Matematika 10. I Dalis (2002) by Cloud Dancing

7/16/2019 Matematika 10. I Dalis (2002) by Cloud Dancing

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-10-i-dalis-2002-by-cloud-dancing 1/208

I DALIS



LEIDĖJŲ ŽODIS

Miel i dešimtokai ,šį vadovėlį autor ių kolektyvas reng ė nuola t pr is imind am as, kad po m etų jūs ų laukia nelengv aspasi r inkimas, ko i r kaip tol iau mokyt is . Pagrindinės mokyklos programoje numatytą medžiagąbuvo stengtasi papildyti teiginiais, uždaviniais, o kai kada net atskirais skyreliais, kurie būtųnau ding i mo ksle iviam s, planu ojan tiem s pasirink ti realinį profi lį arba t iesiog norin tiem s žinotidaugiau .Vado vėlis susided a iš dv iejų dalių (I dalis — 1 - 7 skyriai , II dalis — 8 skyrius ir m edž iaga ,skirta kur sui pak artoti) . Kad jū s galėtumėte dirbti savar ankišk ai, teorinė dalis yra plates nė,pate ikta daugiau išspręstų pavyzdžių, bet mažiau pra t imų i r užduočių. Kaip įprasta , sunkesniųuždu očių num eria i pažym ėti žvaigždu te . Kam užd avinių bus per mažai , a tski ra kny gute yraišle is tas uždavinynas. Kiekvienoje vadovėl io dalyje pra t imai i r užduotys numeruojami iš e i lės,i šskyrus skyrel ius „Pasi t ikr inki te" , kur ių uždavinia i numeruojami a tski ra i kiekviename skyriuje ,o jų a tsaky mai pate ikt i kiekvienos dal ies gale . Teori jos skyrel iuose nuspalvintas klaustuk asžymi klausim us, į kuriuo s turėtų a tsakyti patys mokinia i . P i lkam e fon e pate ikta neprivalom ateorinė medžiaga, ski r ta temos pagi l inimui . Uždavinia i , a t i t inkantys papi ldomą medžiagą, yranuspalvint i , o papi ldom i sunkesnie j i uždavinia i dar pažym ėti spalvota žvaigždute . S iekiantatkreipti jūsų dėmesį, kai kurie apibendrinantys teiginiai ir formulės spalvotai įrėminti .

Šį vad ovėlį kū rė ne t ik autorių ko lektyv as, bet ir leidyk los sp ecialistai , konsu ltantai , eksp eri-mentuojantys mokytoja i . Nuoši rdžia i dėkojame visiems, pr is idėjusiems rengiant vadovėlį.Prašome savo pastabas, pageidavimus i r pasiūlymus siųst i adresu:Leidykla TEV, Akademijos g. 4 , LT-2600 Vi lnius.

Vado vėlį ren gė autorių k olek tyvas :

Irena Bagdonienė, Jolanta Knyvienė, Aleksandras Plikusas, Kazimieras Pulmonas,Juozas Šinkūnas.

Su eksper iment iniu vadovėl iu di rbo mokytoja i : R. Biekšienė, V. Bartkuvienė, K. Intienė,L. Jakštienė, V. Jankevičienė, R. Jonaitienė, A . Karm anova, S. Kavaliūnienė, R. Klasauskienė,N. Kriaučiūnienė, R. Kučiauskienė, D. Ma tienė, G. Mikalauskienė, L. Papuškienė, V. Sičiūnienė,S. Staknienė, V. Stoškuvienė, A. Šverienė, A. Ūsienė, V. Viniautienė, A. Žiulpa.



M A T E M A T I K A 1 0I DALIS



U D K 51( 075 . 3 )Ma615

Lietuvos Respu blikos švietimo ir mokslo m inisterijos rekomend uota 2001 02 06 Nr. 74

Antrasis pata isytas le idimas

Recenzavo Matemat ikos i r informat ikos inst i tutas

Darbo vadovas Valdas Vanagas

Redaktor ia i : Juozas Ma čys, Žydrūnė Stundžienė

Programinė įranga: Tadeuš Šeibak, Rolandas Jakštys

Kompiuter inė graf ika: Edita Tatarinavičiūtė, Daiva Sniečkutė

Teksto kompiuter inis r inkimas i r maketavimas: Nijolė Drazda uskienė, A ldona Žalienė

G a m ybos va dova s Algimantas Paškevičius

Kalbos redaktorė Diana Gustienė

Konsul tanta i : Ma rytė Stričkienė, Elmunda s Žalys

Leidyklos TEV interneto sveta inė www.tev.l t

I S B N 9 9 5 5 - 4 9 1 - 0 4 - 3 ( 1 d a l i s )

I S B N 9 9 5 5 - 4 9 1 - 0 5 - 1 ( 2 d a l y s )© Leidykla TEV, Vi lnius, 2001© dail . Edita Tatarinavičiūtė, 2001

http://www.tev.lt/

http://www.tev.lt/



TURINYS

N acionalinis b iudžetas 6

Mokesčiai. Akcizas 9

Draud imas 12

1 Su dėtiniai proce ntai 15

2 Funkc ijų grafikai 35

3 Lygčių ir nelygybių sistemos 65

4 Kv adratinės nelygybės 81

5 Kombinatorika ir tikimybės 105

6 Smailiojo kampo trigonometrinės funkcijos 133

7 Trikampių sp rendim as 167

Skyrelių „Pasitikrinkite" uždaviniųatsakymai 198

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelė 207



Nacionalinis biudžetas

Kaip žmonės ar šeimos sudarinėja savo biudžetus, taip Vyriausybė kiekvieniemsmetams parengia nacionalinį šalies biudžetą. Jame numatomos būsimųjų metų

pajamos ir išlaidos.Iš kur pajamų gauna žmonės, jau žinome: atlyginimai, palūkanos, pardavimai,laimėjimai, ... Kur pinigus išleisti, žino kiekvienas: būstas, maistas, pirkiniai,mo kesčiai, ... Da r šiokios tokios nenu m atytos išlaidos — ir biudž etas deficiti-nis...

? Kada biudžetas yra subalansuotas? perteklinis? deficitinis?

O kaip atrodo nacionalinis biudžetas?Pirmiausia — pajamos. Jos daugiausiai susidaro iš mokesčių. Mokesčius mokavisi šalies piliečiai, moka firmos ir įmonės, gamintojai ir paslaugų teikėjai,imp ortuotojai ir eksp ortuotoja i, m oka pirkėjai ir pard avėjai. Be to, valstybėgauna ir nem okestinių pa jam ų: už suteiktą naudoti turtą, žemę, gamtos išteklius,už paskolas, renka baudas ir kitas rinkliavas už įvairių valstybės institucijųpaslauga s. Šalies išlaidų yra labai daug ir įvairių: ekon om ikai, socialinei sferai,kitoms valstybės funkcijoms. Visas jas sunku ir išvardyti...

Užduotis. Panagrinėkite kitame puslapyje pateiktą Lietuvos Respublikos 1999metų nacionalinį biudžetą ir atsakykite į klausimus:

1. Kok ios biudž eto pajam os; išlaidos litais? Už rašykite jas standartine ska i-čiaus išraiška.

2. Ar biudžetas perteklinis, ar deficitinis? Kokiu atveju biudžetas būtų suba-lansuotas?

3. Kiek procentų (tūkstantųjų tikslumu) visų biudžeto pajamų sudarė žemės

mokestis; kiti mokesčiai?4. Kuris iš jau nagrinėtų mokesčių sudaro didžiausią biudžeto pajamų dalį?

Kiek tai sudaro procentų visų pajamų?

5. Kiek procentų (šimtųjų tikslumu) visų biudžeto išlaidų sudarė išlaidos so-cialinei apsaugai; švietimui?

6. Kiek procentų (dešimtųjų tikslumu) visų biudžeto išlaidų sudarė išlaidosbutų ir komunaliniam ūkiui; viešajai tvarkai ir visuomenės apsaugai?



Lietuvos Respublikos 1999 metų nacionalinis biudžetas

Tūk st. (Lt) (%)

P A J A M O S 8 9 8 3 6 0 0 100

Mokest inės 8 3 7 6 0 7 1 93 ,24Pajamų, pelno ir kapita lo mokesčia i : 2 937 22 2

fizinių asmenų pelno mokestis 2 576 394jur id in ių a smenų pe lno mokes t i s 36 08 28

Turto mokesčia i : 2 4 6 6 0 6žemės mo kest is 18 795žemės nuomos mokes t i s 47 452nekilnojamojo tur to mokest is 1 7 8 2 1 0tur to dovanojimo ir paveldėjimo mokest is 2149

Vidaus prekių ir paslaugų mokesčiai: 4 7 8 4 8 7 3P V M 3 4 6 6 5 1 4

akcizai 1 318 359Tarptautinės prekybos ir sandorių mokesčiai 1 9 2 6 1 1Kiti mokesčiai 2 1 4 7 5 9

Nemokest inės 6 0 7 5 2 9 6 ,76

I Š L A I D O S 9 1 0 8 7 2 3 1 0 0

Ekonomikai: 1 1 1 5 8 4 7 12,25butų i r komunaliniam ūkiui 273 762kuro ir energi jos t iekimo paslaugoms 9 0 7 9 7

žemės ukiui, miškininkystei, žuvininkystei, veterinarijai 469 908m ineralinių išteklių gavy bai, pram one i ir statybai 38 920transpor tui i r ryšiams 166 26 5kitai ekonominei veiklai 7 6 1 9 5

Socialinei sferai: 4 7 6 9 0 6 6 52 ,36šv iet imui 27 87 578sveikatos apsaugai 5 6 2 1 5 7socialinei apsaug ai 1 02 3 648sveikatingumui (sportui) , rekreacijai, kultūrai 395 683

Kitoms valstybės funkcijoms: 3 2 2 3 8 1 0 35,39bendrosioms vals tybės paslaugoms 7 6 0 9 5 5krašto apsaugai 4 9 4 2 7 4vieša ja i tvarkai i r visuomenės apsaugai 973 069kitos išlaidos 995 512

P E R T E K L I U S /D E F I C IT A S - 1 2 5 1 23



1. Parašykite 1999 metų nacionalinio biudžeto išlaidas m ilijono tikslum u.Apskaičiuokite gautos apytikslės reikšmės:a) abs oliučiąją paklaid ą; b) santykinę pak laidą proc entais.

2. Parašykite 1999 metų nacionalinio biudžeto paja m as dešimties milijonųtikslumu. Apskaičiuokite gautos apytikslės reikšmės:a) abs oliučiąją paklaid ą; b) santykinę pak laidą proc entais.

3. Vienerių metų nacionalinio biudžeto mo kestinės pajam os sudarė 5 471 955tūkst. litų, o nemokestinės pajamos — 429 853 tūkst. litų. Kokios buvo tųmetų nacionalinio biudžeto pajamos (litais)? Atsakymą parašykite:

a) šimtų tūkstančių tikslum u ir užrašy kite standartine skaičiaus išraiška;

b) šimtų milijonų tikslumu ir užrašykite standartine skaičiaus išraiška.4. Vienerių metų nacionalinio biudžeto mokestinės pajamos buvo 7954 815

tūkst. litų didesnės už nemokestines pajamas, o tų metų visos pajamossudarė 9 377 765 tūkst. litų.

a) Kokios buvo tų metų nacionalinio biudžeto moke stinės paja m os?b) Kiek procentų (dešimtųjų tikslum u) tų metų biudžeto visų paja m ų su-

darė mokestinės pajamos?

5. Vienerių me tų nacionalinio biudžeto mo kestinės pajam os buvo 8 666 290tūkst. litų, o tai apytiksliai sudarė 92,4% biudžeto visų pajamų.a) Kokios buvo tų metų nacionalinio biudžeto paja m os?b) Kiek litų sudarė tų metų nacionalinio biudžeto nemok estinės pajam os?

6. Rem dam iesi Lietuvos Respub likos 1999 metų nacionalinio biudžeto duo-menų lentele apskaičiuokite, kiek procentų (dešimtųjų tikslumu) visų pa-jamų sudarė:a) fizinių asmenų pelno mokestis;

b) juridinių asmenų pelno mokestis;c) nekilnojamojo turto mokestis.

7. Rem dam iesi Lietuvos Respub likos 1999 metų nacionalinio biudžeto duo-menų lentele apskaičiuokite, kiek procentų (dešimtųjų tikslumu) visų iš-laidų socialinei sferai sudarė išlaidos:

a) švietimui;b) sveikatos apsaugai;

c) socialinei apsaugai;d) sveikatingumui (sportui), rekreacijai, kultūrai.Nubraižykite nacionalinio biudžeto socialinės sferos išlaidų paskirstymostulpelinę ir skritulinę diagramas.



Mokesčiai. Akcizas

Šiame pasaulyje neišvengsi tik dviejų dalykų — mokesčių ir m irties.B. F rankl inas (JAV poli t ikas ir mok sl in inkas , 17 06 -1 79 0)

Kaip matėme nagrinėdami nacionalinį biudžetą, didžiausiąją dalį pajamų sudarošalies piliečių ir įmonių (fizinių ir juridinių asmenų) mokami mokesčiai. M esjau nagrinėjome pajamų, Sodros, pelno, pridėtosios vertės mokesčius.

Ak ylesnis skai tytojas turbūt pasteb ėjo, kad Sod ros m okes čio pa jam os j naciona l inį biudže tąneįtrauktos — Valstybinio socia l inio draudim o fon do ir Pr ivalo mo jo sveikatos d raud imofo nd o biudž eta i tvarkom i a tski ra i . Be je , jų dydis kar tu lygus beveik dvie m t rečdal iam snac iona l in io b iudže to dydž io .

Iš viso Lietuvoje yra daugiau kaip 20 įvairių mokesčių, kuriuos moka tiekgamintojai, tiek vartotojai.O kodėl visi turi mokėti mokesčius, kokią naudą jie atneša savo šalies pilie-čiams, kiekvienam eiliniam žmogui?

Pirma, mokesčiai yra pagrindinis nacionalinio biudžeto pajamų šaltinis.

Antra, kai kurie mokesčiai saugo šalies gamintojus ir darbo vietas. Pavyz-džiui, importo muito mokestis saugo vieną ar kitą gamybos šaką nuožlug imo dėl pigių prekių įvežim o iš užsienio . Be je, taip yra visosevalstybėse.

Trečia, mokesčiais slopinama visuomenės dalies kai kuri žalinga veikla arįpročiai (pavyzdžiui, akcizai rūkalams ar alkoholiui, padidinti mo-kesčiai už aplinką teršiančią gamybą ir pan.).

Ketvirta, mokesčių lengvatomis skatinama tam tikra naudinga šalies ekonomi-kai veikla (investicijos į įmonių modernizavimą, gamybos našumodidinimas, darbo vietų sukūrimas, labdara ir kt.).

Penkta, mokesčių tarifų keitimu valdoma šalies ekonomika (remiamos besi-vystančios ar gyvybiškai būtinos šaliai gamybos šakos, skatinamaseksportas, ribojama perteklinė produkcija).

Vienas iš svarbiausių mūsų dar nenagrinėtų mokesčių yra akcizo mokestis. Jomokėtojai yra tiek fiziniai, tiek juridiniai asmenys — kai kurių prekių gam intojaiir importuotojai. Reikia žinoti, kad kai perkame maistą ar gėrimus, naudojame

dujas ar elektrą, važiuojame automobiliu ar skrendame lėktuvu, tai į beveikvisas produktų ar kuro kainas jau įskaičiuotas akcizo mokestis. Juo paprastaiapmokestinami energetiniai resursai, įvairūs kvaišalai, kai kurios prabangosprekės, erotinio pobūdžio produkcija, kava, gaminiai iš kakavos.



Akcizo mokesčio tarifai nusakomi arba konkrečia pinigų suma, arba — ap-mokestinamosios vertės dalimi procentais. Jei akcizo kokiai nors prekei nėra,sakoma, kad tai nulinis akcizo tarifas.

1 PAVYZDYS. Už 25 tonas benzino sum okėtas 30 25 0 Lt akcizo m okestis.Koks akcizo mokestis už 1 toną benzino; už 18,5 tonos benzino?

Kadangi akcizo m okestis už 25 tonas ben zino yra 30 250 Lt, tai už v ieną tonąsumok ėta 30 25 0 : 25 = 1210 (Lt) akcizo. Šiuo atveju sakoma, kad akcizomokesčio tarifas išreikštas konkrečia pinigų suma.Akcizo mokestis už 18,51 benzino yra 1210 · 18,5 = 22 385 (Lt).

2 PAVYZD YS. Ak cizo moke sčio tarifas ne senesniems kaip 5 metų ypač pra-bangiems automobiliams yra 15% automobilio kainos, viršijančios 60000Lt.Įsigyja nt tokį autom obilį sum okėtas 1125 Lt akcizo m oke stis. A pska ičiuok imeįsigyto automobilio kainą.Kadan gi akcizo mo kestis 1125 Lt sudaro 15% sum os, viršijančios 60 00 0 Lt, taiši viršijanti suma lygi 1 1 2I5

51 0 0 = 7500 (Lt).

Automobilis iš viso kainavo 60000 + 7500 = 67 500 (Lt).

Nors ir ne visiems tai patinka — mokesčius mokėti reikia visiems. Valstybė turispecialias institucijas, kurios prižiūri piliečių, įmonių ir organizacijų mokesčiųmokėjimą.

Gal galite pasakyti, kokios institucijos atlieka šią priežiūrą?

XVII a . prancūzų valstybės veikėjas Žanas Bat is tas Kolber tas apie mokesčių sis temą yrapareiškęs: „Ap mo kest inim as — ta i me nas nupeš t i žąsį ta ip, kad pū kų būtų kuo daug iau,o gagen imo — kuo maž iau" . O buvęs JAV valstybinių mok esčių skyriaus komisi jo s narysM art ime ras Č apl inas apie mo kesčius yra pasak ęs ta ip: „M okes čių r inkėjas nu o iškam šųmeistro skiriasi tuo, kad pastarasis palieka nors kailį".

Yra įvair iausių moke sčių. Pavy zdžiui , iš i s tor i jos pam ok ų gi rdėtas vadinam asis pagalvėsmokestis. Tai feodal izmo i r vėlesnių la ikų kai kur ių ša l ių neprivi legi juotų luomų — mies-t iečių, valst iečių ir pi rkl ių svarbiausias mo kest is valstybei. Paga lvės mo kest is L ie tuvosDidž io jo je kuniga ikš tys tė je ir jos t e r i to r ijo je buvo m okam as X V II -X IX a ., be t XIX a . pa -baigoje pakeistas: miest iečiams i r pi rkl iams — pajamų ir turto mokesčiu , valst iečiam s —žemės mokesčiu.

Dabart inė Lie tuvos mokesčių sis tema sukurta po Nepriklausomybės a tkūrimo. Laikotarpiunuo 1990 iki 1996 me tų pr iimt i visi dabar t inių mok esčių įsta tymai . Lie tuvo s m okes čiųsistema yra labai panaš i į Vakarų Euro pos valstybių m okes čių sis temas.



8. N aftos, išgaunam os šalies teritorijoje, akcizo mo kesčio tarifo dydis lygus20% išgautos naftos pardavimo kainos. Kiek mokesčių moka kompanija,išgavusi ir pardavusi naftos už:

a) 1,5 m ln. litų; b) 3,2 m ln. litų?9. Įmonės ir organizacijos moka nekilnojamojo turto mokestį. Šio mokesčio

metinis tarifas yra 1% turto vertės. Kokia nekilnojamojo turto vertė, jeigumokestis už metus yra:

a) 25 0L t; b) 175,5 Lt; c) 2,3 tūkst. Lt; d) 0,8 tūkst. Lt?

10. Įmonės kiekvieną mėnesį moka kelių mokestį, kurio tarifo dydis yra0 ,1 - 0 ,5 % tos įmo nės pajam ų. Nuo kiek iki kiek litų gali būti kelių

mokestis įmonės, jeigu jos pajamos yra:a) 25 00 0L t; b) 60 00 00 L t; c) 38,7 tūkst. Lt; d) 2,1 mln. Lt?

11. Privačios žemės savininkas kiekvienais metais moka žemės mokestį. Dir-bamai (žemės ūkio paskirties) žemei to mokesčio tarifas yra 1,5% žemėskainos. Kiek ūkininkas sumokės žemės mokesčio už dirbamą žemę, jeigujos plotas yra:

a) 18 ha; 25 ha, o 1 ha kaina — 2,5 tūkst. Lt;

b) 40,5 ha; 60,2 ha, o 1 ha kaina — 1,8 tūkst. Lt?12. Už įvežam ą į Lie tuvą mazu tą reikia m ok ėti akcizo m okestį, lyg ų 2 0 Lt

už toną, o už įveža m us visų rūšių tepa lus — 240 Lt už toną. Kiek akcizomokesčio reikia mokėti įvežant:

a) 250 tonų m azuto ir 3,5 tonos tepalų;b) 475 tonas mazuto ir 12,5 tonos tepalų;c) 3,05 tūkst. tonų mazuto ir 0,8 5 tonos tepalų;d) 1,89 tūkst. tonų mazu to ir 2,4 tonos tepalų?

13. Akcizo mokesčio tarifas ne senesniems kaip 5 metų ypač prabangiemsautomobiliams yra 15% kainos, viršijančios 60 tūkst. litų. Koks akcizasuž automobilį, kurio kaina yra:

a) 65 000 Lt; b) 72 000 Lt; c) 75 000 Lt; d) 80 000 Lt?

14. Imp ortuojam as alus apmo kestinamas 0,4 Lt akcizu už litrą. Koks akcizomokestis už 250:

a) deka litrų (da£); b) hek tolitrų (M );c) kilolitrų (k£); d) me galitrų (Mt) alaus?



DraudimasNe tik iš reklamos, bet ir iš nukentėjusių įvairių nelaimingų atsitikimų metuesame girdėję, kad „drau stis pigiau". O kokia draudim osi prasm ė apskritai?Žm onės, drausdami savo turtą, draudim o kom panijom s sumoka tam tikrą pinigų

sumą, kuri sudaro tik keletą procentų (ar procento dalių) nuo apdraudžiamo-jo turto vertės, o draudimo kompanijos įsipareigoja įvykus nelaimei sumokėti(priklausomai nuo daugybės sąlygų) visą arba dalį apdrausto turto vertės.PAVYZD YS. Žm ogu s vieneriem s m etam s apdraud ė savo turtą nuo gaisro25 000 Lt sumai, sumokėdamas 0,5% draudimo sumos.Draudimas žmogui kainavo 2 5 0 ^ 0 ' 5 = 25 000 · 0,0 05 = 125 (Lt).Jei gaisras tais metais sunaikintų visą apdraustą turtą, žmogus iš draudimokompanijos gali tikėtis 25 000 Lt kompensacijos.

Aišku , kad drausdam os kom pan ijos tikisi, jog nelaim ė neįvyks. Todėl paprastaidraudimo mokestis yra nedidelis, palyginti su draudimo suma. Kartu draudėjaiįveda visokių apribojimų, kad sumažintų savo riziką. Visais atvejais draudi-mo mokestis nurodomas arba tam tikra pinigų suma, arba draudžiamos sumosprocentais.

1 UŽD AV INYS . Draud žiant nam ų turtą vieneriem s metam s nuo įvairių nelai-mių iki 10 00 0 Lt suma, vie noje draudim o ben drov ėje reikia m okėti 50 Lt. Be

to, taikoma 28% nuolaida. Apskaičiuokite, kiek toje bendrovėje kainuoja namųturto draudimas vieneriems metam s 9999 Lt sum a.

Sprendimas. Kadangi bet kurios draudimo sumos iki 100 00 Lt namų turtodraudimo tarifas yra 50 Lt, tai draudimo mokestis su nuolaida yra 50 — ^ щ р == 50 — 14 — 36 (Lt).

2 UŽDA VINYS. Antrus metus eksploatuojam o lengvojo automob ilio draudimo50 00 0 Lt sumai vieneriems m etams nuo vagystės tarifas yra 2,6% draudimo su-mos, o septintus metus eksploatuojamo lengvojo automobilio draudimo ta pačia

suma — 2,1% draudimo sumos. Apskaičiuokite draudim o mokestį kiekvienuatveju.

Sprendimas. Naujesnio automobilio draudimo nuo vagystės mokestis

5 0 0 0 0 - 2 , 6

100= 5 00 00 0,026 = 1300 (Lt),

o senesnio —

5 0 0 0 0 - 2 , 1100

= 50000 -0,021 = 1050 (Lt).



3 UŽ DA VIN YS. Petraitis ir Jona itis važ inėja tų pačių m etų laidos autom o-biliais. Petraitis vairu oja jau 20 m etų, o Jona itis — 3 me tus. Abu draudž iasavo automo bilius 40 0 0 0 Lt sumai nuo avarijos vieneriems m etams. Jonaitisuž d raudimą sum okėjo 2200 Lt, o Petraitis — 1440 Lt. Ap skaičiuokite Petraičioir Jonaičio automobilių draudimo tarifus procentais.

Sprendimas. Petraičio automobilio draudimo tarifas yra

1

^qoQq

0

= 3 ,6(%), oJonaičio - ¾ ¾ 2 = 5 ,5 (%) .

Paaiškinkite, kodėl Petraičio ir Jonaičio automobilių draudimo tarifai yra ne-vienodi.

Užduotis. O kad būtų aiškiau, kada draudimo kompanijoms ir kokiomis są-lygomis verta drausti, išspręskite tokj uždavinį.

Viename Lietuvos pakraštyje, tarp gūdžių miškų, įsikūręs mažas Draudogalos

kaimelis. No rs kaime lis ir ma žas, bet pakank ama i turtingas: pardavę surinktusgrybus, iškopinėtą medų, konservuotas uogienes ir beržų sulą, jo gyventojaiįprato gyven ti be rūpe sčių. O kad bū tų dar ram iau, visas pag rindinis gy ven tojųturtas buvo apdraustas — iš čia ir kilo kaimelio vardas. Kaimelis turi tik vienągatvę, kurios abiejose pus ėse išsidėstę visi 12 ūkių. K iekvien as nam uka ssu visu ja m e esančiu turtu įvertintas net 40 0 0 0 Lt sum a. Be to, k iekvienasšeimin inkas turi po du autom obilius: vieną sau, kitą — šeimy nai važinėti.Kadangi gyvena kaimiečiai labai ramiai, namų nerakindami, eismo taisyklių

nesilaikydami, draudimo saugomi, tai ir smulkių rūpesčių vis turi:• kartą per metus užsidega kuris nors namas — prarandama 20% turto;

• kartą per m etus į kurį nors na m ą trenkia žaiba s — sudega 2 5% turto;

• ka rtą pe r pusm etį vagys apv agia kurį nors ūkį — prarandama 10% turto;

• kartą per mėnesį važ inėdam i savo vienintele gatve kaim o gyve ntojai apga-dina vienas kito mašinas — bet nestipriai, nes remo ntas kiekvienam avarijosdalyviui vertinamas tik 5% draudimo vertės.

Draudimo kompanija „Kaimelio garantas" kiekvieniems metams draudžia:• visus nam us ir jų turtą visa verte nuo gaisro su 1,5% tarifu , nu o stichinių

nelaimių — su 0,8% tarifu ir nuo vagysčių — su 1,6% tarifu;

• kiekvieno šeimininko abi mašinas kiekvieną 10 00 0 litų sumai nuo avarijų:vieną su 4%, o antrąją — su 8% tarifu;

• kiekvien ą ma šiną nuo vagystės 2,8% tarifu irgi 1 00 00 litų sumai;Ar verta draudimo kompanijai drausti Draudogalos kaimelio gyventojus

surašytomis sąlygomis žinant, kad:a) per metus nepavagiama nė viena mašina;b) per metus pavagiama bent viena mašina?



15. Drau džiant narnų turtą 12 000 Lt sum ai nuo stichinės nelaimės reikia mo-kėti 72 Lt, o draudžian t nam ų turtą tai pačiai sumai n uo vagystės — 192 Lt.Drau džiant 12 00 0 Lt sum ai nuo stichinės nelaimės ir nuo v agystės kar-tu , reikia mo kėti 20% mažiau negu draudž iant atskirai. Kiek procen tų

draudimo sumos reikia mokėti draudžiant abiejomis rizikomis kartu?16. Ū kininka s apdraudė namų turtą nuo stichinės nelaimės ir gaisro 11 000 Lt

sumai, sumokėdamas 0,72% draudimo sumos, ir ūkinio pastato turtą to-kiai pat sumai, sumok ėdamas 1,025% draudimo sumos. Kiek kainavodraudimas ūkininkui?

17. M ūrinio gyve nam ojo nam o d raudimo 75 000 Lt sumai nuo gaisro ir kitųnelaimių tarifas yra 0,15%, o medinio gyvenamojo namo draudimo tokiaipačiai sumai — 0,195%. Kiek litų brangiau kainuoja medinio gyvenamojonamo draudimas?

18. Sodo nam elio draudimo 40 0 00 Lt sumai nuo gaisro, stichinių nelaimiųir įsilaužimo tarifas yra 0,275%, o sodybos draudimas tokiai pačiai su-mai kainuo ja 70 Lt daugiau. Koks sodybos draudimo m okesčio tarifas(procentais)?

19. Žinoma, kad lengvojo automobilio draudimas vieneriems metams nuo:

a) vagystės sudaro 2,4% draudimo sumos;b) autoįvykio sudaro 3,2% draudimo sumos;c) stichinės nelaimės — 0,8% draudimo sumos;d) trečiųjų asmenų tyčinės veikos — 1,2% draudimo sumos.

Kokiai sumai kiekvienu atveju Jonaitis gali apdrausti savo lengvąjį au-tomobilį, jeigu kiekvienu atveju jis planuoja išleisti draudimui tik 180litų?

20. Transporto priemonių savininkų civilinės atsakomybės draudimas trans-

porto priemonės vairuotojui 50 0 00 Lt sumai vieneriems m etams turtineižalai atlyginti kain uoja 4 90 Lt, o asm ens žalai atlyginti — 160 Lt. Kaidraud žiam asi kelerius m etus iš eilės, taikom os nuo laidos: draud žiantisantrus m etus — 5%, trečius — 10%, ketvirtus — 15%, pen ktus — 20%,šeštus ir daugiau — 25%.

a) Kiek proce ntų draudim o sumos sudaro turtinės žalos atlyginimo ir kiekasmens žalos atlyginimo įmokos, draudžiantis pirmais metais?

b) Kiek kainuoja turtinės žalos atlyginimo ir kiek asmens žalos atlygini-

mo draudimas 50000 Lt sumai, draudžiantis iš eilės antrus; ketvirtus;šeštus; aštuntus metus?



SUDĖTINIAIPROCENTAI

1. Sud ėtinės pa lū kan os 16 2. Sudėtinių procentų uždaviniai 22 3. Sudėtinia i procentai i r geometr inė progresi ja 27

Pasi t ikr inki te 33

1



1 Sudėtinės palūkanosJau mokame skaičiuoti paskolos paprastąsias palūkanas. Pavyzdžiui, jeigu sukaimynu Jonu susitarta dėl 10% metinių paprastųjų palūkanų, tai jam pasko-linta 2 500 Lt sum a kasm et pad idėja tuo pačiu dydžiu 2 5 0Q 0

1 0 = 25 0 (Lt). Po

vienerių m etų Jo nas turėtų grąžinti 27 50 Lt, po dve jų — 3000 Lt, o p o trejų —3250 Lt ir 1.1. Paprastųjų palūkanų esmė ta, kad jos kasmet skaičiuojamos nuopradinės paskolos sumos.

Tačiau turim us tu os p ačius 2 50 0 Lt ga lima padėti į bank ą, ku ris skaičiuojasudėtines palūkanas. Šios palūkanos randamos skaičiuojant sudėtinius pro-centus, t . y. procentų procentus. Jeigu bankas m oka 10% m etinių sudėtinių

palūkanų, tai indėlis kasm et pad idėja 1 + = 1,1 karto, nes kitų m etų pa-

lūkanos skaičiuojamos jau nuo priaugusio indėlio. Vadinasi, po metų indėlisbus 250 0 1,1 = 275 0 (Lt), po dvejų m etų - 275 0 1,1 = 3025 (Lt), o po trejų— 3025 · 1,1 = 33 27 ,5 (Lt) ir 1.1. O tai akivaizdi sud ėtinių pa lūka nų nau daindėlininkui, palyginus su paprastosiomis palūkanomis už paskolą kaimynuiJonui.

Kiek kartų kasmet padidėja indėlis banke, kuris skaičiuoja 8% metinių sudėtiniųpalūkanų?

1 užduotis. Ap skaičiuokite, kam bus lygus 10 00 0 Lt indėlis banke, kuris mo ka8% metinių sudėtinių palūkanų, po vienerių, dvejų, trejų, ketverių, penkeriųmetų.

Apskritai jeigu pradinis indėlis banke yra S, o bankas moka p% metinių sudė-tinių palūk anų, tai indėlis kasm et pad idėja (l + ) karto. Todėl:po metų jis bus Si = S (l +

po dvejų - S 2 = S 1 (1 + = S ( l + · ( l + = S ( l + ^ ) 2 ;

po trejų - S 3 = S 2 ( l + 4 ) = 5 ( 1 + · ( l + fa) = S ( l + ^ ) 3 ;

po ketverių - S 4 = S 3 ( l + fa) = S ( l + fa)3 · ( l + fa ) = S ( l + ^ ) 4 ;

po Г me tų - S i = S ,_ , ( l + fa ) = S (l + ^ ) ' " 1 - ( 1 + 1 ¾ ) = ^ ( 1 + fa)'·

Vadinasi, jeig u prad inis indėlis banke yra S, o sudėtinių palū kan ų no rm a —

p%, tai indėlio banke sumą S t po t metų galima apskaičiuoti pagal formulę

S ( = 5 ( l + į ) ' , teN



1 UŽ DA VIN YS. Į ban ką dvejiem s me tams buvo padėta 1500 Lt. Po dvejųmetų indėlio suma banke buvo 1685,4Lt. Raskite banko palūkanų normą, jeibankas skaičiuoja sudėtines palūkanas kartą per metus.

Sprendimas. Kadangi S = 1500Lt, S 2 = 168 5,4L t, O t = 2 m., tai

1 6 8 5, 4 = , 5 0 0 ( ! + J l ) 2 , ( 1 + ^ ) 2 = 1,1236.

Iš čia 1 + Y^q = 1,06 (reiškinio 1 + reikšm ė nega li būti neigia m a),p = 6%.

Atsakymas. Banko sudėtinių palūkanų norma yra 6%.

2 UŽ DA VIN YS. Po trejų me tų banke, kuris skaičiuoja 6% m etinių sudėtiniųpalūka nų, indėlio suma buvo 1786 ,52 Lt. Kiek pinigų bu vo padėta į bank ą?Sprendimas.

Kadangit

= 3m ., S3 = 1786,52 Lt,p = 6%,

ta iα 1786,52

1786,52 = S· 1 ,06 3 , S = Ц - » 1500 (Lt).1 ,063

Atsakymas. Į banką buvo padėta 1500 Lt.

Sudėtinės palūkanos gali būti skaičiuojamos ne tik už metus, bet ir kitokiaislaiko tarpsnia is, pavyzdžiu i, ka s pu sm etį, kas ketv irtį, ka s m ėnesį. Jeigusudėtinės m etinės palūkano s p% už indėlį S skaičiuojamos m kartų per metus,

tai kaskart skaičiuojam os sudėtinės palūka nos, o priskaičiuota sum a Smt

po t m etų, t. y. po m-t laiko tarpsnių, bus:

Smt = S{\ + -foof', m e N, t e N

Ši formulė gaunama analogiškai kaip ir S f = S(1 + t e Л Г.Pavyzdžiui, jei bankas skaičiuoja sudėtines palūkanas kas mėnesį (m = 12),

12 1tai po metų (t = 1) indėlis bus Si 2 . i = S(l + yôoo)

3 UŽ DA VIN YS. Ap skaičiuokite palūkan ų sumą, kuri susidaro po trejų me tų,pa dėjus 1500 Lt į ban ką, kuris m ok a 6% m etinių sudėtinių palūka nų, jeig upalūkanos skaičiuojamos kas pusmetį.

Sprendimas. Šiuo atveju palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus(m = 2), todėl laiko tarpsnių yra 2 · 3 = 6, o pusmetinės palūkanos sudaro6 · j = 3 (% ). Vad inasi, ban kas u ž 1500 Lt indėlį 6 kartu s skaičiuos sudėtines3% p alūk ana s. Todėl po 3 m etų ban ke už 1500 Lt indėlį bus priska ičiuota :

S 6 = 5 (1 + 1¾ ) 6 = 1500 · 1,03 6 ^ 1791 ,08 (Lt).Palūkanos sudaro 1791,08 - 1500 = 29 1,08 (Lt).Atsakymas. 291,08 Lt.



Priklausomai nuo palūkanų rūšies yra pastoviųjų palūkanų ir mažėjančiųjąpalūkanų paskolos. Pastoviųjų palūkanų paskolas aptarėme 9 klasėje nagrinė-dami paprastuosius procentus. Jų esmė ta, kad palūkanos visą laiką skaičiuo-j amos nuo pradinės paskolos sumos, nors paskola grąžinama dalimis ir skolossuma vis mažėja.

Kai paskola grąžinama dalimis, o palūkanos skaičiuojamos tik nuo likusiosnegrąžintos paskolos dalies, ji vadinama mažėjančiųjų palūkanų paskola.

PAVYZDYS. 450 0 Lt paskola turi būti grąžinta per 3 me tus lygiom is dalimissu kasm etinėmis 9% m ažėjančiosiomis palūkano m is. Sudarykim e paskolosgrąžinimo planą.

Ka sm et reikia grąžinti 450 0 : 3 = 1500 (Lt), t. y. trečdalį paskolos.Paskolos likutis:

po m etų - 450 0 - 1500 = 3000 (Lt);po dvejų m etų - 3000 - 1500 = 1500 (Lt);po trejų m etų - 1500 - 1500 = 0 (Lt).

Kasmet reikia sumokėti palūkanų:pirmųjų metų gale — 4500 · 0,09 = 405 (Lt);antrųjų me tų gale - 3000 · 0,09 = 270 (Lt);trečiųjų m etų gale - 1500 · 0,0 9 = 135 (Lt).

Paskolos grąžinimo planą patogu surašyti į lentelę:

Mo k ė j i m a i(metai)

Paskolos l ikut is(litai)

Pa lūkanos(litai)

Grąž inamapaskola (l i tai)

Iš v iso grąžinama(litai)

1 450 0 405 1500 1905

2 3000 270 1500 1770

3 1500 135 1500 1635

Iš viso: — 810 4 5 0 0 5 3 1 0

2 užduotis. Sudarykite paskolos grąžinimo planą, jei 4 500 Lt paskola turi būtigrąžinta per 3 metus lygiomis dalimis su kasmetinėmis 9% pastoviosiomispalūkanomis.



21. Į ban ką padėta 800 0 Lt. Kok ia indėlio sum a bus banke po 2 metų, jeibankas kartą per metus skaičiuoja:a) 5% ; b) 5,5 % ; c) 6% ; d) 6,5% sudėtines palūkanas?

22 . a) Padėta 300 0 Lt į banką, ku ris m oka 7,5% m etinių sudėtinių palūk anų .Kiek palūkanų bus gauta iš banko po dvejų metų?

b) Verslininkas gavo 300 0 Lt paskolą dvejiems metam s su 7,5% metinė-m is paprastosiom is palūkano mis. Kiek palūkanų sum okės verslinin-kas?

23. Paskolinta 7500 Lt trejiem s metam s su 6% palūkanų norma. Kiek busgauta palūkanų už paskolą, jei sutartos:

a) paprastosios palūkan os; b) sudėtinės palūkan os?

24. Apskaičiuokite palūkanų sumą, kuri gaunama per 4 metus su 4,5% sudė-tinių metinių palūkanų norma padėjus į banką:a) 3000 Lt; b) 3500 Lt; c) 400 0 Lt; d) 450 0 Lt.

25. Indėlio ban ke sum a (litais) priklausom ai nuo metų skaičiaus t apskaičiuo-jama pagal formulę S t = 1500 · 1,08?.

a) Kiek litų padėta į ba nką?b) Kokia banko metinių sudėtinių palūkanų norma?c) A pskaičiuokite indėlio sumą po 1; 3; 4 metų.d) Kiek už indėlį bus priskaičiuota palūkanų po 8 m etų; po 10 m etų?

26. ICiek me tinių sudėtinių pa lūkan ų skaičiavo ba nka s, jei padėtas 200 0 Ltindėlis per dvejus metus išaugo iki:a) 216 3,2L t; b) 220 5Lt; c) 224 7,2L t; d) 222 6,05L t?

27 . Kiek pinigų reikia padėti į ban ką su 8% metinėmis sudėtinėmis palūka-nomis, kad susidarytų 12 tūkst. litų suma po:a) 2 m etų; b) 3 m etų; c) 4 m etų; d) 5 metų?

28. Petraitis pa dėjo 7500 Lt į bank ą, kuris mok a 6% metinių sudėtinių palū-kanų. Po kiek laiko jo indėlis banke priaugs iki:a) 893 2,62 Lt; b) 946 8,58 Lt?

29*. Indėlininkas atidarė 10000Lt sąskaitą banke, kuris moka 7,5% metiniųsudėtinių palūkanų. Po kelerių metų toje sąskaitoje bus ne mažiau kaip:a) 15 00 0L t; b) 160 00 Lt; c) 17 500 Lt; d) 185 00 Lt ?



30. Kiek kartų ir kokio didumo (procentais) sudėtinės palūkanos už laikotarpsnį buvo skaičiuojamos banke už indėlį padėtą:a) dvejiems metams su 7% metinėmis palūkanomis skaičiuojant jas kas

pusmetį;b) trejiems metams su 12% metinėmis palūkanomis skaičiuojant jas kas

mėnesį?

31. Ap skaičiuokite palūkanų sumą, kuri susidaro per 2 metus padėjus 10 000 Ltį banką, mokantį 12% sudėtinių palūkanų, jeigu bankas palūkanas skai-čiuoja kas:a) pu sm etį; b) ketu ris m ėnesiu s; c) ketv irtį; d) m ėnesį.

32. M etams padėta 10 00 0 Lt į banką, kurio palūkanų norm a yra 12%. Kaipnaudingiau indėlininkui, ar kai bankas skaičiuoja sudėtines palūkanas kasketuris mėnesius, ar kas du mėnesius?

33. 4000 Lt paskola turi būti grąžinta per 4 metus lygiomis dalimis su kasme-tinėmis 13% mažėjančiomis palūkanomis. Sudarykite paskolos grąžinimoplaną.

34. 20 000 Lt paskola turi būti grąžinta per 5 m etus lyg iomis dalimis su kas-metinėmis 15% mažėjančiomis palūkanomis.a) Sudarykite paskolos grąžinimo planą.b) Kiek skolininkas iš viso sum okės per 5 metus?

35. Kiek palūkanų reikės sumokėti už 2400 Lt paskolą, kuri turi būti grąžintaper 3 metus lygiomis kasmetinėmis dalimis su:a) 10% m ažėjančiomis palūkano m is;b) 6% pastoviosiomis palūkanomis?

36. Apdraudžiant butą daugiabučiame name nuo gaisro ir kitų nelaimingųatsitikimų reikia mokėti 0,11% buto draudimo sumos.a) Kiek reikia mokėti draudžian t bu tą 55 000 Lt; 60 000 Lt sum ai?

b) Kokiai sum ai apdraustas butas, jeigu draudim o įm oka yra 49 ,5 Lt;82,5 Lt?

37. Statybininko draud imas traumo s atveju m etams kainu oja 180 Lt. Kokiaisumai apsidraudęs statybininkas, jeigu jam reikėjo mokėti nuo draudimosumos:a) 2,0% ; b) 1,8%; c) 1,5%; d) 1,2% ?

38. Akcizo mokesčio tarifas ne senesniems kaip 5 metų ypač prabangiems

autom obiliams yra 15% kainos, viršijančios 60 00 0 Lt. Ap skaičiuokiteįsigyto automobilio kainą, jei įsigyjant tokį automobilį buvo sumokėtasakcizo mokestis, lygus:

a) 675 Lt; b) 1575 Lt.



39 . Prekė kainavo 18 Lt. Penkis kartus po tiek pat litų atpiginus prekę dabarji kainuoja:

a) 15 Lt; b) 14 Lt.

Apskaičiuokite, kiek litų kiekvieną kartą atpigo prekė, ir parašykite prekėskainų nuo pradinės iki dabartinės reikšmių seką.

40. Lygiakraščio trikampio kraštinė lygi 4- ч /Зст. Apskaičiuokite:a) trikampio aukštinę;b) trikampio plotą;c) apibrėžto apie trikampį skritulio plotą;d) įbrėžto į trikampį apskritimo ilgį.

41. Vėtra nulaužė 16 m a ukščio me dį. M edž io viršūnė remias i į žem ę 8 metrųatstumu nuo kamieno. Kokiame aukštyje nuo žemės nulūžo medis?

42. Tomas ir Gintaras važiuoja dviračiais žiediniame treke. Tomas treko žiedąnuvaž iuoja per 4 minutes, o Gintaras — per 3 minutes. Kas kiek laikoGintaras aplenkia Tomą?

A 3 m i n B 4 m i n C 7 m i n D 12min E 2 5 m i n

43. Trijos e dėžutėse yra žirniai, kruopo s ir cuk rus. An t vienos dėžutės pa-rašyta „K ruopos", ant antros — „Žirniai", o ant trečios — „Kruop os arbacukrus". Žinoma, kad dėžučių turinys neatitinka užrašų ant dėžučių. Ku-rioje dėžutėje kas yra?



2 Sudėtinių procentų uždaviniai

Ne tik palūkanų skaičiavimai susiję su sudėtiniais procentais. Vystantis lais-vajai rinkai labai populiarūs tampa prekių perkainojimai priklausomai nuo pa-

klausos, sezono arba net nuo švenčių.Jau mokame apskaičiuoti, kokia bus prekės kaina, ją atpiginus (pabranginus)keletą kartų po tiek pat procentų.Pavyz džiui, jei pre kė kainavusi 20 Lt buvo atpigina ma tris kartus po 5 % , tai:

po pirmojo atpiginimo ji kainavo 20 · 0,9 5 = 19 (Lt);po antrojo - 19 · 0,9 5 = 18,05 (Lt);po trečiojo - 18,05 · 0,95 ^ 17,15 (Lt).

Kiek būtų kainavusi prekė, ją branginant 3 kartus po 5%?Jeigu prekė, kurios kaina buvo S, atpiginama (pabranginama) n kartų po pprocentų, tai kiekvieną kartą prekės kaina sumažėja (l — -fa) karto. Todėl:

po pirmojo kainos sumažinimo prekės kaina bus Si = S(l — -щ ^);

po antrojo - S 2 = S 1 (1 - = S( 1 - J^ 0) ;

po t rečiojo - S 3 = S 2 ( l - too) = s( l - j fį) ;

po «-tojo kainos sumažinimo prekės kaina bus

s»=M1 - ^ M 1 - ш ГUžduotis. Analogiškai samprotaudami parašykite prekės, kainavusios SLt,kainą po pirmojo, antrojo, trečiojo, . . . , n-tojo kainų pabranginimo po p%.Apskritai jeigu prekė kainavusi S buvo n kartų atpiginama (pabranginama) pop procentų, tai jos dabartinę kainą Sn galima apskaičiuoti pagal formulę

S" = S( 1 T fa )n

1 UŽD AV INYS. Prekė atpigo tris kartus po 12%. D a b a rj i kainuo ja 102,22 Lt.a) Kiek kainavo prekė iš pradžių?b) Kiek procentų (šimtosios tikslumu) atpigo prekė?

Sprendimas, a) Kadangi n = 3, p = 12%, S3 = 102,22 Lt, tai pagal form ulę:

102,22 = 5(1 - j ^ ) 3 , 102,22 = S - 0 , 8 8 3 , S = « 150 (Lt).

b) Prekė atpigo " 50 -1 0 ЗД .И Х ) % 3 1 , 8 5 ( % ) .

Atsakymas, a) ^ 150 Lt; b) Rs 31,8 5% .



2 UŽD AV INYS. Prekė kainavo 40 Lt. Du kartus po tiek pat procentų pabran-ginus prekę, ji dabar k ainuoja 48,4 Lt. Kiek procentų kiekvieną kartą pabrangoprekė?

Sprendimas. Pagal formulę:

4 8,4 = 4 0 f l + — ) , ( \ + — ) = 1,21.V 100/ V 100/

Ka dangi 1 + fa > 0, tai

, + m = y T J i · 1 + 4 = u · " = l0%·Atsakymas. Prekė kiekvieną kartą pabrango po 10%.

3 UŽD AV INYS. Gy venam ojo nam o pradinė vertė yra 1000 00 Lt. Kasm etnamo vertė sumažėja po 0,9%. Kokia bus gyvenamojo namo likutinė vertė po:a) 5 me tų; b) 10 m etų?Sprendimas.a) Po 5 metų gyvenamojo namo likutinė vertė bus:

100000 • ( l - - ^ )5

= 100000 · (1 - 0,00 9)5

== 1 0 0 0 0 0 - 0 , 9 9 1 5

« 95 580 ,27 (Lt),

b) Po 10 metų gyvenamojo namo likutinė vertė bus:

100000- / 0 , 9 \ 10 i n( l - - M = 1 00 00 0 · 0,99 1 91 355,89 (Lt).

Atsakymas, a) 95 580,27 Lt; b) 91 355,89 Lt.



44. Prekė kainavo 75 Lt. Kokia prekės dab artinė kaina, jei ji po 10% atpigo:a) du kartu s; b) tris kartu s; c) ketu ris kartus ; d) pen kis kartu s?

45. Prekė kainavo 75 Lt. Kok ia prekės dab artinė kaina, jei ji po 8% pabran go:

a) du kartus; b) tris kartus; c) keturis kartus; d) penk is kartus?46. Prekė atpigo du kartus po 15%. Dabarji kainuoja 130,05 Lt.

a) Kiek kainavo prekė iš pradžių?b) Kiek procentų iš viso atpigo prekė?c) Kiek kainavo prekė po pirm ojo kainos sum ažinimo?d) Kiek kainuotų prekė jos da bartinę kainą padidinus du kartus po 15%?

47. Prekė atpigo du kartus po 5%. D abar ji kainu oja 126 ,35 Lt.

a) Kiek kainavo prekė iš pradž ių?b) Kiek procentų iš viso atpigo prekė?c) Kiek kainavo prekė po pirm ojo kainos sum ažinimo?d) Kiek kainuotų prekė jos dabartinę kainą sumažinus dar tris kartus

po 5%?

48. Prekė kainavo 50 Lt. Keliais procentais k iekvieną kartą pakito prekėskaina, jei du kartus po tiek pat procentų:a) atpiginus prekę, dabar ji kainu oja 38,7 2 Lt;b) pabrang inus prekę, dabar ji kainuo ja 58 ,32 Lt?

49. Atidarius parodą pirmąją dieną ją aplankė 2000 žmonių, o kiekvieną kitądieną — vis 10% lankytojų mažiau, negu prieš tai buvusią. Kiek žmonių(dešimties tikslumu) aplankė parodą:a) trečiąją dieną; b) ke tvirtąją dieną; c) per 3 diena s; d) per 4 dienas?

50. Bakterijų skaičius mėgintuvėlyje kasdien padidėja penkis kartus.a) Kiek bakterijų mėgintuvėlyje bus po 4 dienų, jei daba r jų y ra 500 ?

b) Kiek kartų bakterijų skaičius mėgintuvėlyje po 4 dienų bus didesnisuž jų pradinį skaičių?

