Matematika I - unizg.hr · Matematika I Vektori II Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 46. animation by animate[2012/05/24]

Matematika IVektori II

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 46

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Koordinatizacija tocaka i vektoraIzracunavanje duljine vektoraVektor smjera-prostorna jednadzba pravcaGeneriranje ravnine preko dva nekolinearna vektora i tocke


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Koordinatizacija tocaka i vektoraOperacije u koordinatamaPravila racunanjaDuljina u koordinatamaParametarska jednadzba pravca u koordinatamaParametarska jednadzba ravnine u koordinatama


Koordinatizacija tocaka i vektora


−→r = x~i +y~j +z~k

(−→r =

−→rT =−→OT )

(x ,y ,z) su koordinate

{tocke Tvektora −→rT

~r

~i

~j

~k

x~i

y~j

z~k

T



Zadatak 1.

Nacrtaj koordinatne osi i na njima jedinicne vektore~i ,~j ,~k . Odaberitocku T i nacrtaj njezine projicirajuce ravnine koje odredujukomponente x~i ,y~j ,z~k .

Zadatak 2.Skicirajte tocke i vektore u koordinatnom sistemu u prostoru.

A(1,0,−2) tj. −→rA = (1,0,−2) =~i−2~k

B(2,1,0) tj. −→rB = (2,1,0) = 2~i +~j

C(0,0,−3) tj. −→rC = (0,0,−3) =−3~k



OZNAKE:

~r =−→OT = x~i +y~j +z~k

jos zapisujemo i ovako

T = (x ,y ,z) ili T (x ,y ,z)~r = (x ,y ,z) ili ~r(x ,y ,z)

Slicno,~a = a1~i +a2~j +a3~k jos zapisujemo i ovako

~a = (a1,a2,a3) ili ~a(a1,a2,a3)


Koordinatizacija tocaka i vektora Operacije u koordinatama

Operacije u koordinatama

(1) ZBRAJANJE I ODUZIMANJE:

~a = (a1,a2,a3) i~b = (b1,b2,b3) =⇒

~a±~b = (a1±b1,a2±b2,a3±b3)

Dokaz.~a = a1~i +a2~j +a3~k , ~b = b1~i +b2~j +b3~k =⇒

~a±~b = (a1~i +a2~j +a3~k)± (b1~i +b2~j +b3~k)

= (a1±b1)~i +(a2±b2)~j +(a3±b3)~k



Operacije u koordinatama

(2) MNOZENJE SKALAROM:−→a = (a1,a2,a3) =⇒ k−→a = (ka1,ka2,ka3)

Zadatak 3.

Zadani su vektori −→a = (1,2,3),−→b = (−1,0,2), −→c = (−2,1,0),−→

d = (0,0,7). Odredi sljedece vektore (njihove koordinate)

(1) 2−→a +−→b −−→d

(2) −−→a +−→b −3−→c +

−→d

(3)12−→a +

12−→b

(4) 3−→b +

13−→c +2

−→d



Rjesenje :

(1) 2−→a +−→b −−→d = (1,4,1)

(2) −−→a +−→b −3−→c +

−→d = (4,−5,6)

(3)12−→a +

12−→b = (0,1,

52)

(4) 3−→b +

13−→c +2

−→d = (−11

3,13,20)



Zadatak 4.

Zadani su vektori −→u = (1,−1,1), −→v = (0,1,2), −→w = (2,−5,−4).Odredi sljedece vektore

(1) −2−→u +−→v −−→w

(2) 10−→u −20−→v +5−→w(3) 2−→u −3−→v −−→w

Rjesenje :

(1) −2−→u +−→v −−→w = (−4,8,4)

(2) 10−→u −20−→v +5−→w = (20,−55,−50)(3) 2−→u −3−→v −−→w = (0,0,0).



Zadatak 4.

Zadani su vektori −→u = (1,−1,1), −→v = (0,1,2), −→w = (2,−5,−4).Odredi sljedece vektore

(1) −2−→u +−→v −−→w

(2) 10−→u −20−→v +5−→w(3) 2−→u −3−→v −−→w

Rjesenje :

(1) −2−→u +−→v −−→w = (−4,8,4)

(2) 10−→u −20−→v +5−→w = (20,−55,−50)(3) 2−→u −3−→v −−→w = (0,0,0).


