Upload
rizkibar02
View
76
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Persamaan Differensial
Citation preview
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) adalah persamaan yang menggandungturunan suatu fungsi yang belum diketahui, yang dinamakan y(x) daningin ditentukan dari persamaan tersebut nilai y(x) (misalnya denganoperasi integral).
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD penting untuk merekayasa masalah-masalah terapan lainnya dalambentuk model matematis
1. PD Biasa
2. PD Parsial
Ada 2 jenis PD:
PD Biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkanturunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, dimana fungsiini merupakan fungsi dari satu jenis peubah/variabel bebas. �misal satu fungsi y dengan satu variabel x
Misal: y‘ + u = cos xy” + 4 y = 0yx
dx
dy
dx
ydsin3
2
2
=+
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD Parsial melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi yang tidakdiketahui, dimana fungsi ini merupakan fungsi dari dua ataulebih variabel. �misal satu fungsi y dengan variabel t dan x
tx
tx
dx
dyx
dt
dy
−
+=+
Persamaan ini dapat melibatkan y itu sendiri, fungsi peubah x dankonstanta.
dimana y dan u adalah fungsi dari x
Misal:
• PD Biasa � PD Biasa Ordo Pertama
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
HariHariHariHari iniiniiniini: : : : PD PD PD PD BiasaBiasaBiasaBiasa
1. PD Ordo Pertama Bentuk Terpisahkan
2. PD Ordo Pertama Bentuk Pasti
PD Ordo Pertama adalah suatu persamaan differensialyang mengandung hanya y’ dan mungkin mengandung yserta fungsi dari x.
Misal:
y‘ = sin 2xy’ + xy = 2x + 2
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
Misal: y” + y’ = 2x + 2 bukan PD ordo pertama
PD � TERPISAHKAN
PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:
g(y) y’ = f(x)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
Contoh:'2
2
53y
y
x=
−
+� ( ) 53'22 +=− xyy � g(y) y’ = f(x)
g(y) f(x)
dimana:g(y) = fungsi dari yf(x) = fungsi dari x
� Dalam satu persamaan semua x dan semua y dapat dipisahdi dua ruas yang berbeda.
PD � TERPISAHKAN
PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:
g(y) y’ = f(x)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
Contoh: Apakah persamaan berikut merupakan PD Terpisahkan…?
dimana:g(y) = fungsi dari yf(x) = fungsi dari x
� Dalam satu persamaan semua x dan semua y dapat dipisahdi dua ruas yang berbeda.
x
y
y
x '2
23
2
=−
� ( ) 3'232 xyy =−
g(y) f(x)
Penyelesaian PD Terpisahkan…?
Karena maka �
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
dx
dyy =' g(y) dy = f(x) dx
Penyelesaian: diintegralkan � ∫g(y) dy = ∫ f(x) dx
PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:
g(y) y’ = f(x)
Contoh 1: 9yy’ +4x = 0
Pisahkan menjadi bentuk g(y) dy= f(x)dx �
cxy +−=2
9 222 c
yx=+
49
22
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
9y dy = -4x dx
Integralkan � ∫ 9y dy = -∫ 4x dx
Solusi umum� atau
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Contoh 2: y’ = 1 + y2
Pisahkan menjadi bentuk g(y)dy= f(x)dx �
Integralkan �
Solusi umum� atau
dxdyy
=+
21
1
∫∫ =+
dxdyy
21
1
cxy +=−1
tan ( )cxy += tan
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Contoh 3: y’ = - 2 xy
Pisahkan menjadi bentuk g(y)dy= f(x)dx �
Integralkan �
Solusi umum� atau
xdxdyy
21
−=
∫∫ −= xdxdyy
21
cxy +−=2
ln222
xxccxAeeeey
−−+−===
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
CONTOH SOAL
Carilah penyelesaian dari persamaan-persamaanberikut ini:
a. y’ = ky
b. xy’ = 5y
c. y’ = 3x2y
d. cos x2 = (y/2x) y’
e. yy’ = (x – 1)e-y.y
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x
xyyy
22
'2−
= � tak terpisahkan
Solusi:
1. Lakukan manipulasi aljabar sampai diperoleh fungsi dengankomponen komponen y/x, komponen x, dan y’ (tidak ada ysaja lagi)
2xyy’ - y2 + x2 = 0÷ x2 � 01'2
2
=+
−
x
yy
x
y
Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah
Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x
xyyy
22
'2−
= � tak terpisahkan
Solusi:
2. Ubahlah semua variabel y/x menjadi variabel u
ux
y= sehingga 01'2
2
=+
−
x
yy
x
y� 01'2
2=+−uuy
y‘ = ? ux
y= � xuy ⋅= � ='y
Sehingga 01'22
=+−uuy � ( ) 01'22
=+−+ uxuuu
� 01'22
=++uxuu
xuu '+
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah
Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x
xyyy
22
'2−
=
Solusi:
3. Pisahkan variabel u dengan variabel x
01'22
=++uxuu �( ) xu
uu 1
1
'2
2−=
+
dx
duu =' sehingga ( ) xu
uu 1
1
'2
2−=
+� ( )
dxx
duu
u 1
1
2
2−=
+
� tak terpisahkan
� PD terpisahkan
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah
Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x
xyyy
22
'2−
=
Solusi:
4. Selesaikan dengan integral dan ubah kembali u menjadi y/x
( )cdx
xdu
u
u+−=
+ ∫∫1
1
2
2�
( )( ) cdx
xud
u+−=+
+ ∫∫1
11
1 2
2
�
x
ccxu lnln1ln
2=+−=+ �
x
cu =+1
2
x
yu = sehingga
x
cu =+1
2
� cxyx =+22
� tak terpisahkan
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PD � TERPISAHKAN
Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah
CONTOH SOALCONTOH SOAL
y
xx
x
yy
23cos2
' +=Carilah penyelesaian dari persamaan
Langkah-langkah:1. Lakukan manipulasi aljabar sampai diperoleh fungsi dengan
komponen komponen y/x, komponen x, dan y’ (tidak ada ysaja lagi)
2. Ubahlah semua variabel y/x menjadi variabel u3. Pisahkan variabel u dengan variabel x4. Selesaikan dengan integral dan ubah kembali u menjadi y/x