matematika 12_2.pdf

7/24/2019 matematika 12_2.pdf

1/177


2/177

LIBR PR MSUESIN

MATEMATIKA

Edmond Lulja Neritan Babamusta Pro .dr. Shptim Bozdo

Pr klasn e 12-t t arsimit t mesm t prgjithshm


3/177

T gjitha t drejtat jan t rezervuara Pegi 2011

T g itha t dre tat lidhur me kt botim an ekskluzivisht t zotruara nga shtpia botuese

Pegi sh.p.k. Ndalohet do riprodhim, fotokopjim, prshtatje, shfrytzim ose do form tjetr

qarkullimi tregtar pjesrisht ose trsisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected]

e tori i s prn arjes: Te /Fax: 048 810 177 Ce : 069 20 267 73

Shtypshkronja:Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]


4/177

Libr msuesi Matematika 12 3

Prmbajtja

Disa orientime pr zbatimin n praktik t programit

dhe tekstit Matematika 12

Planifikimi lndor vjetor nga msuesi

Objektivat sipas krerve (n tre nivele)

Mbi organizimin e puns n klas

Puna mbi projektet kurrikulare

Testet e arritjeve t nxnsve pr kapituj t veant

n lndn e matematiks

Udhzime pr zhvillimin e msimeve

Kreu 1 Vazhdueshmria e funksionit

Kreu 2 Derivati i funksionit

Kreu 3. Zbatime t derivateve Kreu 4 Vijat e grads s dyt. Rrethi dhe elipsi

Kreu 5 Vijat e grads s dyt. Hiperbola dhe parabola

Kreu 6 Integrali i pacaktuar

Kreu 7 Integrali i caktuar

Kreu 8 Kombinatorik. Probabilitet. Statistik

Horizonti i msuesit

Probleme t kurrikuls s matematiks n shkolln e mesme

dhe aspektet historike t tyre


5/177

Matematika 12 Libr msuesi4

Disa orientime pr zbatimin n praktik

t programit dhe tekstit Matematika 12

Prpara se t planifikoj punn vjetore n lndn Matematika 12 (pjesa ekurrikuls brtham), sht e domosdoshme q secili msues t njoh n thellsiprogramin prkats, si dhe programet e klasave paraardhse (e n mnyr tveant at t klass s dhjet dhe t njmbdhjet).

Nga programi msimor i klass 12

Synimi i lnds

Lnda e matematiks n gjimnaz synon t jap ndihmes n zhvillimin vetjak tnxnsit/es ta aftsoj at pr t prdorur lehtsisht dhe n mnyr organike nfushat e tjera t t nxnit, njohurit dhe shprehit matematike, metodat

matematike, arsyetimin matematik in/en me njohuri dhe shprehimatematike t nevojshme pr jetn dhe pr arsimim t mtejshm t plotsuar nevojat dhe shprehit e individit n prputhje me krkesat e shoqris.

Objektiva t prgjithshm

N prfundim t gjimnazit, n lndn e matematiks, nxnsi/ja duhet:

t prdor matematikn si nj mjet n jetn e prditshme dhe n veprimtari

shoqrore t besoj n aftsit, shprehit dhe n gjykimin e tij/saj

t jet kurajoz dhe i vullnetshm pr tu prfshir n nj t nxneksperimentues, zbulues dhe krijues

t mendoj n mnyr logjike dhe kritike

t prdor lidhjet brenda lnds s matematiks, si dhe lidhjet e saj mefusha t tjera

t zotroj njohuri e shprehi matematike t nevojshme pr t vazhduarstudimet e mtejshme n do fush;


6/177


t zotroj shprehit e puns s pavarur, sistematike dhe t sakt;

t ket kureshtje dhe imagjinat t zhvilluar;

t modeloj matematikisht situata t jets s prditshme; t prdor figurat, formulat, modelet n mbshtetje t t menduarit

t komunikoj qart dhe sakt, duke prdorur fjalorin dhe simbolet;

t jet i motivuar pr ta studiuar matematikn si fush q ka rndsi prjetn sociale dhe profesionale.

Sasia e orve lndore

N klasn e 12t, lnda e matematiks s kurrikuls brtham, zhvillohet me 4 orn jav.

(34 jav x 4 or/jav = 136 or vjetore). Rreth 23 or do t shpenzohen prprgatitje pr provimin e maturs dhe pr projekte kurrikulare.

Linjat e programit

Linja 1. Gjeometria. Or t sugjeruara: 30

Linja 2.Njehsimi diferencial e integral. Or t sugjeruara: 60

Linja 3. Statistik, kombinatorik, probabilitet. Or t sugjeruara: 19

Linja 4. Zbatime t matematiks n fusha t tjera dhe njohuri

mbi evolucionin e matematiks. Or t sugjeruara 11

Linja 5. Proceset matematike e integruar n linjat e tjera

Shnim. Rreth 8 or, shprndar n linja t ndryshme, do t prdoren pr projektekurrikulare. Ve ksaj nj sasi prej rreth 16 orsh do t prdoret pr prsritjen prmatur.


7/177


Planifikimi lndor vjetor nga msuesi

N kt planifikim msuesi duhet t udhhiqet nga kto parime:

S pari,programet e matematiks, duke filluar nga klasa e par e ciklit t ult jantanim t unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave q jant njjta pr t gjitha klasat. Nga ana tjetr programet jan t materializuara ntekste alternative. Teksti q ju keni przgjedhur sht i ndar n 10 kapituj (njkapitull sht pr prsritjen pr provimin e maturs). N t e njjta linj shtndar n disa kapituj; ka edhe kapituj q prmbajn pjes nga disa linja tndryshme. Kjo shprndarje si dhe ndrthurja e tyre sht realizuar me synimin e

konceptimit trsor t lnds duke zbatuar n kt mnyr nj nga krkesatthemelore t programeve t matematiks.

Shprndarja e orve n tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet ntabeln e mposhtme:

KREUORTSIPAS

KREUT

LINJAPRKATSE

ORTSIPAS

LINJAVE1. Vazhdueshmria e funksionit 8 Linja 2 82. Derivati i funksionit 16 Linja 2 163. Zbatime t derivateve 15 Linja 2 154. Rrethi dhe elipsi 15 Linja 1 155. Hiperbola dhe parabola 14 Linja 1 146. Integrali i pacaktuar 9 Linja 2 97. Integrali i caktuar 8 Linja 2 88. Kombinatorik. Probabilitet.

Statistik

18 Linja 3 18

9. Zbatime t matematiks nfushat e tjera dhe njohuri mbievolucionin e matematiks.

10 Linja 4 10

10. Prsritje pr provimin ematurs

15 Shprndar sipaslinjave

15

Projekte kurrikulare 8 Shprndar nprlinjat

8

SHUMA E ORVESIPAS KRERVE

136 SHUMA E ORVESIPAS LINJAVE

136


8/177


N tekst, si shihet, figuron edhe nj kapitull i veant pr realizimin e prsritjeslndore n kuadrin e prgatitjes pr provimin e maturs.

S dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vrtetimin e plott t gjitha teoremave ose pohimeve.

Gjat gjith shtjellimit t lnds, jan vrtetuar vetm disa teorema ose fjali,ndrsa disa t tjera pranohen pa vrtetim. N varsi t nivelit t klass, vetmsuesi duhet t vendos se cilat teorema t vrtetoj, e cilat t pranohen pavrtetim. Por kjo nuk do t thot n asnj mnyr q asnj teorem t mosvrtetohet!

S treti, prparsia e kuptimit t koncepteve n raport me aspektet algoritmike.N kt kuptim msuesi nuk duhet t knaqet (e madje t mos e stimuloj)

mbajtjen mend ose prsritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik t vrtetimitt nj teoreme, duke e shkputur at nga zbatimet e shumta e t larmishme. Aiduhet t ngul kmb n prvetsimin e konceptit, fillimisht nprmjet tkuptuarit e tij, e m pas nprmjet zbatimeve t shumta e t larmishme. Mjaftushtrime t prfshira n tekst kan t bjn pikrisht me kt aspekt.

S katrti, lnda e matematiks, pr nga vet specifika e saj ka nj avantazh nkrahasim me lndt e tjera. Ky avantazh konsiston ne zgjidhjen e ushtrimeve eproblemeve, ku nxnsi zbulon n mnyr t pavarur varsi ndrmjet madhsivet ndryshme t panjohura pr t m par. N kt mnyr ai zhvillon veprimtarikrijuese e zbuluese, q pa gabuar mund ta konsiderojm si nj pun shkencore nminiatur.

Matematika ka privilegjin q n msimdhnie realizohet zgjidhja e problemave,fillimisht si zbatime (pr t kuptuar konceptin) dhe m pas si modele t puns spavarur. N mnyr t veant vet zgjidhja e problemeve duhet t stimulojdebatin dhe pjesmarrjen e t gjith nxnsve n msim. Ajo sht pjes erndsishme e procesit t prpunimit t njohurive.

sht e njohur tendenca e mjaft msuesve q n klas t zgjidhin sa m shum

ushtrime. Kjo tendenc, n parim nuk ka pse t qortohet, sidomos n rastet kurkrkohet prvetsimi i sakt i nj procedure. Por n mjaft raste, prvojat m tmira rekomandojn q m e rndsishme nuk sht numri i problemave tzgjidhur, por mnyrat e ndryshme t zgjidhjes s tyre. Parimi i njohur m mir tzgjidhet nj problem n dhjet mnyra se sa t zgjidhen dhjet problema tndryshm tashm e ka fituar t drejtn e qytetaris n shkolla.

S pesti, teksti i matematiks sht nj mjet pr t realizuar synimet dheobjektivat e programit. Kto objektiva jan pr t gjith nxnsit, por atorealizohen n nivele t ndryshme nga nxns t ndryshm. Ky fakt i ngarkon

msuesit q t programojn objektiva t niveleve t ndryshme dhe njkohsisht t


9/177


planifikojn detyra t niveleve t ndryshme. Teksti ka material t bollshm nkt drejtim.

S gjashti, pr t lehtsuar planifikimin vjetor t msuesit, materiali i ri n tekstsht i ndar n njsi msimore, aq sa jan edhe ort sipas linjave.

Por msuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve t nxnsve dhe n mbshtetje tUdhzimit Nr. 35, dat 09.10.2007 t Ministris s Arsimit dhe Shkencs prLirin e msuesit pr ort msimore t parashikuara n programin lndor, ka tdrejt ta zhvilloj nj kapitull ose linj lndore deri n 10% m shum ose deri10% m pak or msimore, kundrejt numrit t orve t parashikuara n programinprkats lndor, por pa ndryshuar totalin e orve msimore q programi prcaktonpr lndn, pra 136 or.

S shtati, n tekst jan prfshir disa modele testesh. Edhe n kt drejtim,msuesi sht i lir t planifikoj ose realizoj vetm disa prej tyre ose edhe ttjer.

Testet jan dhn pr vlersim me pik, duke realizuar n kt mnyr njprqasje me provimet e pjekuris. Koha e planifikuar pr nj testim n varsi tmundsive konkrete edhe mund edhe t zgjatet.

S teti, objektivat e linjave i prmban programi.

Pr t lehtsuar planifikimin vjetor t puns s msuesit, po japim objektivatsipas krerve n tri nivele. Kjo ndarje presupozon q niveli m i lartprfshin nivelin m t ult.

Niveli baz, merr n konsiderat synimin q ai mundsisht t arrihet nga t gjithnxnsit. Nxnsit e arrijn kt nivel kur jan n gjendje t zbatojn proceduratrutin q ndeshen shpesh n orn e msimit. Kta nxns prkufizojn konceptet,rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime t thjeshta, duke imituarmodele t ndryshme; riprodhojn pjes nga materiali msimor teorik; prdorinmetoda tradicionale arsyetimi dhe t zgjidhjes s problemeve; realizojn detyra pasynuar zgjerim e thellim t mtejshm; komunikojn e bashkveprojn me shoktdhe msuesin.