Koordinatizacija tocaka i vektora Pravila racunanja

Pravila racunanja

−→a +−→b =

−→b +−→a KOMUTATIVNOST

−→a +(−→b +−→c ) = (

−→a +−→b )+

−→c ASOCIJATIVNOST−→a +

−→0 =−→a ,

−→a +(−−→a ) =−→0

k(−→a +−→b ) = k−→a +k

−→b DISTRIBUTIVNOST

(k + `)−→a = k−→a + `

−→a DISTRIBUTIVNOST

k(`−→a ) = (k`)−→a1−→a =

−→a , 0−→a =−→0

k−→0 =−→0 , (−1)−→a =−−→a


Koordinatizacija tocaka i vektora Duljina u koordinatama

Duljina u koordinatama

~a

a1

a2

a3

√a 21 +

a 22

|−→a |=√

a21 +a2

2 +a23

SPECIJALNO:

|−→AB|= |−→rB −−→rA |= |(b1−a1,b2−a2,b3−a3)|

=√

(b1−a1)2 +(b2−a2)2 +(b3−a3)2



Primjer 1.

−→a = (1,2,−3), |−→a |=?−→b = (−3,0,2), |−→b |=?

|−→a |=√

1+4+9 =√

14, |−→b |=√

9+0+4 =√

13



Primjer 1.

−→a = (1,2,−3), |−→a |=?−→b = (−3,0,2), |−→b |=?

|−→a |=√

1+4+9 =√

14, |−→b |=√

9+0+4 =√

13



Primjer 2.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−2,1,3), C(0,1,2)

|−→AB|=? |−2−→BC +3

−→BA|=?

−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=

√9+1+0 =

√10

−2−→BC +3

−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2

−→BC +3

−→BA|=

√25+9+4 =

√38




|−→AB|=? |−2−→BC +3

−→BA|=?

−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=

√9+1+0 =

√10

−2−→BC +3

−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2

−→BC +3

−→BA|=

√25+9+4 =

√38




|−→AB|=? |−2−→BC +3

−→BA|=?

−→AB = (−3,−1,0) =⇒ |−→AB|=

√9+1+0 =

√10

−2−→BC +3

−→BA = (5,3,2) =⇒ |−2

−→BC +3

−→BA|=

√25+9+4 =

√38



Zadatak 5.Koji od vektora je najdulji?

−→a = (3,2,3),−→b = (−2,0,4)

−→c = (1,5,0),−→d = (3,−4,0)

Rjesenje :

|−→a |=√

22, |−→b |=√

20

|−→c |=√

26, |−→d |= 5.



Zadatak 5.Koji od vektora je najdulji?

−→a = (3,2,3),−→b = (−2,0,4)

−→c = (1,5,0),−→d = (3,−4,0)

Rjesenje :

|−→a |=√

22, |−→b |=√

20

|−→c |=√

26, |−→d |= 5.



Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,−1,1), B(0,2,2) i C(−3,1,−2). Izracunati duljinuvektora: (1) |−→AB|, (2) |−→AB+

−→BC| (3) |2−→CB−−→AB|.

Rjesenje :

(1) |−→AB|=√

11, (2) |−→AB+−→BC|=

√29 (3) |2−→CB−−→AB|=

√99.



Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,−1,1), B(0,2,2) i C(−3,1,−2). Izracunati duljinuvektora: (1) |−→AB|, (2) |−→AB+

−→BC| (3) |2−→CB−−→AB|.

Rjesenje :

(1) |−→AB|=√

11, (2) |−→AB+−→BC|=

√29 (3) |2−→CB−−→AB|=

√99.


Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba pravca u koordinatama

Parametarska jednadzba pravca u koordinatama

A(a1, a2, a3)

T (x, y, z)

−→s (s1, s2, s3)

−→rA

−→r

O

−→r =−→rA +

−→AT =

−→rA + t−→s , t ∈ R(x ,y ,z) = (a1,a2,a3)+ t(s1,s2,s3)

x = a1 + ts1

y = a2 + ts2

z = a3 + ts3

t ∈ R

PARAMETARSKAJEDNADZBA

PRAVCA



Primjer 1.

