) =

16 10 =; 5 5 =; (4 2) 1 =; 4 (2 1) =

Látható, hogy ezekben a műveletekben is alkalmazható zárójel. Ha kiszámoltad a műveleteket, meg-állapíthatod melyik felcserélhető, melyik csoportosítható.

4. Állíts elő műveletsort az előző feladatban szereplő műveletekből. Alkalmazz zárójeleket is! Számolj a zárójel elhagyásával is!

öSSzeadáSból SzorzáS, SzorzáSból HatványozáS éS azon túl...

A négyzetre emelés műveletével a négyzet területének kiszámításakor ismerkedtünk meg. Ez is egy adathoz rendel hozzá egy másikat, oly módon, hogy a bemenő adatot önmagával szorozzuk. bárme-lyik számot megszorozhatjuk önmagával, egészet, törtet vagy negatív számot, bár utóbbi már nem lehet egy négyzet oldalának mérőszáma. Van-e olyan művelet, amely a négyzet területéből adja meg az oldal hosszát? rövidesen találkozhattok ilyennel is . Az azonos tényezőjű szorzatok helyett egy új műveletet vezettünk be, a hatványozást. Hasonlóan jártunk el, mint amikor az azonos tagú összegek helyett a szorzást vezettük be.

9 + 9 + 9 = 9 ∙ 39 ∙ 9 ∙ 9 = 93

Ha a műveleteket táblázatba foglaljuk, akkor a hatványozás már a 3. szintre kerül. Egyelőre még a párja, a gyökvonás hiányzik, de rövidesen megismerkedhettek vele.

^ –

∙ :

+ –

A hatványozás már nem alapművelet. Vizsgáljuk meg néhány tulajdonságát! Teljesül-e rá a felcserél-hetőség tulajdonsága? Elég egy-két próbálkozás, hogy belássuk, erre a műveletre már nem teljesül,

ab ba


5. Állapítsátok meg melyik hatvány a nagyobb?

27 72; 35 53; 48 84

Azt tapasztaljuk, hogy az alap és a kitevő felcserélése esetén általában a nagyobb kitevőhöz tartozik a nagyobb hatványérték. Számítógéppel további példákat is kereshettek, például:

1315 > 1513

1315 5 ∙ 1016 és 1513 2 ∙ 1015

Ez a szabály azonban nem minden esetben igaz.

6. Keressetek olyan hatványokat, melyeknél az alap és a kitevő felcserélésével a nagyobb kitevőjű hatvány értéke lesz a kisebb.

Nem kell sokat próbálkozni, hogy megtaláljátok azt az egyet, ahol az alap és a kitevő felcserélésével nem változik meg a hatványérték.Az egyetlen példa a 24 = 42

Érvényes-e a csoportosíthatóság a hatványozásra? Ha igen, akkor a következő két hatványnak egyen-lőnek kellene lennie:

23 4 és 2(34)

Számoljuk ki:23 = 8, tehát az első kifejezés

84 = 4096.

A jobb oldalon először a kitevőt kell kiszámítani: 34 = 81, majd következne 281 kiszámítása. Ez bizony már a számítógépet is próbára tevő feladat, mert a hatvány értéke:

281 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352

Elég meggyőző példa arra, hogy a hatványozás nem rendelkezik a csoportosíthatóság tulajdonságá-val .

Példánk azt is mutatja, hogy a hatvány hatványozásával – amennyiben a kitevőben kezdjük a műve-letet – igen nagy számokhoz jutunk el. Például a következő hatvány

999

kiszámítása szinte megoldhatatlan feladat, mert az eredményt leíró szám 369 693 100 számjegyből áll!

7. Próbáljuk meg kitalálni, mire végződik ez a gigantikus szám!

Lehet-e további műveleteket kitalálni? Természetesen, csak a fantáziánk szabhat határokat. Emlékez-tek a magasabb rendű műveleteket hogyan származtattuk?ismételt összeadásból kaptuk a szorzást: 9 + 9 + 9 = 9 ∙ 3Az ismételt szorzásból pedig hatványozást: 9 ∙ 9 ∙ 9 = 93

Ennek mintájára akár az ismételt hatványozásra is bevezethetünk új műveletet. Mi legyen a műveleti jel. A nagy számok megszállottjai erre is gondoltak és a következő rövidítést vezették be:

999 = 9^ 3̂

Az ilyen műveletek olyan számokhoz vezetnek, melyek messze meghaladják a világmindenségben előforduló összes atom számát. És ez a mintegy 400 millió jegyű szám semmiség ahhoz képest, amit a műveletben szereplő számok felcserélésével kapnánk. A 3̂ ^9 leírásához szükséges számjegyek kiszámítása is reménytelen feladat, pedig csak néhány 3-as számjegyet ültettünk egymás nyakába.

333333333


7. FELADATLAP

FEJSzÁMOLÁS

1. Példák összeadásra: Az összeadás mely tulajdonságai segíthetik az eredmény kiszámítását?

a) 234 + 432 =

b) 432 + 234 =

c) 532 + 134 =

d) 350 + 199 + 450 + 201 =

e) 300 + 30 000 + 3 + 300 000 + 30 + 3 000 000 + 3 000 + 6 666 666 =

f) 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 =

g) 1 + 2 +3 + 4+ 5 +...+ 97 + 98 +99 = 1 + 99 + 2 + 98 + … =

2. Példák kivonásra:

a) 10 001 – 7 =

b) 23 675 – 680 =

c) 11 111 – 11 011 =

d) 123 456 – 100 000 – 20 000 – 3 000 – 400 – 50 =

e) 123 456 – (100 000 – 20 000 – 3 000 – 400 – 50) =

3. Példák szorzásra! Mely műveleti tulajdonságok segíthettek a szorzások elvégzésénél?

a) 34127 ∙ 2 = b) 27 ∙ 3412 =

c) 2257 ∙ 27 ∙ 2 = d) 27 ∙ 27 ∙ 27 ∙ 475 =

e) 47 ∙ 8007 ∙ 257 ∙ 50 = f) 4507 ∙ 47 ∙ 07 ∙ 50007 ∙ 2 =

g) 557 ∙ 8 = h) 1757 ∙ 16 =

i) 27 ∙ 47 ∙ 87 ∙ 16 = j) 27 ∙ 27 ∙ 27 ∙ 27 ∙ 57 ∙ 57 ∙ 57 ∙ 5 =

4. Példák osztásra:

a) 144:4 = b) 4400:16= c) 100 000:8 =

d) 56:7 = e) 5600:7 = f) 560:70 = g) 56:70 =

5. Számítsd ki! (Ügyelj a sorrendre!)

a) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 =

b) 100 – 99 + 98 – 97 + 96 ... – 3 + 2 – 1 =

c) (107 ∙ 97 ∙ 87 ∙ 77 ∙ 67 ∙ 57 ∙ 47 ∙ 37 ∙ 2) : (57 ∙ 67 ∙ 77 ∙ 87 ∙ 9) =

d) 1000 – 257 ∙ 8 + 377 ∙ (45 – 157 ∙ 3) =


íráSbeli műveletek

6. A tanult módon jegyezd le a számokat és végezd el a műveleteket!

a) 18 693 + 222 222 + 6 178 839 + 1 234 567 =

b) 654 321 + 456 790 + 123 456 =

c) 3 688 214 – 2 453 647 =

d) 9 526 969 – 1 872 648 =

e) 1 279 463 – 723 908 =

f) 617 ∙ 40 =

g) 3677 ∙ 37 =

h) 402 8597 ∙ 19 =

i) 97217 ∙ 127 =

j) 172 205 : 31 =

k) 96 252 : 78 =

l) 298 845 : 29 =

7. Ha ügyesen számolsz, mindegyik eredményben találhatsz érdekességet.

a) 118262 = 303842 =

b) 320432 = 990662 =

Figyeld meg, hány jegyű az eredmény és milyen számjegyek szerepelnek benne!

c) 102 + 1002 = d) 882 + 332 = e) 122 + 332 =

Ha észrevetted az összegek és a tagok közti kapcsolatot, akkor jósold meg a következő feladat ered-ményét, majd zsebszámológéppel ellenőrizd a sejtésedet!

f) 5882 + 23532 =

Hogyan igazolhatnád könnyen, hogy ez a szabály nem érvényes minden esetre? (Ellenkezőleg, kivételes ritkaságnak számít).

g) Ha jól számolsz, hasonló érdekességet tapasztalsz!

13 + 53 + 33 =

33 + 73 + 13 =

43 + 03 + 73 =

geometriai tranSzformációk0721. transzformációk, középpontos tükrözés, párhuzamos szárú szögek

KÉSzíTETTE: birLONi SziLViA

92 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 072. GeometRIAI… tANulóI muNkAfüzet

1. FElaDatlaP

1. Keressétek meg a következő utasítások közül azt, amelyik a nálatok lévő képekhez illik! Az utasítá-sokat a szóforgó szabálya szerint egyenként olvassátok fel, majd mindegyik után beszéljétek meg, hogy megfelel-e a rajzaitoknak!

1. Megadtam egy egyenest. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!

2. Megadtam egy kört. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a kör-vonalhoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább annyit, amekkora utat a körvonalig meg-tett!

3. Megadtam egy pontot. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton szaladjon a megadott ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább még kétszer annyit, mint amek-kora utat a pontig megtett!

4. Megadtam egy egyenest. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott egyeneshez, és maradjon ott!

5. Sík pontjai figyelem! Minden pont mozduljon el azonos irányba ugyanakkora távolsággal!

6. Megadtam egy pontot. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább ugyanannyit, mint amekkora utat a pontig megtett!

7. Megadtam egy egyenest. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább kétszer annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!

2. Ehhez a feladathoz egy közös ábrát kaptok tanárotoktól. Most a csoport négy tagja négy különböző színnel dolgozzon! Adjátok körbe a nagy rajzot. Mindenki, keressen és színezzen rajta egymásnak megfelelő részeket (szakaszok, szögek, pontok)!

tANulóI muNkAfüzet 0721. Transzformációk, középpontos tükrözés… 93

2. FElaDatlaP

1. A következő feladatok megoldásánál a pár két tagja felváltva dolgozzon! Az egyik mindig az A ábrával a másik mindig a B ábrával! Amíg a pár egyik tagja rajzol, addig a másik figyelje, hogy az utasításnak megfelelően járt-e el!

a) Készítsétek el az alakzatok képét színessel a 7. utasítás szerint! (Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a t egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább kétszer annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!)

b) Készítsétek el az alakzatok képét színessel az 1. utasítás szerint! (Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a t egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!)

Hasonlítsátok össze munkátokat a másik pár eredményével, ha egyezik, haladjatok tovább, ha nem, akkor keressétek meg a hibát!Ha hamarabb készen vagytok, keressetek az ábrákon egymásnak megfelelő részeket (pon-tokat, szakaszokat, szögeket) és színezzétek azonos színnel az összetartozókat!

t

A

t

A

t

B

t

B


c) Készítsétek el az alakzatok képét színessel a 6. utasítás szerint! (Minden pont a lehető legrövi-debb úton menjen az O ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább még ugyanannyit, mint amekkora utat az O pontig megtett!)

Hasonlítsátok össze munkátokat a másik pár eredményével, ha egyezik, haladjatok tovább, ha nem, akkor keressétek meg a hibát! Ha hamarabb készen vagytok, keressetek az ábrákon egymásnak meg-felelő részeket (szakaszokat, szögeket) és színezzétek azonos színnel az összetartozókat!

2. Hibakeresés Valaki elkészítette egy szakasz képét az 1–7. szabályok valamelyikével, de néha hibázott. Találjátok

ki, hogy melyiknél hányas szabályt alkalmazta, keressétek meg a hibát és javítsátok ki a rajzokat! (Több megoldás is lehet.) Párban dolgozzatok, cserélgetve a rajzolás és az ellenőrzés feladatát úgy, mint az előző feladatoknál!

A B

O

C

A

B

A’

A B’

A

t

A A’

B’B

B

O

B


3. FElaDatlaP

1. Ábrázoljátok az alábbi pontokat a füzetbe rajzolt koordinátarendszerbe, és ebben a sorrendben kössétek össze őket egyenes vonalakkal!

(–5; 1), (–5; 6), (–2; 6), (–2; 4), (–5; 4)!

2. Osszátok szét egymás között a csoportban az A, B, C és D betűket! Mindenki oldja meg a füzetében a saját betűjének megfelelő feladatot! Kiindulásként minden esetben az 1. feladat pontjait használ-játok.

A: A pontok mindkét koordinátájához adj hozzá négyet! (piros) B: Szorozd meg a pontok első koordinátáját (–1)-gyel, a másodikat hagyd változatlanul! (kék) C: Mindkét koordinátát szorozd meg (–1)-gyel! (zöld) D: Szorozd meg mindkét koordinátát (–2)-vel! (sárga)

Ha kész a csoportoknak minden tagja, akkor a szóforgó szabályai szerint mutassátok meg a kapott ábrákat a csoport többi tagjának, és mindenki rajzolja le a füzetébe az összes feladat megoldását!

3. Válasszátok ki az előző feladat egyes részeihez tartozó utasításokat az 1. feladatlapról! írjátok a megfelelő sorszámokat a betűjelek mellé!

tudnivalóAz előző három feladatlapon geometriai transzformációkat ismertetek meg. Az olyan hozzárendeléseket, melyekben pontokhoz pontokat rendelünk, geometriai transzformációnak nevezzük. A tengelyes tükrö-zés – mellyel tavaly részletesen foglalkoztatok – egy geometriai transzformáció: a sík minden pontjához a tengelyes tükörképét rendeli hozzá.

B t B’

A A’

A

B

A O

A’

B’

B


4. FElaDatlaP

1. Másolópapír segítségével végezd el a zászlós mutatóknak megfelelő mozgatást! Úgy helyezd el az átütőpapírt, hogy a jobb szélére essen a mozdony. Ezután másold át rá a mozdonyt, és a fehér zász-lót, a nyelével együtt! Mozgasd előre a papírt úgy, hogy a fehér zászló fedje a feketét, és másold le ismét a mozdonyt!

2. Végezd el a zászlós mutatóknak megfelelő mozgatásokat. Figyelj! Van, ahol a papírt át kell fordíta-nod a másik oldalára! A rajzok részeit színezd a képen is azonos színűre!

a) b)

c) d)

Ha elkészültél, hasonlítsd össze a csoport többi tagjával a kapott képeket! Ha eltérés van, keressé-tek meg a hibát!

3. Válaszd ki, hogy az előző órai utasítások közül melyik illik az egyes mozgatásokhoz, és írd ide az utasítás sorszámát! Ha az utasítás szerint van megadott pont vagy egyenes, akkor rajzold be azt!

a) b) c) d)

Ha találtál olyan mozgatást, amihez nincs megfelelő utasítás, akkor próbálj megfogalmazni ilyet!


5. FElaDatlaP

1. Végezd el a mozgatásokat másolópapírral a zászlós mutató segítségével, és színezd a képeket is az eredetinek megfelelő módon! Ha végeztél, hasonlítsd össze a csoporttársaiddal! Ha nem egyeznek a rajzok, akkor keressétek meg a hibát!

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Karikázd be azoknak a rajzoknak a betűjelét, amelyeknél középpontos tükrözést végeztél!

rajzold meg a tengelyt vagy a középpontot a fenti ábrákban!


2. A mozaikon a két kékkel színezett lapot valamilyen mozgás egymásba viszi. Hová kerül a többi színezett lap ugyanennél a mozgatásnál? Színezd ki a lapokat a megfelelő színnel! Ha kell, használj másolópapírt! Keress több megoldást!

EmlékEztEtőAz előző évben egy pont tengelyes tükörképének megszerkesztésére kétféle eljárást is megismer-tünk:

1. a tengely tetszőleges A pontjából egy AP sugarú kört rajzolunk. a tengely másik tetszőleges B pontjából egy BP sugarú kört rajzolunk. A két kör metszéspontja lesz a P pont tükörképe. A P pont tükörképét P’-vel jelöljük.

kiindulási helyzet 1. lépés 2. lépés végső helyzet

2. P középpontú körrel elmetsszük a tengelyt. Két ugyanilyen sugarú kört rajzolunk, amelyek középpontja a két metszéspont. A két kör metszéspontja a P pont tükörképe. P pont tükörképét P’-vel jelöljük.

kiindulási helyzet 1. lépés 2. lépés végső helyzet


6. FElaDatlaP

1. Gyakorold a tengelyes tükörkép szerkesztését, valamelyik tanult módszerrel! Tükrözd a pontokat és szakaszokat tengelyesen a megadott e egyenesre!

a) b)

2. Próbálj szerkesztési eljárást keresni a középpontos tükrözésre! Segítség: a középpontos tükrözés-hez tartozó utasítás: Adott egy O pont. Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább ugyanannyit, mint amekkora utat a pontig megtett! Próbáld ki a szerkesztést! Tükrözd a pontot, szakaszt és három-szöget középpontosan a megadott O pontra!

a) b)

tudnivalóa középpontos tükrözés megadható a következő utasítással: Adott egy O pont. Sík pontjai figyelem! Min-den pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább ugyanannyit, mint amekkora utat a pontig megtett!Az utasítás alapján könnyen megszerkeszthetjük egy P pont középpontos tükörképét. Kössük össze a P pontot az O-val és hosszabbítsuk meg ezt az egyenest az O-n túl. Ezután az O pontból mérjük fel az OP távolságot a P-vel ellentétes oldalra!

kiindulási helyzet 1. lépés 2. lépés

P

A

B

t

A

B

t

P

A

B

P

OO

B

A

C

O

P

O

P

O

P

P’


7. FELADATLAP

1 . a ) Az e egyenesen megjelölt A pont középpon-

tos tükörképe A’. Hol lehet a középpont? Szerkeszd meg a középpontot és az egyenes középpontos tükörképét is!

b ) Az e egyenesen megjelölt A pont tengelyes tükörképe A’. Hol lehet a tengely? Szerkeszd meg a tengelyt és az egyenes tengelyes tükör-képét is!

c ) Tükrözd az e és az f egyeneseket középponto-san O-ra!

d) Tükrözd az e és az f egyeneseket tengelyesen t-re!

e) Az ABCD téglalapot tengelyesen tükrözve a t egyenesre az A’B’C’D’ téglalaphoz jutottunk. Szerkeszd meg az eredeti téglalapot!

f) Az ABCD téglalapot középpontosan tükrözve az O pontra az A’B’C’D’ téglalaphoz jutottunk. Szerkeszd meg az eredeti téglalapot!

