Matematika BisnisAndri Helmi M, S.E., M.M.

Parsial Diferensial� Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel

bebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx

� Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam, tergantung jumlah variabel bebasnya

Parsial Diferensial� Jika y = f(x, z)

dan disebut derivatif parsial, dan disebut diferensial parsial, sedangkan dy disebut diferensial total

� Jika p = f(q, r, s)

dzzdy

dxxy

dy¶

+¶¶

=

xy¶¶

zy¶¶

dxxy¶¶ dz

zy¶¶

dsspdr

rpdq

qpdp

¶¶

+¶¶

+¶¶

=

Parsial Derivatif� y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah

variabel yg independen satu sama lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhi variabel lainnya (variabel lainnya konstan)

� Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien diferensi dapat ditulis:

1

3213211

1

),...,,,(),...,,,(x

xxxxfxxxxxfxy nn

D-D+

=DD

Parsial Derivatif� Derivative y terhadap x1 sebagaimana contoh diatas

disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkan dengan:

� Fungsi turunannya (derivative) adalah:

101 1

limxy

xy

x DD

º¶¶

®D

1xy

¶¶

Contoh (2): Derivative Parsial� Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y =

f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x2

2

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1adalah:

turunan terhadap x2:

2116 xx

xy

+=¶¶

1218 xx

xy

+=¶¶

Contoh (3): Derivative Parsial� Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y =

f(u, v) = (u+4)(3u+2v)dengan menganggap v konstan, turunan terhadap u adalah:

turunan terhadap v:

( ) ( ) 122623143 ++=+++=¶¶ vuvuuuy

( ) ( ) ( )4223042 +=+++=¶¶ uvuuvy

Derivatif dari Parsial Derivatif� Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif

fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali� Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka turunan

pertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

22 683 zxzxxy

--=¶¶ 812410 2 +--=

¶¶

xzxzzy

zxxy 862

2-=

¶¶

zxzxy 1282

--=¶¶

¶

xzy 12102

2-=

¶¶

zxxzy 1282

--=¶¶

¶

1a

1b

2a

2b

1 2

Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:

63

3=

¶¶xy

82

3-=

¶¶¶zxy

1aa

1ab

82

3-=

¶¶¶zxy

122

3-=

¶¶¶zxy

1ba

1bb

03

3=

¶¶zy

122

3-=

¶¶¶xzy

2aa

2ab

122

3-=

¶¶¶xzy

82

3-=

¶¶¶xzy

2ba

2bb

Nilai Ekstrim� Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya

jika (necessary condition):

� Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai adalah maksimum atau minimum, maka (sufficient condition):

0=¶¶xy 0=

¶¶zydan

02

2<

¶¶xy 02

2<

¶¶zydan

02

2>

¶¶xy 02

2>

¶¶zydan

Maksimum

Minimum

Contoh (5): Titik Ekstrim� Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

60122 =Û=+-=¶¶

xxxy

50102 =Û=+-=¶¶ zzzy

Contoh (5): Titik Ekstrim� Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan ymax = 16

022

2<-=

¶¶xy 022

2<-=

¶¶zy

Latihan� Carilah titik ekstrim dari fungsi:

p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!

Elastisitas Permintaan (price elasticity of demand)

� Elastisitas permintaan ialah suatu koefisien yangmenjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yangdiminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsipermintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), makaelastisitas permintaannya :

� dimana tak lain adalah atau f’(P)

d

dd Q

P . dP

dQ η =

dPdQd

dQ'

� Permintaan akan suatu barang dikatakan:� bersifat elastik apabila� elastik-uniter jika� inelastik jika =

� Barang yang permintaannya elastik mengisyaratkanbahwa jika harga barang tersebut berubah sebesarpersentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akanberubah (secara berlawanan arah) dengan persentaseyang lebih besar daripada persentase perubahanharganya.

