Matematika 1

6 dalis

Analizinės geometrijos elementai. Antrosios eilės kreivės. Antrosios eilės paviršiai.

2

Plokščiųjų kreivių lygtys Dekarto koordinačių sistemoje

• Plokščiosios kreivės lygtis Dekarto koordinačių sistemoje yra bet kurio kreivės taško koordinates x ir y siejanti lygtis f(x,y) = 0 arba y = f(x).

• Plokščiosios kreivės: apskritimas, elipsė, hiperbolė ir parabolė – yra reiškiamos antrojo laipsnio lygtimis, todėl jos yra vadinamos antrosios eilės kreivėmis.

• Išvardytos kreivės yra visos antrosios eilės kreivės – kitų iš esmės skirtingų antrosios eilės kreivių nėra.

3

Apskritimo kanoninė lygtis• Apskritimu vadinama tokia kreivė, kurios kiekvienas taškas yra vienodai nutolęs nuo žinomo taško, vadinamo apskritimo centru. • Jei bet kurį apskritimo tašką pažymėsime M(x,y), centrą – C(a,b), o atstumą nuo C iki M, vadinamą apskritimo spinduliu, pažymėsime R, tai iš apibrėžimo gausime, kad |CM| = R arba |CM|2 = R

2 :

• Jei apskritimo centras yra koordinačių pradžioje O(0,0) tai apskritimo lygtis tokia:

x−a 2 y−b2 = R2.

x2 y2

= R2.

4

Apskritimo liestinės lygtis• Apskritimo x2+y2=R2 liestinės L, einančios per apskritimo tašką M0(x0,y0), lygtis yra tokia:

• Įrodymas. Kreivės y = f(x) liestinės, išvestos per tos kreivės tašką M0(x0,y0), lygtis yra

• Išdiferencijavę apskritimo lygtį, gauname: 2x+2yy' = 0, arba y' = - x/y. Taigi, taške x0 išvestinės reikšmė yra f '(x0) = - x0/y0. Įrašome į liestinės lygtį:

• Lygiai taip pat apskritimo liestinės lygtis sudaroma ir bendruoju atveju.

x0 x y0 y = R2.

y = y0 f ' x0x− x0.

y = y0−x0

y0

x−x0 ⇔ x0 x y0 y = x02 y0

2= R2.

x0−a x−a y0−b y−b = R2.

5

Elipsė• Elipsė vadinama tokia kreivė, kurios kiekvieno taško atstumų iki dviejų žinomų taškų F1 ir F2, vadinamų židiniais, suma yra pastovi.

• Pažymėkime M(x,y) bet kurį elipsės tašką ir Dekarto koordinačių sistemą parinkime taip, kad Ox ašis eitų per židinius F1 ir F2, o koordinačių pradžios taškas O dalytų atstumą F1F2 = 2c pusiau. Tuomet F1(-c, 0) ir F2(c, 0) .• Pagal elipsės apibrėžimą |F1 M|+|F2 M| = 2a = const. Kadangi a > 0 ir c > 0, ir trikampio F1F2M dviejų kraštinių suma yra didesnė už trečiąją, tai 2a > 2c, arba a > c.

6

Elipsės kanoninė lygtis• Pagal elipsės apibrėžimą arba

• Tai ir yra elipsės lygtis. Ją galima pertvarkyti į paprastesnį pavidalą.

• Kadangi a > c , tai a2 – c2 > 0. Pažymėję a2 – c2 = b2 ir abi lygties puses padaliję iš a2b2, gausime kanoninę elipsės lygtį:

∣F1M∣∣F 2M∣= 2a ,

xc2 y2

x−c2 y2

= 2 a.

a2−c2

x2a2 y2

= a2a2

−c2.

x2

a2y2

b2= 1.

7

Elipsės savybės• Kanoninės lygties kairėje pusėje abu nariai yra neneigiami, ir jų suma lygi vienetui, todėl

Taigi visi elipsės taškai yra šiame stačiakampyje.

• Abu kintamieji į lygtį įeina antruoju laipsniu, todėl elipsė yra simetriška abiejų koordinačių ašių ir koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

• Elipsės susikirtimo su koordinačių ašimis taškai vadinami elipsės viršūnėmis: A1(-a, 0) , A2(a, 0), B1(0, -b) , B2(0, b).

• Skaičius 2a = |A1A2| vadinamas elipsės didžiąja ašimi, o 2b = |B1B2| - mažąja ašimi (a > b). Skaičius a – didžioji pusašė, b – mažoji pusašė. Taškas O vadinamas elipsės centru.

x2

a21,

y2

b21 ⇔ −axa , −b yb.