A’

A

e

A’

A

e

fe

t

fe

O

O

A’

B’

D’

C’

A’

B’

D’

C’t


tudnivalóA tükrözések tulajdonságai:

A tükRözések tulAJdoNsáGAItengelyes tükrözés Középpontos tükrözés

Adott egy egyenes: a tükörtengely. Adott egy pont: a tükörközéppont.Egy pont tükrözésének módja: Egy pont tükrözésének módja:

A tengely minden pontjának képe önmaga, és más ilyen pont nincs.

Egyetlen pont van, aminek a képe önmaga:a tükörközéppont (O).

Egyenestartó.Szögtartó.

Távolságtartó.Alakzat és képe egybevágó.

bármelyik pont képének a képe megegyezik az eredeti ponttalA körüljárási irány megfordul A körüljárási irány nem változik

Tengelyre merőleges egyenes képe önmaga A középponton áthaladó egyenes képe önmaga

8. FElaDatlaP

1. A feladat: A parkettamintán az 1. piros lapocskát a középpontos tükrözés a 2-be vitte. Hová került

a többi lap? Színezd ennek megfelelően a parkettát!

O

P

P’P’

P

t


B feladat: A képen egy alakzatot és középpontos tükörképét látod. Színezd az egymásnak megfe-lelő részleteket azonos színűre!

C feladat: A képen egy-egy alakzatot és középpontos képét látod. Szerkeszd meg a hiányzó közép-pontokat!

D feladat: A háromszög csúcsait egy-egy paca eltakarja. Tükrözd a megadott pontra! (Próbáld úgy megoldani, hogy nem rajzolod meg az eredetin a hiányzó részeket, de a képen a teljes háromszög látszik!)

C

C’

a’

a

O

O


9. FElaDatlaP

1. A parkettamintán az A piros lapocskát a középpontos tükrözés az A’-be vitte. Keresd meg, és jelöld be az O pontot! Hová került a többi lap? Színezd ennek megfelelően a parkettát!

2. A színezett csillagot középpontosan tükröztük az O pontra. Színezd a képén a megfelelő részlete-ket azonos színűre!

3. Keresd a középpontot! A képen látható alakzat párok középpontos tükrözéssel készültek. Szer-keszd meg az O pontot!

Keress egyforma szögeket a képen!


10. FElaDatlaP

1. Tükrözd a félegyeneseket középpontosan! Figyeld meg az eredeti és a tükrözött félegyeneseket!

O

O

O

OA

A

A

A


tudnivalóA párhuzamos félegyenesek kétféleképpen helyezkedhetnek el egymáshoz viszonyítva:

Egyállású félegyenesek Fordított állású félegyenesek

11. FElaDatlaP

1. Keress szögpárokat az ábrán, és írd be azokat a megfelelő helyre!

csúcsszögek: váltószögek: egyállású szögek: fordított állású szögek: kiegészítő szögek:

2. Keress szögpárokat, és határozd meg a megjelölt szögeket!

húrtrapéz paralelogramma

tudnivalóA távolságtartó és szögtartó geometriai transzformációkat egybevágóságnak nevezzük.

1 42 3

5 86 7

9 1210 11

13 1614 15

108° a

b

g37°a

g

b

d


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Készítsétek el az alakzatok képét színessel! Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a t egyeneshez és maradjon ott!

2. Készítsétek el az alakzatok képét színessel! Minden pont a lehető legrövidebb úton szaladjon az O ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább még kétszer annyit, mint amekkora utat az O pontig megtett!

t

A

t

B

A B

O

C

A

O

B


3. Ábrázold a pontokat koordinátarendszerben: A(2; 4); B(–3; 2); C(–1; –4); D(3; –5), és kösd össze őket!

a ) Adj hozzá a pontok első koordinátájához 3-t, és a kapott alakzatot rajzold meg pirossal!

b ) Változtasd a pontok mindkét koordinátáját az ellentettjére, és a kapott alakzatot ábrázold kék-kel!

c ) Minden pont mindkét koordinátáját szorozd meg 2-vel, és a kapott pontokat kösd össze zöld-del!

4. Ábrázold koordinátarendszerben azt a négyszöget, melynek csúcsai: A(–2; 2); B(–5; 2); C(–8; 6) és D(–5; 6)! Milyen négyszög ez?

a ) Tükrözd a négyszöget középpontosan az origóra! Olvasd le az eredeti csúcsok tükörképének koordinátáit!

b ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(0; 2) pontra!

c ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(1; -2) pontra!

d ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(–3; 4) pontra!

5. Ábrázold koordinátarendszerben azt a négyszöget, melynek csúcsai: A(3; 3); B(2; 5); C(–2; 5) és D(–3; 3)! Milyen négyszög ez?

a ) Tükrözd a négyszöget középpontosan az O(0; –1) pontra! Olvasd le az eredeti csúcsok tükörké-pének koordinátáit!

b ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(–2; 1) pontra!

c ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(3; 3) pontra!

6. Ábrázold koordinátarendszerben azt a négyszöget, melynek csúcsai: A(3; 2); B(5; 5); C(3; 8) és D(1; 5)! Milyen négyszög ez?

a ) Tükrözd a négyszöget középpontosan az O(0; 3) pontra! Olvasd le az eredeti csúcsok tükörké-pének koordinátáit!

b ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(1; 0) pontra!

c ) Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan az O(5; 5) pontra!

7. A betűpárok valamilyen mozgással fedésbe hozhatók. A rajzokról azonban lemaradt a mozgást megadó zászlók egyike. Pótold a hiányzó zászlót!


8. Hol lehet a középpont? Színezd a mintát úgy, hogy középpontosan szimmetrikus legyen! Több megoldást is adj!

9. Ebben a népművészeti sordíszben a fekete motívumot középpontosan tükrözve a fehér motívum-hoz jutunk. rajzold be a tükrözés középpontját, és színezd egyforma színnel az egymásnak meg-felelő részleteket!

10. A fekete sokszögeket a színes sokszögek középpontos tükrözésével kaptuk. betűzd meg az eredeti és a kép csúcsait a szokásos módon, keresd meg a tükrözés középpontját, és színezd a képalakza-tokat az eredetinek megfelelően!


11. betűzd meg a sokszögeket, és szerkeszd meg az O pontra vonatkozó középpontos tükörképüket!

12. Tükrözd a szögeket középpontosan a megadott pontra! Milyen nevezetes szögpárokat kaptál?

O

O

Oa Oa

O

a

O

a

geometriai tranSzformációk0722. szimmetrikus alakzatok, paralelogramma, szabályos sokszögek

KÉSzíTETTE: birLONi SziLViA


I. A szImmetRIA foGAlmA

Az élet számos területén találkozhatunk szimmetrikus alakzatokkal. A természetben és az emberi alkotásokban egyaránt. Az eddig tanult transzformációk alapján kétféle szimmetriát különböztet-hetünk meg.

Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus (tengelyesen tükrös), ha van olyan tengelyes tükrözés, ami az alakzatot önmagába viszi.

Egy alakzat középpontosan szimmetrikus (középpontosan tükrös), ha van olyan középpontos tükrö-zés, ami az alakzatot önmagába viszi.

Vannak alakzatok, amelyek mindkét szimmetriatulajdonsággal rendelkeznek.

tANulóI muNkAfüzet 0722. Szimmetrikus alakzatok, paralelogramma… 113

1. FElaDatlaP

1. a) Színezd ki úgy a mintát, hogy tengelyesen szimmetrikus legyen, de középpontosan ne!

b) Színezd ki úgy a mintát, hogy középpontosan szimmetrikus legyen, de tengelyesen ne!

c) Színezd ki úgy a mintát, hogy tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus legyen!

2. A következő alakzatokat két példányban kivágva, minden csoport megkapja a tanárától, olyan papírból, melynek a két oldala különböző színű.

párban dolgozzatok: Osszátok el úgy a képeket, hogy mindkét párnál két-két egyforma ábra legyen! rakjatok ki tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatokat a képekből! rajzoljátok le a füze-tetekbe a kapott ábrákat! Cseréljetek képeket a másik párral, és ismét készítsetek szimmetrikus rajzo-kat!


II. szImmetRIkus AlAkzAtok előállÍtásA, vIzsGálAtA

KÉRDÉSEK

1. Van-e szimmetriatengelye illetve szimmetria-középpontja egy szakasznak?2. Milyen szimmetriatulajdonságai vannak egy egyenesnek?3. Szimmetrikus-e egy szögtartomány?4. Gyűjtsétek össze a kör szimmetria-tulajdonságait!5. Van-e szimmetriatengelye illetve szimmetria-középpontja egy félkörnek?6. Szimmetrikus-e egy körcikk? 7. Milyen szimmetriatulajdonságai vannak a két párhuzamos egyenesből álló alakzatnak?8. Soroljátok fel a két metsző egyenesből álló alakzat szimmetriatulajdonságait!

2. FElaDatlaP1. Hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyek a szakasz két végpontjától (A-tól és B-től)

egyenlő távolságra vannak? Szerkeszd meg a ponthalmazt! Mit szerkesztettél?

2. Másold át a szögeket a füzetedbe, majd szerkeszd meg a szögek szögfelezőit! Milyen tulajdonságú pontok alkotják a szögfelezőt?

A

B

a

b


3. Szerkessz merőlegest az e egyenesre a P ponton át!

4. a) Szerkessz a füzetedbe 60 -̊os és 30˚ szögeket!

b) Szerkessz 45°-os szöget a derékszög felezésével!

EmlékEztEtő – alapvető szerkesztések

Szakaszfelező merőleges szerkesztése:

1. lépés: a szakasz felénél nagyobb sugarú kört rajzolunk a szakasz egyik végpontja körül.

2. lépés: a szakasz másik vég-pontja köré az előzővel azonos sugarú kört rajzolunk.

3. lépés: összekötjük a körök metszéspontjait.

Egyenes adott pontjába merőleges szerkesztése:

e

P

eP


Szögfelező szerkesztése:

1. lépés: a szög csúcsa körül tetszőleges sugárral kört rajzo-lunk .

2-3. lépés: a szögszárak és a kör metszéspontjai körül, azonos sugarú köröket rajzo-lunk .

4. lépés: összekötjük a körök metszéspontjait. A kapott egyenes átmegy a szög csúcsán. Ezért a továbbiakban elegendő a két körnek csak egyik met-széspontját megszerkeszteni, és azt összekötni a szög csúcsával.

külső pontból egy adott egyenesre úgy szerkesztünk merőlegest, hogy a pontot a megadott egyenesre, mint tengelyre tükrözzük. Az így kapott képpontot és az eredeti pontot összekötve megkapjuk a kívánt merőlegest.

III. A pARAleloGRAmmA

3. FElaDatlaP1. Tükrözd az ABC háromszöget a BC oldalának a felezési pontjára!

A C

O

B


2. a) Színezd az AB oldalt és képét pirosra! Mit állíthatunk a pirosra színezett szakaszokról?

b) Jelöld az A csúcsnál levő szöget a-val, képét a’-vel. Mit állíthatunk ezekről a szögekről?

c) Színezd az AC oldalt és képét kékre! Mit állíthatunk a kékre színezett szakaszokról?

d) rajzold be a négyszög átlóit! Mit tapasztalsz?

3. Adott két pont a koordinátarendszerben: A(2; –1) és B(–2; –3).

a) Ábrázold a pontokat!

b) rajzold be úgy a C és D pontokat, hogy az origóra szimmetrikus négyszöget kapj! Olvasd le a koordinátákat!

4. Adott három pont a koordinátarendszerben: A(1; 0) B(–1; 2) és C(–3; –2).

a) Ábrázold a pontokat!

b) Add meg úgy a negyedik pontot, hogy a négy pont egy paralelogrammát alkosson! Keress több megoldást!

5. Gyűjtsd össze a paralelogramma tulajdonságait (oldalak, szögek, átlók, szimmetria)!

tudnivalóa paralelogramma tulajdonSágai, magaSSága

Az olyan négyszöget, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos, paralelogrammának nevezzük.

tulajdonságai:Középpontosan szimmetrikus négyszög.Átlói felezik egymást, metszéspontjuk a szimmetriaközéppont.Szemben levő oldalai egyenlő hosszúak.Szemközti szögei egyenlők.Szomszédos szögei 180 -̊ra egészítik ki egymást.

Az egyenlő oldalú paralelogrammát rombusznak nevezzük:

bb

a

a

a

aa

a


A derékszögű paralelogramma a téglalap.

A derékszögű, egyenlő oldalú paralelogramma a négyzet.

Iv. specIálIs NéGYszöGek szImmetRIáI

EmlékEztEtőa trapéz párhuzamos oldalegyeneseinek távolságát magasságnak nevezzük.

a paralelogrammának két magassága van, mert két pár párhuzamos oldala van.

alap

alap

magasság

a

bma

mb


4. FElaDatlaP

1. Szerkessz a füzetedbe egy szabályos háromszöget, amelynek oldalai 4 cm-esek! Tükrözd a három-szöget az egyik oldalának a felezőpontjára! Milyen négyszöget kaptál?

2. Szerkessz a füzetedbe egy egyenlőszárú háromszöget, melynek alapja 3 cm, szárai 5 cm-esek! a) Tükrözd a háromszöget az alap felezési pontjára! Milyen négyszöget kaptál? b) Szerkeszd meg ismét az előbbi egyenlőszárú háromszöget, és tükrözd valamelyik szárának a

felezési pontjára! Milyen négyszöget kaptál?

3. Szerkessz a füzetedbe egy derékszögű háromszöget, melynek befogói 4,5 cm és 5,5 cm! a) Tükrözd a háromszöget tengelyesen az átfogójára! Milyen négyszöget kaptál? b) Tükrözd a háromszöget középpontosan az átfogó felezési pontjára! Milyen négyszöget kaptál?

KÉRDÉSEK

1. Melyek a tengelyesen szimmetrikus négyszögek? 2 . Mely négyszögek szimmetrikusak középpontosan? 3. Van-e olyan négyszög, amely rendelkezik mindkét szimmetriatulajdonsággal? 4. Melyik négyszögnek van legalább két egyenlő hosszúságú oldala? 5. Mely négyszögnek egyenlő hosszúságú a két átlója? 6. Mely négyszögnek van legalább két egyforma szöge? 7. Melyik négyszög átlói merőlegesek egymásra? 8. Mely négyszögek paralelogrammák? 9. Melyek trapézok?10. Mely négyszögnek van két szöge, melyek összege 180˚?11. Mely négyszögnek vannak párhuzamos oldalai?12. Mely négyszögnek vannak merőleges oldalai?

5. FElaDatlaP

A feladatSzámítsd ki a négyszögek hiányzó szögeit!

paralelogramma húrtrapéz

húrtrapéz paralelogramma

52° 55°30°

78° 54°


B feladatSzerkessz paralelogrammát, ha az egyik átlója 6 cm, oldalai 3 cm és 4,5 cm hosszúak. Ne feledkezz meg a vázlatról, a betűzésről és a lépések megszámozásáról!

C feladatSzerkessz paralelogrammát, ha két oldalának hossza 5 cm és 3 cm, az általuk bezárt szög 45 -̊os! Ne feledkezz meg a vázlatról, a betűzésről és a lépések megszámozásáról!

D feladatSzerkessz rombuszt, melynek oldala 6 cm egyik szöge 30 -̊os! Ne feledkezz meg a vázlatról, a betűzésről, és a lépések megszámozásáról!

6. FElaDatlaP

1. Adott egy paralelogramma két oldala és egy szöge. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mielőtt elkezdenéd a szerkesztést, készíts vázlatot, és gondold végig a paralelogramma tulajdonságait. Ter-vezd meg a szerkesztést, és a vázlaton jelöld, és számozd meg a szükséges lépéseket!

2. Szerkessz paralelogrammát, melynek három csúcsa a megadott három pont! Ne feledkezz meg a vázlatról, tervezésről és a lépések megszámozásáról!

3. Szerkessz paralelogrammát, melynek három csúcsa a megadott három pont! Ne feledkezz meg a vázlatról, tervezésről és a lépések megszámozásáról!

a

b

a

B

A

C

A

B C


4. Szerkessz rombuszt, melynek egyik oldala a megadott egyenes, és két szomszédos csúcsa a két megadott pont! Mielőtt elkezdenéd a szerkesztést, készíts vázlatot, és gondold végig a rombusz tulajdonságait! Tervezd meg a szerkesztést, és a vázlaton jelöld, és számozd meg a szükséges lépé-seket!