51. Tam tikros rūšies piktžolių skaičius sklype, jų nenaikinant, kasmet pa-didėja trigubai. Daba r piktžolių yra 50. Kiek šių piktžolių bus sklypepo:a) dvejų m etų; b) trejų m etų?

52. Staklės pirktos už 25 000 Lt. Kasmet jos nuvertėja po 20%.

a) Kokia bus staklių vertė po 6 metų; po 9 m etų?b) Kiek procentų (tūkstantosios tikslum u) nu vertės staklės per 6 m etus;

per 9 metus?



53. Du metus kasm et m iesto gyv entojų skaičius sum ažėjo po tiek pat procentų.Po kiek procentų sumažėjo kasmet miesto gyventojų skaičius, jeigu jissumažėjo nuo 250000 iki :a) 230 400 ; b) 220 900 .

54. Prekė kainavo a Lt. Ka ip ir kiek procentų pakito prekės kaina, jei prek ėbuvo:a) atpiginta du kartus po 10%, o po to pabranginta du kartus po 10%;b) pabranginta du kartus po 20%, o po to atpiginta du kartus po 20%?

55 . Jeigu prekės kaina du kartus po tiek pat procentų būtų pad idinta, tai pre-kė kainuotų 11 236 Lt, o jeigu sumažinta — tai kainuotų 8836 Lt. Kiekkainuoja prekė?

56 . Išspręskite lygtį:

a) 4 = r z = 0 ; b ) ^ ψ = 0.' χ2 — 1 6 ' ' X2-A X

57. Kavinės savininkė, tirdama sąnaudas vienam didžkukuliui pagaminti irrealizuoti, nustatė, kad vieneto savikaina S(Jc) centais tą dieną, kai išver-dama ir realizuojama л; didžkukulių, yra:

a ) S( J C ) = 2 J C 2 - 280 J C + 1 0 1 0 0 ; b ) S(x) = 3x2 - 480 J C + 1 9 4 7 0 .

1) Kiek reikia parduoti didžkukulių, kad vieneto savikaina būtų mažiau-sia?

2) Kokia minimali didžkukulio savikaina?58 . Iš skaičių 1,5 ; 3; —2; 0; 1; 7r; л/3; —η išrinkite:

a) natūraliuosius skaičius;b) sveikuosius skaičius;c) racionaliuosius skaičius;d) iracionaliuosius skaičius;e) realiuosius skaičius.

59 . Tren iruotėje žaidžiant krepš inį žaidėjų pelnyti taškai pava izduoti diagra-moje .

С Л

•>ΰ 5

•£ JŠ 4 ·O «ιS . ? 3

C £ 2"1 * , , , , ? , , ,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 Pe lnytų ta škų ska ič ius

a) Kiek žmo nių treniruo tėje žaidė krepšinį?b) Kiek taškų (dešimtosios tikslumu) vidutiniškai pelnė vienas žaidėjas?



60. Duotą skaičių parašykite standartine išraiška ir nustatykite, kokia jo eilė:a) 80 00 0; b) 0,0173 .

61. Raskite л:, jeig u:

a) 5000 Ц = χ ; b) 0,0 5

6 3 .

A 0,05 B 0,5 C 5 D 50 E 500

62. Trikampis ABC (Z C = 90°) - statusis, kurio AC = 6 c m , BC = 3 c m .Atkarpoje AC pažymėtas toks taškas M, kad AM = χ (0 < χ < 6), o

spindulyje CB (atkarpos CB išorėje) — toks taškas K , kad B K = x.a) Įrodykite, kad trikampio ACK plotas yra lygus (3* + 9) cm 2 .b) Raskite trikampio BCM plotą.c) Raskite keturkampio AMBK plotą.d) Su ku ria χ reikšme keturkampio AMBK plotas lygus trikampio BCM

plotui?e) Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijos S\(x),

reiškiančios trikampio BCM ploto priklausomybę nuo x, grafiką irfunkci jos S2(x), reiškiančios keturkampio AMBK ploto priklauso-mybę nuo χ, grafiką.

f) Remdamiesi punktu e) nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis ketur-kampio ploto (x ) reikšmės yra mažesnės už trikampio ploto 5| (x )reikšmes.

Nuo stačiakampio popieriaus lapo nukirpus vieną kampą gautas penkia-kam pis, ku rio kraštinių ilgiai didėjančia tvarka yra 3 cm, 5 cm, 9 cm, 10 cmir 13 cm. Raskite gautojo penkiakampio plotą.

64*. Veja yra stačiakampio form os. Jos ilgis yra x,o plotis — y. Vejos viduryje yra įrengtas stačia-kampis baseinas. Baseiną juosia vienodo pločio cvejos takas. Baseino ilgis yra a, o plotis — b.

Parašykite priklausomybę:a) tako pločio c nuo χ ir a;

b) tako ploto 5i nuo a, b irc) baseino ploto 5 2 nuo x, y ir c.



3 Sudėtiniai procentai ir geometrinėprogresija

Nagrinėtuose dviejuose skyreliuose įsitikinome, kad sudėtinės palūkanos, spren-džiant įvairius uždavinius, buvo skaičiuojamos pagal vieną ir tą patį algoritmą.Jo esmė — tam tikro dy džio pradinės reikšmės dauginimas vis iš to patiespastovaus skaičiaus. Sis skaičius, priklausomai nuo konkrečios situacijos, yra

I - - L arba 1 + P ·100 100'

čia p — sudėtiniai proce ntai.

1 PAVYZD YS. A psk aičiuokim e 5000 Lt indėlio, pad ėto į bank ą, kuris skai-čiuoja 6% metinių sudėtinių palūkanų, augimą pirmaisiais penkeriais metais.

Pirmųjų metų pradžioje indėlio suma banke yra 5000 Lt.

Kadangi kasmet indėlis padidėja (l + - щ ) = 1,06 karto, tai :

antrųjų metų pradžioje banke bus 5000 · 1,06 = 5300 (Lt),

trečiųjų metų pradžioje - 5300 · 1, 06 = 5000 · 1,062 = 5618 (Lt),

ketvirtųjų metų pradž ioje - 5618 · 1,06 = 5000 · 1,06 3 = 5955,08 (Lt),penktųjų metų pradžioje - 5955 ,08 · 1,06 = 5000 · 1,064 = 6312,38 (Lt).

Kaip matome, nagrinėjamo pavyzdžio indėlio sumą bn (litais) n-tųjų m etų p ra-džioje galima apskaičiuoti ir pagal formulę

bn = 5000 · 1 , 0 6 й - 1 .

Iš eilės surašykime indėlių sumas kiekvienų metų pradžioje:5000; 5300; 5618; 5955,08; 6312,38; . . .

Šios sekos kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas prieš jį esantį narįpadauginus iš skaičiaus 1,06.

Nelygią nuliui skaičių seka (Jbn), kurios kiekvienas narys, praded antantruoju, lygu s prieš jį einančiam nariui, padaugintam iš pastovaus

nelygaus nu liui skaičiaus (tas skaičius vadinamas geometrinės progresijosvardikliu), vadinama geometrine progresija.



Geometrinės progresijos nariai paprastai žymimi taip: b\, b^, ..., bn, ...; čiabn φ O, n e N; b\ — pirmasis progres i jos narys , . . . , bn — n-tasis progresijosnarys. Žinant geometrinės progresijos pirmąjį narį b\ ir vardiklį q, galimanuosekliai apskaičiuoti antrąjį, trečiąjį ir apskritai — bet kurį jos narį:

bl = b\q,b3 = biq = Cb\q)q = biq2,

b4 = b3q = (b\q2)q = b {q3,

bn = hqn~ l

Ši formulė vadinama geometrinės progresijos «-tojo nario formule.Štai keletas geometrinių progresijų pavyzdžių:

a) kai b\ = 1 ir q = 0,2, gauname 1; 0,2; 0,04; 0,008; . . . ;b) kai b\ = —1 ir q = 4, gauname —1; —4; —16; —64; ...;c) kai b\ = 2 ir q = -4 , gauname 2 ; —8; 32 ; -128 ;

2 PAVY ZDYS. A pska ičiuok ime mo torinės valties, kurios pradinė vertė buvo600 0 Lt, likutines vertes per pirmu osius ke tverius m etus, je i kasm et v alties

vertė sumažėja po 15% buvusios vertės. Raskime motorinės valties vertę po10 metų.

Motorinės valties likutines vertes per pirmuosius ketverius metus galima ap-skaičiuoti prieš metus buvusią vertę dauginant iš skaičiaus 1 — = 0,85.Valties vertė bus:

pirmaisiais metais — 6000 Lt;

antraisiais metais — 6000 · 0,85 = 5100 (Lt);

trečiaisiais m etais - 510 0 · 0,85 = 6000 · 0 ,85

2

= 4335 (Lt);ketvirtaisiais m etais - 433 5 · 0,85 = 6000 · 0 ,85 3 = 3684,75 (Lt).M otorinės valties vertę po 10 m etų, t. y. vienuo liktaisiais m etais, galim a ap -skaičiuoti pagal formulę b\\ = b\ • q l Taigi jo s likutinė vertė po 10 metųbus 6000 · 0 ,85 1 0 ^ 1181,25 (Lt).

3 PAVYZDY S. A pskaičiuokim e, kiek iš viso uždirbo darbuo tojas per ketvirtį,jeigu žinom e, kad pirm ąjį m ėnesį jo atlyginima s bu vo 800 Lt, o po to k asmėnesį, atlyginimas didėjo vis 3%.

Antrąjį mėnesį darbuotojas uždirbo 800 • 1,03 = 824 (Lt), trečiąjį m ėnes į —824 · 1,03 = 848,72 (Lt), o per tris mėnesius darbuotojas iš viso uždirbo800 + 824 + 848,72 = 2472,72 (Lt).



Kaip matome, kai reikia rasti tik kelių geometrinės progresijos narių sumą,paprasčiausiai apskaičiavę šiuos narius juo s sudedam e. Jeigu reikia apskai-čiuoti keliolikos ar keliasdešimties narių sumą, skaičiavimus labai palengvinageometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė.Apskaičiuokime geometrinės progresijos b\, b2, £3, · · · , kurios vardiklis yra q,

pirmųjų n narių sumą Sn:Sn=bi+b2 + b3 + --- + bn-i+bn. (1)

Šios lygybės abi puses padauginę iš q gauname:

Snq = b\q + b2q+b3q + b bn-iq + bnq.

Kadangi b\q = b2, b2q = b3, b3q =b4, ..., bn-iq = bn, ta i

Snq = b2 + b3 + bĄ + --- + bn+bnq. (2)

Iš (2) lygybės panariui atėmę (1) lygybę ir sutraukę panašiuosius narius gau-name:

Snq = b2 + b3+b4-\ 1-bn + bnq,

Sn = b\ + b2 + b3 + b4 H h bn,

Snq - Sn = bnq - bi,

Sn{q - 1) = bnq - b\.

Iš čia

e _ bnq-b\. , ,^n — q_\ , q Ψ

1

4 PAVYZDYS. Da rbuotojo atlyginimas sausio mėnesį buvo 800 Lt. Metuslaiko kas mėnesį darbuotojo atlyginimas didėjo po 2%. Apskaičiuokime, kiekiš viso darbuotojas uždirbo per metus.

Sprendimas. Darbuotojo uždarbis per metus atitinka geometrinės progresijos,л

kurios pirmasis narys b\ = 800, o vardiklis q = 1 + ТШ = ' O^5 pirmųjųdvylikos narių sumą Si 2 . Dv yliktasis narys yra b\2 = 800 · 1 ,0 2 1 2 - 1 == 800· 1 ,02 1 1 « 994,70.

Pagal formulę S12 =b n

^Zi1

turime:9 9 4 , 7 0 - 1 , 0 2 - 8 0 0 2 1 4 , 5 9 4

Si2 % ! ! = - ½ — = 10 729 ,7 (Lt).z 1 , 0 2 - 1 0 , 0 2



65. Į ban ką padėta 1 00 00 Lt. Indėlis kasm et pad idėja 8%. Parašyk ite, kaipaugo indėlis banke pirmais ketveriais metais.

66. Parašykite medienos kiekio miško sklype reikšmių seką per penkerius

metus, jeigu pradinis m edienos kiekis lygus 3,0 · IO4

m3

, o medienosprieaugis per metus sudaro:a) 10%; b) 12%.

67. Šeim a išlošė 4 0 0 0 0 Lt ir nutarė kasm et išleisti 20% likutinės laimėjimosumos. Kiek litų laimėjimo bus likę po:a) 3 m etų; b) 4 m etų; c) 5 me tų; d) 6 m etų?

68. Slėgis inde yra 750 mm H g. Kiekv ienu siurblio stūmo klio jude siu iš indoišsiurbiama 15% jame esančio oro. Apskaičiuokite, koks bus oro slėgis(vieneto tikslumu) inde po:a) dviejų ; b) keturių; c) septynių; d) dešim ties stūm oklio jud esių.

69. M iesto gyventojų prieaugis per metus sudaro vidutiniškai 5% . Dabarmieste gyvena 50 00 0 gyventojų. Kiek reikia tikėtis mieste gyventojų(šimtų tikslumu) po:a) penke rių me tų; b) dešim ties m etų?

70*. Išlošusi „Aukso kapšą" šeima kasmet išleisdavo po 25% likutinės pinigų

sumos. Po 4 metų šeimai buvo likę 126562,5 Lt.a) Kokia buvo laimėjimo suma?b) Kiek laimėjim o bus likę šeimai po 10 me tų?c) Kiek litų išleido šeima per ketverius pirm uosius me tus; penk erius pir-

muosius metus?

71*. Po kelerių m etų iš palikim o sum os beliks 62 ,5 Lt, jei k asm et įpėdiniaiišleidžia po 50% likusios sumos, o palikta buvo 8000 Lt?

72. Ba kterijų skaičius inde kasdien pad idėja keturis kartus. Kiek bakterijųbus inde po 5 dienų, jei iš pradžių jų buvo:a) 500; b) 600 ?

73. Į lyg iak raš tį trikam pį, ku rio krašt inė lygi 32 cm , įbrėžtas kita s trikam pis ,kurio viršūnės yra pirm ojo trikam pio kraštinių vidurio taškai. Į antrąjįtrikampį tokiu pačiu būdu įbrėžtas trečiasis trikampis ir 1.1.a) Įsitikinkite, kad šių trikamp ių perimetrai sudaro geom etrinę prog resiją.b) Kiek procentų pirm esniojo trikampio perimetro sudaro paskesniojo tri-

kampio perimetras?c) Raskite septinto tokio trikam pio perimetrą.d) Apskaičiuokite septynių pirmųjų trikampių perimetrų sumą.



74. Darbininko atlyginimas sausio mėnesį buvo 750 Lt. Vėliau kas mėnesį jisdidėjo po:a) 2%; b) 3,5% .Kiek iš viso darbininkas uždirbo per metus?

75. Šeima sausio mėnesį suvartojo 200 kWh elektros energijos. Pusę metų kas

mėnesį jiems pavyko sutaupyti elektros energijos, palyginti su praėjusiumėnesiu, po:a) 3%; b) 4% .Kiek kilovatvalandžių elektros energijos šeima suvartojo per pusę metų?

76. Į bank ą, kurio m etinių sud ėtinių palūk anų norm a 5% , pa dėta 4000 Lt.Parašykite formulę, pagal kurią galima apskaičiuoti indėlio sumą bankepo t metų, jeigu bankas palūkanas skaičiuoja kas:a) pu sm etį; b) ke tvir tį.

77. Indėlis, padėtas į banką, kuris skaičiuoja sudėtines palūkanas, po vieneriųmetų išaugo iki 6300 Lt, o po dvejų metų — iki 6615 Lt.a) Kokia banko palūkanų norma?b) Kiek pinigų buvo padėta į banką?c) Iki kiek išaugs indėlis po 5 m etų; 8 m etų?

78. Nam ų turto draudim o didesnei negu 150 00 0 Lt sumai įmo kos tarifas yra0,2% . Taikoma iki 50% nuolaida priklausom ai nuo turto apsaugos po-būdžio, jeigu draudžiam a nebe pirmu s metus ir pan. Kokia gali būtimažiausia įmoka draudžiant turtą:a) 151 000 Lt; b) 160 000 Lt; c) 175 000 Lt; d) 200 000 Lt sum ai?

79. Akcizo mokesčio tarifas reaktyvinių variklių kurui, žibalui, dyzeliniamsdegalams, skystam krosnių kurui yra vienodas. Už 2,5 tūkst. tonų dyzeli-nių degalų sum okėtas 1 400 000 Lt akcizo mo kestis. Koks akcizo m okestisbus už:

a) 780 tonų dyze linių dega lų; b) 1250 tonų reak tyvinių variklių kuro ;c) 450 tonų žibalo; d) 2050 tonų skysto krosnių kuro?

80. Raskite taškų, kuriuose kertasi funkcijų f(x) = x2 — 1 ir gQt) = 3x — 3grafikai, koordinates.

81. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

a ) 3 ~ 6 - ( - i ) 3 ; b) (V 50 - 5л/18) · 3 V2; с) (У з - 1 ) ( ^ 3 + l ) .> J ' V 27/ ' ' Vv

82. Išspręskite nelygybių sistemą:

4 - 3x > χ + 6,2x + 3 < χ + 2.



84. Plytelėmis reikia iškloti lygiakraščio trikampio formos aikštelę, kurioskraštas lygu s 2 m . Pard uotuv ėje yra plytelių, kurios yra lygiakraščio tri-kampio formos ir kurių kraštas yra 1 dm ilgio. Kiek reikia tokių plyteliųaikštelei iškloti?

A l O O B 200 C 300 D 400 E 600

85*. Reikia pagaminti 36 dm 3 tūrio stačiakampio gretasienio formos atvirą dė-žę. Kokie turi būti dėžės matmenys, kad briaunų ilgiai decimetrais būtųišreiškiami natūraliaisiais skaičiais, didesniais už 1, o dėžės paviršiausplotas būtų mažiausias?



Pasitikrinkite1. Į banką, kurio m etinių sudėtinių palūk anų norm a yra 6% , padėta 500 0 Lt.

Kiek palūkanų bus gauta po:

a) dv ejų; b) trejų; c) ketverių; d) pen kerių m etų?

2. Į ban ką padėta 2500 Lt dve jiem s m etam s. Kiek m etinių sudėtinių pa lūkan ų(procentais) mokėjo bankas, jei ši suma išaugo iki:

a) 2809 Lt; b) 286 2,25 Lt?

3. Kokią pinigų sum ą reikia padėti į bank ą, kuris m oka 6% m etinių sudėtiniųpalūkanų, kad ji priaugtų iki 5000 Lt po:

a) 2 metų; b) 3 metų?

4. Ū kininkas 8000 Lt padėjo į banką, kuris mok a 8% m etinių sudėtinių pa-lūkanų. Po kelerių metų indėlio suma banke bus:

a) 933 1,2 Lt; b) 100 77,7 Lt?

5. Pagal form ulę S t = 5000 · 1,07 5' galima apskaičiuoti, iki kiek išaugsindėlis po t metų.

a) Ko kio dydžio indėlis buvo padėtas į ban ką?

b) Kokia banko sudėtinių palūkanų norma?c) A pska ičiuokite, iki kiek išaugs indėlis po 1; 2; 3; 4; 5 metų.d) Kiek už indėlį bus priskaičiuota su dėtinių palūkanų po 7 me tų; 9 metų ?

6. Raskite sudėtines palūkanas, kurios gaunamos per 3 metus padėjus į banką5000 Lt sumą su 12% palūkanų n orma, jeigu palūkanos skaičiuojam os kas:

a) pu sm etį; b) ketv irtį; c) ketu ris m ėnesiu s; d) du m ėnesius .

7. 6000 Lt paskola turi būti grąžinta per 3 m etus lygiom is dalimis su kasm e-tinėmis 12% mažėjančiomis palūkanomis.

a) Kokia kasmetinė paskolos grąžinimo suma?b) Kiek metinių palūk anų reikės m okėti už pirm us; antrus; trečius me tus?





10. Prekė atpigo du kartus po 8%. Dabarji kainuoja 126,96Lt.

a) Kiek kainavo prekė iš pradžių?b) Kiek iš viso procentų atpigo prekė?c) Kiek kainavo prekė po pirm ojo kainos sum ažinimo ?d) Kiek kainuotų prekė jos dabartinę kainą sumažinus dar du kartus

po 8%?

11. Aparatas, pirktas už 400 Lt, kasm et nuvertėja po 15%.a) Kok ia bus aparato vertė po 4 metų; 5 m etų?b) Kiek iš viso procentų nuv ertės aparatas per 4 metus; 5 m etus?

12. Kasmet ravint tam tikros rūšies piktžoles dirvoje pavyksta sumažinti 50%nuo likusio jų kiekio. Kiek piktžolių liks po 5 metų, jei dabar jų yra:a ) 100 000 0; b) 2000 00?

13. Šeima, laimėjusi 25 000 Lt, nutarė kasmet išleisti 20% likutinės laimėjimo

sumos. Kiek litų galės išleisti šeima:a) trečiaisiais metais; b) ketvirtaisiais metais?

14. Tam tikros rūšies paukščių skaičius kasmet padid ėja tris kartus. Pirm ąkartą skaičiuojant buvo 2000 paukščių. Kiek šių paukščių bus po:a) 4 metų; b) 6 metų?

15. D arbuotojo atlygin ima s sausio m ėnesį buvo 75 0 Lt. Kiek iš viso užd ir-bo darbuotojas (lito tikslumu) per pusę metų, jei kas mėnesį darbuotojoatlyginimas didėjo po:a) 3% ; b) 4% ?

16. Šeima sausio mėnesį sutaupė 200 Lt. Kiek vieną kitą kalendorinių m etųmėnesį šeimos sutaupytos sumos didėjo vis tuo pačiu procentu, ir kovom ėnesį šeima sutaupė 204,0 2 Lt. Kiek litų (lito tikslum u) sutaupė šeima:

a) rugsėjo mėn. b) gruodžio mėn.c) per tris metų ketvirčius d) per metus?

17. Išspręskite lygtį:a) Jt2 + 12x = 0 b) 3 x 2 - χ = 0

c) χ 2 - 7x - 60 = 0 d) χ 2 + 5x - 24 = 0


a M ^ y 1 ' b) j

19. Apskaičiuokite:a) ( V 5 - 2 ) ( V 5 + 2) b ) 5 - ! - ( - 3 ) - 2

c) - 3 - 2 + 4 " 1 d) 3 - 2 · 3 4 · 2° · 9

3 — 5x > χ + 7,2x + 1 < χ + 2



FUNKCIJŲGRAFIKAI

1. Funk cija f(x) = α χ1 36

2 . Fu nk c i j o s / (x ) = VJC ir g (JC) =3Vx 44

3. Fu nkci josy = | / ( J C ) | graf ikas 48

4. Graf ikų t r ans fo rmac i jos 54


l·· · · . , , . · ·"" · '1

Wslli i l^1A 'i' lViiiiiiiHih 't.il

<.«·««· ItiiЕ Я к^Ч вМ *!)! "·|1sV.vwK'1· '" · f

flliiiiiii*V. į jh i l l l l l l i l » · · '"" ' .1ZS!*""

2



1 Funkcija f (χ ) — α χ3

Anksčiau nagrinėjome funkcijas, kurių pavidalas yra:

k of(x)= kx, f ( x ) = kx + b, f ( x ) = — , f ( x ) = ax+ bx + c.χ

Pateikiame keletą tokių funkcijų grafikų pavyzdžių:

Šiame skyrelyje nagrinėsime funkcijas, kurių pavidalas yra

f ( x ) = ax; čia jc — nepriklausomas kintamasis,

a — skaičius (a # 0).

Pavyzdžiui, tokio pavidalo formule užrašoma kubo tūrio Vpriklausomybė nuo jo briaunos ilgio JC: V = JC 3.(Šiuo atveju a = 1.)

1 užduotis. Form ule užrašykite rutulio tūrio V priklausomybę nuo jo spindulioilgio R ir nurodykite, kam lygus koeficientas a.

Kadangi reiškinys α χ3

turi prasmę su visomis kintamojo χ reikšmėmis, taifunkci jos / ( χ ) = α χ 3 apibrėžim o sritis yra rea liųjų skaičių aibė, t. y. D( f ) == ( - o o ; + o o ) .Kadangi

/ ( - χ ) = a ( - x ) 3 = - a x 3 = — / ( x ) ,

tai funkcija yra nelyginė, o jos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios

taško atžvilgiu.



F un kc ija / ( χ ) = χ 3

Tai atskiras funkcijos f ( x ) = α χ 3 atvejis, kai a = 1.Nubraižykime funkci jos / (x) = x 3 grafiką.Sudarykime funkcijos reikšmių lentelę:

X . . . - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 . . .3

y = X j - 2 7 - 8 - 1 0 1 8 27

Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus, kurių koordinatės surašytos len-telėje, ir per juos glodžiai brėžkime kreivę:

Ku o daugiau taškų pažym ėtum e, tuo tikslesnė būtų kreivė. Ga utoji kreivėvadinama kubine parabole.Kubinė parabolė yra simetriška koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

Kokia funkcijos f (χ) = x 3 reikšmių sritis? Su kuriomis χ reikšmėmis fun kcija* įgyja teigiamas reikšmes, neigiamas reikšmes; didėja, mažėja?

Kubine parabole vadiname bet kokios funkcijos /( JC ) = α χ3 , a φ O, grafiką.

2 užduotis. Nubraižykite grafikus funkcijų g(x) = 2x3

ir h{x) = ^ x3

.Išvardykite funkcijos / ( χ ) = α χ 3 , kai α > O, savybes.



F un kc ija / ( χ ) = — χ3

Tai atskiras funkcijos /(x) = αχ 3 atvejis, kai a = — 1.Nubraižykime funkcijos f ( x ) = —x3 grafiką.

X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

3y = — χ 27 8 1 0 - 1 - 8 - 2 7

27- 7

ηW \

W

8 :

3I I II

- 3 - 2 -iQI I

. r \ 2 3 ;

-27-t

-27- 1

Kokia funkcijos / ( X ) = — J C 3 reikšmių sritis? Su kuriomis χ reikšmėmis funk -cija įgyja teigiamas reikšmes, neigiamas reikšmes; didėja, mažėja?

3 užduotis. Nubraižykite grafikus funkcijų g(x) = —2x3 ir h(x) = — ^ x 3 .

Išvardyki te funkci jos / (x) = α χ 3 , kai α < O, savybes.

Kai α > O, kubinė parabolė yra I ir III ketvirčiuose, kai α < 0 — 11 ir IVketvirčiuose.

y = OX3 ,a > 0 y = α χ 3, a < 0

У

Γa

У

I1

ΓL ^ 0

a

λ *



Funkcija f (χ ) =xn,n e N

Funkcija f (χ ) = xn, kai n — naturalusis skaičius, vadinama laipsnine funkcija

su natūraliuoju rodikliu. Jau na grinėjom e laipsnines fun kcijas , kai n = 1, 2, 3,t. y . / ( * ) = χ , f(x) = ir f ( x ) = χ

3.

Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykime grafikus laipsninių funkcijųimdami lygines n reikšmes, pavyzdžiui, n = 2; 4 (žr. a) pav); kitoje koordi-načių plokštumoje — imdami nelygines n reikšmes, pavyzdžiui, n = 3; 5(žr. b) pav).

a) y. b) ..... y.

Il- î J < I

. į

=S hI

L ^1 įhH Ilл

' V 1-t ' V i I

1-\ 1O

f1

t X \h

c^ I1

"1 X

Laipsnines funkcijos f ( x ) = xn, n e N, grafikas, kai n — lyginis skaičius

didesnis už 2, primena parabolę y = x 2 ; kai n — nelyginis skaičius didesnis

už 3, — kubinę parabolę y = x 3 .Kai n lyginis skaičius, tai f(—x) = (—x)n =Xn = f{x) — funkcija yralyginė, o jos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.Funkcijos reikšmių sritis — neneigiami skaičiai: E ( f ) = [0; +oo) .

Kai n nelyginis skaičius, tai f(—x) = (—x)n = -x n = — f{x) — funkci jayra nelyginė, o jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.Funkcijos reikšmių sritis — realiųjų skaičių aibė: E ( f ) = (—oo; +oo).

4 užduotis. Nurodykite daugiau laipsnines funkcijos su natūraliuoju rodikliusavybių.



86. Nu braižykite grafiką fun kcijo s:

a) f (X) = I x 3 ; b ) / ( x ) = - įx 3 ; c) f (χ ) = - f x 3 ; d ) / ( x ) = įx 3 .

87. Raskite koeficientok

reikšmę, jeigu žinoma, kad k ubinė parabolėy = kx3

eina per tašką M:a) M (2; 16); b ) M (3; - 5 4 ) ; c ) Af(§ ; 24); d ) M ( - ± ; 2) .

88. Nu statykite, kurios iš duo tųjų fun kc ijų didėja visoje apibrėžimo srityje:

a) f (χ ) = 2 x 3 b) f ( x ) = -Ax c) f ( x ) = ± x 3

d) f ( χ ) = - X3 e) f (χ ) = 4x

2 f) f ( x ) =5 + 2x

g) f (χ ) = 2-3x h) f ( χ ) = 4x3

a) χ3

=5; b ) Ajc3 = 3 — c ) x 3 = 4 - x 2 ; d ) - χ 3 = χ + 2.

89. Grafiškai išspręskite lygtį:I 12"

90. Nustatykite, kurios iš duotųjų funkcijų yra lyginės, kurios — nelyginės,kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės:

a ) f ( χ ) = 2 J C 3 b ) f ( χ ) = - į x 3 c ) / ( J C ) = - 2 x 3

d) / ( J C ) = 4 - Χ2

e) / ( J C ) = X - 1 f) f ( x ) = - 2 x2

- 1

91. Grafiškai nustatykite lygties sprendinių skaičių:

a) χ 3 = — j b ) j x 3 = 6 — 2x c) χ 3 = χ 2 — 3

d) 2x 3 = 3 — \x2 e) - χ 3 = f f) f x 3 = χ

92. Grafiškai išspręskite nelygybę:

a) χ 3 > 1 b ) - χ 3 < 8 c) \x 3 > 4

d) įx 3 > 3 - χ e) χ 3 < χ 2 + 1 f) \x3 > 4 - χ

g ) | x 3 < 3x h) - \ x 3 > - χ

93. a) Remdamiesi funkci jų f ( x ) = x 3 ir g(x) = x 2 savybėmis, didėjimotvarka išdėstykite skaičius:- 0 , 9 ; - 0 , 5 ; 0 , 2 ; 1 , 2 ; ( - 0 , 5 ) 2 ; (0 ,9) 2 ; (1 ,2) 2 ; (3 ,5) 2 ; ( - 0 , 5 ) 3 ;

( - 0 , 9 )3

; (0 ,2)3

; (1 ,2)3

.b) Remdamiesi funkcijų f ( x ) = x3 ir g(x) = x 2 savybėmis, mažėjimotvarka išdėstykite skaičius:- 0 , 1 3 ; 0 , 7 ; 2 , 6 ; ( - 0 , 7 ) 2 ; ( - 2 , 6 ) 2 ; (0 ,7)3 ; ( - 0 , 1 3 ) 3 ; (2 ,6) 3 .



94. Raskite n, je i ž inoma, kad funkci jos f(x) = xn grafikas eina per tašką:a) M (2; 32); b ) M (4 , 5 ; 20 , 25 ); c ) M ( - 2 ; 16); d ) M ( - 4 ; - 6 4 ) .

95 . Nu brėžkite tiesę, kuri eitų per tašką M (3 ; 2), o tiesės krypties koeficien-tas k būtų lygus:a) 1; b) - 2 ; c) 3; d) 0; e) į.

96 . Pavaizdu otas turisto kelionės dviračiu grafikas. D alį kelio turistas važiavolyg um a, dalį — kilo į kaln ą, dalį — leidos i n uo kaln o. Tu ristas v isą keliąnuvažiavo per 2 h 30 min.

Remdamiesi grafiku, nustatykite:

a) kiek kilom etrų turistas važiavo lygu m a; kilo į kalną; leidosi nu o kalno ;b) kiek laiko turistas važiavo iki aukščiausios kelio vietos;c) kiek kilometrų turistas nuvažiavo per pirmąsias pusantros valandos;

per paskutinę valandą;d) kokiu greičiu turistas važiavo kiekvieną kelio dalį: lyguma; į kalną;

nuo kalno;e) vidutinį kelionės greitį.

97. Du ota fun kcija / ( x ) = Įrodykite, kad yra teisinga lygybė:a) / ( 1 ) - / ( 2 ) = / ( 1 ) · / ( 2 ) ;b ) / ( 2 ) - / ( 3 ) = / ( 2 ) · f (3)·,

c) / ( 1 0 ) - / ( 1 1 ) = / ( 1 0 ) - / ( 1 1 ) ;*d) f (n) - f (n + 1) = f (n) • f (n + 1).

2 2

98. Duotos funkc i jos f(x) = ir g(x) = • Įrodykite, kad yrateisinga lygybė:

a ) / ( 3 ) + g(-1) = 2 b ) / ( 7 ) + g(—5) = 6c ) / ( - 5 ) + g(6) = 0 d) / ( - 2 ) + g(3) = 0

*e) f ( l + x ) + g(l-x)=x *f) f(-x)+g(l+x) = 0



99. Nebraižydam i funk cijos grafiko raskite koordinates taškų, kuriuose gra-fikas kerta koordinačių ašis:

a ) / ( χ ) = 6x - 4 b ) / ( J C ) = 2 J C 2 + 2 x - 4

c) /(JC) = i jc 2 + 2JC + 3 d) /(JC) = JC2 - 8JC + 14

e ) f ( χ ) = 4 J C 2 - 12JC + 9 f ) / ( J C ) = ^

100*. a) Įrodykite, kad funkcija /(JC ) = 3JC + 7 didėja visoje apibrėžimosrityje.

b) Įrodykite, kad funkcija /( JC ) = 4 — 5JC mažėja visoje apibrėžimosrityje.

c) Įrodykite, kad fun kc ija / ( J C ) = J C 2 — 4 J C + 7 intervale (—oo; 2) mažėja,o intervale (2; + o o ) — didėja.

Pa vyz dys . Įrodykite, kad funkcija f ( x ) = 6 - I l x ma žėja visoje apibrėžimo sr ityje .Sprendimas. Reikia įrodyti, kad didesnę argumento reikšmę atitinka ma-žesnė funkcijos re ikšmė.Tarkime, kad x 2 > x\, i r nagr inėkime a t i t inkamų funkcijos re ikšmių skir -t umą : / ( x 2 ) — f(x\) — 6 — 1 I x 2 — (6 — 1 lx i ) = 6 - 1 Ix 2 — 6 + 1 \x\ == —11(χ2 — xi) < 0, nes X2 — x\ > 0, kai X2 > х ь

K ad an g i / ( x 2 ) — f{x\) < 0, tai / (x 2 ) < f(xi), ka i x 2 > x\ . Vadinasi,

f u n k c i j a mažėja .

101. Į bank ą, kuris skaičiuoja 8% m etinių sud ėtinių palūkan ų, pad ėtas 2 000 Ltindėlis. Po dve jų me tų indėlis priaugo iki 233 2,8 Lt. Iki kok ios su mo sišaugs indėlis po:a) 3 metų; b) 4 me tų; c) 5 metų; d) 6 me tų?

102. Ū kininkas a pdraud ė nuo stichinės nelaim ės ir gaisro savo nam o turtą15 000Lt sumai, sumokėdamas 0,71% draudimo sumos, ir ūkinio pasta-to turtą 120 00 Lt sumai, sum okėdamas 1,03% draudimo sum os. Kiekkainavo draudimas ūkininkui?

103. Už 5 7,5 tonos tepalų sum okėtas 13 800 Lt akcizo mokestis. Koks vienostonos tepalų akcizo mokesčio tarifas ir kiek litų reikėtų sumokėti akcizouž:a) 76 ,2 tonos; b) 104,5 tonas tepalų?

104. Užpildykite lentelę:

Prekės mažmeninė kaina (Lt) PV M (Lt) Prekės kaina be PV M (Lt)a) 15,25

b) 15,25

c) 15,25

d) 199,99



105. Akcija, kurios kursas 4% didesnis už nominaliąją vertę, šiandien par-duodama už:a) 52 Lt; b) 31 ,2 Lt.Kokia akcijos nominalioji vertė?

106. Kūgio sudaromoji lygi 13 dm , o kūgio aukštinės ir jo pagrindo spindulio

skirtumas — 7 dm . Apsk aičiuokite kū gio:a) viso pav iršiaus plo tą; b) tūrį.

107*. Į kampą, kurio didumas lygus 50°, įbrėžtas apskritimas. Kampo krašti-nių ir apskritimo bendri taškai dalija apskritimą ir du lankus. Per vienątašką priklausantį mažesniajam lankui, nubrėžta apskritimo liestinė. Ko-kio didum o kamp u iš apskritim o centro matom a nubrėžtos liestinės dalis,esanti tarp kampo kraštinių?

108. Ar panašūs trikampiai, kurių kraštinių ilgiai yra:a) 4 dm, 3d m , 2 dm ir 16 cm, 10 cm, 12 cm;b) 12cm, 16cm, 18cm i r 2 ,7m, 2 ,4m, l ,8m?

109. Išspręskite lygčių sistemą:= - 4 ,= 4.

O l · ? d ) 2 - į

g) a +I h) į - χ

111. Trupm enos vardiklis 5 vienetais didesnis už skaitiklį. Jeigu trupmenosskaitiklį ir vard iklį sum ažin tum e vien etu, ji bū tų lygi Ra sk ite tątrupmeną.

112. Pirmoje dėžutėje yra 10 baltų ir 8 žali rutuliai, o antroje — 14 baltų ir

10 žalių rutulių.a) Kokia tikimy bė atsitiktinai ištrauk ti žalią rutulį iš pirm os dėžu tės?b) Kokia tikimybė atsitiktinai ištraukti žalią rutulį iš antros dėžutės?c) Iš kurios dėžutės ištrauk ti baltą rutu lį tikim yb ė yra d idesnė?

113. Kiek daugiausia šeštadienių gali būti keliamaisiais metais?A 51 B 52 C 53 D 54 E neįmanoma suskaičiuoti

a, Į2x + y = 8 , \ 2x + 3y3 x + 4 y = 7 ; u M 5x + 6y

110. Parašykite trupmeniniu reiškiniu:

a) į : b b) c : įa

O ^T + į?



2 Funkcijos f (χ ) = «fx irg(x) = ϊ β

Funkcija f ( χ ) = -Jx

Pris iminkime kvadratinės šaknies apibrėžimą:

Kvadratine šaknimi iš neneigiamo skaičiaus a vadinamas toks neneigiamas

skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Pavyzdžiui:

\[λ = 2, nes 2 2 = 4 ir 2 yra neneigiamas skaičius;A /9 = 3, nes 3 2 = 9 ir 3 yra neneigiamas skaičius.

Kvadratinė šaknis iš neigiamų skaičių neturi prasmės, nes nėra tokio skaičiaus,kurį pak ėlę kvadratu gau tum e neigia m ą skaičių.Funkci jos fix) = Jx apibrėžim o sritį sudaro neneig iam i skaičiai, t . y. D ( / ) == [0; + o o ). " Îmdami „patogias" χ re ikšmes sudarykime funkci jos fix) = *Jx, χ ^ 0,

reikšmių lentelę:

X 0 14 1 9 16 25

I 0 12 1 3 4 5

Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus, kurių koordinatės surašytos len-telėje, ir per juos glodžiai brėžkime kreivę:

Funkci ja / ( x ) = -Jx didėja visoje apibrėžimo srityje.Fun kcijos re ikšm ių sritis — visi nen eigiam i skaičiai, t . y. E ( f ) = [0; + o o ) .



Funkcija g(x) = Ux

Prisiminkime kubinės šaknies apibrėžimą:

Kubine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas skaičius, kurio kubas lygus a.

Pavyzdžiui: I f l = 2, nes 2 3 = 8; = - 2 , n es ( - 2 ) 3 = - 8 .

Funkcijos g (л) = l/x apibrėžimo sritis — realiųjų skaičių aibė, t. y. D (g) == ( - o o ; + o o ) .

Kadangi g(—x) = I f ^ x = — Ux = —g(x), tai funkcija yra nelyginė, o josgrafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.Imdami „patogias" χ reikšmes, sudarykime funkcijos g(x) = Ux reikšmių

lentelę:

X - 8 - 1 18 O 1

8 1 8

y = I f x - 2 - 1 1~2 O 1

Ί 1 2

Ko ordinačių plokštum oje paž ym ėkime taškus, kurių koordinatės surašytos len-telėje, ir per juos glodžiai brėžkime kreivę:

У

2 -

y=\Įx

1 -

- 8

0I 8X

- 2 -

Funkci jos g(x) = I f x reikšmių sritis — realiųjų skaičių aibė, t. y. E(g) == ( - o o ; + o o ) .

Užduotis. Įrodykite, kad funkcija g(jc) = I f x didėja visoje apibrėžimo srityje.



114. Nubraižyki te funkci jos y = f ( x ) grafiką, jei:

a ) / ( x ) = З -Jx b) f ( x ) = — 2fx c) f ( x ) =

d) f (χ ) = V=Z e ) f ( x ) = 3Xfi f ) f ( χ ) = -2Xfi

g) f (x)= 4 X f i h) f ( χ ) = 3 /-X

115. Grafiškai išspręskite lygtį:

a) f x = 5 — χ b) 3*fi = x3 c) y/x = χ — 3

d) 2 f ž =X2

o) Ux = 3-х f) Ux = 2- x2

g) 2 X f i = χ —2 h) XJx = χ 3

116. Grafiškai nustatykite lygties sprendinių skaičių:а) Зл /х = f b) - J x = A - X 2 c) 2 Jx = \x3

d ) - 2 J x = į e) Xfi=X-X2f ) 2 X f i = x2-2 x

g) χ2-2x + 1 =3Xfi h) 2Xfi = x

2-3x-4

117. Raskite koeficiento k reikšmę, jei žinoma, kad funkcijos f ( x ) = k f xgrafikas eina per tašką M:

a ) M ( 4 ; 4 ) ; b ) M ( 9 ; - 9 ) ; c) M ( | ; 2 ); d ) 5 ); e ) M ( 4 ; 3 ).118. Raskite koeficiento m reikšmę, jei žinoma, kad funkcijos f ( x ) = m X f i

grafikas eina per tašką M:a ) M ( 8 ;8 ) ; b ) M ( l ; - 3 ) ; c ) M ( į; 3 ) ; d ) M ( ^ ; 7 ) ; e ) M ( ^ | ; 5 ) .

119. Remdamiesi funkci jos f ( x ) = f x savybėmis, palyginkite:

a) / ( f ) ir / ( § ) b) / ( 4 ) ir / ( 3 )

c) / ( į ) i r / ( 0 , 4 ) d ) f φ ir f ( į )

120. Remdamiesi funkci jos f ( x ) = X f i savybėmis palyginkite:

a) / ( § ) ir / ( f ) b) / ( - f ) ir f ( - į )

c) / ( - f ) ir / (0 , 5 3 ) d) / ( f ) ir / ( ¾

121. Grafiškai išspręskite nelygybę:

a) f x > 2 b) X f i < 2 c) 2 f x > χ - 4d) 2 Xfi > I e) f x < χ ΐ)\χ

3<2 Xfi

g) | x 3 > 2 y f i h ) -\x3 > —fx



122

1 2 3

1 2 4

1 2 5 ,

126

1 2 7 ,

1 2 8 ,

1 2 9 ,

1 3 0 ,

1 3 1 ,

1 3 2 ,

1 3 3 .

1 3 4 .

1 3 5 .

Stačiakam pio g retimo s kraštinės apytiksliai lygios 14,0 m ir 6,5 m . Ras-kite kvadrato, kurio plotas lygus to stačiakampio plotui, kraštinės ilgį.Kubo tūris V ~ 5160cm 3 . Raskite jo briauną.

Iš skardos reikia pagaminti kubo formos baką, kuriame tilptų apytiksliai300 ί vand ens. Rask ite ku bo briaun os ilgį (0,1 m tikslumu).

Rutulio tūris skaičiuojamas pagal formulę V = ^л Я3

, kur V — rutuliotūris, R — rutulio spindulys, π ^s 3,1 4. Ras kite spindulį rutulio, kuriotūris būtų 254 cm 3 .

Išspręskite lygčių sistemą:

a) i У - ί = i ' b) J f r - D O ; + 1 ) = - 2 ,' \ x + y = 5; J

\x + y = l.

Raskite koeficiento k reikšmę, kai žinoma, kad funkcijos /(JC ) = for2,

k φ 0, grafikas eina per tašką, kurio koordinatės yra:a) ( - 2 ; - 4 ) ; b) (1; - 1 ) ; c) (2; 1); *d) (0; 0) .Išspręskite lygtį:

a) J C 2 - 1 = 0 ; b ) j c 2 -2 jc = 0; c) J C 2 - 6 X + 8 = 0; d) J C 2 - 2 J C + 3 = 0.

Apskaičiuokite: a) 5 _ 1 + ( - 2 Γ 2 ; b) - 2 ~ 2 + 5°.

J e i Έ +2 = b t a i Ξ +Τ = • • •

Trikampio vidaus kam pų didum ai sutinka kaip 1 : 2 : 3. Sio trikam pio

trumpiau sioji kraštinė lygi 6 cm . Raskite trikam pio:a) ka m pu s; b) perim etrą; c) plotą; d) trum pia usiąją aukštinę.

Reikia pagam inti 48 dm 3 tūrio stačiakampio gretasienio formos dėžę. Ko-kie gali būti dėžės matmenys, jeigu jie turi būti natūralieji skaičiai, didesniuž vienetą?

Kiek kartų tarp 6 vai. ryto ir 6 vai. vakaro laikrodžio valandinė ir minutinėrodyklės būna statmenos?A 2 B 6 C 12 D 22 E 24

Sum aišyta 20 kg pieno, ku rio riebum as 4 ,5% , ir 30 kg pieno, kurio riebu-mas 4,2%.a) Koks pieno mišinio riebum as?b) Kiek kilog ram ų vande ns reikia įpilti į m išinį, kad na ujojo m išinio rie-

bumas būtų 2,5%; 3,2%?

Įvykio A tikimybė lygi 0,(3). Apskaičiuokite šiam įvykiui priešingo įvy-kio A tikimybę.



3 Funkcijos y = I f (χ ) | grafikas

Žinome, kad skaičiaus modulis parodo, kiek tas skaičius skaičių tiesėje yra nu-tolęs nuo nulio. Kadangi atstumai reiškiami neneigiamais skaičiais, tai \x\ ^ 0.

Ne neigiamo skaičiaus mo dulis lygus pačiam skaičiui, o neigiamo skaičiaus m o-dulis lygus jam priešingam skaičiui, t. y.:

M =\-x,

kai JC ^ 0 ,

kai χ < 0.

Nubraižykime funkcijos f ( x ) = |JC| grafiką. Fu nkc ijos apibrėžim o sritis —realiųjų skaičių aibė, t. y. D ( f ) = R, o reikšm ių sritis — nene igiami skaičiai,t. y. £ ( / ) = [ 0 ; + o o ) .

Pastebėkime, kad funkcija f ( x ) = |x| yra lyginė, nes / ( — J C ) = | — J C | = |x| == / ( J C ) . Žinome, kad lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašies atžvil-giu. Todėl braižyti funkcijos /( J C ) = \x\ grafiką galima taip:

1) Braižom e grafiką intervale [0; +o o ). Kadan gi |JC| = x, kaiχ ^ 0, tai funkcijos f ( x ) = |JC| grafikas intervale [0; +oo)sutampa su funkcijos h(x) = χ grafiku.

2) Nubrėžtam spinduliui randame spindulį, simetrišką yašies atžvilgiu.

y V•С УJyf

ί -

V•С УJyf

οH

-т-Н

Remiantis modulio apibrėžimu funkcijos f ( x ) = |JC| grafiką galima braižyti irtaip:

1) Brėžiame pagalbinę tiesę Y = JC.

2) Tiesės daliai, esančiai po χ ašimi (JC < 0), braižomespindulį, simetrišką χ ašies atžvilgiu. Funkcijos /(J C ) =

= I JC I grafiką sudaro du spinduliai — pirm ojo ir antrojoketvirčių pusiaukampinės.

У

1

У

1/ f m

0 į *

y

Į 0 į X



Remiantis modulio apibrėžimu

I f/ν ιι _ i f(x), kai fix) ^ O,I / W l - į - f (x )t kai f ( x ) < 0 .

Todėl funkcijos y = | / ( J C ) | grafiką galima braižyti taip:

• nubraižome funkcijos y = fix) grafiką (neryškiai, pagalbine linija);• braižome grafiką, simetrišką JC ašies atžvilgiu tai grafiko daliai, kuri

atitinka neigiamas funkcijos reikšmes (yra žemiau JC ašies).Ne žemiau JC ašies esančios dalys sudaro funkcijos y = | / ( J C ) | grafiką.

1 PAVYZDYS. Nu braižykime funk cijos /(JC ) = |2JC - 4\ grafiką.

1) Brėžiame pagalbinę tiesę y = 2JC — 4.

2) Spinduliui, esančiam po JC ašimi, brėžiame spin-dulį, simetrišką JC ašies atžvilgiu.

3) Funkcijos /(JC ) = |2JC — 4| grafiką sudaro duspinduliai, turintys bendrą viršūnę ir esantys nežemiau JC ašies.

V

/

1/

1 /

01 л

- 1 / 2X

/

_ 4 -/ j

\ У

)··

ί--

οr 71

. .1 /:> X/

/

_4 /

v

0 2 Jf

1 užduotis. Nubraižykite funkcijos fix) = | — 2 J C + 4 | graf iką.



2 PAVYZDYS. Nubraižykime funkc ijos f ( x ) = \x2 - 2x - 3| grafiką

1) Brėžiame parabolę y = X

i 2x— 3.

2) Parabolės daliai, esančiai žemiau χ ašies, brai-žome kreivę, simetrišką χ ašies atžvilgiu.

3) Funkcijos f ( x ) = \x2 - 2x - 3\ grafiką sudarovirš χ ašies esanti kreivė.

2 užduotis. Nubraižykite funkcijos f ( x ) = \— 2x2— 5x + 3| grafiką.

3 PAVYZDYS. Brėžinyje pavaizduotas funkcijos y = f ( x ) grafikas.

v

4 -3-2-1-

4 -3-2-1-

4 -3-2-1-

4 -3-2-1-

į į

4 -3-2-1-

i 1 I \ ) ι

7i 1

-A Д О 1 2I

J'I 1 I

81

l l \I

13 k 5 χ

-2--3

-5 -

1l l \

-2--3

-5 -

-2--3

-5 -

-2--3

-5 -



Nubraižykime funkci jos y = | / ( J C ) | grafiką.Kiekvienai grafiko daliai, esančiai po χ ašimi, braižome kreivę, simetrišką χašies atžvilgiu. Dalys, esančios ne žemiau JC ašies , sudaro funkci jos y = | / ( x ) |grafiką:

У

54-V

У

54-V

У

54-V

У

54-V /; ./.j

\ 2Z

j

\ 2Z

V V y I V In τ—τA7

—I 1-A - V - L-:2 'S

Iλ Λ į Λ ' ih .15

-2 --3 --A -

2У ; /

i >\-2 --3 --A-

4Vx i \! /2--3 --A- /

/ " "

LJ J J : : ... -5 -/ -5 -

Pratimai ir uždaviniai

1 3 6 . Nubraižyki te funkci jos y = | / ( J C ) | grafiką, kai duotas funkcijos y = / ( J C )

grafikas:

a) b ) j

ъ

с) у d) j ,

X / I 2 0 2 \ * - 2 \ 0

- 3 s

Л * - 2 \ 0

- 4 4

/ 2 *

137. Ar gali duotasis grafikas buti funk cijos y = | / ( x ) | g rafiku?

a) b) c)

138. Nubraižyki te funkc i jos y = | / ( x ) | grafiką, je igu:

a) / ( χ ) = 2x + 3 b) f (χ ) = įd) f ( x ) =x2 + 2x-3 e) / ( J C ) = 2x

g) f (χ ) = χ3 h) f (χ ) = X f i

c) f ( χ ) =X

2

-4

f) f W = "I



139. Grafiniu budu nustatykite, kiek sprendinių turi lygtis:

a) |2x — 8| = —3x — 3 b) |—JC — 4| = 3 c) |—χ — 2| = —χ + 2

d) |x 2 - 3 x - 4 | = 4 e) | x 2 - 5 | = 6 - χ f) |x 2 - 2x - 8| = 9


a) |x 3 | = 8; b) V * = W ; c ) | f | = 2 ; d ) | ^ | = x 2 .141. Grafiškai išspręskite nelygybę:

a) |x | < 2 b) |x | > 4 c) |x 3 | ^ 1

d) |x + 1| > 5 e) |x 2 — 4 | > 1 f ) | - x 2 - 2x + 3| ^ 3

g) |x| > χ 2 h) I Ųx\ > I JC I

142. Ar funkcija /(x) yra lyginė, jeigu:

a) / ( χ ) = |xI b ) / ( χ ) = I I l c) / ( χ ) = | x 3 |

d) f (χ ) = \Ųx\ e) f (χ ) = |2x - 6 | f ) f ( x ) = | - į |

g ) / ( χ ) = I x 2 - I I h ) / ( χ ) = | x 2 - 2 x | ?