8

Elipsės savybės• Elipsės ištęstumą apibūdina santykis ε = c/a, vadinamas elipsės ekscentricitetu. Kadangi a > c, tai ε < 1.

• Iš lygybės matome, kad a esant pastoviam, o b didėjant, ekscentricitetas mažėja ir bus lygus nuliui, kai a = b. Šiuo atveju abu židiniai sutaps su elipsės centru, ir elipsė virs spindulio a apskritimu.

• Kuo ε didesnis (bet mažesnis už 1), tuo elipsė labiau ištęsta.

• Jei elipsės lygtyje a < b, tai elipsės židiniai yra Oy ašyje.

=ca

=a2

−b2

a= 1−

b2

a2 .

9

Elipsės liestinės lygtis• Elipsės liestinės L, einančios per elipsės tašką M0(x0,y0), lygtis sudaroma panašiai, kaip apskritimo. Išdiferencijavę elipsės lygtį, gauname:

• Įrašome į bendrąją liestinės lygtį:

• Bet taškas M0(x0,y0) priklauso elipsei, todėl jo koordinatės tenkina elipsės lygtį. Taigi elipsės liestinės L lygtis yra tokia:

y = y0−b2 x0

a2 y0

x−x0 ⇔x0 x

a2 y0 y

b2 =x0

2

a2 y0

2

b2 .

2 x

a2 2 y y '

b2 = 0 ⇔ y ' =−b2 x

a2 y⇔ f ' x0 =−

b2 x0

a2 y0

x0 x

a2y0 y

b2= 1.

10

Elipsės liestinės lygtis• Jei elipsės pusašės yra a ir b, o centras – taškas M1(x1,y1), tai elipsės lygtis yra

• Šios elipsės liestinės, išvestos per lietimosi tašką M0(x0,y0), lygtis yra ši:

x0−x1x− x1

a2

y0− y1 y− y1

b2= 1.

x− x12

a2 y− y1

2

b2 = 1.

11

Hiperbolė• Hiperbole vadinama tokia kreivė, kurios kiekvieno taško atstumų iki dviejų taškų, vadinamų židiniais, skirtumo modulis yra pastovus.

• Dekarto koordinačių sistemą parinkime taip, kad Ox ašis eitų per židinius F1 ir F2, o koordinačių pradžios taškas O dalytų atstumą F1F2 = 2c pusiau. Tuomet F1(-c, 0) ir F2(c, 0). Jei M(x,y) - bet kuris hiperbolės taškas, tai pagal hiperbolės apibrėžimą, ||F1 M|-|F2 M|| = 2a = const (a < c).

12

Hiperbolės kanoninė lygtis• Įrašę atstumų |F1 M| ir |F2 M| išraiškas, gausime hiperbolės lygtį

• Ją galima pertvarkyti į paprastesnį pavidalą.

• Kadangi a < c , tai c2 – a2 > 0. Pažymėję c2 – a2 = b2 ir abi lygties puses padaliję iš a2b2, gausime kanoninę hiperbolės lygtį:

xc2 y2

−x−c2 y2

=±2a.

c2−a2

x2−a2 y2

= a2c2

−a2.

x2

a2−y2

b2= 1.

13

Hiperbolės savybės• Iš kanoninės lygties išeina, kad x2/a2 ≥ 1, todėl |x| ≥ a. Taigi visi hiperbolės taškai yra srityje x ≤ -a ir x ≥ a.

• Abu kintamieji į hiperbolės kanoninę lygtį įeina antruoju laipsniu, todėl elipsė yra simetriška abiejų koordinačių ašių ir koordinačių pradžios taško atžvilgiu. Taškas O(0,0) vadinamas hiperbolės centru.

• Hiperbolės susikirtimo su Ox ašimi taškai vadinami hiperbolės viršūnėmis: A1(-a, 0) , A2(a, 0).

• Didžiai a ir b vadinami hiperbolės pusašėmis. Jei a = b, hiperbolė vadinama lygiaašė.

14

Hiperbolės asimptotės• Hiperbolės šakos artėja prie dviejų tiesių, kai x tolsta į begalybė. • Jei x teigiami, tai galioja lygybė

• Kai x → +∞ , tai hiperbolės šakos artėja prie tiesių:

• Tiesės, prie kurių artėja hiperbolės šakos, vadinamos hiperbolės asimptotėmis. Hiperbolė patogu brėžti pirmiausia pažymėjus jos viršūnes ir nubrėžus asimptotes.

• Hiperbolės ekscentricitetu vadinamas santykis ε = c/a. Jis didesnis už 1, nes c > a.

• Kadangi cos α = a/c = 1/ε, tai kampas tarp asimptočių priklauso tik nuo ekscentriciteto ε. Ekscentricitetui didėjant, kampas tarp asimptočių 2α irgi didėja. Taigi ekscentricitetas apibūdina asimptočių ir, tuo pačiu, hiperbolės šakų suglaustumą.

y=±bax1−

a2

x2 .

y=±bax .

15

Hiperbolės liestinės lygtis• Hiperbolės liestinės L, einančios per hiperbolės tašką M0(x0,y0), lygtis sudaroma panašiai, kaip elipsės. Išdiferencijavę hiperbolės lygtį, gauname:

• Įrašome į bendrąją liestinės lygtį:

• Bet taškas M0(x0,y0) priklauso hiperbolei, todėl jo koordinatės tenkina hiperbolės lygtį. Taigi hiperbolės liestinės L lygtis yra tokia:

y = y0b2 x0

a2 y0

x−x0 ⇔x0 x

a2 −y0 y

b2 =x0

2

a2 −y0

2

b2 .

2 x

a2 −2 y y '

b2 = 0 ⇔ y ' =b2 x

a2 y⇔ f ' x0 =

b2 x0

a2 y0

x0 x

a2−y0 y

b2= 1.

16

Kiti hiperbolės lygties pavidalai• Jei hiperbolės židiniai F1 ir F2 yra Oy ašyje, tai jos lygtis yra

• Jei hiperbolės centras yra taške M1(x1,y1) , o pusašės a ir b, tai hiperbolės lygtis yra

o liestinės L, nubrėžtos per hiperbolės tašką M0(x0,y0), lygtis tokia:

x0−x1x− x1

a2−

y0− y1 y− y1

b2= 1.

x2

a2−y2

b2=−1.

x− x12

a2 −y− y1

2

b2 = 1,

17

Parabolė• Parabole vadinama tokia kreivė, kurios kiekvienas taškas yra vienodai nutolęs nuo žinomo taško, vadinamo parabolės židiniu, ir neinančios per šį tašką tiesės, vadinamos direktrise.

• Ox ašį nubrėžkime per židinį F statmenai direktrisei D. Ašies kryptimi laikykime kryptį nuo D link F. Židinio atstumo nuo direktrisės, vadinamą parabolės parametrų, - žymėsime raide p. Koordinačių sistemos pradžią O imkime atkarpos KF vidurio tašką.

18

Parabolės kanoninė lygtis● Tuomet židinys yra F(p/2,0), taškas N(-p/2, y), direktrisės lygtis x=-p/2, bet

kurio parabolės taško M(x,y) atstumas nuo direktrisės d =|MN|, o atstumas nuo židinio r =|FM|.

● Iš parabolės apibrėžimo (r = d) gauname parabolės lygtį:

● Supaprastinę, gauname kanoninę parabolės lygtį:

x− p2 2

y2= ∣x p2 ∣.

y2= 2 p x.

19

Parabolės savybės● Iš kanoninės lygties matyti, kad x ≥ 0, todėl parabolės y2 = 2px taškai

yra dešinėje Oy ašies pusėje.

● Jei taškas M(x,y) priklauso parabolei, tai ir taškas M(x,-y) priklauso parabolei. Todėl parabolė y2 = 2px yra simetriška Ox ašies atžvilgiu.

● Parabolės simetrijos ašis vadinama parabolės ašimi.

● Parabolė y2 = 2px kerta koordinačių ašis taške O, kuris vadinamas parabolės viršūne.

● Parabolės šakų suglaustumas priklauso nuo parametro p. Kuo jis mažesnis, juo šakos yra susiglaudusios – artimesnės Ox ašiai.

20

Parabolės liestinės lygtis● Raskime parabolės y2 = 2px liestinės L, išvestos per parabolės tašką

M0(x0,y0), lygtį. Išdiferencijavę parabolės kanoninę lygtį, gauname:

● Įrašome į bendrąją liestinės lygtį:

● Kadangi taškas M0(x0,y0) priklauso parabolei, tai jo koordinatės tenkina parabolės lygtį y0

2 = 2px0. Įrašę gausime tokią liestinės lygtį:

● Jei parabolės viršūnė yra taške M1(x1,y1), tai jos lygtis: (y – y1)2 =2p(x–

x1), o liestinės, einančios per parabolės tašką M0(x0,y0), lygtis yra

y = y0py0

x−x0 ⇔ y0 y = y02p x− p x0.

2 y y ' = 2 p ⇔ y ' =py

⇔ f ' x0=py0

.

y0 y = p xx0.

y0− y1 y− y1 = p xx0−2x1.

21

Kreivių lygtys polinėje koordinačių sistemoje● Plokštumos taško M padėtį galima nusakyti ne tik Dekarto

koordinatėmis x ir y, bet ir polinėmis koordinatėmis r ir φ. Jos apibrėžiamos taip:

● Polinė ašis sutampa su Dekarto sistemos ašimi, o polius sutampa su tašku O(0,0). Ryšis tarp taško M(x, y) Dekarto koordinačių ir M(r, φ) polinių koordinačių nusakomas lygtimis

{x = r cosy = rsin {r = x2

y2

tg =yx

22

Kreivių lygtys polinėje koordinačių sistemoje● Kai taškas M juda kuria nors kreive, jo polinės koordinatės keičiasi,

bet lieka susietos. Jei tas ryšys išreiškimas lygtimi r = r(φ), kurią tenkina tik tos kreivės taškų polinės koordinatės, tai lygtis vadinama kreivės lygtimi polinėje koordinačių sistemoje.

● Spindulys, einantis per polių O ir su poline ašimi sudarantis kampą α, turi lygtį φ = α.

● Apskritimas su centru poliuje O ir spinduliu R turi lygtį r = R.

● Apskritimas, kurio centras yra polinėje ašyje, spindulys yra R ir kuris eina per polių, turi lygtį r = 2Rcosφ.

● Apskritimas, kurio spindulys R, o centras turi polines koordinates C(a,α), turi lygtį R2 = a2 + r2 – 2ar cos(φ - a).

23

Archimedo spiralė, Bernulio lemniskatė ir kardioidė

24

Trilapė rožė ir keturlapė rožė.

25

Parametrinės kreivių lygtys● Jei bet kurio kreivės taško M(x,y) koordinates galima išreikšti

kintamuoju t,

tai sakoma, kad kreivė yra apibrėžta parametrinėmis lygtimis.

● Kintamasis t vadinamas lygčių parametrų ir gali reikšti įvairius dydžius. Pvz., t gali būti kreivės lanko ilgis, skaičiuojamas nuo pastovaus taško. Mechanikoje parametras t turi laiko prasmę: jei taškas brėžia kreivę, tai iš parametrinių lygčių galima pasakyti, kur laiko momentu t yra kreivės taškas.

● Iš kreivės parametrinių lygčių pašalinus parametrą t, gaunama kreivės lygtis Dekarto koordinačių sistemoje. Pavyzdžiui,

● Taigi šios parametrinės lygtys reiškia parabolę.

{x = x t y = y t

{ x = t 2

y = 2 p t⇒ t =

y

2 p⇒ y2 = 2 p x .

26

Tiesės parametrinės lygtys

{x = x0l t ,y = y0mt ,z= z 0n t

−∞ t ∞

27

Apskritimo parametrinės lygtys● Tegu M(x,y) – bet koks apskritimo su centru C(a,b) ir spinduliu R

taškas.

{∣BC∣= x−a = R cos t ,∣MB∣= y−b = Rsin t ;

⇒ {x = aR cos t ,y = bR sin t ;

0t2 .

28

Elipsės parametrinės lygtys● Tegu M(x,y) – bet koks elipsės su centru O(0,0) ir ašimis a, b taškas.

Nubrėžkime du koncentrinius apskritimus su centru O(0,0) ir spinduliais a ir b. Iš centro kampu t nubrėžkime spindulį, kertanti apskritimus taškuose A ir B.

● Tuomet

{∣OA'∣=∣OA∣cos t ,∣BB'∣=∣OB∣sin t ;

⇒ {x = acos t ,y = b sin t ;

0t2 .

29

Hiperbolės parametrinės lygtys

{x = ach t ,y = bsh t ;

0 t2 .

30

Antrosios eilės paviršiai

• Paviršiaus lygtimi Dekarto koordinačių sistemoje vadinama lygtis f(x,y,z) = 0, kurią tenkina paviršiaus bet kurio taško M(x,y,z) koordinates, o kitų taškų - netenkina.

• Paprasčiausias paviršius yra plokštuma, kurios bedroji lygtis yra pirmojo laipsnio lygtis:

ax+by+cz+d = 0.

• Toliau išvardinsime antrosios eilės paviršius, apibrėžiamus antrojo laipsnio lygtimis.

31

Cilindriniai paviršiai

32

Kūgis ir elipsoidas

33

Hiperboloidai

x2

a2+y2

b2−z2

c2= 1. x2

a2+y2

b2−z2

c2=−1.

34

Paraboloidai

x2

a2+y2

b2= 2 pz .

x2

a2−y2

b2= 2 pz .