5. Hogyan lehet párhuzamost szerkeszteni az e egyenessel a P ponton át? A megoldásod indokold is!

írd le a szerkesztés lépéseit!

tudnivaló

Egy adott e egyenessel egy rajta kívül adott P ponton át úgy is szerkeszthetünk párhuzamost, hogy felhasz-náljuk az oldalak párhuzamosságán alapuló paralelogramma-szerkesztési módszert.

a szerkesztés menete:

1. lépés: vegyünk fel két tetsző-leges pontot az e egyenesen! A-t és B-t.

2. lépés: szerkesszünk A közép-pontú BP sugarú kört!

3. lépés: szerkesszünk P közép-pontú AB sugarú kört!

B

A

e

P


4. lépés: Az így kapott R pontot P-vel összekötve az eredeti e egyenessel párhuzamos egyenest kapunk:

7. FELADATLAP

A következő kérdésekre rajzokkal és a megfelelő négyszögek nevével válaszolj!

1. Milyen négyszög lehet az a paralelogramma, melynek átlói merőlegesek egymásra? 2. Melyik négyszögre igaz, hogy szögei egyenlők, de átlói nem merőlegesek egymásra? 3. Melyik négyszögre igaz, hogy középpontosan szimmetrikus négyszög? 4. Milyen négyszög lehet az a paralelogramma, amely tengelyesen szimmetrikus? 5. Milyen négyszög az a rombusz, melynek átlói egyenlőek? 6. Melyik lehet az a négyszög, melynek minden szöge egyenlő? 7. Milyen tengelyesen szimmetrikus négyszögeket ismertek? 8. Melyik trapéznak egyenlő hosszú mind a négy oldala? 9. Soroljátok fel a speciális trapézokat!10. Melyek azok a szimmetrikus négyszögek, amelyekre igaz, hogy átlói merőlegesek egymásra?

vI. szAbálYos sokszöGek

8. FElaDatlaP

1. A csoporttársaiddal készíts a kapott háromszögekből szimmetrikus alakzatokat úgy, hogy egy-egy alakzathoz 2, 3 vagy több háromszöget használtok fel, és a háromszögek 1-1 száruknál érintkeznek egymással! rajzolj ide néhányat a kapott alakzatok közül!

2. Most ragasszatok fel néhányat a kirakott alakzatokból, és rajzoljátok meg a szimmetria-tengelyeket! Az előző feladat ábráiba is rajzolj szimmetriatengelyeket!

3. Most a csoport minden tagja látogasson el más-más csoportokhoz, nézze meg a plakátjukat, és raj-zoljon le mindenki néhányat a látott alakzatokból, a tengelyekkel együtt!

4. Fogalmazzatok meg állításokat, az egyenlőszárú háromszögekből kirakható szimmetrikus alakza-tokról!


tudnivalóAzokat a sokszögeket, melyeknek minden oldala és szöge egyenlő szabályos sokszögeknek nevezzük.

A szabályos sokszögeket felépíthetjük egyenlőszárú háromszögekből. Ilyenkor a szárszög többszöröseként kapjuk meg a 360 -̊ot. Ezt a szárszöget a szabályos sokszög középponti szögének nevezzük. (Ezek a pirossal színezett szögek.)

középponti szöge: 120˚ 90˚ 72˚ 60˚belső szöge: 60˚ 90˚ 108˚ 120˚

A szabályos sokszög középponti szögét tehát úgy számolhatjuk ki, hogy a 360 -̊ot elosztjuk a csúcsinak számával. Belső szöge pedig kétszerese az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögének. (Kékkel jelölt szögek.)

Minden szabályos sokszög köré rajzolható olyan kör, mely áthalad a csúcsain.

A szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak az oldalfelező merőlegeseikre és a szögfelezőikre. Annyi szimmetriatengelyük van ahány oldaluk.A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan is szimmetrikusak.


9. FElaDatlaP

1. Hat egybevágó tükrös háromszögből szabályos sokszöget építettünk. Mekkora a háromszög szár-szöge? Mekkorák a szabályos sokszög szögei? Hány szimmetriatengelye van?

2. Egyenlőszárú háromszögekből szabályos sokszöget építettünk. Határozd meg a szabályos sokszög oldalszámát és szögeinek nagyságát!

a) A háromszög szárszöge 40 -̊os. b) A háromszög szárszöge 36 -̊os. c) A háromszög alapon fekvő szöge 75 -̊os. Válaszd ki a fenti sokszögek közül azokat, amelyek középpontosan szimmetrikusak!

3. Egy szabályos sokszög belső szöge 30 -̊os. Hány oldalú a sokszög? Mekkorák a belső szögei?

4. Egy szabályos sokszög szögei 108 -̊osak. Milyen egyenlőszárú háromszögekből lehet felépíteni? Hány oldalú a sokszög? Hány átlója van?

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. rajzolj a füzetedbe parkettamintát a megadott elem felhasználásával! a) Úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus legyen, de középpontosan ne! b) Úgy, hogy középpontosan szimmetrikus legyen, de tengelyesen ne! c) Úgy, hogy tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus legyen!

Ha készen vagy próbálkozz más elemekkel is! Például ilyenekkel:


2. a) Szerkessz merőlegest az e egyenesre a P pontban!

b) Szerkessz merőlegest az f egyenesre az A pontból!

3. Szerkessz a füzetedbe háromszöget, melynek oldalai 5 cm, 4,5 cm és 2 cm!

a) betűzd meg a háromszöget, és tükrözd a leghosszabb oldalának a felezőpontjára!

b) Milyen négyszöget kaptál? Mérd meg ennek a négyszögnek az oldalait és szögeit!

c) rajzold be az átlóit! Mit tapasztalsz?

4. Szerkessz tengelyesen szimmetrikus háromszöget, melynek alapja 5 cm, és egyik szöge 70 -̊os!

5. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, melynek oldalai 5 cm és 6 cm!

6. Szerkessz szabályos háromszöget, melynek oldala 6 cm hosszú!

7. rajzolj a füzetedbe egy hegyesszöget, és vegyél fel a szögtartományban egy A pontot. Szerkessz paralelogrammát, melynek két oldalegyenese a szög száraira esik, és egyik csúcsa az A pont!

8. a) Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai 4 cm és 6 cm, egyik szöge 30 -̊os!

b) Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai 6 cm és 3 cm, és a 6 cm-es oldalhoz tartozó magas-sága 2,5 cm!

c) Szerkessz paralelogrammát, melynek egyik oldala 4 cm, egyik átlója 6 cm, és egyik szöge 45 -̊os!

9. a) Szerkessz rombuszt melynek oldala 5 cm, és egyik szöge 60 -̊os!

b) Szerkessz rombuszt, melynek oldala 4,5 cm, és magassága 3 cm!

c) Szerkessz rombuszt, melynek oldala 6 cm, és egyik átlója 5 cm!

P

e

fA


10. rajzolj a füzetedbe egy a egyenest, és rajta kívül egy P pontot. Szerkessz párhuzamost az a egye-nessel a P ponton át!

11. rajzolj a füzetedbe egy hegyesszöget, és vegyél fel a szögtartományban egy P pontot. Szerkessz párhuzamosokat a szög száraival a P ponton át! Jelölj az ábrán egyállású és fordított állású szöge-ket!

12. Címkézd fel a halmazábrákat a négyszögek neveivel úgy, hogy sehol se legyenek üres tartomá-nyok! Keress több megoldást!

a) b)

13. Készíts halmazábrát, amelynek címkéin a trapézok, deltoidok és négyzetek szerepelnek!

14. rajzold be a tanult négyszögeket az alábbi halmazábrába!

15. a) rajzolj szabályos sokszöget, melynek van olyan tengelye, amelyik egyik csúcsán sem halad át!

b) rajzolj szabályos sokszöget, melynek van olyan tengelye, ami pontosan egy csúcsán halad át!

c) rajzolj olyan szabályos sokszöget, melynek van szimmetria középpontja! rajzold meg a tenge-lyeit is!

16. Egy szabályos sokszög középponti szöge 40 -̊os. Hány csúcsa van? Hány fokosak a belső szögei?

17. Egy szabályos sokszög külső szöge 45 -̊os. Hány oldala és hány átlója van? Milyen szimmetria tulajdonságokkal rendelkezik?

B

A

c

A

B c

Középpontosan szimmetrikusTengelyesen szimmetrikus

arány, arányoSSág, arányoS oSztáS0731. Az arány fogalmának ismétlése és mélyítése

KÉSzíTETTE: HArSÁNyi zSUzSA

128 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 073. ARáNY, ARáNYossáG… tANulóI muNkAfüzet

1. FElaDatlaP

1. A körlap Jutka születésnapi tortáját jelképezi.

Színezd ki pirossal az 14

, kékkel a 25

, sárgával a 720

részét!

bővítsd úgy a törteket, hogy a nevezőjük 100 legyen!írd át a 100 nevezőjű törteket százalék alakba!

2. Válaszd ki az egyenlőket!

25

0,75 1,4 4,9 : 3,5 34

140%

0,2 : 0,3 140100

1218

20 : 50 75% 3,6 : 4,8

75

0,2 : 0,5 75100

23

0,4 40%

3. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő (<,>, =) jelet!

a) A 120-nak a 35

része, vagy a 120 -nak a 60%-a, vagy a 120 -nak a 60100

része?

b) A 70 -nek a 25%-a, vagy a 70 . 0,25 szorzat értéke, vagy a 70-nek az 14

része?

c) A 48-nak a 30%-a, vagy a 30-nak a 48%-a?

d) A 15-nek a 120%-a vagy a 80-nak a 14%-a?

4. Állítsd az alábbi értékeket növekvő sorrendbe!

a) a 32-nek a 34

-e,

b) a 45-nek a 30%-a,

c) a 15-nek a 150%-a,

d) a 45-nek a 0,3-szerese,

e) a 45-nek a 210%-a,

f) a 32-nek a 20%-kal csökkentett értéke,

g) a 15-nek a 1,5-szerese,

h) a 32-nek a 75%-a,

i) a 15-nek a 60%-kal megnövelt értéke.

5. A következőkben a feladat elolvasása után színessel húzd alá a szövegnek azt a részét, amelyből kiderül, hogy melyik a 100%.

Tibinek 1 500 000 forintja van. Mennyi pénze lesz egy év múlva, ha ezt az összeget évi 8%-os kamatra beteszi egy évre a helyi bankba?

tANulóI muNkAfüzet 0731. Az arány fogalmának ismétlése… 129

6. Az egyik kerékpár árát 30%-kal csökkentik. Mennyiért lehet az árcsökkentés után megvenni, ha az eredeti ár 70 000 Ft volt?

7. zsuzsi barátnőivel rendszeresen e-mailezik. Az e-mailje bekapcsoláskor azt jelzi, hogy a postafiók-nak 75%-a már tele van. A postafiók mérete 25 Mb. Hány Mb-nyi szabad területe maradt?

8. Egy jó fogyókúrás recept alapján hetente 0,5 kg-ot lehet fogyni. Ági tömege 70 kg. Két hónap alatt hány százalékkal csökken a tömege, ha ezt a receptet használja?

9. Tóth úr ez évi jövedelme 1400 000 Ft. Ha nem vesszük figyelembe az adókedvezményeket, akkor mennyi adót fizet ebben az évben a jövedelme után (az adókulcs 18%)?

10. Jancsi az egyik héten 1400 Ft-ért 10 db lottószelvényt vásárolt. Az egyik szelvényen három számot eltalált. A nyereménye 4340 Ft volt. A nyereménye hány %-a a szelvények árának?

A tiszta nyeresége hány %-a szelvények árának?

11. Kovács úr 2004-ben egy új autót vásárolt 3 200 000 Ft-ért. Az autót három év múlva 1 800 000 Ft-ért eladta. Az eladási ár hány százaléka a vételi árnak? Hány százalékot vesztett három év alatt az autó az értékéből?

12. Az ezredforduló idején Kissék lakást építettek. Az építési költség 10,6 millió Ft volt. A lakást 6 év múlva eladták 18,6 millió Ft-ért. Az eladási ár hány százaléka az építési költségnek? Hány száza-lékkal drágábban adták el a lakást, mint amennyi az építés költsége volt?

13. Az egyik osztálytársad nagyon jó eredményeket ért el távolugrásban. Két évvel ezelőtt még csak 2,1 méter volt a leghosszabb ugrása, ma pedig 3,36 métert ugrott. Számold ki, hány százalékkal javította meg az eredményét!

ÖSSZEfoGlaláSAz előző feladatokban a százalékszámításban szereplő mennyiségekkel dolgoztunk. Ezeknek külön neve is van.

A teljes egész, a 100% a százalékszámítás alapja.

Az egész valahányad része, a p %-a, a százalékérték.

a p % a százalékláb.

Például : Az 5. feladatban a százalékalap: 1 500 000 Ft.A százalékérték: 1 620 000 FtA százalékláb: 108% = 108/100


2. FElaDatlaP

14. Adjatok magatoknak egy-egy betűjelet (A, B, C, D)! A tanártól kaptok egy csomag magyar kártyát. A csoport A jelű tagja számolja meg, hány db kártya van a csomagban!

a) A B jelű olvassa fel a csoportnak az első feladatot! A kártyacsomagot osszátok két halmazba úgy, hogy az egyikben háromszor annyi legyen, mint

a másikban! beszéljétek meg, hogyan kell ezt megvalósítani, a C jelű hajtsa végre a csoport elképzelését, és a d jelű ellenőrizze, hogy helyesen hajtottátok-e végre a feladatot!

b) Most a D jelű olvassa fel a feladatot! Úgy kell szétosztani a kártyákat két kupacra, hogy az egyikben hétszer annyi legyen, mint a

másikban. A csoport beszélje meg, mit kell csinálni, és az A jelű valósítsa meg az elképzelést! B pedig ellenőrizze a feladatmegoldást!

2. Most a négy papírcsokoládéval dolgoztok. Ezeket külön-külön 24 db kis négyzetre lehet vágni. Használjátok az ollót! A C jelű olvassa fel a feladatot!

Osszatok szét magatok között egy tábla csokoládét úgy, hogy a) mindenkinek ugyanannyi jusson! A csoport beszélje meg az eljárást, d megvalósítja, A leszá-

molja, hány darab kis négyzet jutott egy-egy gyereknek, b ellenőrzi. b) az egyik párnak kétszer annyi jusson, mint a másiknak! beszéljétek meg az eljárást, és a másik

tábla csokoládéval valósítsátok meg! Számoljátok meg, hány db jutott külön-külön a pároknak! c) az egyik párnak ötször annyi jusson, mint a másiknak! beszéljétek meg az eljárást és az egyik

ép csokoládéval valósítsátok meg! Számoljátok meg, hány db jutott külön-külön a pároknak! d) az egyik párnak hétszer annyi jusson, mint a másiknak! beszéljétek meg az eljárást és az utolsó

ép csokoládéval valósítsátok meg! Számoljátok meg, hány db jutott külön-külön a pároknak!

3. Most a körlappal dolgozzatok! A tanártól kaptok egy olyan körlapot, amely 16 egyenlő cikkre van osztva (a körlap egy 16 szeletes tortát szimbolizál).

Osszátok fel a tortát úgy, hogy a) az egyik párnak háromszor annyi jusson, mint a másiknak b) az egyik párnak hétszer annyi jusson, mint a másiknak! c) 1 : 3 és 1 : 7 arányban; d) 3 : 5 arányban! Hány szeletet kapott az egyik és hányat a másik pár? A felosztás módját és a választ mindkét

esetben beszéljétek meg! Az osztás műveletével ellenőrizzétek, hogy helyesen osztottátok-e szét a tortát!

3. FElaDatlaP

1. A karácsonyi diós bejgli töltelékében recept szerint a mazsolán kívül össze kell keverni egy pohár-

nyi édes morzsát, három pohárnyi darált diót, két pohárnyi cukrot és három pohárnyi vizet. Ha

ezeket összekeverjük, kilenc (1+3+2+3) pohárnyi masszát kapunk, amelynek 19

-ed része mor-

zsa, 39

-ed része dió, 29

-ed része cukor, és 39

-ed része víz. Ennyivel két rudat lehet megtölteni.

Amennyiben a család szereti a bejglit, a két rúd nagyon kevés. Ha négy rudat szeretnénk sütni, akkor a felsorolt alapanyagok mindegyikéből kétszer annyit kell venni. Ha hat rudat szeretnénk, akkor háromszor, ha nyolc rudat, akkor négyszer annyit kell venni. Egyetlen szempontot kell figye-lembe venni, hogy a dió (d) a morzsa (m) háromszorosa, a cukor (c) a morzsa kétszerese, és a víz (v) a morzsa háromszorosa legyen, azaz a keverékben az alapanyagok aránya megmaradjon.


2. Olvassátok el a betűjeleteknek megfelelő feladatot! Üljetek egy csoportba az azonos jelű társatok-kal! Olvassátok el a feladatot, beszéljétek meg a megoldást, majd ezt pontosan rögzítsétek a füzetbe! Ha készen vagytok, visszamentek a saját csoportotokhoz, és a többieknek megtanítjátok a feladatok megoldását. Ügyeljetek arra, hogy amikor megmagyarázzátok a feladat kidolgozását, társaitok dol-gozzanak a füzetükbe!

A: Andris és Eszter testvérek. Szüleik úgy döntöttek, hogy kettőjüknek együtt 6000 forint zsebpénzt

adnak. Mivel Andris két évvel idősebb, a szülők azt tanácsolják a testvéreknek, hogy Andris havi zsebpénze kétszer annyi legyen, mint Eszteré. Számold ki, mennyi zsebpénzt kapnak külön-külön!