143*. Ką galima pasakyti apie funkcijų /(x) = x, g(x) =

h(x) = (v /x) 2 , x ^ 0 , g ra fik us:

A visų trijų funkcijų grafikai sutampa;B funkci jų / (x) i r g(x) grafikai sutampa;C funkci jų / (x) i r h(x) grafikai sutampa;D funkcijų g(x) ir h(x) grafikai sutampa;E visų trijų funkcijų grafikai skirtingi?

144. Ū kininka s 12 500 Lt padėjo į bank ą, kuris m oka 8,5% me tinių sudėtiniųpalūkanų. Po kelerių metų padėta ūkininko suma priaugs iki:

a) 14 715 ,31L t; b) 15966,11 Lt?

145. Žinoma, kad automobilio draudimas nuo:a) vagystės sudaro 2,45% draudimo sumos;b) stichinės nelaimės sudaro 0,79% draudimo sumos.Kokiai sumai kiekvienu atveju žmogus gali apdrausti savo lengvąjį au-tomobilį, jei kiekvienam draudimui jis planuoja išleisti po 150 litų?

146. Alus apm okestinam as 0 ,4 Lt akcizu už litrą. Koks akcizo m okestis už:

a) 550 0 deka litrų; b) 28 ,5 kilolitre alaus?



147. Cecho grynasis pelnas 650 Lt. Koks cecho pelnas, jeigu p elno mo kesčiotarifas lygus:a) 29% ; b) 24% ; c) 10%; *d) ρ % Ί

148. Nuomotojas išnuomojo patalpas nuomininkui, sumokėjo PVM ir turi pa-jamų:a) 500 Lt; b) 600 Lt.Kiek litų kainuoja patalpų nuoma nuomininkui?

149. Ritinio auk štinė 3 cm ilgesnė už pagrind o spindulį. Ritinio šon inio pavir-šiaus plotas lygus 80л-cm 2 . Raskite ritinio:

a) pagrindo skersmens ilgį; b) tū rį.

150. Raskite x:

kampą, lygų:

a) 30° ; b) 45 °; c) 60 °; d) 150°; e) 200 °.

152.Išspręskite lygtį:a ) j ± 2 = l ; b ) ^ ± i = 0 .

153. Išspręskite nelygybę:

a) (3x + 5)(3x - 5) > (3x - I) 2 + 10;b) (2x + I) 2 < 4(x - l) (x + 1) + 17.

154. M okyk loje veikia keturios sporto sek cijos — krepšinio, gimnastikos, leng-vosios atletikos ir rankinio bei trys menų studijos — choro, dailės ir pra-

mo ginių šokių. Da rius nori lankyti vieną sporto sekciją ir vieną men ųstudiją. Kiek pasirinkimo galimybių turi Darius?

155. Apskaičiuokite:

a)(2-3)-43-4:3-2; b) -(į)"3 + 3"1; с) (У з)4; d) (2^¾"4

156. Andr ius užėjo į tirą. Su m ok ėjo už 5 šūvius. Už kiekvieną taiklų šūvįAndrius buvo prem ijuotas dviem papildomais šūviais. Iš viso Andriusšovė 17 kartų. Kiek kartų Andrius pataikė?

A 6 B 4 C 5 D 12 E 7



4 Grafikų transformacijos

1 PAVYZDYS. Nubraižykime funkcijos g(x) = x3 + 3 grafiką.

Pastebėkime, kad funkcijos g{x) = x3 + 3 reikšmės 3 vienetais didesnės užatit inkamas funk cijos f ( x ) = x3 reikšmes:

X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3· · ·

y =JC3- 2 7 - 8 - 1 0 1 8 27

· · ·

y = x 3 + 3· · ·

- 2 4 - 5 2 3 4 11 30· · ·

Vadinasi, funkcijos g(x) = x3 + 3 grafiko taškų ordinatės yra 3 vienetais

didesnės už atitinkamų funkcijos f ( x ) = χ

3

grafiko taškų ordinates. Taigifunkci jos g(x) grafiką galima gauti iš funkcijos f ( x ) grafiko, pastūmus jįaukštyn trimis vienetinėmis atkarpomis.

1 1 "

1 užduotis. Remdamiesi funkcijos f ( x ) = дг3 grafiku nubraižykite funk cijosg(x) = χ

3— 2 grafiką.

Funkcijos y = f (χ ) + n grafiką galima g auti iš funkcijos y = f (χ ) grafiko,pastūmus jį atstumu \n\ aukštyn, kai n > O, arba žemyn, kai n < 0.



2 PAVYZDYS. Nub raižykime funk cijos g( x) = (x - 2 ) 3 grafiką.Pastebėkime, kad fun kc ijos g( x) = (x — 2 ) 3 reikšmės yra lygios funkcijosfix) = X i reikšmėms, kai funkc ijos g(x) = (χ — 2 ) 3 argumento reikšmės yra2 vienetais didesnės už funkcijos fix) = χ

3 argumento reikšmes:

X· · ·

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3· · ·

I- 2 7 - 8 - 1 0 1

· · ·

y = (x — 2)3 ... - 2 7 - 8 - 1 0 1

Vadinasi, funkcijos g (χ) = (χ - 2) 3 grafiko taškų abscises yra 2 vienetais

didesnės už atitinkamas funkcijos g (л) = χ3

grafiko taškų abscises. Taigifunkci jos g(x ) = (x — 2 ) 3 grafiką galima gauti iš fun kcijo s fix) = χ 3 grafiko,pastūmus jį į dešinę dviem vienetinėmis atkarpomis.

У / r

8 -

- j β- • i-

m

ii

j= S T f

L_ ; Į Il .i j

J= V

/ /

-——j-

1

i

/ 1

į

1

i i Į „I

/ Of *

- ff

2 užduotis. Remdamiesi funkcijos f ( x ) = x 3 grafiku nubraižykite funkcijosg(x) = (χ + 3) 3 grafiką.

Funkcijos y = / (x + m) grafiką galima gauti iš funkcijos y = f ( x ) grafiko,

pastūmus jį atstumu \m\ į dešinę, kai m < O, arba į kairę, kai m > 0.



3 PAVYZDYS. Nubraižykime funk cijos g(x) = (χ - 2 ) 3 + 3 grafiką.Funkcijos g(x) grafiką galima gauti iš funkcijos f(x) = x 3 grafiko, pastūmusjį į dešinę dviem ir aukštyn trimis vienetinėmis atkarpomis.

y_1 1

i I

1 1 l į

j j

fa Γ

n „ . . j 1 f î

0 "

Ш +

•nHtIl i

V q i r

/nHtIl i

Iv i t

/iiš s (

Iv i t

/iiI:

3

I• 4

3/ T

1 -Ϊ Μ

1 -

—— į - -'I

-U U į : z 1 X

f

IjIĮ

. e

ij

H[ 2 • 1 .

j X .У 1į

- i

3 užduotis. Nubraižykite funkcijos f ( x ) = (χ + 3 ) 3 — 2 grafiką.

Funkcijos y = f (x + m) + n grafiką galima gauti iš funkcijos y = f ( x )grafiko, pastūmus jį atstumu \m\ į dešinę, kai m < O, arba į kairę, kai

m > O, ir atstumu \n\ į viršų, kai n > O, arba žemyn, kai n < 0.



157. Remdamiesi funkci jos / (J C ) grafiku nu-braižykite funkcijos g(x) grafiką, kai:a) g(x) = / ( J C ) + 2;b) gix) = f ( x ) - 3;

c) gix) = f i x - 2) ;

d) gix) = fix +З У ,E ) « ( Χ ) = / ( J C + 2 ) - 3 ;f ) gix) = f i x - 1 ) + 3;

g) ^(JC) = /(JC - 2 ) - 4 .

158. Nubraižykite funkcijos /(J C ) grafiką:

a) f i x ) = f7+3 b) f i x ) = Jx -2

d) f i x ) =x3-3 e) f i x ) = ^x3+ 2

159. Kurios funkcijos grafikas galėtų būti nubraižytoji kreivė:

A f i x )

c) fix) = V ^ 2 -

f ) / ( J C ) = V ^ + 2

= V 4 - x ; У

= Vx + 4;= - V - 4 - j c ; 0 X

= - 4;E fix) = Vx^4?

160. Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų fix) ir gix) gra-fikus:

a ) f i x ) = V J Č i r g ( j c ) = 2 f x b ) / ( J C ) = f b c i r g ( j c ) = V 2 ( J C - 2 )

c) / ( J C ) = ir g(jc) = *d) fix) = f3x ir g(jc) = У З х - 9

161. Nurodykite, kaip remiantis funkcijos fix) = |JC| grafiku galima gauti

funk cijos g(jc) grafiką, jeigu:

a) g(jc) = |J C - 3| + 1 b) gix) = |JC + 2\ - 3c) gix) = |JC - 4| - 2 d) gix) = + 4| + 3

Nubraižyki te funkci jos gix) grafiką.

162. Nurodykite, kaip remiantis funkcijos f i x ) = ^ grafiku galima gauti funk-cijos gix) grafiką:

1a) g(*) =

c) g(x) = 1+2 - 3

b) g(x) = ^ 2

d) g(x) = ^ t

Nubraižykite funkcijos g(jc) graf iką.+ 3



163. Formule užrašykite funkciją, kurios grafiką gautume, jeigu pastumtume:a) hipe rbo lę y = | per 3 vien etus į kairę ir 5 aukštyn ;

b) kubinę parabolę y = 4x 3 per 2 vienetus į dešinę ir per 1 žemyn;c) kreivę y = f x per 5 vienetus į dešinę ir per 4 aukštyn;d) grafiką y = \x | per 4 vienetus į kairę ir per 6 žemyn;e) kreivę y = f x per 1 vienetą į kairę ir per 3 žem yn;f) hiperb olę y = — j per 6 vien etus į dešinę ir per 1 auk štyn .

164. Funkcijos fix) apibrėžimo sritis yra intervalas [—4; 6]. Raskite apibrė-žimo sritį funkcijos:a) f(x + 2); b ) / ( * - 3 ) ; c ) / ( * ) + 2;d) / O ) - 4; e ) / ( χ - 2 ) + 3.

165. Funkcijos fix) reikšmių sritis yra intervalas [—6; 3]. Raskite reikšmiųsritį funkcijos:a ) / ( * + 2 ) ; b ) / ( x - 3 ) ; c ) / ( x ) + 4 ; d ) / ( x ) - 2 ; e ) / ( x - 4 ) + 3 .

166. Duota funkci ja fix) =a) Raskite funkcijos fix) apibrėžimo sritį.b) Funkciją fix) užrašę pavidalu fix) = — j q i j + b, raskite a ir b

reikšmes.c) Nubraižykite funkcijos fix) grafiką.

167. Duota funkci ja fix) = .a) Raskite funkcijos fix) apibrėžimo sritį.b) Funkciją f ( x ) užrašę pavidalu fix) = -Jz2 + b, raskite a ir b reikš-

mes.c) Ko kios reikšm ės negali įgyti fu nk cija f(x)ld) Nubraižykite funkcijos fix) grafiką.

168*. Remdamiesi funkcijos fix) = c ^ f grafiku nurodykite koeficientų a, bir c ženklus:

A a < O, b > O, c < 0;B a < 0, b < 0, c > 0;C a < 0, b > 0, c > 0;D a > 0, b > 0, c > 0;E a > 0, b < 0, c < 0.

Nurodymas. Funkciją užrašykite pavidalu fix) = + a, ir pastebė-k ite , kad / ( 0 ) > 0 .



169*. Duotos funkci jos: f ( χ ) = χ — 1, g(jc) = у /( χ — I ) 2 , h(x) = [ f x — l ) .

Kuris atsakymas yra teisingas:A visų funkcijų grafikai sutampa;B funkci jų / ( jc ) ir g(x) grafikai sutampa;C funkci jų / ( χ ) i r h(x) grafikai sutampa;

D funkci jų g(x) ir h(x) grafikai sutampa;E visų funkcijų grafikai yra skirtingi?

170. Funkcija / ( jc ) yra didėjanti. Didėjančios ar mažėjančios yra funkcijos:

a ) / ( j c - 2 ) ; b ) 4 + / ( * ) ; c ) - / ( j c ) ; d ) / ( д с + 3 ) - 4 ; e ) 2 - / ( * ) ?

171. a ) F u n k c i j o s / ( jc) apibrėžimo sritis yra intervalas [—1; 4]. Kurios funk-cijos apibrėžimo sritis yra intervalas [—3; 2]?

b) Funkcijos /( jc) re ikšm ių sritis yra intervalas [—3; 5]. Ku rios fu nk -

cijos reikšmių sritis yra intervalas [—1; 7]?A / ( j c + 2) B / ( J C - 2 ) C / ( J C ) + 2

D / ( J C ) - 2 E /( J C + 2 ) + 2

172. Raskite geometrinės progresijos (Jbn) pirmųjų aštuonių narių sumą, kai:a) b\ = 0,375, b2 = 0,75; b)b 5 = lį,q = į.

173. Užpildykite lentelę:

Vekse l io Disk on to La ik as ik i vekse l io D i s k o n t o D i s k o n t u o t o

vertė (Lt) n o r m a ( % ) a p m o k ė j i m o ( d ie n o s ) nor m a (L t ) vekse l io ka in a (L t )a) 1500 8 ,5 100

b) 2 0 0 0 9 7 5

с) 9 ,5 130 6 1 , 7 5

d ) 8 8 0 2 2 , 2 2

1 7 4 . Kvadratinės lygties jc2 — IOjc + c = 0 mažesnysis sprendinys lygus

jei = 4. Raskite:a) lygties didesnįjį sprendinį x 2 \ b) c.

175. Ra skite nubraižytos detalės: \a) tūrį; b) vis o paviršiaus plo tą.

R30 ψ

100

φ

O

Z

5 0 ,



176. Išspręskite lygčių sistemą:

177. Įrodykite tapatybę:

a) i^±iį. = į, χ φ -U O-, 1;i L ~ χ'

X Χ +1 Į— Į—Ы iz l £_ — 1 v- Ul _V2· O· 1 ·> χ į χ +1 — 2x

2— 1' ' 2 ' ' ' 2 '

x—l χ

1-х 1 + д г

_x χ +1χ -1 χ _ i

I - J t 1 + j t

_£_ + £±i - 2x2—1JC-1 X

178. Kokiu skaitmeniu baigiasi skaičius 2 4 n + 2 , n e Ν Ί

179. Mokykloje yra 29 klasės, kuriose iš viso mokosi 730 mokinių. Ar šio-je mokykloje yra klasių, kuriose mokosi ne mažiau kaip 26 mokiniai?

180. Trikam pio kraštinės lygios 17 cm , 25 cm ir 28 cm . Rask ite:a) atkarpas, į kur ias ilgiau sią kraštinę dalija į ją nu brėžta auk štinė;b) aukštinę, nubrėžtą į ilgiausią kraštinę;c) trikampio plotą;d) aukštinę, nubrėžtą į 25 cm ilgio kraštinę.


182. Iš eilės einančių trijų sveik ųjų skaičių kvadratų sum a lygi 365. Ra skitešiuos skaičius.

183. Ap skritimu , kurio ilgis 100 m, jud a du kūnai. Judėdam i ta pačia kryptim ijie susitinka kas 25 sekund ės, o jud ėdam i priešinga kry ptimi — kas 5sekundės.a) Kiek me trų per sekund ę priartėja kūn ai vienas prie kito judėda m i prie-

šingom is kryptim is, t. y. kokia k ūnų greičių sum a?

b) Kiek m etrų per sekundę prisiveja vienas kūna s kitą kūn ą judėda m i tapačia kryptimi, t. y. koks kūnų greičių skirtumas?

c) Koks kiekvieno kūno judėjim o greitis?

184. Tėvo metų skaičius 5 didesnis už trijų jo sūnų metų sumą. Po 10 metųtėvas bus du kartus vyresnis už savo vyriausiąjį sūnų; po 20 metų — dukartus vyresnis už vid urinįjį sūnų; p o 3 0 m etų — du kartus vyresnis užsavo jauniausiąjį sūnų. Kiek metų dabar tėvui ir kiekvienam jo sūnui?

Kodėl?

— 5x — 1 + 2x — 3 > 2,9x - Ax - 3 < 17; b)

6 - 3 x + 1 8 - 8 * ^ 13,3x + χ - 7 ^ 5.



Pasitikrinkite

1. Fun kcijos /(JC ) = kx3 grafikas eina per tašką M (2; 4). Raskite koefici-ento k reikšmę ir nubraižykite funkcijos grafiką.

2. Nubraižykite funk cijos /(JC) = a f x grafiką, jeigu žinoma, kad jis einaper tašką 4).

3. Raskite koeficiento k reikšmę, jeigu žinoma, kad fun'kcijos /( JC) = k Uxgrafikas eina per tašką N(64; 6).

4. Nubraižykite grafiką funkcijos:

a) / ( J C ) = § J C 3 b) / ( J C ) = —3fx c) / ( J C ) = į I f i

d) f ( x ) = - ^ 3 e) /(JC ) = - į l f i f ) f (χ ) = Uv^

5. Grafiškai nustatykite lygties sprendinių skaičių:

a) f x = b) J C 3 = į; c ) f x = 2-x.

6. Grafiniu būd u išspręskite nelyg ybę:

a) |JC — 4 | > 2; b ) | 4 - X 2 | < 2 ; c ) \ f x \ > l .

7. Pavaizduotas funkcijos f ( x ) = ^ ^ — 1 grafikas.

Nurodykite koeficientų a ir k ženklus.8. Nu rodykite, kurios iš duo tųjų fun kcijų nėra didėjančios:

a) / ( J C ) = JC > O b) / ( J C ) = 2 JC - 5 c) / ( J C ) = J C 2 , JC > O

d) / ( J C ) = . / F , JC > O e) / ( J C ) = - J C 3 f) / ( J C ) = - V I

9. Su kuriom is koeficiento k reikšmėmis funkcija /(JC) = kx + 7 mažėja?didėja?



10. Raskite didžiausią arba mažiausią funk cijos f ( x ) reikšmę:

a) f ( x ) = 3x2 - 1,5; b) f ( x ) = -\(x - 4)2 + 2.

11. Nurody kite, kurios iš duotų jų fun kcijų yra nelyginės:

a) f ( χ ) = 3x b) f ( χ ) = χ3

d) f ( χ ) = 3 + χ2

e) f ( χ ) = ^

c) f (X)

f ) f ( χ )

_ 4χ

12. Rem damiesi funkc ijos y = f ( x ) grafiku, nurody-kite, kiek sprendinių turi lygtis:

a ) / ( * ) = 4 ; Ъ ) f (χ ) = 2.

13. Funkcijos f ( x ) reikšm ių sritis yra intervalas [—5; 7]. Ras kite duotų jų

funkcijų reikšmių sritį, jeigu žinoma, kad funkcijos apibrėžtos visoje rea-liųjų skaičių aibėje:a) f(x ~ 4 ) ; b ) f(x+4); c ) / ( x ) + 3; d ) / ( x ) - 5 ; e ) / ( * - 3 ) + 6.

14. Remdamiesi funkcijos y = f ( x ) grafiku nubrai-žykite funkcijos y = g(x) grafiką, jei:

a) * (* ) = / ( * ) - 2 ; Ъ ) g(x) = f ( x ) + 3;

c) g(x) = f(x - 3).

15. Nubraižykite fun kcijos y = \f(x) \ grafiką, kai duotas fu nkc ijos y = f ( x )grafikas:

y2 У

=f (

x)

y2

ι N-2 i 2 3

a) b)y y

2-

r 0 V2 \ x

/ \ *

16. Nubraižykite funkcijos y

a) f ( χ ) = \2x + 4 |

c) f ( x ) = \x + 2\

f ( x ) grafiką:

b) f ( x ) = \x-4\

d) f ( x ) = \x - 3|

17. Nub raižykite fun kcijo s y = f (x) grafiką:

a) f ( x ) = \x + 2\,xe [ - 7 ; 7 ] ;

b) f ( x ) = \x\ + 2 , χ 6 (-5; 2] ;c) f ( x ) = |jc - 3 | , * e [ - 4 ; 4) .



18. Kiek procentų m etinių sudėtinių palūkanų skaičiuoja bankas, jei per d vejusmetus banke:

a) 12000 litų indėlis išaugo į 14126,7 lito sumą;b) 13 000 litų indėlis išaugo į 15587,33 lito sumą?

19. Kokiai sumai žmogus gali apdrausti savo lengvąjį automobilį, jei jis pla-

nuoja išleisti 126 Lt, o lengvojo au tomo bilio d raudimas nuo:a) stichinės nelaimės sudaro 0,81% draudimo sumos;b) vagystės sudaro 2,43% draudimo sumos?

20. Už 75,6 tonos benzino sumokėtas 9 1 4 7 6 L t akcizo mokestis. Apskaičiuo-kite akcizo mokestį už:

a) 57 ,8 tonos benzino; b) 96 ,2 tonos benzino.

21. Kiek kainavo pirkinys, jei už jį sumokėtas pridėtosios vertės mokestis

sudarė:a) 3,4 5 Lt; b) 8,73 Lt?

22 . Įm onės gryna sis pelna s 750 Lt. Koks įm onės pelnas , jeig u pelno m oke sčiotarifas yra:

a) 29%; b) 24% ?

23 . U ž 750 0 litų pask olą reikia m okėti m etines pap rastąsias palūk anas, lygias:

a) 8%; b) 9% .Parašykite formulę paskolos grąžintinai sumai S (litais) apskaičiuoti pri-klausomai nuo laiko t (metais).


27. Stačiojo trikam pio statinių ilgių sum a lygi 31 cm , o jų ilgių sk irtumaslygus 17 cm. Raskite trikampio:a) statinių ilgius; b) plotą; c) per imetrą;d) ilgį statmens, nubrėžto iš įžambinės vidurio į ilgesnįjį statinį.

25. Suprastinkite trupmeną:

26 . Išsp ręskite lygtį:„\ χ 2 2x χ — 5 . l . \ X2 3x 1-хa> T ~~ Ύ - ~ 6 ~ ' c^ T ~ T - ~ΊΓ~"



28. Lygiagretainio plotas lygus 12 0c m 2 , perimetras — 50cm, o atstumas nuolygiagretainio simetrijos centro iki ilgesniosios kraštinės — 4 cm. Raskitelygiagretainio:a) ilge sn iąją kraštinę; b) trum pe sn iąją kraštinę; c) įstrižain es.

29. Trikampio vidaus kampų santykiai 3 : 5 : 7 . Kokie yra šio trikampio:

a) priekampių santykiai; b) išorės kampų santykiai?30. Kū gio aukštinė lygi 12 cm, o kūgio tūris lygus 100π cm 3 . Raskite kūgio:

a) pagrin do spindulio ilgį; b) šon inio pav iršiaus plotą.

31. Su kuriom is χ reikšmėmis reiškinio:a) χ 2 skaitinės reikšmės yra didesnės už reiškinio (x — 2) 2 + 16 skaitines

reikšmes;b) (χ — I ) 2 skaitinės reikšmės yra mažesnės už reiškinio x(x — 5) + 7

skaitines reikšmes?



3 LYGČIŲ IR NELYGYBIŲSISTEMOS

1. Lygčių sistem os, k ai viena lygtis yra ne tiesin ė

2. Tiesinių nelygybių su dviem kintamaisiais sistemos

Pasi t ikr inki te

66

74

79



1 Lygčių sistemos, kai viena lygtisyra netiesinė

Jau mokame spręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.Tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendiniu vadinama tokianežinomųjų reikšmių pora, su kuria kiekviena sistemos lygtis virsta teisingalygybe.

{x + v = 14

2X _ 3y — 2 s P r e n d i n y s ,

nes 3 · 4 + 2 = 14 ir 2 · 4 - 3 · 2 = 2.

Lygčių sistemas sprendėme grafiniu, keitimo ir sudėties būdais.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą i IE i ir= visais trimis budais.Panagrinėkime, kaip sprendžiamos lygčių sistemos, kurių viena lygtis yra tie-sinė, o kita — netiesinė, pavyzdžiui,

χ + y = 3,

χ2

— xy = — 1.

Tokios sistemos sprendiniu taip pat vadiname nežinomųjų reikšmių porą, sukuria kiekviena sistemos lygtis virsta teisinga lygybe.Pavy zdžiui, skaičių pora (0 ,5; 2,5 ) yra šios lygčių sistemos spre ndinys, nes0,5 + 2,5 = 3 ir 0,5 2 — 0 ,5 · 2,5 = — 1, o skaičių pora (0; 3) nėra sprendinys,nes nors 0 + 3 = 3, bet O2 - 0 · 3 φ - 1 .

Ar poros (1; 2), (2; 1) yra lygčių sistemo s j ^Xy _ j sprendiniai?

UŽD AV INYS. Raskite tiesės y = 4x + 3 ir apskritimo J C 2 + y 2 = 9 susikirtimotaškų koordinates.

Sprendimas. Vienoje koordinačių plokštumoje nu-braižome tiesę y = 4JC + 3 ir apskritimą JC2 + y 2 = 9.Nubrėžtos tiesės kiekvieno taško koordinatės yra lygtiesy = 4x + 3 sprendiniai, o apskritimo kiekvieno taško

koordinatės yra lygtiesJC2

+ y

2

= 9 sprendiniai.

y IU

II /

Iι II

/0Ii

BTT



Vadinasi, tiesės ir apskritimo susikirtimo taškų koordinatės tenkina ir tiesės, irapskritimo lygtis, todėl jos yra lygčių sistemos

y = 4x + 3,X2 + y 2 = 9

sprendiniai.Išsprendžiame šią lygčių sistemą grafiniu būdu. Remdamiesi brėžiniu randametiesės ir apskritimo susikirtimo taškų koordinates A(0; 3) ir β(—1,5; —2,6). Įabi sistemos lygtis įsistatę gautas koordinates įsitikiname, kad taško A koordi-nates suradome tiksliai, nes 3 = 4 - 0 + 3 ir 0 2 + 3 2 = 9, o taško B — apytiksliai,nes - 2 , 6 Ri 4 · ( - 1 , 5 ) + 3 i r ( - 1 , 5 ) 2 + ( - 2 , 6 ) 2 « 9.Tikslius sprendinius rasime spręsdami lygčių sistemą keitimo būdu.Į sistemos antrąją lygtį x 2 + y 2 = 9 vietoj y įrašę jo išraišką iš pirmosios

lygties (4x + 3) turime: x2

+ (4x + 3)2

= 9.Išsprendžiame gautą lygtį su vienu nežinomuoju:

χ 2 + 16x 2 + 24* + 9 = 9,

17x 2 + 24x = 0,

x(17x + 24) = 0,

x = 0 arba 17x + 24 = 0,

7

^ = - 1 T r

Gautąsias χ reikšmes įrašę į lygtį y = 4x + 3 apskaičiuojame atitinkamas yreikšmes:

kai χ = 0, tai y = 4 • 0 + 3 = 3;

7 / 7 \ 11kai x = - l — , tai y = 4 - ( - 1 - + 3 = - 2 - .

17 7 V 17/ 17

Taigi sistema turi du sprendinius (0; 3) ir (—1 jj·, —2

Atsakymas. Tiesė y = 4x + 3 ir apskritimas x 2 + y 2 = 9 susikerta taškuose(0; 3) ir (—\yj·, —2-pj).

Lygčių sistemą, kurios viena lygtis yra tiesinė, o kita netiesinė, keitimo būdusprendžiame taip:

• tiesinės lygties vieną nežinomąjį išreiškiame kitu;• gautąją išraišką įrašome į kitą sistemos lygtį;• išsprendžiame gautą lygtį su vienu nežinomuoju;• apskaičiuojame atitinkamas kito nežinomojo reikšmes.



1 PAVYZDY S. Išspręskime lygčių sistemą

J J C 2 - 3 y 2 = 13,

\ x 2 + 3 y 2 = 19.

Šios sistemos abi lygtys yra netiesinės.I būdas. Pastebėkime, kad sudėję sistemos lygtis gauname lygtį su vienunežinomuoju:

' X 2 - I y 2 = 1 3 ,

X 2 + 3 y 2 = 19,

Ix 2 = 32,

χ2 = 16,

X l = - 4 , X2 = 4.

Atitinkamas y reikšmes gausime įstatę gautąsias χ reikšmes į bet kurią pradi-nės sistemos lygtį (pvz., į pirmąją):

kai χ = —4, tai kai χ = 4, ta i

( - 4 ) 2 - 3 y 2 = 13, 4 2 - 3 y 2 = 13,

3 y

2

= 3, 3 y

2

= 3,y

2= I У З = ~1

Л = - 1 , У 4 = 1-

У 2 = i ;

Vadinasi, sistem a turi keturis sprendin ius: (—4; —1), (—4; 1), (4; —1), (4; 1).

II būdas. Šią lygčių sistemą galėjome spręsti ir keitimo būdu: išreikšti x 2

arba 3y 2 iš vienos lygties ir gautąją išraišką įstatyti į kitą lygtį.

III būdas. Išspręskime sistemą iš abiejų lygčių išreikšdami x 2 :

χ 2 = 1 3 + 3 y 2 ,^ 2 = 19 - 3 y 2 .

Kadangi kairiosios lygčių pusės lygios, tai turi būti lygios ir dešiniosios, t. y.:13 + 3y 2 = 19 — 3 y 2 . Išsprendę šią lygtį su vienu nežinomuoju, gaunameyi = —1; y2 = 1. A titinkam as χ reikšmes gausime įstatę y reikšmes į bet

kurią iš pradžioje gautų x 2 išraiškų.Atsakymas. ( -4 ; -1 ) , ( -4 ; 1 ) , (4 ; -1 ) , (4 ; 1 ) .



2 PAVY ZDY S. Išspręskime lygčių sistemą

χ -f xy = 12,3y + xy = 25.

Labiausiai mums „trukdo" sandauga xy, bet ją nesunku pašalinti sudėtiesbūdu. Dauginame pirmąją lygtį iš — 1 ir sudedame su antrąja lygtimi:

F - J C - xy = - 1 2 ,

+ j 3y + jcy = 25,

- X + 3y = 13.

Iš lygties — jc+ 3y = 13 než inom ąjįχ išreiškiame nežinomuoju y: χ = 3y—13.

Gautąją JC išraišk ą įstato m e į bet ku rią (šiuo atve ju — į an trąją) prad inėssistemos lygtį ir gauname lygtį su vienu nežinomuoju:

3y + (3y - 13)y = 25.

Išsprendžiame ją:

3y + 3y 2 - 13y - 25 = O,

3 y 2 - IOy - 25 = 0 ,D = 100 - 4 · 3 • ( - 2 5 ) = 4 0 0 ,

1 0 - 2 0 2y i — б 1 S -

10 + 20 „У 2 = = 5.

6

Atitinkamas χ reikšmes gauname įstatę rastąsias y reikšmes į lygybęJC = 3y — 13:

2 / 5 \k ai y = - 1 - , tai JC = 3 · ( - - j - 13 = - 1 8 ,

kai y = 5, tai JC = 3 · 5 — 13 = 2.

Vadinasi, sistema turi du sprendinius (—18; —1|), (2; 5).



Prat imai ir uždaviniai

185. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą:

a) j 2 * " ? = 3 '

c)

Ix+ Iy = 16

i 3(x - 5) - 1 = 6 - 2x ,\ 3(x — y) — 7y + 4 = O

Ks f 2x - 3y = 13,0 M 3 X + 4y = - 4

d) \ ψ = 2 γ - 5 ,3y φ = 16

{2 c

x У _ = Ar jos sprendinys yra skaičių pora:

a) (—1; —2); b) (2; 1); c) ( - 2 ; - 1 ) ; d) (1; 2)?

187. Grafiškai išspręskite lygčių sistemą:

a )

d)

g)

χ +y = A ,X2+ У 2 = 25

2y =2x - y + 3 = O

y = X2 - 6x + 8,

y+ 2x = 5

b)

e )

χ - y = 2 ,xy = A c)

y = χ +2, f )y - 0,2x = 3 '

(χ - 4 ) 2 + (y - 5) 2 = 9,y = X

3x — 4y = 2,

y = —0,5x2

2y =

X2+ y

2 16i)

j y = x 2 + 1 ,[ x y = 3


a)

d)

g)

У = 3 - X ,

X 2 - У = 39

X - У = 0 , 8 ,

xy = 2,4

2x - y = 0,i 2 - 1 = 1

b)

e )

h)

χ + У = 9,

y2+ χ = 2 9

X + y = 6,X

2- y

2= 1 2

χ + y = 1,2 1 _ 5

c ) I x y = - 2

0

i)

X 2 — xy + y 2 = 37,χ — y = — 3

y - χ = 7,

χ 1 y


a)

c)

2 x 2 - y 2 = 30,2 x 2 + y 2 = 42

3x - 4y = 20,2x + y = —5

f x 2 +

U2

-

b)

φ j

3x — xy = 10,y + xy = 6

xy + 3x — 4y = 12,xy + 2x — 2y = 9

190. Nebraižydami raskite koordinates taškų, kuriuose:

a) tiesė y = 2x — 1 kerta parabolę y = x 2 — 3x + 3;b) tiesė y = χ — 12 kerta apskritimą x 2 + y 2 = 64.

191. Dviejų skaičių suma lygi 17, o jų sandauga yra 42. Raskite tuos skaičius.



192. D viejų skaičių skirtumas lygus 6, o jų sa ndaug a yra 216. Kokie taiskaičiai?

193. Dviejų skaičių suma lygi 10, o jų kvadratų suma lygi 212. Raskite tuosskaičius.

194. Stačiakam pio perim etras lygus 46 cm, o jo įstrižainės ilgis yra 17 cm.

Apskaičiuokite stačiakampio kraštinių ilgius.195. Stačiojo trikampio vienas statinis 3 cm ilgesnis už k itą, o jo įžam binė

lygi 15 cm. Raskite šio trikampio statinių ilgius. Apskaičiuokite jo plotą.

196. Stačiojo trikampio perimetras lygus 48 cm, o įžambinės ilgis yra 20 cm.Apskaičiuokite trikampio plotą.

197. Stačiakampio form os sklypo plotas yra 800 m 2 . Sklyp as aptvertas 120 milgio tvora. Apskaičiuokite sklypo ilgį ir plotį.

198. Iš vieno s vietovės tuo pačiu metu išėjo dvi turistų grupės. Viena ėjo įšiaurę, o k ita — į rytus. Po 4 h pa aiškėjo, kad atstum as tarp jų lygus24 km ir kad p irmo ji grupė nuėjo 4, 8 km daugiau u ž an trąją. Kokiugreičiu ėjo kiekviena turistų grupė?

199. Iš stačiojo kampo viršūnės jo kraštinėmis tuo pačiu metu pradeda judėtidu kūn ai. Po 15 s atstumas tarp jų lygus 3 m. Pirmasis kūnas per 6 spasislenka tokiu atstumu , kokiu antrasis — per 8 s. Kokiu greičiu juda

kiekvienas kūnas?

200*. Stačiakam pio form os aikštelės pak raščio ilgis buvo 24 m. Kai vieną joskraštą pailgino 3 m , o kitą sutrump ino 4 m, aikštelės plotas pa didėjo 1,5karto. Kokie yra dabartiniai aikštelės matmenys?

201. Paprastosios trupmenos vardiklis 3 vienetais didesnis už skaitiklį. Padi-dinus skaitiklį 7 vienetais, o vardiklį 5 vienetais, trupm ena pad idėtų j .Raskite šią trupmeną.

20 2. Jei prie trupm enos skaitiklio ir vardiklio pridėtum e po 1, tai gau tum e

trupmeną, lygią j. Jei iš tos pačios trupmenos skaitiklio ir vardiklio at-

imtume po 3, tai gautume trupmeną, lygią j. Raskite pradinę trupmeną.

203. Greitasis traukinys 480 km važiuo ja 3 valandom is ilgiau, negu lėktuvasnusk renda 1920 km . Trauk inio greitis yra 8 kartus m ažesnis už lėktuvogreitį. Apskaičiuokite traukinio greitį ir lėktuvo greitį.

204. Atstumas tarp dviejų miestų geležinkeliu yra 150 km. Greitasis traukinysjį nuvažiuoja 45 minutėmis greičiau negu paprastas keleivinis traukinys.Paprastas keleivinis traukinys kas valandą nuvažiuoja IOkm mažiau užgreitąjį. Kokiu greičiu važiuoja kiekvienas traukinys?



205. A tstuma s tarp Ak m eny nės ir Smėlynės lygus 50 km . Iš jų tuo pačiume tu išvažiavę mo tociklininka i susitiko po 30 m inučių. Po to vienas jųatvyko į Sm ėlynę 25 m inutėmis vėliau, negu kitas — į Akmenynę. Raskitekiekvieno motociklininko greitį.

206. Iš miestų A ir B tuo pačiu metu vienas priešais kitą išvažiavo du auto-mobiliai. Po valandos jie susitiko ir nesustodami važiavo toliau tuo pačiugreičiu. Pirmasis atvyko į miestą B 27 minutėmis vėliau negu antrasis į A.Atstumas tarp miestų yra 90 km . Apsk aičiuokite kiekvieno automo biliogreitį.

207. Lina su mama buto langus išvalo per 2 valandas. Dirbant atskirai Linaužtrun ka 3 valand om is ilgiau nei jos m am a. Per kiek laiko išvalo butolangus Lina ir per kiek jos mama, dirbdamos atskirai?

208. Dviem mokinių grupėms buvo pavesta apželdinti mokyklos sklypą. Dirb-

damos drauge jos tą darbą atliktų per 6 dienas. Pirmoji grupė dirbdamaatskirai gali atlikti jį 5 dienomis greičiau už antrąją. Per kiek dienų kiek-viena grupė apželdintų sklypą dirbdama atskirai?

209. Dvi darbininkų grupės, dirbdamos kartu, suremontuoja tam tikrą kelioruo žą per 12 dienų. 8 dienas jo s dirbo kartu, bet po to pirm ajai grupeibuvo skirtas kitas darbas, todėl antrajai prireikė dar 7 dienų kelio ruožorem ontui užbaigti. Per kiek dienų galėtų surem ontuo ti tą kelio ruožąkiekviena grupė, dirbdama atskirai?

210. Vandentiekio bakas pripildom as dviem v amzd žiais per 2 h 55 m in. Pir-m uoju va mz džiu galima p ripildyti jį 2 h greičiau neg u a ntruo ju. Per kieklaiko galima pripildyti baką kiekvienu vamzdžiu atskirai?

211. Grupė turistų turėjo sumokėti po lygiai už ekskursiją, kuri kainuoja 360litų. Bet du turistai neatvyko, todėl kitiems teko primokėti dar po 6 litus.Kiek žmonių sumokėjo už ekskursiją ir po kiek litų?

212. Nu pirkta dviejų rūšių prekių: pirmosios rūšies — už 210 Lt, antrosios —

už 156 Lt. Pirm osios rūšies prekių pirkta 3k g daugiau negu antrosios.Vienas kilogramas pirmosios rūšies prekių kainavo vienu litu brangiau.Kiek kilogramų kiekvienos rūšies prekių nupirkta?

213. Raskite funkcijos y = f ( x ) apibrėžimo sritį, jei:

a) f(x ) = f x + f— χ', b) f ( x ) = f x — 1 + f x — 1.

214. Funkcijos f (χ ) = kx -f b grafikas eina per taškus A(2; 3) ir B{— 5; —4).Raskite k ir b reikšmes.

215. M ūrinio gyven amojo nam o draudimo 60 00 0 Lt sumai nuo gaisro ir kitųnelaimių tarifas yra 0,16%, o medinio gyvenamojo namo draudimo tokiaipačiai sumai — 0,2% . Kiek litų pigiau kainuo ja mū rinio nam o draudim as?



216. Darželyje kasdien pražysta vis tris kartus daugiau ratilių žiedų negu dienąprieš tai. Jeigu pirmadienį buvo pražydęs vienas žiedas, tai kiek jų:a) pražys ketvirtadienį; šeštadienį;b) žydės iš viso penktadienį; sekmadienį?

217. Obligacija, kuri bus išperkama po pusės metų su 8,5% palūkanų norma,

kainuoja:a) 191,85 Lt; b) 23 ,98 Lt.Kiek litų palūkanų sumokės bankas už 5 išperkamas obligacijas?

218. Kv adrato įstrižainės, kur ios lygios 7, yra koordina čių ašyse. Ra skite kvad -rato:a) viršūnių koo rdinates ; b) kraštinės ilgį; c) perim etrą; d) plotą;e) gau to pastū m us du otąjį kva dratą per 2 ilgio vienetus į dešinę ir per 3

ilgio vienetus žemyn, viršūnių koordinates.

21 9. Trika m pio kraštinių ilgiai yra 16 cm , 24 cm ir 32 cm . Į kok io ilgio atkarpasdalija trikampio kraštinę į ją nubrėžta:a) didžiausiojo kampo pusiaukampinė;b) mažiausiojo kampo pusiaukampinė?

220. Ar galima į keturkampį įbrėžti apskritimą, jeigu jo kraštinių ilgiai yra:a) 5 cm , 9 cm , 13 cm ir 10 cm; b) 8 cm, 12 cm , 15 cm ir 11 cm ?

221. Ritinio, kurio viso paviršiaus plotas lygus 1127Г cm 2 , aukštis 6 cm ilgesnisuž pagrindo spindulį. Raskite ritinio:a) pagrindo spindulį ir aukštį;b) ašinio pjūvio plotą;c) aukščio ir pagrindo skersmens santykį;d) tūrį.

222. Įrodykite tapatybę:„ 4 _4_ _ i _3 д + 1 _ 6a— 3. i_ \ 5 , 2 , b-1 _ 15f r+ 8d> a+2 a-2 α 2 - 4 ~ α 2 - 4 ' 0 ) 2b-3 + 2b+3 + 4b2-9 ~ 4b2-9 '

223. Tikimybė iš 28 klasės mokinių atsitiktinai išrinkti berniuką lygi η .a) Kiek berniukų mokosi klasėje?b) Kiek mergaičių mokosi klasėje?c) Kokia tikimybė atsitiktinai išrinkti klasės mergaitę?

224. Apskaičiuokite reiškinių VŠ ir л/8 - л/18:a) sum ą; b) skirtum ą; c) sand augą; d) dalm enį;e) kvadratų skirtumą; f) skirtumo kvadratą; g) skirtum o kubą.



2 Tiesinių nelygybių su dviemkintamaisiais sistemos

Nelygybė, kurią galima užrašyti pavidalu ax + by + c > O (ax + by + c ^ O,ax + by + c < O, ax + by + c 0), kur a, b, c — skaičiai, be to, a ir b φ O,

0 χ ir y — kintamieji, vadinam a tiesine nelygybe su dviem kintamaisiais.

Tiesinių nelygybių su dviem kintamaisiais pavyzdžiai:jc - 2y + 3 > O, Ix - 2y + 4 ^ O, 3x < 5y + 2.

Nelygybės su dviem kintamaisiais sprendiniu vadinama tokia kintamųjų

reikšmių pora, kuri paverčia nelygybę teisinga skaitine nelygybe .

Pavy zdžiui, poros (1; 0), (4; 2), (—2; —1) yra n elygy bės χ — 2y + 3 > 0sprendiniai, nes 1 - 2 - 0 + 3 = 4 > 0 , 4 - 2 - 2 + 3 = 3 > 0, - 2 - 2 - ( - 1 ) + 3 == 3 > 0. Nesunku pastebėti, kad tokių porų — nelygybės sprendinių yra begalo daug.Išspręsti tiesinę nely gyb ę su dviem kintam aisiais — reiškia rasti visas kin-tamųjų JC ir Y reikšmių poras, su kuriom is nelygybė yra teisinga. Paprastaitiesinės nelygybės su dviem kintamaisiais sprendžiamos grafiniu būdu.PAVYZDYS. Išspręskime nelygybę χ - 2y + 3 > 0.Koordinačių plokštumoje nubraižykime tiesę χ — 2y + 3 = 0. Šios tiesėstaškų koordinatės yra lygties χ — 2 y + 3 = 0 sprendiniai. Pavyzdžiui , A(l; 2):

1 - 2 · 2 + 3 = 0; Д (3; 3): 3 - 2 · 3 + 3 = 0.Nubrėžta tiesė padalijo plokštumą į dvi pus-plokštumes. Paimkime po keletą taškų, pri-

klausančių šioms pusplokštumėms ir įstaty-kime jų koordinates į nagrinėjamą nelygybę:C(—4; 2): - 4 - 2 · 2 + 3 = - 5 < 0 ,D(2; 6): 2 - 2 - 6 + 3 = - 7 < 0 ,£ (0 ; 3): 0 - 2 - 3 + 3 = - 3 < 0 ,0 ( 0 ; 0): 0 - 0 - 0 + 3 = 3 > 0 ,F ( 3 ; - 2 ) : 3 - 2 · ( -2) + 3 = 10 > 0 ,G ( 5; 2): 5 - 2 - 2 + 3 = 4 > 0 .

Pastebėkime, kad vienoje pusplokštumėje esančių taškų (C, D ir E) koordi-natės tenkina nelygybę χ — 2y + 3 < 0, o kitoje pusplokštumėje esančių taškų(O, F k G) koordinatės tenkina nelygybę χ — 2y + 3 > 0.

y'D(2; 6)

o-o *C H ; 2) ;

E{0;

i<4(1 ; 2) G(5

I i i t i;2)

I 1O ι ι i i ι1 χ

• F(3;-2)



Visus nelygybės χ — 2y + 3 > O sprendinius atitinkantys taškai yra užbrukš-niuotoje pusplokštum ėje.

Tiesė ax + by + c = O dalija plokštumą į dvi pusplokštum es. Vienoje jų yrataškai, kurių koordinatės yra nelygybės ax + by + c > O sprendiniai, kitoje

— taškai, kurių koordinatės yra nelygybės ax + by + c < O sprendiniai.

Pastaba. Ieškant, kurioje pusplokštumėje yra nagrinėjamos nelygybės spren-diniai, užtenka paimti vieną pusplokštumes tašką ir patikrinti, ar to taškokoordinatės tenkina sprendžiamą nelygybę.

Užduotis. Išspręskite nelygybę 2x + 4y ^ 16.

Spręsdami tiesinių nelygybių su dviem kintamaisiais sistemas, ieškome kin-tam ųjų reikšmių porų, kurios tenkina kiekvieną sistemos nelygybę. Tokiassistemas taip pat patogu spręsti grafiškai.

1 UŽDAV INYS. Laima gim tadienio šventei norėjo nupirkti dviejų rūšių rie-šutų. Vienos rūšies riešutų kilog ramas pa rduo tuvėje kainavo 9 litus, kitos —4 litus. Kiek kiekvienos rūšies riešutų galėjo nupirkti Laima, jei ji turėjo 24litus ir norėjo nupirkti ne mažiau 3 kilogramų riešutų?Sprendimas. Sakykime, kad Laima pirko χ kg vienos rūšies ir y kg kitosrūšies riešutų. Ji buvo nutarusi pirkti χ + y ^ 3 kilogramų riešutų ir galėjoišleisti 9x + 4y ^ 24 litų. Taigi turime dviejų tiesinių nelygybių su dviemkintamaisiais sistemą

Pastaba. Tiesės x~2y+3 = O taškų koordina-tės nėra nelygybės χ — 2y + 3 > O sprendiniai,

todėl tiesė nubrėžta punktyrine linija.

ί χ + y ^ 3, A · Aj 9jc -f 4y ^ 24 ; era ·* > O rr y > 0.

Sprendžiame gautą nelygybių sistemą:

1) Koordinačių plokštumoje pavaizduojame nelygybėsχ + y ^ 3 sprendinius:



2) Koordinačių plokštumoje pavaizduojame nelygybės9 + 4y ^ 24 sprendinius:

3) Užbrūkšniuotų pusplokštumių bendrosios dalies taš-kų koordinatės yra nelygybių sistemos

x + y > 3,

9x + 4y ^ 24sprendiniai.

Grįžkime prie tekstinio uždavinio, kuriam spręsti suda-rėme šią nelygybių sistemą. Tekstinio uždavinio sąlygątenkina tie sistemos sprendiniai, kurių χ > O ir y > O,

t. y. taškai, esantys pirmajame ketvirtyje.Taigi nagrinėtas tekstinis uždavinys turi be galo daugsprendinių, kuriuos vaizduojantys taškai yra užbrūkš-niuotame trikampyje.

Nu rody kim e keletą užda vinio spren dinių: La im a galėjo pirkti 2 kg vienos ir1,5 kg kitos rūšies, arba 1 kg vien os ir 3 kg kitos rū šies riešutų ir 1.1.



225. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybės sprendinius:a) y ^ 4 - х ; b) y < 2x - 5; c) 3x + y > 6; d) 3y - 2x ^ 24.

226. Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą grafiškai:

яч \ У >x,a)

Iy >-χ

X + y ^ 6,2x - y ^ O

) {

. Ix + 2y ζ 8 ,g M 3x - 2y > O

»{j<2f+iv ί χ + 2 < y ,

e > j 2y - 3 > 2x

' 2x + y < 12,"h) χ > O,

y ^ O

c ) { y i 1 - 3xfx ί χ + 2y < 7,τ> i 3x - 4y < 1

χ + 2y < 10,Зх + y ^ 15,χ ^ 0,У >0

*i)

227. Užrašykite nelygybių sistemą, kurios sprendiniai pavaizduoti brėžinyje:

228. Dėžutėje yra raudonų ir mėlynų pieštukų. Jei raudonų pieštukų būtų dvi-gubai daugiau, tai bend ras pieštukų skaičius būtų didesnis už 24. Jeimėlynų pieštukų būtų dvigubai daugiau, tai bendras pieštukų skaičius bū-tų mažesn is už 27. Kiek mėlynų ir kiek raudonų pieštukų galėtų būtidėžutėje? Pavaizduokite sprendinius grafiškai. Nurodykite tris galimusvariantus.

229. Eidam a į turgų Aus tėjos m am a planu oja pirkti persikų ir abrikosų. Turgujekilogramas persikų kainuoja 8 Lt, o kilogramas abrikosų — 7 Lt. Kiekkilogramų persikų ir kiek abrikosų gali nupirkti Austėjos m ama, jei šiemsvaisiam s ji nutarusi išleisti ne daugiau kaip 32 Lt ir nori nupirkti jų bent4 kilogramus?

