Upload
siti
View
239
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
tuags statkom
Citation preview
*8. Persamaan Differensial Biasa (PDB)Euler, Heun, Runge Kutta 1-4
*PendahuluanPersamaan Differensial :gabungan dari fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya.Kategori Persamaan Differensial : PD Biasa :Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu variabel bebas.Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB dikategorikan menjadi :PDB Orde 1 : turunan tertingginya adalah turunan pertamaPDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggiPDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertingginya.Dan seterusnyaPD ParsialPersamaan Differensial yang memiliki lebih dari satu variabel bebas.
*Pendahuluan Cont.Contoh Persamaan :
Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f(x) atau y, sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan dengan keberadaan variabel terikatnya. seperti contoh di atas, maka : Turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak diketahui diwakili dengan variabel y.
*Pendahuluan Cont.Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)
1.PDB orde 12.PDP3.Bukan PD4.PDB orde 25.PDB orde 36.Bukan PD7.PDP8.PDB orde 1
*Pendahuluan (Cont.)Solusi PDB : solusi analitik : salah satunya dengan teknik integralsolusi numerik : menggunakan metode hampiran.Solusi Numerik : mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan jumlah langkah atau iterasi.Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)xr = x0 +rh;r = 0,1,2,,n
*PDB Orde SatuBentuk baku PDB orde satu :Contoh :
Metode penyelesaian :EulerHeunRunge Kutta
*Metode EulerBentuk baku :
PenurunanDeret Taylor : uraikan y(xr+1) disekitar xr
Dipotong sampai orde 3 :
Karena y(xr) = f(xr,yr) dan xr+1-xr = h, maka :
*Metode Euler (Cont.)Penurunan secara geometris :f(x,y) adalah persamaan differensial yang dapat digambarkan sebagai gradien garis singgung di titik (x,y).Garis singgung ditarik menyinggung titik (x0,y0) untuk menemukan nilai y(x1), pada titik (x1,y1) ditarik lagi garis yang menyinggung titik tersebut dengan fungsi f(x,y) untuk mendapatkan f(x2) dan seterusnya.
*(x1,y1)(x0,y0)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)(x5,y5)(x6,y6)(x7,y7)(x8,y8)Metode Euler (Cont.)
Chart2
11
3.218755.25
35.875
2.218755.125
24.5
2.718754.75
45.875
4.718757.125
37
y(x)
dy/dx
Sheet1
0.5
011101010
0.53.218755.250.510.257
135.8751117.75
1.52.218755.1251.512.259
224.521410.75
2.52.718754.752.516.2513
345.87531915.75
3.54.718757.1253.522.2519
43742622.75
4.5-3.781253.254.530.2527
5-19-7.12553531.75
5.5-46.78125-27.8755.540.2537
6-92-63.564642.75
6.5-160.28125-119.256.552.2549
7-258-201.12575955.75
7.5-392.28125-315.8757.566.2563
8-571-47187470.75
8.5-802.78125-674.758.582.2579
9-1097-936.12599187.75
9.5-1463.78125-1264.875
10-1914-1671.5
Sheet1
y(x)
hampiran
Sheet2
y(x)
dy/dx
Sheet3
*Yr+1 sejatiYr+1 hampiranYr sejatiABCgalathMetode Euler (Cont.)
Chart3
11
3.218755.25
35.875
y(x)
yr
Sheet1
0.5
011101010
0.53.218755.250.510.257
135.8751117.75
1.52.218755.1251.512.259
224.521410.75
2.52.718754.752.516.2513
345.87531915.75
3.54.718757.1253.522.2519
43742622.75
4.5-3.781253.254.530.2527
5-19-7.12553531.75
5.5-46.78125-27.8755.540.2537
6-92-63.564642.75
6.5-160.28125-119.256.552.2549
7-258-201.12575955.75
7.5-392.28125-315.8757.566.2563
8-571-47187470.75
8.5-802.78125-674.758.582.2579
9-1097-936.12599187.75
9.5-1463.78125-1264.875
10-1914-1671.5
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
y(x)
hampiran
Sheet2
00
00
00
00
00
00
00
00
00
y(x)
dy/dx
Sheet3
00
00
00
y(x)
yr
*Metode Euler (Cont.)Galat Galat Pemotongan
sebanding dengan kuadrat ukuran langkah Galat Kumulatif
*Metode Euler (Cont.)Contoh Soal :dy/dx =x + y ; y(0) = 0Berapa y(0.1) dengan langkah h = 0.02 dan h = 0.05jika diketahui fungsi asli adalah y(x) = ex-x-1, langkah mana yang lebih teliti ?y(0.1) = e0.1-0.1-1 =
Langkah h = 0.02 lebih teliti
h = 0.05x = 0y(0) = 0x = 0.05y(0.05) = 0 + 0.05(0+0) = 0x = 0.1y(0.1) = 0 + 0.05(0.05+0) = 0.0025
h = 0.02x = 0y(0) = 0x = 0.02y(0.02) = 0 + 0.02(0+0) = 0x = 0.04y(0.04) = 0 + 0.02(0.02+0) = 0.0004x = 0.06y(0.06) = 0.004 +0.02(0.04+0.004) = 0.001208x = 0.08y(0.08) = 0.001208 +0.02(0.06+0.001208) = 0.00243216x = 1y(0.1) = 0.00243216 + 0.02(0.08+0.00243216) = 0.0040808032
0.00517091807564762
*Metode HeunMerupakan perbaikan metode Euler.Solusi Euler dijadikan solusi perkiraan awal dan diperbaiki dengan metode Heun.Perbaikan gradien yang digunakan merupakan rata-rata gradien dari 2 titik yang ada.