Andris: ………………… Ft Eszter: ………………… Ft Ez a körlap jelképezi a testvérek zsebpénzének összegét. Oszd fel a körlapot két részre úgy, hogy

az egyik Eszter, a másik Andris zsebpénzének feleljen meg! Színezd is ki!

B: Krisztián és bence szülei holnap érkeznek meg a nyaralásból. A két fiú elhatározza, hogy megle-

petésként kitakarítják a lakást. Krisztián az idősebb, önként felajánlja, hogy a lakás háromnegyed részét rendbehozza. A lakásnak 60 m2-nyi alapterületét kell kitakarítani. Hány m2-t hoz rendbe Krisztián, illetve bence?

Krisztián: ………………… m2 bence: ………………… m2

Ez a téglalap a lakás kitakarításra váró részét jelképezi. Osszad fel a téglalapot úgy, hogy az egyik Krisztián munkáját, a másik bencéét jelképezze! Színezd is ki!

C: Egy iskola tanulói megválasztják a diákönkormányzat vezetőjét. A két jelöltre (Anna, Miklós)

háromszázhúszan szavaztak. Anna a szavazatok 38

-ad részét kapta meg. Hányan szavaztak Annára és hányan Miklósra?

Anna: ………………… Miklós: …………………

rajzolj egy szakaszt!

A szakasz hossza az összes szavazat számát jelképezi. Jelöld be azokat a darabokat, amelyek az Annára, illetve a Miklósra adott szavazatok számának felelnek meg!


D: Precízék új lakásba költöznek. Elképzeléseik szerint a falak mentén helyeznék el a szekrénye-

ket és a könyvespolcokat. A legnagyobb szobával kezdik, amely téglalap alakú, szélessége 5 m,

hosszúsága 6 m. Azt szeretnék, hogy a szoba 35

-öd része szabadon maradjon.

Hány m2-nyi területre kerülhet bútor? ………………… m2

Amennyiben valamelyik szakértői csoportod gyorsan elkészül a feladat megoldásával, készítsétek el a rajzot is.

Ez a téglalap a szobát jelképezi. rajzold be a szekrények és a könyvespolcok lehetséges elhelyezke-dését!

EmlékEztEtőGyakran egy-egy mennyiség konkrét értéke helyett az a fontosabb nekünk, hogy egyik hányszorosa a másik-nak. Mennyiségek összehasonlításakor nagyon sok esetben a hányados többet mond, mint a valódi érték, vagy a különbség. Ezért vezették be az arány elnevezést.Két mennyiség számértékeinek hányadosát a két mennyiség arányának nevezik. Ez egy szám, amit osztásjel-lel vagy törtalakban is szokás felírni.

Két azonos mennyiség összehasonlításakor a mennyiségek értékeinek hányadosa sok mindent elárul. Például: Ha egy kg kenyér ára 400 Ft, akkor 10 kg kenyérért 4000 Ft-ot fizetünk.

A 4000400

= 4000 : 400 = 10 megadja a vásárolt kenyér mennyiségét, és a 10 kg kenyér és az 1kg kenyér

áráról is szól.

Tehát ha egy tört számlálója és nevezője ugyan annak a mennyiségnek a számértékeit jelöli, akkor a hányados megmutatja, hogy a mennyiség számértékei milyen arányban vannak egymással.

Például a 155

= 15 : 5 = 3 ugyanazt az arányt jelenti. Mindegyik azt fejezi ki, hogy az egyik mennyi-

ség háromszorosa a másiknak. Ugyanakkor a 15 : 5 arányt így is értelmezhetjük, lehet egy olyan kö zös

„mérőegységet” találni, amivel az egyik mennyiséget 15 darabból, a másikat 5 darabból ki lehet rakni.A diós bejgli receptjében például ilyen közös egység a pohár.

A térképek léptékét is aránnyal szokták megadni.Például: M= 1: 500. Ez azt jelenti, hogy ami a térképen 1 egység, az a valóságban 500 egység, tehát 500-ad részére kicsinyítették a méreteket.biológia könyvekben gyakran találjuk parányi élőlények nagyított képét. Például:M= 5:2. Ez azt jelenti, hogy ami a képen 5 egység, az a valóságban 2 egység. Tehát 2,5- szeresére nagyították fel az eredeti képet.Tudjuk, hogy a törtek bővítésével, egyszerűsítésével a tört értéke nem változik. Ennek megfelelően, ha az arány tényezőit ugyanazzal a számmal szorozzuk, vagy osztjuk, az arány értéke sem változik. Például: 4 : 10 = 2 : 5 = 12 : 30 = 1 : 2,5 = 0,2 : 0,5 = 0,8 : 2 = 0,4

vagy 107

: 307

= 10 : 30=1 : 3 = 13

.

Az egyenlő értékű arányokat aránypárnak szokás nevezni.Például: 5 : 4= 15 : 12.


Általánosan megfogalmazva:a / b = a : b (b 0) arány megmutatja, hogy az a hányszorosa b-nek. Ami azt is jelenti, hogy ha az egyiket a egyenlő részből tudjuk kirakni, akkor a másikhoz b ugyanekkora részre van szükség. Az arányban szereplő számok nem felcserélhetőek.

4. FElaDatlaP

1. Osszátok szét a csomag kártyát három csoportba úgy, hogy a lapok száma 1 : 2 : 5 arányú legyen. Az eljárást a csoport együtt beszélje meg. Ezután számoljátok ki, hogy a kupacokba külön-külön a lapok hány százaléka került.

2. Egy 24 szeletes tortát osszatok szét 3 : 5 arányban! Hány szeletet tartalmaznak a különböző részek? A megoldást ellenőrizzétek! Ez a kör a tortát jelképezi. Színezzétek ki kétféle színnel úgy, hogy a két rész aránya 3 : 5 legyen! Számoljátok ki, hogy a két rész külön-külön hány százaléka az egész tortának!

3. Az egyik osztályba 28 tanuló jár. Az angol nyelvet 2 csoportban tanulják. Hány tanuló jár az egyes csoportokba, ha a létszámuk aránya 3 : 4? A megoldást ellenőrizzétek! Ez a szakasz 28 egység hosszú. Az osztályba járók számát jelképezi. Osszátok fel a szakaszt 3 : 4 arányban!

Számoljátok ki, hogy az egyes csoportokba a tanulók hány százaléka jár!

4. A bizakodó Kft-t három testvér: istván, Feri és János alapítják. A Kft kezdő tőkéje 4,5 millió Ft. A kezdő tőkét a három testvér a felsorolásuk sorrendjében 2 : 3 : 4 arányban rakta össze. Mennyi pénzzel kezdett a vállalkozáshoz a három testvér külön-külön?

5. FElaDatlaP

1. Egy 8 m hosszú kerítés egynegyedében átjárót terveznek.

rajzold be az átjáró helyét! így a kerítést két részre osztottuk. írd le: a) a kerítés kisebb és hosszabb darabjának arányát, b) a kerítés hosszabb és kisebb darabjának arányát!

2. Egy 24 szeletes torta 38

-ad része elfogyott. Hány szelet maradt?

3. rajzolj le egy 12 szeletes tortát! Osszad fel 5 : 7 arányban!

4. Juliska néni a cseresznye 56

-od részét 12 000 Ft-ért adta el. Mennyit kapott volna az egész cseresz-nyéért?


5. Egy lakás alapterülete 45 m2. A lakóhelyiségek és a kiszolgálóhelyiségek aránya 7 : 2. Hány m2-es a lakóhelység?

6. Egy divattervező cég tudni szeretné, hogy az embereknek melyik a kedvenc színük, ezért megbízta az egyik közvélemény-kutató céget, hogy végezzen ebben a témakörben felmérést. A reprezentatív felmérésből az derült ki, hogy a piros (p) színt kedvelők háromszor annyian vannak, mint a sárga (s) színt kedvelők, és a kék (k) színt kétszer annyian szeretik, mint a sárgát. írd fel a felmérés ered-ményét aránnyal! p : k : s = …… : …… : ……

Egy körlapon ábrázold az arányokat! Használj színeseket!

7. Kriszti születésnapi zsúrt szeretne rendezni.

a) Hány embert hív meg, ha a társaság 34

-e 27 fő?

b) Hány lány van közöttük, ha a meghívottak 49

-e lány?

c) Hány felnőtt van közöttük, ha a felnőttek és a gyerekek aránya 5 : 7? Kriszti szerint 15 felnőtt és 21 gyerek van. igaza van-e?

8. Egy téglalap kerülete 84 cm. Mekkorák az oldalai, ha az arányuk 4 : 3 ?

9. Egy 140 dm kerületű háromszög oldalainak aránya 2 : 3 : 5. Mekkorák az oldalak? A szögeinek aránya 4 : 5 : 9. A szögeit tekintve milyen ez a háromszög?

10. rendezd nagyság szerint sorba a felsorolt értékeket!

a) 100-nak a 20%-a

b) 30-nak a 200%-a

c) 40-nek a 70%-a

d) 20-nak a 140%-a

e) 50-nek a 14%-a

f) 30-nak az 56

-a

g) 45-nek a 109

-e

h) 80-nak a tizede

i) 60-nak az 16

-a

j) 20-nak a 305

-e


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Szerkeszd meg azt a derékszögű háromszöget, amelynek átfogója 5 cm, és a hegyesszögek aránya 1 : 3 !

2. Öcsédnek deltoid alakú sárkányt szeretnél csinálni. A szimmetriaátlója 65 cm, a másik átlója 50 cm. A két átló metszéspontja 8 : 5 arányban osztja a szimmetriaátlót. Készítsd el a sárkányt! Elő-ször szerkeszd meg a füzetedbe a tizedrészekre kicsinyített adatokkal!

Tamás nem mer hozzákezdeni, mert felmerült benne a gondolat, hogy ha a hosszúságadatokat tizedére csökkenti, akkor megváltozik a két átló metszéspontjának a helye. Válaszolj Tamásnak!

3. Nagymama csalamádét szeretne eltenni télre. A recept szerint uborkát, káposztát, hagymát, papri-kát, zölddinnyét, sárgarépát kell összekeverni 3 : 5 : 1 : 2,5 : 2 : 0,5 arányban. Péter, aki a legerősebb a családban, felajánlja, hogy az alapanyagokat elhozza a piacról. Péter tudja, hogy legfeljebb 56 kg-ot bír el. Útközben akarja kiszámolni, hogy mennyit kell vásárolnia. Segíts neki!

uborkából: kg-ot,

káposztából: kg-ot,

hagymából: kg-ot,

paprikából: kg-ot,

zölddinnyéből: kg-ot,

sárgarépából: kg-ot.

4. Egy görögdinnye háromnegyed része 4,5 kg. Mekkora a tömege a dinnye négyötöd részének?

5. Jutka néni barackot vitt a piacra. A termés kétharmad részét, 60 kg-ot. Mennyit vitt volna, ha a ter-més négyötöd részét viszi ki?

6. Gazdag úr és Módos úr vállalatot alapított. Az apportként bevitt tőke aránya 5 : 4 volt. Három év után 12,6 milliós nyereségük lett. Mennyi pénzt kapnak ebből külön-külön, ha a nyereségen a bevitt tőke arányában osztoznak?

Gazdag úr alapító tőkéje 9,7 millió volt. Hány százalékkal növekedett a tőkéje?

Értékeld a vállalkozást!

7. Egy háromszög legnagyobb oldala 7 cm. A szögeinek aránya 3 : 4 : 5. Szerkeszd meg a háromszö-get!

8. Hány fokosak

a) a rombusz szögei, ha arányuk 7 : 8?

b) a húrtrapéz szögei, ha arányuk 5 : 4?

c) az egyenlőszárú háromszög szögei, ha arányuk 3 : 6?


9 . Egy 360 m2-es telken áll egy 120 m2 alapterületű ház. A házat körbeveszi a 36 m2-es járda.

Hány m2 lehet a zöldterület?

írd fel:

a) a ház területének és a telek területének arányát!

b) a járda területének és a telek területének arányát!

c) hányszorosa a ház területe a járda területének!

d) a zöldterület hány %-a a telek területének!

10. Ketten, apa és fia, elhatározzák, hogy a hétvégén felássák a 150 nm-es kertjüket. Előre megbeszé-lik, hogy a munkát 3 : 2 arányban osztják fel maguk között. Mekkora területet fog felásni az apa és mennyit a fia?

11. Egy házaspár jövedelme 400 000 Ft. Mennyi a jövedelmük külön-külön, ha a keresetük aránya 3 : 5, és az apa hozza haza a több pénzt?

12. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszögének és külső szögének aránya 4 : 7. Hány százaléka a hegyesszög a külső szögnek? Mekkora a másik hegyesszög?

13. Egy téglalap két oldalának aránya 3 : 5. Mekkora a területe, ha a kerülete 24 cm?

14. Szilva néni négy unokájának szilvás gombócot főz. Úgy gondolja, hogy a gyerekek életkoruk ará-nyában eszik majd meg a 42 gombócot. Az unokák 4, 4, 6, 7 évesek. Hány gombócot esznek külön-külön a gyerekek?

arány, arányoSSág, arányoS oSztáS0732. Egyenes és fordított arányosság



i. EGyEnEs ArányossáG

tábor SzervezéSi projekt

A csoportotok szervezi a nomád tábort.A táborban sátrakban fogtok lakni és szalmazsákokon aludni. Önellátók lesztek, azaz ti fogtok bevá-sárolni és főzni. Most az a dolgotok, hogy a tábor költségvetésének főbb pontjait megtervezzétek. Ahhoz, hogy ez jól látható és tanulmányozható legyen, minden egy plakátra fog felkerülni meg. Gyűjtsetek ismereteket a tábor helyszínével kapcsolatban! A táblázatokat közösen töltsétek ki, a grafi-konok ábrázolását beszéljétek meg! A plakátot közösen készítsétek el, a munkát osszátok fel magatok között! A plakáton szerepeljen a tábor helyszínének ajánlása, a költségvetés különböző fejezeteihez kapcsolódó táblázatok és grafikonok!A csoport a közösen elkészített plakáton fogja bemutatni a munkáját.(Vigyázzatok! Minden részfeladat kidolgozását rendezetten őrizzétek meg, ugyanis a plakát elkészí-téséhez szükségetek lesz ezekre.)

1. FElaDatlaP

A nomád tábor előkészületeihez az élelmiszer-rendelés és a költségvetés elkészítése is hozzátartozik. Tudjuk, hogy az egyes élelmiszerekből mennyi a napi szükséglet fejenként:Kenyér: 1 főnek napi 60 dkg és 1 kg kenyér ára 100 Ft.Hús: 1 főnek napi 20 dkg és 1 kg hús ára 1000 Ft.

1. Mennyi kenyeret és húst kell rendelni, ha 15-en, 30-an, 45-en, 53-an, 80-an vesznek részt a tábor-ban? Töltsétek ki az alábbi táblázatot!

15 fő 30 fő 45 fő 53 fő 80 fő

kenyér mennyisége

kenyér ára

hús mennyisége

hús ára

az össze-tartozó értékek hánya-dosa

kenyér ára (Ft)kenyér mennyi-sége (kg)

2. Ábrázoljátok grafikonon, hogyan függ a résztvevők számától a szükséges alapanyagok mennyi-sége, illetve ára, úgy, hogy az egyik pár a kenyér és a hús mennyiségével, a másik pedig az árakkal dolgozik! (az x tengelyre a kenyér/hús mennyisége, az y tengelyre az ára kerüljön!) Használjátok a milliméterpapírt! Figyeljétek meg a kapott grafikonok tulajdonságait!

Fogalmazz meg állításokat, ha – az egymás mellett lévő mennyiségek mérőszámának hányadosát hasonlítod össze a különböző

sorokban, – az összetartozó értékpárok hányadosát vizsgálod!

Számítsátok ki az egyes táblázatokban az összetartozó értékpárok hányadosát!A kitöltött táblázatot, a válaszokat és elkészített grafikont használjátok fel a plakáthoz!

tANulóI muNkAfüzet 0732. Egyenes és fordított arányosság 139

EmlékEztEtőHa két mennyiség között olyan kapcsolat van, hogy az összetartozó értékek aránya, hányadosa állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos.

2. FElaDatlaP

1. Válogasd ki az alábbi arányok közül az egyenlőket, és írd le az egyenlőségeket!

3 : 1; 4,5 : 3; 1 : 45

; 27 : 9;

0,6 : 0,2; 60 : 100; 3 : 5; 5 : 4;

12

: 1; 53

: 13

; 52

: 5; 5 : 1.

2. Jucika fényképeket nagyít. Az egyik kép méretei 5 cm∙8 cm. A nagyobbik kép rövidebb oldala 9 cm. Mekkora lesz nagyítás után a kép hosszabbik oldala?

3. Egy adott szakaszt úgy osszál két részre, hogy a kisebbik és a nagyobbik szakasz aránya megegyez-zen a nagyobbik és az egész szakasz arányával! Ez az arány legyen most kb. 9 : 15. Számold ki a rövidebb szakasz hosszát, ha a hosszabbik 48 cm!

Most kicsinyítsd 0,1-szeresére az adott szakaszt, és jelöld be az osztópontot! Akkor beszélünk aranymetszésről, ha egy szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik és a

nagyobbik szakasz hosszának az aránya megegyezik a nagyobbik és az egész szakasz hosszának az arányával.

Az aranymetszés szabálya az ókori görögöktől származik. A templomaik, a szobraik tökéletes har-móniát sugároznak. A templomok fő részei az aranymetszés aránya szerint készültek. Az ókori görög szobrászok a „tökéletes” férfit akarták ábrázolni, ezért úgy tervezték meg a szobrokat, hogy a csípővonal az aranymetszés aránya szerint ossza fel az egész testet alsó és felsőtestre. Az aranymet-szés aránya a test magasságától függetlenül (általában a szakaszok hosszától függetlenül) kb. 0,618.