Niveli mesatar, merr n konsiderat synime tej procedurave rutin apo imituese.Nxnsit e ktij niveli marrin prsipr zgjidhjen e detyrave m komplekse, dukekombinuar njohurit q ata disponojn. Kta nxns jo vetm riprodhojntrsisht materialin e msuar, por edhe shqyrtojn ligjsit, identifikojnproblemet, duke br dallimin ndrmjet njohurive esenciale nga ato t dors sdyt. Kta nxns prdorin njohurit teorike, duke zgjidhur detyra jo vetm sipasmodeleve, por edhe m komplekse. E rndsishme sht q me kta nxns t

synohet q ata t mund t nxjerrin vet konkluzione. Kta nxns njkohsishtdemonstrojn aftsi t komunikimit afektiv dhe t bashkveprimit.


10/177


Niveli i lart, ka pr objektiv jo vetm t kuptuarit apo riprodhimin e materialitmsimor, por prpunimin e tij, zbatimin n mnyr t pavarur e krijues, n situatat reja, t panjohura m par pr to.

Kta nxns duhet t jen n gjendje t sintetizojn njohurit, shkathtsit, tprcaktojn rrugt e mnyrat e veprimit, t parashikojn pasojat, t vlersojnqndrimet nga kndvshtrime t ndryshme.

Prshkrimi i niveleve t arritjeve sipas komponentveKomponenti Prshkrimi i

komponentitNiveli I-r i

arritjeveNiveli i II-t i

arritjeveNiveli i III-t

i arritjeveNjohuritmatematike

Terminologjia dhesimbolika.Prkufizimet e

koncepteve.Faktet matematike(aksioma, teorema,formula, rregulla).Metodat matematike (tzgjidhjes, njehsimit,ndrtimit, vrtetimit).

Zotrim injohurive bazn shkalln

minimale;zotrim ipjesshm injohurive,ilustrim me 1-2shembuj

Zotrim solidi njohurive,ilustruar me

shembuj tshumt.

Zotrimnjohurish tgjra, tplota,ilustruar meshembuj tlarmishmnga kontekstet ndryshme.

Aftsitmatematike

Pr identifikim,prshkrim, shpjegim,zbatim, analiz, sintez,vlersim, formulim

hipoteze, vrtetim.

Shfaqje ekufizuar eaftsive.

Shfaqjeaftsish tzhvilluara nsituata t

njohura.

Shfaqje taftsive tzhvilluara nsituata t reja,n mnyr tpavarur.

Zotsit,shkathtsit,shprehitmatematike

Pr t kryer:Njehsime, matje,ndrtime, skicime,zgjidhje, prdorim tburimeve tinformacionit, prdorimt teknologjis, lexim tmodeleve numerike ehapsinore, krijim tmodeleve numerik dhehapsinor

Shfaqje tkufizuara.

Shfaqjesolide.

Shfaqje tavancuara.

Qndrimetdhe vlerat

Pjesmarrje n diskutim,bashkpunim, krkim edhnie ndihme,verifikim, respektim imendimit t t tjerve,marrje e prgjegjsivepersonale, vmendje,demonstrim vullneti,respektim i rregullave,

prmbushje e detyrave.

Tentativa pr tmbajturqndrime tcaktuara;zotrim minimali vlerave.

Arritje pr tmbajturqndrime tcaktuara;zotrim ivleravekryesore.

Mbajtjeqndrimesht pavarura;marrja eprgjegjsivembi vete;zotrim itrsis s

vlerave.


11/177


Tre nivelet e arritjeve t nxnsve n matematik, sipas tri kategorivekryesore: (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimimatematik)

Niveli I

Nxnsi zgjidh probleme:

me ndihmn e msuesit;

me ann e nj numri t kufizuar metodash;

me gabime ose me mangsi t shumta.

Nxnsi prdor arsyetime matematike:


q jan nga m t thjeshtat;

me gabime ose mangsi.

Nxnsi i komunikon njohurit matematike:


me nj mnyr t paqart dhe t pasakt;

duke prdorur rrall terminologjin e prshtatshme matematike.

Niveli II


me ndihm t kufizuar t msuesit;

me ann e nj numri jo t madh strategjish bazale;

me gabime ose me mangsi t pjesshme.


me nj ndihm t kufizuar t msuesit;

t prshtatshme pr zgjidhjen e problemave;

me disa gabime ose mangsi t vogla.


n mnyr t pavarur;

me nj far qartsie e saktsie n terminologji;

duke prdorur her pas here simbolikn e prshtatshme matematike.


12/177


Niveli III


n mnyr t pavarur;

duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji q jan t reja pr t;

zakonisht me saktsi.


n mnyr t pavarur;

t prshtatshme pr zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguarzgjidhjen q jep vet.


n mnyr t pavarur;

qart dhe sakt;

duke prdorur terminologjin dhe simbolikn e prshtatshme matematike.


13/177


PRMBAJTJA E LNDS N TEKST

KREU 1 VAZHDUESHMRIA E FUNKSIONIT

1.1 Prsritje. Limitet e funksioneve kur x.

1.2 Prsritje. Limitet e funksioneve kur xa.

1.3 Limitet e njanshme.

1.4 Prkufizimi i funksionit t vazhdueshm.

1.5 Veprimet me funksionet e vazhdueshm.

1.6 Vazhdueshmria e funksioneve t zakonshm.1.7 Veti t funksioneve t vazhdueshm n nj segment. Zbatoni njohurit tuaja

1.8 Testim

KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT

2.1 Probleme q ojn n kuptimin e derivatit.

2.2 Derivatet e funksioneve t thjeshta.

2.3 Derivati si shpejtsi e ndryshimit t funksionit.

2.4 Mnyr tjetr pr gjetjen e derivatit.

2.5 Rregullat e derivimit.

2.6 Rregullat e derivimit.

2.7 Prafrimet e funksioneve.

2.8 Ushtrime pr prpunim t njohurive.

2.9 Tangjentja n nj pik t vijs. Kuptimi gjeometrik i derivatit.2.10 Ushtrime pr prpunim t njohurive.

2.11 Derivatet e funksioneve logaritmik, fuqi, eksponencial, trigonometrik.

2.12 Derivatet e rendit t dyt. Diferenciali. Zbatoni njohurit tuaja

2.13 Derivati i funksionit t prbr.



2.16 Testim


14/177


KREU 3 ZBATIME T DERIVATEVE

3.1 Teorema Ferma. Teorema e Lagranzhit.

3.2 Studimi i monotonis s funksionit.3.3 Zbatime pr prpunim t njohurive.

3.4 Kushte t mjaftueshme t ekzistencs s ekstremumeve.

3.5 Zbatime pr prpunim t njohurive.

3.6 Vlera m e madhe (m e vogl) e funksionit t vazhdueshm.

3.7 Probleme n krkim t vlers m t madh (m t vogl) t funksionit.

3.8 Problema pr prpunim t njohurive. Zbatoni njohurit tuaja

3.9 Prkulshmria e vijs. Pikat e infleksionit.

3.10 Variacioni i funksionity=ax2+bx+c.

3.11 Variacioni i funksionity=ax3+bx2+cx+d.

3.12 Variacioni i funksionity=ax4+bx2+c.

3.13 Variacioni i funksionitax b

ycx d

3.14 Ushtrime pr prpunim t njohurive.3.15 Testim

KREU 4 VIJAT E GRADS S DYT. RRETHI DHE ELIPSI

4.1 Prkufizimi i rrethit dhe ekuacioni i tij.

4.2 Raste t veanta t ekuacionit t rrethit.


4.4 Ekuacioni i tangjentes dhe pingules n nj pik t rrethit.

4.5 Kushti i tangjencs s drejtzs me rrethin.


4.7 Elipsi dhe ekuacioni i tij.


4.9 Jashtqendrsia e elipsit.

4.10 Rrezet vatrore t elipsit.


15/177


4.11 Vijat drejtuese t elipsit.

4.12 Gjendja e ndrsjell e drejtzs dhe elipsit.

4.13 Ekuacioni i tangjentes n nj pik t elipsit. Zbatoni njohurit tuaja4.14 Ushtrime pr prpunim t njohurive.

4.15 Testim

KREU 5 VIJAT E GRADS S DYT. HIPERBOLA DHE PARABOLA

5.1 Hiperbola dhe ekuacioni i saj.

5.2 Jashtqendrsia e hiperbols. Hiperbola barabrinjse.


5.4 Rrezet vatrore dhe vijat drejtuese t hiperbols.

5.5 Gjendja e ndrsjell e drejtzs dhe hiperbols.

5.6 Ekuacioni i tangjentes n nj pik t hiperbols.


5.8 Parabola simetrike n lidhje me boshtin e abshisave.

5.9 Parabola simetrike n lidhje me boshtin e ordinatave.

5.10 Gjendja e ndrsjell e drejtzs dhe parabols.

5.11 Ekuacioni i tangjentes n nj pik t parabols.



5.14 Testim

KREU 6 INTEGRALI I PACAKTUAR

6. 1 Kuptimi i integralit t pacaktuar.

6. 2 Veti t integralit t pacaktuar. Zbatoni njohurit tuaja

6. 3 Metoda e zvendsimit.

6. 4 Metoda e zvendsimit (vazhdim).

6. 5 Metoda e integrimit me pjes.

6. 6 Ushtrime pr prpunim t njohurive.


16/177


6. 7 Integrimi i thyesave racionale. Zbatoni njohurit tuaja

6. 8 Metoda t kombinuara integrimi.

6. 9 Ushtrime pr prpunim t njohurive.

KREU 7 INTEGRALI I CAKTUAR

7.1 Kuptimi i integralit t caktuar.

7.2 Veti t integralit t caktuar.


7.4 Llogaritja e siprfaqeve.




7.8 Testim

KREU 8 KOMBINATORIK. PROBABILITET. STATISTIK

8.1 Prsritje. Parimi i mbledhjes dhe shumzimit. Prkmbimet. Dispozicionet.

8.2 Prsritje. Kombinacionet.

8.3 Veti t koeficientve binomial. Zbatoni njohurit tuaja.

8.4 Probabiliteti.


8.6 Probabiliteti i bashkimit t ngjarjeve.

8.7 Probabiliteti i prerjes s ngjarjeve.8.8 Ushtrime pr prpunim t njohurive.


8.10 Tabelat me dy ndryshore.

8.11 Prsritje. Mesatarja dhe dispersioni.

8.12 Ndryshoret e rastit.

8.13 Ndryshoret e rastit (vazhdim)



17/177


8.15 Funksioni i shprndarjes.

8.16 Pritja matematike.

8.17 Shmangia mesatare katrore. Dispersioni.8.18 Ushtrime pr prpunim t njohurive.

KREU 9 ZBATIME T MATEMATIKS N SHKENCAT E TJERA

9.1 Funksioni n shkencat e natyrs.

9.2 Lkundja harmonike.

9.3 Krkesa dhe oferta.

9.4 Funksioni n modelimet ekonomike.

9.5 Kuptimi mekanik i derivatit t funksionit.

9.6 Kuptimi mekanik i derivatit t dyt t funksionit.

9.7 Interpretimi ekonomik i derivatit.

9.8 Vetit optike t konikeve.

9.9 Problema zbatimi.

9.10 Problema zbatimi. Zbatoni njohurit tuaja

KREU 10 PRGATITJA PR PROVIMIN E MATURS

11. Projektet kurrikulare


18/177


OBJEKTIVAT SIPAS KRERVE

(N TRE NIVELE)

KREU 1 VAZHDUESHMRIA E FUNKSIONIT

Niveli I

N mbarim t kreut, nxnsit t jen n gjendje:

T dallojn nga grafiku nse kemix

lim f(x)= , ku sht aa ,,, ,

kurse sht ,, ( R ).

T skicojn grafik funksionesh q gzojn vetin e msiprme.

T gjejn limitet e njanshme, kur a t nj polinomi apo funksioniracional konkret.

T gjejn limitet e njanshme kur ax pr funksione t dhn n trajtn

y=

axprxg

axprxf

)(

)(, ku f(x), g(x) jan polinome apo shprehje racionale t

thjeshta.

T prcaktojn pr funksione t trajts s msiprme, nse kan limit kurax , duke krahasuar limitet e njanshme.

T dallojn nga grafiku nse nj funksion konkret sht i vazhdueshm prx=a.

T dallojn nse nj funksion i dhn grafikisht sht i vazhdueshm n ]a, b[.

T dallojn nse nj funksion i thjesht, i dhn me nj formul t vetme, sht ivazhdueshm prx=a.

Kur f(x), g(x) jan polinome apo shprehje racionale t thjeshta, t dallojn nse

funksioni y=

axprxg

axprxf

)(

)(sht i vazhdueshm prx=a.

T prdorin n raste t thjeshta teoremat mbi veprimet me funksionet evazhdueshm.

T dallojn nse nj funksion i dhn sht i zakonshm.

T japin shembuj funksionesh t zakonshm.

T gjejn bashksin e prcaktimit t funksioneve t zakonshm shum tthjesht.

T gjejn bashksin ku sht i vazhdueshm nj funksion i zakonshm shum ithjesht.


19/177


T gjejn limitin e nj funksioni t vazhdueshm t thjesht n nj pik tbashksis s prcaktimit.

Niveli II

N mbarim t kreut nxnsit t jen n gjendje:

T formulojn sakt prkufizimet e koncepteve kryesore.

T riprodhojn sakt e me argumentim vrtetimet e teoremave t dhna ntekst.

T gjejn limitet e njanshme kur ax pr funksione t thjeshta t trajts

y=

axprxgaxprxf

)()( , kur kemi t bjm me forma t pacaktuara t thjeshta.

T prcaktojn nse funksionet e siprprmendura jan t vazhdueshm npiknx=a.

T gjejn bashksin ku sht i vazhdueshm nj funksion i zakonshm.

Niveli III


T gjejn limitet e njanshme kur ax pr funksione t trajts

y=

axprxg

axprxf

)(

)(, kur kemi t bjm me forma t pacaktuara jo standarde.

T prcaktojn nse funksionet e trajts s msiprme jan t vazhdueshmprx=a.

T shkruajn n mnyr t prshtatshme nj funksion t dhn kompleks (me

an t veprimeve aritmetike apo prbrjes) pr t konkluduar q ai sht ivazhdueshm prx=a.

T gjejn bashksin ku sht i vazhdueshm nj funksion i zakonshm jostandard.

T nxjerrin nga teoremat e njohura rrjedhime logjike dhe ti vrtetojn ato.

T studiojn shenjn e nj funksioni t thjesht t vazhdueshm n [a, b].


20/177


KREU 2 DERIVATI I FUNKSIONIT

Niveli I


T gjejn, pr funksione shum t thjesht(y=ax+b, y=ax2+b), derivatin npikn a, sipas prkufizimit pr f (a).

T fiksojn n kujtes dhe t prdorin n zbatime direkte formulat pr

derivatet e funksioneve:y=ax+b,y=ax2+bx+c, y=x

a, y= xa .

T gjejn shpejtsin e astit pr pikn materiale q kryen lvizje drejtvizore

sipas boshtit Ox, n baz t nj ligji t thjesht t njohur. T gjejn shpejtsin e ndryshimit t madhsis y, me ndryshimin e x, kur

varsia eyngaxjepet me nj formul t thjesht.

Nse f nuk sht i vazhdueshm n pikn x=a, t konkludojn q f (a) nukekziston.

T japin shembuj funksionesh t vazhdueshm n a, q nuk kan derivat npikn a.

T zbatojn teoremat mbi derivatin e shums, prodhimit, raportit, fuqis pr tgjetur, sipas formulave t njohura, derivatin n pikn x t funksioneve tthjesht.

T gjejn derivatin n piknxt polinomit konkret me fuqi t fardoshme.

T prcaktojn nse pika a i prket bashksis s prcaktimit t funksionitracional thyesor dhe pastaj t gjejn derivatin e ktij funksioni prx=a.

T shkruajn ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut t nj funksioni t thjeshtn piknx=a.

T fiksojn n kujtes dhe t prdorin n zbatimet direkte formulat prderivatin n pikn x t funksioneve: y= xoga , y= nx , y=

xa , y= xe , y=sinx,

y=cosx,y=tgx.

T njehsojn derivatin e dyt t nj funksioni shum t thjesht n piknxapon nj pik t dhn.

T njehsojn nxitimin e piks materiale q kryen lvizje sipas Oxn baz tnj ligji shum t thjesht t njohur.

T njehsojn diferencialin e nj funksioni t thjesht t derivueshm n piknx.

T gjejn derivatin n piknx t funksionit t prbr me dy hallka.


21/177


T fiksojn n kujtes formulat pr derivatet e funksioneve t prbr kryesor

n trajtn y(x)= )(')(' xuufu , p. sh. 'sin xu =cosuu(x) etj.

Niveli II


T gjejn, sipas prkufizimit, derivatin n piknxpr funksionin:

y=ax2+bx+c,y=ax3,y=a

,y= xa .

T gjejn shpejtsin e astit pr pikn materiale q kryen lvizje sipas boshtitOx, n baz t ligjitx=f(t), ku f-funksion i zakonshm.

T gjejn pr funksione t thjesht f (a) siax

limax

afxf

)()(.

T interpretojn gjeometrikisht mosekzistencn e f (a) kur f nuk sht ivazhdueshm nx=a.

T riprodhojn vrtetimet pr teoremat e paraqitura n tekst, q shprehinrregullat e derivimit.

T nxjerrin prej tyre rrjedhime t thjeshta dhe ti vrtetojn ato. T prdorin rregullat e derivimit pr t gjetur derivatet n pikn x t

funksioneve t zakonshm.

T vrtetojn barazimin e prafrt f(x+h)=f(x)+hf (x) dhe ta prdorin at nraste t thjeshta.

T shkruajn ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut t funksionit f n pikn a,kur f sht funksion i zakonshm.

T dallojn nga grafiku nse nj funksion nuk ka derivat n piknx=a. T prdorin formulat pr derivatet e funksioneve logaritmik, fuqi,

eksponencial, trigonometrik n situata t thjeshta praktike, sidomos kurshqyrtohet shpejtsia e nj procesi apo tangjentja ndaj nj vije transhendente.

T riprodhojn vrtetimet e dhna n tekst pr disa teorema pr derivatet ektyre funksioneve.

T njehsojn derivatin e dyt n nj pikxpr nj funksion t zakonshm.

T njehsojn nxitimin e piks materiale q lviz sipas Ox n baz t ligjit

x=f(t), ku f-funksioni i zakonshm.


22/177


T vrtetojn e t kryejn shndrrime t thjeshta t diferencialit.

[p. sh. )(1

cxd

c

dx ; )(

2

1 2xdxdx etj. ]

T gjejn derivatin n piknxpr nj funksion t prbr me tri hallka.

Niveli III


T prdorin faktin q shpejtsia e ndryshimit t y me ndryshimin e x, kury=f(x) jepet nga f (x), n situata reale komplekse e jo standarde.

T gjejn f (x) siax

lima

afxf

)()( n raste jo standarde.

T vrtetojn teoremn mbi derivatin e raportit.

T zbatojn barazimin e prafrt f(x+h)=f(x)+hf (x) n raste komplekse e jostandarde.

T zgjidhin problema me kuptimin gjeometrik t derivatit n situata jostandarde.

T nxjerrin me vrtetim formulat pr derivatet e t gjitha funksionevetrigonometrik.

T njehsojn derivatin e dyt t funksioneve t prbr t thjesht dhe taprdorin at n situata matematike e reale jo standarde.

T gjejn derivatin n pikn x pr funksione t prbr me m shum se trihallka.

T zbatojn njohurit n situata reale e matematikore jo standarde.

KREU 3 ZBATIME T DERIVATEVE

Niveli I


T dallojn nga grafiku nse nj funksion ka ekstremum prx=a.

T prcaktojn intervalet e monotonis pr funksione shum t thjesht (sipolinomet e fuqis II-III), nprmjet studimit t shenjs s derivatit.

T gjejn ekstremumet e nj funksioni shum t thjesht t derivueshm (sipolinomet e fuqis II-III) n nj interval.


23/177


T gjejn vlern m t madhe (m t vogl) n segment pr funksione shumt thjesht t derivueshm (si polinomet e fuqis II-III).

T modelojn matematikisht situata shum t thjeshta (reale apomatematikore) me krkim t vlers m t madhe (m t vogl).

T zbatojn n kto situata metodn e prgjithshme t zgjidhjes, q shtanalizuar n tekst (duke ndjekur hapat sipas radhs).

T studiojn prkulshmrin e grafikut dhe t gjejn pikat e infleksionit prfunksione shum t thjesht (si polinomet e fuqis II-III), nprmjet studimitt shenjs s derivatit t dyt.

T studiojn, sipas metods me 9 hapa, variacionin e nj funksioni t fuqis II

dhe t skicojn grafikun e tij. T ndrtojn tabeln e variacionit t nj funksioni n baz t grafikut t njohur

t tij.

T studiojn variacionin dhe t skicojn grafikun e nj funksioni t thjesht tfuqis III (kur gjenden leht pikprerjet me boshtin Ox).

T shkruajn ekuacionet e asimptotave t nj funksioni homografik.

Niveli IIN mbarim t kreut nxnsit t jen n gjendje:

Pr funksione t thjesht t derivueshm n I t gjejn pikn c, q vrtetonbarazimin e Lagranzhit f(b)-f(a)=f (c)(b-a).

T bjn interpretimin gjeometrik t teorems s Lagranzhit.

T prcaktojn intervalet e monotonis pr funksione t thjesht t

derivueshm (prfshir funksionet racional) apo t trajtsy= 2 2ax x a .

T gjejn ekstremumet e funksioneve t till. T prdorin n raste t thjeshta (prfshir funksionet trigonometrik) teoremat

pr gjetjen e ekstremumeve, duke prdorur derivatin e dyt.

T gjejn vlern m t madhe (m t vogl) pr nj funksion t thjesht tderivueshm n segment (prfshir funksione racional e t trajts

y= dcxbxax 2 ).

T modelojn matematikisht situata t thjeshta (reale apo matematikore) me

krkim t vlers m t madhe (m t vogl).


24/177


T studiojn pr funksione t thjesht (prfshir funksione homografik apo t

trajts y= 2 2x x a ) prkulshmrin e grafikut nprmjet studimit t shenjs

s derivatit t dyt. T gjejn pikat e infleksionit pr funksione t till.

T studiojn variacionin e nj funksioni fardo t fuqis III ose IV, me an tmetods me 9 hapa.

T ndrtojn grafikun e nj funksioni t till.

T studiojn variacionin dhe t ndrtojn grafikun e nj funksioni homografik

y=dcx

bax

.

T skicojn grafikun e nj funksioni fardo, kur njohin tabeln e variacionitt tij.

Niveli III


T nxjerrin dhe t vrtetojn rrjedhime logjike t teorems s Lagranzhit.

T studiojn monotonin e nj funksioni t zakonshm, nprmjet studimit tshenjs s derivatit.

T gjejn ekstremumet e nj funksioni t zakonshm, duke prdorur derivatine par apo t dyt.

T gjejn vlern m t madhe (m t vogl) n I pr nj funksion tzakonshm t derivueshm n t.

T studiojn prkulshmrin e grafikut dhe t gjejn pikat e infleksionit prnj funksion t zakonshm.

T interpretojn grafikisht numrin dhe shenjat e rrnjve reale t ekuacionitf(x)=m, ku f-polinom deri tek fuqia IV apo funksion racional i thjesht.

T prcaktojn nse pika C (a, b) sht qendr simetrie pr grafikun e njfunksioni t dhn f.

T prcaktojn nse drejtza x=a sht bosht simetrie pr grafikun e njfunksioni t dhn f.

T modelojn matematikisht situata t reja e jo standarde me krkim t vlersm t madhe (m t vogl).


25/177


KREU 4 RRETHI DHE ELIPSI

Niveli I


T prshkruajn kuptimin e ekuacionit t vijs n planin kartezian.

T dallojn drejtzn si vij q n planin kartezian paraqitet me nj ekuaciont fuqis s par me dy ndryshore.

T shkruajn ekuacionin e rrethit kur njihet qendra e tij C (a, b) dhe rrezja r.

Pr rrethin x2+y2=r2 t prshkruajn veti t thjeshta (qendra, boshtet esimetris, prerjet me boshtet koordinativ).

T prcaktojn pozicionin e nj pike me koordinata t dhna n lidhje merrethinx2+y2=r2.

T gjejn prerjen e rrethitx2+y2=r2me nj drejtz.

