Upload
tranlien
View
340
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika Ekonomi /Bisnis
Dosen : D. Rizal Riyadi SE,.ME
Differensial / turunan
X1 X2
Y1
Y2
ILUSTRASI
Y = a + b X
a
Y = 3 + 1,5 X
X1 = 1 -> Y1 = 4,5 X2 = 3 -> Y2 = 7,5 X3 = 1,5 -> Y3 = 5,25
Y2 - Y1 3 -------- = --- = 1,5 X2 - X1 2
X1 X2 X3 X4
Y1
Y2
Y3
Y4 Perubahan X1 ke X2 sama dengan X3 ke X4 , tapi memberikan perubahan Y1 ke Y2 < Y3 ke Y4
Turunan (derivative) membahas
tentang tingkat perubahan suatu
fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel
bebas fungsi yang bersangkutan.
Dengan turunan dapat pula disidik
kedudukan-kedudukan khusus
dari fungsi.
• Berdasarkan manfaat-manfaatnya inilah konsep turunan menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam ekonomi dan bisnis.
• Sebagaimana diketahui, analisis dalam ekonomi dan bisnis sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.
Atau :
Biaya Marjinal
Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit
tambahan produk.
Biaya Marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q), maka
Contoh :
Biaya Total =C=f(Q)= Q3 - 3Q2 +4Q+4
Maka, biaya marjinal = MC = C’ = 3Q2 - 6Q + 4
APLIKASI EKONOMI
Penerimaan Marjinal
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan
bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual
Fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi
penerimaan total.
Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q), maka
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 –
2Q. Tentukan penerimaan marjinalnya!
Maka: Penerimaan Total = R = P x Q = (16 - 2Q)Q = 16Q –
2Q2
Penerimaan marjinal = MR = R’ = 16 – 4Q
Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-rata
Pada posisi AC minimun : MC = AC
AC minimum jika AC’ = 0 MC = C’ AC = C/Q
MC = C’ = 3Q2 – 12Q + 15 AC = C/Q = Q2 - 6Q + 15 AC minimum jika AC’ = 0
2Q – 6 = 0 2Q = 6 Q = 3
Jadi, AC minimum ketika Q = 3
MC = 3(3)2 – 12 (3) +15= 6
AC = 32 – 6(3) +15 = 6
Produk Marjinal
ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor
produksi yang digunakan.
Fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total
Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P =f(X), maka produk marjinalnya:
Produksi total = P = f(X) 9X2 – X3,
maka
Produk marjinalnya adalah
MP = P’ = 18X – 3X2
Hubungan Produk Marjinal dengan Produk Rata-Rata
Pada posisi AP minimun : MP = AP
AP minimum jika AP’ = 0 MP = P’ AP = P/X
MP = P’ = 18X – 3X2
AP = P/X = 9X – X2
AP minimum jika AP’ = 0
9 – 2X = 0
2X = 9
X = 4,5
Jadi, AP minimum ketika
X = 4,5
MP = 18(4,5) – 3(4,5)2 = 20,25
AP = 9(4,5) – (4,5)2 = 20,25
APLIKASI EKONOMI
Elastisitas Permintaan
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas
permintaannya:
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan
Qd=25 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaannya jika tingkat
harga P = 5 !
Qd = 25 – 3P2 Q’d = -6P
Artinya, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang
diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen
Elastisitas Penawaran
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang
yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga.
Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas
penawarannya:
Contoh :
Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan
Qs=-200+7P2. Tentukan elastisitas penawarannya jika tingkat
harga P = 10 !
Qs = -200 + 7P2 -- -Q’d = 14P
Elastisitas Produksi
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
keluaran yang dihasilkan akibat adanya perubahan jml masukan
yang digunakan
Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas
produksinya:
Contoh :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P =
6X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat
penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit !
P = 6X2 – X3 -- P’ = 12X – 3X2
Analisis Keuntungan Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuantungan maksimum, atau
menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan
diferensial.
π = R – C
π optimum jika π’ = 0
Untuk mengetahui apakah π’ = 0 adalah keuntungan maksium
ataukah kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari
fungsi π
R, C
π = -Q3 + 57Q2 – 315Q - 2000
Maka, agar keuntungan maksimum:
-3Q2 + 114Q – 315 = 0
Q1 = 3 ; Q2 = 35
π” = -6Q + 114
Q = 3, maka π” = 96 >0
Q = 35, maka π” =-96 <0
Maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit, dengan besar keuntungannya adalah
π = -(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 = 13.925
Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
Jawab :
Biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X
= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000
= 6150 / 1000 = 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
Biaya marjinal = dc/dx
= 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65
Maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 pada x=1000
Dari hasil di atas, dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
KASUS