II. foRdÍtott ARáNYossáG

3. FElaDatlaP

busszal mentek és egy kilométernyi útért a Volán rt.-nek 150 Ft-ot kell fizetni. így az utazás költsége …… Ft. A csoportok számolják ki, mennyit kell egy tanulónak fizetni az utazásért, ha 15-en, ha 30-an, ha 45-en, ha 54-en, ha 81-en mennének a táborba. Készítsenek az adatokból táblázatot is.

résztvevők száma 15 30 45 54 81

Egy főre jutó költség

Az utolsó három hányados közelítő érték. 81 fő esetén 371 Ft-ot kell fizetni, különben nem lesz meg a 30 000 forint.Fogalmazzátok meg a tapasztalatokat!


2. Grafikonon ábrázoljátok az összetartozó értékeket! A vízszintes tengelyre a résztvevők száma, a függőlegesre az egy főre jutó költség kerüljön!

Fogalmazzátok meg! a) milyen különbség van az előző és a legújabb grafikon között, b) milyen összefüggést találtatok az összetartozó értékpárok szorzatai között, c) milyen összefüggést találtatok az egymás melletti értékek hányadosai között?

A kitöltött táblázatot, a válaszokat és a grafikont helyezzétek el a plakátra!

EmlékEztEtőHa két mennyiség között olyan kapcsolat van, hogy ahányszorosára nő az egyik mennyiség, annyiad részére csökken a másik mennyiség, akkor a két mennyiség fordítottan arányos. Azt is mondhatjuk, hogy ha két mennyiség között olyan a kapcsolat, hogy a szorzatuk állandó, akkor a két mennyiség fordítottan arányos. Ez az állandó 0 nem lehet.

4. FElaDatlaP

1. döntsétek el, hogy hol legyen a tábor! Lehetne például Kistolmács. A résztvevőket ötszemélyes sátrakban szeretnék elhelyezni. Egy sátor beszerzési ára 80 000 Ft. A sátorban szalmazsákon fogtok aludni, egy szalmazsák ára 1500 Ft. Készítsen a csoport erre vonatkozó költségvetést is! A költsége-ket foglaljátok táblázatba!

résztvevők száma 15 30 45 54 81

Sátrak száma

Sátrak beszerzési költségeSzalmazsákok beszerzési költsége

2. A koordinátarendszerben rajzoljátok meg a táblázatnak megfelelő grafikonokat úgy, hogy az egyik pár a sátrak, a másik a szalmazsákok költségvetésével foglalkozzon!

Figyeljétek meg a kapott grafikonok tulajdonságait! Használjatok színes íróeszközt!

A kitöltött táblázatot és a grafikont használjátok fel a plakáthoz!


5. FElaDatlaP

1. igazak-e az alábbi állítások?

a) Ahányszorosára növeljük a sátrak számát, annyiszorosára nő a beszerzési költség.

b) Ahányszorosára nő a résztvevők száma, annyiszorosára nő a szalmazsákok beszerzési költ-sége .

c) A sátrak beszerzési költsége és a sátrak száma egyenesen arányos.

d) A szalmazsákok beszerzési költsége és a résztvevők száma nem egyenesen arányos.

e) A sátrak száma és a résztvevők száma egyenesen arányos.

f) A résztvevők száma és az egy főre jutó útiköltség nem egyenesen arányos.

g) Ha elosztjuk a sátrak beszerzési költségét a hozzátartozó sátrak számával, mindig ugyanazt a számot kapjuk.

h) Ha elosztjuk a szalmazsákok beszerzési költségét a hozzátartozó résztvevők számával, mindig ugyanazt a számot kapjuk.

i) Ha elosztjuk a résztvevők számát az egy főre jutó utazási költséggel, mindig ugyanazt a szá-mot kapjuk.

j) Ha megszorozzuk a résztvevők számát a hozzátartozó egy főre jutó utazási költséggel, mindig ugyanazt a számot kapjuk.

6. FElaDatlaP

Folytassátok a költségvetést!

1. A tábor helye téglalap alakú, melynek területe 1200 m2. A lakósátrakon kívül szükség van egy konyhasátorra, egy ebédlősátorra és egy tárolósátorra. Ezek összterülete 200 m2. A lakósátrak 480 m2-nyi területre helyezhetők el. Egy sátor alapterülete 20 m2. Foglaljátok táblázatba, ha változ-tatjuk a sátrak számát, hogyan változik a sátrakkal elfoglalt terület nagysága!

Sátrak száma 3 6 9 11 17

Sátrak által elfoglalt terület nagysága

Állapítsátok meg azt is, hogy maximum hány sátor helyezhető el az adott területen!

2. Ábrázoljátok grafikonon az összetartozó mennyiségeket! Keressétek meg, milyen arány van a sát-rak száma és az elfoglalt terület nagysága között!

A grafikont és a kitöltött táblázatot ragasszátok fel a plakátra!


7. FELADATLAP

1. A tábor szervezői azt szeretnék, hogy a sátorban ne csak a szalmazsákok férjenek el, hanem legyen benne szabad terület is. A költségvetést készítőkhöz azzal a kéréssel fordulnak a szervezők, hogy határozzák meg a sátrak lehetséges alapterületét, ha tudjuk, hogy a rét 480 m2-nyi területére kerül-nek a lakósátrak és egy sátorban öten fognak lakni. Szorosan egymás mellé, minden m2 területet felhasználva helyezik el a sátrakat. A sátor által elfoglalt területbe vegyük bele a sátor és a körülötte lévő árok alapterületét is. Foglaljátok táblázatba a sátrak alapterületének növekedésével hogyan változik az adott területen elhelyezhető sátrak száma (technikai kérdésekkel – megépíthető-e az adott nagyságú sátor – ne foglalkozzunk)!

Sátrak száma 3 6 9 11 17

Sátrak által elfoglalt terület nagysága

Állapítsátok meg, hogy egyenes vagy fordított arányosság van az adott területre elhelyezhető sát-rak alapterülete és a sátrak száma között!

Készítsétek el a grafikont is! A grafikont és a kitöltött táblázatot ragasszátok fel a plakátra.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. A tábor mellett álló házban élő Szépítő család ki szeretné festetni a lakását. A szomszédban a múlt héten festették ki a kisebbik szobát 45 000 Ft-ért. A szoba falának a területe 30 m2. Mennyiért fes-tené ki ugyanaz a mester Szépítőék lakását, ahol a falak összterülete 180 m2?

2. A táborozók elvállalták, hogy a hétvégén kitakarítják a tábort. Előzetesen csak hárman jelentkez-tek. A három gyerek el volt keseredve, féltek, hogy így nagyon későn fognak végezni. Szerencsére a takarítás reggelén 8-an jelentek meg, így két óra alatt elvégezték a munkát. Hány óráig tartott volna a takarítás, ha csak 3-an dolgoztak volna?

3. A tábor mellett egy strand van. Az egyik medencét három csap 2 óra alatt tölti fel vízzel. Hány óra alatt töltené fel ugyanezt a medencét 5 ugyanilyen teljesítményű csap?

4. Egy 20 m2 alapterületű 2,6 m magas lakás fűtése hetente 3120 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetni egy 86 m2 alapterületű és 3,5 m magas lakás fűtéséért ugyanennyi idő alatt (a fűtési díjat légköbméte-renként számolják)?

5. Szilvi 3 gombóc fagylaltért 280 Ft-ot fizetett. Mennyit fizetne egy 5 gombócos fagylaltért, ha a töl-csér 10 Ft-ba kerül?

6. A társasházakban a lakások alapterülete alapján állapítják meg, hogy mennyi közös költséget kell fizetni. Kissék lakása 80 m2, Nagyéké 120 m2. Kissék havi közös költsége 8300 Ft. Mennyit kell fizetnie Nagyéknak? Állapítsd meg a két lakás alapterületének arányát!

7. Az Egis rt. 5 db 10 000 Ft-os részvényre 9000 Ft osztalékot fizet. Menyit fizet 13 db ugyanilyen névértékű részvényre?

8. Szépalmán (a bakonyban van) a kastély istállójában 5 ló él. A lovak napi 15 kg abrakot esznek. Hány kg abrakot enne 9 ló egy nap alatt? (feltéve, hogy minden ló naponta ugyannyit eszik). A lovász 450 kg abrakot vásárolt. Hány napra lenne elég ez a mennyiség, ha nyolc ló élne az istállóban.

Hány lovat lehetne etetni 4 napon át ennyi abrakból?


9. Forgácsék új lakásba költöznek. Már régóta a nappali berendezésének megtervezésén gondolkod-nak. Évi azt ajánlja, hogy rajzolják meg a nappali és a bútorok arányosan kicsinyített képét, és így próbálják megtervezni a bútorok elhelyezését. A tervrajzon a nappali téglalap alakú, és a mérete 4m ∙ 5,5 m. A meglévő bútorok alapja vagy téglalap vagy kör alakú.

A mért adatok: – a szekrény: 1,5 m ∙ 0,9 m, alapja téglalap. – az asztal: 1,2 m ∙ 0,6 m, alapja téglalap – fotelek: köralakú, sugara 40 cm – szék: négyzet alapú, oldala 45 cm. Készítsd el egy rajzlapon a tervezetet úgy, hogy minden méretet kicsinyíts 1 : 20 arányban.

10. A térképen lévő 2,5 cm hosszú szakasz a valóságban 10 km-es távolságnak felel meg. Számold ki a kicsinyítés arányát! Egészítsd ki:

2,5 cm: 10 km = 1 : ? Add meg, hogy a térképen milyen hosszú az a szakasz, amely a két várost: Kukutyint és Kakutyint

köti össze, ha a valóságban a két város távolsága 15 km!

ÖSSZEGZéSarány: Két szám vagy mennyiség aránya azt jelenti, hogy az egyik szám hányszorosa a másiknak. A törtek is két szám arányát fejezik ki, a számláló és a nevező arányát, emiatt az arányt kettősponttal vagy törtvonallal jelöljük. Az egyenlő értékű arányok aránypárt alkotnak Pl.: 2 : 3 = 4 : 6 (olvasd: kettő úgy aránylik a háromhoz, mint négy a hathoz). Az ilyen típusú egyenlőségből az egyiket ki lehet számolni a másik három ismeretében Pl.: 2 : 3 = x : 6, ahonnan 2 · 6 = 3 · x és x = 4.

arányos osztás: Ha valamely dolgot (torta, lakás, szakasz) két vagy több szám arányában szeretnének fel-osztani, akkor felosztjuk az arányban szereplő számok összegével, és így megkapjuk, hogy egy rész mekkora. Ezután az egy részt annyiszor vesszük, amennyit a számok mutatnak. Pl.: ha egy 20-szeletes tortát 2 : 3 arányban szeretnénk felosztani, akkor egy rész 20 : 5 = 4, 4 szelet tortával egyenlő, tehát a két rész 8 sze-letnek, a 3 rész 12 szeletnek felel meg, és valóban 8 + 12 = 20.

Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy a megfelelő értékek aránya, hánya-dosa állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos, a grafikonja egy origón áthaladó egyenes. A 0 : 0 arányt nem értelmezzük.

fordított arányosság: Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy a megfelelő értékek szorzata egy 0-tól különböző állandó, akkor a két mennyiség fordítottan arányos, grafikonja nem egyenes.

arány, arányoSSág, arányoS oSztáS0733. Arányosságok más területen



7. FELADATLAP

dolgozzatok párban, eredményeiteket egyeztessétek a csoport másik párjával.

1. Töltsd ki a táblázatot!

Egyenesen arányos mennyiségek

Fordítottan arányos mennyiségek

Ha az egyik mennyiséget a kétszeresére növe-lem, hogyan változik a másik?

Ha az egyik mennyiséget a háromszorosára növelem, hogyan változik a másik?

Ha az egyik mennyiséget a felére csökkentem, hogyan változik a másik?

Ha az egyik mennyiséget a harmadára csök-kentem, hogyan változik a másik?

Mit tudunk az összetartozó értékpárokról?

Milyen a grafikonja?

2. Válogasd ki az alábbi mennyiségpárok közül azokat, amelyek egyenesen arányosak egymással!

a) Egyenletesen haladó gyalogos által megtett út és az eltelt idő.

b) Négyzet oldala és kerülete.

c) Négyzet oldala és területe.

d) Egyenletesen vetett búzaföld területe és a learatott búza mennyisége. A búzának egyenletesen kell kinőnie is!

e) Az üzletben vásárolt tej mennyisége és ára.

f) 60 m2 területű téglalap alakú kert szomszédos oldalainak hossza.

írd ide az egyenesen arányos mennyiségek betűjelét: …………………………

3. Azonos tempóban dolgozó kőműveseket keresnek egy 400 m2 alapterületű 3 emeletes ház falainak felhúzásához. Az építtetők tapasztalataiból tudják, hogyha 2 kőműves dolgozna, akkor a falak 120 óra alatt lennének készen. Mennyi idő alatt készülne el a ház fala, ha növelnéd a kőművesek szá-mát? Készíts tervet!

Kőműves 2 3 4 5 6 7 8 9 10

idő

12 15 20 30 40 50 120 180 240

(A vállalkozónak azon is el kell gondolkoznia, hány kőművest érdemes alkalmazni.) írd le az összetartozó értékpárokra vonatkozó összefüggést!

tANulóI muNkAfüzet 0733. Arányosságok más területen 147

4. A Citroen C3 150 km-en 9 l benzint fogyaszt. Mennyit fogyaszt egy 375 km-es úton? Mennyibe kerül ez a benzinmennyiség, ha a tízharmada, 2l 750 Ft-ba kerül?

5. Öten elhatározták, hogy reggelente tejet és péksüteményt szállítanak a környék lakóinak. Lemér-ték, hogy mindez 2 óra és 20 percig tart. Mivel 7 órára végezni kell a szállítással, nagyon korán kell kezdeniük. Segítségül hívják három társukat. Mennyi időt vesz igénybe így a szállítás?

És ha 11-en lennének? És ha 3-an lennének?

6. Egy autó mozgását ábrázolja a következő grafikon. Az autó ideális esetben egyenes vonalú egyen-letes mozgást végez.

a) Olvasd le a megjelölt pontok koordinátáit!

b) Hány km utat tesz meg az autó a megjelölt időegységek alatt?

c) Milyen arányosság van a megtett út és az eltelt idő között?

2. FElaDatlaP

1. Katiék a háztartási munkákat családon belül elosztják. Kati feladata a porszívózás. A lakásuk poros helyen van, ezért minden nap porszívózni kell. Kati először nagyon örült a rábízott feladatnak, azt hitte, hogy könnyen és gyorsan készen lesz vele. Az első nap fél óra múlva készen is lett. A máso-dik napon már csak ímmel-ámmal dolgozott, így 50 percig tartott a porszívózás. A 3. napon már annyira unta a dolgot, hogy időnként leült pihenni (a porszívót persze nem kapcsolta ki). így a takarítás 1 óra 20 percig tartott.

Számold ki, mennyi villamos energiát fogyasztott, és mennyibe került a porszívózás külön-külön a három napban, ha a gép elektromos energiafogyasztása 1400 W (olvasd: watt) óránként, és azt tudjuk, hogy 1 kWh (olvasd: kilowattóra) 36 forintba kerül.

2. Három autó menetidejét hasonlítjuk össze. Annyit tudunk, hogy ugyan azt a távolságot teszik meg.

Az egyik éjjel a városban, a másik autóúton, a harmadik autópályán megy. Mindegyik kihasználja a lehetséges maximális sebességet, így a városban egyenletesen 50 km/h, az autóúton 90 km/h, az autópályán 130 km/h.

a) Melyik autó menetideje a legtöbb?

b) Számold ki, hogy az autóúton és az autópályán haladó autó menetideje hányad része a városban közlekedőének?


3. Valamely távolság megtételénél egy 62 cm átmérőjű kerék 300-at fordul. Mennyit fordul ugyan ezen a távolságon egy 75 cm, 53 cm, 92 cm, 110 cm átmérőjű kerék. Készíts táblázatot, ábrázold grafikonon.

4. A nyáron sokan voltak Horvátországban nyaralni. Akik nem akartak a szállásra sok pénzt költeni, már kora tavasszal nagyobb társaságokba verődve lefoglaltak egy tengerparti házat.

Péterék, 12-en napi 80 eurót fizettek egy házért. Mennyibe került forintban számolva Péternek a szállás, ha 8 napot töltött a tengerparton? 1 euro = 260 Ft

5. Az arany tömörebb, sűrűbb anyag, mint az ezüst. Megmérték egy cm3 térfogatú arany tömegét, ez 19,3 gramm és egy cm3 ezüst tömegét, ez 10,5 gramm. Egyforma tömegű arany és ezüstdarab van az asztalon.

a) Melyik nagyobb térfogatú ?

b) Ha az ezüst térfogata 5 cm, mekkora az aranyé?

6. Egy 780 N súlyú tornász függeszkedik a nyújtón. Egy-egy tenyere 0,24 dm2-es felületen érintkezik a nyújtó rúdjával. Mekkora annak a gyereknek a tenyere, akinek a súlya 460 N és ugyanakkora nyomást fejt ki a rúdra?

7. Egy vaskocka térfogata 12 dm3. A súlya 94,32 kp. Ha megkétszerezzük a térfogatát mekkora lesz a súlya? És ha megháromszorozzuk? És ha felére vesszük? Fogalmazd meg milyen arányban áll egymással a kocka súlya és a térfogata. Ábrázold grafikonon.

8. A népsűrűségi adat azt jelenti, hogy valamely régióban 1 km2-nyi területen átlagosan hány ember él. Például Magyarország népsűrűsége 408,3 fő/km2 .

Hogyan változik ez az adat, ha valamely régióban élő emberek száma 2-szeresére, 3-szorosára nő. Tehát a régióban élő emberek száma és a népsűrűség …………………………… arányban van, ha a

terület nagysága nem változik. Hogyan változik ez az adat, ha az emberek száma nem változik de a vizsgált terület nagysága

2-szeresére, 3-szorosára nő. Tehát a népsűrűség és a terület nagysága …………………………… arányban áll, ha az ott élők száma

nem változik.

9. A fogyókúrázók nagyon erősen figyelnek az elfogyasztott élelmiszer kalóriatartalmára. Például kenyér helyett toastot esznek.

Egy doboz toast tiszta tömege 100 g, energiatartalma 388 kcal. Egy dobozban 30 kis szelet van. Eszter hány szeletet ehet ebből, ha vacsorára csak 100 kcal energia tartalmú kenyérfélét ehet?

10. Matek dani 5 barátját hívta meg születésnapi bulijára. Az egyik barátjától egy kerek tortát kapott.

dani igazságosan akarta elosztani a tortát, ezért hozott egy körzőt, egy vonalzót, és egy szögmé-rőt. A vonalzó és a körző segítségével megkereste a torta középpontját, meghúzta egy késsel a torta sugarát, majd a szögmérő segítségével kijelölte a szeleteket. Hány fokos középponti szöget mért a szögmérővel?

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Tamás nagyon szeret zenét hallgatni. Hétvégén szinte egész nap otthon ül, és valamelyik kedven-cét hallgatja. A Cd lejátszója 12 W-ot, az erősítője 225 W-ot fogyaszt óránként.

a) Mennyi energiát fogyasztanak ezek a gépek, ha Tamás 18 órán át hallgat zenét. 1 kWh ára 36 Ft.

b) Mennyibe kerül a zenehallgatás, ha 1 kWh óra ára 36 Ft?

tANulóI muNkAfüzet 0733. Arányosságok más területen 149

2. régebben, ha az ember új autót vett, be kellett járatni. Ez azt jelentette, hogy az első 1500 km-es utat maximum 60 km/h-s sebességgel lehetett megtenni. Számold ki, mennyi ideig tartott ez az út?

3. Karcsi és Juli egyforma súlyúak. Juli két lábának talpfelülete összesen 0,025 m2, és két egységnyi nyomást fejt ki a talajra. Mekkora Karcsi talpfelülete, ha a talajra, csak 1,2 egységnyi nyomást tud kifejteni?

4. A statisztika felmérések szerint Magyarországon a felnőtt lakosság naponta átlagosan 6 órát néz televíziót. Juhász néni (72 éves) egész nap otthon van. Minden nap körülbelül 3 órakor bekapcsolja a TV-t és este 11-ig nézi. A TV óránként 88 W-ot fogyaszt.

a) Mennyibe kerül a havi TV nézési szokása Juhász néninek? (1 kWh ára 36 Ft) b) Kelemen néni jobban szeret videózni, mint TV-t nézni. Videójának energiafogyasztása órán-

ként 22 W. Hány óráig videózhat Kelemen néni a Juhász néni TV-zési költségéért?

5. Az egyik Égei-tengeren túli ország területe 95 000 km2. Lakosainak száma 9 975 000. Az óperenciás tengeren túl van egy ország, amelynek ugyan ennyi a népsűrűsége, de a területe 142 500 km2 .

a) Hány ember él ebben az országban?

b) Az óperenciás tengeren túl van egy másik ország, ahol ugyanannyi ember él, mint az Égei-ten-geren-túliban. de a területe 63 333 km2. Mekkora a népsűrűsége?

6. Egy körlapon a 20°-os középponti szöghöz tartozó körív hossza 2 cm.

a) Milyen hosszú ív tartozik az 50°-os középponti szöghöz?

b) Számold ki a kör kerületét!

c) Számold ki a kör területét!

sZáMELMéLET0741. oszthatóság, számolás maradékokkal, prímtényezős felbontás

KÉSzíTETTÉK: CSAHóCzi ErzSÉbET, KOVÁCS CSONGOrNÉ

152 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 074. számelmélet tANulóI muNkAfüzet

1. FElaDatlaP

3, 6, 9…A 3-mal osztható számokat 3 · k alakban tudjuk felírni, ahol k pozitív egész szám. A k helyére az 1, 2, 3... számokat behelyettesítve megkapjuk 3 összes pozitív többszörösét.

1, 4, 7 …Azokat a számokat, amelyek 3-mal osztva 1-et adnak maradékul, 3 · k + 1 alakban tudjuk röviden leírni.

2, 5, 8…Azokat a számokat, amelyek 3-mal osztva 2-t adnak maradékul, 3 · k + 2 alakban tudjuk röviden leírni.

ilyen színes rudakból építünk számokat.

1. A színesrúd-készlet segítségével kirakjuk a piros rudakból álló sorozatot.

Milyen tulajdonságú számokat tudunk kirakni csupa piros rúdból? Milyen alakúak ezek?

tANulóI muNkAfüzet 0741. Oszthatóság, számolás maradékokkal… 153

Milyen tulajdonságú számokat tudunk kirakni csupa piros rúdból és egy fehérből? Milyen alakúak ezek?

Milyen tulajdonságú számokat tudunk kirakni csupa piros rúdból és egy rózsaszínből? Milyen alakúak ezek?

a) Adj meg egy-egy olyan háromjegyű számot, amely 3 ∙ k, 3 ∙ k + 1, 3 ∙ k + 2, 4 ∙ k, 4 ∙ k + 1, 4 ∙ k + 2, 4 ∙ k + 3 alakú!

b) Kirakható-e a 618 csupa világoskék rúdból?

c) Kirakható-e a 618 csupa piros rúddal?


2. a) Három dobozban üveggolyók vannak. Az egyikben 34, a másikban 27, a harmadikban 36. Szét tudja-e osztani egyenlően a gyerekek édesanyja három gyereke között?

b) Hét testvér együtt vitte vissza az üres üvegeket. Összesen 6852 Ft-ot kaptak. Szét tudják-e egyenlően osztani egymás között a pénzt?

c) Egy 11 fuvarost foglalkoztató cég öt ajánlatot kapott homokszállításra. Egyenlő arányban sze-retné elosztani a fuvart a tulajdonos. Mivel az ajánlatok között nincs nagy számbeli különbség, ezért azt az ajánlatot fogadja el, amelyik osztható 11-gyel. Melyik az?

A 674523 b 674513 C 674520 d 674532 E 674521

tudnivalóEgy c pozitív egész számnak osztója az a pozitív egész szám, ha van olyan b pozitív egész szám, amelyre igaz, hogy c = a · b. a c szám a-nak és b-nek is többszöröse.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Ennek a szabályos ötszögnek minden oldala 1. Gördítsd a számegyenesen!

a) Kerülhet-e valamikor az A csúcs a 125-ös számra?

b) Hét teljes körülfordulás után, melyik számra kerül először a D csúcs?

c) Milyen számokra kerülhet az E csúcs?

d) Add meg az összes 150 és 160 közötti számot, amely 5 ∙ k + 1 alakú, 5 ∙ k + 3 alakú, 5 ∙ k alakú!

5 k 5 k + 1 5 k + 3

e) Milyen alakúak az alábbi számok az 5-tel való oszthatóság szempontjából?

8313, 26, 717, 84, 93501, 110, 1005

0 1 2 3 4 5

BA

CE

D


2. írd a számokat a táblázat megfelelő helyére!

1, 3, 626, 414, 1000, 47, 4004, 535, 538

a) Melyik számnak nincs helye ebben a táblázatban?

b) Melyiket írhatjuk több helyre is?

c) írj néhány újabb számot a táblázatba!

3 · k + 1 4 · k + 2 2 · k + 0 6 · k + 1 7 · k + 5 8 · k + 4

3. folytasd a táblázat kitöltését! Keress szabályt!

be 19 87 1979 0 7513 854

Ki 5 3 5 0 2 6

4. Négy szám összege osztható 4-gyel. Melyik igaz és melyik nem az alábbi állítások közül? Lehet-e, hogy közülük

– egyik sem osztható 4-gyel, – egyik osztható 4-gyel a másik három nem, – kettő osztható 4-gyel, kettő nem, – három osztható 4-gyel, egy nem, mindegyik osztható 4-gyel?

5. A 27

tizedes tört alakjában milyen számjegy áll a tizedes vessző utáni 7. helyen?

Mi áll a 605. helyen? Mi áll a 3302. helyen?

6. Újonc katonákat sorakoztat a parancsnokuk. Ha hármasával sorakoztatja fel őket, akkor két katona kimarad. Akkor is két katona marad ki, ha hatosával sorakoztatja őket?

7. Egy piaci árus tyúk- és kacsatojásokat árul. A tojások hat kosárban vannak, az egyes kosarakban 4; 6; 12; 13; 22; 29 tojás található. A kétféle tojás keverten fér el a kosarakban. „ Ha ezt a kosár tojást eladom, akkor pontosan kétszer annyi tyúktojás marad, mint kacsatojás.” – gondolja magában az árus. Melyik kosárra gondolt?


2. FElaDatlaP

A táblázat

51 52 53 54 55

61 62 63 64 65

71 72 73 74 75

81 82 83 84 85

91 92 93 94 95

rakjatok le egy forintost az 53-ra, aztán a 61-re, majd folytassátok a lerakást úgy, hogy minden sorban és oszlopban pontosan egy érme álljon! Az a játékos nyer, akinél a lefedett számok összege a legna-gyobb.

B táblázat

1598 1599 1600 1601 1602

1698 1699 1700 1701 1702

1798 1799 1800 1801 1802

1898 1899 1900 1901 1902

1998 1999 2000 2001 2002

1. Letakartam a táblázatban egy számot. Takarj le egy másikat úgy, hogy az összeg osztható legyen

a) 2-vel, b) 5-tel, c) 10-zel!

2. Letakartam a táblázatban két számot. Takarj le egy harmadikat úgy, hogy az összeg osztható legyen

a) 2-vel, 4-gyel,

b) 5-tel, 25-tel,

c) 10-zel, 100-zal!

3. Letakartam a táblázatban három számot. Takarj le egy negyediket úgy, hogy az összeg osztható legyen

a) 2-vel, 4-gyel, 8-cal,

b) 5-tel, 25-tel, 125-tel,

c) 10-zel, 100-zal, 1000-rel!


ÖSSZEGZéS10 osztóival való oszthatóság:Minden szám felírható ilyen alakban:10 ∙ a + b = 10 · valamilyen szám + bAz összeg második tagja dönti el, hogy a szám osztható-e 10 osztóival, hiszen az első tag 10 többszöröse.

Egy számban az egyesek helyén álló szám dönti el, hogy osztható-e 2-vel, 5-tel, 10-zel.

100 osztóival való oszthatóság:Minden szám felírható ilyen alakban:100 ∙ a + bc = 100 · valamilyen szám + valamilyen kétjegyű számAz összeg második tagja dönti el, hogy a szám osztható-e 100 osztóival, hiszen az első tag 100 többszö-röse.

A számnak az utolsó két jegyét összeolvassuk. Ha ez a kétjegyű szám osztható 4-gyel, 20-szal, 25-tel, 50-nel, 100-zal, akkor a szám is osztható ezekkel.

1000 osztóival való oszthatóság:Minden szám felírható ilyen alakban:1000 ∙ a + abc = 1000 · valamilyen szám + valamilyen háromjegyű számAz összeg második tagja dönti el, hogy a szám osztható-e 1000 osztóival, hiszen az első tag 1000 többszö-röse.

A számnak az utolsó három jegyét összeolvassuk. Ha ez a háromjegyű szám osztható 8-cal, 40-nel, 125-tel, 200-zal, 250-nel, 500-zal, 1000-rel, akkor a szám is osztható ezekkel.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Hány különböző háromjegyű számot tudsz készíteni, ha ezek a számkártyáid vannak?

2 3 4

a) Ezek közül hány lesz páros?

b) Hány lesz 4-gyel osztható?

c) Hány lesz 8-cal osztható?

2. Hány különböző négyjegyű számot tudsz készíteni, ha ezek a számkártyáid vannak?

1 2 3 4

a) Ezek közül hány lesz páros?

b) Hány lesz 4-gyel osztható?

c) Hány lesz 8-cal osztható?


3. Hány különböző háromjegyű számot tudsz készíteni, ha ezek a számkártyáid vannak?

0 1 2 3

a) Ezek közül hány lesz páros? b) Hány lesz 4-gyel osztható? c) Hány lesz 10-zel osztható? d) Hány lesz 20-szal osztható? e) Hány lesz 8-cal osztható?

4. Melyik a legnagyobb, és melyik a legkisebb nullásokból és egyesekből álló 8-cal osztható szám?

5. Oszthatók-e 8-cal az alábbi összegek?

1011 + 8

1999 + 29

6. Keresd meg azokat a pozitív egész számokat, amelyek oszthatók 8-cal, számjegyeik összege 8, és jegyeinek szorzata 8?

7.

2, 22, 222, 2222, 22222, …

Tartalmaz-e a sorozat végtelen sok olyan számot, amely osztható a) 2-vel; b) 4-gyel; c) 8-cal; d) 11-gyel; e) 22-gyel; f) 111-gyel; g) 222-vel?

8. Egészítsétek ki a következő számokat egy-egy számjeggyel úgy, hogy azok oszthatók legyenek

a) 2-vel b) 4-gyel c) 5-tel d) 10-zel e) 25-tel f) 8-cal!

537 4 12 68 47

537 4 12 68 47

2-vel

4-gyel

5-tel

10-zel

25-tel

8-cal


9. Mindig arra a csúcsban vagy élben szomszédos mezőre lépj, amelyben az ott álló szám osztható 125-tel! Melyik mezőre lépsz utoljára?

Start 7500 100205 125525 3100

1255 42550 100750 42625 203

225 252 1600 125050 56

502 510 54 123875 103–125

3. FElaDatlaP

1. Ebbe a gépbe csak természetes számokat lehet bedobni. A gép 9-cel oszt, és a maradékot dobja ki. Töltsd ki a táblázatot! Észrevételeidet fogalmazd meg!

a)

be 1 101 102 103 104 105 106 107 108 109

ki

b)

be 2 2 ∙ 101 5 ∙ 102 5 ∙ 103 9 ∙ 104 3 ∙ 105 4 ∙ 106 6 ∙ 107 8 ∙ 108

ki

c)

be ki

2 ∙ 101 + 3 ∙ 1 = 23

5 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 3 ∙ 1 = 523

5 ∙ 104 +4 ∙ 103 + 2 ∙ 101 + 2 ∙ 1 = 5422

6 ∙ 105 + 8 ∙ 103 = 608000

d)

be 120 210 111 1011 2001 230 50 1220 11111

ki

2. igaz-e, hogy a 101 + 102 + 103 + 104 + 105 + 106 + 107 + 108 + 109 összeg osztható 9-cel?

3. igaz-e, hogy az 1, 11, 111, 1111 … sorozatnak végtelen sok 9-cel osztható tagja van?

4. Mennyi a 9-cel való osztási maradéka az összeg alakban felírt számoknak?

a) 5 ∙1 04 + 7 ∙ 103 +2 ∙ 102 + 3 ∙ 101

b) 2 ∙ 104 + 5 ∙ 103 +3 ∙ 102 + 7 ∙ 101

c) 3 ∙ 104 + 2 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 5 ∙ 101


5. igazak-e az állítások?

a) A 10 minden hatványa 9-cel osztva 1-et ad maradékul.

b) A 2 3 7 kártyákból kirakható 3 jegyű számok egyike sem osztható 9-cel.

c) A 8 3 7 kártyákból kirakható 3 jegyű számok mindegyike osztható 9-cel.

d) Ha egy szám nem osztható 9-cel, akkor a jegyei felcserélésével kapott számok egyike sem oszt-ható 9-cel.

e) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a jegyei felcserélésével kapott számok mindegyike osztható 9-cel .

6. a) A 10 minden hatványa osztható 5-tel.

b) A 2 5 7 kártyákból kirakható 3 jegyű számok egyike sem osztható 5-tel.

c) A 7 3 5 kártyákból kirakható 3 jegyű számok mindegyike osztható 5-tel.

d) Ha egy szám nem osztható 5-tel, akkor a jegyei felcserélésével kapott számok egyike sem oszt-ható 5-tel.

e) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a jegyei felcserélésével kapott számok mindegyike osztható 5-tel.

7. Mennyi a 9-cel való osztási maradéka az összeg alakban felírt számoknak?

a) 3 ∙ 105 + 8 ∙ 104 + 9 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 1 ∙ 101

b) 5 ∙ 106 + 4 ∙ 105 + 2 ∙ 104 + 7 ∙ 103 + 1 ∙ 102 + 8 ∙ 101

8. a) Az 123 szám végére írj egy számjegyet úgy, hogy a kilences maradéka ne változzon!

b) 68 1 számban pótold a hiányzó számjegyet úgy, hogy 9-cel osztható számot kapj!

c) 68 1 számban pótold a hiányzó jegyeket úgy, hogy 9-cel osztható számot kapj!

9. Ebbe a gépbe csak természetes számokat lehet bedobni. A gép 3-mal oszt, és a maradékot dobja ki. Töltsd ki a táblázatot!

