Matematika IInverz matrice i determinanta

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 15

Ciljevi učenja

Ciljevi učenja za predavanja i vježbe:Pojam invertiranja-jedinčna matrica kao neutralni elementOperacija nad retcima-algoritam traženja inverza matriceDeterminante-svojstva i efektivno računanjeRegularnost matrice

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 15

Sadržaj

Sadržaj:

1 Inverz i determininanta matriceInverzna matricaAlgoritam za traženje inverzaDeterminanta matriceSvojstva determinante

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Inverzna matrica

INVERZNA MATRICA KVADRATNE MATRICE A JE MATRICA A−1

TAKVA DA JE:AA−1 = A−1A = I

Inverzna matrica ne mora postojati, a ako postoji jedinstvena je.PRIMJENA:

Ax = b

⇒ A−1Ax = A−1b⇒ x = A−1b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Zadatak 1.

Je li matrica A =[

1/3 1/3−2/3 1/3

]inverzna matrici

[1 −12 1

]?

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Zadatak 2.

Zadana je matrica A =[

1 99 1

]. Je li neka od sljedećih matrica njezin

inverz?

B =[−1 99 −1

],C = 180

[−1 99 −1

],D = 181

[−1 99 −1

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Nadite inverz matrice

A =

3 −1 1−15 6 −55 −2 2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 3 −1 1 1 0 0−15 6 −5 0 1 0

5 −2 2 0 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 3 −1 1 1 0 0−15 6 −5 0 1 0

5 −2 2 0 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 3 −1 1 1 0 00 1 0 5 1 0

0 −13 13 −53 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 3 −1 1 1 0 00 1 0 5 1 0

0 −13 13 −53 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 3 0 1 6 1 00 1 0 5 1 0

0 0 13 013 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje.

3 0 1 6 1 00 1 0 5 1 0

0 013

0 13 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 1 0 0 2 0 −10 1 0 5 1 0

0 0 1 0 1 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Algoritam za traženje inverza

Primjer.Rješenje. 1 0 0 2 0 −10 1 0 5 1 0

0 0 1 0 1 3

Inverz matrice A je

A−1 =

2 0 −15 1 00 1 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Zadatak 3.

Nadi inverzne matrice A−1, B−1 ako je

A =[

1 23 4

], B =

1 −1 02 −2 −1−2 3 1

Provjerite dobivene rezultate!

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Zadatak 4.

Nadite A−1, B−1, C−1 ako je

A =[

1 −10 −1

], B =

1 −2 70 1 −20 0 1

, C = 2 0 00 3 0

0 0 −5

Provjerite dobivene rezultate!

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za traženje inverza

Zadatak 5.

Neka je A =

1 2 11 1 02 0 −1

, B = −1 3 20 2 −1

3 1 0

.Ako je A−1 =

1 −2 1−1 3 −12 −4 1

nadite matricu X tako da vrijediAX = B. Takoder, nadite matricu Y tako da je YA = B.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:2×2 matrice

det(

a bc d

)=

∣∣∣∣ a bc d∣∣∣∣= a ·d −b ·c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=a(−1)1+1∣∣∣∣ e fh i

∣∣∣∣+b(−1)1+2 ∣∣∣∣ d fg i∣∣∣∣+c(−1)1+3 ∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= a∣∣∣∣ e fh i

∣∣∣∣−b ∣∣∣∣ d fg i∣∣∣∣+c ∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=b(−1)1+2∣∣∣∣ d fg i

∣∣∣∣+e(−1)2+2 ∣∣∣∣ a cg i∣∣∣∣+h(−1)3+2 ∣∣∣∣ a cd f

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= −b∣∣∣∣ d fg i

∣∣∣∣+e ∣∣∣∣ a cg i∣∣∣∣−h ∣∣∣∣ a cd f

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trećem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i(−1)3+1

∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣+ j(−1)3+2∣∣∣∣∣∣

a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k(−1)3+3∣∣∣∣∣∣

a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣+ l(−1)3+4∣∣∣∣∣∣

a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se označava i s |A|) je tada broj koji se računarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trećem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i∣∣∣∣∣∣

b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣− j∣∣∣∣∣∣

a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k

∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣− l∣∣∣∣∣∣

a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Primjer.Izračunajte determinantu:∣∣∣∣∣∣∣∣

4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rješenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4∣∣∣∣∣∣

3 0 0−6 −2 04 1 5

∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rješenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3∣∣∣∣ −2 01 5

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rješenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rješenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120Dakle, determinantu trokutaste matrice računamo tako da pomnožimoelemente na dijagonali.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rješenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120Dakle, determinantu trokutaste matrice računamo tako da pomnožimoelemente na dijagonali.

Sada ćemo navesti svojstva determinate koja nam olakšavaju njezinoračunanje, naprimjer svodenjem na determinantu trokutaste matrice.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Svojstva determinante

1 Ako za kvadratnu matricu A vrijedi det(A) 6= 0 onda A ima inverznumatricu. Ako je det(A) = 0 onda A nema inverznu matricu

2 Množenjem retka (stupca) brojem i dodavanjem nekom drugomretku (stupcu) ne mjenja se vrijednost determinante

3 Zamjenom dva retka (stupca) mijenja se predznak determinante4 Determinantu množimo brojem c tako da samo jedan njezin redak

(ili stupac) pomnožimo brojem c5 det(AB) = detAdetB, posebno det(Ak ) = (detA)k , k ∈ N6 Determinanta koja ima dva jednaka retka ili stupca jednaka je nuli

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Primjer.Izračunajte determinantu: ∣∣∣∣∣∣

1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Rješenje.

∣∣∣∣∣∣1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣= 125∣∣∣∣∣∣

1 1 −80 −2 20−9 3 12

∣∣∣∣∣∣== 125 ·3·

∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−3 1 4

∣∣∣∣∣∣= 125 ·3 ·4 ·∣∣∣∣∣∣

1 1 −20 −2 5−3 1 1

∣∣∣∣∣∣= 1500·

(1 ·∣∣∣∣ −2 51 1

∣∣∣∣−3 · ∣∣∣∣ 1 −2−2 5∣∣∣∣)

=1500 · (−7−3 ·1) =−15000

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Zadatak 6.Izračunaj determinatu ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 5 −1 13 −2 2 2−1 3 2 34 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 15

Inverz i determininanta matriceInverzna matrica Algoritam za traženje inverzaDeterminanta matrice Svojstva determinante

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: 0.100: anm0: