17

MT2 #4 Persamaan Differensial

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Persamaan Differensial

Citation preview

Page 1: MT2 #4 Persamaan Differensial
Page 2: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) adalah persamaan yang menggandungturunan suatu fungsi yang belum diketahui, yang dinamakan y(x) daningin ditentukan dari persamaan tersebut nilai y(x) (misalnya denganoperasi integral).

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD penting untuk merekayasa masalah-masalah terapan lainnya dalambentuk model matematis

Page 3: MT2 #4 Persamaan Differensial

1. PD Biasa

2. PD Parsial

Ada 2 jenis PD:

PD Biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkanturunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, dimana fungsiini merupakan fungsi dari satu jenis peubah/variabel bebas. �misal satu fungsi y dengan satu variabel x

Misal: y‘ + u = cos xy” + 4 y = 0yx

dx

dy

dx

ydsin3

2

2

=+

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD Parsial melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi yang tidakdiketahui, dimana fungsi ini merupakan fungsi dari dua ataulebih variabel. �misal satu fungsi y dengan variabel t dan x

tx

tx

dx

dyx

dt

dy

+=+

Persamaan ini dapat melibatkan y itu sendiri, fungsi peubah x dankonstanta.

dimana y dan u adalah fungsi dari x

Misal:

Page 4: MT2 #4 Persamaan Differensial

• PD Biasa � PD Biasa Ordo Pertama

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

HariHariHariHari iniiniiniini: : : : PD PD PD PD BiasaBiasaBiasaBiasa

1. PD Ordo Pertama Bentuk Terpisahkan

2. PD Ordo Pertama Bentuk Pasti

Page 5: MT2 #4 Persamaan Differensial

PD Ordo Pertama adalah suatu persamaan differensialyang mengandung hanya y’ dan mungkin mengandung yserta fungsi dari x.

Misal:

y‘ = sin 2xy’ + xy = 2x + 2

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

Misal: y” + y’ = 2x + 2 bukan PD ordo pertama

Page 6: MT2 #4 Persamaan Differensial

PD � TERPISAHKAN

PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:

g(y) y’ = f(x)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

Contoh:'2

2

53y

y

x=

+� ( ) 53'22 +=− xyy � g(y) y’ = f(x)

g(y) f(x)

dimana:g(y) = fungsi dari yf(x) = fungsi dari x

� Dalam satu persamaan semua x dan semua y dapat dipisahdi dua ruas yang berbeda.

Page 7: MT2 #4 Persamaan Differensial

PD � TERPISAHKAN

PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:

g(y) y’ = f(x)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

Contoh: Apakah persamaan berikut merupakan PD Terpisahkan…?

dimana:g(y) = fungsi dari yf(x) = fungsi dari x

� Dalam satu persamaan semua x dan semua y dapat dipisahdi dua ruas yang berbeda.

x

y

y

x '2

23

2

=−

� ( ) 3'232 xyy =−

g(y) f(x)

Page 8: MT2 #4 Persamaan Differensial

Penyelesaian PD Terpisahkan…?

Karena maka �

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

dx

dyy =' g(y) dy = f(x) dx

Penyelesaian: diintegralkan � ∫g(y) dy = ∫ f(x) dx

PD Terpisahkan adalah PD ordo pertama yang melalui manipulasialjabar dapat direduksi ke dalam bentuk:

g(y) y’ = f(x)

Page 9: MT2 #4 Persamaan Differensial

Contoh 1: 9yy’ +4x = 0

Pisahkan menjadi bentuk g(y) dy= f(x)dx �

cxy +−=2

9 222 c

yx=+

49

22

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

9y dy = -4x dx

Integralkan � ∫ 9y dy = -∫ 4x dx

Solusi umum� atau

Page 10: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Contoh 2: y’ = 1 + y2

Pisahkan menjadi bentuk g(y)dy= f(x)dx �

Integralkan �

Solusi umum� atau

dxdyy

=+

21

1

∫∫ =+

dxdyy

21

1

cxy +=−1

tan ( )cxy += tan

Page 11: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Contoh 3: y’ = - 2 xy

Pisahkan menjadi bentuk g(y)dy= f(x)dx �

Integralkan �

Solusi umum� atau

xdxdyy

21

−=

∫∫ −= xdxdyy

21

cxy +−=2

ln222

xxccxAeeeey

−−+−===

Page 12: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

CONTOH SOAL

Carilah penyelesaian dari persamaan-persamaanberikut ini:

a. y’ = ky

b. xy’ = 5y

c. y’ = 3x2y

d. cos x2 = (y/2x) y’

e. yy’ = (x – 1)e-y.y

Page 13: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x

xyyy

22

'2−

= � tak terpisahkan

Solusi:

1. Lakukan manipulasi aljabar sampai diperoleh fungsi dengankomponen komponen y/x, komponen x, dan y’ (tidak ada ysaja lagi)

2xyy’ - y2 + x2 = 0÷ x2 � 01'2

2

=+

x

yy

x

y

Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah

Page 14: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah

Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x

xyyy

22

'2−

= � tak terpisahkan

Solusi:

2. Ubahlah semua variabel y/x menjadi variabel u

ux

y= sehingga 01'2

2

=+

x

yy

x

y� 01'2

2=+−uuy

y‘ = ? ux

y= � xuy ⋅= � ='y

Sehingga 01'22

=+−uuy � ( ) 01'22

=+−+ uxuuu

� 01'22

=++uxuu

xuu '+

Page 15: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah

Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x

xyyy

22

'2−

=

Solusi:

3. Pisahkan variabel u dengan variabel x

01'22

=++uxuu �( ) xu

uu 1

1

'2

2−=

+

dx

duu =' sehingga ( ) xu

uu 1

1

'2

2−=

+� ( )

dxx

duu

u 1

1

2

2−=

+

� tak terpisahkan

� PD terpisahkan

Page 16: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah

Misal: 2xyy’ - y2 + x2 = 0 �x

xyyy

22

'2−

=

Solusi:

4. Selesaikan dengan integral dan ubah kembali u menjadi y/x

( )cdx

xdu

u

u+−=

+ ∫∫1

1

2

2�

( )( ) cdx

xud

u+−=+

+ ∫∫1

11

1 2

2

x

ccxu lnln1ln

2=+−=+ �

x

cu =+1

2

x

yu = sehingga

x

cu =+1

2

� cxyx =+22

� tak terpisahkan

Page 17: MT2 #4 Persamaan Differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PD � TERPISAHKAN

Cara Mengubah PD Tak Terpisah Menjadi PD Terpisah

CONTOH SOALCONTOH SOAL

y

xx

x

yy

23cos2

' +=Carilah penyelesaian dari persamaan

Langkah-langkah:1. Lakukan manipulasi aljabar sampai diperoleh fungsi dengan

komponen komponen y/x, komponen x, dan y’ (tidak ada ysaja lagi)

2. Ubahlah semua variabel y/x menjadi variabel u3. Pisahkan variabel u dengan variabel x4. Selesaikan dengan integral dan ubah kembali u menjadi y/x