Észrevételeidet írásban fogalmazd meg!

a)

be 1 101 102 103 104 105 106 107 108 109

ki

b)

be 2 2 ∙ 101 5 ∙ 102 5 ∙ 103 9 ∙ 104 3 ∙ 105 4 ∙ 106 6 ∙ 107 8 ∙ 108

ki

c)

be ki

2 ∙ 101 + 3 ∙ 1 = 23

5 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 3 ∙ 1 = 523

5 ∙ 104 +4 ∙ 103 + 2 ∙ 101 + 2 ∙ 1 = 5422

6 ∙ 105 + 8 ∙ 103 = 608000


d)

be 120 210 111 1011 2001 230 50 1220 11111

ki

10. Mennyi a 3-mal való osztási maradéka az összeg alakban felírt számoknak?

a) 5 ∙ 104 + 7 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 3 ∙ 101

b) 3 ∙ 105 + 8 ∙ 104 + 9 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 1 ∙ 101

c) 5 ∙ 106 + 4 ∙ 105 + 2 ∙ 104 + 7 ∙ 103 + 1 ∙ 102 + 8 ∙ 101

tudnivalóEgy szám osztható 9-cel, ha a szám jegyeinek összege osztható 9-cel.Egy szám osztható 3-mal, ha a szám jegyeinek összege osztható 3-mal.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. A számoknak néhány jegyét letakartuk. Melyikről tudod eldönteni, hogy osztható-e a kérdezett számmal? írj a táblázat megfelelő helyére igen, nem választ!

Osztható 20 3 50 3600 8 3 5

2-vel3-mal4-gyel8-cal9-cel10-zel20-szal25-tel

2. a) Készíts halmazábrát, úgy, hogy az alaphalmaz a páros számok halmaza legyen, és ebben válaszd ki a 3-mal osztható számokat és a 9-cel osztható számokat.

Úgy rajzold a halmazábrát, hogy ne legyenek benne üres részek! írj minden részbe néhány ele-met!

b) Készíts halmazábrát az alábbi halmazokhoz! Alaphalmaz (H) az 50-nél kisebb természetes szá-mok halmaza.

A: {páros számok} B: {3-mal osztható számok} c: {9-cel osztható számok} Úgy rajzold a halmazábrát, hogy ne legyenek benne üres részek! írj minden részbe néhány ele-

met!

3. Mennyi a felsorolt számok 9-es és 3-as maradéka? 642, 1539, 214, 9735, 6060, 162918


4. Pótold a 4375 ötjegyű számban a hiányzó számjegyet úgy, hogy a szám osztható legyen

a) 3-mal

b) 9-cel

c) 3-mal igen, de 9-cel nem!

5. Hány csupa olyan 2-esből álló szám van, amely osztható

a) 3-mal?

b) 9-cel?

c) 8-cal?

6. A 2005 szám végére írj még számjegyet úgy, hogy ne változzon a szám

a) 3-as b) 4-es c) 5-ös d) 9-es maradéka!

7. A pozitív egész számok sorozatában melyik

a) a századik 3-mal osztható szám

b) a századik 4-gyel osztható szám

c) a századik 9-cel osztható szám

d) a negyvenedik 3-mal osztva 1 maradékot adó szám

e) a negyvenedik 4-gyel osztva 3 maradékot adó szám

f) a negyvenedik 9-cel osztva 7-et maradékul adó szám?

8. a) Az 16631663 szám lehet-e két egymást követő egész szám szorzata?

b) Az 16641664 szám lehet-e két egymást követő egész szám összege?

c) Az 16641664 szám lehet-e három egymást követő egész szám összege?

d) Az 16641664 szám lehet-e három egymást követő egész szám szorzata?

9. Ezek a számkártyáink vannak: 1 2 6

a) Hány különböző háromjegyű számot tudsz készíteni belőlük?

b) Hány lesz közülük 3-mal, 4-gyel, 9-cel osztható?

10. Ezek a számkártyáink vannak: 2 3 7

a) Hány különböző háromjegyű számot tudsz készíteni belőlük?


11. Ezek a számkártyáink vannak: 1 1 0 6

a) Hány különböző négyjegyű számot tudsz készíteni belőlük?



4. FElaDatlaP

Abban az időben, amikor még nem volt mindenki kezében a zsebszámológép, de még ennél egysze-rűbb mechanikus számológép sem, egy hosszú számoszlop összeadását az un. „kilences próbával” ellenőrizték. Lássuk mit jelent ez!

összeadandókaz összeg kilences

maradéka

a tagok kilences maradéka

3 1 4 5 6 9 1

6 5 1 3 6

4 6 1 3 9 5

5 3 1 7 7 5

1 1 6 9 8 1 8

+ 4 2 6 5 8

összeg 5 4 1 6 4 4 6

a maradékok összegének kilences maradéka: 6

Melyik állítás igaz?A) Ha a kilences próba szerint helyes az eredmény, akkor biztos, hogy hibátlanul végeztük el az össze-

adást.B) Ha hibátlanul végeztük el az összeadást, akkor biztos, hogy a kilences próba is igazolja ezt.

1. a) Kilences próbával ellenőrizd az összeadásokat!

összeadandókaz összeg kilences maradéka


2 8 6 1

3 1 4 1 3

9 1 2 7

6 5 4 3 2 1

+ 4 5 5 6 6

összeg

a maradékok összegének kilences maradéka:


összeadandókaz összeg kilences

maradéka


3 7 0 5 6 1

6 5 5 2

4 0 1 4 3

9 5 3 1 3 4

1 1 0 9 2 5

+ 3 4 2 1 6

összeg

a maradékok összegének kilences maradéka:

b) Gondolj egy számot! Add hozzá a házszámodat, és azt, hogy hányas cipőt hordasz! Az összeget szorozd meg 9-cel! Add össze a kapott szám számjegyeit, ha többjegyű számot kaptál, annak is add össze a számjegyeit, egészen addig, amíg egyjegyű számot nem kapsz! Kilencet kaptál! igaz?

Keress magyarázatot arra, hogy én ezt honnan tudhatom?

c) Gondolj egy háromjegyű számot, amelynek mind a három jegye különböző! írd le a számjegye-ket fordított sorrendben, és a nagyobbikból vond ki a kisebbet! Mondd meg a különbség utolsó számjegyét, és én megmondom a különbséget!

Magyarázd meg, hogy találom ki!

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Válassz ki a szorzatok közül kettőt úgy, hogy az összegük osztható legyen

a) 3-mal b) 5-tel c) 11-gyel d) 9-cel e) 25-tel!

2 · 5 5 · 11 3 · 5 3 · 11 5 · 7

2. A szorzás elvégzése nélkül válaszolj a kérdésre!

Osztható-e a 24 · 30 szorzat a) 3-mal b) 9-cel c) 8-cal d) 5-tel e) 20-szal f) 25-tel g) 11-gyel?


3. írj egy-egy számjegyet a betűk helyére úgy, hogy először 125-tel osztható összegeket kapj, aztán úgy, hogy 3-mal osztható összegeket kapj!

a) 14 2 A + 8 0b1

b) 14 A 2 + 8b 01

4. írj be egy-egy számjegyet a betűk helyére úgy, hogy a szorzatok

a) 100 pozitív többszörösei

b) 9 pozitív többszörösei legyenek!

A) 2 · 5 · x · y

b) x · 3 · y · 5

5. Mutasd meg, hogy a 1 + 11 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116 + 117 + 118 + 119 összeg osztható 10-zel!

6. igaz-e, ha egy szám jegyeinek összege osztható 27-tel, akkor a szám is osztható 27-tel?

7. A számoknak csak néhány jegyét ismered. Melyikről tudod eldönteni, hogy osztható-e a kérdéses számmal? Töltsd ki a táblázatot (igen, nem beírásával)!

Osztható 8-cal 125-tel 200-zal 3-mal 9-cel

8 0

5 0

6 2 5

2 0

8. Ezek a számkártyáink vannak: 0 2 5 1

Hány háromjegyű számot tudsz készíteni belőlük?

a) Hány lesz közülük 5-tel osztható?

b) Hány lesz közülük 4-gyel osztható?

c) Hány lesz közülük 8-cal osztható?

d) Hány lesz közülük 125-tel osztható?

e) Hány lesz közülük 3-mal osztható?

f) Hány lesz közülük 9-cel osztható?


9. Az alábbi számokat írd a halmazábra megfelelő részébe!

Van-e olyan rész, ahová nem kerülhet szám?

H = {682, 4290, 7029, 7023, 1978, 1980, 2005, 960, 33111}

A = {9-cel osztható számok}

b = {3-mal osztható számok}

10. Mi a valószínűsége, hogy a 8452 szám

a) páros b) osztható 8-cal c) osztható 125-tel d) osztható 9-cel?

5. FElaDatlaP

1. Kiraktam számokat. Melyik négyzetszám? Amelyik nem az, azt építsd tovább úgy, hogy az legyen!

a) 3 ∙ 2 ∙ 17 ∙ 3 ∙ 17 ∙ 2 b) 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2 c) 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 d 11 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 11 e) 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

2. igaz-e? a) Ha egy négyzetszám nullára végződik, akkor páros sok nulla van a végén. b) Van olyan négyzetszám, amely 14-re végződik. c) Ha egy négyzetszám osztható 3-mal, akkor 9-cel is.

A

H

B


3. rejtvények Ahogyan a kőműves a téglákat malterral tapasztja össze, mi a prímtégláinkat szorzással „tapasz-

tottuk össze”. Minden prím egy építőkő és minden szám egy épület, amelyet prímtéglából szorzás segítségével építettünk. Kiraktunk három prímtéglát:

3 5 11

Hét számot tudtunk ezekből a prímekből építeni.3, 5, 11, 3 • 5, 3 • 11, 5 • 11, 3 • 5 • 11. a) Feltettem arccal lefelé két prímkártyát. Ezt a számot építettem:

∙

Gyűjtsünk róla igaz állításokat!

b) Ha tudnánk erről a számról, hogy a prímtégláiból csak két különböző számot tudnánk építeni, akkor mit mondhatnánk a tégláiról?

c) Ha tudnánk erről a számról, hogy a két prímtéglája különböző, akkor hány különböző számot tudnánk belőlük építeni?

d) Eláruljuk, hogy ez egy páros négyzetszám. Mi van a kártyákon?

4. Tíz számot prímtényezői szorzataként raktam ki, de minden kártya arccal lefelé fordított. Minden tényező egyjegyű prím, és növekedő sorrendben állnak. A tíz szám mindegyikéről elárultam vala-mit.

ezt figyelmesen olvasd el! A játék célja az, hogy a lehető legkevesebb kártya megfordításával meghatározzuk a kiválasztott

szám még meg nem nézett prímtényezőit. Válassz ki egyet a tíz szám közül! Mondd meg, hogy hány kártya megfordításával vállalod a szám

prímtényezőinek kitalálását! Azt is megteheted, hogy egyetlen kártya megfordítása nélkül találod ki a prímtényezőket. Ha nem,

akkor a kiválasztott szám egy prímkártyájára mutass rá! Utána fordítsd meg! A kiválasztott kártya megnézése után mondd meg, hogy mi van a többi kártyán! Ha eltaláltad, a következő számot is te választhatod egészen addig, amíg el nem rontod. Annyi pontot kapsz, ahány kártyát eltaláltál. Ezután átadod a következő gyereknek a kérdezés jogát.

sor-szám

A szám prímtényezői arccal lefordítva:

ezt áruljuk el róla:

1 . Tényezőiből háromféle szám építhető.

2 . Tényezőiből kétféle szám építhető.

3 . 9 többszöröse.

4 . Ez a szám 0-ra végződik.

5. Négyzetszám.

6 . 7-tel osztható négyzetszám.

7 . 63 többszöröse.

8 . 0-ra végződő négyzetszám.

9 . Osztható 3-mal, de 9-cel nem, 0-ra végződik.

10 . Négyzetszám, 6-nak többszöröse.


5. a) Felteszünk arccal lefelé három prímkártyát.

∙ ∙ Ezt a számot építettem. Gyűjtsünk róla igaz állításokat!

b) ∙ ∙ ∙ Négy prímtéglából építettem egy számot. A prímtéglákat növekvő sorrendben tettem fel. Találd

ki, hogy milyen prímtéglákból építkeztem! Ha szükséged van rá, egy kártyát megfordíthatsz. – 6-tal osztható négyzetszám. – Páros négyzetszám. – 15 páros többszöröse.

tudnivalóPrímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azt a pozitív egész számot, amelynek pontosan két osztója van.Az 1 nem prímszám.Az összetett számoknak kettőnél több osztójuk van.Egy szám valódi osztójának nevezzük azokat az osztókat, amelyek különböznek 1-től és magától a számtól. Az utóbbiakat nem valódi osztóknak nevezzük.Egy szám osztói csak azokat a prímtényezőket tartalmazhatják, amelyből a szám épült.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Az első 1000 prímszám szorzata páros vagy páratlan?

2. Az első 1000 prím összeg páros vagy páratlan?

3. Hány nullára végződik az első 100 prímszám szorzata?

4. Egy összetett számot prímszámok szorzatára bontottam. Hármat megmutatok a négy közül.

2 ∙ 2 ∙ 5 ∙

Úgy válaszd meg a negyediket, ha lehet, hogy igazak legyenek az alábbi állítások! a) A szám nullára végződik. b) A szám osztható 20-szal. c) A számnak osztója a 8. d) Kisebb 1000-nél. e) Négyzetszám. f) Legalább 8 osztója van.


5. Egy összetett számot prímszámok szorzatára bontottam. Kettőt megmutatok a négy közül.

2 ∙ 2 ∙ ∙

Úgy válaszd meg a hiányzó kettőt, ha lehet, hogy igazak legyenek az állítások! a) A szám két nullára végződik. b) Négyzetszám. c) A szám 15-tel osztható négyzetszám. d) Kisebb 101-nél. e) Legfeljebb nyolc osztója van. f) 1000-nek többszöröse.

6. Prímjeikből raktuk ki a számokat. A számokat megbetűztük. Melyikre lehet biztosan igaz, hogy

a) 2 ∙ 11 ∙

b) ∙ ∙ 7

b) 2 ∙ ∙ 5 ∙ ∙ ∙ 7

d) 3 ∙ ∙ 3

d) 5 ∙ ∙ ∙ a) biztosan páros. b) Lehet, hogy osztható 8-cal. c) Lehet, hogy 15 többszöröse. d) Nem lehet négyzetszám. e) biztosan 0-ra végződik. f) biztos, hogy kettőnél többjegyű szám.

7. Mindegyikről elárulunk valamit, melynek alapján fejtsd meg, melyek ezek a prímtéglák? a) Nyolc téglás szám. 63-mal osztható, nulla végű négyzetszám. b) Három téglás. Legkisebb háromjegyű köbszám. c) Három téglás. Osztható 21-gyel és a 7-szerese négyzetszám. d) Négy téglás. Ez egy olyan kétjegyű szám, amelynek a fele páratlan köbszám.

8. Fel lehet-e osztani a 10-nél nem nagyobb egész számokat két csoportra úgy, hogy a két csoportban lévő számok

a) összege b) szorzata egyenlő legyen?

9. Összeszorozzuk az első a) 10 b) 20 c) 50 d) 100 pozitív egész számot. Hány nulla áll a szorzat végén?


6. FElaDatlaP

1. a) döntsd el, hogy igaz vagy hamis! – Ha egy szám osztható 2-vel és 3-mal, akkor osztható 6-tal is. – Ha egy szám osztható 2-vel és 7-tel, akkor osztható 14-gyel is. – Ha egy szám osztható 3-mall és 11-gyel, akkor osztható 33-mal is. – Ha egy szám osztható 3-mal és 6-tal, akkor osztható 12-vel is. – Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 24-gyel is. – Ha egy szám osztható 33-mal és 10-zel, akkor osztható 330-cal is. – Ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható a•b-vel is. b) Mi a feltétele annak, hogy az utolsó állítás igaz legyen?

2. Az osztás elvégzése nélkül döntsd el, hogy az „A” szám osztható-e a megadott számokkal! A = 636480 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30, 40, 90

osztó és prímtényezős felbontása az osztandó = 636480

2

3

4

5

6

8

9

10

12

15

18

20

24

25

30

40

90

tudnivalóEgy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal.Egy szám osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel.


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. igazak-e az alábbi állítások? a) Ha egy szám osztható 6-tal és 2-vel, akkor osztható 12-vel is. b) Ha egy szám osztható 4-gyel és 8-cal, akkor osztható 32-vel is. c) Ha egy szám osztható 5-tel és 2-vel, akkor osztható 10-zel is. d) Ha egy szám osztható 6-tal és 4-gyel, akkor osztható 24-gyel is.

2. Minden feladathoz rajzolj ilyen halmazábrát! Az alaphalmaz a pozitív egész számok halmaza.

írj a halmazábrák minden részébe 4-4 számot! Ahová nem lehet megfelelő számot írni, azt satírozd be!

Minden esetben add meg, hogy a közös részben elhelyezkedő számok mindegyike osztható-e a két szám szorzatával!

a) A piros körbe kerüljenek a 6-tal oszthatók, a kékbe 2-vel oszthatók. b) A piros körbe kerüljenek a 4-gyel oszthatók, a kékbe 8-cal oszthatók. c) A piros körbe kerüljenek az 5-tel oszthatók, a kékbe 2-vel oszthatók. d) A piros körbe kerüljenek a 6-tal oszthatók, a kékbe 4-gyel oszthatók

3. Az osztás elvégzése nélkül válaszolj a kérdésekre! a) Osztható-e az 1122 szám 12-vel? b) Osztható-e a 2025 szám 45-tel? c) Osztható-e a 222222 szám 6-tal?