Zadana je tocka A(−1,2,3) i vektor smjera −→s = (2,1,−1). Napisijednadzbu pravca koja prolazi tockom A i ima vektor smjera −→s .

Rjesenje.

−→r =−→rA + t−→s

(x ,y ,z) = (−1,2,3)+ t(2,1,−1)tj .

x =−1+2ty = 2+ tz = 3− t



Primjer 1.

Zadana je tocka A(−1,2,3) i vektor smjera −→s = (2,1,−1). Napisijednadzbu pravca koja prolazi tockom A i ima vektor smjera −→s .

Rjesenje.

−→r =−→rA + t−→s

(x ,y ,z) = (−1,2,3)+ t(2,1,−1)tj .

x =−1+2ty = 2+ tz = 3− t



Primjer 2.Odredi pravac kroz tocke M(1,0,2) i N(3,−1,2).

Rjesenje.−→r =

−→rM + t−→sgdje je −→s vektor smjera:

−→s =−−→MN = (2,−1,0)

(x ,y ,z) = (1,0,2)+ t(2,−1,0)

x = 1+2ty =−tz = 2



Primjer 2.Odredi pravac kroz tocke M(1,0,2) i N(3,−1,2).

Rjesenje.−→r =

−→rM + t−→sgdje je −→s vektor smjera:

−→s =−−→MN = (2,−1,0)

(x ,y ,z) = (1,0,2)+ t(2,−1,0)

x = 1+2ty =−tz = 2



Zadatak 7.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A(−2,1,1) i ima vektor

smjera −→s = (1,3,−2)

Rjesenje.

(x ,y ,z) = (−2,1,1)+ t(1,3,−2)tj .

x =−2+ ty = 1+3tz = 1−2t



Zadatak 7.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A(−2,1,1) i ima vektor

smjera −→s = (1,3,−2)

Rjesenje.

(x ,y ,z) = (−2,1,1)+ t(1,3,−2)tj .

x =−2+ ty = 1+3tz = 1−2t



Zadatak 8.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockama A(1,2,3) i B(−2,−1,0).

Rjesenje.

Startna tocka npr. A(1,2,3), vektor smjera −→s =−→AB = (−3,−3,−3)

=⇒ (x ,y ,z) = (1,2,3)+ t(−3,−3,−3)



Zadatak 8.Napisi jednadzbu pravca koji prolazi tockama A(1,2,3) i B(−2,−1,0).

Rjesenje.

Startna tocka npr. A(1,2,3), vektor smjera −→s =−→AB = (−3,−3,−3)

=⇒ (x ,y ,z) = (1,2,3)+ t(−3,−3,−3)



Zadatak 9.Zadan je pravac

x =−1+ ty = 3− tz = 1+ t

Napisi jednu tocku koja lezi na tom pravcu i jedan vektor smjera togpravca.

Rjesenje.

T (−1,3,1), −→s = (1,−1,1).




x =−1+ ty = 3− tz = 1+ t

Napisi jednu tocku koja lezi na tom pravcu i jedan vektor smjera togpravca.

Rjesenje.

T (−1,3,1), −→s = (1,−1,1).



Zadatak 10.Zadan je pravac (x ,y ,z) = (2,−4,1)+ t(2,−1,1). Napisi bar dvije

tocke (osim (2,−4,1)) i bar jedan vektor smjera pravca (osim(2,−1,1)).

Rjesenje.Npr. za t = 1⇒ T (4,−5,2) i npr. t =−2⇒ T (−2,−2,−1). Za vektorsmjera mozemo uzeti npr. −→s = 3(2,−1,1) = (6,−3,3).



Zadatak 10.Zadan je pravac (x ,y ,z) = (2,−4,1)+ t(2,−1,1). Napisi bar dvije

tocke (osim (2,−4,1)) i bar jedan vektor smjera pravca (osim(2,−1,1)).

Rjesenje.Npr. za t = 1⇒ T (4,−5,2) i npr. t =−2⇒ T (−2,−2,−1). Za vektorsmjera mozemo uzeti npr. −→s = 3(2,−1,1) = (6,−3,3).




x = 2− ty = 3+2tz = t

Koja od sljedecih tocaka lezi na ovom pravcu:A(1,2,3), B(0,1,−1), C(2,3,0), D(3,1,−1)?

Rjesenje.Trazi se postoji li vrijednost parametra t za koju se dobivajuodgovarajuce vrijednosti koordinata x , y , z zadane tocke.




x = 2− ty = 3+2tz = t

Koja od sljedecih tocaka lezi na ovom pravcu:A(1,2,3), B(0,1,−1), C(2,3,0), D(3,1,−1)?

Rjesenje.Trazi se postoji li vrijednost parametra t za koju se dobivajuodgovarajuce vrijednosti koordinata x , y , z zadane tocke.



Rjesenje.

A(1,2,3) :1 = 2− t ⇒ t = 12 = 3+2t ⇒ t =−1/23 = t

TOCKA A NE LEZI NA PRAVCU!



Rjesenje.

B(0,1,−1) :0 = 2− t ⇒ t = 21 = 3+2t ⇒ t =−1−1 = t

TOCKA B NE LEZI NA PRAVCU!



Rjesenje.

C(2,3,0) :2 = 2− t ⇒ t = 03 = 3+2t ⇒ t = 00 = t

TOCKA C LEZI NA PRAVCU!



Rjesenje.

D(3,1,−1) :3 = 2− t ⇒ t =−11 = 3+2t ⇒ t =−1−1 = t

TOCKA D LEZI NA PRAVCU!



Zadatak 12.Jesu li pravci p1 i p2 paralelni?

(a)x = 2− t

p1 y = tz = 4+2t

x = 1− tp2 y = 2+3t

z = 4

(b)x = t

p1 y =−1− tz = 1/2+3t

x = 7−2tp2 y = 2+2t

z =−6t



Rjesenje.Pravci su paralelni ako su im vektori smjera kolinearni tj. ako je−→s1 = k−→s2 za neki k ∈ R.(a) −→s1 = k−→s2⇒ (−1,1,2) = k(−1,3,0). S obzirom da ovaj sustav od trijednadzbe s jednom nepoznanicom k nema rjesenje, zadani pravcinisu paralelni.(b) −→s1 = k−→s2⇒ (1,−1,3) = k(−2,2,−6)⇒ k =−1/2⇒ paralelni su.



Zadatak 13.Sijeku li se pravci?

(a)x = 2− t

p1 y = 3+2tz = 1+ t

x = 3+2sp2 y = 1−s

z = 4s

(b)x =−t

p1 y = 3+ tz = 1− t

x =−1+sp2 y = 2

z = 3−s



Rjesenje.(a) Pravci se sijeku ako sljedeci sustav od tri jednadzbe ima rjesenje

2− t = 3+2s3+2t = 1−s

1+ t = 4s

=⇒ s = 0, t =−1. Pravci se sijeku u jednoj tocki T (3,1,0).

(b) Rjesavamo sustav

−t =−1+s3+ t = 21− t = 3−s

Sustav nema rjesenje i pravci se ne sijeku.


Koordinatizacija tocaka i vektora Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama

Parametarska jednadzba ravnine u koordinatama

−→r−→rA

−→p

−→sA

T

O−→r =−→rA +

−→AT =

−→rA +u−→p +v−→s , u, v ∈ R(x ,y ,z) = (a1,a2,a3)+u(p1,p2,p3)+v(s1,s2,s3)

x = a1 +up1 +vs1

y = a2 +up2 +vs2

z = a3 +up3 +vs3

u, v ∈ R

PARAMETARSKAJEDNADZBA

RAVNINE



Primjer 1.

Zadana je tocka A(1,2,−4) i vektori −→p = (−1,2,0) i −→s = (3,1,−1).Napisati jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i sadrzi vektore−→p ,−→s .

Rjesenje.

−→r =−→rA +u−→p +v−→s

(x ,y ,z) = (1,2,−4)+u(−1,2,0)+v(3,1,−1)(x ,y ,z) = (1−u+3v ,2+2u+v ,−4−v)

tj .x = 1−u+3vy = 2+2u+vz =−4−v



Primjer 1.