230. Gamykloje gaminamos dviejų rūšių vandens slidės — standartinės ir spor-tinės. Viena pora stand artinių slidžių pag am inam a per 6 h, o sportinių

— per 8 h. Kiekvienos rūšies slidžių apdailai papildo m ai skiriama ati-t inkamai 1 h ir 3 h. A biejų rūšių slidžių gam ybai per savaitę skiriamane dau giau kaip 120 h, o ap dailai — ne daugiau kaip 30 h. Kiek porųkiekvienos rūšies slidžių gali pagaminti gamykla per savaitę?



231. Nubraižykite funkcijos y = f{x) grafiką, jei:

a ) / W = ^ i ; b) f ( x ) = ψ .

232. Kokią sumą sumoka bankas už:a) 800 Lt vek selį, likus 70 dien ų iki jo apm okėjim o termino, jeigu dis-

konto norma 8%;

b) 1250 Lt vekselį, likus 9 0 dienų iki jo apm okėjim o termino, jeigu dis-konto norma 7,5%?

233. Tilto arka yra parabolės formos lankas. Parabolės viršūnė yra šio lankoviduryje. Arka turi 5 vertikalias atramas, pastatytas taškuose, kurie dalijastygą, jungiančią arkos galus, į lygias dalis.

h

2 c

Raskite šių atramų ilgius, jei styga yra 2x = 120 (m), o arkos aukštish = 14,4 m.

234. Nu brėžta trapecijos vidurinė linija. Ar susidariusios dvi trapec ijos yrapanašios?


а) У ( 2 — -ч/З)2 — У ( \ / 3 — 4 ) 2 ; b ) ^ ( 2 - V5 ) 2 + у /(2 + V Š ) 2 .

236. Kiek kvadratų galima pamatyti brėžinyje?

A 25 B 14 C 19 D 27 E 23



Pasitikrinkite

1. Išspręskite lygčių sistemą grafiškai:

a ) K = 2 i " 2 ' b)I* + y = iX + y = 6,( J C + I ) 2

+ y 2 = 36

y = 0,5 J C 2 - 3 ,2JC + 5y = 10

= 8,

4

{ ? - = * - „ d ,


{ 5 J C + 4 Y = 8 B M X Y = - I O =

Н ч jy2-2x-2xy = 1, , ί χ 2 + 2 y 2 = 228, i χ + xy + y = 11,

{ χ — 2 y = 7 ' e ) j 3JC 2 - 2 y 2 = 172 i * - x y + y = 1

3. Nebraižydami išsiaiškinkite, ar susikerta:a) parabolė y = JC2 — 6JC + 8 ir tiesė JC + y = 4;b) tiesė y = 8 — JC ir apskritimas JC2 + y 2 = 32.

4. Dviejų vienas po kito einančių natūraliųjų skaičių suma 71 mažesnė už jųsandaugą. Raskite šiuos skaičius.

5. D vi m oterys kartu dar bą atlieka per 6 h. Pirmoji moteris tą darbą vienadirba 5 h ilgiau negu antro ji. Per kiek laiko gali atlikti visą darbą k iekvien amoteris dirbdama atskirai?

6. Keleivinis traukinys per 3 h nuv ažiuo ja IOk m didesn į atstum ą negu pre-kinis per 4 h. Prekinio traukinio greitis 20 km /h m ažesnis už keleiviniotraukinio greitį. Raskite keleivinio ir prekinio traukinių greitį.

7. Stačiakam pio gėlyno plotas lygus 56 m 2 , o tvorelės, juosiančios gėlyną,

ilgis yra 30 m. Raskite gėlyno matmenis.8. Stačiojo trikam pio įžam binė lygi 13 cm . Vienas statinis 7 cm ilgesn is už

kitą. Raskite trikampio statinius. Apskaičiuokite trikampio plotą.

9. D viejų skaičių skirtuma s lygus 5, o jų kvad ratų sum a lygi 125. Ra skitešiuos skaičius.

10. Išspręskite grafiškai tiesinių nelygybių sistemą:

> i Y > - J C - I 1 w i y < 2 j c + 2, , f 2JC - y ^ 4,' j y < 2JC + 1; ' j 5y — 1 ^ JC; c ; l 3 j c + 2 y ^ 6 .



11. Nubraižykite funkcijos y = f(x) grafiką, jei :

a ) / ( * ) = | * - 3 | ; b) f ( x ) = | * | - 3 ; c) f ( x ) = ^ ; d ) / W =

12. Funkcija / ( * ) = — x 2 .a) Nub raižykite fun kcijos grafiką.b) Parašyk ite funk cijo s reikšm ių sritį.

c) Nu rodyk ite fun kc ijos didžiau sią ir m ažiausią reikšm es intervale:[ - l ; 3 ] ; [ - 4 ; 2 ] ; [ - 3 ; - l ] ; [ l ; 2 ] .

13. Buto draudimo nuo gaisro ir kitų nelaimingų atsitikimų tarifas yra 0,12%buto draudim o sumos. Kiek reikia mokėti draudžiant butą 7 00 0 0 Lt;75 000 Lt sumai?

14 . Tikimybė iš 25 klasės mokinių atsitiktinai išrinkti mergaitę lygia) Kiek me rgaičių mo kosi klasėje?b) Kiek berniukų mokosi klasėje?c) Kokia tikimyb ė atsitiktinai išrinkti klasės berniuk ą?

15. Supras tinkite reiškinį:

a) ( y - l ) ( y + 3 ) - ( y + l ) 2 b) (* + 1 ) 2 - ( * - 2 ) ( x + 4 )

c) (x - y)(jt + y)(x2 + y 2 ) d) (n - m)(m + n)(m 2 + n2)

16. Į ketu rkam pį įbrėžtas apskritim as. Keturk am pio trys iš eilės pa imtos kraš-tinės yra:

a) 9 cm , 10 cm, 13 cm; b) 8 cm, 11 cm, 12 cm .Raskite ketvirtosios kraštinės ilgį.

17. Kū gio, kurio šoninis paviršius lygus 135тгст2 , sudaromoji lygi 15 cm .Raskite kūgio:a) pagrindo spindulį ir aukštį;b) ašinio pjūvio plotą;c) aukščio ir pagrindo skersmens santykį;

d) viso paviršiaus plotą;e) tūrį.

18. Trijų mo liūgų m asės vidurkis 5 kg, o šių ir ketv irtojo m oliūgo m asėsvidurkis 5,5 kg. Kokia ketvirtojo moliūgo masė?



KVADRATINĖSNELYGYBĖS

1. Kv adrat inių nelygybių grafinis spre nd im as 82

2. Kvadrat inių nelygybių algebrinis sprendimas 86

3. Nelygybių sprendimas intervalų metodu 93

4. Netiesinių nelygybių sistemos 98

Pasit ikrinkite 103

4



1 Kvadratinių nelygybių grafinissprendimas

UŽ DA VINY S. Po vartininko sm ūgio kam uolys pakilo į IO m aukštį ir nusi-

leido už 40 m nuo jo. Sakykime, kad kamuolio lėkimo trajektorija — parabolė(žr. pav.). Koks buvo atstumas (horizontaliai) nuo smūgio vietos, kai kamuolyslėkė virš aikštelės būdamas aukščiau nei 1,9 m?

Sprendimas. Nubrėžkime tiesę y = 1,9. Remdamiesi brėžiniu raskime para-bolės ir tiesės sankirtos taškų M kN abscises: x\ = 2, x2 = 38. Su šiomisχ reikšmėmis kam uolio pakilimo aukštis y lygus 1,9 m. Kai 2 < χ < 38, tai

parabolė yra virš tiesės, o tai reiškia, kad kamuolys būdamas tokiu atstumu nuosmūgio vietos buvo pakilęs virš aikštelės daugiau negu 1,9 metro.Atsakymas. Daugiau kaip 2 m, bet mažiau kaip 38 m atstumu.1 užduotis. Įrodykite, kad nubrėžtosios parabolės lygtis yra y = ~щ ]Х 2 + λ ,

ir išspręskite lygtį — ^ x 2 + χ = 1,9. Ką parodo šios lygties sprendiniai?Galima sakyti, kad spręsdami uždavinį išsprendėme kvadratinę nelygybę:

1 ?- — χ 2 + χ > 1,9.

40

Nelygybės, kurias galima užrašyti pavidalu ax2 -f bx + c > 0,ax2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c ^ 0, ax2 + bx + c ^ 0, kai a φ 0,

vadinamos kvadratinėmis nelygybėmis.

Galima sakyti, kad nelygybės — ^ x 2 + x > 1,9 sprendinius radom e grafiniubūdu , t. y. radom e tas χ reikšmes , su kuriomis funkcijos / ( x ) = - ^ x 2 + xgrafikas yra virš funkcijos g{x) = 1,9 grafiko.



Grafiniu budu galima apytiksliai išspręsti bet kokią kvadratinę nelygybę.

1 PAVY ZDYS. Grafiniu būdu išspręskim e kvad ratinę nelygyb ę χ 2 < χ + 6.

Sprendimas. Vienoje koordinačių plokštum oje nu-braižykime funkci jų / (x) = χ 2 ir g(x) = χ + 6

grafikus.Nelygybės χ

2< χ + 6 sprendiniai yra tos χ reikš-

mės, su kuriomis teisinga nelygybė /(x) < g(x).Su tomis jc reikšmėmis parabolės taškai yra že-miau tiesės taškų.Iš brėžinio matome, kad parabolė yra žemiau tie-sės, kai — 2 < χ < 3. Vadinasi, χ

2< χ + 6, kai

χ e ( -2 ; 3 ) .

Atsakymas. (—2; 3).

2 užduotis. Remdamiesi parabolės y = χ2

— χ — 6 ir tiesės y = O grafikaisišspręskite kvadratinę nelygybę χ

2— χ — 6 < 0.

2 PAVYZDYS. Išspręskime nelygybę x2 > \x - 2.

Sprendimas. Vienoje koordinačių plokštumoje nu-9 i

braižykime parabolę y = χ ir tiesę y = ^x — 2.Nelygybės sprendiniai yra tos χ reikšmės, su kurio-mis parabolė yra aukščiau tiesės. Taip yra su viso-mis kintamojo χ reikšmėmis. Nelygybės sprendinysyra kiekviena χ reikšmė.

Atsakymas. (—oo; +oo).

r\ i

3 užduotis. Remdamiesi parabolės y = χ — ^x ir tiesės y = —2 grafikais9 1išspręskite kvadratinę nelygybę x z — Ix > —2.



237. Kurios iš duotųjų nelygybių yra kvadratinės:

a) 3x 2 - χ - 4 > O b) 4x - 3 2 < O

c) Ix2 - 3 > O d) 5x

2 + 8x - 2 < O

e) 2 — χ2

> O f) 4x + 3 < O

g) ( 3x + l ) ( x - 5 ) < 3 x 2 + 2 h ) (JC - 4)(2 JC + 4) > 2x 2 - 7 ?

238. Remdamiesi vienu iš pavaizduotų brėžinių išspręskite nelygybę:

a) Χ 2 > 4; b) J C 2 < 4; c) J C 2 ^ 9; d) J C 2 > 9.

239. Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų /( JC ) ir g(x) gra-fikus ir išspręskite nelygybę f ( x ) ^ g(x):

a) f (χ ) = įx 2 , g( ) = 2 b) f ( χ ) = - χ2, g(x) = -4

c) f ( χ ) = 3- 2x2, g(x) = 1 d) f ( χ ) = 3, g(x) =X

2-I

240. Grafiniu būdu išspręskite nelygybę:

a) 2x 2 ^ 3x + 2 b) 9 - 4JC SC - 2 x 2 c) 5x + 2 < 3x 2

d) įx 2 ^ — 2x - 3 e) - X 2 - 3x ^ 2 f) x 2 - 2x O

241. Grafiškai parodykite, kad:a) nelygybė χ 2 < 3x — 3 neturi sprendinių;b) nelygybės X 2 > 2x — 4 sprendinys yra bet kuris skaičius.

242. Kuriame brėžinyje pavaizduotas funkcijos f ( x ) = 2 — 4x grafikas?



243. Nubraižykite funkcijos y = / ( χ ) grafiką ir nustatykite funkcijos didėjimointervalus:a) f (χ ) - | 4 - x 2 | ; b ) / ( x ) = | x2 - 4x | .

244. Į ban ką padėta 3000 Lt. Kok ią sum ą bus galim a atsiimti p o metų iš banko,skaičiuojančio 10% metines sudėtines palūkanas kas:

a) pusę me tų; b) du m ėnesius; c) keturis m ėnesius; d) tris m ėnesius?245. Išspręskite lygčių sistemą:

a)2x + 3y = 30,

b) Į5x3x

3y = 4,5 y = 12.x - I ly = 1;

246. Suprastinkite reiškinį:

a) (5y/ l — 3)(2>/2 + 1); b) (3-/12 - V7 5) · / 3 .

247. Jeigu χ + j = 6, tai x 2 + \ - • • •л XA 34 B 36 C 38 D 43 Ea t sakymask i t oks

248. Išspręskite lygtį f - f + į = Д .

249. Agnė turi 8 pažymius. Jų vidurkis lygus 6. Kokius Agnė turi gauti trispažymius, kad pažymių vidurkis būtų 7?

250. Išspręskite nelygybių sistemą:v i 1 - 2x < 3, ы J 2 - 3x > 1,

1 3x + 2 < 1; i —2x + 1 < 2.251. Pagal brėžinio duomenis apskaičiuokite detalės:

a) tūrį; *b) viso paviršia us plo tą.

. 2 0 ^

Я

60100

252. Ridenami du skirtingų spalvų lošimo kauliukai. Apskaičiuokite tikimybesįvykių:A — abiejų kau liukų atvirtusių akučių sum a da lijasi iš 3;

B — abiejų kau liukų a tvirtusių a kučių suma dalijasi iš 5.253. Trys vieno mėnesio penktadieniai buvo lyginės to mėnesio dienos. Kuri

savaitės diena buvo to mėnesio 18-oji?



2 Kvadratinių nelygybių algebrinissprendimas

Sprendžiant nelygybes grafiniu būdu, daugelio jų sprendiniai randami tik apy-tiksliai, be to, sugaištama daug laiko braižant grafikus.Panagrinėkime kitus kvadratinės nelygybės sprendimo būdus.

1 PAVYZDYS. Išspręskime nelygybę JC2 — JC — 6 < 0.

Išskaidykime kairiąją nelygybės pusę dauginamaisiais:

χ — χ — 6 = 0,

D = 25, Jfj = —2, X2 = 3;o

χ — χ — 6 = (JC + 2)(JC — 3),

(JC + 2)(JC - 3) < 0.

Dviejų dauginamųjų (JC +2) ir (JC — 3) sandauga (JC +2) (x — 3) yra neigiama, kaidau ginam ieji yra skirtingų ženklų, t. y. vienas — teigiamas, o kitas — neigiamas.Tai galima parašyti nelygybių sistemomis:

JC + 2 > 0 , J X + 2 < 0 ,JC - 3 < 0; Į JC - 3 > 0.

Šių sistemų sprendiniai yra duotosios nelygy bės sprendiniai. Išspren džiam egautas sistemas:

Χ > - 2 , j JC < - 2 ,

χ < 3; 1 χ > 3.

<//////////<£ Sistema sprendinių neturi.- 2 3 χ

Vadinasi, nelygybės sprendiniai priklauso intervalui (—2; 3).Pastaba. Tiriant, kada sandauga (x + 2)(x — 3) yra neigiama (teigiama, nenei-giama, neteigiama) galima sudaryti lentelę:

X ( - o o ; - 2 ) - 2 ( - 2 ; 3 ) 3 (3 ; +oo)

χ + 2 — 0 + + +

χ - 3 — — — 0 +(x + 2)(JC - 3) + 0 — 0 +

Atsakymas. (—2; 3).

86



? Raskite nelygybės χ2

— χ — 6 ^ O sprendinius.

2 PAVYZDYS. Išspręskime nelygybę x2 - įx + 2 > 0.

Kvadratinis trinaris x 2 — ^x + 2 neturi realių šaknų (nėra tokių χ reikšmių,

su kuriomis jis lygus 0), nes D = ( - ^ ) 2 — 4 - 1 - 2 = - 7 1 < 0 . Vadinasi,? ikvadratinis trinaris χΔ

— ^x + 2 su visomis χ reikšmėmis yra arba teigiamas,9 1

arba neigiamas. Paėmę bet kurią χ reikšmę įsitikiname, kad χ — ^x + 2 > 0.

Pavyzdžiui , kai χ = 0, tai O2 — \ • 0 + 2 = 2 > 0. Taigi visi skaičiai yraduotosios nelygybės sprendiniai .

Atsakymas. (—oo; +oo) .

Raskite nelygybės x 2 — ^x + 2 ^ 0 sprendinius.

3 PAVYZD YS. Išspręskime nelygyb ę 4 x 2 > 9.

Pertvarkykime nelygybę:

Ax2 — 9 > 0.

Išskaidykime kairiąją nelygybės pusę dauginamaisiais (remdamiesi kvadratų

skirtumo formule) :

(2x - 3)(2x + 3) > 0.

Dvie jų dauginamųjų (2 x — 3) i r (2x+3) sandauga (2x — 3)(2 jc+3) yra teigiama,kai abu dauginamieji yra vienodų ženklų: arba abu neigiami, arba abu teigiami.Taigi:

I* - 3 < 0, h i 2* - 3 > 0,

2x + 3 < 0; a r D a 1 2x + 3 > 0.

Išsprendžiame abi gautas nelygybių sis temas:

I\x < 1,5,1 χ < —1,5;

2x < 3, i 2x > 3,2x < —3; i 2x > —3;

χ > 1,5,χ > —1,5;

WWXVsV^ ę / / / / / / / / / / / ,-1 ,5 * 1,5 *

Vadinasi, nelygybės sprendiniai sudaro intervalus (—oo; —1,5), (1,5; +oo).



Pastaba. Nustatant sandaugos (2x — 3)(2x + 3) ženklą galima sudaryti lentelę:

л: ( - 0 0 ; - 1 , 5 ) - 1 , 5 ( - 1 ,5 ; 1 ,5) 1 ,5 (1 ,5; + 0 0 )

2x — 3 — — — 0 +

2x + 3 — 0 + + +

(2x — 3)(2x + 3) + 0 — 0 +

Atsakymas. (—00; —1,5), (1,5; + 0 0 ) .

Remdamiesi lentele raskite nelygybės 4x2 ^ 9 sprendinius.

4 PAVYZD YS. Išspręskime nelygybę 3 x 2 + 4 < 0.

Pastebėkime, kad reiškinys 3x2

su visomis χ reikšmėmis yra neneigiamas,o pridėję 4 gausime teigiamą sumą. Akivaizdu, kad nelygyb ė neteisinga suvisomis kintamojo χ reikšmėmis.Atsakymas. Sprendinių nėra.

Spręsdami kvadratines nelygybes pastebėjome, kad nelygybės sprendiniai galisudaryti skaičių intervalą, du intervalus. Yra nelygybių, kurių sprendiniai yravisi realieji skaičiai, ir nelygybių, neturinčių realiųjų sprendinių.

Sprendžiant kvadratines nelygybes galima remtis lentele:Koeficiento a

ženk las+ + + - - -

Diskr iminan toD = b2 - Aac

ženk las

+ 0 + 0

Parabolėsy = ax2 + bx + c

eskizas Xl\_ /X 2

V7X

V1/,l = X2 X

XlZ-Vt2

/ \ x "^ x

Xl = X2

x

"Nelygybėsи х

2+ bx + c > 0

sprendinia i(—00; Xi)(X2; + 0 0 ) ( - 0 0 ; + 0 0 )

( — 00; Xi)

( x i ; + 0 0 ) O b X 2)

sprendiniųnėra

sprendiniųnėra

Nelygybėsax 2 + bx + c < 0

sprendiniai (* i ; )

sprendiniųnėra

sprendiniųnėra

( - 0 0 ; X i )(X 2; + 0 0 ) (—00; +00)

( - сю ; x i )

( х ь + o o )

Nelygybėsax 2 + bx + c ^ 0

sprendiniai( - 0 0 ; X i ][x 2; + 0 0 ) ( - 0 0 ; + 0 0 ) ( - 0 0 ; + 0 0 ) [xi\xi]

sprendiniųnėr a Xl ( = X 2)

Nelygybėsax2 + bx + c ^ 0

sprendiniaisprendinių

nėr a Xi ( = X2)(—00; Xi][x 2; + 0 0 ) ( - 0 0 ; + 0 0 ) ( — 0 0 ; + 0 0 )



254. Funkci jos / (x) = ax2 + bx + c (a < 0) reikšmė lygi 0, kai χ = 1ir л; = 3. Justas, Daiva ir Ad om as sąsiuviniuose nubraižė skirtingusfunkci jos y = / ( x ) grafiko eskizus ir sprendžia nelygybę f ( x ) > 0.

Justas Daiva Adomas

Ar galima teisingai išspręsti nelygybę remiantis skirtingais eskizais?255. Išspręskite nelygybę:

a) jc2 ^ 4 Ъ ) χ2

>9

e) jc2 - 25 > 0 f) χ 2 - 1 < 0


c) J C 2 - 49 ^ 0g) 3x 2 ^ 0,48

d) χ 2 ^ 64

h) J C 2 + 36 < 0

a) χ2

+ 4x < 0d) 3x - x 2 < 0

g) -X 2 + 2x - 3 < 0

j) χ 2 - 18x + 17 ^ 0

b) l ,3x — χ2

> 0e) χ 2 - 6x - 7 ^ 0

h) χ 2 - 5x + 4 < 0

k) (3 - 5 x ) 2 > 49

c) —2x2

- 3x > 0f) - X 2 + 6x ^ 9

i) - χ 2 + 5x - 6 ^ 0

1) 81 - (3 + 2 x ) 2 < 0

257. Nurodykite tokias c reikšmes, kad nelygybę x 2 + cx + 4 > 0 tenkintųvisos χ reikšmės.

258. Įrodykite, kad su visomis χ reikšmėmis:a) trinaris x 2 — 6x + 10 įgyja teigiamas reikšmes;b) trinaris —x2 + 20x — 200 įgyja neigiamas reikšmes.

259. Reiškinio \J A — x2 apibrėžimo sritis yra intervalas:

A [0; 2] B (2; +oo) C ( - o o ; 2 ] D [ - 2 ; 2 ]E teisingas atsakymas nenurodytas

260*. Su kuriomis a reikšmėmis lygtis neturi sprendinių:

a) 2x 2 + ax + 8 = 0; b) x 2 + ax + 25 = 0?

261*. Su kuriomis m reikšmėmis lygtis turi du realius skirtingus sprendinius:

a) χ 2 + 2 mx + m = 0; b) mx2 + 5x + 4m = 0?



262. Ar t iesa, kad nelygyb ė n2— n > 3n — 4 yra teisinga su visais natūraliai-

siais skaičiais n?

263. a) Raskite teigiamu s nelygybės χ2 — χ — 6 ^ O sprendinius.

b) Raskite neigiamu s nelygybės — Ix 2— Ix + 22 ^ O sprendinius.

264*. Raskite nelygybės — 6x2

+ 13x + 15 > O sprend inius, priklau sančiusintervalui [—1; 0].

26 5. Kuri nelyg ybė teisinga su visom is χ reikšmėmis:a) χ

2+ χ + 2 > O- b) χ

2 + χ - 2 > 0; c) 2 x 2 + 3x + 7 > O?

266*. a) Su kuriom is α reikšmėmis reiškinys ^2+3^ Igyj a teigiamas reikšmes?

b) Su kuriomis m reikšmėmis reiškinys I 0 m I 5 f f ^ Igyj a neigiamas reikš-

mes?

267*. Raskite numerius teigiamųjų sekos narių, jeigu sekos и-tojo nario for-mulė yra:а) an = — n2 + 6n+ 16; b) an = n2 — 8л + 7; с) an = n2 — 3 , 5 л + 6 .

268*. Sodininkas nori atitverti stačiakamp io form os plotą sodinukam s. J isno rėtų pana ud oti 12 m ilgio tvo relę ir aptverti plotą, ne m aže snį už 8 m 2 .

a) Ko kio ilgio turėtų būti stačiakam pio kraštinės?b) Kokio ilgio turėtų būti stačiakampio kraštinės, kad jo plotas būtųdidžiausias?

269. Apie skritulį apibrėžtos lygiašonės trapecijos plotas yra S, o smailusiskampas prie pagrindo lygus 30°.1) Įrodykite, kad trapecijos plotas S lygus dvigubam aukštinės i lgio h

kvadratui , t . y . S = 2h2.

2) Ko kio ilgio turėtų būti aukštinė, kad trape cijos plotas būtų ne m ažes-nis už 8 cm 2 ir ne didesnis už 18 cm 2 ?

270 . Ū kininkas iš kelerių metų patirties nustatė apytikslę priklausom ybę tarpį 1 ha išbertų trąšų kiekio (kg) ir pelno pokyčio (Lt) lyginant su pelnu,gaunamu netręšiant dirvos. Šią priklausomybę galima išreikšti kvadrati-ne funkci ja f ( x ) = —0, I x 2 + 24x.a) Kokį kiekį trąšų rekom end uo tum ėte vienam he ktarui, kad pelno po-

kytis būtų didesnis už 800 Lt?b) Ko kį kiekį trąšų rek om end uo tum ėte vienam he ktarui, kad peln o po-

kytis būtų didžiausias?c) Ar tiesa, kad, didinan t išberiamų trąšų kiekį, peln o poky tis did ėja?



271*. a) Nebraižydami grafikų raskite tas χ reikšmes, su kuriomis funkcijos/(JC) = Α χ — χ

2 grafiko taškai būtų aukščiau funkcijos g(x) = 4grafiko taškų.

b) Nebraižydami grafikų raskite tas χ reikšmes, su kuriomis funkcijos/(JC) = JC2 — 6JC grafiko taškai būtų žemiau funkcijos g(x) = 7grafiko taškų.

272 *. Išilgai autostrados reikia supilti pylimą, apsa ugo j antį gyv entojus nuotriukšm o. Pylim o skersinis pjū vis yra parab olės, kurios lygtis y == - ^ J C 2 + 2JC, form os (y — pylimo aukštis m etrais, JC — pylimo plotismetrais).a) Įrodykite, kad pylimo plotis prie žemės yra 6 metrai, o didžiausias

aukštis — 3 metrai.b) Koks būtų pylimo plotis aukštyje, didesniame negu 1 me tras? dides-

niame negu 2 metrai? Atsakymą pateikite 0,1 metro tikslumu.273. Per laiką t (h) nuvažiuotą traukinio kelią s (km) galima apskaičiuoti pagal

formulę: s (t) = 6 0 t 2 + 601 + 20. Ap skaičiuokite, po kelių valandųtraukinys bus nuvažiavęs daugiau negu 680 kilometrų.

274. Brėžinyje: AB = 9 c m , BC = 3 cm, AD = 12cm.1) Įrodykite, kad stačiakampio AEFG plotą ga-

lima išreikšti funkcija S(JC) = 12JC — JC 2.

2) Su kuriomis χ reikšmėmis stačiakampio plotasdidesnis už 20 cm 2?*3) Su kuria JC reikšme stačiakampio plotas yra

didžiausias?

275*. Traukiniu „Pajūris" vakar iš pradinės stoties išvažiavo 198 keleiviai.Tarp inėse stotyse vieni keleiviai išlipdavo, kiti įlipdav o. Bet trauk iniopalydovas, šiek tiek išmanantis matematiką, nustebo, kad kiekvienu mo-mentu traukinyje esančių keleivių skaičių buvo galima apskaičiuoti pagalformulę f (n) = 198 — 2n2 + 14n; čia n — jau pravažiuotų tarpinių stočiųskaičius. (Jam taip pat patiko, kad formulė tiko ir tada, kol dar nebuvopravažiuo ta nė viena tarpin ė stotis, t. y. ir su n = 0.) G alinėje stotyjevisi keleiviai išlipo.a) Kiek daug iausiai galėjo būti tarpinių stočių?b) Imd am i tą didžiaus ią galim ą tarpinių stočių skaičių, raskite n reikšm ę,

kai keleivių traukinyje buvo daugiausia.

27 6. Išspręskite lygčių sistemą:χ

2- xy + y

2= 7,) = - 8,

a ) { £±Z _ JL- b)У -

\ (X - IX y{ x±y_ i .I y-2 - 2 ' - y = l .



277. Nubraižykite funk cijos grafiką. Parašykite fun kc ijos grafiko viršūnėstaško koordinates ir funkcijos didėjimo intervalą.

a) y = -χ2 - 2; b) y = x

2 - 6x; c) y = x2

+ 6x + 8.

278. Asmens, kurio amžius 17-70 metų, draudimo nuo mirties ir traumosįmokos tarifas sudaro 2,25% draudim o sumos, o 1 - 1 6 metų asmens —

0,6% draudimo sumos. Kiek kainuoja draudimas šeimai: mamai, tėtei irdviem vaikam s iki 16 metų, kiekvieną draudžiant 10 00 0 Lt sum a?

279. Jeigu — 1 < 2x + 3 < 1, tai reiškinio — 2x + 4 reikšmės yra tarp skaičių:

A 2 ir 6 B - 2 ir 0 C 0 ir 2 D 2 ir 4 E 6 ir 8

280. Kiek skaitmenų yra skaičiuje, kurį gausime apskaičiavę reiškinio 212• 5 8

reikšmę?

A 20 B 12 C l O D 96 E atsakymas kitoks

281. Stačiojo trikampio vienas statinis lygus 15 cm, o įžambinė — 25 cm.Raskite:a) trikampio perimetrą;b) trikampio plotą;c) apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulį;d) įbrėžto į trikampį apskritimo spindulį.

282. Raskite kubo viso paviršiaus plotą ir tūrį, jei kubo sienos įstrižainė lygi:

a) 8 cm; b) 8V 2 cm.283. Valgykloje pietums yra 3 rūšių salotų, 4 rūšių sriubos, 5 rūšių antrųjų pa-

tiekalų ir 2 rūšių gėrimų. Kiek yra skirtingų pietų pasirinkimo galimybiųvalgant po vieną rūšį:a) sriubų ir antrųjų patiekalų;b) sriubų, antrųjų patiekalų ir gėrimo;c) salotų, sriubų, antrųjų patiekalų ir gėrimo?

284. Aštuonerios vienodos staklės per 5 dienas bendro darbo pagamina 2000detalių. Trejo s tokios pat staklės, jeigu kartu veiks, pagam ins 1500 detaliųper

A 10 dienų B 9 dienas C 8 dienas D 7 dienas E 6 dienas



3 Nelygybių sprendimas intervalųmetodu

UŽD AVIN YS. Išspręskite nelygybę (x + 3)(x - 1)(jc - 4) < 0.

Sprendimas. Sandaugos (x + 3)(x — 1)(jc — 4) ženklas priklauso nuo daugi-namųjų χ + 3, χ — 1 ir χ — 4 ženklų. Akivaizdu, kad sandauga lygi nuliui,kaix = —3,x = l ,x = 4. Pažymėkime šiuos taškus skaičių t iesėje:

- 3 1 4 χ

Kiekviename iš intervalų (—oo; —3), (—3; 1), (1 ;4 ), ( 4 ;+ o o ) sandaugos(x + 3)(x — l ) (x — 4) ženklas pastovus. Lentelėje surašykime dauginamųjų

ir sandaugos reikšmių ženklus tuose intervaluose:X ( - o o ; - 3 ) - 3 ( - 3 ; 1 ) 1 ( i ; 4 ) 4 ( 4 ; +oo )

х + Ъ - 0 + + + + +χ - 1 — — - 0 + + +χ — Α - - - - 0 +

( χ + 3 ) ( * - ! ) ( * - 4 ) - 0 • 0 - 0 +

Galima sakyti, kad sandaugos ženklas pasikeičia priešingu, pereinant per taš-ku s —3, 1, 4. San daug os ženk lo kitim ą skaičių tiesėje galim a pailiustruoti

brėžiniu:

- 3 1 4

Matome, kad duotoji nelygybė yra teisinga intervaluose (—oo; —3), (1; 4).

Atsakymas. (—oo; —3), (1; 4).

Sakykime, kad turime tiesinių dauginamųjų sandaugą

(.X - x i ) (x - Х 2) •. • • · (* - xn),

kur x\, X2, • •., xn — kintamojo reikšmės, su kuriom is atitinkami daug inamiejiX Xl, X X2, . . . , X Xn lygus nuliui. Nagrinėkime atvejį, kai x\, x%xn nelygūs vienas kitam. Pereinant per skaičių tiesės taškus x\, χ ι, • •·, xn

paeiliui keičia savo reikšmės ženklą dauginamieji χ — x\ , χ — x^ , . . . , χ — X n.Tuo pačiu pakinta ir jų sandaugos ženklas.Ši savybė taikoma sprendžiant nelygybes, kurių pavidalas yra:

(χ — x i ) ( x — X2) -...-(X- Xn) > 0

(arba su nelygybės ženklais ^ , < , ^ ).



1 PAVYZD YS. Išspręskime nelygy bę (JC + 2)(JC - 1)(JC - 3) ^ 0.

Skaičių tiesėje pažymėkime JC reikšmes, su kuriomis sandauga(JC + 2)(JC — 1)(JC — 3) lygi nuliui, t. y. —2, 1, 3. Gavome 4 intervalus.

Raskime funkcijos reikšmės ženklą kuriame nors intervale. Patogu imti deši-niausią. Intervale (3; +oo) visi dauginamieji teigiami, todėl jų sandauga irgiteigiam a. Tą interva lą atitinkančią skaičių tiesės dalį paž ym ėkime + . Toliau,einant iš dešinės į kairę, sandaugos ženklai intervaluose vis keičiasi:

Iš paveikslėlio matome, kad nelygybė teisinga, kaiJC

priklauso intervalams[ -2 ; 1 ] , [3 ; +oo ) .Atsakymas. [—2; 1], [3; +oo).

Toks nelygybės sprendimo būdas vadinamas intervalų metodu.

2 PAVYZD YS. Išspręskime nelygyb ę (2 - J C ) ( J C 2 - 4 J C + 3)(JC - 1 ) ^ 0 .

Kvadratinį trinarį J C 2 — 4 J C + 3 išskaidę dauginamaisiais (JC — 1)(JC — 3), daugina-mąjį ( 2 - Х ) pakeitę dauginamuoju — (JC — 2) ir abi nelygybės puses padauginę

iš —1 gauname nelygybę (X — 1)2

(JC — 2)(JC — 3) < 0.Lentelėje surašykime dauginamųjų ir sandaugos reikšmių ženklus:

X ( - o o ; 1 ) 1 d ; 2 ) 2 (2; 3) 3 (3; +oo)

(χ - D 2 + 0 + + + + +

χ — 2 - - - 0 + + +

x-3 - - - - 0 +

(x - 1)2(J C - 2)(x - 3) + 0 • 0 - 0 +

Koordinačių tiesėje pažymėkime taškus χ = I, χ = 2 , jc = 3 i r nurodykimesandaugos (JC — 1)2(JC — 2)(JC — 3) ženklą kiekviename intervale.

1 2 3 л

Kadangi (JC — I ) 2 ^ 0, kai χ e R , tai sandauga nekeičia ženklo pereinant pertašką x = l. M atom e, kad nelygybė teisinga intervale [2; 3] ir tuom et, kaix = l .

Atsakymas. 1, [2; 3].

• Išspręskite nelygybę x(x z — 5x — 14)(x + 2) ^ 0.



Intervalų metodu patogu spręsti ir racionaliąsias nelygybes.

3 PAVYZDYS. Išspręskime nelygybę o.

Dauginamieji л; + 3, JC — 4 ir daliklis χ — 1 keičia ženklą pereinant per taškus

- 3 , 1, 4. Tuo pačiu keičiasi ir trupmen os (*+ 3K *- 4) ženklas. Minėtieji

skaičiai padalija skaičių tiesę į 4 intervalus:

- 3 1 4 л

Kai χ = —3 ir л: = 4 , trupmena (*+ЗХ *-4) lygi nuliui. Todėl skaičiai — 3ir 4 yra duotosios nelygybės sprendiniai (tie taškai skaičių tiesėje užtušuoti).Kadangi duotoji trupmena neturi prasmės, kai χ = 1, tai skaičius 1 nėra ne-lygybės sprendinys (taškas χ = 1 skaičių tiesėje pažymėtas baltu skrituliuku).

Viename intervale nustatykime trupmeno s ženklą. Pvz., intervale (4; + o o )reiškiniai JC + 3, χ — 1, JC — 4 ir duotoji trupmena įgyja teigiamas reikšmes.Toliau, einant iš dešinės į kairę, trupmenos ženklai intervaluose pakaitomiskeičiasi:

Matome, kad nelygybė teisinga intervaluose: [—3; 1), [4; +oo).Atsakymas. [—3; 1), [4; +oo).

Išspręskite ne lygy bę < O·


285. Išspręskite nelygybę:a) (JC + 4)(JC + 1)(JC - 6 ) > O b ) (JC + 2,7)(J C - 2,3)(J C - 7) < O

c ) ( J C + 8 ) ( J C - 3 ) ( J C - 1 0 ) < O d ) J C ( J C - 2 ) ( J C - 4 ) ( J C - 1 2 ) > 0

e ) (JC - 1)2(JC + 1)(JC - 3) < 0 f) (JC 2 - 4JC + 3)(3 J C 2 - 2JC - 1) ^ 0


a ) f ± 3 > 0 ; b ) f g < 0 ; c) > 0.

287. Išspręskite kvadratinę nelygybę intervalų metodu:

a) (3 J C - 2 ) ( J C + 4) ^ 0; b) ( 2 J C - 7 ) ( J C - 5 ) < 0; c) (4JC + 1 ) ( 2 - J C ) > 0 .




a) į < 4 ; b) I > 3; c) 1 < į; d) į < 1.

P a v y z d y s . Išspręskime nelygybę ~ < 3.Sprendimas. Per tva rkykime ne lygybę:

f - 3 < O,< 0.XPere inan t per tašku s 0 ir | skait iklis ir vardik lis, o taip pat ir trup m en akeičia ženklą.

Trupm enos ženkla i in te rva luose : q I х

x 3

Atsakymas. (— oo; 0 ) , ( | ; + oo ) .

289. Išspręskite nelygybę:a ) ire ^ Ά ι b ) ш ^

η Λ x + 1 , X - I ^ 9 Н Ч 5 x ( 2 x + l ) ( 7 x — 6 ) ( 2 x + l)c^ T ^ + ~ < / fl^ +2 < χ—3


H ) ( * + l )2

< n е л (χ2

— 9)(x— 2) > 0 ~ x2

( x - l ) ( x - 2 ) Q

x 2 + 2 j c _ 3e J x ^ + 2 x — 3 l ) x 2 ( x — 5 ) < U

291. Raskite funkcijos /(jc) apibrėžimo sritį:

O Z W = V t S " Е Й b ) / W/ 5x--6

/ Ix - 14

4zix_ Η Ϊ /Ύ νΛ - /х2— 4χ+41 - х 2) W = J j E x d ) / ( χ ) =

292. Raskite funkci jos / ( x ) apibrėžimo srities intervalus, kuriuose funkcija yrapastovaus ženklo:

а ) / ( * ) = Й Е т § ; b ) / ( X ) = 4 - 9 x 2 ; c) / ( x ) =

293. Duota funkcija / ( χ ) = ( * 2-4)(^ 2 -6x- l6)x 7 _ R a s ^ t e v į s a s x reikšmes, sukuriomis teisinga nelygybė:

a ) / ( x ) > 0 ; b) / ( x ) < 0; c ) / ( x ) ^ 0; d ) / ( x ) ^ 0.

294. Duota funkcija / ( x ) = ( 1 - * 2 ) ^ 2 ^ 4 * - 5 ) * 3 . Raskite visas χ reikšmes, sukuriomis teisinga nelygybė:

a ) / ( x ) > 0 ; b ) / ( x ) < 0 ; c ) / ( x ) ^ 0; d ) / ( x ) ^ 0.




a )

i _ Σ - 25y jc — 12'v-2 ,. „2+ У = 25;

296. Išspręskite lygtį:

b)z -16χ - 15 '

У2 _ 16.

a ) (JC 2 - 8 ) 2 + 4 ( J C 2 - 8) - 5 = 0 ; b ) (JC - į) 2 - 3(JC - į) - 4 = 0 .

297. Apskritimo viduje susikertančių stygų ilgiai yra IOcm ir 11 cm. Vienąstygą susikirtim o tašk as da lija į 4 cm ir 6 cm ilgio a tkarpas. Į ko kio ilgioatkarpas šis taškas dalija kitą stygą?

298. Apie statųjį lygiašonį trikampį apibrėžto ir įjį įbrėžto apskritimų spinduliaiatitinkamai lygūs R ir r. Raskite trikampio:a) įža m binės ilgį; b) statin ių ilgiu s.

299. Išspręskite lygtį:a) I JC - 19991 = 2000; b) |2000 - JC| = 2001.

300. Prek ė kainavo 25 Lt. Ji pab ran go 12%, todėl prekės paklau sa su m ažėjo20%. Kaip ir kiek procentų pasikeitė įplaukos už parduotas prekes?

301. Šešiaženklis skaičius baigiasi skaitmeniu 7. Jeigu šį skaitmenį perkeltumeį skaičiaus priekį, tai skaičius padidėtų 5 kartus. Raskite šį skaičių.

302. Dirbtuvės per mėnesį gali pagaminti 500 kėdžių. Dirbtuvių pastoviosios

išlaidos per mėnesį sudaro 8100Lt, o kintamosios išlaidos vienai kėdeipag am inti yra 100 Lt. Kiek mažiau siai kėdžių reikia realizuoti, kad mė-nesio bendrosios išlaidos būtų padengtos, jeigu kėdės realizavimo kainayra:a) 120 Lt; b) 125 Lt; c) 136 Lt; d) 140 Lt?

303. Ke turkam pis pyraga s sup jaustytas pagal įstri-žaines į 4 gabalus. Trys gabalai pasverti: jų

m asės buv o 120 g, 180 g, 20 0 g.Kokia ke tvirtojo gabalo m asė, jeigu viso py-rago storis vienodas?

A 250 g B 275 g C 300 gD 325 g E neįmanoma apskaičiuoti

304. Iš muzikantų kas septintas — šachmatininkas, o iš šachmatininkų kas de-vintas — muzikantas. Ko daugiau: muzikantų ar šachmatininkų?



4 Netiesinių nelygybių sistemos

Toliau spręsime nelygybių sistemas, kurios sudarytos ne vien iš tiesinių nely-gybių.

Ką vadiname nelygybių sis temos sprendiniu?

1 UŽ DA VINY S. Raskite reiškinio

V 2 jc - 4 + y/5x - χ2

apibrėžimo sritį.

Sprendimas. Mums reikia rast i visas χ reikšmes, su kuriomis abu pošaknyjeesantys reiškiniai įgyja neneigiamas reikšmes. Vadinasi, reiškinio apibrėžimosrit is — nelygy bių sis tem os

Γ 2x - 4 ^ O,

i 5x-χ2

Ô

sprendiniai .Išsprendžiame kiekvieną sis temos nelygybę.

Ix - 4 ^ O, 5x - χ2

ž O,

χ ^ 2; jc(5 - J C ) > 0.

R andame abiejų s is temos nelygybių bendruosius sprendinius:

Atsakymas. [2; 5].

1 užduotis. Raskite reiškinio

y / 9 - χ 2+ JC

apibrėžimo sritį.



2 UŽD AV INYS. Išspręskite nelygybių sistemą

X 2 + 13 > 14л:,χ 2 + 45 < 18x.

Sprendimas. Išsprendžiame kiekvieną sistemos nelygybę:χ 2 + 13 > 14x,

χ2

- Ux + 13 > O,

( J C - l) (x - 13) > 0;

x 2 + 45 < 18x,

x z - 18x + 4 5 < 0 ,(x - 3)(x - 15) < 0.

. 2

v////»X X

Randame abiejų nelygybių bendruosius sprendinius://///6 O

1 3' / / / / / / j

χ

Atsakymas. (13; 15).

3 UŽDAVINYS. Išspręskite nelygybių sistemą

i |2x + 1| ^ 3,

I |x - 5 | < 10.

Sprendimas. Spren džiam e pirm ąją sistemos nelygy bę |2x + 1| ^ 3. Šiosnelygybės sprendiniai yra tos kintamojo χ reikšmės su kuriomis

2x + 1 ^ 3, arba 2x + 1 ^ - 3 ,2x ^ 2, 2x ^ —4,χ > 1; x ^ —2.

Sprendžiame antrąją sistemos nelygybę |x — 5| < 10. Šios nelygybės spren-diniai yra tos χ reikšmės su kuriomis

- 1 0 < χ - 5 < 10,

- 1 0 + 5 < x - 5 + 5 < 10 + 5,

—5 < χ < 15.

Randame abiejų sistemos nelygybių bendruosius sprendinius:

Atsakymas, (—5; —2], [1; 15).



4 UŽD AV INYS. Raskite nelygybių sistemos

3x2-x+\

X 2 < 36

^ O,

sveikuosius sprendinius.7x+6Sprendimas. Išspręskime nelyg ybę ^ 0. Trinario 3 x z — χ + 1

d iskr iminan ta s D = I - 4 · 3 < 0 . Vad inasi, parabolė y = 3x 2 — χ + 1 nekertaχ ašies. Kadangi 3 > 0, tai parabolės šakos nukreiptos aukštyn:

Tai reiškia, kad su visomis χ reikšmėmis 3x 2 — χ + 1 > 0 . Vadinasi, nelygybėj C i l x I 6

i ^ 0 yra teisinga, kai JT 2 - Ix + 6 ^ 0.Зх2-л;+1

χ2

— Ix + 6 5¾ 0,. χ 2 < 36.

Išspręskime kiekvieną gautos sistemos nelygybę:

Vietoj duotosios sistemos pakanka išspręsti sistemą

χ 2 - Ix + 6 ^ 0, χ 2 < 36,(χ - l) (x - 6) ^ 0; χ 2 - 36 < 0,

(x - 6)( x + 6) < 0.

Raskime abiejų nelygybių bendruosius sprendinius:

-6 1 6 *Nelygybių sistemos sprendiniai sudaro intervalą [1;6), iš kurio dar reikiaišrinkti sveikuosius sprendinius.Atsakymas. 1, 2, 3, 4, 5.

2 užduotis. Raskite lyginius skaičius, tenkinančius nelygybių sistemą

2x 2-4x+l ^ ix2+6 < l>

5 * -l _ i 1> Χ 3·




a) 4 x 2 - 21 - 7 > 0,χ -2> 0

ы • χ + 1 < 0,Ь ) Ч 2 - 16 > 0

c) X 2 + 4x - 5 > 0,2x - 3 < 0

d) { x

χ2x - 8 ^ 0,

5 < 0

306. Raskite sveikuosius nelygybių sistemos sprendinius:

" 3 x 2 - 4 x + l

a)x 2 - 7 x + 62 x 2 - x + l

X 2 < 49

< 0 ,b) 2x2+6 < 1,

7x— 3 _ , 13 >

307. Išspręskite nelygybių sistemą:1 Ю ,4| ^ 1

a ) Į U - . K 2 ,

|jc — 3| < 6,| x - 2 | ^ 2)

ы 1 |2x - 5| < 3,M |3x - 11 ^ 4

Н ч i |x - 5 | ^ 3 ,


a) { x 2 - x - 6 ^ 0 ,1 χ 2 - 4x < 0

d)χ — χ 2 ^ 0,3x — χ

2— 2 > 0

b)

e)

1 _ 4 <-· 43 3 ^ x '

4x - X 3 ^ 0 ,

2 — 3x > 0

c)f)

χ 2 - χ - 20 ^ 0,

χ 2 - 5 x - 14 > 0

χ 3 - 9x ^ 0,3x + 1 ^ 0

309. Raskite reiškinio apibrėžimo sritį:

b ) y / \ x \ ^ 3 + \ [ x ^ \ - 9 + - д = = ;

c) V 7 - - 2 | + V x + 2 +

310. Raskite visas χ reikšmes, su kuriomis lygtis turi prasmę (lygties spręstinereikia):

a) V l O O - X 2 = 3 + V x 2 - 25; b) V x 2 - 3x + 2 = 1 + V l 6 - x 2 .

311*. a) Su kuriom is a reikšm ėmis lygtis x 2 — (2a — l )x + 1 — a = 0 turi duskirtingus teigiamus sprendinius?

b) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis x2

— (2m — 6)x + 3m + 9 = 0 turiskirtingų ženklų sprendinius?c) Su kuriomis k reikšmėmis lygtis x 2 — (2k + 4)x — 5 — 2k = 0 turi

du skirtingus neigiamus sprendinius?



312. Raskite visus nelygybių sistemos

I ( J C - 1)CJC - 3) < O,1 J C > 2sprendinius, tenkinančius nelygybę |JC| < 4 .

313. a) Raskite mažiausią sveikąjį nelygybės |JC — 3 > 3JC — | sprendinį,

tenkinantį nelygybę JC

2

< 14. O O

b) Raskite didžiausią sveikąjį nelygybės |JC — 2 < 2JC — | sprendinį,

tenkinantį nelygybę JC2 < 15.

314. Išspręskite lygčių sistemą:J C 2 + y 2 = 25, ы J C 2 + y 2 = 25,

jc2 + y = 13;

315*. Išspręskite lygtį:

a)y 2 - J C = 5 .

a) 7 ^ 7 - ^ = = 1; b) 2 V ^ r T -5 =-Jx—Ί ' -Jx-\ '

316. Nubraižykite funkcijos y = /(JC) grafiką, jei:

a) / ( J C ) = 3 + ^ t ; b) / ( J C ) = j į j - 3.

317. Iš plieninio rutulio, kurio masė p kg, nudildintas kubas, kurio įstrižainėlygi rutulio skersmeniui. Raskite plieno atliekų masę.


a) JC

2

+ 1999JC - 200 0 = 0; b) JC

2

- 2001JC - 200 2 = 0.319. Trikampio viena kraštinė α = 7 cm , o kita b = 2 cm . Ko kio ilgio gali

būti trečioji šio trikampio kraštinė c?

320. Prekė kainavo 20 Lt. Dabar j i ka inuoja 16 Lt. Įplaukos pardavus atpi-gintas prekes padidėjo 10%. Kiek procentų padidėjo prekių paklausa?

321. Kokie yra lygiašonės trapecijos, kurią įstrižainė dalija į du lygiašoniustrikampius, kampų didumai?

A 60° ir 120° B 30° ir 150° C 72° ir 108° D 50° ir 130°E neįmanoma rasti

322. Keturios juodmargės ir trys žalos karvės per 5 dienas duoda tiek patpieno, kiek ir trys juodmargės ir penkios žalos karvės per 4 dienas.Kurios karvės produktyvesnės (duoda daugiau pieno) — juodmargės aržalos?


a) 7 ( V 5 - I )2

+ 7 ( V 5 - 3 )2

; b) ^(Vb - \)2

- ^(Vb-l)2

.



Pasitikrinkite1. Grafiniu budu išspręskite nelyg ybę:

a) \x 2 - 1 > -įx; b) x2 - 4x ^ 5; c) 1 - x2 > - 3 .

2. Išspręskite nelyg ybę:a) χ 2 - 4x - 5 > O b) (x + 1)(2jc - 5) < O c) x 2 - 2x + 1 ^ O

d) Ix2

— 37x + 35 < O e) J C 2 < 4 f) x 2 - 4x + 4 > O

g) 92 > O h) įx 2 >32 i) χ

2-4x Ô

j ) 0,09x2

^ 0,04 k) 3x 2 - 47x - 50 > 0 1) (2 x - I ) 2 > 4

3. Raskite reiškinio — 4x2 apibrėžimo sritį.

4. Įrodykite, kad daugianaris įgyja neneigiamas reikšmes su visomis χ reikš-mėmis :a) 25x 2 + 1 - 10x; b) 1 + 3 6 x 2 - 12x.

5. Raskite didžiausią sveikąją a reikšmę, su kuria kvadratinis trinarisCa + 4 )x 2 — 20x + a + 4 turi dvi skirtingas realias šaknis.

6. Išspręski te nelygybę fz j^ > 3.

A [ - į ; į ] B ( - o o ; - į ) , ( į ; + o o ) C ( - į ; į )

D ( - o o ; į ) , ( į ; + o o ) E [ - į; į)

7 . Su kuriomis χ re ikšmėmis funkc i ja / (x) = I g y j a neigiamas

reikšmes?

A — j < χ < 2 B — 1 < χ < 5 C — j < χ < 5

D — 1 < χ < 2 ; 2 < χ < 5 E — | < x < — l ; 2 < x < 5

8. Raskite visus nelygybių sis temos j ^c ~ ~ ^ ^ ^ s P r e n c ^nius , t en-

kinančius nelygybę |x| < 3.

9 . Išspręskite nelyg ybę ^ 0.

A ( - o o ; - 3 ) , 0 , ( 1 ; + o o ) B ( - o o ; - 3 ) , 0 , [ 1 ; + o o )C ( - o o ; - 3 ) , [1; + o o ) D ( - 3 ; 1 ) E (-3; 0) ; (0; 1]

10. Išspręskite nelygybių sistemą:. i (x + 3 )(x — 2) > 0, ы f ( x + l ) ( x - 3 ) < 0 ,

V { (χ + 4) (x - 3) ^ 0; M C* - l) ( x - 2) ^ 0.11. Išspręskite nelygybių sistemą:

* (L'-iV,?· ь) I ^ 6 '




_ 3 , b) p y = - 1 2 , с )\х2-У

2= 9,

X+ y = 5;J

\ x - y = l;J

\ x 2 _ y = 0a)

13. Nubraižykite funkcijos y = f ( x ) grafiką ir raskite funkcijos mažėjimointervalus, jei:

a) f ( x ) = \x2 — 9|; b) f ( x ) = \6x - x 2 | .

14. Asmens draudimo nuo traumos įmokos tarifas sudaro 1,75% draudimosumo s. Kokia suma (1 L t tikslum u) apsidraudė žmo gus nuo traum os,jeigu jam draudimas su 15% nuolaida kainavo:a) 371 ,88 Lt; b) 334 ,69 Lt?

15. Ga m inio savikaina buv o 25 Lt. Ją pavy ko du kartus po tiek pat procen tųsumažinti iki:

a) 20,2 5 Lt; b) 16L t.Kiek procentų kiekvieną kartą sumažėjo gaminio savikaina?

16. Suprastinkite trupmeną:„4 X 2 - I . M x 2 + 4 x — 5 . „4 а 4 — l l a 2 + 2 4 . Н ч α 4 - 8 1Ά ) χ 2 — 5 x + 4 ' °> χ2 — 2 5 ' ' a4-9 ' U j α 4 - 1 7 α 2 + 7 2 ·

17. Stačiojo trikampio vienas statinis 3cm ilgesnis už kitą statinį ir 3cmtrumpesnis už įžambinę. Raskite:a) trikampio kraštinių ilgius;b) trikampio plotą;c) apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulį;d) įbrėžto į trikampį apskritimo spindulį;e) aukštinę, nubrėžtą į įžambinę;f) pusiaukraštinę, nubrėžtą į įžambinę.

18. D viejų rutulių spindulių santykis lygus 2 : 3 . Koks yra šių rutulių:a) paviršiaus plotų santykis; b) tūrių santykis?

19. Valgykloje pietums yra 2 rūšių salotų, 3 rūšių sriubos, 4 rūšių antrųjųpatieka lų ir 5 rūšių gėrimų. Kiek yra skirtingų pietų pasirinkim o g alimy biųvalgant po vieną rūšį:a) antrųjų patiekalų ir gėrimų;b) sriubų ir antrųjų patiekalų;c) salotų, antrųjų patiekalų ir gėrimų;d) sriubų, antrųjų patiekalų ir gėrimų?

20. Šeim ininkė turi 500 g 9% acto, o nori pasigam inti 5% acto marina tą. Kiekvandens reikia marinatui pasigaminti?



KOMBINATORIKAIR TIKIMYBĖS

1. Rink iniai 106

2. Nepriklausomi įvykiai 115

3. A tsi t iktinis dydis 121

4. Matemat inė vi l t i s 125Pasi t ikr inki te 130

5



1 Rinkiniai

1 UŽDA VINY S. Kiek yra triženklių skaičių, sudarytų iš skaitmenų 7, 8, 9, jeiskaičiuje skaitmenys kartotis negali?

Sprendimas. Surašykime visus galimus sudaryti skaičius:

789, 798, 879, 897, 978, 987.

Taigi iš viso yra 6 tokie skaičiai.

Ne būtina visus skaičius surašyti — galim a taikyti daugybos taisyklę. Šimtųskyriuje gali būti bet kuris iš trijų skaitmenų, t. y. jį galima pasirinkti 3 būdais;

kad ir koks būtų pasirinktas pirmas skaitmuo, dešimčių skyriuje gali būti kiek-vienas iš likusių dviejų skaitmenų — 2 būdai; vienetų skyriuje lieka paskutinisnepaimtas skaitmuo — 1 būda s. Vadinasi, pasirinkti visus tris skaitmenis ga lima3 - 2 - 1 = 6 b ū d a i s .Atsakymas. 6 skaičiai.

Kiek yra keturženklių skaičių, sudarytų iš skaitmenų 1, 2, 3, 4, jei skaičiujeskaitmenys kartotis negali?

2 UŽD AV INYS . Vienos klasės mokiniai renka sen iūną ir pav aduo toją iš keturiųkandidatų. Keliais skirtingais būdais gali baigtis rinkimai?

OD Ė M E S I O !

0

Išrinkime klasės seniūną ir pavaduotoją!

Kandidatai: A U D R I U SB R O N I U SC E L E S T I N A

O D O N E T A O

Sprendimas. Kandidatus pažymėkime pirmosiomis jų vardų raidėmis:Audrius — A, Bronius — B, Celestina — C, Doneta — D.Surašykime visas galimas rinkimų baigtis:

Sen iūnas A A A B B B C C C D D D

Pavaduo to j a s B C D A C D A B D A B CRink inys AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

Iš viso gavome dvylika skirtingų rinkinių.



Ieškodami, kiek yra tokių rinkinių, vėl galėjome taikyti daugybos taisyklę.Seniūną galima pasirinkti iš keturių kandida tų (keturi būd ai). Jeigu sen iūnasjau pasirinktas, tai pavaduotoją galima pasirinkti iš likusių trijų kandidatų (trysbūdai). Todėl galimų seniūno ir pavaduotojo rinkinių yra 4 · 3 = 12.

Atsakymas. 12 būdų.

Kiek yra skirtingų būdų išrinkti jūsų klasės seniūną ir pavaduotoją renkant iš• visų jūsų klasės mokinių?

3 UŽ DA VIN YS. Iš keturių kandida tų reikia išrinkti du atstovus į m oky klostarybą. Keliais skirtingais būdais galima tai padaryti?

O D Ė M E S I O ! O

Išrinkime du atstovus į mokyklos tarybą!

Kandidatai: A U D R I U SB R O N I U SC E L E S T I N A

O D O N E T A O

Sprendimas. Šiuo atveju tvarka, kuria išvardysime du išrinktus atstovus, yra

nesvarbi. Pavyzdžiui, rinkinys AC, kaip ir rinkinys CA, reiškia, kad į mokyklostarybą išrinkti du tie patys mokiniai — Audrius ir Celestina. Kokia tvarka juosišvardysime, visai nesvarbu. Taigi šiame uždavinyje skirtingais laikome tik tuosrinkinius, kurie skiriasi bent vienu elementu. Surašykime visas galimas tokiųrinkimų baigtis:

AB, AC, AD, В С , BD, CD.

Iš viso gavome šešis skirtingus rinkinius. Ieškant tokių rinkinių skaičiaus ne-

būtina juos visus surašyti. Kadangi, skirtingai negu 2 uždavinyje, AB ir BA(kaip ir AC bei CA ir 1.1.) reiškia tą patį rinkinį, tai ieškomų rinkinių šiameuždavinyje bus 2 kartus mažiau negu 2 uždavinyje:

4 - 3 12 ^т - = т = 6 ·

Atsakymas. 6 būdais.

Kiek yra skirtingų būdų išrinkti du atstovus į mokyklos tarybą renkant iš visų* jūsų klasės mokinių?



KėliniaiPirmame uždavinyje išrašėme visus rinkinius, sudarytus iš trijų elementų 7, 8ir 9:

789, 798, 879, 897, 978, 987.

Matome, kad rinkiniuose nėra pasikartojančių elementų (nėra vienodų skait-menų), o rinkiniai vienas nuo kito skiriasi tik elementų išdėstymo tvarka.Tokie rinkiniai vadinami kėliniais.

Kėliniais iš n elemen tų vadinam i tokie rinkiniai, kurių kiekvienas sudarytasiš visų n elemen tų ir kurie vienas nuo kito skiriasi tik elemen tų išdėstymo

tvarka.

Kėlinių, sudarytų iš n elementų, skaičių žymime Pn. Kėlinių iš n elemen-tų skaičių galima rasti pagal daugybos taisyklę. Kadangi pirmą elementą išduotųjų n elementų galima imti bet kurį, tai jam pasirinkti yra n būdų.Pasirinkus pirmą elementą, antrą galima rinktis iš likusių (n — 1) elementų.Vadinasi, antrą elementą pasirinkti galima (n — 1) būdų. Taigi kiekvienamparinktam pirmajam elementui turime (n — 1) antrąjį elementą. Iš viso tokiųpirmojo ir antrojo elementų porų bus n • (n — 1).

Taip samprotaudami gausime, kad trečią elementą pasirinkti galima (n — 2)būdų, ..., n-tąjį (paskutinįjį) — 1 būdu (paskutinis likęs elementas). Iš visokėlinių iš n elementų yra n • (n — 1) · (n — 2 ) · . . . · 1.

Natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga trumpai užrašoma n\.

Rašome: n · (n — 1) · (n — 2) · . . . · 1 = n\

Skai tome: en faktorialas.

Taigi

Pn =n-(n-l)(n-2)-...-1 =n\

Pavyzdžiui, kėliniai, sudaryti iš trijų elementų A, B n C, yra:

ABC, ACВ , В А С , BCA, CAB ir CBA.

Trijų elementų kėlinių skaičių galima apskaičiuoti pagal formulę:

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6.



GretiniaiAntrame uždavinyje (iš 4 kandidatų renkant seniūną ir pavaduotoją) surašė-me visus rinkinius, sudarytus iš dviejų skirtingų elementų, paimtų iš keturiųelementų A, B, C ir D:

AB, AC, AD, Β Α , В С , BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC.

Šiuose rinkiniuose nėra pasikartojančių elementų (nėra vienodų raidžių), orinkiniai vienas nuo kito skiriasi arba į tuos rinkinius įeinančiais elementais,arba elementų išdėstymo tvarka (pavyzdžiui, rinkiniai AB ir BA yra skirtingi).Tokie rinkiniai vadinami gretimais. Antrame uždavinyje sudarėme gretiniusiš 4 elementų po 2.

Gretimais iš n elementų po k vadinami tokie rinkiniai, kurių kiekvienas turik elemen tų, pasirinktų iš n elemen tų, ir kurie vienas nuo kito skiriasi a rba

bent vienu elementu, arba elementų išdėstymo tvarka.

Gretinius, sudarytus iš k elementų, kurie pasirinkti iš n elementų, trumpiauvadiname gretimais iš n po k. Gretinių iš n elementų po k skaičių žymime A„.Jį galima apskaičiuoti pagal daugybos taisyklę.Kadangi pirmą elementą galima pasirinkti n būdų, antrąjį — (n — 1) būdų,

. . . , tąjį (pasku tinį) — (n — (k — 1)) = (n — k + 1) būdų, tai gretinių yran • (n - 1) · . . . · (n - k + 1).Taigi

A kn = n · (n —I) • (n—2) ·.. .· (n—k + l)

Pavyzdžiui, gretiniai iš trijų elementų A, B k C po du bus šie:

AB, AC, Β Α , В С , CA ir С В .

Kiek jų bus, galima apskaičiuoti taip:

A] = 3 · 2 = 6.

Įrodykite, kad A^ = Pn.



DeriniaiTrečiame uždavinyje (iš 4 kandidatų renkant du atstovus į mokyklos tarybą)surašėme visus rinkinius, sudarytus iš dviejų skirtingų elementų, paimtų išketurių elementų A, B, C ir D, kai elementų tvarka rinkiniuose yra nesvarbi:

AB, AC, AD, В С , BD ir CD.

Matome, kad rinkiniuose nėra pasikartojančių elementų, o rinkiniai vienasnu o kito skiriasi į ju os įeina nčiais elem en tais. Pav yzd žiui, rinkiniai AB irB A, priešingai n ei 2 uždav inyje, nelaikomi skirtingais.Tokie rinkiniai vadinami deriniais. Trečiame uždavinyje sudarėme derinius iš4 elementų po 2.

Deriniais iš n elementų po k vadinami tokie rinkiniai, kurių kiekvienas turipo k elem entų, pasirinktų iš n elementų, ir kurie vienas nuo kito skiriasi bent

vienu elementu.

Derinius, turinčius k elementų, kurie pasirinkti iš n elementų, trumpiau vadi-name deriniais iš n po k. Derinių skaičių C^ galima apskaičiuoti padalijusgre tinių iš n p o k skaičių iš kėlinių po k skaičiaus, t. y.

'k _ K _ я(я-1)(и-2)-.. .-(я-*+1)n - Pk - fc(Jfc—l)(Jfc—2)-...-1

Pavyzdžiui, deriniai, sudaryti iš trijų elementų A, B ir C po du, bus:

AB, AC ir В С .

Nesurašius pačių derinių, jų skaičių galima rasti pagal formulę:

2 _ A 2 _ 3 - 2 _c

^ - T 2 - 2 Л - 3 ·

Įrodyk ite, kad = 1 ir C\ = n.



324. Parduotuvėje yra 4 rūšių ledų: abrikosinių, braškinių, karamelinių ir rie-šutinių. Veronika nori išsirinkti:a) 2 porc ijas skirtingų rūšių ledų; b) 3 porc ijas skirtingų rūšių ledų.

Surašykite visas jos pasirinkimo galimybes. Kiek jų yra?325. Iš 5 rūšių bandelių Artūras nori pasirinkti:

a) dvi; b) tris; c) keturias skirtingų rūšių band eles.Kiek skirtingų galimybių jis turi?

P a v y z d y s . b) Trijų bandelių rinkiniai abc, acb, bac, bca, cab, cba — ta i vienas irtas pats r inkinys, t ik išdėliotas ki ta tvarka. Tris bandeles iš ei lės gal ime

išsir inkti ta ip: pirmąją — 5 būdais , ant rąją — 4 būdais, t rečiąją — 3 būdais .Ta ig i , j e i t va rka sva rb i , gau tum e 5 - 4 - 3 pas i r ink imo būdų . Kadang i či apasi r inkimo tvarka nesvarbi , o k iekvieną bandel ių t re je tą ga l ima sutvarkyt i3 - 2 - 1 sk i rt i nga i s būda i s , t ai t ri s bande le s i š penk ių ga l ima i š s ir i nk t i

= 10 ski r t ingų būd ų.

326. Iš 6 skirtingų spalvų pieštukų Juras nori išsirinkti:a) du; b) tris; c) keturis skirtingų spalvų pieštuku s.

Kiek pasirinkimo galimybių jis turi?327 . a) 7 m okiniai dalyvavo plauk im o varžyb ose. Keliais skirtingais būdais

gali pasiskirstyti trys prizinės vietos?b) Iš 7 gabiau sių klasės m atem atikų reikia išrinkti tris dalyvauti mok yklos

matematikų olimpiadoje. Keliais skirtingais būdais galima tai padary-ti?

328. Mokykloje veikia 8 būreliai. Romas nutarė lankyti 3, o Lina — 2 būrelius.

Kiek skirtingų pasirinkimo galimybių turi Romas? kiek Lina?329. Spaudos konferencijoje 10 žurnalistų pasisveikino vienas kitam paspaus-

dami rankas ir apsikeitė vizitinėmis kortelėmis.a) Kiek buvo rankų paspa udim ų (kai du pasisveikina, sakysime, kad tai

— vienas rankos paspaudimas)?b) Kiek vizitinių kortelių išdalyta?

330. 14 turnyre dalyvavusių šachmatininkų sužaidė vienas su kitu po vieną

partiją. Kiek partijų sužaista iš viso?331. Kirpykla, paskelbusi konkursą laisvoms kirpėjų darbo vietoms užimti, ga-

vo 15 prašymų. Keliais skirtingais būdais ji gali pasirinkti 3 kirpėjus?



333.

334.

Dėžėje yra 10 skirtingų spalvų rutulių. Kiek yra skirtingų galim ybiųištraukti:a) vieną; b) du; c) tris; d) keturis rutulius ?

a) Keliais skirtingais būdais sk aitytojas gali išsirinkti 4 kny gas iš 12?b) Keliais skirtingais būdais iš 12 knygų galima parinkti 4 ir jas sunu-

meruoti?

Keliais skirtingais budais 5 sunumeruotų kėdžių eilėje gali susėsti:a) 2 žm onės; b) 3 žm onės; c) 4 žm onės; d) 5 žm onės?

335*. Kiek skirtingų tiesių galima nubrėžti per 6 plokštumos taškus, jei jokie3 iš jų nėra vienoje tiesėje?

336*. Kiek įstrižainių turi iškilasis:a) šešiakampis; b) dvy likakam pis?

337*.Pažymėti

8skirtingi apskritimo taškai.a) Kiek skirtingų apsk ritimo stygų galim a nub rėžti per šiuos tašku s?

b) Kiek galima nubraižyti skirtingų trikam pių, kurių viršūnės yra pažy -mėtieji taškai?

c) Kiek galima nubraižyti skirtingų keturkamp ių, kurių viršūnės yra pa-žymėtieji taškai?

338*. Gim tadienio šv entėje visi svečiai pasisveikino paspau sdam i vienas kitamranką. Kiek svečių dalyvavo gim tadien yje, jei iš viso buvo 28 rankų

paspaudimai?339*. Lauko teniso varžybų kiekvienas dalyvis susitiko po vieną kartą su vi-

sais kitais tenisininkais. Iš viso sužaistos 36 partijos. Kiek tenisininkųdalyvavo varžybose?

340. Ant kortelių užrašytos raidės:

N K A G

a) Kiek skirtingų penkių raidžių rinkinių iš jų galim a sudaryti?

b) Kiek yra tokių rinkinių, kurių pirmoji raidė K?c) Kiek yra tokių rinkinių, kurių pirm oji raidė K, o pas kutinė A ?d) Kam lyg i tikimy bė, kad atsitiktinai sudarytas raidžių pen ketas su sidės

K N Gį žodįe) Kam lyg i tikimy bė, kad atsitiktinai sudarytas raidžių penketas prasi-

dės raide K?f) Kam lygi tikimybė, kad atsitiktinai sudarytas raidžių penketas prasi-

dės raide K, o pasibaigs raide A?



341. Iš 6 berniukų ir 8 mergaičių burtų keliu renkama 3 mokinių delegacija.a) Kiek yra skirtingų galim ybių išrinkti 3 m okinių de legac iją?b) Kiek yra skirtingų galimybių išrinkti 3 berniukus?

*c) Kiek yra skirtingų galimybių išrinkti 2 berniukus ir vieną mergaitę?*d) K iek y ra. skirtingų galim ybių išrinkti 2 m ergaites ir vieną b erniuką?

342. Kam lygi tikimybė, kad, atsitiktinai parinkus 3 mokinių delegaciją iš6 berniukų ir 8 mergaičių, joje bus:a) tik berniukai;b) tik mergaitės;

*c) 2 berniukai ir 1 mergaitė;*d) 2 mergaitės ir 1 berniukas?

343. Iš dėžės, kurioje yra 8 balti ir 4 juodi rutuliai, atsitiktinai išimami 2 ru-tuliai. Kokia tikimybė, kad:

a) abu jie yra balti;b) abu jie yra juodi;c) vienas rutulys juodas, o kitas baltas?

344. Lošim o kauliukas metam as du kartus. Užrašom as pirmą ir antrą kartąiškritusių akučių skaičius. Taip gaunamas dviženklis skaičius.a) Kiek skirtingų dviženk lių skaičių galima sudaryti tokiu būdu ?

*b) Kiek iš jų yra lyginių?*c) Kiek tokių dviženklių skaičių yra dalūs iš 5?*d) Kam lygi tikimybė, kad tokiu būdu sudarytas skaičius yra lyginis?*e) Kam lygi tikimybė, kad tokiu būdu sudarytas skaičius yra 5 kartotinis?

345. Iš 15 žm onių 6 yra kairiarankiai, kiti — dešiniaran kiai. Iš šios grupėsatsitiktinai parenkami 5 žmonės. Kokia tikimybė, kad iš parinktųjų:a) visi yra kairiarankiai;b) visi yra dešiniarankiai;

*c) 3 yra kairiarankiai ir 2 dešiniarankiai;

*d) 2 yra kairiarankiai ir 3 dešiniarankiai?346. Mokyklos paskutinio skambučio šventėje mokytoja 10 pirmokų rikiuoja į

vieną eilę.a) Kiek yra skirtingų galimybių sustatyti pirmokus?

*b) Kiek yra skirtingų galimybių sustatyti pirmokus taip, kad du iš jų —Justas ir Povilas stovėtų greta?

*c) Jei mok iniai sustos atsitiktinai, kam lygi tikimyb ė, kad Justas ir Povilasstovės greta?


a) P5- b) P 8 ; c) P 1 2 .




a) A 20 ; b) A5

10; c) A je ; d) A520; e) A1

25; f ) A1

20 .


a) C 20 ; b) C f 0 ; c) Cj8

0; d) C |Q ; e ) C ^ ; f ) C2J];

350. Išspręskite nelygybę:a) χ 2 + χ + 4 > 0 b) χ 2 + χ + 4 < 0 c) - x 2 + χ - 4 ^ 0

d ) - x 2 + x - 4 ^ 0 е ) ? ^ < 0

351. Raskite stačiojo trikampio perimetrą, jei jo statinių ilgių skirtumas lygus:a) 15 cm, o plotas yra 2 4 0 cm 2 ;b) 23 cm, o plotas yra 210 cm 2 .

352. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendinius:

a )

У ^ 0,y ^ x + l , b)x + y ^ 1;

χ + y > 0,χ — y < 0,y < 2 .

353. Karietos užpakalinio rato apskritimo ilgis 2 kartus didesnis už priekiniorato apsk ritimo ilgį. Jeigu užp akalinio rato apsk ritimo ilgis bū tų 2 dm m a-žesnis, o priekinio — 4 dm didesnis, tai 120 m k elio akarpo je užpakaliniorato apsisukimų skaičius būtų 20 mažesnis už priekinio rato apsisukimų

skaičių. Raskite abiejų ratų apskritimų ilgius.354. Su kuriomis y reikšmėmis duotųjų reiškinių reikšmės yra lygios:

a) 4y 2 + 6y ir 3y (y - 5); b) y(1 3 + 7y) ir 5y (y + 1,6)?

355. Lygiašonio trikam pio šoninė kraštinė lygi 4 cm, o v iršūnės kam pas yra120°. Raskite apibrėžto apie šį trikampį apskritimo:a) skersm ens ilgį; b) centro atstumus iki trikam pio kraštinių.

356. Kaip pasikeis kū gio tūris, jeigu jo pagrindo spindulį pailginsime 3 kartus,

o aukštinę sutrumpinsime 3 kartus?357. Du apskritimai turi bendrą centrą. Mažesniojo apskritimo spindulys su-

daro 80% didesniojo apskritimo spindulio. Kaip pasikeis žiedo tarp ap-skritimų plotas, jeigu:a) abu spindulius pailginsime 20%;b) did esnįjį spindu lį pa ilgin sim e 10%, o m aže snįjį— sutrumpinsime 5%?


, { 2x + 5y = 25, ы f Ix - 3y = 15,{ 4x + 3y = 15; D ) { 5x + 6y = 27.



2 Nepriklausomi įvykiai

1 PAVYZDYS. M eskim e mone tą ir lošimo kauliuką. Žinom e, kad įvykio A

— „kauliukas atsivers 5 akutėmis" tikimybė P (A) = g. Įsitikinkime, kad šitikimybė nepasikeis nuo to, kuria puse atsivers moneta.Iš viso yra 2 · 6 = 12 galimų monetos ir kauliuko metimo baigčių:

{H, I}, {H, 2}, {H, 3}, [H , 4}, {H, 5}, {H, 6},{5,1}, {5,2}, {5,3}, {5,4}, {5,5}, {5,6}.

Jei žinome, kad atsivertė skaičius, tai įmanomi tik šeši elementarieji įvykiai:

{5,1}, {5,2}, {5,3}, {5,4}, {5,5}, {5,6},

iš kurių m um s yra pa lank us tik vienas įvykis {5, 5}, ir todėl įvyk io A tikimy bė,kai įvyko įvykis 5 (atsivertė skaičius)

P (A, kai įvyko 5) =6

Lygiai taip pat įsitikiname, kad kai moneta atsiverčia herbu, tai „penkiukės"

atsivertimo tikimybė vėl yra lygi g.Tokiu atve ju sakom e, k ad įvykio A — pen kiukės atsivertimas — tikim ybėnepriklauso nei nuo įvykio H, nei nuo įvykio 5.A psk aičiuokim e tikim ybę įvyk io „A ir 5 " — kauliuka s atsivertė pen kiuke , omoneta skaičiumi.Ka dang i įvyk iui „A ir 5 " pala nku s tik vienas e lem entarusis įvyk is {5, 5} iš12 aukščiau surašytų galimų, tai

P (A ir 5) =

Kadangi P (A) = į, o P (5) = \ , tai

P (A ir 5) = P (A ) · P (5 ) ,

nec 1 - 1 1n e s T2 - 6 · 2·

Sakom a, kad įvykiai A ir B yra nepriklausom i, kai vieno jų įvykim as neturiįtakos kito įvykio tikimybei.



Tikimybė, kad įvyks du nepriklausomi įvykiai A ix B, lygi tų įvykių tikimybiųsandaugai:

P (A ir B) = P (A ) · P ( S )

Kartais mums visiškai aišku, kad vieno bandymo rezultatai nepriklauso nuo

kito bandymo rezultatų. (Tokie bandymai vadinami nepriklausomais bandy-mais.)Pavyzdžiui, metant monetą ir kauliuką, monetos metimo rezultatas neturi įta-kos kauliuko metimo rezultatui; metant du kauliukus, vieno kauliuko metimorezultatas n eturi įtakos k ito kau liuko m etim o rezu ltatui. Taigi je i įvykis Asus ijęs su vienu iš tokių b andy m ų, o įvykis B — su kitu, tai tie įvyk iai A irB yra nepriklausomi ir jiems galima taikyti tikimybių sandaugos taisyklę.

Nagrinėkime įvykius, kai bandymai nepriklausomi, o kiekvienas įvykis susijęsvis su kitu bandym u. Tada tikimybių sanda ugos taisyklę galima taikyti betkuriam įvykių skaičiui.

2 PAVYZDY S. M eskim e monetą keturis kartus. Kiekvienąkart metant tikimy-bė atsiversti herbui P ( H ) = kaip ir tikimy bė atsiversti skaičiui P (S) = j .Metant monetą antrą kartą herbo ar skaičiaus atsivertimas nepriklauso nuoto, kuria puse moneta atsivertė pirmuoju metimu. Trečiojo metimo rezultatasnepriklauso nuo pirmųjų dviejų metimų rezultatų ir 1.1. Pavyzdžiui, tikimybė,

kad pirmus du kartus atsivers herbas, o po to du kartus skaičius, yraP(HHSS) = P(H) • P(H) • P(S) • P(S) = \ · į · \ · į = i .

UŽD AV INYS. D viejose dėžėse yra vienodo dydžio, bet skirtingų spalvų rutu-liai. Pirm oje dėžėje yra 5 raudon i ir 7 balti rutuliai, o antroje — 8 raudoni ir 12baltų. Iš abiejų dėžių atsitiktinai traukiama po vieną rutulį. Kokia tikimybė,kad abu rutuliai bus raudoni?Sprendimas. Pažymėkime įvykius:

A — „iš pirmos dėžės ištrauktas rutulys yra raudonas",B — „iš antros dėžės ištrauktas rutu lys yra raud ona s",A ix B — „abu ištraukti rutuliai yra raudoni".Aišku, kad P (A) = į , Р ( Я ) = ^ = į.Kadangi iš antros dėžės ištraukto rutulio spalva nepriklauso nuo to, kokiosspalvos rutulys ištrauktas iš pirmos dėžės, tai įvykiai A ix B yra nepriklausomiir todėl

5 2 1P (A ir B) = -.12 5 6

Atsakymas. Tikimybė, kad abu rutuliai bus raudoni, lygi g.



Skaičiuojant įvykio Air B tikimybę svarbu nustatyti, ar tie įvykiai yra nepri-klausomi.

3 PAVYZDYS. Iš dėžės, kurioje yra 2balti ir 1 mėlynas rutuliai, nežiūrint trau-

kiamas vienas rutulys. Pažiūrima, kokiosspalvos rutulys ištrauktas, ir jis grąžina-mas į dėžę. Tada antrą kartą traukiamasrutulys.

Apskaičiuokime tikimybę įvykio, kad pirmasis ištrauktas rutulys yra baltas, oantrasis — mėlynas, t. y. F(BM).Akivaizdu, kad tikimybė antru traukimu ištraukti mėlyną rutulį nepriklauso

nuo to, koks rutulys buvo ištrauktas pirmuoju, nes jis buvo grąžintas į dėžę.Vadinasi, įvykiai B ir M yra nepriklausomi, todėl

P ( B M ) = P ( S ) - P (M ) = i = |

Dabar šiek tiek pakeiskime sąlygą. Iš tos pačios dėžės traukime du rutulius,tik, ištraukus pirmąjį, jo negrąžinkime į dėžę, o traukime antrą rutulį. Ir šiuoatveju apskaičiuokime tikimybę įvykio, kad pirmasis ištrauktas rutulys yra

baltas, o antrasis — mėlynas.Dabar tikimybė antruoju paimti mėlyną rutulį priklauso nuo to, kokios spalvosrutulys buvo prieš tai ištrauktas:• jei pirmasis ištrauktas mėlynas rutulys, tai tikimybė antruoju traukimu iš-

traukti mėlyną rutulį P (M) = 0;

• jei pirmasis ištrauktas rutulys yra baltas, tai P ( M ) = j .

Todėl įvykiai B ir M nėra nepriklausomi.Šiuo atveju apskaičiuoti tikimybę P (BM) galima remiantis klasikiniu tikimy-bės apibrėžimu. Surašykime visas bandymo baigtis:

B1B2, B1M, B2Bh B2M, MBh MB2.

Įvykiui BM palankūs 2 elementarieji įvykiai (B\M ir B2M) iš 6 galimų.Todėl

2 1P ( B M ) = - = - .

o JKaip matome P ( B M ) φ P (B ) · P (M) , nes į φ į • į.



359. Metama moneta ir lošimo kauliukas. Kam lygi tikimybė, kad:a) m one ta atsivertė herbu , o lošim o kauliuk as šešetu;b) moneta atsivertė skaičiumi, o lošimo kauliukas skaičiumi, daliu iš 3?

360. Lošimo kauliukas metamas du kartus. Kam lygi tikimybė, kad:

a) pirmą kartą iškrito 4 akutės, o antrą kartą iškritusių akučių skaičiusyra didesnis už 4;

b) pirmą kartą iškrito nelyginis akučių skaičius, o antrą kartą iškritusiųakučių skaičius yra mažesnis už 3?

Dviejose dėžėse yra vienodo dydžio, bet skirtingų spalvų rutuliai. Pirmojedėžėje yra 8 raudoni ir 4 balti rutuliai, o antroje — 6 raudoni, 2 balti ir 2juodi rutuliai. Iš abiejų dėžių atsitiktinai išimama po vieną rutulį. Kokia

tikimybė, kad:a) abu išimti rutuliai yra raudo ni;b) abu išimti rutuliai yra balti;c) iš pirm os dėžės išimtas rutulys yra raud ona s, iš antros — baltas;d) iš pirm os dėžės išimtas rutulys yra baltas, o iš antros — juodas;e) iš pirm os dėžės išim tas rutuly s yra raud ona s, o iš antros dėžės išim tas

rutulys nėra raudonas?

Tikimybė, kad šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, lygi 0,8. Šaulys šauna

du kartus. Kokia tikimybė, kad:a) abu kartus ša ulys pata iko į taikin į;b) abu kartus šaulys nepataiko į taikinį;c) pirm u šūv iu šaulys pataiko, o antru nep ataik o į taikin į;d) pirmu šūviu šaulys nepataiko, o antru pataiko į taikinį?

P a v y z d y s . b) Pažymėkime įvykius:Ai — šauly s nep ataik ė į taikinį pirm uo ju šūv iu;A 2 — šauly s ne pata ikė į taikinį antru oju šūv iu.Įvykiai Ai ir A2 yra nepriklausomi, todėl P (Ai ir A2) = P ( A i ) · P ( A 2) .P ( A i ) = P ( A 2 ) = 1 - 0, 8 = 0 ,2; P (A, i r A 2 ) = 0,2 · 0,2 = 0 ,04 .

363. Trys šauliai nepriklauso m ai v ienas nuo kito šaun a į taikinį. Pirm ojo šauliopataikymo tikimyb ė lygi 0,85, a ntrojo — 0,8, trečiojo — 0,7 . Kokiatikimybė, kad:

a) visi šaulia i pa taik ys į taik inį;b) visi šauliai nepataikys į taikinį;c) pirm asis šaulys pataiky s, o antrasis ir trečiasis nep ataikys;d) pirmasis ir antrasis šauliai pataikys, o trečiasis nepataikys?

361.

362.



364. Gaminant detalę atliekamos 3 nepriklausomos operacijos. Tikimybė gautiblogą detalę po kiekvienos operacijos lygi 0,01. Apskaičiuokite tikimybępagaminti gerą detalę.

365. Kambaryje dega dvi skirtingos lemputės. Tikimybė, kad per mėnesį per-degs pirmo ji lemputė, lygi 0,12 , o kad perdegs antroji — 0,2 . Kokia

tikimybė, kad per mėnesį:a) perdegs abi lemputės;b) neperdegs nei viena lemputė;c) pirmo ji lemp utė perdegs, o antroji — ne;d) pirmoji lemputė neperdegs, o antroji — perdegs?

366. Tikimybė, kad studentas išlaikys matematikos egzaminą, lygi 0,8, o kadišlaikys fizikos egzaminą — 0,7. Kam lygi tikimybė, kad:a) studentas išlaikys abu egzaminus;b) studentas neišlaikys nei vieno egzamino?

367. Iš 50 istorijos bilietų stude ntas išm oko 40, o iš 60 geo grafijos bilietų —45. Kokia tikimybė, kad studentas laikydamas egzaminus ištrauks:a) istor ijos bilietą, ku rį jis išm ok o;b) geografijos bilietą, kurį jis išmoko;c) ir istorijos bilietą, ir geo grafijos bilietą, kuriuos jis išmo ko;d) ir istorijos bilietą, ir geog rafijos bilietą, kurių jis neišm oko ?

368. Sukdamas „laimės ratą" vieną kartą berniukas ką nors laimi su tikimybe,lygia . Kam lygi tikimyb ė, kad berniuk as laimės kiekv ieną kartą, kairatą suks:a) 2 kartus; b) 3 kartus; c) 4 kartu s?


a )

* - y = - 1 ,У + z = 5 , b )

= 3;

χ + y = -3 ,y - z = 1,X2+ z2 = 10.

370. 18 000 Lt pasko la turi būti grąžinta per 3 metus kas pusmetį lygiomisdalimis su 12% mažėjančiomis metinėmis palūkanomis.a) Kiek procentų palūkanų mokam a vienu mok ėjimu?b) Sudarykite paskolos grąžinimo planą.

371. Raskite pasiskolintą sumą, jeigu po dvejų metų esant 11%:a) pap rastųjų metinių palūkanų reikės grąžinti 7930 Lt; 10 248 Lt;

b) sudėtinių m etinių palūkan ų reikės grąžinti 73 92 ,6 Lt; 11 088 Lt.372. Atlikite veiksmus:

a) A - b b) į - s f e ; c ) ^ : ( 8 x 2 ) ; d) J f 5 · 21 ab.



1,75 6,25

374. Pagal brėžinio matmenis raskitesimetriškos detalės:a) perim etrą; b) plotą.

i

O

8 0

O

, I

O

2 0 yR

O

yR

375. Į ritinio form os indą, kurio pag rindo skersm uo lyg us 20 cm , pripilta va n-dens iki 15 cm aukščio.a) Kiek litrų vand ens pripilta inde ?b) Iki kokio aukščio (centimetro dešimtų jų tikslum u) pakils vanduo inde,

jei į jį panardinsime 6 cm spindulio rutulį?

376. Duotas kvadratinis trinaris JC2 + χ — 6.a) Raskite kvadratinio trinario šaknis.b) Išskaidykite kvadratinį trinarį dauginamaisiais.

c) Nubraižykite funkcijos / ( J C ) = J C 2 + JC — 6 grafiką.d) Ar turi šis trinaris didžiausią ar mažiausią reikšmę? Kokią?e) Su kuriom is χ reikšmėmis trinario reikšmės yra teigiamos; neigiamos?f) Su kuriomis χ reikšmėmis trinario reikšmės yra neteigiamos; nenei-

giamos?

377. Dviejų skaičių χ ir y sandauga lygi 12.a) Išreikškite skaičiaus y priklausomybę nuo skaičiaus x.

b) Raskite JC, kai y = 18; 30; - 4 8 ; - į .c) Nubraižykite skaičiaus Y priklausomybės nuo skaičiaus JC grafiką.

378. Apskaičiuokite jums patogiausiu būdu:Q4 26 2 , 26-34 , 34 2 .a ) 600 + 300 + 6 0 0 '

ы 8 7 2b ) 5 0 0

87-37 , 37 2

250 + 500"

379. Šokolado plytelėje yra 30 (6 χ 5) dalių. Kiek kartų reikės laužti, kad būtųgauti 30 gabaliukų šokolado? (Laužant plytelę jos dalių uždėti vieną antkitos negalima.)



3 Atsitiktinis dydisNagrinėkime bandymą: moneta metama du kartus ir stebima, kiek kartų mo-neta atsivertė herbu.Atsitiktinį įvykį „herbas neatsivertė" galima nusakyti taip:

„atsivertimų herbu skaičius X = O";

įvykį „herbas atsivertė vieną kartą" nusakyti taip:

„atsivertimų herbu skaičius X = 1";

įvykį „herbas atsivertė du kartus" nusakyti taip:

„atsivertimų herbu skaičius X = 2".

Taigi šiuo atveju su bandymu susijusius atsitiktinius įvykius galima nusakytiatsitiktiniu dydžiu X reiškiančiu monetos atsivertimų herbu skaičių.Šis atsitiktinis dydis gali įgyti tris skaitines reikšmes: O, 1 ir 2. Jau esameanksčiau suskaičiavę šių reikšmių įgijimo tikimybes:

P(X = 0) = I P(X = υ = \ , P (X = 2) = i

Atsitiktinį dydį paprastai nusakome lentele, kurioje nurodome visas atsitiktiniodydžio įgyjamas reikšmes ir tikimybes, su kuriomis tos reikšmės įgyjamos.Mūsų pavyzdyje aprašytas atsitiktinis dydis X nusakomas taip:

Atsitiktinio dydžio X įgyjamos reikšmės 0 1 2

Tikimybės 14

12

14

Kadangi nurodytos visos reikšmės, kurias gali įgyti atsitiktinis dydis X, ta iapatinėje eilutėje surašytų tikimybių suma turi būti lygi 1. Iš tikrųjų:

1 1 1,

T + o + 7 = L4 2 4

Pastaba. Atsitiktinio dydžio X reikšmių ir jas atitinkančių tikimybių visumavadinama atsitiktinio dydžio X skirstiniu arba pasiskirstymo dėsniu.

Užduotis. Moneta metama tris kartus. Sakykime, kad X yra atsivertimų her-bu skaičius. Nu rodykite atsitiktinio dydžio įgy jam as reikšm es, jų įgijim otikimybes ir užpildykite atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę.



380. Ar nurodytos lentelės gali išreikšti kurio nors atsitiktinio dydžio skirstinį?

a)

c)

X 0 1 3 b) Y - 1 3 10)

c)

P13

13

13 P

25

15

35

a)

c) Z 13

15

17

19 d) W 2 4 6 8

a)

c)P 1

25 0,26 12

1110

d)P 0 ,1 0 ,4 3

20 0,35

381. Vieną kartą metame lošimo kauliuką. Atsitiktinis dydis X yra atvirtusiųakučių skaičius. Užrašykite jo skirstinį.

382. M etamos dvi monetos: 10 centų ir 20 centų. Atsitiktinis dydis Y —

atvirtusių skaičiumi monetų nominalų suma. Užrašykite jo skirstinį.383. Du kartus m etame lošimo kauliuką. Atsitiktinis dydis X — iškritusių aku-

čių suma. A tsitiktinis dyd is Y — iškritusių akučių sandau ga. U žrašy kitejų pasiskirstymo dėsnius.

384. M etam as lošimo kauliukas ir 5 centų moneta. Atsitiktinis dydis Z —atvirtusių akučių ir centų suma. Atsitiktinis dydis W — atvirtusių akučiųir centų sandauga. Užrašykite šių atsitiktinių dydžių skirstinius.

385. a) Iš 100 loterijos bilietų 20 bilietų laim i po 1 Lt, 20 — po 2 Lt, 10 — po5 Lt, 4 — po 10 Lt, kiti bilietai nelaim i nieko. A tsitiktinis dydis X —laimėjimo dydis pirkus vieną bilietą. Užrašykite jo skirstinį.

b) Iš 200 lote rijos bilietų 80 bilietų laimi p o 1L t, 20 — po 5 Lt, 12— po 10 Lt, 4 — po 20 Lt, 2 — po 50 Lt, k iti bilietai nelaim i nieko .Atsitiktinis dydis Y — laimėjimo dydis pirkus vieną bilietą. Užrašykitejo skirstinį.

386. Iš dėžės, kurioje yra 2 balti ir 3 juodi rutuliai, atsitiktinai ištraukiami durutuliai. Atsitiktinis dydis X — ištrauktų baltų rutulių skaičius. A tsitiktinisdydis Y — ištrauktų juodų rutulių skaičius. Raskite šių atsitiktinių dydžiųpasiskirstymo dėsnius.

387. Iš dėžės, kurioje yra 2 balti ir 3 raudoni rutuliai, atsitiktinai ištraukiami 3rutuliai. Atsitiktinis dydis X — ištrauktų baltų rutulių skaičius. Atsitiktinisdydis Y — ištrauktų raudo nų rutulių skaičius. Už rašykite šių atsitiktiniųdydžių skirstinius.

388. Iš 10 detalių 4 yra nestandartinės. Atsitiktinai paimamos 3 detalės. Atsi-tiktinis dydis X yra paimtų nestandartinių detalių skaičius. Užrašykite joskirstinį.



389. Loterijos ratas suskirstytas į 4 lygius sektorius ir sužymėtas taip, kaipparodyta paveiksle:

Ratas sukamas vieną kartą. Atsitiktinis dydis X — laimėjimo dydis litais,kuris lygus išsuktam skaičiui m inus bilieto kaina. Ras kite atsitiktiniodydžio X skirstinį, jei vienas rato pasu kim as kainu oja 2 Lt.

390. Įrodykite tapatybę:\ __3 a — 2 a + 1 3 . L \ 5— α , 6 a + 1

Λ > 2 α + 6 a2+6a+9 ~ 2 ( a + 3 ) 2 ' U J a 2 - 8 a + 1 6 5 a - 2 0 ~ 5 ( α - 4 ) 2 '


a) J C 2 - Ax + 4 ^ 0 b) χ2 - 4x + 4 ^ 0 c) J C 2 - 4x + 4 > 0

d) x 2 — 4x + 4 < 0 e) į2 - f x X l < 0 f) ^ ¾ + 1 > 1

392. Dviejų skaičių skirtumo ir jų sumos santykis lygus 3 : 8, o šių skaičiųskirtumo ir jų sandaugos santykis yra 6 : 55. Raskite šiuos skaičius.

393. Seka (a n ) yra aritmetinė progresija:a) - 3 0 ; - 2 6 ; - 2 2 ; - 1 8 ; . . . ; b) - 2 6 ; - 2 3 ; - 2 0 ; - 1 7 ; . . .Parašykite progresijos и-tojo nario formulę ir apskaičiuokite:i) fl2oo; 2) S200·

394. Žino ma, kad iš 8 kg sausų linų šiaudelių išeina 0 ,7 kg linų p luošto .a) Parašykite formulę, pagal kurią būtų galima apskaičiuoti linų pluošto

masę M (kilogramais) žinant sausų linų šiaudelių masę m (kilogra-mais).

b) Pagal parašytą form ulę apskaičiuokite, kiek linų pluo što išeina iš 100 kg;150 kg; 250 kg; 400 kg sausų linų šiaudelių.

c) Pagal parašy tą form ulę apska ičiuokite, kiek reikia sausų linų šiaudelių,kad gautum e 17,5 kg; 21 kg; 26 2,5 kg; 3 67,5 kg linų pluošto.

395. Penki mokiniai nusipirko 100 sąsiuvinių: Karolis ir Vytautas nusipirko52 sąsiuvinius, Vytautas ir Gediminas — 43, Gediminas ir Povilas — 34,Povilas ir Vilius — 30. Kiek sąsiuvinių nusipirko kiekvienas mokinys?



396. Skritulio, kurio spindulys lygus 18 cm, nuopjovos lankas lygus:

а) 67Γ cm; b) 12π cm.

Raskite nuopjovos perimetrą ir plotą.

397. A pie apskritimą apibrėžtos trapecijos perim etras lygus 72 cm. Rask itetrapecijos vidurinės linijos ilgį.

398. Nubraižykite statųjį trikam pį, kurio statiniai lygūs 4 cm ir 6 cm . Nubrai-žykite panašų į jį trikampį, kai panašumo koeficientas yra:

a) k — 0,75; Ъ ) k — 1,5.

399. Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra pusskritulis, kurio skersmuo 24 cm.Raskite kūgio:

a) sudaromąją;b) pagrindo spindulį;c) aukštį;d) tūrį.

400. Apskaičiuokite reiškinių \/75 — л/27 ir У Т 2 :

a) sum ą; b) skirtum ą; c) sandaugą; d) dalm enį; e) kvadratų sum ą;f) sum os kvadratą; g) sum os kubą.



4 Matematinė viltis

Jaunimo kavinės šeimininkas, pastebėjęs, kad lankytojams nusibodo stumdytibiliardo rutulius ir žaisti smiginį, sugalvojo naują azartinį žaidimą.

Jis perdarė smiginio lentą į sukutį su nevienodai pada-lytu plotu. Didžiausioje dalyje — pusskritulyje (lygiai50% ploto) buvo užrašas „10 centų", antroje dalyje— skritulio ketvirtyje (lygiai 25% ploto) parašyta „20centų", o likęs ketvirtadalis buvo padalytas dar pu-siau: viename aštuntadalyje buvo parašyta „30 centų",kitame — „50 centų". Taisyklės buvo labai paprastos:kiekvienas sumokėjęs 20 centų turi teisę sukti rodyklę,

o po kiekvieno sukimo gauna iš kasos tiek, kiek nurodyta sektoriuje, kuriamerodyklė sustoja. (Jei rodyklė sustoja ant ribos, ji pastumiama į sektorių, esantįpagal laikrodžio rodyklę.)

Kavinės šeimininkas numatė, kad žaidimas jam nebus nei pelningas, nei nuo-stolingas. Bet žaidima s turėtų pritraukti į kavinę daugiau lank ytojų, todėlbus parduota daugiau prekių. Padidėjusi apyvarta turėtų atnešti apčiuopiamąnaudą. Kodėl šeimininkas manė, kad pats žaidimas nebus nei pelningas, neinuostolingas?

Į šį klausimą galima atsakyti išmokus apskaičiuoti matematinę viltį. Tarkime,kad sukutis yra sureguliuotas taip, kad tikimybė rodyklei sustoti tam tikramesektoriuje yra tiesiogiai proporcinga to sektoriaus plotui. Todėl:

P (rodyklė sustojo 10c entų sektoriuje) = j ,

P (rodyklė sustojo 20 centų se ktoriuje) =

P (rodyk lė sustojo 30 centų se ktoriuje) =

P (rodyklė sustojo 50 centų sektoriuje) =

Kadangi išvardyti visi galimi įvykiai, tai jų tikimybių suma lygi 1:

I l l l i

2 + 4 + 8 + 8 = 1 ·

Taigi žaidėjo išlošis X yra atsitiktinis dydis, kurio skirstinys yra

Išlošio X reikšmės 10 20 30 50Tikimybės 1

214

18

18



Kavinės šeimininkas vidutinį žaidėjo laimėjimo dydį galėjo įvertinti taip.Tarkime, kad sukutis sukam as daug kartų, sakyk ime , 1000 kartų. Tikėtina,kad maždaug pusėje sukimų, t. y. apie 500 kartų, rodyklė sustos 10 centųsektoriuje, ketvirtadalyje sukimų, t. y. apie 250 kartų, rodyklė sustos 20 centųsektoriuje, aštuntadalyje sukimų, t. y. apie 125 kartus, 30 centų sektoriuje irtaip pat aštuntadalyje sukimų — apie 125 kartus — 50 cen tų sektoriuje.Taigi per 1000 žaidimų žaidėjai išloš apie

10 · 500 + 20 · 250 + 30 · 125 + 50 · 125 ( = 20000) centų.

Vidutiniškai per vieną žaidimą žaidėjas išlošia apie

10 · 500 + 20 · 250 + 30 · 125 + 50 · 125 _

1000 ~_ 500 _ 250 _ 125 _ 125= 10 · T ^ + 20 · — — + 3 0 · — — + 5 0

1000 1000 1000 1000

= 10 · į + 20 · \ + 30 · I + 50 · I = 20 (centų).2 4 8 8

Taip samprotaudami tą patį vidutinį išlošį gautume, jei tartume, kad buvožaista 3000 ar 10 00 0 kartų. M atom e, kad pasku tinėje skaičiavimų eilutėje

visos galimos atsitiktinio išlošio reikšmės padaugintos iš tikimybių tą sumąišlošti ir tos sandaugos sudėtos. Gauta suma ir vadinama atsitiktinio dydžioX matematine viltimi, kurią žymime EX. Taigi

EX = 10 · P (IOct) + 20 · P (20ct) + 30 · P (30ct) + 50 · P (50ct ) =

= 10 · į + 20 · \ + 30 · I + 50 · I = 20 (ct).2 4 8 8

Ka dan gi žaid ėjas mo ka 2 0 ct už bilietą, tai reiškia, kad ža idima s nėra naud in-

gas nei žaidėjui, nei kavinės šeimininkui.M atem atinė viltis E X yra „teorinis" vidutinis išlošis. Tai reiškia, kad, žai-džiant šį žaidimą daug kartų, išlošis, tenkantis vienam bandymui, turėtų būtiartimas 20 centų.Panašiai apibrėžiama ir bet kurio atsitiktinio dydžio X matematinė viltis.Sakykime, kad atsitiktinis dydis X įgyja k reikšmių x\,x2, ...,Xk su tikimy-bėmis pi, P2 ,..., Pk- Užrašykime tai lentele:

Atsitiktinio dydžio X reikšmės X 1 Xl XkTikimybės Pl Pl Pk



Kadangi kuri nors reikšmė bandymo metu būtinai įgyjama, tai

Pl +P2 + ··· + Pk = I-

Atsitiktinio dydžio X matematinė viltis lygi:

E X = X iPi + x2P2 H 1" XkPk-


401. Atsitiktinio dydžio skirstinys yra pateiktas lentele. Raskite jo ma tematinęviltį:

a) X 1 3 5 b) Y - 2 0 4 6

P 13

12

1ъ P 0,2 0,4 0,1 0 ,3

402. Sportininko pataikymo į taikinį tikimybės pateiktos lentelėje:- " Ί Γ ^ \

(S) ) ) )

Kokia šio sportininko vienu šuviu gautų taškų matematinė viltis?

403. Loterijos ratas padalytas į 6 lygias dalis ir sužymėtas taip,kaip parodyta paveiksle.La im ėjimo dy dis litais — išsuktas sk aičius m inus bilietokaina. Ratas sukamas vieną kartą.Apskaičiuokite žaidėjo išlošio matematinę viltį, kai vienas rato pasukimaskain uo ja: a) 4 litus; b) 6 litus.

404.Loterijos ratas padalytas į 8 lygius sektorius.Laim ėjimo dydis — išsuktas skaičius (centais). Kokia turė-tų būti minimali vieno pasukimo kaina, kad loterija nebūtųnuostolinga žaidėjui?

Taškų skaičius Tikim ybė

6 0,057 0,10

8 0,15

9 0,50

10 0,20



405. Iš 300 bilietų vienas yra laimingas. Laimėjimo dydis — 150 litų. Loretanusipirko vieną bilietą. Kokia išlošio matematinė viltis?

406. Loterijai atspausdinta 1000 bilietų. 200 jų laimi po 1 Lt, 100 — po 5 Lt,50 — po 20 Lt, 5 0 — po 30 Lt, 6 00 bilietų — be laimėjimų. Kiek ma-žiausiai turėtų kainuoti vienas bilietas, kad loterija būtų nenuostolinga

organizatoriams (į organizavimo išlaidas neatsižvelgiama)?407. Panagrinėkite tokį žaidimą: žaidėjas meta kauliuką vieną kartą ir gauna

tiek litų, kiek akučių iškrito.a) Kokia kiekvieno laimėjim o dydžio tikimybė?b) Kokia išlošio matematinė viltis metant kauliuką vieną kartą?

408. Žaidim e d alyvaujantis žaidėjas me ta dvi mon etas ir gauna 1 litą, jei iškritoabu skaičiai, o kitais atvejais jis nelaimi nieko.

a) Ap skaičiuokite, k am lygi tikimyb ė, kad žaid ėjas laimi 1 litą (t. y. kadmetus dvi monetas iškrito du skaičiai).

b) Kokia gali būti didžiausia vieno metimo kaina, kad žaidimas nebūtųnuostolingas žaidėjui?

409. Žaidim e dalyv aujantis žaidėjas, sumo kėjęs 3 litus, meta dvi mo netas vienąkartą. Jei iškrenta du skaičiai, žaidėjas gauna 6 litus, jei iškrenta vienasskaičius, žaidėjas gauna 3 litus, o jei skaičius neiškrenta, jis negauna

nieko. Kok ia išlošio m atem atinė viltis m etant m one tas vieną kartą? Arpelningas toks žaidimas organizatoriams?

410. M etam os 3 m one tos: 1 cento, 2 centų ir 5 centų. Ža idėjas laimi 1 litą,jei iškrito trys skaičiai, 50 centų — jei iškrito du skaičiai, 20 centų — jeiiškrito vienas skaičius, ir 10 centų — jei iškrito trys herbai.Kokia turėtų būti minimali vieno metimo kaina, kad žaidimas nebūtų nuo-stolingas organizatoriams?

411. Išspręskite nelygybę:a ) f - I > 3 ; b )7TW >X> c) χ

2— 6x < 0.

412. Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis lygus 20, o jų geometrinis vidurkislygus 12. Raskite tuos skaičius.

413. Geometrinės progresijos ( b n ) pirmasis narys lygus 2л/2, o vardiklis yralygus л/2. Raskite:a ) b 3 ; b ) b 5 \ c) S 9 ; d) S 7 .

414. Už kiek litų pirkta maisto produktų, jeigu juos perkant sumokėtas pridė-tosios vertės mokestis sudarė:a) 3,24 Lt; b) 8,46 Lt?



415. Į apskritimą įbrėžto keturkampio trijų iš eilės paimtų kampų didumų san-tykiai yra 1 : 2 : 3 . Raski te keturkampio kampus.

416. Du kūnai, judėdami tolygiai apskritimu viena kryptimi, susitinka kas56 min, o judėdami priešingomis kryptimis — kas 8 min. Abiem kūnam sjudant apskritimu priešingomis kryptimis, tam tikru momentu atstumastarp jų buvo 4 2 m, o po 24 seku ndžių — 28 m. Raskite kū nų greičius irapskritimo ilgį.

417. Atstumas tarp dviejų dviratininkų, važiuojančių viena kryptimi, lygus6 km . Per m inutę vienas dviratininkas priartėja prie kito km .a) Koks atstumas tarp dviratininkų bus po 45 m in; 54 m in; 72 m in; 10 min?b) Po kiek minučių atstumas tarp dviratininkų bus 1 ^ km ; j km ?

418. Bandomajam matematikos egzaminui atsitiktinai išrinkti 49 dešimtokai.Bandomojo egzamino rezultatai pateikti lentelėje:

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10M okinių skaičius 1 2 4 5 6 8 9 6 5 3

a) Nubraižykite bandomojo matematikos egzamino rezultatų stulpelinędiagramą.

b) Apskaičiuokite bandomojo matematikos egzamino rezultatų vidurkį.c) Apskaičiuokite bandomojo matematikos egzamino rezultatų medianą.

d) Laikydami įvykių santykinius dažnius lygiais jų tikimybėms, apskai-čiuokite tikimybes įvykių:A — atsitiktinai išrinktas dešimtokas išlaikys egzam iną

(gaus ne mažiau 4);B — atsitiktinai išrinktas dešim tokas neišlaikys egzam ino

(gaus 1; 2 arba 3);C — atsitiktinai išrinktas dešimtokas išlaikys egzam iną patenk inamai

(gaus 4; 5 arba 6);

D — atsitiktinai išrinktas dešimtokas išlaikys egzaminą gerai(gaus 7 arba 8);

E — atsitiktinai išrinktas dešimtokas išlaikys egzaminą labai gerai(gaus 9 arba 10).



Pasitikrinkite

1. Yra 8 skirtingos saldainių rūšys. Kiek skirtingų galimy bių turi Asta, jeiji nori paragauti:a) du; b) tris skirtingų rūšių saldainiu s?

2. Ben as pard uotuv ėje renkasi lauko teniso raketę ir kam uoliuką. K iek skir-tingų pasirinkimo galimybių jis turi, jei parduotuvėje yra 5 firmų rakečiųir 4 firmų kamuoliukų?

3. 6 m okiniai pag eida uja kalbėti susirinkimo m etu. K eliais skirtingais būda isgalima sudaryti norinčių kalbėti sąrašą (eilės tvarka sudarant sąrašą yra

svarbi)?

4. Miesto mokinių konferencijoje dalyvauja 24 vyresniųjų klasių mokiniai.a) Keliais skirtingais būdais burtų keliu iš visų konfer enc ijos dalyvių gali

būti išrinkti mokinių tarybos pirmininkas, pavaduotojas ir sekretorius?b) Keliais skirtingais būdais iš visų konfe renc ijos dalyvių gali būti išrinkti

2 atstovai į šalies mokinių tarybą?

5. Ka lėdiniam e vaka rėlyje dalyvavo 12 draugų . Susitikę jie pasisveikino,paspausdami vienas kitam ranką ir pasikeitė atvirukais su linkėjimais.a) Kiek buvo rankų paspaudimų?b) Kiek iš viso atvirukų buvo išdalyta?

6. Aido tėvai yra turistų klubo nariai. Klub ą lanko 16 žm onių. K lubo prezi-dentas ir jo pavaduotojas renkami burtų keliu. Kokia tikimybė, kad Aidotėtis taps klubo prezidentu, o mama — pavaduotoja?

7. Triraidžiui kodu i sudaryti vartojam os 3 skirtingos raidės iš 8.a) Kiek skirtingų kodų galima su daryti?b) Kam lygi tikimybė atspėti kodą pirmuoju spėjimu?

8. Vien oje dėžėje yra 5 raudon i ir 4 balti rutuliai, sunum eruoti nuo 1 iki 9.Atsitiktinai traukiami 3 rutuliai.a) Kiek yra skirtingų galimyb ių ištraukti 3 rutulius?b) Kiek yra skirtingų galimybių ištraukti 3 raudonus rutulius?

c) Kam lygi tikimybė ištraukti 3 raudo nus rutulius?

9. Apskaičiuokite: A\2, A614 , c | 0 , c f 4 , Pą, Pį,.

130



10. Du šauliai nepriklausomai vienas nuo kito šauna į taikinį. Pirmojo šauliopataikymo tikimybė lygi 0,8, antrojo — 0,6. Kokia tikimybė, kad:a) abu šau liai pa taikys į taik inį;b) abu šauliai nepataikys į taikinį;c) pirma s šaulys pataikys, o antras — ne;

d) pirmas šaulys nepataikys, o antras pataikys į taikinį?11. D viejo se dėžėse yra vienod o dydžio, bet skirtingų spalvų rutuliai. Pirm oje

dėžėje yra 6 raudoni ir 4 balti rutuliai, o antroje — 4 raudoni, 2 balti ir 2žali rutuliai. Iš abiejų dėžių atsitiktinai ištraukiama po vieną rutulį. Kokiatikimybė, kad:a) abu ištraukti rutuliai yra raudon i;b) abu ištraukti rutuliai yra balti;c) iš pirm os dėžės ištrauktas rutulys yra baltas, o iš antros — raudonas;

d) iš pirmos dėžės ištrauktas rutulys yra raudonas, o iš antros — žalias?12. Ar pateiktos lentelės gali išreikšti kurio nors atsitiktinio dydžio skirstinį?

Jei taip — raskite jo matematinę viltį.

X 0 5 10 15 b) Y 2 4 6

P 0 ,1 0,3 0,5 0,1 P 17

37

57

c) Z - 5 0 1 5P

120 0,75 3

4 0 0,125 d) W 10 20 30P 1

3 0 ,5 16

13. Tikimybė laimėti loterijoje 50 litų lygi 0,01; 10 litų — 0,03; 5 litus — 0,2;1 litą — 0,5 ; n elaimėti nieko — 0,26 . Kokia ža idėjo išlošio m atem atinėviltis?

14. M etam os trys m onetos: 1 cento, 2 centų, 5 centų. Atsitiktinis dydis X —atvirtusių skaičiumi monetų nominalų suma. Užrašykite jo skirstinį.

15. Loterijos ratas padalytas į 5 lygius sektorius.Laimėjimo dydis litais — išsuktas skaičius.Kokia turėtų būti minimali vieno pasukimo kaina, kad lo-terija nebūtų nuostolinga žaidėjui?

16. Su kuriom is χ reikšmėmis reiškinio x 2 skaitinės reikšmės:

a) didesnės už 9 b) m ažesnės už 16c) ne didesnės už 100 d) ne m ažesnės už 64?



17. Išspręskite nelygy bę:

a) - X 2 + Ax < O b) 6x - χ2 > O c) -x

2 + 6x - 9 ^ O

d) - χ 2 + 8x - 16 ^ O e) x 2 J j 6> O f) ^ ¾ + 2 ^ O

18. Stačiakam pio gretimų kraštinių ilgių skirtumas lygus:

a) 5 cm, o šio stačiakam pio plotas yra 150 c m 2 ;b) 6 cm, o šio stačiakam pio plotas yra 135 cm 2 .Raskite stačiakampio kraštinių ilgius.

19. 24 cm ilgio žvakė degd am a sutru m pėja 2 cm per p usvaland į.a) Per kiek valandų sudegs žvakė?b) Po kiek degimo valandų žvakės ilgis bus 18 cm; 8 cm?

20. Vieno kvadrato plotas lygus 7 2 c m 2 , o kito — 2 c m 2 .

a) Kiek kartų pirm ojo kvad rato kraštinė yra ilgesnė už antrojo kvadratokraštinę?b) Raskite kvadratų perimetrus.

21. Raskite x:

22 . Ritin io ašinio pjū vio įstrižainė lygi 13 cm. Šio ritinio aukštis lygus 12 cm.Raskite ritinio:a) pagrindo plotą;b) šoninio paviršiaus plotą;

c) viso paviršiaus plotą;d) tūrį-

23. Išskaidykite dauginam aisiais:

a ) a 3 + a 2 + a + l ; b ) a 3 + a 2 - a - l .



6

SMAILIOJO KAMPOTRIGONOMETRINĖS

FUNKCIJOS1. Sm ai l iojo kam po s inusas 134

2. Smai l iojo kampo kosinusas 141

3 . Smai l io jo ka m po tan gen tas 148

4. Stačiųjų t r ikampių sprendimas 155




1 Smailiojo kampo sinusas

Aštuntoje klasėje įrodėme Pitagoro teoremą, kad stačiojo tri-kampio įžambinės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai:

C2

=a2

+ b2

. ZI U Į

Iš šitos lygybės matome, kad įžambinė yra ilgesnė už bet kurįstatinį: c > a, c > b.Taip pat žinome, kad statinis, esantis prieš 30° kampą, lygus pusei įžambinės.Vadinasi в

statinis, esantis prieš 30° ka m pą _ a_ _ \įžambinė ~~ 2a ~ 2'

Rasime statinio, esančio prieš 45° kampą, ir įžambinės santykį. Sakykime, kadZA = 45°. Kadangi ZA+ ZB = 90°, tai ZB = 45°. Taigi statusis trikampis,kurio vienas kampas lygus 45°, yra lygiašonis.Jo statinių ilgius pažymėję raide a, pagal Pitagoro teoremąrandame įžambinę: c = a j 2 .Apskaičiuojame santykį

statinis, esantis prieš 45° kampą _ a _ _į_ _ V2įžambinė ~~ a j2 ~ s/2 ~~ 2 '

Užduotis. Įrodykite, kad stačiajame trikampyje santykis

statinis, esantis prieš 60° kam pą _ V |įžam binė ~~ 2

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusuvadinamas prieš tą kampą esančio statinioir įžambinės ilgių santykis.

Kampo A sinusą žymėsime sin A. Taigi

. . _ statinis, esantis prieš kam pą As i n — įžambinė

t. y. SinA = ¾ = f .



Kadangi įžambinė yra ilgesnė už bet kurį statinį, t. y. c > a, tai | < 1. Vadinasi,sin A < 1. Analogiškai galima įsitikinti, kad sin B < 1.

Įsitikinsime, kad stačiuosiuose trikampiuose, kurių smailieji kampai lygūs, ly-gūs ir tų kampų sinusai.

Brėžinyje pavaizduoti du statieji trikampiai ABC ir A\B\C\, kurių kampai Cir C i — statieji, o sma ilieji kam pai A ir A i lygūs.

B

B\

_dA1 C 1C

Šie trikampiai yra panašūs pagal du lygius kampus, todėl

B1C 1C

~ab A1B1

t. y. sin A = sin A ι.

Vadinasi, kampo sinuso reikšmė nepriklauso nuo to, kokį statųjį trikampį nag-rinėsime. Taigi galima kalbėti apie kam po sinusą, nesiejant kam po su stačiuojutrikampiu.

Jau anksčiau įsitikinome, kad

sin 30° = j , sin 45 ° = sin 60° = ^

Beje, iš šių lygybių pastebime, kad didesnę kampo reikšmę atitinka didesnėsinuso reikšmė.

Įrodysime, kad, didėjant smailiajam kampui, to kampo sinusas didėja.

Įrodymas. Brėžinyje pavaizduoti du statieji trikampiai ABC ir A\BC, turintysbendrą statinį В С , bet nelygius prieš jį esančius ka m pus : ZBAC < ZBAiC.

B

A A1 C

K a d a n g i A C > A1C, o AB 2 = BC 2 + AC2, A xB2 = BC2 + A 1 C 2 , taiAB > AxB ir < - f į į , t.y. sin A < s i n A j .C



6 5 m m

Žinant kam po didu m ą, galima rasti to kam po sinusą ir atvirkščiai, žinant kam posinusą, galima rasti ir patį kampą.

1 PAVYZDYS. Ap skaičiuokim e sin 40° reikšmę.1. Su matlankiu nubrėžiame kampą A, lygų 40°.2. Vienoje kampo kraštinėje atidedame bet kokio il-

gio atkarpą AB, pavyzdžiui, AB = 100 mm .3. Iš taško B į kitą kampo kraštinę nubrėžiame stat-menį BC ir išmatuojame jo ilgį: BC ^ 65 mm .

4. Ap skaičiuoja me santykį ^ ^ ^ = 0,6 5. Taigi si n40 c

Pastaba. Tikslesnę sin 40 ° reik šm ę galime apskaičiuoti skaičiuoklių a rba rastivadovėlio gale esančioje lentelėje.Skaičiuoklį nustatę į padėtį „DEG" pagal schemą

0,65.

0 S in gauname 0,642787609.Vadovėlio gale esančioje lentelėje smailiųjų kampų sinusų reikšmės pateiktostūkstantų jų tikslumu. Sinusų stulpelyje randame, kad sin 40° ~ 0,64 3. Spręs-dami uždavinius, apsiribosime sinusų reikšmėmis tūkstantųjų tikslumu.

2 PAVYZDYS. Apskaičiuokime sin2 5°3 3 / remdamiesi lentele, o po to skai-čiuoklių.

Iš lentelės matyti, kad sin 25°33' reikšmė yra tarp sin 25° reikšmės 0,4 23ir sin 26° reikšmės 0,43 8. Laikysim e, kad , mažai kintant kam po reikšmei,sinusas kinta prop orcing ai kam po kitim ui. Taigi 1° kam po pok ytį atitinkasinuso 0,43 8 - 0,4 23 = 0 ,01 5 pokytis. Kai kam pas pad idėja 33 ', jo sinusaspadidėja ° ' °^ · 3 3 = 0,008.Vadinasi, sin25°33' « 0,423 + 0,008 = 0,431.Skaičiuoklių sin25°33 / skaičiuojame taip (skaičiuoklio padėtis „DEG"):

0 Sin gauname 0,431298587.Taigi sin 25 °3 3' «ί 0,431.

Pastaba. Jeigu kampo reikšmė duota radianais, to kampo sinusą skaičiuokliųskaičiuojame skaičiuoklį nustatę į padėtį , Д А О " .

Pavyzdžiui, sin j į reikšm ę skaičiuojam e taip:

2 1 5 X I N V π = sin gauname ~ 0,407;

o sin 1,2 — taip:

1 Sin gauname ^ 0,932.



3 PAVYZDYS. Nu braižykim e kam pą A, kai sin A = ir apskaičiuokim e jodidumą.

1. Nubraižome statųjį kampą MCN. д г

M

2. Vienoje kampo kraštinėje atidedame 3 ilgiovienetų atkarpą CB.

3. Iš taško B, kaip iš centro, spinduliu, lygiutokiems pat 5 ilgio vienetams, brėžiame lan-

kelį, kuris kerta kitą kampo kraštinę taške A.Sujungę taškus B ir A atkarpa gauname statųjįtrikampį ACB. Kampas A yra ieškomasis, nessin A = 3 § = 3 .4. Matlankiu išmatuojame kampo A didumą: ZA

CNB

M

MA

37c

Pastaba. Kampo A reikšmę galima rasti lentelėje, esančioje vadovėlio gale,o

arba apskaičiuoti skaičiuoklių. Stulpelyje „sin" ieškome skaičiaus 0,600(=arba mažiaus iai nuo jo besiskiriančio skaičiaus. Toks skaičius lentelėje yra0,602. Jį atitinka 37° kampas. Taigi ZA « 37°.Skaičiuoklių kampo A reikšmę randame taip (skaičiuoklio padėtis „DEG"):

0 6 INV sin 1

gauname 36,870°.

Iš tikrųjų, kam pas A yra mažesnis už 37 °. Len telėje randam e, kad sin 36° «^ 0,5 88 . Kad angi sin 37° ^ 0,60 2, tai tų kam pų 1° ( = 37° - 36°) pok ytįatitinkantis jų sinusų pokytis yra lygus 0,60 2 - 0,58 8 = 0,01 4.

Turime:

60' — 0,014,χ minučių — (0,60 2 - 0,60 0);

0,002 · 60

0,0149 (minutės).

Kadangi, kampui mažėjant, sinusas mažėja, tai ZA « 37° — 9' = 36°51 /.Skaičiuodam i skaičiuoklių buvom e gavę, kad ZA 36 ,87 °. Laipsnio dalispaversime minutėmis:

1° — 60 minučių,0,87 — χ minučių;

Taigi ZA ^ 36°52' .

χ = 0,87 · 60 = 52 .



419. Pasakykite, kas turėtų buti parašyta vietoj daugtaškių.

A M

sin A =

B K L înB =

sin К =

sin L =

420. Naudodamiesi matlankiu nubraižykite statųjį trikampį, kurio vienas kam-pas lygus:a) 34°; b) 53° ; c) ψ , d)Išmatavę reikiamas trikampio kraštines, apskaičiuokite apytiksles reikš-mes:1) s in 34 °; 2) s in 53 °; 3 ) s i n ^ ; 4 ) s i n ^ .Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.

421. Nubraižykite kampą A, kurio sinusas lygus:

a) 0,2 5; b) J ; c) *d) .

Naudodamiesi matlankiu raskite apytikslį jo didumą.

422. Įrodykite, kad jeigu A ir B yra stačiojo trikampio smailieji kampai, taisin 2 A + sin 2 В = 1.

423. Kas daugiau:

a) sin 23° ar sin6 7°; b) sin4 2° ar į; c) sin 24 ° ar į?

424. Išdėstykite didėjim o tvarka: sin 23 °, sin 41 °, sin , sin 30°, sin ^ f .

425. Naudodamiesi lentele, raskite:a) s in 20°; b) s in 70°; c) si n 35 °5 3' ; d) sin7 6° 16'.Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.

426. Naudodamiesi lentele, raskite smailiojo kampo didumą (1° tikslumu), jei-gu jo sinusas lygus:a) 0,515 ; b) 0,986 ; c) 0,584 .Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.

427. Stačiajame trikampyje ABC (ZC = 90°) BC = 5 cm, AB = 9 cm.1) Nubraižykite trikampį ABC.2) Apskaičiuokite tikslų statinio AC ilgį.3) Apskaičiuokite kampo ABC didumą 1° tikslumu.4) Apskritimas, kurio centras B, o spindulys В С , kerta įžambinę AB

taške M. Tiesė, einanti per tašką M ir lygiagreti statiniui AC, kertastatinį BC taške N. Apskaičiuokite tikslų atkarpos BN ilgį.



428. 1) Nubraižykite naturalaus dydžio stačiakampį ABC D, kurio kraštinėsAB = 6 , 4 c m , BC = 4 , 8 cm .

2) Apskaičiuokite kampo ACD didumą (1° tikslumu) ir pasitikrinkitematlankiu.

3) Nu brėžkite atkarpos A C vidurio statme nį ir jo susikirtimo su tiese ABtašką pažymėkite raide E.

4) Įrodykite, kad ZECD = 2ZACD.

429. Stačiajame trikampyje ABC (ZC = 90°): CB = 60 mm , sin B =Raskite AB.

430. Trikampio ABC kampas B lygus 70°. Kampo A pusiaukampinė ir t iesė,kurioje yra priekampio C pusiaukampinė, susikerta taške D. Apskaičiuo-

433. Konferencijoje bus skaitomi 8 pranešimai. Keliais skirtingais budais ga-lima sudaryti konferencijos pranešimų programą (sąrašą)?

434. Kiek keturženklių skaičių, neturinčių vienodų skaitmenų, galima sudarytiiš skaitmenų:a) 1, 2, 3, 4; b) 1, 2, 3, 4, 5; c) 0, 1, 2, 3; d) 0, 1, 2, 3, 4?

435. Išspręskite nelygybę:a) χ

2+ 9 < 6x; b ) ( 2 - x ) x < l ; c) IOOx2 < 1; d) χ > χ 2 .

436. Ap skaičiuokite stačiakam pio kraštines, jei jo įstrižainė lygi 25 cm , o pe-rimetras yra:

a) 62 cm; b) 70 cm.437. Parašykite lygtį tiesės, einančios per taškus:

a) A(—2; - 5 ) i r 5( 3; 5) ; b) C ( - 4 ; 7) ir D(4 ; - 1 ) .

kite ZADC.

431. α + β = ?

432. Apskaičiuokite kampą χ.



438. Trup me nos skaitiklis 2 vienetais ma žesn is už vardiklį. Jeigu prie sk aitikliopridėtume 2, o iš vardiklio atimtume 1, tai gautume trupmeną, 4,5 kartodidesnę už duotąją trupmeną. Raskite duotąją trupmeną.

439. Apie apskritimą apibrėžta stačioji trapecija, kurios šoninių kraštinių ilgiaiyra 2 4 cm ir 25 cm. Apsk aičiuokite:

a) trapec ijos perim etrą; b) trape cijos pag rindus;c) trape cijos vidurinę liniją; d) trape cijos plotą;e) trap ec ijos įstrižaines; f) apskritim o ilgį;g) kiek procentų trapecijos perimetras ilgesnis už apskritimo ilgį;h) trapecijos ploto dalį, esančią skritulio išorėje;i) trapecijos ir skritulio plotų santykį.

440. Su kuriomis JC reikšmėmis duotųjų reiškinių skaitinės reikšmės yra lygios:

a) (J C - 3) 2 + (J C + 4 ) 2 - (JC - 5 ) 2 ir 17JC + 24;b ) (JC + 5 ) 2 + (JC - 2 ) 2 + (JC - 7)(JC + 7) i r I IJC + 3 0 ?

441. Kokia turi būti kintamojo χ reikšmė, kad duotojo trinario reikšmė būtųdidžiausia?

a ) - X 2 + 7JC - 1 2; b ) - 4 J C 2 - 12JC - 9 .

442. Ap skaičiuokite skaičių 5 · I O - 5 ir 8 · I O - 4 :a) sum ą; b) skirtum ą; c) san dau gą; d) da lm enį.

Rezultatą parašykite standartine išraiška.443. Kasant šulinį, pirmojo žiedo įkasimas kainuoja 20 Lt, o kiekvieno kito —

25 Lt brang iau, negu prieš tai bu vusio.a) Parašy kite form ulę «- tojo žiedo įkasim o kaina i (litais) apska ičiuoti.b) Kiek kainuo ja 8-ojo žiedo; 12-ojo žiedo įkasim as?c) Ku rio žiedo įkasim as ka inuo ja 145 Lt; 270 Lt?d) Kiek kainuoja šešių žiedų; devynių žiedų šulinio iškasimas?

444. M aršrutu va žinėja trys autobusai kas 30 m in. Kokiu laiko intervalu va-žinėtų šiuo maršrutu penki autobusai, važinėjantys kaip ir anie tuo pačiuvidutiniu greičiu?

A 20 min B 18 min C 16 m in D 15 min E 12 min



2 Smailiojo kampo kosinusas

Užduotis. Brėžinyje pavaizduoti trys statieji trikampiai, kurių vienas kampasyra 30°, 45° ir 60°.

Įrodykite, kad:

statinis, esantis prie 30° kam po _ J įįžambinė — 2 '

statinis, esantis prie 45° kam po _ J jįžambinė — 2 '

statinis, esantis prie 60° kampo _ j_įžambinė — 2 -

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusuvadinamas prie to kampo esančio statinio irįžambinės ilgių santykis.

A stątinis b Cprie Δ Α

Kampo A kosinusą žymėsime cos A. Taigi

cos ^ _ statinis, esantis prie kam po Aįžambinė

t. y. cos A = =

Kadangi c > b, tai ^ < 1 ir cos A < 1.Remiantis stačiųjų trikampių panašumu nesunku įsitikinti, kad stačiuosiuosetrikampiuose, kurių smailieji kampai lygūs, lygūs ir tų kampų kosinusai.Anksčiau įsitikinome, kad

cos 30° = , cos 45° = co s6 0° = į

Matome, kad didesnę kampo reikšmę atitinka mažesnė kosinuso reikšmė.



Žinant kampo didumą, galima rasti to kampo kosinusą ir atvirkščiai, žinantkampo kosinusą, galima nubraižyti patį kampą ir rasti jo didumą.

1 PAVYZDYS. Ap skaičiuokim e cos 46° .

1. Su matlankiu nubraižome kampą A, lygų 46°.

2. Vienoje kampo kraštinėje atidedame bet kokioilgio atkarpą AB, pavyzdžiui, AB = 5 cm.3. Iš taško B į kitą kampo kraštinę nubrėžiamestatmenį В С .4. Išmatuo jame A C ilgį: A C « 3,5 cm.5. Ap ska ičiuojam e santykį ^ ^ ψ = 0,7. Taigi cos 46 ° ^ = 0,7.

Pastaba. Skaičiuoklį nustatę į padėtį „DEG" pagal algoritmą

3^5 _ 3,5 _

CO S gauname 0,69465837.Iš lentelės randame, kad cos 46° ~ 0,69 5.Taigi cos 46° ^ 0 ,6 9 5 .

2 PAVYZDYS. Rem dam iesi lentele arba su skaičiuoklių apskaičiuokim ecos 65°28' .

Pastebėsime, kad, kampui didėjant, kosinuso reikšmė mažėja.

Kadan gi cos 65° 0,42 3, o cos 66° « 0,40 7, tai 1° kam po poky tį atitinkakosinuso 0,40 7 - 0,4 23 = —0,016 poky tis. Kai kam pas padid ėja 28 ', jokosinusas sumažėja ~°'% 6 ' 2 8 » -0 ,0 07 . Taig i cos65°28 ' « 0 , 4 23 -0 ,0 07 == 0,416.

Skaičiuoklių cos 65 °2 8' skaičiuojam e taip (skaičiuoklio padėtis „DE G"):

cos

gauname 0,415222566 % 0,415.

T a i g i c o s 65° 28 ' ^ 0 , 415 .

3 PAVYZDYS. Nu braižykime kamp ą A, kurio cos A = | ir apskaičiuokim ejo didumą.

Kaip ir 1 skyrelio 3 pavyzdyje, nubraižome statųjįtrikampį ACB, kurio statinis AC lygus 3 ilgio vie-netams, o įžambinė — 5 ilgio vienetams.

AC ^

Kam pas A yra ieškomas, nes cos A = ^ = j .Matlankiu išmatuojame kampo A didumą: ZA « 53°.

NB

+-+-αMA С



Pastaba. Ka m po A reikšmę galima rasti lentelėje arba apskaičiuoti skaičiuoklių.Kosinusų stulpelyje ieškom e 0,60 0 arba jai artimos reikšmės. Tai skaičius0,602. Jį atitinka 53° kampas. Taigi ZA ^ 53°.Skaičiuoklių kampo A reikšmę randame taip (skaičiuoklio padėtis „DEG"):

0 6 I N V c o s 1

gauname «s 53,13°.

Iš tikrųjų, kampas A yra didesnis už 53°.

Lentelėje randame, k ad cos 54° «s 0,588.

60 minučių — (0,602 - 0,588), 0,002 -6 0 n / .χ minučių - (0,602 - 0,60 0); * = * 9 ( m m U t e S ) -

Kadangi, kampui didėjant, kosinusas mažėja, tai ZA = 53° +9' = 53°9' .

Skaičiuodami skaičiuoklių buvome gavę, kad ZA ^ 53,13°. Laipsnio dalispaversime minutėmis:

1° - 60 m inučių, -φ . x _ g 13 . 60 ^ 8'.0 ,13 — J : rainučių;

Taigi ZA «ί 53°8 '.

To paties kampo A sinusas ir kosinusas susieti lygybe:

sin 2 A -f co s2 A = 1

Iš tikrųjų, kadan gi sin A = p, cos A = tai:

9 j a2 b2 a2+ b2

sin A + cos A = - χ + = ~—c z

CZ

C1

= 1.




A, M

c o s A = ' -

C B K \ cos B -

cos К = ^

cos L = —

446. Naudodamiesi matlankiu nubraižykite statųjį trikampį, kurio vienas kam-pas yra:a) 19°; b) 70 °; c) g ; d)Išmatavę reikiamas trikampio kraštines apskaičiuokite apytiksles reikšmes:1) cos 19°; 2) c os 70 °; 3 ) c o s § ; 4 ) c o s ^ .

Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.

447. Nubraižykite kampą A, kurio kosinusas lygus:

a) 0,4 ; b) f ; *c) ψ , *d)

Matlankiu raskite jo didumą.

448. Kas daugiau:a) co s2 7° ar co s5 3° ; b) co s6 1° ar į; c) cos 58° ar ±?

449. Jeigu A ir B yra stačiojo trikampio smailieji kam pai (t. y. ZA + Δ Β =

= 90°), tai sin A = cos B; sin β = cos Α , t . y. sin(90° — А ) = cos А ,cos(90° — А ) = s in A. Įrodykite.

450. Rem dam iesi form ule cos A = sin(90° - A) įrodyk ite, kad, didėjant kam-pui A, to kampo kosinusas mažėja.

451. Patikrinkite, kad:

a) sin 2 30° + cos 2 30° = 1; b) sin 2 60° + cos 2 60° = 1;c) sin 2 4 5 ° + c o s 2 45° = 1.

452. a) Smailiojo kampo sinusas lygus 0,2. Apskaičiuokite šio kampo kosi-nusą.

b) Sm ailiojo kam po kosinusas lygus Apsk aičiuokite šio kam po sinusą.o

c) Apskaičiuokite sin α ir cos α , jeigu žinoma, kad sin α = ^co s a .

453. Naudodamiesi lentele raskite smailiojo kampo didumą, jeigu jo kosinusaslygus:a) 0,66 9; b) 0,96 7; c) 0,46 8.Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.



454. Naudodamiesi lentele raskite:a) c o s 2 7 °; b ) c o s 5 8 ° ; c ) c o s 3 7 ° 5 3 / ; d) cos7 4° 12 '.Gautą rezultatą patikrinkite skaičiuoklių.

455. Išdėstykite didėjančia tvarka:co s 3 5°, cos 2 7° , c o s ^ , c o s ^ , c o s6 0 °.

456. Suprastinkite:

ZZL1 5 '

b) sin a — sin a • cos2 a

d) sin 4 a + cos 4 a + 2 sin 2 a • cos2 a

457. Naudodamiesi lentele arba su skaičiuoklių raskite:a)s in4 6° 25 ' ; b ) s in62° 10r; c ) c o s 3 2 ° 4 5 / ; d ) c o s 5 1 ° 1 0 / .

458. Įrodykite, kad stačiajam trikampiui ABC (ZC = 90°) teisinga lygybė:

459*. Iškilojo keturkampio ABCD įstrižainėje BD pažymėtas taškas M irper jį nubrėžtos tiesės, lygiagrečios kraštinėms DC ir AD. Jos kertaketurkampio k raštines BC ir A B atitinkamai taškuose £ ir F. Įrodykite,kad EF || AC.

460*. a) KeturkampisABCD

— lygiagretainis. Kampų A ir β pusiaukampi-nės kerta tiesę, kurioje yra kraštinė DC, taškuose M ir N. Raskiteatkarpos MN ilgį, jeigu AB = a, AD = b (b > a).

b) Stačiakampio ABCD kraštinės AB = a, AD = b. Kampų A irD pusiaukampinės kerta kraštinę BC arba tiesę, kurioje yra В С ,

taškuose M ir N. Raskite atkarpos MN ilgį, kai: 1) a > b\ 2) a < b.

461. Stačiajame trikampyje ABC: ZC = 90° , ZB = 60°. Iš kam po Bišvesta pusiaukampinė yra 1 cm trumpesnė už ilgiausią statinį. Raskite

pusiaukampinės ilgį.

462. Jeigu trikampio ABC pusiaukraštinė AD lygi pusei kraštinės В С , ta itrikampis ABC yra statusis. Įrodykite.

463. Kodui sudaryti vartojamos 4 skirtingos raidės iš 9.a) Kiek skirtingų kodų galima sudaryti?b) Kokia tikimybė atspėti kodą pirmu spėjimu?

464. Ant keturių kortelių užrašytos raidės S, U, L, A. Kortelės užverčiamosir sumaišomos. Atsitiktinai viena po kitos imamos kortelės ir dedamosviena šalia kitos iš kairės į dešin ę. Apsk aičiuok ite tikimybę, kad bussudėtas žodis ALUS.

cos2 A + cos2 B = 1.



465 . Išspręskite nelygybę:

a) 4x - χ2

< 5 b) x(x + 5) - 2 > 4x

c) - 3 < 5 - 2x ^ 1 d) O ^ \x - 3 < 1

e) (4 - x2)

2(x - l)(x - 8) ^ O f) (x

2- 4x + 3)

2(x - 4)(x - 2) ^ O

466. Remdamiesi brėžiniu, raskite parabolės y = ax2 + b + c koeficientusa, b ir c:

467. Kredito grąžintiną sumą (litais) K (t) priklausomai nuo laiko t (metais)galima apskaičiuoti pagal formulę K (t) = 8000 + 720i, t < 3.a) Kokio dydžio yra kreditas?b) Apskaičiuokite kredito palūkanų normą.c) Parašykite kredito palūkanų form ulę P t priklausomai nuo laiko t (me-

tais).d) Pagal ku rią form ulę galim a būtų apsk aičiuoti kredito grąžintiną sumą

(litais) K (t) priklausomai nuo laiko t (metais), jeigu reikėtų mokėti9% metinių sudėtinių palūkanų?

e) Parašykite formulę, pagal kurią galima apskaičiuoti kredito grąžintinąsumą K (m) priklausomai nuo mėnesių skaičiaus m.

f) Parašykite formulę, pagal kurią galima apskaičiuoti kredito grąžintinąsumą K (d) priklausomai nuo dienų skaičiaus d.

468. Koks yra dviejų ritinių tūrių santykis, jeigu ritinių pagrindų spinduliųsantykis yra 1 : 2, o aukščių santykis — 1:4.

469. Suprastinkite reiškinį:

ял ы ( χ3

\ - 4 . * ч x2+y

2x+y . дг+l x+2

^ \ b ) 'd^ 1з>>

2/ '

C)F^F - 21=25;'

;T

lz^ - 2FZ2·

470*. Išspręskite lygčių sistemą:

a)x + 3 y— 2 9

2 3 - Z ' h )

4 ^ 3 '

2x —1 , 3y—2 _ 05 + 4 - A

ЗХ+L 3 Y + 2 _N

5 ~ 4 - υ ·



471. Nub raižykite fun kcijo s y = — x2 + 2x + 3 grafiką. Nustatykite:a) su kuriomis argum ento reikšm ėm is funk cijos reikšmė lygi nuliui;b) kokia didžiausia funkcijos reikšmė;c) su kuriomis argum ento reikšmėmis funk cijos reikšmės didėja; mažė-

ja ;

d) su kuriomis argum ento reikšmėmis funk cijos reikšmės yra neneigia-mos; neteigiamos.

47 2. D arbdav ys susitarė su darbinink u už pirm ą m ėnesį m okėti ja m 800 Lt,po to kas mėnesį jo atlyginimą didinant 5 Lt.a) Parašy kite darbinink o atlyginim o (litais) priklauso m ai nuo laiko (mė-

nesiais) apskaičiavimo formulę.b) Koks bus darbininko atlyginimas už dešimtąjį; penkioliktąjį; dvide-

šimtpenktąjį mėnesį; trisdešimtąjį mėnesį?

c) Už kurį m ėnesį nuo įsida rbin im o darb inink o atlyginim as bus 890 Lt;975 Lt?d) Kiek uždirbs darbininkas per 18 mėnesių; 27 mėnesius?

473*. Du aukso lydiniai, kurių vienas 950-os prabos, o kitas 800-os prabos,sulydyti su dviem g ramais gryno aukso. N au jojo lydinio masė 25 gramaiir jis yra 906-os prabos.a) Kiek gramų aukso yra nau jam e lydinyje?b) Kokia kiekvieno pirmųjų dviejų lydinių masė?

474 . Užv akar man dar buvo 14 m etų, o kitais m etais sukaks 17 m etų. Ar taipgali būti?



3 Smailiojo kampo tangentas

Užduotis. Brėžinyje pavaizduoti trys statieji trikampiai, kurių vienas kampasyra 30°, 45° ir 60°.

Įrodykite, kad:

statinis, esantis prieš 30° kampą _ У зstatinis, esantis prie 30° kampo — 3 '

statinis, esantis prieš 45° kampą _ ,statinis, esantis prie 45° kampo — '

statinis, esantis prieš 60° kam pą _statinis, esantis prie 60° kampo —

Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentuvadinamas prieš tą kampą esančio statinio irprie to kampo esančio statinio ilgių santykis.

Kampo A tangentą žymėsime tg A. Taigi

statinis, esantis prieš kampą Astatinis, esantis prie kampo A

B

A statinis b Cprie Δ Α

t· У· â

= ж = I-

Remiantis stačiųjų trikampių panašumu galima įsitikinti, kad stačiuosiuose tri-kampiuose, kurių smailieji kampai lygūs, lygūs ir tų kampų tangentai.Atlikę užduotį įsitikinome, kad

tg30° = γ - , tg45 ° = 1, t g 6 0 ° = V 3

Matome, kad didesnę kampo reikšmę atitinka didesnė tangento reikšmė.



Kai duotas kampas, galima rasti to kampo tangentą ir atvirkščiai, žinant kampotangentą, galima nubraižyti patį kampą ir rasti jo didumą.1 PAVYZDYS. Apska ičiuokime tg 64°.

1. Su matlankiu nubraižome kampą MAN, lygų 64°.2. Kampo kraštinėje AN atidedame atkarpą AC, lygią,

pavyzdžiui, 100 mm .3. Iš taško C nubrėžiame statmenį, kuris kraštinę AMkerta taške B.4. Išmatuojame BC ilgį: BC ^ 204 mm .5. Ap skaičiuojam e santykį ^ « y j^ = 2,04 .Taigi tg 64° «s 2,04.

204 mm

A I O O M M C


6 4 tan = gauname 2,050303842.Iš lentelės randame, kad tg64° 5¾ 2,050.Taigi tg64° ^ 2,050.

2 PAVY ZDYS. Re m dam iesi lentele arba su skaičiuoklių apskaičiuok imet g23°18 / .

Kadangi

tg2 3° « 0 ,424, o tg2 4° « 0 ,445,

tai 1° kampo pokytį atitinka tangento

0,445 - 0,424 = 0,021

pokytis.

Kai kam pas padidėja 18', jo tangentas padidėja ~ 0,006 .Taigi

t g23°18 / «i 0,424 + 0,006 = 0,430.

Skaičiuodami skaičiuoklių pagal schemą

2 3 + 1 8 : 6 0 = t a n gauname 0,430668039.

Taigi tg 23° 18' « 0 ,4 3 1 .



3 PAVYZDY S. Nu braižykim e kam pą A, kurio tg A = 0,81 ir apskaičiuokimejo didumą.

1. Nubraižome statųjį kampą C.

2. Vienoje kampo kraštinėje atidedame atkarpą CB,pavyzdžiui, lygią 81 mm, o kitoje kraštinėje — atkar-pą CA, lygią 100mm. Trikampis ABC — statusis,be to , t gA = = - ¾ = 0 ,81 .

3. Matlankiu išmatuojame kampo A didumą:ZA s» 39°.

81 mm

A 100 mm C


gauname 39,00747255°.OO 1 I N V t a n " 1

Len telėje tangento stulpelyje randam e 0,81. Jis atitinka 39° kampą. TaigiZA « 39°.To paties kampo A sinusą, kosinusą ir tangentą sieja lygybė:

t o л —S I N A

1 B A- COS A

Iš tikrųjų, tgA = f c _ sin AΈ. ~ cos A '

Sudarysime kam pų a , lygių 30°, 45°, 60° sin a , cos a ir t g a reikšmių lentelę:

a 30° 45° 60°

s in α 12 7 2ir 7 3T

cos a V 32

V 22

12

tg aУ з3 1 V 3




tgA = + tg tf = 5

tg β = Ξ t g ^ = ^BK

476. Naudodamiesi matlankiu nubraižykite kampą, lygų;a) 20° ; b) 70 °; c) ψ , d) g .

Apskaičiuokite šio kampo tangentą.

477. Nubraižykite kampą, kurio tangentas lygus:

a) 0,49; b) f ; c) 4; *d) - į.Matlankiu išmatuokite šio kampo didumą.

478. a) sin a = 0,2. Apskaičiuokite cos a , t g a .b) cos a = Apskaičiuokite sin a , t g a .

c) tg a = Apskaičiuokite sin a , cos a .

479. Dažnai stačiajame trikampyje nagrinėjamas statinio, esančio prie smailio-

jo kam po, ir statinio, esančio prieš sma ilųjį kam pą, ilgių santykis. Jisvadinamas to kampo kotangentu.B

Taigi ctg A = §

A statinis b Cprie Δ Α

a) Įrodykite: 1) ctg A = f f f ; 2) tg A · ctg A = 1.b) Ap skaičiuokite: ctg 30°, ctg 45 °, ctg 60°.

480. Ar gali to paties kampo α tangentas ir kotangentas būti lygūs atitinkamai:

a) į ir 0,8 ; b) § ir J ; c) 2 - Vb ir 2 + Vb; d) 3 - VŠ ir 3 + VŠ?

481. Įrodykite, kad:

a) tg(90° - a ) = c tg a b) ctg(90° - a ) = t g a

c) 1 + tg 2 a = — į- d) 1 + ctg2 a = -Ą-' ° cos1

а / о a

e) sin2 a = . t^ ? f) cos 2 a = , , } 2' 1 + tg a 1 + tg - a




a) 4 sin 30° + 6 cos 60° - 3 tg 45 °;b) 2 sin 2 45° - 4 tg 2 60° + 8 sin 2 60°;

. 2 tg 2 60°' COS2 6 0 ° - c o s 2 4 5 ° '

483. Raskite:

a) tg(90° - a), je i tga = 2,5; b) ctg(90° - a), jei ctgc* = Щ .

484. Naudodamiesi lentele apskaičiuokite:a) tg3 5° ; b) tg53 °.

485. Naudodamiesi lentele arba skaičiuoklių apskaičiuokite kampo didumą,jeigu jo tangentas lygus:

a) 0,26 8; b) 0,87 5; c) 11,25.

486*. Rem dam iesi lygybe t g a = įrodykite, kad, kam pui didėjant, tan-gento reikšmės didėja.

487. Naudodamiesi lentele arba skaičiuoklių, apskaičiuokite:

a ) tg 45 °4 0 ' ; b ) t g63°15 ' .

488. Suprastinkite:

\ sin 3 a U t g a Ctg2 a - 1 . 2 sin « c o s α - З cos a

' cos α — c o s3 a ' ' l - t g 2 a c t g a ' > 1 - 3 s i n a + s i n 2 a - c o s 2 a '

489*. Stačiojo trikampio ABC (ZC = 90°) pusiaukraštinė AD = 10cm, оpusiaukraštinė BE = cm. Apskaičiuokite įžambinės AB ilgį.

490. Ap skritimas, kurio ilgis yra 5 cm , ridenamas apie lygiakraštį trikamp į,kurio kraštinė lygi 5 cm . Kiek ka rtų apsisuk s apsk ritimas, kol grįš įpradinę padėtį?

491. Apie apskritimą apibrėžta lygiašonė trapecija, kurios perimetras lygus80 cm, o sm ailusis kam pas yra 30° . Raskite trapecijos plotą.

492*. Į lygiašonį trikampį ABC (AB = В С ) įbrėžtas apskritimas. Įrodykite,kad jo cen tras yra aukštinėje B D . Kokiu santykiu centras dalija aukštinęBD, jeigu AB = 1 cm, AC = 6 cm?

493. Iš taško M, esančio šalia apskritimo, nubrėžtos dvi liestinės, liečiančiosapskritimą taškuose A ir B. Per bet kurį apskritimo mažesniojo lankoAB tašką C nubrėžta liestinė, kertanti kitas liestines taškuose N ir P.Apskaičiuokite trikampio MNP perimetrą, jeigu AM = 2 0 c m .



494. Iš 3 karininkų ir 10 kareivių reikia sudaryti pa trulį taip, kad pa truly je būtųvienas karininkas ir du kareiviai. Kiek yra skirtingų patrulio sudarymobūdų?

495. Lentelėje pateikti ligonio temperatūros (0C ) nuo liepos 10 d. iki 20 d.duomenys:

Die no s 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempera tūra 40 ,2 40 , 4 3 8 , 6 38 37 ,6 37 , 8 37 , 7 3 7 , 4 37 ,6 37 ,2 36 ,8

Pavaizduokite duomenis koordinačių plokštumoje taškais (χ; y), kur χ— liepos m ėnesio dienos, y — ligonio temperatūra (0C). Nustatykite, arstebėti duomenys yra koreliuoti ir kaip.

496. Su kuriomis sveikosiomis kintamojo χ reikšmėmis kvadratinio trinario:

a) χ2

— 4x + 4 skaitinės reikšmės yra mažesnės už kvadratinio trinario18 — χ — χ

2 skaitines reikšmes;b) 30 — 5χ — χ 2 skaitinės reikšmės yra didesnės už kvadratinio trinario

χ2

+ χ + 10 skaitines reikšmes?

497. Raskite stačiojo trikampio statinių ilgius ir plotą, jei jo įžambinė lygi50 cm, o perimetras yra:a) 112 cm ; b) 120 cm .

498. Pirmas bankas už indėlį priskaičiuoja 12% metinių sudėtinių palūkanųkas ketvirtį, o antras — 13% metinių sudėtinių palūkanų kas pusmetį.Kuriame banke naudingiau padėti 5000 Lt dvejiems metams?

499. Prekės d idme ninė kaina 25 Lt, o maž men inė:a) 33 Lt; b) 34 Lt.Parduotuvės išlaidas sudaro PVM, o taip pat kitos išlaidos, kurios lygios25% prekės antkainio. Koks parduotuvės grynasis pelnas pardavus prekę,

jeigu pelno mokesčio tarifas 24%?

500. Su kuriomis JC reikšmėmis du otųjų trupm enų skaitinės reikšmės yra lygios:\ 3x—7 · х — Ъ . 5 + 2 x · 3 x + 3 p

Ά > "ϊ+5" 1 Γ 7+2' 3ir

T=F ·

501. Dviženklio skaičiaus vienetų skaitmuo 2 mažesnis už dešimčių skaitmenį,o šio skaičiaus ir jo ska itmen ų sum os sandauga lygi 252. Ra skite šįskaičių.

502. Grafiškai išspręskite lygčių sistemą:

« Η Γ - Γ 3 , b ) | i i f = = 25 '



503. Su kuriomis χ reikšmėmis duotosios trupmenos reikšmė lygi nuliui; sukuriomis — trupmena neturi prasmės:

' 3 ' ' x + l ' c ^ x 2 + 4 x — 1 2 ' d ) ^ 9 ·

504. Seim ai pav yko sausio mėnesį susitaupy ti 250 Lt, o kiekvieną kitą mėnesįvis 15 Lt daugiau.a) Parašyk ite form ulę sutaupy tai pinigų sum ai (litais) per bet kurį mėnesį

apskaičiuoti.b) Kiek susitaupė šeima gegužės mėnesį; lapkričio mėnesį?c) Ku rį mėnesį šeim a susitaupė 295 Lt; 355 Lt?d) Kiek pinigų susitaupė šeima per pusę metų; per metus?

505. Sandaugą parašę laipsniu apskaičiuokite:

a ) ( - 4 ) 5 · 5 5 · ( - 4 ) - 4 · 5 ~ 4 ; b) 6 6 · ( - 3 ) 6 · б " 3 · ( - З ) - 3 .

506. Rokas iš degtukų kasdien dėlioja vis naujus kvadratėlius taip, kad b uvusiokvadrato kraštinė pailginama degtuko ilgiu.

D J JU J U J J

U L L I L L U II d iena II d iena III d iena

Kiek naujų degtukų reikės Rokui vienuoliktą dieną buvusiam kvadratuipapildyti?

A 22 B 40 C 44 D 48 E 88



4 Stačiųjų trikampių sprendimas

Remiantis sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimais bei Pitagoro teorema ga-lima rasti visus stačiojo trikampio elementus (kraštines ir kampus), kai žinomi

du jo elementai, iš kurių bent vienas — kraštinės ilgis.Visų stačiojo trikam pio eleme ntų radimas, kai duoti du jo elementai, vadinamasstačiųjų trikampių sprendimu.Galimi 4 pagrindiniai stačiųjų trikampių sprendimo uždavinių tipai.

1. Žinoma įžambinė c ir smailusis kampas, pavyzdžiui, A.Kadangi ZA + ZB = 90°, tai žinodami ZA randameZB, t. y. ZB = 90° - ZA. Statinius galima rasti re-miantis formulėmis: sin Λ = cos Λ = Iš čia:a = c sin A, b = c cos A.Pastaba. Radus statinį a, statinį b galima rasti ir re-

miantis Pitagoro teorema.1 PAVYZDYS.Duota: c = 120 mm , ZA = 25°. Rasti: a, b, ZB.Sprendimas. ZB = 90° - 25° = 65°.Iš formulės sin A = | randame:a = c sin Λ = 120· s in 25° 12 0- 0,4 23 « 51 (mm).

Iš form ulės cos A = | randam e:b = cc os Л = 120-cos25° ^ 120-0 ,906 ^ 109(mm).

Statinį b galima apskaičiuoti ir pagal Pitagoro teoremą:b ъ у /1202 — 51 2 ^ 109 (mm ).

Atsakymas, α ~ 51 mm , b ^ 109 mm , ZB = 65°.

2. Žinomas statinis a ir smailusis kampas A.

ZB = 90° — ZA. Statinį b ir įžambinę c galima rastiremiantis form ulėmis: tg A = sin A = Iš čia:h — -2- c — a

u t g A ' L sin A •



2 PAVYZDYS.Duota: a = 70mm, ZA = 48° . Rasti: b, c, ZB.Sprendimas. ZB = 90° -ZA = 90° - 48° = 42°.Įžambinę c skaičiuosime pagal formulę sin A = | :

Statinįb

galima apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą:— 70 2 ~ 63 (mm ), arba pagal form ulę

Atsakymas, b « 63 mm, c « 94m m , ZB = 42°.

3. Žinomas statinis a ir įžambinė c.Iš formulės sin A = " pagal lentelę, esančią vadovėliogale, arba skaičiuoklių randame kampą A. Po to ap-

skaičiuojame kampą B: ZB = 90° — ZA. Statinį bgalima rasti iš formulės cos A = b = c cos A, arbaremiantis Pitagoro teorema.

3 PAVYZDYS.Duota: a = 2 4 c m , c = 35 cm. Rasti: ZA, ZB, b.Sprendimas. s inA = Ц « 0 ,686. Iš lentelės sinusųstulpelyje randame skaičiui 0,686 artimiausią skaičių0,682. Jis yra 43° eilutėje. Taigi ZA « 43°.

Tada ZB « 90°-43° = 47° . S ta t inį b apskaičiuojameremdamiesi Pitagoro teorema:b = χ/35 2 - 24 2 « 25,5 (cm).Atsakymas. ZA ~ 43°, ZB « 47°, b m 25,5 cm.

4. Žinom i statiniai a ir b.Apskaičiuojame tg A =Lentelėje randame kampo A didumą.

Apskaičiuojame kampą B:ZB = 90° - ZA .Įžambinę galima apskaičiuoti remiantis Pitagoroteorema: c = y/a 2 + b2.4 PAVYZDYS.Duota: a = 82 mm, b = 40 mm. Rasti: ZA, ZB, c.

8 2Sprendimas, tg A = ^ = 2 ,05.

Lentelėje randame, kad ZA « 64°.ZB ъ 9 0° - 6 4 ° = 26 °.c = ^ 8 2 2 + 4 0 2 « 91 (mm ).Atsakymas. ZA 64°, ZB « 26°, c « 91 mm .



507. Išspręskite stačiuosius trikampius:

a) ZA = 18°, AC = 10 b) ZA = 18°, BC = 10c) ZA = 62°, AB = 12 d) ZB = 25°, AC = 4,5e) ZB = 56°, BC = 6 f ) ZB = 80°, AB = 14g) a = 25, c = 42 h) a = 12, b = 32

508. Apskaičiuokite x:

509. Keturkampis ABCD — rombas, kurio AC = 10cm, BD = 14cm.Apskaičiuokite rombo kampus ir perimetrą.



510. Trapecijos m ažesnysis pagrindas lygus 2 dm , o auk štinė — 1,2 dm. Ap-skaičiuokite trape cijos plotą, jeigu jo s šoninės kraštinės pa svirusios į pag-rindą 50° ir 35° kampais.

511. Kelio atkarpos AB nuolydis yra išreiškiamasprocentais. Pirmiausia yra apskaičiuojamas san-

tykis jf įį, t. y. sin A, ir jis išreišk iam as pro-centais. Pavyzdžiui, jei keliu nuvažiavus 1 km ,pakylama į 125 m aukštį, tai kelio nuolydis yrasin A = ^ = 0,12 5 arba 12,5%.

Apskaičiuokite geležinkelio nuolydį ir nuolydžio kampą, jeigu traukinys,nuvažiavęs 1500 m, pakilo į 20 m aukštį.

512. a) Apskaičiuokite upės plotį AD remdamiesi brėžiniu:

IOm

b) Pagal brėžinio duomenis apskaičiuokite, kiek metrų elektros laido rei-kės nutiesti nuo elektros stulpo (A) iki namo (B).

Nurodymas. Iš viršūnės B nubrėžkite aukštinę BE į kraštinę AC.



513. Remdamiesi brėžiniais apskaičiuokite atstumą tarp A ir B.a) , b)

IOm 5 m

514. Terasos matmenys nurodyti brėžinyje. Apskaičiuokite terasos aukštį h.

515. Tilto per upę, kurios dugnas plokščias, matmenys parodyti brėžinyje.1) A pska ičiuok ite kiekvien os atram os auk štį (1 cm tikslum u): AB, C D,

EF, GH, JK ir LM .2) Raskite aukščiausio tilto taško nuotolį iki upės dugno.

516. Pagal brėžinio duomenis apskaičiuokite bokšto aukštį (CD).

C



Nurodymas. 1) Pažymėkite CE = χ .

2) Išreikškite BE ir AE χ-o funkcija.3) Apskaičiavę χ raskite bokšto aukštį.

517. Įbrėžtinis kampas a (a < 90°) remiasi į apskritimo stygą, kurios ilgis a.Raskite apskritimo spindulį.

518. AB, AC — apskritimo liestinės,AO = 12 ,5cm, R = 4 c m .Apskaičiuokite Δ B A C.

С

519. Ant stačiakampio formos biliardo stalo padėtidu rutu lia i N u M ta ip , kad NA = 25 cm,

MB = 35 cm, o AB = 90 cm . Ža idėjas nori surutuliu N pataikyti į M mušdamas trajektorijaNCM (ANCA = ZMCB).Apskaičiuokite kampo NCA didumą.

520. Keturkampis ABCD — stačiakampis, kurio AB = 7 , 2 c m , BC = 5 , 4 c m .1) Nubraižykite šį stačiakampį ir jo įstrižainę AC.2) Apskaičiuokite kampą ACD.3) Iš įstrižainės vidurio iškelkite statm enį ir jo susik irtimo su kraštine B C

tašką pažymėkite raide E.4) Įrodykite, kad AAEC yra lygiašonis.5) Apskaičiuokite ZAEC.

521. NCMB — stačiakampis, kurioBM = 4 c m ; AB = 9 c m .Apskaič iuoki te Z5AC.

522. Stačiakampio gretasienio pagrindas yra kvadratas.1) Raskite gretasienio tūrį ir šoninio paviršiaus plotą, jeigu gretasienio

aukštinė H, o įstrižainė pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu a..2) Ap skaičiuokite gretasienio tūrį ir šoninio paviršiaus plotą, kai a = 68° ,

H =21,5 dm .

523. Stačiosios prizmės pagrindas statusis trikampis, kurio smailusis kampas a,

o įžam binė c. Sieno s, kur i yra prieš ka m pą a , įstrižainė su pag rind oplokštuma sudaro kampą β .1) Raskite prizmės tūrį·2) Apskaičiuokite prizmės tūrį, kai c = 20 cm, a = 39°, β = 64°.

A C B



524. a) Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė a, o šoninėbriauna pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu a.1) Raskite piramidės tūrį.2) Apsk aičiuokite piram idės tūrį, kai a = 4 dm , a = 56°.

b) Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo kraštinė a, o šoninėbriauna pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu a.

1) Raskite piramidės tūrį.2) A pska ičiuok ite piramid ės tūrį, kai a = 8,5 dm , a = 65 °.

525. Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninės sienos aukštinė (apotema)lygi b. Ji pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu a.1) Raskite piramidės tūrį ir šoninio paviršiaus plotą.2) Apskaičiuokite piramidės tūrį ir šoninio paviršiaus plotą, kai

b = 24,6 dm, a = 67°.

526. Klasėje mokosi 30 mokinių.a) Ke liais skirtingais būda is gali būti išrinktas klasės seniūnas ir jo pava-

duotojas?b) Ke liais būd ais galima deleguoti tris klasės atstovus į m oky klos m okin ių

konferenciją?

527. Per tam tikrą skaičių taškų, esančių vienoje plokštumoje ir išdėstytų taip,kad nėra trijų taškų vienoje tiesėje, nubrėžtos visos tiesės, jungiančios

tuos taškus poromis. Kiek buvo taškų, jeigu nubrėžta:a) 10 tiesių; b) 21 tiesė; c) 28 tiesės; d) 55 tiesės?

528. Raskite sveikuosius duotos nelygybės sprendinius:

а )х (х + 5 )^2(х2

+ 2); b) Il - (x + I)2

^ x.


y 2 + xy = 2,a)x + 2y = 0,

J C2

+ y2

= 6 * ;b )

3y = 7.530. Raskite duotų tiesių susikirtimo taško koordinates:

a ) 2 j t — y + 4 = 0 i r j c — y — 1 = 0 ; b ) 3JC - 2y - 7 = 0 ir JC + y + 1 = 0.

531. Formule y = *fx išreikšta kvadrato k raštinės priklausomyb ė nuo jo ploto.a) Nubraižykite funkcijos /(JC) = y/x grafiką.b) Kokią prasmę turi reiškinys A^Jxlc) Su kuria teigiama л; reikšme kvadrato ploto ir šio kvadrato perimetro

skaitinės reikšmės yra lygios?d) Su kuria teigiama χ reikšme kvadrato ploto ir šio kvadrato įstrižainės

skaitinės reikšmės yra lygios?



532. Raskite aritmetinės progresijos pirmąjį narį, skirtumą ir dvidešimtąjį narį,jei jos antrasis narys lygus —4, o:a) pen ktasis narys yra 5; b) ketvirtasis narys yra —16.

533. A kcija, kurios nom inalioji vertė 25 Lt, šiandien biržoje parduo dam a už:a) 23 Lt; b) 23 ,5 Lt; c) 26 ,5 Lt; d) 28 ,5 Lt.Koks akcijos kursas, išreikštas procentais nominaliosios vertės atžvilgiu?

534. Pagal brėžinio matmenis raskite detalės:a) tūrį; *b) viso pav iršiaus plotą.

100

535. Garlaivis 210 km atstumą pasroviui nuplaukia 4 valandomis greičiau negu

prieš srovę. Raskite garlaivio savąjį greitį, jeigu upės tėkmės greitis lygus3 km/h.

536. Suprastinę reiškinius 25 : 5 3 ir ^ · ( 2 - 4 ) - 1 apskaičiuokite jų:

a) sum ą; b) skirtum ą; c) sanda ugą;d) dalm enį; e) skirtumo kvadra tą; f) kvad ratų skirtum ą;g) sumos ir skirtumo dalmenį.

537. Cechas per mėnesį gali pagaminti 200 stalų. Stalų gamybos pastoviosiosišlaidos kas mėnesį sudaro 12000 Lt, o kintamosios išlaidos vienam staluipagaminti yra 300 Lt. Po kiek litų reikia parduoti stalą, kad atsipirktųvisos cecho išlaidos realizavus:a) 160 stalų; b) 150 stalų; c) 120 stalų; d) 100 stalų.

538 . La ikrodis su rodyklėmis rodo 19 vai. 15 m in. Kok į kam pą sudaro valan-dinė ir minutinė rodyklės?

539. Egz am iną išlaikė daugiau kaip 93% m okyklos dešimtokų. Kiek m ažiausiaigalėjo būti egzaminą laikiusių dešimtokų?



Pasitikrinkite

1. Pasaky kite, kas turėtų buti parašyta vietoj daug taškių.G

sin E = — sin G = —

E F

2. Nu braižyk ite sm ailųjį kam pą A, kurio sinusas lygus:a) į; b) 0,8.

1) Matlankiu išmatuokite jo didumą.2) Apskaičiuokite kampo didumą 1° tikslumu naudodamiesi lentele.

3 . Išdėstykite didėjančia tvarka:

sin 35°, sin f , sin f , sin 70°, sin f , sin 89°.

4. Kas daugiau:

a) sin 63 ° ar b) sin 29° ar

5. Duota: CB = 3,6, AB = 6.1) Apskaičiuokite:

a) ZBAC-b) AC; C) SABC-

2) Iš kampo C nubrėžta aukštinė CD. Apskai-čiuokite CD ilgį.

6. Pasak ykite, kas turėtų būti parašyta vietoj daug taškių.

E Gcos E = — cos G = —

tg E = - tg G = ^

Nubraižykite kampą, kurio kosinusas lygus:

a) 0,6; b) į.1) Matlankiu išmatuokite kampo didumą.2) Apskaičiuokite kampo didumą 1° tikslumu pagal lentelę.

Išdėstykite didėjančia tvarka:

cos 29°, cos cos J , cos 62°, cos cos 80°.



9. Kas daugiau:

10.

11.

a) cos 29° ar b) co s6 3° ar f ?

Apskaičiuokite naudodamiesi lentele ar skaičiuoklių:

a) sin 49° b) cos 76° c) tg 3 4°d) sin 59° 8' e) cos 31°48 ' f) tg59°42 /

12.

13.

14.

15.

Suprastinkite:a) sin3 α + cos 2 α • sin a ;b) cos3 a + sin 2 a • cos a ;c) cos 3 a — sin a · cos 2 a + cos a sin 2 a — sin3 a ;d) (cos a + sin a ) 2 + (cos a — sin a ) 2 .

Trikampis ABC - statusis (ZC = 90°). Raskite AB, jei:

a) sin A = A C = 36 cm;

b) cos A = \, CB = 20 cm.

Nubraižykite kampą, kurio tangentas lygus:

a) 0,6 3; b) f1) Matlankiu išmatuokite kampą.2) Apskaičiuokite kampą naudodamiesi lentele (1° tikslumu).

a) sin α = 0,8. Apskaičiuokite cos α i r t ga .

b) cos a; = i . Apskaičiuokite sin α i r t ga .

c) tga = j2- Apskaičiuokite sin α ir cos a.

1) Apskaičiuokite k amp ą ABD2) Apskaičiuokite kampą C B D.

16. Suprastinkite:

a) (1 + s i n a ) ( t ga + c t g a ) ( l — s ina) ; b) . t g a ; c ) —

17. Apskaičiuokitea) . b)

X/

Mr D \

xXio\ 9

ΊB 12 C B D C B

5X 7 4

Ί \X



18. Akmens anglies sluoksnis pasviręs į hori-zontą 52° ka m pu. Sluoksnį gręžiant vertika-liai, reikėjo pragręžti 18,5 m. Koks akm ensanglies sluoksnio storis hl

19. Pagal brėžinyje pateiktus matmenisapskaičiuokite atstumą AB.

A 56 m

20. Apskritime nubrėžta I ilgio styga nuo apskritimo centro nutolusi atstu-mu d. Kokiu kampu ši styga matoma iš apskritimo centro? Apskaičiuo-kite kam pą, kai / = 30 cm , d = 8 cm.

21. Išspręskite stačiuosius trikampius:

35° b) b = 8, ZB = 75°d) c = 15, ZA = 42°f) a = 1, c = 2

a) a = 12, ZB =c) a = 4, c = 7e) a = 6, b = 9

22. Apskaičiuokite kampo χ didumą:118° / a

/ 92°/ b

6 2 У X

/C d

23. Trikampyje ABC (ZC = 90°) : DE = 3 , 6 c m ,

AD = 4,8 cm, DC = 3,2 cm. Apskaičiuokite:1) AB·2 ) SABC;

3) ZA£D (1° t iks lumu).Z) Ί

Ίв

24. Apie apskritimą apibrėžtas keturkampis, kurio trijų paeiliui einančių kraš-tinių ilgiai 9, 12, 6. Apskaičiuokite keturkampio perimetrą.



25. Taisyklingos keturkam pės piramidės briauna, lygi b, į pagrindo plokštumąpasvirusi kampu a.1) Raskite piramidės tūrį.2) Apskaičiuokite piramidės tūrį, kai b = 16 cm, a = 64°.

26. Raskite nelygybės sveikuosius sprendinius:

a) χ2

+ Ax + 4 < 4; b) Jt2

+ Ax + 4 < 9.27. Petraičių šeima sausio m ėnesį sutaupė 5 kW h elek tros ene rgijos, o kiek-

vieną kitą mėnesį — vis 3 kW h daugiau.a) Paraš ykite form ulę sutaupytai elektros energijai (kW h) per mėnesį ap-

skaičiuoti.b) Kiek elektros energijos sutaupė šeima liepos mėnesį; spalio mėnesį?c) Kurį mėnesį šeima sutaupė 17kWh; 38kWh?d) Kiek iš viso elektros energijos sutaupė Petraičių šeim a per pus ę m etų;

per metus?28. Raskite taškų, kuriuose kertasi funkcijų f ( x ) = χ

2— χ ir g(x) = χ + 8

grafikai:a) abscises; b) ordinates.

29. Raskite tiesės A x - 3y — 6 = 0 i r ko ordinačių ašių susikirtimo taškųkoordinates. Nubraižykite šią tiesę.

30. Su kuriom is χ reikšmėmis duotos trupmenos reikšmė lygi nuliui; su ku-

riomis — trupme na n eturi prasm ės:a t į E f ; b) g = g 7

31. Atlikite veiksmus:

a) ( 4 , 2 - ΙΟ - 4 ) · ( 5 , 0 - I O - 2 ) ; b) .

Rezultatą parašykite standartine išraiška.

32. Ag rofirma planavo apsėti rugiais 180 ha. Kasdien ap sėdam a 3 ha d augiau,negu buvo planuota, agrofirma baigė sėją 2 dienomis anksčiau.

a) Kiek hektarų planavo kasdien apsėti agrofirma?b) Per kiek dienų planavo agrofirma baigti sėją?



TRIKAMPIŲ

SPRENDIMAS1. Kampų nuo 0° iki 180° t r igonometr inės funkci jos 168

2. Sinusų i r kosinusų teoremos 174

3 . Bet kokių t rikamp ių spre ndim as 182

4. Taisykl ingųjų daugiakampių perimetrai i r plotai .Apskrit imo i lgis ir skri tulio plotas 189

Pasit ikrinkite 195

iSUĖt

7



kO

C(0;R)

B(-R; 0)χι O Χ A(R-,G)

1 Kampų nuo 0° iki 180'trigonometrinės funkcijos

Spręsdami uždavinius apie stačiuosius trikampius rėmėmės smailiojo kampotrigonometrinėmis funkcijomis. Trigonometrinių funkcijų apibrėžimą praplėsi-me ir bukiesiems kampams, kad galėtume spręsti uždavinius apie bet kokiustrikampius.Koordinačių plokštumoje nubrėžkime pus-apskritimį, kurio centras sutampa su koordi-načių pradžia, o spindulys lygus R. Nagri-nėsime kampus, kurių viena kraštinė sutam-pa su teigiamąja Ox pusaše, o kita kraštinėkerta tą pusapskritimį.

Kai kampas yra smailusis, pusapskritimio ir kampo kraštinės susikirtimo taškasyra pirmajame ketvirtyje, o kai bukas — antrajame ketvirtyje.Taigi kiekvieną kam pą atitinka vienas pusapskritimio taškas. Sakykim e, ka m pąa atitinka taškas M, kurio koordinatės yra JC ir y. Kai kampas a yra smailusis,ta i

Y JC Y

sin α = —, cos α = —, t g a = čia JC ir у — taško M koordinatės.R R x

Akivaizdu, kad šie santykiai nepriklauso nuo spindulio R, o tik nuo kampo adidumo.Panašiai apibrėšime sin a , cos a , tg a ir bukiesiems kam pam s. Pavyzdžiui, kaiβ = ZA ON , ta i

V1 χι yisin β = '— , cos β = tg β = — ·, čia jei ir ух — taško N koordinatės.

R R jeiKai spindulys OM sutampa su Ox teigiamąja pusaše, tai kampas tarp jų ly-gus 0°. Tuomet taškas M sutampa su tašku A(R\ 0) ir

SinO0 = - = 0, cos 0° = - = 1, tg 0 ° = - = 0.R R b R

Kai a = 90°, taškas M sutampa su tašku C(0; R) ir

R 0sin 90° = - = 1, cos 90 ° = - = 0,

R Ro tangentas yra neapibrėžtas, nes JC = 0, y = R.

Kai a = 180°, taškas M sutam pa su tašku B (—R ; 0) ir

0 . -Rsin 180° = - = 0, cos 180° =

R R= - 1 , tg 180° = - ^ = 0 .

— к



Kadan gi pusapsk ritimio bet kurio taško koo rdinatės tenkina lygtį χ2+y2 = R

2,

2 2y ^ O, tai sin 2 α + e o s 2 α = + = 1. Taigi lygybėteisinga su bet kuriais 0° ^ α ^ 180°.Kadangi 0 ^ y ^ R, —R ^ χ ^ R, tai 0 s in a ^ 1, —1 ^ c o s a ^ 1, kai0 ^ α ^ 180°.

6 skyriuje, spręsdami 4 49 ir 481 užd avinius įsitikinom e, kad smailiesiems kam -pams teisingos formulės:

s in 2 α + c o s 2 a = 1

sin(90° — a ) = cos α , cos(90° — α ) = sin α , tg(90° — α ) = ctg α

Kampai α ir 90° — α vadinami papildomaisiais kampais.

Suraskime ryšį tarp gretutinių kampų trigonometrinių funkcijų.Teorema. Jeigu 0° < a < 180°, ta i

sin(180° — a ) = s i n a, cos(180° — a ) = — c o s a

Jei, be to, a φ 90°, ta i

tg(180° — a ) = - t g a

Šios form ulės ir puslapio viršuje įrėmintos form ulės vadinam os redukcijos for-mulėmis.

Užduotis. Apskaičiuokite 120°, 135° ir 150° kampų sinuso, kosinuso ir tan-gento reikšmes.

Redukcijos formulių įrodymasNagrinėsime 3 atvejus: 1) α < 90°; 2) α = 90°; 3) α > 90°.1) Brėžinyje pavaizduoti kampai Z N O M = a ir Z.NOM\ = 180° - a ,Δ Μ \Ο Ν \ = a. ANOM = AN\OM\, nes jie turi lygias įžambinės ir lygiuskampus prie jos. Iš šių trikampių lygumo išplaukia, kad

MN = M iNh ON = ON h t. y.y = y i , χ = — χ ι . Todėl

У 1s i n ( 1 8 0 ° - a ) = ^ = ^ =

c os (1 8 0° - a ) = ^ = ^

У

MI(XUY 1)180°

M(Xiy)sin a , / \ 180° - A / K

[ aX= — cos a . N1 O N

x

Iš šių lygybių gauname:

sin(180° — a )tg (1 80 ° - a ) =

cos(180° — a)

s i n a

cos α- t g a .



2) Kai α = 90°, patikriname, kad sinusui ir kosinusui gautos formulės yrateisingos. (90° kampo tangentas neegzistuoja!)

3) Kai α > 90°, tai β = 180° - α < 90°. Kam pui β pritaikome sinusoredukcijos formulę: sin(180° — β ) = sin β , t. у.

sin (180° — (180° — α)) = sin(180° — α ) a rb a s i n a = s i n ( 1 8 0 ° - a ) .

Taigi matome, kad formulė sin(180° — a) = sina teisinga ir tuo atveju, kaikampas α yra bukas. Analogiškai galima įsitikinti, kad formulės cos(180° ——a) = — cos a , tg(180° — a ) = — tga teisingos, kai kampas α yra bukas.

Lentelėje surašytos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° ir 180° kampųsinuso, kosinuso ir tangento reikšmės.

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

sin 0 1Ί

V2T

V3T 1 У з V2

~T12 0

cos 1 V32

V22

12 0 1

2V22

V32

- 1

tg 0 л/3 1 V 3 — - V 3 - 1 V3"X 0


540. Apskaičiuokite:o

a) cos a , tg a , jei si n a = 90° < a < 180°;

b) s ina , tga , j e i cosa = —

c) s ina , cosa , j e i tga = —

541. Naudodamiesi lentele arba skaičiuoklių raskite nurodytų kampų trigono-metrinių funkcijų reikšmes:

a) 100°; b) 160°; c) 175°.

542. a) Apibrėžkite kotangentą bukajam kampui.b) Ap skaičiuokite ctg 90° . Kodėl neegzistuoja kotangentas 0°, 180°?c) Įrodykite, kad ctg(180° — a ) = — ctg a .

543. Naudodamiesi lentele arba skaičiuoklių raskite kampą a:

a) c o s a - —0,707; b) t g a = —0,7; c) ctg a = —4.



544. Apskaičiuokite:a) co s4 5 ° + s in 45 ° - cos 120° - 2 sin 135°;b) sin 120° · tg 60° - cos 150° · tg 30° - 2 sin 150° · cos 120°;c) sin f + cos f - tg + \ ctg įL ;

d) sin I f - c o s ^ - c o s i f - 2 sin J .

545. Nubraižykite kam pą α, kurio:a ) s ina — b) cosa = —0,6; с) tga = —2; d) ctg a -- — 0,5.

546. Nustatykite sandaugos ženklą:

a) sin 1 18 °· cos 100° b) tg 92° · cos 102°c) cos 118° -Sinl lS 0 · tg 118° d) sin 151° · c tg95°

547. Suprastinkite:

a) sin(90° - a ) - cos(180° - a ) + tg(180° - a ) + ctg(90° - a ) ;b) sin(7r — a) + cos (§• — <*)— tS ( j ~ a ) ~ ctSC 7r — a ) ·

548. Apskaičiuokite si n a , co s a , t g a , jei ctg a = —2.


a) jei si n a = į , 90° < a < 180°;

b) sin « + 2 COS a · { { = 1' cosa—3 sina ' J ь 2 '

c> tg g +c tg« ' J e i co s a = - 0 , 4 .


a) cos ^ + cos jQ + cos + cos

b) cos 2 ^ + cos 2 ^ + cos 2 % + cos 2

551. Suprastinkite:a) cos 2 α + cos 2 α tg 2 α; b) ; c ) tg 2

a - sin2 α tg 2 a .

/ cos

2

a—cos

4

a

7

°552*. Brėžinyje pavaizduoti du taške M besilie-

čiantys apskritimai. AB ir CD —jų bend-ros liestinės (A, B, C, D — lietimosi taškai),A C = a, BD = b.Raskite trapecijos BDCA šoninės kraštinėsilgį·Nurodymas. Per lietimosi tašką M nubrėžkite abiem apskritimams bend-

rą liestinę ir įsitikinkite, kad jos atkarpa tarp liestinių AB ir CD yratrapecijos vidurinė linija.



553. Du apskritimai, kurių centrai 0\ ir O 2, liečiasi iš išorės taške A . Pe rtašką A nubrėžta tiesė kerta abu apskritimus taškuose β ir C. RaskiteR\ : R2, jeigu 2 AB = AC (čia Rx ir R2 — apskritim ų spinduliai).

554. Trikampis ABC — lygiakraštis. Apskritimas, kurio skersmuo А С , o cen t-ras O, kerta kraštinę B C taške D . Spin dulyje O C atidėkite atkarpą

CE = О С . Įrodykite, kad:1) taškas D yra kraštinės BC vidurio2) tiesė DE- apskritimo liestinė;3) DE JL AB.4) Apskaičiuokite DE, jeigu AB = a.

555. Brėžinyje OB || DC. Raskite atkarposilgį, jeigu apskritimo spindulys R.

556. 1) Duota: atkarpa c bei kampai a ir β .

/ а

Nubraižykite trikampį ABC, kurio ZA = a, Δ B = β , AB = с ,

naudodamiesi:a) m atlankiu ir liniuote su pad alom is; b) skriestuvu ir liniuote.

*2) Kiek tokių trikampių galima nubraižyti priklausomai nuo c, a ir β

reikšmių?

557. Apskaičiuokite rombo kampus, jei jo perimetras lygus:a) 40 cm, o aukštinė yra 5л/3 cm;

b) 16V 3 cm, o aukštinė yra 6 cm.558. Mokykloje mokosi 49 dešimtokai, iš kurių 24 merginos. Keliais būdais

iš šių dešimtokų galima išrinkti merginos ir vaikino porą vakaro vedan-čiaisiais?

559. Visi klasės dešimtokai baigdami mokyklą apsikeitė fotonuotraukomis.Kiek klasėje buvo dešimtokų, jeigu apsikeitimui prireikė iš viso:a) 650 fotonuo traukų; b) 870 fotonu otraukų ?

560. Iškilajame daugiakampyje nubrėžtos įstrižainės, kurių iš viso yra 20.a) Kiek kraštinių turi daugiakampis?b) Kokia šio daugiakampio visų vidaus kampų suma?

ikas;

•C D



561 . Su kuriomis χ re ikšmėmis t rupmenos r e ikšmės yra :

a) teigiamos; b) neigiam os; c) neteigiamos; d) neneigiam os?

562 . Skalb imo m ašina kainu oja 120 0 Lt. P erkant ją išsimokėtinai pradin is įna-šas yra 700 Lt ir 2 metus reikia mokėti mėnesinius įnašus po:a) 25 Lt; b) 30 Lt.

Kokia skalbimo mašinos pirkimo išsimokėtinai paprastųjų palūkanų nor-m a?

563. Įrodykite tapatybę:

Ė S : įS? = а ф -5,а ф Ъ ,а ф -Ъ ,а ф 0·,

b)1 +2 a+a

2' IO-IOa

2 = 2(1 +a2)' α φ - Ι , α φ Ι .

564. Viena iš atkarpų, gauta susikirtus trikampyje pusiaukraštinėms, lygi 6 cm.

Kokio ilgio yra ta pusiaukraštinė, kurios dalis yra 6 cm?565. Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis lygus 13, o geometrinis vidurkis yra 5.

Raskite tuos skaičius.

56 6. Jona s ir Petras drauge nup jov ė pievą per 2 valandas. Petras vienas šiąpievą galėjo nup jauti trimis valan dom is greičiau negu Jonas. Per kieklaiko šią pievą galėjo nupjauti Jonas ir per kiek Petras?


а ) л3

= 2-х ; b) χ2+4 = X

3.

568 . Išspręskite nelygybių sistemą:ч ί χ — 4 ^ 5 — 2x, ,4 J 5 — 3JC > 8 — x,

a)\3-2x <7 + x;

jU^lO-Jt.

569 . Apskaičiuokite skaičių 3 · IO 2 0 ir 6 · IO 2 2:a) sum ą; b) skirtu m ą; c) san dau gą; d) dalm enį.Rezultatą parašykite standartine išraiška.

570. Įrodykite, kad trikampis, kurio viršūnės A(2; 0), B(— 4; 3) ir C(—1; —3),yra lygiašonis.

571. Krepšinio komandos startinio penketuko žaidėjų amžiaus vidurkis buvo23,6 metų. Pakeitus vieną žaidėją perspektyviu devyniolikamečiu, aikš-telės žaidėjų amžiaus vidurkis tapo 22,8 metų. Kokio amžiaus žaidėjasišėjo iš aikštelės?

572. Atstumas tarp dviejų dviratininkų, važiuojančių plentu, lygus 35 km. Vie-no dv iratininko greitis 12 km /h, kito — 15 km /h. Kok s atstum as tarp dv i-ratininkų bus po 2 valandų (išnagrinėkite visus galimus atvejus)?



2 Sinusų ir kosinusų teoremosTrikampio plotą, kai žinoma kraštinė a ir į ją nubrėžtaaukštinė h, galima apskaičiuoti pagal formulę S = âh.

aIšmoksime skaičiuoti trikampio plotą, kai žinomos dvi trikampio kraštinės irkampas tarp jų.

Teorema. Trikampio plotas lygus dviejų kraštinių ilgių ir kam po tarp jų sinusosandaugos pusei, t. y.

A

SABC — \absinC

C a B

Duota: AAB C, BC = a, AC = b, Z C . įrodyti: SABC = \absinC.

Įrodymas. Galimi trys atvejai: 1) ZC = 90°; 2) ZC < 90°; 3) ZC > 90°.1) Kai Z C = 90° , nesunku patikrinti, kad formulė S = âb sin C a

yra teisinga. Iš tikrųjų,

- a b s i n 90° = Iab-I = \ab = S.2 2 2

C a BTaigi gavome gerai žinomą formulę stačiojo trikampio plotuiskaičiuoti, kai žinomi abu jos statiniai.

2) ir 3) atvejus nagrinėsime kartu.Brėžinyje pavaizduoti du trikampiai ABC, kurių vieno kampas C yra smailus,o kito — bukas.

A A

Z QC D B D C a B

Iš viršūnės A nubrėžkime aukštinę h į kraštinę BC arba jos tęsinį.

Pagal kampų C ir (180° — Z C ) sinusų apibrėžimą turime : sin C =

sin(180° — C ) = į, t. y. h = b sin C ir h = £s in(180° — C ) =bsinC.Abiem atvejais: S = į a • h = ^ f l b s i n C .



Remdamiesi ką tik įrodyta trikampio ploto formule įrodysime teoremą, siejančiąvisas tr ikampio kraštines ir kampus.

Sinusų teorema. Trikam pio kraštinių ilgiai proporcingi prieš jas esan čių kam -pų sinusams, t. y.

A

a _ b csin A sin B

—

sin С

B a C

Duota: А А В С , AB = с , AC = b, В С = a. Įrodyti: Щ А = щ в = SET-

Įrodymas. Jau įrodėme, kad: S = âb sin С , S = ^bc sin A, S = âc sin B.

Iš p irmųjų dviejų lygybių gaunam e ^ a b s in С = ^bc s in A. Iš čia =

= I š p i rmos ios i r t rečiosios lygybių i šp lauk ia , kad ^ g = ^ ^ .

Sprendžiant tr ikampius dažn ai reikalinga ir teorem a, siejanti tr ikampio kraštinesir kampų kosinusus.

Kosinusų teorema. Trikampio kraštinės ilgio kvadratas lygus kitų dviejų kraš-tinių ilgių kvadratų suma i minus d vigubai tų kraštinių ilgių ir tarp jų esančiokampo kosinuso sandaugai:

AO 1 = b2 + c2 -2bccosA, (1)

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B, (2)

c 2 = a2 +b2 - 2abcosC. (3 )

Įrodymas. Pastebėsime, kad iš vienos formulės lengvai gaunama kita formulė

atlikus raidžių a, b, c, A, B, C ciklišką keit imą, parodytą schemoje.

Todėl įrodysime tik vieną formulę, pavyzdžiui, C 2=U 2+ b2 — 2abcos C.Tr ikampyje ABC kampas C gali būti: 1) statusis; 2) smailusis; 3) bukasis.



1) Kai ZC = 90°, formulė c2 = a2 + b2 - 2abcos C yra teisinga. Iš tikrųjų,a2+b2- 2ab cos C = a2 + b2 - 2ab • 0 = a2 + b2 = c1.Taigi, kai ZC = 90°, įrodoma formulė virsta Pitagoro teorema. Todėl kosi-nusų teorema kartais vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.

A2) Jeigu kam pas C — smailusis, tai trikam pyje ABC

yra dar bent vienas smailusis kampas, pavyzdžiui, ZB.Iš viršūnės A nubrėžę aukštinę AD gauname du sta-čiuosius trikampius ACD ir ABD.

с / \ h/ \

Г D \B a C

2 _ u2 _ r r > 2Iš stačiojo trikampio ACD randame CD = b cos C ir AD l — b1 — CD z,o iš trikampio ABD randame c2 = AD 2 + DB2 = AD 2 + (a - CD)2 == AD 2+a —2aCD+CD 2. Į šią lygybę įrašę CD ir AD 2 išraiškas gauname:

c2 = b2 - CD 2 +a2 - 2 ab cos C + CD 2 = a2 +b2 - 2 ab cos C.

3) Sakykime, kad kampas C yra bukasis.Iš viršūnės A nubrėžę aukštinę AD gauname du sta-čiuosius trikampius ACD ir ABD. Iš trikampio ACD:AD 2 = b2-C D 2 ir CD = b c o s ( 1 8 0 ° - C ) = -b cos C.Iš tr ikam pio AB D:

c2 = AD2 + BD2 = AD 2 + (a + CD)2.

Į šią lygybę įrašę AD 2 ir CD išraiškas gauname:

CD 2 + a2 + 2a(-b cos C) + CD 2 = a2 + b2 - 2ab cos C.

Iš kosinusų teoremos išplaukia, kad lygiagretainioįstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratųsumai:

AC2 + BD 2 = AB2 + BC2 + CD 2 + AD 2

Sakykime, keturkampis ABCD — lygiagretainis. Trikampiams ABC ir ABDtaikome kosinusų teoremą:

AC 2 = AB2 + BC2 - 2AB • BC cos B,

BD 2 = AB2 + AD 2 -2AB • AD cos Α .

(D

(2)

Kadangi cos В = cos(180° - А ) = - cos A (ZA + ZB = 180°), В С = AD irAB = CD, ta i sudėję (1) ir (2) lygybes gauname:

A C 2 + BD 2 = AB2 + BC2 + C D 2 + AD2 = 2 (AB2 + BC2).



57 3. Ap skaičiuokite plotą:a) trikam pio, kurio kraštinių ilgiai yra 12 cm ir 8 cm, o kam pas tarp jų

lygus 135°;b) lygiašonio trikam pio, kurio šoninė kraštinė lygi 10 cm, o kampas prie

pagrindo yra 39°.57 4. a) Įrodykite, kad lygiagre tainio plotas lygus jo kraštinių ilgių ir kam po

tarp jų sinuso sandaugai,b) Apskaičiuokite lygiagretainio ABCD plotą, kai AB = 13, BC = 8,

o ZA = 68° .

57 5. 1) Įrodykite, kad stačiakam pio plotą S galima apskaičiuoti pagal form u-lę S = γ s i n a ; čia d — stačiakampio įstrižainės ilgis, o α — kampas

tarp įstrižainių.*2) Įrodykite, kad iškilojo keturkampio plotą S galima apskaičiuoti pagal

formulę S = jd\d2sma·, čia d\ ir d2 — įstrižainių ilgiai, o α —kampas tarp įstrižainių.

57 6. Re m dam iesi sinusų teorem a įrodyk ite, kad:a) jeigu trikampio du kampai lygūs, tai trikampis yra lygiašonis;b) trikampyje prieš didesnį kampą yra ilgesnė kraštinė, o prieš ilgesnę

kraštinę yra didesnis kampas.

577*. Remdamiesi kosinusų teorema:a) įrody kite, kad jei trik am pio ilgiau sioji kra štinė c tenk ina sąryšį:

1) c2 < a2 + b2, tai trikampis yra smailusis;2) c2 = a2 + b2, tai trikampis yra statusis;3) c2 > a2 + b2, tai trikampis yra bukasis;

b) nustatykite trikampio rūšį pagal kampus ir apskaičiuokite didžiausiątrikampio kampą, jeigu jo kraštinės yra:

1) 17, 8, 15; 2) 17, 8, 16; 3) 17, 8, 10.578 . Įrodyk ite, kad bet kuriam trikam piui ABC (AB = c, AC = b, BC = a )yra teisingos lygybės:a = b cos C + c c o s B ;b = c cos A + a cos C ;c = a cos B + b cos A.

579. 1) Remdamiesi trikampio ploto, kai žinomos dvi kraštinės ir kampastarp jų, formule įrodykite, kad kampo A pusiaukampinės ilgį galima

apskaičiuoti pagal formulę. _ 2b e cos jla - b+c •

2) Apskaičiuokite la, kai b = 8 cm, c = 5 cm, ZA = 98°.



580. a) Rem dam iesi kosinusų teorema įrodykite, kad trikam pio ABC pusiau-kraštinės m a ilgis skaičiuojamas pagal formulę

m2 _ b2+c2+2bccos Ama — 4Nurodymas. 1) Pusiaukraštinę m a = AD pratęskite ir atidėkite atkarpąDE = m a. 2) Įrodykite, kad keturkampis ABEC — lygiagretainis.

3) Trikampiui ABE pritaikykite kosinusų teoremą pastebėdami, kadZABE = 180° - ZBAC.

b) Apskaičiuokite m a, kai b = 12cm, c = 9c m, ZA = 156°.581. Apie tr ikampį ABC (AB = c, BC = a, CA = b) apibrėžtas apskritimas,

kurio spindulys yra R. Įrodykite, kad ^ f = = = 2 R .

Nurodymas. Nagrinėkite tris atvejus: 1) trikampis yra statusis; 2) trikam-pis yra smailusis; 3) trikampis yra bukasis, ir iš vieno kampo viršūnės

nubrėžkite apskritimo skersmenį.1) ^ 2)

582. Į apskritimą, kurio centras O, įbrėžtas trikampis ABC.Iš centro išvestas statmuo į kraštinę BC kerta apskritimątaške D. Įrodykite, kad:1) ZBCD = f ;

2) DC = 2 R sin f , C E = 2 R sin j • cos j· ,

BC = 2 R sin A;

3) sin A = 2 sin j • co s j .

583. Duotas trikampis ABC (AB = c, BC = a, AC = b).1) Remdamiesi trikampio ploto formule S = įbcs in A ir 581 uždaviniu

įrodykite, kad trikampio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę S =apie trikampį ABC apibrėžto apskritimo spindulys.čia R

2) Įrodykite, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys r 2 Sa+b+c'

584. Trikampio ABC plotas lygus 16cm 2 . Apskaičiuokite kraštinės AB ilgį,jeigu A C = 5 cm, BC = 8 cm ir kam pas C yra:

a) smailus; b) bukas.



585*. Trikampio ABC kraštinės AB = c, BC = a, AC = b.

а) 1) Įrodykite, kad sin 2 A = (a+b+c)(a+b-c)(b+c-aKc+a-b).

Nurodymas. Remkitės formulėmis9 9 ij2

sin A = I - cos A ir cos A = —2) Sakykime, 2p = a + b + c. Įrodykite, kad

sinA = į z f p i p - a)(p - b)(p - c)._bc

3) Įrodykite, kad SAB c = f p ( p - a)(p - b )(p - c).(Ši formulė vadinama Herono formule.)

b) Apskaičiuokite plotą trikampio, kurio kraštinių ilgiai yra:1) 16 cm, 9 cm, 11 cm; 2) 10 cm, 10 cm, 16 cm.

586*. a) Raskite apie trika mpį ap ibrėžto ir į jį įbrėžto ap skritim ų spin du lius,kai:

5) a = 2У З, ZA = 60 °, Z C = 9 0° 6) a = 25, sin A = į, ZC = 90°

b) Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi 13 cm, o aukštinė — 5 cm.Raskite apie šį trikampį apibrėžto ir į jį įbrėžto apskritimų spindulius.

587. Į sta tų jį trikam pį ABC, kurio įžambinė AB yra 13 cm, įbrėžto apskritimospindulys lygus 2 cm. Raskite kam po A tangentą. Apsk aičiuokite kam poA reikšmę 1° tikslumu.

588. Keturkampės piramidės pagrindas yra stačiakampis, kurio įstrižainė ly-gi d, o kampas tarp įstrižainių — a. Šoninės piramidės briaunos pa-svirusios į pagrindo plokštumą lygiais kampais β . Raskite piramidėstūrį.

589. Stačiakampio gretasienio įstrižainė lygi d ir pasvirusi į pagrindo plokš-tum ą kam pu a. Ka mp as tarp pagrin do įstrižainių lygus β. Raskite

gretasienio tūrį.

590. K ūgio sudaro m oji pasvirusi į pagrin do plokštum ą kam pu a . Į kūg iopagrindą įbrėžto trikampio kraštinė lygi b, o prieš ją esantis kampas β .

Raskite kūgio šoninio paviršiaus plotą.

591. Lygiagretainio ABCD kraštinės CD vidurio taškas M sujungtas su vir-šūne B. Atkarpa BM kerta įstrižainę AC taške N.Raskite: a) BN : NM; b) AC : NC.

592. D uotos trys atkarpos. Skriestuvu ir liniuote anubraižykite trikampį ABC, kurio kraštinės t bAB = c, BC = a, AC = b. c ,

1) a = 26, b = 28, c = 303) a = 8, b = 10, c = 14

2) a = 15, b = 13, c = 44) a = 8, ZA = 30°, ZC = 900



593. Duota: atkarpos a ir b; kampas a.

α

b

1) Skriestuvu ir liniuote nubraižykite trikampį ABC, kurio BC = a,AC = b, ZA = a.

*2) Kiek tokių trikampių galima nubraižyti priklausomai nuo a, b ir areikšmių?

Nurodymas. Atskirai tirkite atvejus, kai a < 90° ir kai a > 90°.

594. Ant penkių kortelių užrašyti skaitmenys 1, 2, 3, 4, 5. Kortelės užverčia-mos ir sumaišomos. Vieną po kitos atsitiktinai atverčiame dvi korteles irgauname dviženklį skaičių.a) Kiek yra iš viso tokių skaičių?b) Kurie iš įvykių yra vienas kitam priešingi:

A — gautas skaičius yra 5 kartotinis;B — gautas skaičius sudėtinis;C — gautas skaičius pirminis;D — gautas skaičius nelyg inis;E — gautas skaičius lyginis;F — gautas skaičius nesidalija iš 5?

c) Apskaičiuokite visų išvardytų įvykių tikimybes.

595. Kiek yra trikampių, ku rių perim etras lygu s 15 cm , o kraštinių ilgiai iš-reikšti sveikaisiais centimetrų skaičiais?

596. Dėžėje yra 5 žali, 4 balti ir 3 raudoni rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę,kad atsitiktinai ištrauktas rutulys yra:a) žalias arba baltas;b) žalias arba raudonas.

597. Su kuriomis JC reikšmėmis trinario:a) J C 2 + 2JC — 2 skaitinės reikšmės yra mažesnės už trinario 2 J C 2

— 3x + 4skaitines reikšmes;

b) JC2 + 5JC - 17 skaitinės reikšm ės yra didesnės už trinario Ix1 - I x - Iskaitines reikšmes?

598. Firmos pajamos per savaitę yra 29 tūkst. litų, o išlaidos:a) 27 ,6 tūkst. litų; b) 27 ,65 tūkst. litų.

Koks firmos pelno mokestis, jeigu pelno mokesčio tarifas 29%?599. Suprastinkite reiškinį:

< 0 £ + A : » § - £ ; O ( I f ) - 2 ; d) ( g ) " 3 .




a) 2jc(JC — 3) = 7(JC — 3)

c) (JC - 4 ) 2 = 25

b) ^ ¾ + 2 = jc2 - 3x + 2

d ) T - f + 7 I = 8

601. Raskite funkcijos reikšmių sritį:

a) / ( j c ) =Jc 2 - 4

c) g (x ) = - ( x - l ) 2 + 4

b) /(j c ) = (jc - 3) 2

d) g(jc) = -jc 2 - 1

602. Aritmetinės progresijos (a n ) narius galima apskaičiuoti pagal formulę:a) a n = —7 + 2n; b) an = 5 — 0,5n .Raskite: 1) a\, d, « ю , «25; 2

)s20-

603. Stačiakampio, kurio kraštinės lygios 12 ir 5, simetrijos ašys yra koordi-

načių ašyse.1) Raskite stačiakampio:

a) viršū nių koord inate s; b) įstrižainės ilgį.2) Para šykite lygtį tiesės, einančios per priešinga s stačiakam pio viršūne s.

604. Apskaičiuokite 1 — - — Ц — .

A l B | C j D I E atsakymas kitoks

605. Dv iženklio skaičiaus dešimčių skaitmuo yra 4. Jeigu prie šio dviženk-lio skaičiaus pridėtume 27, tai gautoji suma būtų parašyta tais pačiaisskaitmenimis, tik atvirkščia tvarka. Raskite šį skaičių.

606. Ra skite rutulio sp indulį, jeig u žinom a, kad ru tulio tūris ir paviršiaus p lotasišreiškiami tuo pačiu tūrio ir ploto vienetų skaičiumi.

607. Į paukščių fermą atvežė lesalų, kurių užtektų antims 30-čiai dienų, o

žąsims — 45-iom s dienom s. Keliom s dienoms užtektų šių lesalų ir antims,ir žąsims šeriant jas ankstesnėmis lesalų normomis?

608. Atstumas tarp dviratininko ir motociklininko, važiuojančių plentu vienakryptimi, yra 3km. Dviratininko greitis yra 10 m/s, o motociklininko —54 km /h. Per kiek laiko mo tociklininkas pavys dviratininką?



3 Bet kokių trikampių sprendimas

Šeštajame skyriuje nagrinėtas stačiųjų trikampių sprendimas yra atskiras atvejis

uždavinių, kuriuos įprasta vadinti trikampių sprendimo uždaviniais.Šiame skyrelyje apskaičiuosime bet kokio trikampio elementus (kraštines irkampus), kai žinomi trys jo elementai, iš kurių bent vienas — kraštinės ilgis.

Nagrinėsime keturis trikampių sprendimo atvejus.

V

1. Žinomos dvi kraštinės a, b ir kam pas C tarp jų.Kraštinę c randame pagal formulę:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.Kampą A rasime remdamiesi formule:a2 = b2 + c 2 - Ibc cos A, cos Λ = ^ ¾ 2 " ^ -ZB = ISO

0- (ZA +ZC).

1 PAVYZDYS.

Duota: a = 14cm, b = 10cm, ZC = 70°. Rasti: c, Z A , ZB.

Sprendimas. 1) c 2 = 142 + I O 2 - 2 · 1 4 -1 0 co s7 0 ° ^ 1 9 6 + 1 0 0 - 2 8 0 - 0 , 3 4 2 =

= 200,24, c « V 20 0.24 ^ 14,2 (cm).2) cos А «Й ' ^ ¾ 0

22 t o ' 4 2 ~ ° ' 3 6 7 · Lentelėje randame, kad ZA ^ 68°.

3) ZB « 180° - (68° + 70°) = 42° .

Atsakymas, c ъ 14,2 cm, ZA « 68°, ZB » 42°.

2. Žinoma kraštinė a ir du kampai B ir C prie jos.Kadangi trikampio kampų suma lygi 180°, tai

ZA = 180° — ZB — ZC.Kraštines b ir c rasime remdamiesi sinusų teorema.

2 PAVYZDYS.Duota: a = 12 cm, ZB = 62°, ZC = 50°. Rasti: b, c, ZA.

Sprendimas. 1) ZA = 180° - 62° - 50° = 68°.

2) Pagal sinusų teorem ą = Iš čia b = Taigi b =

11,4 (cm).

Atsakymas, b « 11,4 cm, c ~ 9,9 cm, ZA = 68°.

12-0,883

~ 0 ,9273) Analogiškai c =



в

3. Žinomos trys kraštinės.Remdamiesi kosinusų teorema randame vieno tr ikampiokam po kosinusą, pavyzdžiui, C : cos C = a "tįb

ay c , o poto ir kampo C didumą.Analogiškai galima rasti ir kitus kampus, bet galima jų

ieškoti ir remiantis sinusų teorema. Suradus kampus vertapatikrinti, ar ZA + ZB + ZC = 180° (bent apytiksliai).3 PAVYZDYS.Duota: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 10 cm. Rasti: Z A , ZB, Z C .Sprendimas. 1) cos C = ^ 5 ^ 1 ° 2 = « -0 ,1 3 8 . Kadangi cos C < 0, ta ikampas C yra bukas. Lentelėje randame kampą 1 8 0 ° - Z C : 1 8 0 ° - Z C « 82°,

180° - 82° = 98°C2) cos А = = 0 ,61 ; ZA

2-5-10

3) co sf i =Patikrinimas. ZA + ZB + Z C

52 c

100

0,869; ZB « 30°.

52° + 30° + 9 8 ° = 180°.

ZB ** 30°, Z C » 98°.tsakymas. ZA 52°V

4. Žinomos dvi kraštinės a ir b ir kampas, esantis priešvieną iš jų, pavyzdžiui, kampas A.Rem dam iesi sinusų teorema apskaičiuojam e sin B =Lentelėje randame kampo B didumą.

b sin A

Priklausomai nuo a, b ir A reikšmių galimi trys atvejai:1) jeigu b s ^ A > 1, tai toks trikampis neegzistuoja;

2) jeigu = 1, tai ZB = 90

3) jeigua

b sin Л

(trikampis statusis);

< 1, tai yra du kampai: ZB\ ir ZB2 = 180cZB\, kurių

sinusas lygus tam pačiam skaičiui.Jeigu b > a, tai yra du ieškomi trikampiai. Jeigu b ^ a, tai yra vienas tokstrikampis (ZB ^ ZA ir kampas B negali būti bukasis).

Kampą C rasime pagal formulę ZC = 180° — ZA — ZB, o kraštinę c — pagalfo rm u lę c = < m £ .

4 PAVYZDYS.Duota: a = 12cm, b = 2 0 c m , ZB = 68°.Sprendimas. 1) Iš sinusų teoremos: ^ f e

12 sin 68 ° 12-0 ,927- 2 0 ~ 2 0

bukas. Vadinasi, ZA

2) Z C « 180° - 34° - 68° = 7 8°3) Iš sinusų teorem os: =

- * 21 « * 0 ·

Atsakymas. ZA « 34°, ZC « 78°, с

Rasti: ZA, ZC, с .

: J r g rand am e s in A = ^ S =

^ 0,556. Kadangi 20 > 12, tai kampas A negali būti34°.

sin C randame c =

21 cm.

a sin Csin A

12 sin 78°sin 34°



5 PAVYZDYS.Duota: a = 15 cm, b = 8 cm, ZB = 29°. Rasti: ZA, ZC, c .Sprendimas. 1) sin A = ^ B = 1 5 -s in 2 9° ^ 1 5 ^ 4 8 5 ^ q,909.

Kadangi 15 > 8, tai yra du kampai, kurių sinusai lygūs 0,909: ZAi ~ 65° irZ A 2 « 180° - 6 5 ° = 115°.

2) ZCi « 180° - 65° - 29° = 86°; ZC 2 » 180° - 115° - 29° = 3 6°.3) Ka dang i c = tai C1 « į g ^ * ^ 16,5 (cm );

~ 8 sin 3 6° 8 -0 ,5 8 8 ^ q t2 ~ sin 29° ~ "0 A 83 " ~ 9 ' 7 ^ c m ) ·

Atsakymas. 1) ZA ^ 65°, ZC «ί 86°, c « 16,5 cm ;2) ZA « 115°, Z C « 36°, c « 9,7 cm.

6 PAVYZDYS. Rasime atstumą tarp dviejų neprieinamų objektų A ir B.

Pasirenkame du punktus C ir D, iš kurių matomi abu objektai (žr. brėžinį).Išmatuojame atstumą CD i r kampus: Z A C D = a, ZBCD = β , Z CDA = γ

ir ZC D B = δ . Iš trikampio ACD (žinoma kraštinė CD ir du kampai priejos α ir y) randame kraštinę AC:

^ DC sin y D C s i n y

~~ sin(180° - (α + γ ) ) ~ sin(a + γ )'

Iš trikampio BCD randame kraštinę В С :

„ „ D C · sin 8įsin (β + δ )'

Iš trikampio ACB (žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų) pagal kosinusųteoremą randam e AB:

AB = Jac2 + BC 2 - 2 A C · В С cos(a - β ).



609. Raskite nežinomą trikampio kraštinę:a) a = 8, b = 9, ZC = 48°;b) a = 7, c = 12, Zfi = 73°;

c) b = 0,8, c = 1,5, ZA = 121°.610. Išspręskite trikampį ABC, kai duotos dvi kraštinės ir kampas tarp jų:

a) a = 50, b = 20, Z C = 100° b) a = 20, b = 10, ZC = 15°c) b = 14, c = 10, ZA = 70 ° d) a = 14, c = 21, ZB = 124°

611. Išspręskite trikampį ABC, kai duota kraštinė ir du kampai:

a) a = 12, ZB = 62°, Z C = 50° b) b = 52, ZA = 38°, ZC = 73°

c) c = 23, ZA = 24°, Z fi = 82° d) a = 30, ZA = 18°, Z f i = 96°

612. Išspręskite trikampį ABC, kai duotos trys kraštinės:

a) a = 20, b = 45, c = 50 b) a = 53, b = 48, c = 40c) a = 12,5, b = 14,8, c = 20 d) α = 125, fc = 243, c = 288

613. Išspręskite trikampį AfiC, kai duotos dvi kraštinės ir kampas prieš vienąiš jų:

a) a = 25, b = 36, Z f i = 72° b) c = 10, b = 8, ZC = 85°c) a = 10, c = 12, ZA = 110° d) a = 10, b = 8, ZA = 110°e) c = 10, b = 8, Z f i = 42° f) c = 10, b = 5, ZB = 42°

614. Remdamiesi brėžiniu raskite atstumą Afi. Apskaičiuokite šį atstumą, kaiBC = 50 m, ZABC = 54°, ZACB = 32°.

615. Iškilajame keturkam pyje ABC D: AB = 835 m, AD = 750 m, ZBAD == 60°, ZABC = 120°, ZBCD = 80°. Raskite keturkam pio ABCDperimetrą (1 m tikslumu) ir jo plotą (1 m 2 tikslumu).



616. a) Iškilajame keturkampyje ABC D: AB = 10 m, BC = 9 m , CD == 15 m, AD = 12 m, ZB = 100°. Ap skaičiuokite keturkam pioABCD įstrižaines AC, BD ir kampus,

b) Iškilajame keturkampy je ABC D: ZA = 110°, ZB = 85°, AB = 9 m ,BC = Hm, AD = 14m. Apskaičiuokite įstrižainę AC, kraštinę CD,kampus C ir D bei įstrižainę BD.

617. Nubraižykite trikampį ABC, kurio BC = S cm , AB = 5 cm ir ZCBA == 60°. Apskaičiuokite:

a) А С ; Ь ) 5 Л В С .

618. a) Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 12 cm ir 7 cm , o šoninė kraštinėpasvirusi į pagrindą 63° kampu. Apskaičiuokite trapecijos plotą.

b) Lyg iašonės trapecijos pagrindai yra 35 cm ir 21 cm, o šon inė krašti-

nė pasvirusi į pagrindą 46° kampu. Apskaičiuokite trapecijos šoninękraštinę ir plotą.

619. Lyg iagretainio gretimo s kraštinės yra 8 cm ir 15 cm, o vienas kampaslygus 75°. Apskaičiuokite:a) lygiagretainio plotą;b) lygiagretainio įstrižaines;c) kampą tarp lygiagretainio įstrižainių.

620. Iš taško M, esančio šalia plokštumos a, nubrėžtas į plokštumą a statmuoMP ir dvi pasvirosios MK ir ML. Apskaičiuokite:a) pasvirųjų ilgius;b) kampus tarp pasvirųjų ir plokštumos,jeigu MP = 15 cm, PK = 8 cm, PL = 12 cm .

621. Kvadrato kraštinė lygi 15 cm. Kiekvienam e jo k am pe išpjovus kv adratu-kus suklijuojama stačiakampio gretasienio formos dėžutė. Jos aukštis yra

2 kartus didesnis už pagrindo kraštinės ilgį. Apskaičiuokite dėžutės tūrįir paviršiaus plotą.

622. Kubo paviršiaus plotas lygus 726 cm 2 . Apskaičiuokite kubo tūrį.

623. Ritinio tūris yra 1 i. Apskaičiuokite jo spindulį ir aukštinę, jeigu jo pag-rindo skersmuo lygus aukštinei.

624. Ap skaičiuok ite kūgio tūrį, jeigu kūgio šoninis pa viršius y ra 26 cm 2 , o

sudaromoji lygi 3,8 cm.625. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra a cm, sukamas apie ašį, einančią

per trikam pio viršūnę ir lygiag rečią trikam pio kraštinei. Ap skaičiuokitegauto kūno tūrį ir paviršiaus plotą.



626 . Du šauliai neprik lausom ai vienas nuo kito šauna į taikinį. Pirm ojo šauliopataikymo tikimybė 0,75, antrojo — 0,9. Kokia tikimybė, kad:a) abu šauliai pataikys į taikinį;b) abu šauliai nepataikys į taikinį;c) pirmas šaulys pataikys, o antras — ne;

d) pirmas šaulys nepataikys, o antras pataikys į taikinį?627 . Parašyti visi galimi keturžen kliai skaičiai, sudaryti iš skaitme nų 1, 2, 3

ir 4 (skaičiuje nėra vienodų skaitmenų). Koks paties didžiausio ir patiesmažiausio skaičių skirtumas?

A 2203 B 2889 C 3003 D 3087 E 3333

628*. Duota kvadratinė lygtis:a) 6x2 + tx + 6 = 0; b) Ix 2 + tx + 32 = 0.

Su kuriomis t reikšm ėmis lygtis neturi realių spren dinių; turi vieną spren-dinį; turi du skirtingus sprendinius?

629 . Ba ldų kom plekto kain ą perkant išsimokėtinai sudaro pradinis 500 Lt įna-šas ir mėnesinės įmokos — po 60 Lt mokant:a) pusantrų m etų; b) dvejus m etus.Kokia baldų komplekto mažmeninė kaina, jeigu kaina perkant išsimo-kėtinai 25% didesnė už mažmeninę kainą?

63 0. Išsp ręskite lyg tį:a) ё 1 = =

631. Parašykite lygtį tiesės, einančios per taškus:

a) A(—2; 2) ir B( 1; 5); b) C ( - 3 ; 1) i r D(2 ; - 4 ) .

632*. Automobilis važiuoja tolygiai greitėdamas su pagreičiu 0,6 m/s 2 .a) Parašykite automobilio nuvažiuoto kelio s (metrais) formulę priklau-

somai nuo laiko t (sekundėmis).b) Įrodykite, kad bet kurių dviejų i reikšmių santykis yra lygus atitin-kamų t reikšmių santykio kvadratui.

c) Nubraižykite kelio s grafiką kintant laikui t.d) Pagal grafiką nustatykite laiką, per kurį autom obilis nuvažiavo 7, 5 m ;

15 m.

63 3. Tarp ska ičių 2 ir 14 įterpkite :a) 3 tokius ska ičius; b) 5 tokiu s skaičius,

kad jie su duotaisiais sudarytų aritmetinę progresiją.

634 . Kv adrato įstrižainės, kurios lygios 8, yra koord inačių ašyse. Parašy kitelygtis tiesių, kuriose yra kvadrato kraštinės.



635. Visos kartojimo užduotys ruošiantis egzaminui sunumeruotos nuo 1 iki147. Kiek skaičių reikėjo šioms užduotims sunumeruoti?

A 147 B 321 C 333 D 369 E 401

636. Du ūkininkai prikūlė po 420 0 cnt miežių. Vieno ūkininko miežių p lotasbuvo 5 ha ma žesnis, b et vidutinis d erlingumas 2 cnt didesnis negu kito

ūkininko.a) Koks buvo kiekvieno ūkininko m iežių plotas?b) Koks buvo kiekvieno ūkininko miežių vidutinis derlingumas?

637. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:, ( 7 · 10 1 5 ) · ( 8 · 1 0 ~ 2 5 ) . M 6 - 1 0 - 1 8

<*•> 4. 10 -2 0 ' ( 4 · 1 0 _ 1 2 ) · ( 3 · 1 0 5 ) '

638. Išskaidykite dauginamaisiais:

a) b2 - 4b3

+ Ab - 1 b) 2y - y 2 - 6JC + 9 * 2

c) b - a - a2 + b2 d) Ax2 - 2x - y 2 + y

639. Traukiniu važiuoja 737 turistai. Kiek yra traukinio vagonų ir kiek vietųvagone, jeigu visi vagonai yra užpildyti ir kiekviename vagone važiuojavienodas turistų skaičius?



4 Taisyklingųjų daugiakampiųperimetrai ir plotai. Apskritimoilgis ir skritulio plotas

Apskritimo, kurio spindulys R, ilgį skaičiavome pagal formulę

C = InR.

Skritulio, kurio spindulys R, plotą skaičiavome pagal formulę

S = Trtf2

.Šiame skyrelyje išvesime formules taisyklingųjų daugiakampių perimetramsir plotams skaičiuoti.Remdamiesi jomis bandysime pagrįsti apskritimo ilgio ir skritulio ploto for-mules. Griežtas šių formulių išvedimas remiasi ribų teorija, kuri pagrindinėjemok ykloje nenagrinėjama.

Taisyklingųjų daugiakampių perimetrai ir plotai

UŽ DA VIN YS . A pska ičiuok ite į spindu lio R apskritimą įbrėžto ir apie jįapibrėžto taisyklingųjų и-kampių perimetrus ir plotus.Duota: OA1 = R- apskritimo spindulys,A\ A2A3 . . . A n — įbrėžtas taisyklingasisn-kampis , BiB 2 B 3 . . . B n — apibrėžtas tai-syklingasis n-kampis.Rasti: Pnj, Pna , Snį, Sn3 L.Sprendimas.

Sakykime, kad A xA2 = an, B 1B2 = bn.Tuomet

ZA iOA2 = ZB1OB2 =360°

ZA1OE = ZB1OF =180°

n

Iš stačiųjų trikampių OA1E ir OB1F gauname

A1E = į = R s i n ^ . t y

B1F = I = Z j R t g i f ^ , t . y .

an = 2 R sin 180°

bn 2 К ч ж

(1)

(2)



Pavyzdžiui, kai n = 3, 4 ir 6, tai:a3 = 2 R sin 60° = Rfb, a4 = 2 R sin 45° = Rf2, a6 = 2 R sin 30° = R.

b3 = 2 R tg 60° = 2Rf3, b4 = 2 R tg45° = 2 R, b6 = 2 R tg 30° = Щ ^-.

Iš (1) ir (2) formulių išplaukia, kad

an = bn cos

Gautos form ulės sieja tris dy džius R, an ir bn. Žinant vieną iš jų galima rastikitus du dydžius.Remdamiesi (1) ir (2) formulėmis gauname:

Pn- = nan = 2 n R sin ^ (4)

Pna = nbn=2n Rtg^ (5)

Apskaičiuosime trikampių A1OA2 ir B\ OBj plotus.Remdamiesi trikampio ploto formule, kai žinomos dvi trikampio kraštinės irkampas tarp jų, gauname:

1 . 360° R2 . 360°SA 1OA2 = ÔA i · O A 2 -S in = — sin .

2 n 2 n

Remdamiesi trikampio ploto formule, kai žinoma trikampio kraštinė ir į jąnubrėžta aukštinė, gauname:

1 180°SB lOB2 = ^bnOF = R2t g — .

Vadinasi,

Sni = n-SAl oA2 = ^-nsm Ш -(6)

Sn, = n -SB1OB2 = R2ntg Ш -



Apskritimo ilgisIšvesime formulę apskaičiuoti apskritimo ilgiui, kai žinomas spindulys.Į spindulio R apskritimą įbrėžkime ir apie jį apibrėžkime taisyklinguosiusn-kam pius. Jų perimetrai skaičiuojam i pagal (4) ir (5) form ules. Su skaičiuok-lių nesunku įsitikinti, kad, didinant daugiakampio kraštinių skaičių, Pnl didėja,

o P n a — mažėja. Remiantis ribų teorija įrodoma, kad, neribotai didinant dau-giakampio kraštinių skaičių n, Pnį ir Pna artėja prie to paties skaičiaus. Tasskaičius vadinamas apskritimo ilgiu ir žymimas raide C.Nagrinėkime dabar du apskritimus, kurių spinduliai R ir R'. Apie juos api-brėžkime taisyklinguosius n-kampius ir apskaičiuokime jų perimetrų santykį:

P n a 2 n P t g ^ _ 2R

PL 2ntf'tg!^ 2 R''

Ga utoji lygybė teisinga su bet kuria n reikšm e. Kai n neribotai didinsime ,Pm artės prie C, o P n a artės prie C'. Vadinasi,

C _ 2R C C'

C~2R r t y' IR ~~ IR r

Gavome, kad apskritimo ilgio ir jo skersmens santykis nepriklauso nuo ap-

skritimo spindulio. Tas santykis žymimas graikiška raide π. Taigiįįį = JT, t. y.

C = 2kR.

Įrodyta, kad skaičius π — i rac ionalus. Archimedas ( Ш a . p r. Kr. ), skaičiuod am as į apskriti-mą, kurio spindulys lygus 1, įbrėžto ir apie tą apskritimą apibrėžto taisyklingųjų 96-kampiųperimetrus, nustatė, kad

,10 ,103 — < π < 3 — .71 70

Adrianas Mecijus XVI a . surado 7 t iksl ius skaičiaus π skaitmenis: π « Щ = 3 ,1 4 15 9 29 .. .

Šį skaičių lengva atsiminti parašius paeiliu i po du kartus tris pirm uos ius nelyg inius natū-raliuosius skaičius: 113355. Paskutiniai šio skaičiaus trys skaitmenys yra Mecijaus duotosл re ikšmės skai t ikl is , o pirmiej i t rys skai tmeny s — trupm enos vardikl is .Dabar t iniu metu yra ž inoma virš mil i jono skaičiaus π skai tmenų . Apsk r i t imo i lgio i rskersmens santykį raide π pradėjo žymėt i Leonardas Oi le r i s (1707-1783) . π — graikiškožodžio „π ε ρ ι φ ε ρ ε ι α " (per ifere ia) — pirm oji raidė.



Skritulio plotasNagrinėjant į skritulį, kurio spindulys R, įbrėžtų ir apie jį apibrėžtų taisyklin-gųjų n-kampių plotus, pagal (6) ir (7) formules galima įsitikinti (su skaičiuok-lių), kad, didinant kraštinių skaičių n, įbrėžtų į skritulį daugiakampių plotaididėja, o apibrėžtų — mažėja. Kai n neribotai didėja, tie plotai artėja prie topaties skaičiaus, kuris vadinamas skritulio plotu. Jis žymimas raide S.Kadangi Sna = R2 n tg = \P na · R, tai, n neribotai didėjant, gauname

S= \lnR • R = π R2.

2

Taigi skritulio, kurio spindulys R, plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = π R2

.


640. Taisyklingojo trikampio kraštinė lygi 6 cm. Apskaičiuokite apie šį trikam-

pį apibrėžto apskritimo spindulį ir apie apskritimą apibrėžto taisyklingojotrikampio kraštinę.

641. Ap ie apskritimą apibrėžto taisyk lingojo keturkam pio kraštinė lygi 8 cm.Raskite apskritimo spindulį ir į šį apskritimą įbrėžto taisyklingojo ketur-kampio kraštinę.

642. Apie apskritimą apibrėžto taisyklingojo šešiakampio kraštinė lygi 12 cm.Raskite apskritimo spindulį ir į šį apskritimą įbrėžto taisyklingojo šešia-

kampio kraštinę.

643. Apskritimo spindulys lygus 10 cm. Apskaičiuokite:a) į apskritimą įbrėžto ir apie jį apibrėžto taisyklingųjų penkiakampių

perimetrus ir plotus;b) į apskritimą įbrėžto ir apie jį apibrėžto taisyklingųjų dešimtkampių

perimetrus ir plotus.

644. a) Atstumas tarp lygiagrečių taisyklingojo šešiakampio kraštinių lygus24 cm. Apsk aičiuokite šešiakampio plotą,b) Atstumas tarp lygiagrečių taisyklingojo aštuonkampio kraštinių lygus

50 cm. Ap skaičiuokite aštuo nkam pio plotą.



645. Metalinę plokštelę 15 kniedžių reikia pritvirtinti prie agregato. Kniedėsturi būti vienodais atstumais išsidėsčiusios apskritime, o atstumas tarpjų c entrų 30 m m . A psk aičiuokite to apsk ritimo spindulį.

646*. a) Įrodykite, kad brėžinyje pavaizduotos nuo-pjovos plotą galima apskaičiuoti pagal for-

mulę: Snuop = ^rirm 'a

~~s i n a

O -b) Įrodykite, kad brėžinyje pavaizduotos nuo-

pjovos plotą, kai kampas a matuojamas ra-dianais, galima apskaičiuoti pagal formulę:

R2

Snuop = s in a ) .Pastaba. Praktikoje nuopjovos plotas dažnai ap-skaičiuojamas pagal formulę Snuop ~ ^b • h; čia b— nuopjovos pagrindas, o h — nuopjov os aukšti-nė.

647. 1) Apskaičiuokite plotą nuopjovos, jei skritulio spindulys yra 10 cm, ocentrinis kampas atitinkantis nuopjovą lygus: a) 52°; b)

2) Apskaičiuokite plotą nuopjovos, kurios b — 10,2 cm , o h = 6,3 cm.

648*. Raskite plotą skritulio dalies, esančios tarp dviejų lygiagrečių stygų,jeigu skritulio spindulys lygus R, o stygos iš centro matomos 30° ir 90°

kampais (du atvejai).649. Į 18 cm spind ulio skritulį įbrėžtas taisykling asis devynkampis. Apsk ai-

čiuokite plotą nuopjovos, kurią atkerta nuo skritulio šio devynkampiokraštinė.

650. A pska ičiuok ite nu opjov os plotą, jei skritulio spindu lys lygus 5 dm , ocentrinis kampas, atitinkantis nuopjovą lygus 1,2 radiano.

651. Skritulio išpjovos perimetras 28 cm, o plotas — 49 cm 2 . Raskite spindulį.

652. Į skritulį įbrėžto kvadrato kraštinė nuo skritulio atkerta nuopjovą, kuriosplotas lygus (2π — 4) cm 2 . Raskite kvadrato kraštinę.

653. Kampas tarp spindulio OM, kertančio vienetinį pusapskritimį, ir teigia-mos pusašės Ox lygus a.Raskite taško M koordinates, kai:a) OM = 2, a = 30°;

b) OM = 3, a = 90°;c) OM = 1,5, α = 135°;d) O M = U = 180°;e) OM = 5, a = 120°.



654. Apskaičiuokite lygiašonio trikampio В А С kampą prie viršūnės A, jeigušio trikampio plotas lygus plotui kvadrato, kurio kraštinė yra В С .

A

655. Apskaičiuokite plotą trikampio, kurio kraštinė lygi a, o prie jos esantyskampai — β ir γ.

656. M etamos 50 et, 20 ct ir IOct mo netos. Apskaičiuokite tikimybę įvykioA — „atsivertusių skaičių sum a lygi 6 0".

657. Nagrinėjamos trys figūros: kvadratas, kurio kraštinės ilgis yra JC, stačia-kam pis, kurio plotis yra o ilgis — | + 4, ir lygiakraštis trikampis, kuriokraštinės ilgis yra χ + 1.

1) Apskaičiuokite šių figūrų perimetrus P\(x), P2(x ) ir P3(x).2) Stačiakampėje koordinačių plokštumoje (O χ ašyje ilgio vienetas —0,5 cm, o Oy ašyje — lcm) nubraižyki te funkci jų P\(JC), P2(X) irP3(x ) grafikus d\, d2 ir d3.

3) Apskaičiuokite grafikų susikirtimo taškų koordinates.4) Rem dam iesi grafiku surašykite figūrų perimetrus did ėjimo tvarka, kai:

a) JC = 6; b) χ = 3,5.5) Nurodykite, kurios figūros perimetras yra didžiausias (priklausomai

nuo χ reikšmės).6) a) Apskaičiuokite minėtų figūrų plotus Si(X), S2(x) ir S3(x).b) Plotus parašykite didėjimo tvarka, kai χ = 3.C) Su kuria JC reikšme kvadrato plotas lygus dvigubam stačiakampioplotui?d) Su kuriomis χ reikšmėmis (JC — teigiamas) k vadrato p lotas yramažesnis už stačiakampio plotą?



Pasitikrinkite1. Apskaičiuokite:

a) c o sa , tg a , jei s i n a = 90° < a < 180°;1 4 · • · 4

b) s ina , tga , j e i cosa = —

c) s ina , cosa , j e i tga = — ;

d) s ina , cosa , t ga , j e i c tga = — j .2. Nu braižykite kam pą, kurio:

a) s i na = b) c o sa = — j , c ) tg a = —1) Kampo didumą išmatuokite matlankiu.2) Apskaičiuokite kampo didumą I 0 tikslumu remdamiesi lentele.

3. Apskaičiuokite:a) co s2 5° + cos 65° + cos 115° - sin6 5°;b) sin 35° + sin 75° - sin 105° - cos 55 °;c) s in45° · tg 135° - cos 135° · tg45° + sin 135° · cos 135°;d) cos2 25° + cos 2 65° + cos 2 115° + sin 2 65°;e) sin ^ + cos j + sin j + cos ψ - + sin ψ - + cos π ;

f) sin \ + cos jL _ sin f + cos į + sin + cos ψ ;

g) sin

2

ft + sin

2

Щ + sin

2

^ + sin

2

%· ,4. Naudo dam iesi lentele apskaičiuokite:

a) sin 112°; b) cos 132°; c) tg 156°.

5. Naudodamiesi lentele ar skaičiuoklių apskaičiuokite:

a) s i n98°50 ' b ) s i n H O 0 ^ 7 c) cos 139°52 /

d) cos 165° 1 2 ' e ) t g l 0 2 ° 4 9 / f ) t g l 6 1 ° 1 2 /

6. Nuro dykite sandaugos ženklą:a) sin 123° - tg 141° - cos 97°;b) tg 95° - cos 105°;c) cos 96° - ctg 120° - tg 152°.

7. Apsk aičiuokite plotą lygiašonio trikam pio, kurio kam pas prie pagrindolygus 51° , o šoninė kraštinė lygi 12 cm.

8. Lyg iagretainio dvi gretimo s kraštinės yra 8 cm ir 12 cm, o kampa s tarp jų

lygus 50°. Apskaičiuokite:a) lygiagretainio plotą (Icm 2 tikslumu);b) lygiagretainio įstrižaines (lcm tikslumu);c) kampą tarp lygiagretainio įstrižainių.



9. Rem dam iesi brėžiniu raskite me džio aukš-tį. Apskaičiuokite aukštį, kai d = 10 m ,a = 1 ,8m, a = 37°, β = 32°.

10. Į R spindulio apskritimą įbrėžtas trikampis, kurio du kampai yra 45° ir60°. Raskite trikampio plotą.

11. a) Trikam pio plotas lygus 9, dvi kraštinės yra 5 ir 6, o kam pas tarp jų —smailus. Raskite trečiąją trikampio kraštinę.Nurodymas. Remkitės trikampio ploto formule ir kosinusų teorema.

b) Trika m pio plotas lygus 32, dvi kraštinės yra 10 ir 8, o kam pas tarp jų— bukas. Raskite trečiąją trikampio kraštinę.

12. Raskite nežinomą trikampio kraštinę:

a) a = 10, b = 8, Z C = 52°; b) b = 12, c = 15, ZA = 63°;c) a = 25, c = 18, Zfi = 134°.

13. Išspręskite trikam pį ABC, kai duotos dvi kraštinės ir kampas tarp jų:

a) a = 25, b = 16, ZC = 125c

c) b = S, c= 15, ZA = 80°b) a = 20, b = 15, ZC = 20°d) a = 12, b = 25, ZC = 132°

14. Išspręskite trikampį ABC, kai duota kraštinė ir du kampai:

a) b = 18, ZA = 20°, Z C = 95°; b) a = 25, Zfi = 48°, ZC = 72°;c) c = 30, ZA = 25°, Zfi = 49°.

15. Išspręskite trikampį ABC, kai duotos trys kraštinės:

a) a = 14, b = 17, c = 21; b) a = 9, b = 6, c = 7;c) a = 130, b = 235, c = 298.

16. Išspręskite trikampį AfiC, kai duotos dvi kraštinės ir kampas prieš vienąiš jų:

a) a = 18, c = 25, Z C = 80°; b) b = 24, c = 18, Zfi = 74°;c) a = 14, b = 18, Z f i = 95° ; d) c = 12, a = 10, ZA = 50°.

17. Statusis trikampis sukamas apie statinį, kurio ilgis yra 12 dm. Kampasprie šio statinio lygus 30 °. Rask ite gauto suk inio tūrį ir viso p aviršiausplotą.



18. Su kuriomis χ reikšmėmis:a) trinaris — χ

2 -(- 6x — 8 įgyja teigiamas reikšmes;b) trinaris x2

— 6x + 8 įgyja neigiamas reikšmes;

c) trupmena * įgyja neneigiamas reikšmes;

d) trupmena ^2 ) 5 įgyja neteigiamas reikšmes?

19. Vaizdo kamera kainu oja 1500 Lt. Perka nt išsimok ėtinai pradinis įnašasyra 90 0 Lt ir 2 metus reikia mo kėti mėnesinius įnašus po:a) 37 ,5 Lt; b) 35 Lt.Kokia vaizdo kameros pirkimo išsimokėtinai paprastųjų palūkanų norma?


a ) Г f — 1 > f . ы j - I) 2 < (x - 3 ) 0 + 3),1 (χ + I)2 > ( χ - 4 ) ( * + 4 ) ; Ι ί + O f .

21. Suprastinkite reiškinį:») A - ^ f i Ь) Ь-ψ : ( f t - 2 ) ; c ) g į- 5 x ; d ) ^ + ^ - 3 .

22 . Tek intojas per tam tikrą laiką turėjo pag am inti 450 detalių. Viršydam asdienos normą 10 detalių, tekintojas pagamino 480 detalių jau trimis die-nomis anksčiau numatyto termino.a) Kiek detalių turėjo paga m inti tekintojas per dieną?b) Per kiek dienų tekintojas turėjo atlikti užsakymą?

23. Suprastinę reiškinius 32 · 2 ~6

ir 3- 4

· 27 apskaičiuokite jų:a) sum ą; b) skirtumą; c) sandau gą; d) dalm enį; e) kvad ratų sum ą;f) kvad ratų skirtumą; g) dalm ens kubą.

24 . Iškėlę ben drą da ug inam ąjį už skliaustų įrodykite , kad :a) 2 · IO 12 + 5 · IO 13 + 4 · IO 14 = 4,52 · IO i 4 ;b) 2 · 1 0 ~ 1 2 + 5 · I O - 1 3 + 4 · I O - 1 4 = 2,54 · 1 0 ~ 1 2 ;c) 8 · IO 9 - 6 · IO 10 - 2 • IO 11 = - 2 , 5 2 · IO 11;d) 8 · ΙΟ " 9 - 6 · I O " 1 0 - 2 · ΙΟ " 1 1 = 7,38 · 10~ 9 .

25. Pirm am e vario ir sidabro lydinyje, sveriančiame 2 kg, yra 12,5% sidabro,o antrame, sveriančiame 3kg, yra 18% sidabro.a) Kiek kilogramų sidabro yra pirmam e lydinyje?b) Kiek kilogramų sidabro yra antrame lydinyje?c) Ko kia lydinio, gauto sulydžius abu lydinius, masė ir kiek na uja jam e

lydinyje yra sidabro?d) Kiek procentų sidabro yra naujajame lydinyje?e) Kiek kilogramų kiekvieno duotųjų lydinių reikia paimti, kad sulydę

paim tas dalis gautu m e 4 k g lydinį su 15,25% sidabro?26. Važiuojant 75 km /h greičiu kelionė truko I h 2 0m in . Kiek laiko truktų

rS

kelionė važiuojant: a) 6 | % didesniu greičiu; b) 20% mažesniu greičiu?



Skyrelių „Pasitikrinkite"uždavinių atsakymai

11. a) 618 Lt; b) 955 ,08 Lt; c) 1312,38 Lt; d) 1691,13 Lt. 2. a) 6% ; b) 7%.

3. a) 444 9,98 Lt; b) 419 8,10 Lt. 4. a) Po 2 metų; b) po 3 metų.5. a) 5000 Lt; b) 7,5% ; c) 5375 Lt, 5778 ,13 Lt, 6211 ,48 Lt, 6677 ,35 Lt,

7178,15 Lt; d) 3295,25 Lt, 4586,19Lt.6. a) 209 2,60 Lt; b) 2128,80 Lt; c) 211 6,56 Lt; d) 21 41,2 3 Lt.

7. a) 2000 Lt; b) 720 Lt, 480 Lt, 240 Lt.Mokė j ima i Paskolos likutis Palūkanos Grąžinama paskola Iš viso grąžinama

(meta i) (litai) (litai) (litai) (litai)

1 6000 720 1500 2220

2 4500 540 1500 2040

3 3000 360 1500 1860

4 1500 180 1500 1680

Iš viso: — 1800 6000 7800

M okėjimai Paskolos l ikut is Palūkanos Grąžinama paskola Iš viso grąžinama

(m etai) (litai) (litai) (litai) (litai)

1 8000 1200 1600 2800

2 6400 960 1600 2560

3 4800 720 1600 2320

4 3200 4801600

20805 1600 240 1600 1840

Iš viso: — 3600 8000 11600

10. a) 150 Lt; b) 15,36% ; c) 138 Lt; d) 107,46 Lt.

11. a) 20 8,80 Lt, 177,48 Lt; b) 47,8% , 55,63% . 12. a) 31 250; b) 6250.

13. a) 3200 Lt; b) 2560 Lt. 14. a) 162000; b) 1 458 000.

15. a) 485 1 Lt; b) 4975 Lt. 16. a) 217 Lt; b) 22 3 Lt; c) 1874 Lt; d) 2536 Lt.

17. a) -12, 0; b) 0, į; c) -5, 12; d) -8, 3.

18. a) Sprendinių nėra; b) χ < — 19. a) 1; b) c) d) 81.

1



2

3. к =1,5.

5. a) Vienas sprendinys; b) du sprendiniai; c) vienas sprendinys.

6. a) χ < 2, χ > 6 ; b ) -2 ,4 < χ < -1,4; 1 ,4 < χ < 2,4;c) χ < —1, χ > 1 .

7. α < О , к < 0. 8. e) ir f).

9. Kai k < 0, fun kcija mažėja; kai k > 0 — didėja.

10. a) —1,5 — mažiausia funkcijos reikšmė;

b) 2 — didžiausia funkcijos reikšmė.

11. a), b), c) ir f). 12. a) Vieną; b) du.

13. a) [ - 5 ; 7]; b) [ - 5 ; 7] ; c) [ - 2 ; 10]; d) [- 1 0 ; 2]; e) [1; 13].



18. a) 8,5%; b) 9,5%. 19. a) 15 555 ,56L t; b) 51 85,19 Lt .

20. a) 69 938 Lt; b) 11 64 02 Lt. 21. a) 22,62 Lt; b) 57,23 Lt.

22. a) 1056,34 Lt; b) 98 6,8 4 Lt.

23. a) S = 7500 + 600i; b) S = 7500 + 6751.

24. a) (2 ; -1) ; b) (2 ; -1) . 25. a) 3; b) į.

2 6. a) 1§, 2 į ; b ) - į , 2.

27. a) 24 cm , 7 cm; b) 84 cm 2 ; c) 56 cm; d) з | | с т .

28. a) 15 cm; b) 10 cm ; c) VŠOŠcm, ^145 cm.29. a) 6 : 5 : 4; b) 27 : 25 : 23.

30. a) 5 cm; b) 65π cm 2 . 31. a) χ > 5; b) χ < 2.

15. a) χ b)

1O ί 21 X



3

1. a) (1; 0); b) (¾ 0,2 ; ^ 5, 8) , (¾ 4,8 ; « 1,2) ; с) (¾ 2,8; ^ 2,8),(¾ -2 ,8 ; ^ -2 ,8) ; d) (¾ -3 ,6 ; ^ 3 ,6) , (¾ 2 ,8 ; « 0 ,9) .

2. а) (1 ; f ) ; b) ( - 2 ; 5), (5; - 2 ) ; с) (2; -2 ) ; d) (5; - 1 ) , ( - 3 ; -5) ; e) ( - 1 0 ; 8 ) ,( -10; -8) , (10; -8) , (10; 8) ; f ) (1 ; 5), (5; 1).

3 . a) Taip; b) taip. 4. 9 ir 10. 5. Per 10 h, per 15 h.

6. Keleivinio traukinio greitis yra 70 km /h, o prekinio — 50 km/h.

7. 7 m χ 8 m . 8. 5 cm , 12 cm, 30 cm 2 . 9. - 5 ir - 1 0 arba 10 ir 5.

12.a ) . У 1 b) ( -oo ; 0 ] ;

c) didžiausia reikšmė yra 0, m ažiausia 9;didžiausia reikšmė yra 0, ma žiausia 16;didžiausia reikšm ė yra —1, m ažiau sia 9;didžiausia reikšm ė yra —1, m ažiau sia 4.

13. 8400 Lt; 9000Lt. 14. a) 10; b) 15; c) į.15. a) -4; b) 9; c) x4 - y 4 ; d) n4 - m 4. 16. a) 12 cm; b) 9 cm.

17. a) 9 cm , 12 cm ; b) 108 cm 2 ; c) 2 : 3; d) 216тг cm 2; e) 324л- cm 3 . 18. 7 kg.

3



4

1. a) χ < —2, χ > 1; b) JC ^ — 1, JC ^ 5; с) —2 < JC < 2.

2 . а) ( - о о ; - 1 ) , (5 ; +o o) ; b ) ( - 1 ; 2 ,5 ); с) 1; d ) (1 ; 17 ,5); e) ( - 2 ; 2 ) ;f ) ( - o o ; 2 ), (2; +o o) ; g ) ( - o o ; 0 ) , (0 ; +o o) ; h ) ( - o o ; - 8 ) , (8 ; +o o) ;

i) [0; 4 ] ; j ) [ - § ; § ] ; k ) ( - o o ; - 1 ) , (16§ ; +o o ) ; 1) ( - o o ; ( l į ; + o o ) .

3. [0; 4].

4. a) 25 JC 2 + 1 - I O J C = (5JC - I ) 2 > 0; b) 1 + 36JC 2 - 12JC = (6JC - I ) 2^ 0.

5 . 5. 6 . C .

7. E.

8. (2; 3).9 . B .

1 0 . a) [—4; —3), (2; 3]; b) (—1; 1], [2; 3).

11. a) ( - 3 ; 3]; b) [7; 10).

1 4 . a) 25 000 Lt; b) 22 500 Lt.

1 5 . a) 10%; b) 20%.

1 f , α ϊ i i i · M * - ! · fl2-8 . д 2 + 910. a) x _ 4 , b) c) α 2 + 3 , а) д 2 _ 8 .

17. a) 9 cm , 12 cm , 15 cm; b) 54cm 2 ; с) 7,5 cm; d) 3 cm; e) 7, 2c m ; f) 7,5 cm.

1 8 . а) 4 : 9; b) 8 : 27.

1 9 . а) 20; b) 12; с) 40; d) 60.

2 0 . 400 g.



5

1. a) 28; b) 56.

2. 20.3. 720.

4. a) 12 144; b) 276.

5. a) 66; b) 132.* _ L° · 2 4 0 '

7. a) 336 ; b)

8. a) 84; b) 10; c) į .9 . A 4

2 = И 880; A6

u = 2 162 160; C| Q = 15 504; C f 4 = 3003; P 4 = 24;P 6 = 720.

10. a) 0,48; b) 0,08; c) 0,32; d) 0,12.

11. a) j į; b) j į; c) į; d) į .

12. a) Taip; EX = 8; b) ne; c) taip; EZ = 0,45; d) taip; EX = 18±

13. 2,3.14. X 0 1 2 3 5 6 7 8

I) 1 1 1 1 1 1 1 1r 8 8 8 8 8 8 8 8

15. 2,2 Lt.

16. a) JC < - 3 , JC > 3; b) - 4 < Χ < 4 ; c) - 1 0 ^ Χ ^ 10; d) Χ ^ - 8 , Χ ^ 8.

17. a) χ < 0, χ > 4; b) 0 < χ < 6; c) χ = 3; d) χ = 4;

e) - 2 ^ χ ^ 3, χ > 7; f) χ ^ 1, 2 ^ χ < 3.18. a) 10 cm, 15 cm ; b) 9 cm, 15 cm.

19. a) Per 6h ; b) po 1,5 h, po 4 h .

20. a) 6; b) 24%/2 cm, 4V 2 cm.

21. a) 1; b) 3.

22 . а) 6,25тгст2 ; b) бО лтст2; c) 72,57rcm 2; d) 75лгст3 .

23. a) ( a + 1)(<я

2

+ 1); b) ( a + l )

2

( a — 1).



I . sin E = g f , sin G = f g . 2. 2) а) я» 24 °; b) ^ 53 °.

3. sin f , sin 35°, sin J , sin sin 70°, sin 89°.

4. a) sin6 3° > b) sin2 9° <

5. 1) a) « 37° ; b) 4,8 ; c) 8,6 4; 2) 2,8 8.

6. c o s E = f g , c o s G = g f , t g £ = t g G =

7. 2) a) ^ 53 °; b) ^ 37°. 8. cos 80°, cos 62°, cos f , cos f , cos f , cos 29°.

9. a) cos 29° > ψ ; b) cos 63° < į.10. a) 0,755; b) 0,242; с) 0,675; d) 0,858; e) 0,850; f) 1,711.I I . a) sin a ; b) cos a ; c) cos a — sin a ; d) 2. 12. а) 60 cm; b) 12л/5сш .13. 2) а) ^ 32°; b) ^ 30°.

14. a) co sa = 0 ,6 , tg a = b) s in a = tg a =5 19

c) sin a = cos a = .

15. 1) « 27°; 2) ^ 29°. 16. a) c tg a ; b) sin a ; c) sin 2 a .

1 7 · a ^ x = čosW * U ' 3 ; b ) * = I S T F ~ 6,3 ; c) JC = 4 + 3 tg 4 7 ° «« 7,2; d) Nurodymas. Kadangi ZABC = 180° - 50° - 38° = 92°,tai trikampis ABC nėra status. Iš kampo A nubrėžkite trikampio aukšti-nę AD. Trikampis ADB- statusis. Tada χ = ^ f f «s 5 ,544.

18. h = 18 ,5s in38 ° ^ 11 ,4m.19. AB = 5^η8θο8° ~ 52 ,7m. Nurodymas. Iš kampo A nubrėžkite aukštinę

ir nagrinėkite du stačiuosius trikampius.

20. a, kur tg f = į ; a % 124°.

21. a) ZA = 55°, b = 12 tg3 5° ^ 8,4, c = » 14,7;

b) ZA = 15°, a = 8tg 15° « 2,1, c = ^ 8 2 + 2 ,1 2 « 8,3;c) b = V 33 » 5,7, sinA = ZA «s 35°, ZB ^ 55°;

d) ZB= 48°, a = 15 sin 42 ° « 10; b = N /125 « 11,2;e) c = V Ū 7 « 10,8 , tg A = f , ZA « 34° , ZB ъ 56°.

22. 88°. 23. 1) 10cm; 2) 24cm 2 ; 3) » 53°. 24. 30.25. 1) V = § 6 3 since co s 2 a ; 2) « 471 cm 3 .26. a) - 3 , - 2 , - 1 ; b) - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0.27. a) Pn = 3n + 2; b) 23kWh, 32kWh; c) gegužės mėn., gruodžio mėn.;

d) 75kWh, 258 kWh.28. a) -2, 4; b) 6, 12. 29. (0; -2), (1,5; 0).

30. Trupmenos reikšmė lygi nuliui, kai: a) χ = 0; b) χ = — 5.Trupmena neturi prasmės, kai: a) χ = —3 ir χ = 3; b) χ = 0 ir χ = 5.

31. a) 2,1 · I O - 5 ; b) 5 · 10~ 3 . 32 . a) 15 ha; b) per 12 d.



7

2.

a) co sa = —4, t g a :19

c o s a = — JJ ; d) s inaа)

У y

3

Γ Υ- 5 0 5 * - 2 - 1 0 2x

л о q

— j ; b ) s in a = 5 , tg a = — c) s i n a2_

/ 5 '

b) c)T s '

c o s a =

- 7 ! ' t g a = - 2 .

_5_1 3 '

У

3

- 5 - 4 0 5 χ

2) а) « 37° arba 143°; b) 120°; c) « 143°.3. a) 0; b) 0; c) - į ; d) 2; e) 1; f) 0; g) 2.

4.

5.

6.

7.8.

9.

10.

-0 ,669; c ) Rs -0 ,4 4 5 .

0,864; c) Ri -0,765; d)

a) Ri 0,927; b) я

a) Ri 0,988; b)f ) « - 0 , 3 4 0 .

a) Teigiama; b) teigiama; c) neigiama,

«ί 70 ,4 c m 2 .

a) Ri 7 4 c m 2 ; b) Ri 9cm, Ri 18 cm ; c) R

d s ina s in β . ^ ™ -a + ή φ Γ β ) ' ~ 3 8,5 m .

7?2У б s in 75°2

-0 ,967; e ) Ri -4 ,396;

63c

11. а) л/13 Ri 3,6 ; b) y/2 60 Ri 16,1.

12. a) « 8 , 1 ; b ) « 14 ,3 ; c) « 3 9 ,7 .

13. a) c « 36,6, ZA « 34 °, ZB Ri 21° ; b) c « 7,8 , ZA « 119°c) a Ri 15,7, ZB Ri 30°, ZC Ri 70°; d) c Ri 34,2, ZA Ri 15°

14 я Ϊ / Я — — 18 sin 20° ^ z t j _ 18s in9 5° ,1 4 . a ) Z t f - 0 5 , a - s i n 6 5 o ~ 0 , 8 , c - s i n 6 5 o -

Ri 2 1 , 4 , C =2 5 s i n 7 2

ZB

ZB

41°;33°.

IV) / 4 — 60° h —25 sin48C

Dj ZA - OU , ΰ - s i n 6 Q osin 60°

13,2, b =30sin49cr \ /C — 1 0 6 ° n — 30 sin 25°C) Z C - I O b ,a - sin 106o ~ " - -^ Π 06

15. a) ZA Ri 41°, ZB Ri 54° , ZC Ri 85°; b) ZAZ C « 51°; c) ZA Ri 25°, ZB Ri 49 °, Z C Ri 106°.

19,8;

* 27,5;

Ri 23 ,6.

Ri 87°, ZB 42°,



16. a) sinA = 1 8 s ^ 8 q o , ZA « 45°, ZB ъ 55°, b = «s 20,8

b) s inC = 1 8 У 4 ° , Z C « 46° , ZA « 60° , α = ^ 7 4 ° «s 21 ,6

c) sinA = 1 4 sįn8

9 5°, ZA « 51°, Z C «s 34°, с = 1 8 ^ f f « 10,1

d) s in С = 1 2 y , Z C i « 67°, Z C 2 » 113°, ZB1 % 63° , ZB2 » 17°L 1 _ 1 2 s i n 6 3 ° ~ i i £ v. _ 12s in 17° ^ o 8

- s in67 ° ~ U ' 6 ' 2 - sin 113° ~ 3 ' 8 ·

17. 192л- dm 3 , 144л: dm 2 .

18. a) (2; 4); b) (2; 4); c) [1; 2], (3; +oo); d) (-oo; 2], (3; 5).

19. a) 25%; b) 20%.

20. a) ( - 8 , 5 ; - 6 ] ; b) (5; 16].

21· a) 5 ¾ ; b) į; с) d) 3 ¾ .

22. a) 30; b) per 15 d.23. a) b) į; c) į; d) l į; e) į3 ; f) į ; g) 3§ .25. a) 0,2 5 kg; b ) 0 ,54 kg; c) 5 kg, 0 ,79k g; d) 15,8%; e) 2 kg ir 2 kg.

26. a) 1 h 15 min.; b) 1 h 40mi n .



TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ REIKŠMIŲ LENTELE

Laipsniai sin t g C O S Laipsniai sin t g C O S

0 0,000 0,000 1,0001 017 017 1 ,000 46 0 ,71 9 1 ,036 0,6952 035 035 0,999 47 731 072 6823 052 052 999 48 74 3 111 669

4 070 070 998 49 755 150 6565 0,087 0,087 0,996 5 0 0,766 1,192 0,6436 105 105 995 51 777 235 6297 122 123 993 5 2 788 280 6168 139 141 99 0 53 799 3 27 6029 156 158 9 88 54 809 376 58810 0 , 174 0 , 176 0,985 55 0 ,81 9 1 ,428 0,57411 191 194 982 56 829 483 55912 208 213 978 57 839 540 545

13 225 231 974 58 848 600 53014 24 2 249 970 59 857 664 51515 0,259 0,268 0,966 60 0,866 1,732 0,50016 2 7 6 287 961 61 875 804 48 517 292 306 956 62 883 881 4 6 918 309 325 951 63 891 1,963 45 419 326 344 9 4 6 64 899 2,050 4 3820 0,342 0,364 0,940 65 0,906 2 , 145 0,42321 358 384 934 66 914 246 40722 375 4 0 4 927 67 921 356 391

23 391 424 921 68 927 475 37524 407 445 914 69 9 3 4 605 35825 0,423 0,466 0,906 70 0,940 2,747 0,34226 438 4 8 8 899 71 946 2,904 32627 454 510 891 7 2 951 3,078 30928 469 532 883 73 956 271 29229 485 5 5 4 875 74 961 487 27630 0,500 0,577 0,866 75 0,966 3,732 0,25931 515 601 857 76 970 4 ,01 1 24232 530 625 848 77 974 4 ,33 1 225

33 545 649 839 78 978 4,705 20834 559 67 5 829 79 9 82 5,145 19135 0,574 0,700 0 , 819 80 0,985 5 , 671 0 , 17436 588 727 809 81 988 6 ,31 4 15637 602 754 799 82 990 7 ,11 5 13938 616 781 788 83 993 8 ,144 12239 629 810 777 84 995 9 ,51 4 1054 0 0,643 0,839 0,766 85 0,996 11,430 0,08741 656 869 755 86 998 14,301 0 7 0

4 2 6 6 9 900 743 87 999 19,081 05 243 682 933 731 88 999 28,636 0 3 24 4 695 966 719 89 1,000 57,290 01745 0,707 1 , 000 0,707 90 1,000 O O 0,000



Documents

Matematika 10. I Dalis (2002) by Cloud Dancing