4. írj egy-egy számjegyet a keretekbe úgy, hogy a szorzatok többszörösei legyenek 12- nek!

a) 2 ∙ 11 ∙

b) ∙ ∙ 7

c) ∙ 5 ∙ 13

d) 3 ∙ ∙ 4

e) 5 ∙ ∙ ∙


5. Egészítsd ki a következő számokat a keretekbe írt egy-egy számjeggyel úgy, hogy oszthatók legye-nek

a) 6-tal, b) 30-cal, c) 18-cal!

8 7 3 325 5 2

6. Egészítsétek ki a mondatokat úgy, hogy igaz állításokat kapjunk!

a) Egy szám osztható 40-nel, ha osztható __________________ és __________________ .

b) Egy szám osztható 35-tel, ha osztható __________________ és __________________ .

c) Egy szám osztható 60-nal, ha osztható __________________ és __________________ .

d) Egy szám osztható 45-tel, ha osztható __________________ és __________________ .

e) Egy szám osztható 99-cel, ha osztható 9-cel és __________________ .

7. Milyen számokat kell írni a * -gal jelölt helyekre, hogy az 52*2* ötjegyű szám osztható legyen 36-tal?

8. bizonyítsd be, hogy bármely 3-nál nagyobb prímszám két szomszédjának szorzata osztható 24-gyel!

9. bizonyítsd be, hogy bármely egymást követő öt természetes szám szorzata osztható 120-szal.

7. FELADATLAP

1. a) A megadott számokból alkoss számpárokat minden lehetséges módon! Hány számpár esetén lesz a legnagyobb közös osztó 1?

15, 18, 27, 40, 63 b) Kettőnél több szám legnagyobb közös osztója. Kettőnél több szám esetén is beszélünk legnagyobb közös osztóról.

2. Keresd meg 80, 128 és 200 legnagyobb közös osztóját!

3. Az előző három szám közül válasszatok ki kettőt-kettőt az összes lehetséges módon! Határozzátok meg páronként a közös osztókat, majd keressétek meg a legnagyobb közös osztókat! Ezután keres-sétek meg a legnagyobb közös osztók legnagyobb közös osztóját! Mit tapasztaltok?

4. A következő négy szám közül válasszatok ki hármat úgy, hogy relatív prímek legyenek!

33, 65, 255, 266

5. Melyik állítás igaz? a) Ha egy szám osztható 4-gyel és 12-vel, akkor osztható 48-cal is. b) Ha egy szám osztható 9-cel és 6-tal, akkor osztható 54-gyel is. c) Ha egy szám osztható 4-gyel és 5-tel, akkor osztható 20-szal is. d) Ha egy szám osztható 6-tal és 4-gyel, akkor osztható 24-gyel is.


6. Minden lehetséges módon alkossatok törteket! A számlálót a piros számok közül válasszátok, a nevezőt a kékek közül! A legkisebbet és a legnagyobbat írd fel a legegyszerűbb alakban!

18, 25, 40 15, 30, 80, 100

7. Péterék egy 3,75 m x 2 m-es teraszt négyzet alakú burkolólapokkal akarnak lefedni. Mekkora legyen egy burkolólap oldala, ha nem tudnak szétvágni csempét, ugyanis nincs csempevágójuk? Mekkora lehet a legnagyobb méretű lap?

ÖSSZEGZéSPrímtényezős felbontásból kerestük a 126 osztóit!1 tényezős osztók: 2, 3, 72 tényezős osztók: 2 · 3, 2 · 7, 3 · 3, 3 · 73 tényezős osztók: 2 · 3 · 3, 2 · 3 · 7, 3 · 3 · 74 tényezős osztók: 2 · 3 · 3 · 7és az 1.Az osztókat osztópárokba rendeztük.Azt tapasztaltuk, hogy

a 4 tényezős osztó párja az l, ami 0 tényezős osztó

Kiraktuk a 126-ot csupa piros prímkártyából! Kiraktuk a 210-et csupa kékből!126 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7Azok az osztók, amelyeket csupa pirosból és csupa kékből is ki tudtunk rakni, éppen a közös osztók. A leg-nagyobb osztót úgy kapjuk meg, ha minden közös prímet beleépítünk.Halmazábrával:

A közös prímtényezők szorzata adja a két szám legnagyobb közös osztóját: 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42

Több szám közös osztói az adott számok mindegyikének osztói. A legnagyobb közös osztó többszöröse a közös osztók mindegyikének. A legnagyobb közös osztót a számok közös prímtényezőinek szorzataként kapjuk meg. Ha a számok prímtényezős szorzat alakjában nincs közös prímtényező, akkor azokat relatív (viszonylagos) prímeknek nevezzük. Ezek legnagyobb közös osztója az 1.

2 párja 3 · 3 · 7 3 párja 2 · 3 · 7 7 párja 2 ∙ 3 ∙ 32 ∙ 3 párja 3 · 72 · 7 párja 3 ∙ 3

az 1 tényezős osztó párja a 3 tényezős osztó

a 2 tényezős osztó párja a 2 tényezős osztó

Ezek a valódi osztók

2 · 3 · 3 · 7 párja 1 Ezek nem valódi osztók

23

7

5

3


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. bontsd prímtényezők szorzatára a számokat és add meg a legnagyobb közös osztójukat!

a) (12; 54) =

b) (90; 108) =

c) (300; 126) =

d) (210; 150; 240) =

2. Egyszerűsítsd a törteket!

a) 1260

b) 45150

c) 961

d) 120512

3. Közös nevezőre hozás után végezd el a kijelölt műveleteket!

a) 712

+ 936

= b) 1160

+ 6180

= c) 128512

+ 416

=

4. A születésnapi ünnepség végére maradt még 60 süti, 24 darab alma, és 18 doboz 2 dl-es gyümölcslé. Az ünnepelt igazságosan szét tudta osztani a még ott lévő barátai között a maradékot. Hány barátja lehetett még ott?

5. Mekkora lehet az a szám, amelynek prímtényezős felbontásában a 20-nál kisebb prímszámok mindegyike szerepel? Tippelj, számolj!

a) valahány ezer b) valahány millió c) valahány billió

8. FElaDatlaP

1. a) Három hajó együtt van New york kikötőjében. A kapitányok nagyon jó barátok és azt tervezge-tik, hogy mikor sörözgethetnek újra együtt. bob hajója 3 hetenként fordul, Tomé 4 hetenként, Józsié 5 hetente. Most május 4-e van. Találkoznak-e még ebben az évben?

b) Egy kocsi első kerekének kerülete 180 cm, a hátsóé 210 cm. Mekkora a legrövidebb szakasz, amit befut a jármű, ha mind a két kereke pontosan egész számú fordulatot tesz meg? Miért kopik el az autók első kereke gyorsabban, mint a hátsó?

c) Egy országutat fasor szegélyez. A fák 15 méterenként állnak. Az út másik oldalán villanyoszlo-pok sorakoznak, 40 méteres közökben. A közeli falu utolsó házánál az út két oldalán egymással szemben áll egy oszlop és egy fa. Milyen távolságonként ismétlődik meg ez a találkozás?


d) Kada és bátyja, regő, ugyanabba az iskolába járnak. Kada élete első évzáróján, a bátyja balla-gásán vehetett részt. Az ünnepség végén együtt mentek haza. Kada azt találgatta, hány gyerek lehetett az udvaron. regő szerint háromszáznál többen voltak, de 400-nál biztosan kevesebben, mert nincs 400 tanulója az iskolának. Kada ekkor elmondta, hogy ő mit figyelt meg a sorako-zási próba alatt. Pista bácsi hatosával, hetesével és nyolcasával is sorakoztatta őket, de mindig teljesek voltak a sorok. regő kicsit gondolkodott, majd pontosan megmondta hányan voltak. Hogyan?

A négyféle feladat között milyen kapcsolatot láttok ?

2. Prímtéglákból kell építeni számokat a feltételeknek megfelelően! Te döntheted el, hogy milyen prímkártyákat kérsz.

– A szám 45 többszöröse legyen! – A szám 45-nek és 63-nak is többszöröse legyen! – A szám 45-nek és 63-nak is többszöröse legyen és még nullára is végződjön! – A szám 45-nek és 63-nak is többszöröse legyen és ráadásul két nullára is végződjön!

3. Megadok 3 számot prímszámokból felépítve. Építs prímszámokból olyanokat, amelyek mind a háromnak többszörösei!

Próbáljátok megfogalmazni, hogyan kell felépíteni a legtakarékosabb megoldást!

2 · 2 · 3 3 · 3 · 7 2 · 7 · 7

2 · 2 · 3 5 · 5 · 5 11 · 7 · 7

2 · 2 · 3 3 · 3 · 3 2 · 3 · 3

2 · 2 · 3 5 · 3 · 7 2 · 7 · 11 · 7

22 · 33 32 · 23 · 7 25 · 35 · 13 5 · 24 · 11 · 38 · 7

ÖSSZEGZéSKét vagy több számnak végtelen sok közös többszöröse van. A közös többszörösök közül a legkisebbet a számok legkisebb közös többszörösének nevezzük. A legkisebb közös többszörös prímtényezői között az összes olyan prímtényező szerepel, amely az egyes számokban előfordul.

A legkisebb többszörös az összes közös többszörösnek osztója.A legkisebb közös többszörös prímtényezői között az összes olyan prímtényező szerepel, amely az egyes számokban előfordul.Ha a prímtényezők szorzatát hatványalakban írjuk fel, akkor a legkisebb közös többszöröst úgy kap-hatjuk meg, hogy minden előforduló prímtényezőből kiválasztjuk a legnagyobb kitevőjűt, és ezeket összeszorozzuk.Jelekkel: [24; 20] = 120 vagy [22 ∙ 3 ; 2 ∙ 32 ∙ 7] = 22 ∙ 32 ∙ 7


4. A következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis?

a) Ha egy szám többszöröse 6-nak is és 9-nek is, akkor biztosan többszöröse 54-nek is.

b) Ha egy szám többszöröse 14-nek is és 4-nek is, akkor biztosan többszöröse 18-nak is.

c) Ha egy szám többszöröse 14-nek is és 4-nek is, akkor biztosan többszöröse 14 ∙ 4-nek is.

d) Ha egy szám osztója 6-nak is és 9-nek is, akkor biztosan osztója 54-nek is.

e) Ha egy szám osztója 14-nek is és 4-nek is, akkor biztosan osztója 18-nak is.

f) Ha egy szám osztója 14-nek is és 4-nek is, akkor biztosan osztója 14 ∙ 4-nek is.

5. a) Tegyél be számokat a nyitott mondatokba úgy, hogy az így kapott állítás igaz legyen!

b) Tegyél be számokat a nyitott mondatokba úgy, hogy az így kapott állítás hamis legyen!

Ha egy szám többszöröse A-nak is és B-nek is, akkor többszöröse A + B-nek is .

Ha egy szám többszöröse A-nak is és B-nek is, akkor többszöröse A ∙ B-nek is .

Ha egy szám osztója A-nak is és B-nek is, akkor osztója A + B-nek is .

Ha egy szám osztója A-nak is és B-nek is, akkor osztója A ∙ B-nek is .

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Egy villamos-végállomásról egyszerre indítanak reggel 6 órától két különböző útvonalon közle-kedő járatot. Az egyik útvonalon 12 percenként, a másik 15 percenként indulnak a villamosok. 6 óra után mikor fog ismét egyszerre indulni két villamos a végállomásról?

2. Panniék a nyári szünetben sokat kártyáznak. Olyan kártyával játszanak, amelyikkel 2, 3, 4 ,5, 8 gyerek is játszhat egyszerre, az osztás után nem marad ki egy lap sem.

Legalább hány lapos a kártyacsomag?

3. Feri, Marci és zsombor a sportpályán edzenek. Egyszerre indulnak a start vonaltól. Megállapod-nak, hogy addig futnak megállás nélkül körbe-körbe, amíg mindhárman egyszerre érnek a start-hoz.

Feri 3 perc alatt, Marci 7 perc alatt, zsombor 5 perc alatt fut le egy kört. a) Hány percig futnak egyfolytában? b) Melyikük hány kört tesz meg ezalatt?


A

H

K n

4. Helyezd el a számokat a halmazábrák megfelelő helyére!

5312, 8520, 9699, 1527, 398, 4522, 79, 1302

Tudsz-e az üresen maradó részekbe számokat írni?

A = {Az adott számok halmaza}

K = {2 többszörösei}

H = {3 többszörösei}

N = {4 többszörösei}

5. Határozd meg a következő két-két szám legkisebb közös többszörösét!

a) 17, 19 b) 170, 340 c) 340, 510 d) 600, 900 e) 36, 50

6. Határozd meg a következő három-három szám legkisebb közös többszörösét!

a) 2, 3, 5 b) 2, 4, 5 c) 2, 5, 10 d) 8, 9, 72 e) 4, 5, 12 f) 15, 18, 30

7. Határozd meg a következő két-két szám legkisebb közös többszörösét!

a) [22 ∙ 5; 32 ∙ 7] =

b) [22 ∙ 3; 2 ∙ 32] =

c) [22 ∙ 3; 22 ∙ 32 ∙ 7] =

d) [22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 73; 34 ∙ 74 ∙ 11] =


8. A következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a) kisebb mindegyik számnál, b) nagyobb mindegyik számnál, c) kisebb a legnagyobb számnál, d) nagyobb a legkisebb számnál, e) nagyobb a számok szorzatánál, f) a számok szorzata a legnagyobb közös többszörös.

9. Két szám legkisebb közös többszöröse 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. A két szám relatív prím. Mi lehet ez a két szám?

10. Melyik szám az első tíz pozitív természetes szám legkisebb közös többszöröse? becsülj! Számolj!

11. Két szám legkisebb közös többszöröse 24 ∙ 32 ∙ 52 , legnagyobb közös osztója 23 ∙ 3 ∙ 5.

Az egyik szám 23 ∙ 32 ∙ 5.

Mennyi a másik szám?

12. Három természetes szám legkisebb közös többszöröse 1001. Melyik lehet ez a három szám?

13. bizonyítsd be, ha egy háromjegyű számot kétszer egymásután írok, az így kapott hatjegyű szám mindig osztható 7-tel, 11-gyel és 13-mal!

ToTó

1 2 X

1 . Hány osztója van a 60-nak? 12 11 végtelen sok

2 . Hány többszöröse van a 60-nak? 10 legfeljebb 100 végtelen sok

3 .Melyik az a szám, amelynek valódi osztói pontosan az alábbi számok? 3, 5, 9, 15

75 90 45

4 . Melyik állítás igaz az alábbi számra? 23 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7

osztható 56-tal

a 405-nek többszöröse négyzetszám

5. Keresd meg a 160 összes osztóját! Melyik számig kell keresned? 159-ig 80-ig 12-ig

6 .Az apa egy lépése 80 cm, a fiúé 50 cm. induláskor egyszerre lépnek ki. Ha kézen fogva haladnak, hány méterenként lépnek megint egyszerre?

130 cm-enként

4 méteren-ként

6 méteren-ként

7 . Mennyi 72,108 és 156 legnagyobb közös osztója? 22 23 ∙ 3 2 ∙ 3 ∙ 13

8 . Mennyi 72,108 és 156 legkisebb közös többszöröse? 25 ∙ 35 ∙ 13 22 ∙ 32 ∙ 13 23 ∙ 32 ∙ 13


9 .

Hány állítás igaz az alábbiak közül?a) Két szám legkisebb közös többszörösében

mindazok a prímszámok szerepelnek, ame-lyek mindkét szám felbontásában megtalál-hatóak.

b) Két vagy több szám legnagyobb közös osz-tójában a közös prímtényezők az előforduló legnagyobb hatványon szerepelnek.

c) Ha két szám legnagyobb közös osztója 1, akkor nem lehet közös prímtényezőjük.

d) Ha egy számnak van két olyan osztója, ame-lyeknek nincs közös prímtényezőjük, akkor a szám ezeknek a számoknak a szorzatával osztható.

2 3 4

10 .

Hány páros az alábbi számok közül?a) 431 ∙ 13b) (5553+2707) ∙ (836 – 177)c) 47

d) 74

e) 310 –1f) 3 ∙ 7 ∙ 429

g) 35 + 64

h) 473 + 125

i) 210 –1

3 4 5

11 .

Hány állítás igaz?a) A 437 háromszorosa osztható 6-tal.b) Az 5412 kilencszerese osztható 27-tel.c) A 8172 hétszerese osztható 56-tal.

1 2 3

12 .

A műveletek elvégzése nélkül döntsd el, melyik állítás igaz!

a) 7 ∙ 482 ∙ 487

b) 7 + 127 ∙ 12

c) 32 ∙ 53

45

d) 729 ∙ (836 – 177)

e) 92 ∙ 11 ∙ 109

5 ∙ 33

f) 9 + 1113

mindegyik tört egysze-

rűsíthető

csak a b) nem egyszerűsít-

hető

három egy-szerűsíthető, a többi nem

13 .

Az 50A0B005 hétjegyű számban nem ismerjük az A-val és a B-vel helyettesített számjegyeket.Hány olyan számot kaphatunk, a hiányzó jegyek pótlásával, amelyek 5-tel oszthatók?

100 10 20


Prímszámok táblázata: 2 –1187-ig

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197

199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379

383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571

577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761

769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977

983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069

1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187

Documents

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET „A”tancsics16.hu/matematika/doc/taneszkozok/h-amat0701-02_diak-mf_1felev.pdf · 6 mAtemAtIkA „A” – 7. évfolYAm – 071. számok és műveletek