T shkruajn ekuacionin e tangjentes n nj pik t rrethit x2+y2=r2 dhe taprdorin n raste t thjeshta.

T prdorin kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me rrethin x2+y2=r2 nraste te thjeshta.

T prshkruajn vetin vatrore t elipsit. T shkruajn ekuacionin e elipsit me qendr origjinn e koordinatave dhe me

boshte simetrie Ox, Oy, kur njihen gjysmboshtet; kur njihet nj nga boshtetdhe largsia vatrore.

T gjejn pr elipsin me ekuacion kanonik 12

2

2

2

b

y

a

xpikprerjet me

boshtet; qendrn; boshtet e simetris; vatrat.

T gjejn pr elipsin 12

2

2

2

b

y

a

x

jashtqendrsin dhe ekuacionet e vijave

drejtuese.

T skicojn elipsin 12

2

2

2

b

y

a

xdhe t shqyrtojn si ndryshon forma e tij kur

ndryshon jashtqendrsia.

T gjejn abshisat (ordinatat) e pikave t elipsit kur njihet ordinata (abshisa).

T gjejn prerjet e elipsit 12

2

2

2

b

y

a

x

me drejtzny=kx.


26/177


T shkruajn ekuacionin e tangjentes ndaj elipsit 12

2

2

2

b

y

a

xn nj pik t tij

dhe ta prdorin n raste t thjeshta. T prdorin n raste t thjeshta kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me

elipsin 12

2

2

2

b

y

a

x.

Niveli II


T identifikojn grafikun e nj funksioni numerik f si vij me ekuaciony=f(x). T argumentojn mnyrn pr gjetjen e pikprerjes s dy vijave me ekuacione

t dhna.

T nxjerrin me vrtetim ekuacionin e rrethit kur njihet qendra dhe rrezja e tij.

T gjejn, kur ekuacioni i rrethit jepet n trajtn x2+y2+ax+by+c=0, qendrndhe rrezen.

T gjejn prerjen e rrethit (x-a)2+(y-b)2=r2me nj drejtz (n veanti, prerjet

me boshtet koordinativ). T studiojn vetit e thjeshta (simetri, vendndodhje) pr rrethin

(x-a)2+(y-b)2=r2.

T vrtetojn sakt kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me rrethinx2+y2=r2.

T japin sakt prkufizimin e elipsit sipas vetis vatrore.

T shkruajn ekuacionin e elipsit 12

2

2

2

b

y

a

x, kur njihen dy pika t tij.

T riprodhojn vetit e thjeshta, t dhna n tekst, pr simetrin,

vendndodhjen dhe formn e elipsit 12

2

2

2

b

y

a

x.

T gjejn prerjen e elipsit 12

2

2

2

b

y

a

xme drejtzn Ax+By+C=0.

T prshkruajn vetin e vijs drejtuese t elipsit.


27/177


T prdorin n raste t thjeshta formulat pr rrezet vatrore t nj pike t elipsit

12

2

2

2

b

y

a

x.

T nxjerrin me vrtetim ekuacionin e tangjentes n nj pik t elipsit

12

2

2

2

b

y

a

x.

T nxjerrin me vrtetim kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me elipsin

12

2

2

2

b

y

a

xe ta prdorin n situata t zakonshme.

T ndrtojn praktikisht elipsin me vatra t dhna e bosht t madh t dhn.

Ti prdorin njohurit pr modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemavet thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vet matematika.

Niveli III


T formulojn n trajta t njvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bredhe vrtetimet prkatse.

T prcaktojn kushtet pr t cilat ekuacionix2+y2+ax+by+c=0 paraqet rreth.

T bjn studim t plot pr pozitn reciproke t dy rrathve me qendra e rrezet njohura.

T shkruajn ekuacionin kanonik t elipsit 12

2

2

2

b

y

a

x, kur jepen element

fardo prcaktues t tij.

T prcaktojn pozicionin e nj pike me koordinata t dhna lidhur me elipsin

12

2

2

2

b

y

a

x.

T gjejn ekuacionin e tangjentes nga nj pik jasht elipsit 12

2

2

2

b

y

a

x.

T prdorin kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me elipsin 12

2

2

2

b

y

a

x

n situata t reja, jo standarde.


28/177


T zgjidhin problema me gjetje t ekuacioneve t vijave t dhna me kushtegjeometrike, n rastet kur kto vija dalin rrath apo elipsa.

Ti prdorin njohurit pr modelim dhe zgjidhje t situatave t reja, jostandarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika.

KREU 5 HIPERBOLA DHE PARABOLA

Niveli I


T prcaktojn nse nj pik me koordinata t njohura ndodhet n nj vij meekuacion t njohur.

T prshkruajn vetin vatrore t hiperbols.

T shkruajn ekuacionin kanonik t hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x, kur njihen:

a) gjysmboshtet;

b) njri nga boshtet dhe largsia vatrore;

c) njri nga boshtet dhe ekuacionet e asimptotave.

T gjejn abshisat (ordinatat) e pikave t hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x, kur njihet

ordinata (abshisa) e tyre.

T gjejn, pr hiperboln me ekuacion kanonik 12

2

2

2

b

y

a

x, pikprerjet me

boshtet, boshtet e simetris, vatrat, ekuacionet e asimptotave.

T gjejn pr hiperboln 12

2

2

2

b

y

a

xjashtqendrsin dhe ekuacionet e

vijave drejtuese.

T skicojn hiperboln 12

2

2

2

b

y

a

xdhe t shqyrtojn si ndryshon forma e saj

kur ndryshon jashtqendrsia.


29/177


T shkruajn ekuacionin e tangjentes ndaj hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

xn nj pik

t saj dhe ta prdorin n raste t thjeshta. T prdorin n raste t thjeshta kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me

hiperboln 12

2

2

2

b

y

a

x.

T prshkruajn vetin e vijs drejtuese t parabols.

T shkruajn ekuacionin e parabols me kulm n origjin e bosht simetrie Oxkur njihet:

a) vatra;

b) ekuacioni i vijs drejtuese;

c) nj pik.

T bjn t njjtn gj pr paraboln me kulm n origjin e bosht simetrie Oy.

T gjejn, n baz t ekuacionit t dhn t parabols (y2=2px apo x2=2py)vatrn, vijn drejtuese, boshtin e simetris.

T skicojn paraboln dhn me ekuaciony2=2pxapo x2=2py.

T gjejn pr pikn e parabolsy2

=2pxapox2

=2pynjrn nga koordinatat, kurnjihet koordinata tjetr.

T gjejn pikat e prerjes s parabols (y2=2pxapo x2=2py) me nj drejtz meekuacion t dhn.

T shkruajn ekuacionin e tangjentes n nj pik t parabols(y2=2px apox2=2py) dhe ta prdorin n raste t thjeshta.

T prdorin n raste t thjeshta kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t meparaboln (y2=2pxapox2=2py).

Niveli II


T japin sakt prkufizimin e hiperbols sipas vetis vatrore.

T shkruajn ekuacionin e hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x, kur njihen:

a) dy pika;

b) largesa vatrore dhe ekuacionet e asimptotave;


30/177


c) nj pik dhe ekuacionet e asimptotave.

T riprodhojn vetit e thjeshta, t dhna n tekst, pr simetrin,

vendndodhjen dhe formn e hiperbols 12

2

2

2

by

ax .

T prshkruajn vetin e vijs drejtuese t hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x.

T prdorin n raste t thjeshta veti t veanta t hiperbols barabrinjse2 2

2 21

x y

a a .

T fiksojn n kujtes dhe t prdorin n raste t thjeshta formulat pr rrezet

vatrore t nj pike t hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x.

T nxjerrin me vrtetim ekuacionet e tangjentes n nj pik t hiperbols

12

2

2

2

b

y

a

x.

T nxjerrin me vrtetim kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me

hiperboln 12

2

2

2

b

y

a

xe ta prdorin n situata t zakonshme.

T japin sakt prkufizimin e parabols sipas vetis s vijs drejtuese.

T riprodhojn vetit e thjeshta, t dhna n tekst, pr simetrin,vendndodhjen dhe formn e parabolsy2=2px.

T bjn t njjtn gj pr parabolnx2=2py.

T nxjerrin me vrtetim ekuacionin e tangjentes n nj pik t parabols(y2=2pxapox2=2py).

T nxjerrin me vrtetim kushtin e tangjencs s drejtzsy=kx+t me paraboln(y2=2pxapox2=2py) e ta prdorin n situata t zakonshme.

Ti prdorin njohurit pr modelimin matematik dhe zgjidhjen e problemevet thjeshta nga jeta reale, shkencat e zbatuara dhe vet matematika.

Niveli III


T vrtetojn me rrug t reja disa nga teoremat e njohura.


31/177


T prcaktojn kushtet pr t cilat drejtza y=kx+t pret hiperboln

12

2

2

2

b

y

a

x.

T shkruajn ekuacionin kanonik t hiperbols 12

2

2

2

b

y

a

x, kur jepen

element fardo prcaktues t saj.

T prdorin kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me hiperboln

12

2

2

2

b

y

a

xn situata t reja, jo standarde.

T nxjerrin me vrtetim ekuacionin e parabolsy2=2px.

T shkruajn ekuacionin e tangjentes nga nj pik jasht parabols (y2=2pxapox2=2py).

T prdorin kushtin e tangjencs s drejtzs y=kx+t me paraboln (y2=2pxapox2=2py) n situata t reja, jo standarde.

T zgjidhin problema me gjetje t ekuacioneve t vijave t dhna me kushtegjeometrike, n rastet kur kto vija dalin hiperbola apo parabola.

Ti prdorin njohurit pr modelim dhe zgjidhje t situatave t reja, jo

standarde, nga jeta, shkencat e zbatuara dhe matematika.

KRERT 6-7 INTEGRALI I PACAKTUAR; INTEGRALI ICAKTUAR

Niveli I


T japin sakt prkufizimin e primitivit s nj funksioni.

T vrtetojn q nse F sht primitiv i f, ather edhe F+c sht primitiv i f.

T prdorin drejt simbolikn dxxf )( .

T shkruajn dhe t prdorin n zbatime direkte vetit e integralit t pacaktuar.

T prdorin shndrrime t thjeshta t diferencialit (si dx=d(x+a); dx= )(1

cxdc

),

pr t gjetur integrale t pacaktuar t thjesht.


32/177


T fiksojn n kujtes dhe t prdorin n zbatime direkte tabeln themelore tintegraleve.

T njehsojn integralin e pacaktuar t nj polinomi konkret. T njehsojn integrale t pacaktuar t formave:

axdxsin , axdxcos , dxeax

, baxdx

.

T prdorin metodn e zvendsimit n raste shum t thjeshta, kur sugjerohetzvendsimi )(xu apox=f(t).

T prdorin metodn e integrimit me pjes n raste shum t thjeshta, duke

integruar vetm nj her e kur jepet sugjerimi )(xu

; dxxdv )(

. T shkruajn dhe t prdorin n zbatime direkte vetit e thjeshta t integralit t

caktuar.

T prdorin n raste shum t thjeshta formuln e Njuton-Laibnicit pr

b

a

dxxf )( , kur f(x) sht polinom, ose sinax, ose cosax, ose axe .

T njehsojn me ann e integralit t caktuar siprfaqen e trapezit vijprkulur,q kufizohet nga boshti Ox, drejtzatx=a,x=b dhe vijay=f(x), ku f(x)-polinom

ose sinax, ose cosax, ose axe dhe f(x)>0 n [a, b].

Niveli II


T vrtetojn q bashksia e primitivave t nj funksioni f jepet nga formulay=F(x)+c, ku F sht nj primitiv e funksionit f.

T vrtetojn vetit e integralit t pacaktuar. T vrtetojn t gjith shndrrimet kryesore t diferencialeve dhe ti prdorin

ato sistematikisht, duke kthyer integrale t thjesht n integrale tabelor.

T vrtetojn tabeln themelore t integraleve dhe ta prdorin at

sistematikisht n trajtn duuf )( , ku u-funksion i derivueshm.

T prdorin metodn e zvendsimit n raste t thjeshta, duke gjetur vetzvendsimin )(xu .


33/177


T prdorin metodn e integrimit me pjes, duke integruar vetm nj her printegrale t trajtave:

nxdxxP )( , cxdxbax sin)( , dxebaxcx

)( (P(x)-polinom).