Zadana je tocka A(1,2,−4) i vektori −→p = (−1,2,0) i −→s = (3,1,−1).Napisati jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i sadrzi vektore−→p ,−→s .

Rjesenje.

−→r =−→rA +u−→p +v−→s

(x ,y ,z) = (1,2,−4)+u(−1,2,0)+v(3,1,−1)(x ,y ,z) = (1−u+3v ,2+2u+v ,−4−v)

tj .x = 1−u+3vy = 2+2u+vz =−4−v



Zadatak 14.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocku A(2,−1,1) i vektore−→p = (−1,1,2), −→s = (3,0,−1).

Rjesenje.

x = 2−u+3vy =−1+uz = 1+2u−v



Zadatak 14.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocku A(2,−1,1) i vektore−→p = (−1,1,2), −→s = (3,0,−1).

Rjesenje.

x = 2−u+3vy =−1+uz = 1+2u−v



Zadatak 15.Napisi jednadzbu ravnine koja sadrzi tocke

A(2,−1,4), B(0,5,−2), C(2,2,−1).



Rjesenje.Tocka: A(2,−1,4)

vektori:

−→p =−→AB = (−2,6,−6)

−→s =−→AC = (0,3,−5)⇒

x = 2−2uy =−1+6u+3vz = 4−6u−5v



Zadatak 16.Zadana je ravnina

x = 2+u−vy = 1−uz = u+3v

Napisi jednu tocku i dva vektora koji leze u toj ravnini.

Rjesenje.

Tocka: A(2,1,0)

vektori: −→p = (1,−1,1)−→s = (−1,0,3)




x = 2+u−vy = 1−uz = u+3v

Napisi jednu tocku i dva vektora koji leze u toj ravnini.

Rjesenje.

Tocka: A(2,1,0)

vektori: −→p = (1,−1,1)−→s = (−1,0,3)




x = uy = 2+u−vz = 3+v

Napisi tri tocke (osim (0,2,3)) koje leze u toj ravnini.

Rjesenje.Uvrstavanjem razlicitih vrijednosti u, v dobivamo nove i nove tocke

koje leze na ravnini:

u = 1,v = 1⇒A(1,2,4)u =−1,v = 1⇒B(−1,0,4)u = 1,v =−1⇒C(1,4,2)




x = uy = 2+u−vz = 3+v

Napisi tri tocke (osim (0,2,3)) koje leze u toj ravnini.

Rjesenje.Uvrstavanjem razlicitih vrijednosti u, v dobivamo nove i nove tocke

koje leze na ravnini:

u = 1,v = 1⇒A(1,2,4)u =−1,v = 1⇒B(−1,0,4)u = 1,v =−1⇒C(1,4,2)



Zadatak 18.Lezi li neka od tocaka A(1,3,3), B(1,2,−1), C(−2,0,5), D(3,−1,1)

na ravnini

x = 2−uy = u+vz = 1+v



Rjesenje.Tocka A(1,3,3) lezi na ravnini ako sljedeci sustav ima rjesenje:

1 = 2−u3 = u+v3 = 1+v

Sustav ima rjesenje u = 1, v = 2⇒ tocka A lezi na ravnini.



Tocka B(1,2,−1) :

1 = 2−u2 = u+v−1 = 1+v

Sustav nema rjesenje⇒ tocka B ne lezi na ravnini.



Tocka C(−2,0,5) :

−2 = 2−u0 = u+v5 = 1+v

Sustav nema rjesenje⇒ tocka C ne lezi na ravnini.



Tocka D(3,−1,1) :

3 = 2−u−1 = u+v

1 = 1+v

Sustav ima rjesenje u =−1, v = 0⇒ tocka D lezi na ravnini.




x = u+vy = 1−vz = 3+u

Napisite jednadzbu koja sadrzi samo x , y , z tako da eliminirateparametre u i v .



Rjesenje.

x = u+vy = 1−v =⇒ v = 1−yz = 3+u =⇒ u = z−3

=⇒ x = u+v = (z−3)+(1−y) = z−y −2 =⇒

x +y −z =−2.


Documents

Matematika I - unizg.hr · Matematika I Vektori II Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 46. animation by animate[2012/05/24]