*Metode Heun (Cont.)Dari satu titik awal (xr,yr), iterasi dan gradien didapatkan perkiraan nilai y(xr+1) selanjutnya (xr+1,yr+1) beserta gradiennya. Dari dua gradien yang ada dicari rata-ratanya kemudian digunakan untuk menghitung kembali nilai y(xr+1).Misal :Awal iterasi dimiliki (x0,y0) dan f(x0,y0) Kemudian digunakan untuk menghitung y(x1) dan didapatkan f(x1,y1)Hitung kembali y(x1) dengan gradien (f(x0,y0)+f(x1,y1)/2
*Metode Heun (Cont.)Secara geometris :f(xr,yr)f(xr+1,yr+1)frat(xr,yr)(xr,yr)(xr+1,yr+1)
Chart5
111
3.218755.253.125
35.8753.53125
y(x)
yr_euler
yr_heun
Sheet1
0.5
xyyryr
011101010
0.53.218755.253.1250.510.257
135.8753.531251117.75
1.52.218755.1252.6251.512.259
224.51.9062521410.75
2.52.718754.752.1252.516.2513
345.8753.2812531915.75
3.54.718757.1254.6253.522.2519
4374.6562542622.75
4.5-3.781253.251.1254.530.2527
5-19-7.125-8.9687553531.75
5.5-46.78125-27.875-29.3755.540.2537
6-92-63.5-64.5937564642.75
6.5-160.28125-119.25-119.8756.552.2549
7-258-201.125-201.2187575955.75
7.5-392.28125-315.875-315.3757.566.2563
8-571-471-469.8437587470.75
8.5-802.78125-674.75-672.8758.582.2579
9-1097-936.125-933.4687599187.75
9.5-1463.78125-1264.875-1261.375
10-1914-1671.5-1667.09375
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
y(x)
hampiran
Sheet2
000
000
000
000
000
000
000
000
000
y(x)
euler
heun
Sheet3
000
000
000
y(x)
yr_euler
yr_heun
0.050.02
xyyrxyyr
000000
0.050.001271096400.020.000201340.000000000000
0.10.00517091810.00250.040.00081077420.000400000000
0.060.00183654650.001208000000
0.080.00328706770.002432160000
0.10.005170918075647620.004080803200
0.002500
*Metode Runge KuttaBentuk umum Runge Kutta Orde n:yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + + anknDengan a1,a2,a3, ,an adalah konstantak1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)kn = h(xr+pn-1h,yr+qn-1,1k1+qn-1,2++qn-1,n-1kn-1)Galat Per langkah Runge Kuta orde n : O(hn+1)Kumulatif orde-n :O(hn)
*Orde 1k1 = hf(xr,yr)yr+1 = yr + a1k1 ; a1 = 1yr+1 = yr + hf(xr,yr) Rumus EulerGalat :Per langkah : O(h2)Kumulatif : O(h)Metode Runge Kutta (Cont. )
*Orde 2 k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2Dengan penurunan rumus yang sudah ada didapatkan :a1 = 1-a2 = 1-tp1 = 1/(2a2) = 1/(2t)q11 = 1/(2a2) = 1/(2t)Artinya ada tak berhingga formula orde dua.
Dengan a1=a2 = , p1 = 1 yr+1 = yr + (k1 + k2) Metode Heun
Metode Runge Kutta (Cont. )
*Orde 3k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)k3 = h(f(xr+h,yr-k1+2k2)yr+1 = yr + 1/6( k1 + 4k2 + k3)
Metode Runge Kutta (Cont. )
*Orde 4k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)k3 = h(f(xr+1/2h,yr+2k2)k4 = h(f(xr+h,yr+k3)yr+1 = yr + 1/6( k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Metode Runge Kutta (Cont. )
Variabel bebas, sebagai lawan variabel terikat yaitu variabel yang nilainya tergantung oleh variabel yang lain.*Variabel bebas, sebagai lawan variabel terikat yaitu variabel yang nilainya tergantung oleh variabel yang lain.