T njehsojn integrale t trajts dx

bax

xP )(, duke br pjestimin e polinomit

P(x) me ax+b.

T japin prkufizimin e integralit t caktuar.

T vrtetojn vetit e thjeshta t integralit t caktuar.

T prdorin formuln e Njuton-Laibnicit n raste t thjeshta.

T njehsojn siprfaqen e trapezit vijprkulur n rastet kur f sht funksion ithjesht, por q nuk ruan shenj n [a, b].

T njehsojn siprfaqen e trapezit vijprkulur q kufizohet nga vijat y=f(x),y=g(x), ku f, g jan funksione t thjesht.

Niveli III


T kryejn shndrrime jo standarde t diferencialit pr t njehsuar integrale tpacaktuara.

T pasurojn tabeln themelore t integraleve me integrale t reja.

T prdorin metodn e zvendsimit n raste jo standarde.

T prdorin metodn e integrimit me pjes n raste jo standarde, dukeintegruar edhe m shum se nj her.

T njehsojn integrale t trajts dxcbxax

xP

2

)(

, ku P(x)-polinom i fuqis spar ose t dyt dhe trinomi ax2+bx+c ka dy rrnj reale.

T vrtetojn vetit e integralit t caktuar.

T prdorin formuln e Njuton-Laibnicit n rastet kur gjetja e primitivskrkon procedura jo standarde.

T vrtetojn formulat pr njehsimin e siprfaqeve t trapezave vijprkulur,n rastet e ndryshme teorike.

T njehsojn me an t integralit t caktuar siprfaqe figurash plane q kantrajta jo standarde.


34/177


KREU 8 KOMBINATORIK. PROBABILITET. STATISTIK

Niveli I


T zbatojn n raste t thjeshta teknika t ndryshme numrimi.

T zbatojn n raste t thjeshta parimin e shumzimit dhe at t mbledhjes.

T prdorin n raste t thjeshta barazimin CCkn

n

k

n

.

T gjejn n raste t thjeshta numrin e rezultateve t barasmundshme t njprove.

T gjejn probabilitetin e nj ngjarje t thjesht me rezultate tbarasmundshme, sipas prkufizimit klasik t probabilitetit.

T dallojn n raste t thjeshta ndryshoret e rastit diskrete.

T zbatojn n raste t thjeshta formuln pr funksionin e shprndarjes sndryshores s rastit diskrete.

T zbatojn n raste t thjeshta formuln pr gjetjen e pritjes matematike t njndryshore t rastit diskrete me numr t fundm vlerash.

T zbatojn n raste t thjeshta formuln pr dispersionin e nj ndryshore trastit diskrete me numr t fundm vlerash.

T ndrtojn tabela me dy hyrje duke shprehur dendurin e ifteve t vleravet mundshme t dy ndryshoreve, me t dhna nga jeta reale, n raste tthjeshta.

Niveli II


T zbatojn n situata t zakonshme teknika t ndryshme numrimi, dukeprfshir edhe diagramn pem.

T vrtetojn barazimin CCkn

n

k

n

e ta prdorin n situata t zakonshme.

T gjejn probabilitetin e nj ngjarje t zakonshme me barazmundsi trezultateve, sipas prkufizimit klasik t probabilitetit.

T prkufizojn ndryshoret e rastit diskrete e ti dallojn ato n situata tzakonshme.


35/177


T zbatojn n situata t zakonshme formuln pr funksionin e shprndarjes sndryshores s rastit diskrete.

T zbatojn n situata t zakonshme formuln pr pritjen matematike t njndryshore t rastit diskrete me numr t fundm vlerash.

T zbatojn n situata t zakonshme formuln pr pritjen matematike t njndryshore t rastit diskrete me nj numr t fundm vlerash.

T gjejn n situata t zakonshme dispersionin e nj ndryshoreje t till.

Tu japin prgjigje pyetjeve q krkojn sistemim e prpunim paraprak tinformacionit statistikor.

T ndrtojn n situata t zakonshme reale tabela me dy hyrje, duke shprehur

dendurin e gjith ifteve t kategorive t ndryshme t dy ndryshoreve.

Niveli III


T zbatojn teknika t ndryshme numrimi n situata t reja, jo standarde.

T vrtetojn vetit kryesore t koeficientve binomial e ti zbatojn ato nsituata t reja, jo standarde.

T interpretojn prkufizimin klasik t probabilitetit t nj ngjarje.

T prkufizojn ndryshoret e rastit t vazhdueshme dhe ti dallojn ato nsituata t reja, jo standarde.

T zbatojn n situata t reja, jo standarde, formuln pr funksionin eshprndarjes s ndryshores s rastit diskrete me numr t fundm vlerash.

T zbatojn n situata t reja, jo standarde, formuln pr pritjen matematike tnj ndryshore t rastit diskrete me numr t fundm vlerash.

T zbatojn n situata t reja, jo standarde, formuln pr dispersionin e njndryshore t till.

T ndrtojn tabela me dy hyrje, duke shprehur dendurin e gjith ifteve tvlerave apo t kategorive t ndryshme t dy ndryshoreve, n situata t reja, jostandarde.

T nxjerrin konkluzione pr shprndarjen e ndryshores s rastit diskrete, nbaz t studimit t dispersionit.


36/177


KREU 9 ZBATIME T MATEMATIKS N SHKENCAT ETJERA

Niveli I


T prdorin konceptet dhe shprehit matematike t msuara gjat viteve tgjimnazit, pr t zgjidhur problema t thjeshta nga shkencat social-ekonomikedhe ato t zbatuara me nj numr t kufizuar metodash, me ndihmn e ttjerve dhe me gabime ose me mangsi.

T prdorin sintezn n zgjidhjen e problemave standarde. T vrejn se si ligjsi dhe zbatime matematike kan ardhur si rezultat i

dukurive reale.

T prdorin gjat zgjidhjes s problemave arsyetime matematike t thjeshta.

T zotrojn element nga historiku i matematiks, t cilat lidhen me njohuritkryesore.

T njohin kontributin e disa matematicienve t shquar, q nga lashtsia derin ditt e sotme.

Niveli II


T prdorin konceptet dhe shkathtsit matematike t msuara gjat viteve tgjimnazit, pr zgjidhjen e problemave t zakonshme, duke prdorur disastrategji bazale, me pak gabime apo mangsi t pjesshme.

T prdorin analizn gjat zgjidhjes s problemave t zakonshme.

T interpretojn, duke prdorur konceptet dhe shkathtsit matematike tfituara, informacione t marra nga mjetet e informimit publik.

T prdorin gjat zgjidhjes s problemave arsyetime t prshtatshme, mendihm t kufizuar.

T zotrojn informacion sintetik e t qart pr evolucionin e matematiksndr vite, duke dalluar etapat e zhvillimit t saj.

T ken konceptim t qart pr metodn aksiomatike n matematik.


37/177


Niveli III


T prdorin konceptet dhe aftsit matematike t fituara gjat viteve tgjimnazit, pr t zgjidhur problema n situata t reja, duke prshtatur strategjiapo duke hartuar strategji, me saktsi.

T analizojn dukuri dhe prfundime t nxjerra nga shkencat e tjera, dukeprdorur formimin matematik t fituar.

T bjn diskutimin e problemave, duke kaluar n prgjithsime. T zgjidhin problemn me disa mnyra, duke prdorur me kreativitet njohuri

nga linjat qendrore t lnds.

T prdorin gjat zgjidhjes, arsyetime matematike n mnyr t pavarur dheadekuate.

T ken konceptim t qart mbi objektin e matematiks.

T ken konceptim t qart mbi faktort q ojn n lindjen dhe zhvillimin eteorive matematike, mbi lidhjen e ndrsjell midis induksionit e deduksionit

n kt proces.

T dallojn qart matematikn si shkenc nga matematika shkollore.


38/177


PLANIFIKIMI I MSIMIT

Plani msimor ditor sht nj detajim i paraprgatitur i elementeve t msimit

ditor, t renditura sipas radhs n t ciln do t kryhen.

Msuesi q e nnvlerson planin e msimit dhe improvizon vazhdimisht shtshum i ekspozuar ndaj rrezikut pr t zhvilluar msime t cekta, pa cilsi erendiment.

Nj dit msimi e suksesshme nuk arrihet pa nj plan t mir. Nuk ka rndsiformati q do t zgjidhet pr hartimin e planit, por fakti q plani i msimit tket nj ndrtim logjik, t jet i qart e i leht pr tu zbatuar.

Suksesi (e mos-suksesi) i nj ore msimi varet nga planifikimi i mir (i keq) dhe

nga aftsia (pa-aftsia) e msuesit pr realizimin e planit.

Nganjher msuesit me prvoj e nnvlersojn planin e msimit. Por asnjmsues nuk mund t prballoj mir nj or msimore pa menduar thell q mpar se far do t msojn nxnsit n orn e msimit dhe si do ta msojn at.

Msuesi detyrimisht duhet t dij mir se cilat jan objektivat e msimit, cilasht prmbajtja q do t trajtohet, cilat do t jen procedurat q do tndiqen dhe si do t zbatohen ato.

Ka msues q mendojn se jan m t suksesshme msimet e pastrukturuara, tpaplanifikuara. Ata besojn se nxnsit e gjejn rrugn e tyre drejt t msuarit tvrtet m mir n situata t tilla. Kjo tez sht shum e diskutueshme.Veanrisht msuesit e rinj duhet tu shmangen mendimeve t tilla, sepse msime tzhvilluara ashtu shpesh prfundojn n rastsi t padshirueshme dhe her-her nkaos.

Studiuesit sugjerojn q edhe msuesit me prvoj duhet ti kushtojn kujdesplaneve t tyre msimore, nse duan t vazhdojn t jen t suksesshm. Por atamund t mos e shkruajn planin e msimit n mnyr t hollsishme.

Planifikimi i kujdesshm siguron nj familjarizim t mir me prmbajtjen dhe ijep pr kt arsye msuesit besim e siguri tek vetja. Duke e ditur mir at q pobn, ai ballafaqohet lirshm me nxnsit, i jep msimit struktur, organizim evijueshmri, prdor n mnyr racionale kohn.


39/177


Elementet kryesore t planifikimit e prgatitjes s msimit

1. Przgjedhja e objektivave msimor

Objektivat msimor (t programit lndor, t kreut, t msimit) jan tre llojesh:

a) Pr njohurit (p.sh. t gjejn prodhimin kartezian t dy bashksive tfundme). Foljet q prdoren m shpesh pr ti karakterizuar kta objektiva jan:t gjejn, t prshkruajn, t njehsojn, t tregojn, t dallojn etj.

b) Pr aftsit (p.sh. t zbatojn njohurit mbi njvlershmrin pr t zgjidhurekuacione q sillen n trajtn ax+b=0). Foljet q prdoren m shpesh pr tikarakterizuar jan: t prdorin, t zbatojn, t krahasojn, t mbledhininformacion etj.

c) Pr qndrimet (p.sh. t vlersojn rolin e metods pr gjetjen e vleraveekstremale t funksionit n praktik). Foljet q prdoren m shpesh pr tikarakterizuar jan: t vlersojn, t diskutojn, t debatojn etj.

2. Przgjedhja e prmbajtjes s msimit

3. Przgjedhja e veprimtarive n msim

4. Przgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve pr msim

5. Parashikimi i mnyrs s drejtimit dhe t vlersimit t nxnsve.

Etapat pr t prgatitur nj plan ditor msimi

I. Para se t ulet pr t shkruar nj plan ditor, msuesi duhet t mendoj e tshnoj:

qartsimin e qllimit dhe t objektivave t msimit;

zbulimin e vlerave kryesore t msimit (pr tia paraqitur klass);

qartsimin e veprimtarive n orn e msimit, duke veuar veprimtarin

kulmore; przgjedhjen e metodave m t prshtatshme q do t prdoren;

przgjedhjen e materialeve ilustruese m t prshtatshme q ka n dispozicion;

przgjedhjen e teknikave m t mira t vlersimit;

parashikimin e puns me grupe a individ t veant.

parashikime pr lidhjen e msimit me temat e tjera t lnds apo me lndt etjera;

parashikimin e prdorimit t T. I. K.


40/177


II. Gjat hartimit t planit t msimit, msuesi duhet t mbaj parasysh ktoparime (pavarsisht nga formati i zgjedhur pr planin):

qllimi sht n prshtatje me objektivat lndore dhe objektivat e kreut; do objektiv msimor synon nj arritje t t nxnit;

msimi i planifikuar t jet i realizueshm;

veprimtarit msimore t mbshtesin objektivat e vna;

do veprimtarie i duhet ln koh e mjaftueshme;

Klasifikimi i msimeve

Msimet ndahen n dy lloje t mdha:

-Me shtjellim t njohurive t reja

-Pr prpunim t njohurive (ktu hyjn msimet pr ushtrime, pr punlaboratori, pr prsritje, pr testime, pr projekte kurrikulare etj.)

Shkurt pr prsritjen

Nprmjet msimeve t prsritjes msuesi i ndihmon nxnsit t vendosin rregulln morin e njohurive t sapomsuara, d.m.th., t nxjerrin n pah konceptet emetodat prshkuese t kapitullit dhe ato njohuri q duhet t ngulen fort n kujtes.

Ka rndsi shum t madhe metodologjia e prsritjes. Disa msues uparashtrojn vet nxnsve nj prmbledhje t kreut, duke besuar se ata e bjnkt m mir se sa vet nxnsit dhe n kt mnyr nxnsit prfitojn m mir.T tjer msues prpiqen t strvitin nxnsit q t prmbledhin ata vet at qkan msuar pr disa or msimore; u japin detyr t kalojn diagonalisht faqete tekstit, t mbajn shnim gjrat themelore, t mbajn shnim at ka nxnsit

nuk e kan fort t qart.Prsritja e nj kreu nuk ka qllim vetm nj rimarrje prmbledhtas t tij. Ajo kavler t madhe pr t vrejtur lidhjet midis njohurive, pr t qartsuar strukturn ekreut. Dihet q faktet mbahen mend m gjat e konceptet rishqyrtohen m thellduke i kqyrur ato n lidhjet e tyre t brendshme. Por prsritja shkon m tej,sepse shqyrtimi i strukturs s brendshme t kreut sht i mir, por jo imjaftueshm.

Dihet q njohurit e reja t nj kreu jan t lidhura me njohurit e kreutparaardhs, me lndn e zhvilluar n at vit, me lndn e zhvilluar n vitet e

mparshme, madje me lndn e zhvilluar n vitet e tjera. sht kryesisht prsritja


41/177


ajo q e vendos do njohuri t re n mozaikun e njohurive t lnds, t fushskurrikulare dhe t kurrikuls n trsi. N mnyr t gabuar disa msues eshkurtojn kohn e prsritjes apo e kthejn at n nj far konsultimi para

testimit pr nj apo disa kapituj.

Prsritja sht prher e domosdoshme, pasi vetm nprmjet saj nxnsit:

o nxjerrin n pah konceptet e faktet themelore,

o prvijojn strukturn e kreut (d.m.th., lidhjen midis koncepteve e faktevethemelore),

o integrojn njohurit e fituara me njohurit e mparshme.

M posht do t flasim kryesisht pr planifikimin e msimeve me shtjellim tnjohurive t reja.

Prshtatja e veprimtarive me nevojat msimore

Pas caktimit dhe prshkrimit t objektivave msimore prcaktohen veprimtaritmsimore, s bashku me mnyrn pr organizimin dhe drejtimin e tyre.

Pr zgjedhjen e veprimtarive udhhiqemi nga kto parime:

Msuesi ta zgjedh llojin e veprimtaris n prputhje me objektivat.Kshillohet t mos mbshtetet n nj metod t vetme, por n strategji etaktika q kombinojn modelet, metodat e procedurat.

Dallohen veprimtari hyrse, veprimtari motivuese pr t filluar msimin,veprimtari zhvilluese pr ta mbajtur msimin n proces, veprimtari kulmoreedhe veprimtari vlersuese.

Veprimtari t ndryshme mund t luajn role t ndryshme n procesin emsimit (disa jan t mira pr motivim, disa pr sqarim, disa pr zhvillimin eaftsive e disa jan multifunksionale).


42/177


Veprimtarit n msim duhet t zgjidhen n prshtatje me mundsit enxnsve, elasticitetin e tyre, stilin e t nxnit, sepse nxns t ndryshmreagojn n mnyra t ndryshme ndaj metodave t ndryshme.

Veprimtarit msuesi ti zgjedh duke marr n konsiderat edhe mundsit eplqimet e tij.

Pr organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktor t till sikoha, hapsira, pajisjet, shndeti dhe siguria.

Strategjit e taktikat e msimdhnies, q mishrohen n veprimtarit, t jen tprshtatshme pr shtjen dhe lndn q msohet.

Secila veprimtari t synoj t paktn njrin nga objektivat e msimit dhe pr

do objektiv t ket t paktn nj veprimtari q synon tek ai objektiv.

Veprimtarit sipas strukturs E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim)

Evokimi

N kt faz t msimdhnies nxnsit rikujtojn far din rreth tems. sht

faza ku nxnsi motivohet pr at far do t ndodh m pas. Shrben si urlidhse e njohurive q ka nxnsi me njohurit e reja q do t merren.

Realizimi i kuptimit

N kt faz merren njohurit e reja. Msuesi drejton dhe orienton drejt t nxnit.T gjitha veprimtarit kan t bjn me t kuptuarit e njohurive t reja. Nxnsivzhgon, eksperimenton, diskuton, bn pyetje, shkmben mendime etj.

Reflektimi

sht faza ku nxnsi do t shpreh idet, mendimet dhe prmbajtjen me fjalt etij. sht faza ku njohurit vihen n nj kontekst t ri. Aktivitetet ktu kankarakter krijues, analizues, prgjithsues, reflektues, vlersues etj. N kt fazkonsolidohet informacioni i ri.

Formati i planit msimit

N prgjithsi do plan ditor prbhet nga katr blloqe:


43/177


Objektivat

Metodologjia

Burimet e msimdhnie-msimnxnies Vlersimi

Kto blloqe mund t zbrthehen n disa formate

Modeli i propozuar nga IZHA (Instituti i Zhvillimit t Arsimit)

1. Tema e ors s msimit;

2. Objektivi prkats i programit msimor;

3. Objektivi (objektivat) e ors s msimit;

4. Procedurat q do t ndiqen;

5. Vlersimi;

6. Detyrat e shtpis;

7. Refleksione.

Zbatimi i planit t msimitRekomandohet prgjithsisht q t zbatohet me prpikmri plani i hartuar imsimit, duke shmangur improvizimet. Frymzimet impulsive vrtet t mira janshum t rralla.

Por plani sht nj mjet pr t arritur nj qllim. Nse dika m e mir lind gjatzhvillimit t msimit, msuesi sht i lir ta prdor at.

Ekzistojn s paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkputur nga plani iparaprgatitur.

1. Kur msimi i planifikuar shkon keq dhe duhet br dika pr ta shptuar at.

2. Kur ka ndodhur (apo ndodh) dika e rndsishme para (apo gjat msimit).

3. Kur vet nxnsit e krkojn ndryshimin.

Msuesi e sheh n fytyrat e nxnsve nse msimi po ndiqet e po kuptohet. Nsekjo nuk ndodh, ai duhet t ndryshoj metodn, duke e thjeshtuar trajtimin.

Disa her t tjera nxnsit shtrojn pyetje pr shtje q ja vlen t ndiqen ndetaje; n rrethana t tilla msuesi mund t braktis planin e paraprgatitur dhe t

merret me problemin e pozuar.


44/177


Her t tjera, brenda ose jasht klass ndodhin ngjarje me rndsi, q imponojnheqjen dor nga plani i paraprgatitur. N rastin e nj ngjarje me rndsikombtare apo pr shkolln, mund t ndrpritet zhvillimi i msimit duke biseduar

pr t, ndonse ajo mund t mos ket lidhje direkte me msimin q zhvillohet. Prnj ngjarje shum emocionale, mund t lihen nxnsit t shprehen rreth saj prdisa minuta n fillim t msimit, q t shkarkojn emocionet para se ti prvishenpuns.

Kriteret mbi t cilat ju mund t bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planitjan t thjeshta:

far do t ishte dobiprurse pr nxnsit,

far do ta onte prpara t msuarit,

domethnie ka ndryshimi pr lndn q zhvillohet?

MBI ORGANIZIMIN E PUNS N KLAS

Msuesi ka t drejt t zgjedh metodat dhe mekanizmat m t prshtatshm prorganizimin e msimdhnies dhe msimnxnies, me t vetmin kusht: respektimine programit dhe realizimin e synimeve t tij. sht detyra e tij t organizoj klasnpr realizimin e aspekteve t ndryshme t veprimtaris s nxnsve n klasn e

vet.Sa her q sht e mundur, shtjet e reja duhet t futen n kuadrin e nj kontekstit caktuar (real apo matematik) dhe nprmjet nj metode q parashikon hetimin esituatave. Ky kontekst duhet t zgjidhet i till q t ngjall interesimin e mass snxnsve. Hetimi i situats s parashtruar nxnsve, duhet t kombinohet mefjaln e msuesit dhe diskutimin n klas. N hapin e par kjo situat duhet t jete strukturuar prej msuesit, n mnyr q t sigurohet prfshirja e mass snxnsve n msim. Nj pjes e ksaj pune rekomandohet t zhvillohet n grupet vogla (2-3 nxns). Msuesi duhet ti bashkoj kto grupe her pas here, q ata

t bjn prshkrimet dhe argumentimet e tyre pr detyrat e vna dhe pr zbatimete tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet ti udhheq nxnsit kur ka moskuptimeose gabime.

Gjat prvetsimit t lnds nxnsit duhet t ndjehen t shpenguar e t inkurajuarq t japin mendime, t diskutojn e t bjn pyetje. Ata duhet t edukohen si meshprehit e puns s pavarur individuale, po ashtu edhe me ato t puns sprbashkt d.m.th t puns me grup.

Nxnsve duhet tu jepet koh e mjaftueshme pr tu menduar mir; t vazhdoj

edukimi i tyre me zakonin q t mos nguten, t mos prgjigjen prciptas, t ndalenkur nuk kuptojn. Msuesi nuk duhet t ngutet t korrigjoj e ti pres fjaln


45/177


nxnsit q gabon; pa mohuar rndsin e prgjigjes s sakt e rndsishme shtt evidentohet se si ka menduar nxnsi pr t dhn prgjigjen prandaj msuesiduhet t hap but-but shtigje pr vetkorrigjim pr nxnsin q gabon.

Gjat puns msuesi duhet t mbaj parasysh q do nxns t mos ngarkohet mtepr sesa mund t mbaj, t mos detyrohet ai q t kopjoj.

Rekomandohet q parashtrimi i materialit msimor n temat ku merr njohuri treja, t ndjek kt ecuri didaktike: nj shembull apo nj ushtrim prgatitor synont krijoj tek nxnsit, nprmjet hetimit t situats, nj hamendje t caktuar. Kjokontrollohet m tej nprmjet shembujsh (a kundrshembujsh) dhe ushtrimesh(shpesh gjysm t zgjidhur). Pas konsolidimit t hamendjes dhe formulimit t sajn trajtn e nj prfundimi prgjithsues, n lnd si matematika kalohet n

vrtetimin e tij (ktu parashikohen shkall t ndryshme rigoroziteti n profile tndryshme). M tej kalohet n zbatime, fillimisht t thjeshta, por t larmishme.Duhet mbajtur mir parasysh se pr zotrimin e koncepteve dhe t metodavelndore ka rndsi t madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve t tyre. Prkt qllim dhe n kuadrin e organizimit t puns s pavarur a n grup tnxnsve, nj rol qendror luan zgjedhja e shtjeve dhe problemeve q uparashtrohen atyre. Pr t realizuar me sukses kt zgjedhje duhet t mbahetparasysh:

a. A kan t bjn ato m aftsit q krkohet t zhvillohen tek nxnsit?

b. A sht i kuptueshm konteksti i tyre pr nj nxns t klass s shqyrtuar?

c.Nse jo, a jan dhn tr udhzimet e njohurive pr ti zgjidhur?

d. A ka zgjidhja e tyre vlera n pikpamje t metods?

Nxnsve duhet tu jepet mundsia t ushtrojn dendur veprimtari t ndryshme, sikrahasimi (pr t zbuluar vetit e prgjithshme dhe ato t veantat), klasifikimidhe modelimisi forma t abstragimit. Ata duhet t inkurajohen t vzhgojn dhet prshkruajn me modelet larmishme lndore situata e modele t bots prrethsi p. sh. nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do t vihetn lidhjen e lnds me botn n t cilin nxnsit jetojn; duhet t evidentohet qlnda sht e zhvilluar nga nevojat e bots reale dhe ajo lnd q ata msojn kazbatime t dobishme n nj gam t gjer kontaktesh dhe pr nj koh t gjat. Nkt mnyr puna pr prvetsimin e lnds do t bhet interesante pr ta, sepsedo t mbaj parasysh interesat e tashme dhe t ardhshme t nxnsve.


46/177


PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULARE

Projekti kurrikular sht nj prpjekje pr ti dhn zgjidhje nj situate, pr t

ciln nxnsit nuk kan nj prgjigje t gatshme dhe pr t ciln duhet t rrmojnn njohurit e nxna shkollore e m tej.

Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht n sistemimin e informacioneve tqmtuara n tekstin shkollor e n burime t tjera; ai prmban edhe pun origjinale,ku shfaqet qndrimi vetjak i nxnsit. Sensi i nj projekti kurrikular sht zbatimii informacioneve, por niveli m i lart i zbatimit sht nxitja apo arritja endryshimeve prmirsuese.

Projekti kurrikular mund t jet t paktn tri llojesh:

Njri lloj i takon planit t shkolls. Secili nxns gjat tri viteve t gjimnazit duhett marr pjes n projekte t tilla n t paktn 18 or msimore.

Dy llojet e tjera t projektit kurrikular i takojn planit msimor t msuesit dhellogariten n ngarkesn totale t tij n or msimore.

Projekti kurrikular mund t jet thjesht lndor ose t prfshij m tepr se njlnd; ai mund ti prkas nj fushe t nxni ose t shtrihet n disa fusha.

Projekti kurrikular mund t zgjas disa dit, jav ose muaj, por mbyllet kryesishtbrenda nj viti shkollor. Projekti kurrikular mund t merret prsipr nga nj osedisa msues.

Msuesi mund t zgjedh projektin kurrikular si nj metod pune pr t shtjelluarnjohurit e reja ose pr prpunimin e njohurive.

Tema e nj projekti kurrikular przgjidhet nprmjet bashkpunimit t msuesveme nxnsit. Mir sht q t ket propozime nga nxnsit pr kt przgjedhje,por msuesi duhet t ket nj fond temash, ndr t cilat u lihet nxnsve tprzgjedhin. N przgjedhjen e temave sht mir q t prfshihen edhe prindrit.

N projektin kurrikular msuesi sht n rolin e lehtsuesit t veprimtaris snxnsve. Ai nuk duhet t jet antar a kryetar i grupit t nxnsve. Ai nuk duhettu diktoj nxnsve se far t bjn, as tu jap atyre informacione e prgjigje tgatshme.

Nxnsve duhet tu bhet e qart se prgjegjsia pr suksesin e projektit kurrikularu takon atyre, por msuesi do tu qndroj pran pr fardo pyetje a shqetsim.

Asistenca e msuesit gjat viteve t shkollimit n kt veprimtari shkon sipas njkurbe zbritse.

Msuesi duhet q vazhdimisht ti inkurajoj nxnsit gjat puns s tyre, t vrpaprer n dukje ant pozitive q vren.


47/177


Nga msuesi pr realizimin e projektit kurrikular krkohet q:

T planifikoj dhe t realizoj ort msimore t projektit kurrikular;

T lehtsoj nxnsit n menaxhimin e projektit;T vzhgoj mirkryerjen nga nxnsit t veprimtarive t planifikuara;

T vlersoj nxnsit.

Hartimi i nj projekti kurrikular nga msuesi

Formati tip pr nj plan t till ka kto zra:

Titulli i projektit;

Objektivat e projektit;

Lista e njohurive kryesore lndore q do t prvetsohen a rimerren;

Kontributi i do msuesi bashkpunues, me ort msimore prkatse;

Partnert n projekt (prindr, OJF etj);

Numri i nxnsve apo i klasave q prfshihen n projekt;

Prshkrimi prmbledhs i veprimtarive kryesore(me hapat kryesore, afatete personat prgjegjs);

Burimet kryesore t informacionit;Prshkrimi i produktit t projektit;

Tematika e secils or msimore n kuadrin e projektit;

Mnyra e vlersimit t nxnsve.

N ditarin e msuesit shnohet do or msimore q i takon nj projekti kurrikular

Nj nga synimet kryesore t projektit kurrikular sht strvitja e nxnsve prkrkimin e informacioneve nga burime t tjera sa m t larmishme (internet,

kabinet i TIK, bibliotek shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Njrndsi t posame kan edhe informacionet e gjalla-bisedat.

Secili nxns i prfshir n projekt plotson dora-dors portofolin e projektit; aiduhet ta ket t qart qysh n fillim se do t vlersohet dhe i duhen br t njohurakriteret e vlersimit.

Vlersimi i nxnsve n projektin kurrikular

Bhet duke patur parasysh kto elemente:

plani i paraqitur;

zbatimi i planit;


48/177


menaxhimi i informacionit;

etika e puns n grup;

kontributi n raportin prfundimtar;

prezantimi i pun s kryer.

Mnyra m e mir e vlersimit sht ajo q kombinon vlersimin e puns s grupit(not me peshn 50%) me at t nxnsit si individ (not me peshn 50%).

Nota q merr nxnsi si individ vendoset n baz t vzhgimeve t msuesit dhet portofolit t nxnsit.

Projektet kurrikulare si pjes e prpunimit t njohurive

Projektet kurrikulare mund t prdoren pr prsritjen (e integruar) t njohurive t

nj apo disa kapitujve. Por n projektin kurrikular nuk ka objektiva prprvetsimin e njohurive t reja; n t ka objektiva vetm pr prforcimin enjohurive t msuara m par.

Kombinimi i njohurive t disa kapitujve pr t zgjidhur nj situat problemore,transferimi i njohurive t nj lnde pr t zgjidhur probleme t nj lnde tjetr esidomos n situata reale, i strvit nxnsit t kuptojn m thell konceptet emetodat kryesore t lnds.

Mund t ndodh q nxnsit, n procesin e krkimit t informacioneve, t hasen

edhe me njohuri q nuk i kan hasur m par. Por atyre nuk duhet tu krkohet tmbajn mend njohuri q nuk prmbahen n program dhe sidomos nuk duhet tvlersohen me not pr to.

Projekti kurrikular n planin msimor vjetor t msuesit

Projekti kurrikular shnohet n kt plan po ashtu si edhe kapitujt lndor. Pormsuesi nuk sht i detyruar ti paracaktoj t gjitha temat e projektit kurrikularqysh n fillim t vitit shkollor.

T gjitha ort msimore q jan parashikuar pr projekte kurrikulare zhvillohen

sikurse ort e tjera lndore d.m.th., me t gjith klasn, n pranin e msuesit.Disa or jan t prbashkta pr secilin projekt kurrikular. T tilla jan ort pr:

o t lehtsuar nxnsit n przgjedhjen e tems (temave);o t kshilluar nxnsit gjat zhvillimit t puns me projektin;o prezantim nga nxnsit t gjetjeve t ndrmjetme t projektit;o prgatitje pr prfundimin e projektit.

Nj pjes t mir t kohs pr punn me projektin nxnsit e harxhojn n klas,ku shtrojn pyetje pr msuesin etj.

Ort brenda n klas shnohen n regjistr nga secili msues, krahas orve t tjerat lnds.


49/177


Shembull

PROJEKT KURRIKULAR

Lnda: Matematik, Klasa XII

Titulli: Ekuacionet parametrike dhe polare t drejtzs dhe t konikeve

Sasia e orve t planifikuara n planin msimor 8

Koha: 1, 5 muaj (1 shkurt-15 mars)

Objektivat:

1. T gjith nxnsit e klass t jen t aft t shkruajn ekuacionet parametrikedhe polare t drejtzs dhe ti prdorin n situata t thjeshta matematikore, tlndve t tjera msimore apo n situata jetsore, direkt apo duke prdorurmakinn llogaritse t thjesht.

2. T gjith nxnsit t t jen t aft t shkruajn ekuacionet parametrike dhepolare t rrethit dhe ti prdorin n situata matematikore, t lndve t tjeramsimore apo n situata jetsore, direkt apo duke prdorur makinn llogaritse tthjesht.

3. 90% e nxnsve t klass t jen t jen t aft t shkruajn ekuacionetparametrike t elipsit, hiperbols, parabols dhe ti prdorin n situata

matematikore, t lndve t tjera msimore apo n situata jetsore, direkt apoduke prdorur makinn llogaritse t thjesht.

4. 70% e nxnsve t klass t jen t aft t shkruajn ekuacionin e prgjithshmt konikeve n koordinata polare dhe ta prdorin n situata matematikore, tlndve t tjera msimore apo n situata jetsore, direkt apo duke prdorurmakinn llogaritse t thjesht.

Njohurit kryesore lndore q do t prdoren

1. Ekuacioni i prgjithshm i drejtzs n planin kartezian. Ekuacioni i saj kurnjihet nj pik dhe vektori drejtues.

2. Ekuacionet i rrethit kur njihet qendra dhe rrezja.

3. Ekuacionet kanonike t elipsit, hiperbols, parabols.

4. Vetia e vijs drejtuese t konikeve

5. Kuptimi i parametrit

6.Njohuri mbi koordinatat polare t piks n plan.


50/177


Kontributet e msuesve bashkpunues

1. Msuesi i fiziks (3 or)o

Evidentimi i rasteve t prdorimit t kohs si parametr n lndn n klasat egjimnazit;o Shtrim situatash q hasen dendur n kt lnd, duke krkuar zgjidhje

ekuacionesh parametrike;o Trajektore lvizje q shprehen thjesht me ekuacione n koordinata polare;

2. Msuesi i teknologjis (1 or)

- Detale me konture q prshkruhen thjesht duke prdorur koordinata polare

Partner n projekt

Prindrit e nxnsve t shkolls me profesione t tilla si inxhinier, teknik,arkitekt etj.

Numri i nxnsve t prfshir n projekt:T gjith nxnsit e klass.

Veprimtarit kryesoreNr Veprimtaria Afati Prgjegjsi1 Hartimi i nj liste paraprake njohurish teorike. Java I Msuesit.2 Hartimi i nj liste paraprake burimesh

informacioni (t t gjitha llojeve).Java I Msuesi me

nxnsit.3 Prcaktimi i detyrs konkrete pr secilin nxns. Java I Msuesi.4 Prdorimi nga nxnsit i literaturs msimore t

rekomanduar.Java II Secili nxns.

5 Takime pr hapje horizonti me msuesit elndve tekniko-shkencore.

Java II Msuesit.

6 Krkim n burime t tjera informacioni. Java III Secili nxns.

7 Fillim i plotsimit t portofolit me gjetjetkryesore.

Java III Secili nxns.

8 Diskutim n klas i gjetjeve kryesore, meevidentimin e mangsive dhe t rrugve pr

plotsim.

Java III Msuesi dhenxnsit.

9 Hartimi i draftit prfundimtar individual ngasecili nxns.

Java IV Secili nxns.

10 Puna pr hartimin e draftit prfundimtarprmbledhs me gjetjet kryesore.

Java V Msuesi menxnsit.

11 Dorzimi produktit prfundimtar(raportit) siedhe i portofoleve t secilit nxns.

Java VI Nxnsit.

12 Prezantimi i raportit. Java VI 2-3 nxns tprzgjedhur ngaklasa.


51/177


Burimet kryesore t informacionit1. Tekstet msimore t matematiks (pr klasat 9, 10, 11);

2. Tekstet msimore t lndve tekniko-shkencore (pr klasat 9, 10, 11);3. Biseda me specialist t profileve t ndryshme tekniko-shkencore dhe t ndrtimit;

4. Vzhgime t dukurive natyrore, teknike e sociale;

5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj);

6. Prdorim CD t posame;

7. Biseda me prindr pr probleme jetsore (forma e lulishtes, forma e mobilieve etj).

Produkti i pritshm i projektitRaport i argumentuar ku t prshkruhen ekuacionet kryesore parametrike e polareme t cilat nxnsit e ksaj moshe hasen n kt faz t prvojs s tyre msimoree jetsore, s bashku me rrugt optimale pr t prdorur ato sipas situats.

Tematika e orve t planifikuara n planin msimor

1. Bised pr ekuacionet parametrike;

2. Bised pr koordinatat polare n plan;3. Ndarja e detyrave pr secilin nxns, sbashku me literaturn e rekomanduarmsimore;

4. Realizimi i bisedave me msuesit e lndve tekniko-shkencore;

5. Diskutimi n klas i rezultateve kryesore paraprake t arritura nga nxnsit;

6. Ripunimi i tezave kryesore n baz t vrejtjeve t bra;

7. Przgjedhja e rezultateve kryesore pr raportin prfundimtar;

8. Prezantimi i raportit.

Mnyra e vlersimit t nxnsve

Bhet sipas kritereve t pranuara e t shpallura, duke nxjerr notn e nxnsitsipas formuls

0,5. 0,5.k in n n ku kn sht nota e klass si grup,

i

n sht nota e nxnsit si individ.


52/177


MBI VLERSIMIN FORMUES N MATEMATIK

N KLASN XII

Tre llojet m t prdorshme t vlersimit n klas (pa prfshir vlersimin meqllim klasifikimi) jan:

Vlersimi diagnostikues, q synon t zbuloj shkaqet njohse, fizike,emocionale, shoqrore t problemeve q kan nxnsit, n mnyr q tprcaktohen teknikat korrigjuese.

Vlersimi formues, i cili mbikqyr prparimin gjat procesit t t nxnit, siguronnjfeedbackpr t lehtsuar nxnsit dhe pr t korrigjuar gabimet.

Vlersimi prmbledhs, q prcakton arritjet n prfundim t kreut, t vitit a tciklit pr t vendosur notat dhe pr t br certifikimin. Vlersimi prmbledhsmund t prdoret pr t gjykuar efektshmrin e msimdhnies ose t procesitmsimor.

Vlersimi formues sht vlersimi i prditshm dhe i vazhdueshm q u bhetnxnsve (e q shprehet me not) pr pyetjet, krkesat e detyrat q u jepen nklas, pr detyrat e shtpis, pr prgjigjet pr testet kohshkurtr etj. Ai ka prqllim kryesor prmirsimin e cilsis s t msuarit dhe jo thjesht kontrollin apodiferencimin e nxnsve. Ky vlersim duhet prdorur pr feedbackgjat procesit

t msimdhnies e t nxnies, sepse gjat ktij lloj vlersimi msuesi nxjerr npah dhe ndreq n mnyr t shpejt dobsit dhe t metat e nxnsve. Prdorimi iktij vlersimi diktohet edhe nga fakti q, si pranohet gjersisht, ora e msimitnuk sht e motivuar dhe shpesh her bhet e pakndshme, kur nuk prdoretvlersimi formues, por pritet t mbaroj kreu dhe pastaj t bhet vlersimi (qoftedhe me teste) i nxnsve.

Gjat vlersimit formues, duke prdorur n mnyr t vazhdueshme nj numrteknikash vlersimi t thjeshta e t shpejta, msuesit mund e duhet t marrininformacion pr at q nxnsit kan msuar aktualisht, pr at q u mbetet t

msojn dhe t prforcojn. Duke u mbshtetur n rezultatet e vlersimit formues,msuesit duhet ti kshillojn nxnsit se si t prmirsojn t nxnit.

Format m t prdorshme t vlersimit formues n matematik, n gjimnaz jan:

vlersimi me not pr pyetjet n tabel,

vlersimi pr aktivizim n klas, gjat zbatimit t materialit t kaluardhe parashtrimit t materialit t ri,

vlersim pr aktivizimin me punn n grupe,

vlersim me testekohshkurtr pr prvetsimin e nj teme t caktuar,

vlersim pr kryerjen e detyrave t shtpis.


53/177


Vlersimi formuesnuk kshillohet t bhet me t njjtn teknik vlersimi, sepsenxnsit familjarizohen me t dhe i prgatisin prgjigjet pa i kuptuar shtjet.

Mendojm se sht e dobishme praktika e t msuarit t nxnsve t teknikave prvetvlersim, q nxisin integrimin e t msuarit n klas dhe t msuarit jashtsaj. Praktikimi i teknikave t vetvlersimit i ndihmon nxnsit gjithashtu tfitojn shprehi pr t menduarit dhe pr t vlersuarit vetjak.

N lndn e matematiks n gjimnaz konceptet synohet t formohen nprmjettrajtimit t situatave problemore. Itinerari i zotrimit t njohurive sht menduar tjet spiral dhe jo linear; ato mendohen t prvetsohen jo me paraqitjen e tyre tpar dhe as me prsritje t thjesht, por pas plotsimeve dhe thellimevenprmjet rimarrjes aktive.

Gjat vlersimit formues duhet mbajtur parasysh se aktiviteti matematik inxnsve n secilin profil prfshin observimin (vzhgimin), abstragimin,eksperimentimin dhe vrtetimin.

Parashtrimi i prmbajtjes s re si rregull duhet t artikulohet me studimin esituatave t larmishme, q shrbejn si motivim, si shtje q krkojn zgjidhjeapo si mbshtetje e zbatim i ktij parashtrimi dhe nxnsi duhet t vlersohet, nmnyr t vazhdueshme pr sasin dhe cilsin e aktivizimit t tij n kto aspekte(t paktn nj her n 6-7 or msimi).

Gjat vlersimit formues kujdes duhet ti kushtohet prvetsimit t konceptevedhe metodave kryesore t lnds, si baz e formimit matematik t nxnsve. Nkt kuadr, gjat vlersimit formues duhet t mbajm parasysh se nuk ka rndsiriprodhimi i vrtetimit t nj teoreme dhe zbatimi mekanik i saj n nj situatstandarde, nse nxnsi nuk ka t qart thelbin e saj dhe nuk sht i aftsuar pr tazbatuar at n situata t larmishme, qoft edhe t thjeshta. Si rregull, n do ormsimi kryhen ushtrime (n radh t par zbatime t thjeshta) pr t kuptuarthelbin e koncepteve dhe metodave matematike dhe si modele t puns s pavarurn shtpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe zbatimet n klas duhet t zr jo m

pak se 40% t kohs s msimit. Gjat shtjellimit t materialit msimor msuesiduhet t krijoj situata problemore t strukturuara pr t vn n lvizje mendimine pavarur t nxnsit. Strukturimi i pyetjeve t shtruara klass bn q secili nxnst angazhohet n pun t pavarur, sipas mundsive t veta, me nj koh tmjaftueshme pr t prvetsuar prmbajtjen deri n nj nivel t caktuar arritjeje,pr t cilin ai mund t vlersohet edhe n vend.

Konceptimi i lnds dhe mnyra e realizimit t saj duhet t thyej kornizattradicionale t ors s msimit. Trajtimi i materialit t ri msimor jo rrall duhet tbhet me tekst prpara, sepse nxnsit duhet t plotsojn n t krkesat q jan

ln qllimisht pa u plotsuar, t zgjidhin ushtrimet apo t analizojn shembujt.


54/177


N shumicn e temave, ora e msimit duhet t prbj nj sintez t dhnies e tkontrollit t njohurive, t vlersimit t dijeve e shkathtsive (shprehive) dhevlerave tek nxnsit. N kt kndvshtrim format tradicionale t kontrollit e t

vlersimit t nxnsve, q jan mbshtetur n riprodhimin gojor t materialitmsimor, t lidhur me binomin msues-nxns (n tabel) dhe me nj numr tvogl nxnsish t vlersuar jan t papranueshme.

Kontrolli dhe vlersimi formues i nxnsve duhet t jet i larmishm, i lidhur mtepr me veprimtarin matematike t nxnsve n klas, jo i mbshtetur kryesishtn riprodhimin gojor t materialit msimor, jo i kufizuar n nj interval kohor tcaktuar. Ai prfytyrohet i shkrir me veprimtarin matematike t nxnsve, dukesiguruar pjesmarrje t plot t tyre n pun. Msuesi duhet t jet vazhdimisht nkontakt me punn e nxnsve n bank gjat gjith ors s msimit. Ai duhet tvrojtoj e t vlersoj jo vetm ka di nxnsi, por si e mson, si vepron pr tazbatuar, si nxjerr prfundime etj. N kt mnyr, gjat ktij lloj vlersimi nxnsisht m i liruar nga emocionet dhe nga ana tjetr krijohen mundsi m t mdhapr kontakte e ndihm t diferencuar tek nxnsit.

Natyrisht, format e larmishme t kontrollit t shtrir n trajtimin e materialit t ri(dhe vlersimi prkats) nuk prjashtojn vlersimin e nxnsit t ngritur ntabel apo vlersimin masiv t pjesshm (me teste t shkurtra).

Nxnsi duhet t regjistroj n kujtes nj sr faktesh t rndsishme

matematike. Por kjo nuk do t thot q n t msuarit e matematiks kujtesa e tijt ngarkohet tej mase me rregulla e formula t ndryshme, kur kto mund tgjenden nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj vlersimi nuk duhet t bazohetn kujtesn mekanike; t mbahet parasysh se aftsimi i nxnsve pr t krkuar nkto materiale ndihmse, formulat dhe faktet q nevojiten pr zgjidhjen eushtrimeve ose pr vrtetimin e pohimeve t ndryshme, veanrisht kur ato iprkasin temave t zhvilluara m par, pasqyron shkalln e formimit matematik ttij dhe duhet vlersuar.

Procedura e vlersimit

Sistemi i vlersimit q rekomandohet t zbatohet n gjimnaz sht krahasimi mestandardet e vendosura.

Nj nga problemet m t shpeshta dhe m t ndrlikuara me t cilat ndeshenaktualisht dhe do t ndeshen deri n nj t ardhme t afrt msuesit n gjimnazsht gjykimi i statusit dhe i prparimit t nxnsit n intervale t ndryshme kohe,vnia e notave. sht e qart q vlersimi duhet t ndjek qllimet arsimore,objektivat msimore, objektivat e vlersimit. Vlersimi duhet t mbshtetet mbi


55/177


nj sasi t mjaftueshme t dhnash n t cilat duhet t prfshihen edhe ktaelement:

-vlersimi me not pr prgjigjet n tabel; -vlersimi i aktivizimit nga vendi;

-vlersimi i ndihmess gjat puns n grup;

-testet n fund t kapitullit;

-testet n fund t semestrit;

-testet n fund t vitit;

-provimet vjetore;

-provimi i pjekuris;

Vlersimi me not

Si dihet, nota prdoret pr t paraqitur rezultatin e arritjeve dhe t prparimitakademik t nxnsit. Ajo ka pr qllim t dshmoj pr arritjet e nxnsit, pr tdrejtuar te nxnsit e tij, pr t drejtuar zhvillimin vetjak t nxnsit deri ndiplomimin e tij, pr t informuar prindrit pr nivelin e prparimit t fmijve t

tyre etj. Pr kto arsye mendojm q vlersimi me not sht i domosdoshm ngjimnaz.

Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljevedisiplinore t nxnsit, por vetm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar nstandarde t caktuara dhe n burime t shumta.

Vlersimi me not mund t prdoret edhe pr t matur punn n grup dheaktivizimin n klas gjat trajtimit t materialit msimor. Pr t br vlersimin epuns n grup dhe aktivizimin n klas shrben list-kontrolli.

Vlersimi i puns n grup duhet t mbaj parasysh kta element:o ndarja e informacionit me t tjert;

o ndihmesa n ide;

o ndjekja e udhzimeve;

o shfaqja e iniciativs gjat zgjidhjes s problemeve n grup;

o dhnia e vlersimeve pr pikpamjet e t tjerve.


56/177


Vlersimi i prgjigjeve me goj t nxnsveka qen dhe mbetet nj sfid prmsuesin. Pr t vlersuar prgjigjen pr nj pyetje t strukturuar duhet t mbahenparasysh t gjitha krke

Documents

matematika 12_2.pdf