1 ηd > 1 ηd = 1 ηd <

Contoh Soal :Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan

Qd = 25 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga

pasar P = 5

Jawab :

Qd = 25 – 3P2 maka Q’d = dPdQd

= - 6P

(elastik) 3 75 - 25

5 6(5).-

3P - 25P

. 6P -

QP

. dP

dQ η

2

d

dd

=

=

=

=

Elastisitas Penawaran (price elasticity of supply)

� Elastisitas penawaran ialah suatu koefisien yangmenjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yangditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jikafungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), makaelastisitas penawarannya :

� Dimana tak lain adalah atau f’(P)

s

ss Q

P . dP

dQ η =

dPdQs

sQ'

� Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifatelastik apabila , elastik-uniter jika , daninelastik jika .Barang yang penawarannyainelastik mengisyaratkan bahwa jika harga barangtersebut berubah sebesar persentase tertentu, makapenawarannya berubah (searah) dengan persentaseyang lebih kecil daripada persentase perubahanharganya.

1 η s <1 η s =

1 η s >

Contoh SoalFungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh

persamaan Qs = – 200 + 7P2. Tentukan elastisitas penawarannya

pada tingkat harga pasar P = 10

Qs = – 200 + 7P2 maka Q’s = dPdQs

= 14P

(elastik) 2,8 700 200-

10 (10). 14

7P 200-P

. P 14

QP

. dP

dQ η

2

s

ss

=+

=

+=

=

Biaya Marjinal

Biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan

untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q)

dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan

jumlah produk, maka biaya marjinalnya :

MC = C’ = dQdC

Contoh SoalBiaya Total :

4 Q 4 3Q - Q f(Q) C 23 ++==

Biaya Marjinal :

4 6Q - 3Q dQdC

C' MC 2 +===

Penerimaan MarjinalPenerimaan marjinal adalah penerimaan tambahan yang

diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang

diproduksi atau terjual.

Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana

R melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah

keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

MR = R’ = dQdR

Contoh Soal :Andaikan fungsi permintaan akan suatu barangditunjukkan oleh P = 16 – 2Q.MakaPenerimaan Total :

R = P. Q = f(Q) = 16 Q – 2 Q2

Penerimaan Marjinal :MR = R’ = 16 – 4 Q

Analisis Keuntungan Maksimum� Tingkat produksi yang memberikan keuntunganmaksimum atau menimbulkan kerugian maksimumdapat disidik dengan pendekatan differensial. Nilaiekstrim atau nilai optimum dapat ditentukandengan cara menetapkan derivarif pertamanya samadengan nol.

p

0 dQd (Q) f πjika optimum π

f(Q) c(Q) - (Q)r C - R π11 =ºº

=º=p

Karena C - R π = maka MC - MR C - R π 111 ==

Berarti pada π optimum :

MC MR 0 MC - MR 0 π1 =®=®=

Untuk mengetahui apakah 0 π1 = mencerminkan

keuntungan maksimum ataukah justru kerugian maksimum

perlu diuji melalui derivative kedua dari fungsi π

(Q) f C - R π ==

maksimumkerugian minimum π 0" π Jikamaksimum keuntungan maksimum π 0 π" Jika

MC MRatau 0 πapabila optimum π 1

º®>º®<

==

Contoh SoalAndaikan

R = r(Q) = - 2 Q2 + 1000 Q

C = c(Q) = Q3 – 59 Q2 +1315 Q + 2000

Maka π = R – C = - Q3 + 57 Q2 – 315 Q – 2000

Agar keuntungan maksimum :

π' = 0

- 3Q2 + 114 Q – 315 = 0

Q2 – 38 Q + 105 = 0

(Q – 3 )(Q – 35 ) = 0, diperoleh Q1 = 3 dan Q2 = 35

π" = - 6 Q + 114

Jika Q = 3 maka π" = - 6 (3) + 114 = 96 > 0

Jika Q = 35 maka π" = - 6 (35) + 114 = -96 < 0

Karena π" < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan

keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. Adapun besarnya keuntungan

maksimum tersebut :

π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925