Matematika IRealne funkcije

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 23

Ciljevi učenja

Ciljevi učenja za predavanja i vježbe:Pojam realne funkcije-definicija, graf, oznakeDomena funkcije, slika funkcijePregled karakterističnih primjeraGeneriranje funkcija-osnovne operacije s funkcijama,komponiranjePojam inverzne funkcije-algebarska i grafička interpretacija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 23

Sadržaj

Sadržaj:

1 Realne funkcijeRealne funkcijeOznake za neka područja realnih brojevaPrimjeri funkcijaOperacije s funkcijamaKompozicija funkcijaInvertiranje funkcije

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 23

Realne funkcije Realne funkcije

REALNE FUNKCIJE

Provizorna definicija:Realna funkcija je pravilo koje svakom realnom broju (iz odredeneskupine realnih brojeva tj. domene) pridružuje točno jedan realni broj.

x f7−→ y za x ∈ D ⊆ R

x−−−argumentf −−−praviloy −−−vrijednostD−−−domena ili područje definicije

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 23

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Oznake za neka područja realnih brojeva

−3.5 5

OZNAKE: [−3.5,5] ili −3.5≤ x ≤ 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 23

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Oznake za neka područja realnih brojeva

−2 1.5

OZNAKE: (−2,1.5] ili −2 < x ≤ 1.5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 23

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Oznake za neka područja realnih brojeva

−1

OZNAKE: (−∞,−1) ili −∞ < x

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Oznake za neka područja realnih brojeva

−1 1 4

OZNAKE: [−1,1)∪ [4,∞) tj. −1≤ x < 1 ili 4≤ x < ∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 23

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Zadatak 1.Označiti sljedeće intervale uobičajenim oznakama:

1 5

2.5

−5.6

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 23

Realne funkcije Oznake za neka područja realnih brojeva

Zadatak 2.Skicirati na brojevnom pravcu sljedeće intervale:

(a) (−3,0] (b) [−1,5.5](c) (−∞,−5] (d) (−2.3,∞)(e) −3.2≤ x ≤ 5/2 (f ) x ≤ 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadrat

MATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadratMATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadratMATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadratMATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadratMATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridružuje njegov kvadratMATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridružuje broj y3+5

y2+1

MATEMATIČKI ZAPIS:- ime argumenta je već odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z = y3 +5

y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) = y3 +5

y2 +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridružuje broj y3+5

y2+1

MATEMATIČKI ZAPIS:- ime argumenta je već odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z = y3 +5

y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) = y3 +5

y2 +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridružuje broj y3+5

y2+1

MATEMATIČKI ZAPIS:- ime argumenta je već odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z = y3 +5

y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) = y3 +5

y2 +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridružuje broj y3+5

y2+1

MATEMATIČKI ZAPIS:- ime argumenta je već odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z = y3 +5

y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) = y3 +5

y2 +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridružuje broj y3+5

y2+1

MATEMATIČKI ZAPIS:- ime argumenta je već odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z = y3 +5

y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) = y3 +5

y2 +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Zadatak 3.

Matematički zapišite pravilo koje svakom broju x pridružuje broj x2−x .

Zadatak 4.Matematički zapišite pravilo koje svakom broju pridružuje broj uvećanza 10.

Zadatak 5.Matematički zapišite pravilo koje svakom broju iz intervala [−2,1]pridružuje nulu.

Zadatak 6.Matematički zapišite pravilo koje svakom prirodnom broju pridružujesljedeći prirodan broj.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridružuje njegov kvadrat.

MATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1 , za c 6=±1

Ovdje podrazumjevamo ”prirodno područje definicije” tj. svi c ∈ R zakoje se f (c) može izračunati.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridružuje njegov kvadrat.MATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1 , za c 6=±1

Ovdje podrazumjevamo ”prirodno područje definicije” tj. svi c ∈ R zakoje se f (c) može izračunati.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridružuje njegov kvadrat.MATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1 , za c 6=±1

Ovdje podrazumjevamo ”prirodno područje definicije” tj. svi c ∈ R zakoje se f (c) može izračunati.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridružuje njegov kvadrat.MATEMATIČKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1 , za c 6=±1

Ovdje podrazumjevamo ”prirodno područje definicije” tj. svi c ∈ R zakoje se f (c) može izračunati.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 23

Realne funkcije Primjeri funkcija

Zadatak 7.Odredite prirodno područje definicije sljedećih funkcija

(a) f (x) =1

x−1 (b) g(x) =1

x +1

(c) h(t) =1

t2 +1(d) y =

1z−2 +

1z +2

(e) z =√

1+ t (f ) z =√

b2−1

(g) w =√

1+s+√

1−s (h) u(s) = 1s−3 +

√s−2

(i) h(x) =√

1−√

4−x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 23

Realne funkcije Operacije s funkcijama

Operacije s funkcijama

Funkcije možemo zbrajati, oduzimati , dijeliti, množiti, komponirati,...

Zadatak 8.Za funkcije

y1 = 2x−1, y2 =−2x−1nadite funkcije:

(a) y1 +y2 (b) y1−y2(c) y1 ·y2 (d) y1/y2(e) y21 (f )

y11−y2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 23

Realne funkcije Operacije s funkcijama

Operacije s funkcijama

Funkcije možemo zbrajati, oduzimati , dijeliti, množiti, komponirati,...

Zadatak 8.Za funkcije

y1 = 2x−1, y2 =−2x−1nadite funkcije:

(a) y1 +y2 (b) y1−y2(c) y1 ·y2 (d) y1/y2(e) y21 (f )

y11−y2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 23

Realne funkcije Operacije s funkcijama

Zadatak 9.Za funkcije

f (x) =1x, g(x) = x−1

nadite funkcije:

(a) f +g (b) f ·g

(c) f/g (d)f −gf +g

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 23

Realne funkcije Operacije s funkcijama

Primjer.

Neka je f (x) = 3x +2, g(t) = t2−1

⇒ (f +g)(x) = f (x)+g(x)= (3x +2)+(x2−1)= x2 +3x +1

Zadatak 10.Za f (x) = x−1 nadite:

f (2), f (α), f (a−b), f (x +4x), f(

1x

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 23

Realne funkcije Operacije s funkcijama

Primjer.

Neka je f (x) = 3x +2, g(t) = t2−1

⇒ (f +g)(x) = f (x)+g(x)= (3x +2)+(x2−1)= x2 +3x +1

Zadatak 10.Za f (x) = x−1 nadite:

f (2), f (α), f (a−b), f (x +4x), f(

1x

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Kompozicija ili slaganje funkcija

Kompozicija funkcija f i g je definirana s

(f ◦g)(x) = f (g(x))

Pri tome mora vrijediti:x mora biti u domeni funkcije gg(x) mora biti u domeni funkcije f

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Primjer.Neka je

f (t) = t2, g(u) =√

u+2

Odredimo kompozicije funkcija f ◦g i g ◦ f .

⇒ (f ◦g)(x) = f (g(x))= f (√

x +2)

= (√

x +2)2

⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x))= g(x2)

=√

x2 +2 = |x |+2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Primjer.Neka je

f (t) = t2, g(u) =√

u+2

Odredimo kompozicije funkcija f ◦g i g ◦ f .

⇒ (f ◦g)(x) = f (g(x))= f (√

x +2)

= (√

x +2)2

⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x))= g(x2)

=√

x2 +2 = |x |+2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Primjer.Neka je

y =1

2+ t, z = 3x +2

Odredimo kompozicije y ◦z i z ◦y .

⇒ (y ◦z)(u) = y(z(u))= y(3u+2)

=1

2+(3u+2)=

13u+4

⇒ (z ◦y)(x) = z(y(x))

= z(

12+x

)=

32+x

+2 =2x +72+x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Primjer.Neka je

y =1

2+ t, z = 3x +2

Odredimo kompozicije y ◦z i z ◦y .

⇒ (y ◦z)(u) = y(z(u))= y(3u+2)

=1

2+(3u+2)=

13u+4

⇒ (z ◦y)(x) = z(y(x))

= z(

12+x

)=

32+x

+2 =2x +72+x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 23

Realne funkcije Kompozicija funkcija

Zadatak 11.

Za y = 1x i z = t +1 nadite:

y(z(t)), z(y(x)), y(y(x)).

Zadatak 12.

Za w = t +2 i z = x2 nadite:

w(z(s)), z(w(x)).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Invertiranje funkcije

Veza izmedu funkcije f i njoj inverzne funkcije f−1 :

x f−→ y

x f−1←− y

f−1 (f (x)) = x , f(

f−1(y))= y

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Primjer.

y = 3x−2 =⇒

x =13(y +2)

Dakle:f (x) = 3x−2 =⇒ f−1(y) = 1

3(y +2)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Primjer.

Neka je f (x) =√

x +1. Odredimo f−1.

y =√

x +1 =⇒√

x = y −1 =⇒x = (y −1)2 =⇒

f−1(y) = (y −1)2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Primjer.

Neka je f (x) =√

x +1. Odredimo f−1.

y =√

x +1 =⇒√

x = y −1 =⇒x = (y −1)2 =⇒

f−1(y) = (y −1)2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Primjer.

Odredimo inverz za funkciju y = 1+xx+2 .

y(x +2) = 1+x =⇒

x =1−2yy −1 =⇒

f−1(y) =1−2yy −1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 23

Realne funkcije Invertiranje funkcije

Primjer.

Odredimo inverz za funkciju y = 1+xx+2 .

y(x +2) = 1+x =⇒

x =1−2yy −1 =⇒

f−1(y) =1−2yy −1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 23

Realne funkcijeRealne funkcije Oznake za neka podrucja realnih brojeva Primjeri funkcija Operacije s funkcijamaKompozicija funkcijaInvertiranje funkcije

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: 0.100: anm0: