MATEMATIKA 1 – 2. del - lung.silung.si/ekt/MA1_del2_resitve.pdf · MATEMATIKA 1 – 2. del EKONOMSKI TEHNIK – PTI ... MATEMATIKA 1 POLINOMI 8 3. Razstavi dane polinome in zapiši

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

MATEMATIKA 1 – 2. del EKONOMSKI TEHNIK – PTI

gradivo za interno uporabo

Pripravila: Mateja Strnad

Šolsko leto 2011/12

MATEMATIKA 1

i

KAZALO

1 POLINOMI ........................................................................................................................... 1

1.1 Polinomi – VAJE ........................................................................................................... 1

1.2 Operacije v množici polinomov ................................................................................... 2

1.2.1 Seštevanje in odštevanje ...................................................................................... 2

1.2.2 Množenje polinomov ........................................................................................... 2

1.2.3 Deljenje polinomov .............................................................................................. 3

1.2.4 Operacije v množici polinomov - VAJE ................................................................. 3

1.3 Hornerjev algoritem .................................................................................................... 4

1.3.1 Hornerjev algoritem – VAJE ................................................................................. 5

1.4 Ničle polinoma ............................................................................................................. 5

1.4.1 Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom .............................................................. 6

1.4.2 Ničle polinoma - VAJE ........................................................................................... 7

1.5 Graf polinoma .............................................................................................................. 8

1.5.1 Graf polinoma – VAJE ........................................................................................... 9

1.6 Polinomske neenačbe ................................................................................................ 10

1.6.1 Polinomske neenačbe – VAJE ............................................................................. 10

2 RACIONALNE FUNKCIJE .................................................................................................... 11

2.1 GRAF RACIONALNE FUNKCIJE .................................................................................... 11

2.1.1 Definicijsko območje .......................................................................................... 11

2.1.2 Ničle in obnašanje v okolici ničel ........................................................................ 11

2.1.3 Poli in obnašanje v okolici polov ........................................................................ 11

2.1.4 Presečišče z ordinatno osjo ................................................................................ 12

2.1.5 Predznak ............................................................................................................. 12

2.1.6 Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča .......................................... 12

2.1.7 Graf racionalne funkcije - VAJE .......................................................................... 13

2.2 RACIONALNA ENAČBA ............................................................................................... 13

2.2.1 Racionalna enačba – VAJE .................................................................................. 14

2.3 Racionalna neenačba ................................................................................................. 14

2.3.1 Racionalna neenačba – VAJE .............................................................................. 15

3 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA .................................................... 15

MATEMATIKA 1

ii

3.1 Eksponentna funkcija................................................................................................. 15

3.1.1 Eksponentna funkcija – VAJE .............................................................................. 16

3.2 Eksponentna enačba.................................................................................................. 16

3.2.1 Eksponentna enačba – VAJE ............................................................................... 17

4 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA .................................................. 17

4.1 Logaritmi .................................................................................................................... 17

4.1.1 Pravila za računanje logaritmov ......................................................................... 18

4.1.2 Prehod k novi osnovi .......................................................................................... 18

4.1.3 Logaritmi – VAJE ................................................................................................. 18

4.2 Logaritemska funkcija ................................................................................................ 19

4.2.1 Logaritemska funkcija - VAJE .............................................................................. 20

4.3 Logaritemska enačba ................................................................................................. 20

4.3.1 Logaritemska enačba – VAJE .............................................................................. 21

5 KOTNE FUNKCIJE .............................................................................................................. 21

5.1 Sinus in kosinus .......................................................................................................... 21

5.1.1 Sinus in kosinus – VAJE ....................................................................................... 24

5.1.2 Lastnosti funkcij sinus in kosinus........................................................................ 26

5.1.3 Lastnosti funkcij sinus in kosinus – VAJE ............................................................ 27

5.1.4 Grafa funkcij sinus in kosinus ............................................................................. 27

5.1.5 Grafa funkcij sinus in kosinus – VAJE ................................................................. 28

5.2 Tangens in kotangens ................................................................................................ 29

5.2.1 Tangens in kotangens – VAJE ............................................................................. 30

5.3 Adicijski izreki............................................................................................................. 31

5.3.1 Adicijski izreki – VAJE .......................................................................................... 32

5.4 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama .............................................. 33

5.4.1 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama – VAJE ........................... 34

MATEMATIKA 1 POLINOMI

1

1 POLINOMI

Naj bo � nenegativno celo število, ��, ��, ��, ��,…�realna števila in � ≠ 0.

Polinom stopnje je funkcija

�� = �� + �� + �� +⋯+ �� + �� + ��

��, ��, ��, ��,…� koeficienti polinoma

�� konstantni koeficient ali konstantni člen

� koeficient člena z največjo stopnjo imenujemo vodilni koeficient

�� vodilni člen

Stopnja polinoma je enaka najvišjemu eksponentu spremenljivke �, ki nastopa v enačbi.

Nekatere polinome že poznamo:

• konstantna funkcija: �� = ��

• linearna funkcija: �� = �� + ��; �� ≠ 0

• kvadratna funkcija: �� = �� + �� + ��; �� ≠ 0

Polinoma sta enaka, če imata enaki stopnji in enake koeficiente pri potencah iste stopnje.

Vrednost polinoma pri dani vrednosti spremenljivke � dobimo tako, da v polinomu

nadomestimo spremenljivko � z dano vrednostjo in dobljenemu aritmetičnemu izrazu

izračunamo vrednost.

1.1 POLINOMI – VAJE

1. Določi stopnjo, vodilni koeficient, vodilni člen in prosti člen polinoma

a. �� = 5�� + 2� − 3

b. �� = 4�� + 3�� − 5� + 1

c. �� = −�� + 2�� + 2

d. �� = −� + �� − 3� − �

2. Izračunaj vrednost polinoma �� = �� + 2�� − 3� + 4 v točkah: � = 1, � = 0, � = −2

in � = 4.

3. Določi koeficienta ! in " tako, da bosta polinoma �� = 3�� + "�� + 4�� − 7 in

$�� = 3�� + 4�� + ! enaka.

4. Za kateri števili � in % je �� + 2� + % = 4� − 3?

5. Poišči realna števila �, % in &, za katera je �� + %�� − 4� + & = 2�� − 5� − 7.

6. Določi stopnjo polinoma �� = 3�� + 2�� − 4� + 1 in izračunaj vrednost polinoma za

� = 0, � = 2 in � = −1.

7. Zapiši polinom druge stopnje, za katerega je ��1� = 4, ��−1� = 6 in ��0� = 3.

8. Zapiši polinom druge stopnje, ki ima vodilni koeficient enak 3, prosti člen pa enak −3, pri

� = 2 pa vrednost 5.


2

9. Zapiši polinom tretje stopnje, če velja ��1� = 1, ��−1� = 1, vodilni koeficient je enak 2,

prosti člen pa 0.

1.2 OPERACIJE V MNOŽICI POLINOMOV

1.2.1 Seštevanje in odštevanje

Dva polinoma seštejemo (odštejemo) tako, da seštejemo (odštejemo) koeficiente pri

potencah iste stopnje. Stopnja vsote (razlike) je enaka višji od stopenj sumandov. Če

seštevamo polinoma iste stopnje in sta njuna vodilna koeficienta nasprotni števili, ima vsota

polinoma nižjo stopnjo. Če odštevamo polinoma iste stopnje z enakima vodilnima

koeficientoma, ima razlika polinomov nižjo stopnjo.

ZGLED:

�� = 3�� + 7�� − 4�� + 6

$�� = 7� − 2�� + 2�� + 7�� + 8� − 5

�� + $�� = 7� + �� + 9�� + 3�� + 8� + 1

1.2.2 Množenje polinomov

Množenje polinoma s številom

Polinom pomnožimo s številom različnim od 0 tako, da z njim pomnožimo vse njegove

koeficiente. Stopnja polinoma pomnoženega s številom je enaka stopnji prvotnega polinoma.

ZGLED

Polinom �� = 3�� + 7�� − 4�� + 6 pomnožimo s 3.

3 ∙ �� = 9�� + 21�� − 12�� + 18

Dva polinoma zmnožimo tako, da vsak člen prvega polinoma pomnožimo z vsakim členom

drugega polinoma. Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj obeh

polinomov.

ZGLED

�� = 3�� + 2�� − � + 4

$�� = 4�� + 1

�� ∙ $�� = �3�� + 2�� − � + 4� ∙ �4�� + 1� = = 12� + 3�� + 8�� + 2�� − 4�� − � + 16�� + 4 = = 12� + 8�� − �� + 18�� − � + 4

Stopnja produkta je 5 (3 +2)


3

1.2.3 Deljenje polinomov

Osnovni izrek o deljenje polinomov:

Za polinom �� stopnje � in polinom $�� stopnje + (� ≥ +) obstajata natanko določena

polinoma -�� in !��, da velja:

�� = -�� ∙ $�� + !��

Polinom -��, ki je kvocient pri deljenju polinoma �� s polinomom $��, je polinom

stopnje � −+, ostanek !�� pa je polinom, ki je nižje stopnje od stopnje delitelja $��, torej

stopnje nižje od +.

Če je polinom �� deljiv s polinomom $��, je ostanek !�� = 0 in lahko pišemo:

�� = -�� ∙ $��

ZGLED

Delimo polinom �� = 3�� + 2�� − 4� + 1 s polinomom $�� = �� − 4� + 1.

( 3x4 + 2x

3 - 4x + 1 ) : ( x

2 - 4x + 1 ) = 3x

2 + 14x + 53

- ( 3x4 - 12x

3 + 3x

2 )

14x3 - 3x

2 - 4x + 1

- ( 14x3

- 56x2 + 14x )

53x2

- 18x + 1

- ( 53x2

- 212x + 53 )

194x - 52

3�� + 2�� − 4� + 1 = �3�� + 14� + 53� ∙ �� − 4� + 1� + 194� − 52

1.2.4 Operacije v množici polinomov - VAJE

1. Seštej polinoma

a. �� + 2� in �� + 3� + 1

b. 2�� + 4�� − 1 in −5�� + 6�

c. 4�� − 2�� − 5� in −4�� + 2�� + 5�

2. Odštej polinoma

a. 2�� + 3� in �� + � − 3

b. 2�� + �� − 2 in �� − 2�� + 4�

c. 2�� + 4�� − 1 in −5�� + 5�

3. Dani so polinomi �� = �� − 3�, $�� = 2�� + � − 4 in !�� = −�� − 2�� + � − 1.

Izračunaj:

a. $�� + !�� b. �� ∙ $��

c. 2�� + $�� d. 3�� − $�� − 2!��


4

4. Izračunaj produkte in določi stopnje polinomov!

a. �� = �� + 3� + 4 in $�� = � − 2

b. �� = 3�� + 2�� − � + 4 in $�� = 4�� + 1

c. �� = �� − 2�� + 2 in $�� = −�� + �

5. Deli polinoma

a. �� = �� + 4� + 1 in $�� = � − 2

b. �� = �� − 12� + 32 in $�� = � − 7

c. �� = �� + �� − 10� − 12 in $�� = � − 3

d. �� = �� − 4�� − 2 in $�� = �� − � + 1

e. �� = 2�� − 3�� + 4� − 2 in $�� = �� + 2� − 1

6. Ugotovi, ali je polinom � deljiv s polinomom $.

a. �� = �� − 6�� + 8� − 1 in $�� = � + 3

b. �� = 3� − �� + 6�� − 3�� − 2 in $�� = �� + 2

1.3 HORNERJEV ALGORITEM

Hornerjev algoritem je metoda za reševanje polinomskih enačb. Hornerjev algoritem

uporabljamo:

• za iskanje vrednosti polinoma v dani točki,

• za deljenje polinoma z linearnim polinomom,

• za iskanje ničel.

Polinom �� = �� + �� + �� +⋯+ �� + �� + �� delimo z linearnim

polinomom $�� = � − &. Za deljenje uporabimo Hornerjev algoritem.

Postopek si poglejmo na konkretnem primeru:

Delimo polinom �� = 3� − 4�� − 7�� + 3� − 4 s polinomom $�� = � − 2.

Postopek reševanja:

Pri reševanju si pomagamo s tabelo. V prvo vrstico zapišemo koeficiente �/ polinoma ��, na levo stran v drugo vrstico pa število &.

3 -4 0 -7 3 -4

2

Postopek računanja: vodilni koeficient � prepišemo v tretjo vrstico. Pomnožimo ga s & in

rezultat �� ∙ &� zapišemo v drugo vrstico pod drugi koeficient polinoma �. Nato seštejemo

�� in � ∙ &. Rezultat zapišemo v istem stolpcu v tretjo vrstico. Ta rezultat zopet množimo s

& in postopek nadaljujemo.


5

3 -4 0 -7 3 -4

2 32 ⋅ = 6 4 8 2 10

3 64 +− = 2 4 1 5 6

koeficienti kvocienta -�� ostanek

!��

-�� = 3�� + 2�� + 4�� + � + 5 !�� = 6

3� − 4�� − 7�� + 3� − 4 = �3�� + 2�� + 4�� + � + 5� ∙ �� − 2� + 6

1.3.1 Hornerjev algoritem – VAJE

1. S Hornerjevim algoritmom deli polinome

a. �� = �� − 4�� + 6� − 7 in $�� = � − 3

b. �� = 2�� − �� − 2� − 4 in $�� = � + 1

c. �� = 4� − 2�� + 3�� − 30� − 2 in $�� = � − 2

2. S Hornerjevim algoritmom določi vrednost polinoma

a. �� = �� + 3� + 5 v točki � = −2

b. �� = �� + 4�� + 2� − 7 v točki � = 1

c. �� = −�� + �� + 4�� + 2 v točki � = 3

3. Ali je polinom �� = 2� − 2�� − 13�� + 7� + 6 deljiv s polinomoma � − 3 in � + 2?

1.4 NIČLE POLINOMA

Število 0 je ničla polinoma ��, če je ��&� = 0.

Ničle polinoma �� = �� + �� + �� +⋯+ �� + �� + �� so rešitve

enačbe:

�� + �� + �� +⋯+ �� + �� + �� = 0

Ostanek pri deljenju polinoma �� z linearnim polinomom �� − &� je enak 0 natanko takrat,

ko je ��&� = 0. To pomeni, da je & ničla polinoma �� natanko takrat, ko je polinom �� deljiv z linearnim polinomom �� − &�.

Polinom �-te stopnje lahko zapišem v ničelni obliki:

�� = �� − �� ∙ �� − �� ∙ �� − �� ∙ … ∙ �� − �� , ��, … , � so ničle polinoma.

Polinom �-te stopnje ima kvečjemu � realnih ničel.

Ko polinom razcepimo, se lahko kakšen faktor pojavi več kot enkrat. Recimo, da nastopa

faktor �� − �/� --krat. Potem pravimo, da je �/ 1-kratna ničla polinoma �.


6

Ničle polinoma �� poiščemo

• z razstavljanjem ali

• s Hornerjevim algoritmom

ZGLED

Poišči ničle polinoma �� = �� + 2�� − 3�� − 6� z razstavljanjem!

�� + 2�� − 3�� − 6� = 0 � ∙ (�� + 2�� − 3� − 6) = 0 � ∙ 2��(� + 2) − 3(� + 2)3 = 0 � ∙ (� + 2) ∙ (�� − 3) = 0 � ∙ (� + 2) ∙ 2� + √33 ∙ 2� − √33 = 0

Ničle so:

�� = 0

�� = −2

�� = −√3

�� = √3

1.4.1 Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom

Izmed možnih ničel s pomočjo Hornerjevega algoritma poiščemo pravo.

• možne cele ničle so delitelji prostega člena

• možne racionalne ničle iščemo med ulomki oblike ± 67, pri čemer je & delitelj prostega

člena �� in 8 delitelj vodilnega koeficienta �.

ZGLED

Poišči ničle polinoma �� = �� − 4�� − �� + 16� − 12

Možne cele ničle so delitelji števila 12:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12

Vsako možno ničlo vstavimo kot število & v Hornerjev algoritem. Začnimo po vrsti s +1:

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

� = 1 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0.

-�� = �� − 3�� − 4� + 12

�� = �� − 1� ∙ �� − 3�� − 4� + 12� Ostale ničle iščemo med možnimi ničlami -��.


7

Možne cele ničle so delitelji števila 12:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12

Vstavimo v Hornerjev algoritem 1:

1 -3 -4 12

1 1 -2 -6

1 -2 -6 6

� = 1 ni ničla -��, ker ostanek ni enak 0.

Vstavimo v Hornerjev algoritem -1:

1 -3 -4 12

-1 -1 4 0

1 -4 0 12

� = −1 ni ničla -��, ker ostanek ni enak 0.

Vstavimo v Hornerjev algoritem 2:

1 -3 -4 12

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

� = 2 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0.

Dobili smo količnik -�� = �� − � − 6, ki je druge stopnje in ga bomo razstavili po

Vietovem pravilu.

�� = �� − 1�� − 2�� − � − 6� �� = �� − 1�� − 2�� − 3�� + 2� ničelna oblika polinoma

Ničle polinoma so:

�� = 1, �� = 2, �� = 3, �� = −2

1.4.2 Ničle polinoma - VAJE

1. Ugotovi ali je število −2 ničla polinoma

a. �� = �� − 4� + 4

b. �� = �� + 4�� + 4�

c. �� = � + 3�� − �� + 32

2. Zapiši vse ničle danega polinoma in določi njihovo večkratnost

a. �� = �� − 1��

b. �� = �� − 2��

c. �� = � ∙ �� + 3� d. �� = �� + 3�� − 2� e. �� = �� + 1�� − 2�� + 2�


8

3. Razstavi dane polinome in zapiši njihove realne ničle

a. �� = �� − 25�

b. �(�) = �� − 49��

c. �(�) = �� − 2� − 3

d. �(�) = �� + 5�� − 6�

e. �� = �� + �� − 25� − 25

4. S Hornerjevim algoritmom poišči ničle polinoma

a. �� = �� − 3� + 2

b. �� = �� − 4�� + � + 6

c. �� = �� + 3�� + 3�� + �

5. Določi ničle polinomov

a. �� = �� − 6�� + 3� + 10

b. �� = 4�� − 3� + 1

c. �� = 2�� − 7�� + 7� − 2

d. �� = �� − 9�� + 24�� − 20�

6. Določi polinom � druge stopnje z ničlama 2 in −4, če je ��−1� = 9.

7. Določi polinom četrte stopnje z ničlami 0, 2 (dvojna) in −5, katerega graf vsebuje točko

9�−1, 9�.

1.5 GRAF POLINOMA

Graf polinoma

�� = �� + �� + �� +⋯+ �� + �� + ��,� � 0

je neprekinjena krivulja, ker je polinom zvezna funkcija.

Graf bomo vsaj približno lahko narisali, če bomo preučili:

1. definicijsko območje

Polinom je definiran za vsa realna števila. :;: � ∈ �−∞,∞� 2. presečišče z abscisno osjo

Presečišča grafa z abscisno osjo so v ničlah polinoma, to so vrednosti, za katere je

�� = 0 oziroma ? = 0.

3. obnašanje grafa v okolici ničle

Obnašanje grafa v okolici ničle je odvisno od "kratnosti" te ničle.

Če je ničla lihe stopnje (enkratna, trikratna,

petkratna, …), graf polinoma seka abscisno os.

Polinom v lihi ničli spremeni predznak.


9

Če je ničla sode stopnje (dvakratna, štirikratna,

šestkratna, …), se graf polinoma dotika abscisne

osi. Polinom v sodi ničli ne spremeni predznaka.

4. obnašanje grafa polinoma, ko se oddaljuje od koordinatnega izhodišča

Obnašanje grafa je odvisno od predznaka vodilnega koeficienta � in od eksponenta �:

an pozitiven n sod

an pozitiven n lih

an negativen n sod

an negativen n lih

+∞→x +∞→)(xp +∞→)(xp −∞→)(xp −∞→)(xp

−∞→x +∞→)(xp −∞→)(xp −∞→)(xp +∞→)(xp

graf p(x)

5. presečišče z ordinatno osjo

Presečišče na ordinatni osi je enako prostemu členu polinomske funkcije.

6. predznak

Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle. Predznak

določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v

ničlah lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah sode stopnje pa ga ne spremeni.

1.5.1 Graf polinoma – VAJE

1. Nariši graf polinoma

a. �� = �� − �

b. �� = −2�� 2�

c. �� 3�� 4�

d. �� 2��

e. �� 3�� 4��

f. �� 1

g. �� 3�� 5�� 1

h. �� 3�� 4

i. �� 2� � 3��

MATEMATIKA 1

10

1.6 POLINOMSKE NEENAČBE

Naj bo dan polinom

�� ⋯� �� ,� ≠ 0

Če želimo izračunati, za katere vrednosti � so vrednosti polinoma �� pozitivne, moramo

rešiti neenačbo:

�� > 0

�� ⋯� �� > 0

Druge oblike polinomske neenačbe:

�� < 0, �� ≥ 0, �� ≤ 0

Rešitev neenačbe so realna števila z intervala ali unije intervalov.

Postopek reševanja polinomskih neenačb:

1. Vse člene damo na isto stran neenačbe.

2. Poiščemo ničle polinoma na neničelni strani neenačbe.

3. Z ničlami razdelimo os � na podintervale.

4. Določimo predznak polinoma na posameznem intervalu. Upoštevamo večkratnost ničel.

5. Odčitamo rešitev neenačbe in jo zapišemo.

1.6.1 Polinomske neenačbe – VAJE

1. Nariši graf polinoma �� 2�� + 5�� + 3� in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� > 0.

2. Nariši graf polinoma �� = ��

� − � in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za katere

je �� < 0.

3. Nariši graf polinoma �� = 4�� − 3�� − � in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� ≥ 0.

4. Nariši graf polinoma �� = �� − 1��3� + 2�� in določi tiste vrednosti spremenljivke �,

za katere je �� ≤ 0.

5. Reši neenačbo

a. −�� − 2� + 3 > 0

b. �� + 4�� − � − 4 > 0

c. −�� + � < 0

d. 2� − 2�� ≥ 0

e. �� + 2�� − 8� ≤ 0

MATEMATIKA 1 RACIONALNE FUNKCIJE

11

2 RACIONALNE FUNKCIJE

Racionalna funkcija je kvocient dveh tujih si polinomov �� in $��, kjer $�� ≠ 0.

Polinoma sta si tuja, če nimata skupnih ničel.

�� $�� ,$�� ≠ 0

2.1 GRAF RACIONALNE FUNKCIJE

Graf racionalne funkcije bomo lahko približno narisali, če bomo preučili:

• definicijsko območje,

• ničle in obnašanje v okolici ničel,

• pole in obnašanje v okolici polov,

• presečišče z ordinatno osjo,

• predznak,

• obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča.

2.1.1 Definicijsko območje

Definicijsko območje racionalne funkcije je množica realnih števil brez ničel imenovalca. V

ničlah imenovalca racionalna funkcija ni definirana, te točke so poli racionalne funkcije.

:;:—� C�DčFGD+G�HI�F&�J

2.1.2 Ničle in obnašanje v okolici ničel

Ničle racionalne funkcije �� K�L�M�L� so ničle polinoma v števcu, torej tam, kjer je �� 0.

Če je ničla polinoma �� lihe stopnje, graf v njej seka abscisno os, funkcija �� v taki ničli

spremeni predznak.

Če je ničla polinoma �� sode stopnje, se graf v njej dotakne abscisne osi, funkcija �� v

taki ničli ne spremeni predznaka.

2.1.3 Poli in obnašanje v okolici polov

Poli racionalne funkcije �� K�L�M�L� so ničle polinoma v imenovalcu. Poli so tam, kjer je

$�� 0. V polih racionalna funkcija ni definirana, graf racionalne funkcije ima v polu

navpično asimptoto.


12

Če je pol lihe stopnje (liha ničla polinoma $��), funkcija pri prehodu čez pol spremeni

predznak.

Če je pol sode stopnje (soda ničla polinoma $��), funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni

predznaka.

2.1.4 Presečišče z ordinatno osjo

Graf racionalne funkcije �� K�L�M�L� seka ordinatno os ? v točki N�0, ?�, kjer je ? � ��0�.

2.1.5 Predznak

Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle in pole. Predznak

določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v

ničlah oziroma polih lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah oziroma polih sode

stopnje pa ga ne spremeni.

2.1.6 Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča

Vodoravne asimptote določajo vrednost, ki se jim približuje funkcija, ko gre � → ∞ ali

� → �∞.

Racionalna funkcija se daleč od izhodišča obnaša kot količnik vodilnih členov.

�� $��

L→±PQRRRS ��%T�T

Glede na stopnjo polinoma �� in $�� ločimo tri možnosti. Naj bo stopnja polinoma �� enaka � in stopnja polinoma q�� enaka +.

1. Stopnja v števcu je nižja od stopnje v imenovalcu, � < +:

os � (? � 0) je vodoravna asimptota funkcije ��. Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje abscisni osi.

2. Stopnji v števcu in imenovalcu sta enaki, � � +:

vodoravna asimptota funkcije �� je premica ? � UVWX.

Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje vodoravni asimptoti.

3. Stopnja števca je večja od stopnje imenovalca, � > +:

Funkcija �� nima vodoravne asimptote ampak ima poševno asimptoto. Enačbo

poševne asimptote dobimo tako, da polinom v števcu delimo s polinomom v

imenovalcu.


13

2.1.7 Graf racionalne funkcije - VAJE

1. Zapiši točke v katerih racionalna funkcija ni definirana

a. �� L

b. �� LY�L�

c. �� LZ�LY[

d. �� L��LZ� L��

2. Določi definicijsko območje racionalne funkcije

a. �� LZY�L

b. �� L��LY\

c. �� LZ��LY��

d. �� LZ�]L^�� L

3. Zapiši ničle racionalne funkcije

a. �� L�\LZ

b. �� L��LZ��

c. �� LZ�[LY_L^��

d. �� L^��LZY�LLZY L��_

4. Določi ničle in presečišče z ordinatno osjo za racionalno funkcijo

a. �� LY�L��

b. �� LY\L��

c. �� LZ��L�� LZY]

5. Zapiši enačbo vodoravne asimptote za funkcijo

a. �� LY�LZ

b. �� LZ��LY�L^�_

c. �� LY\L�[

d. �� LZY�LY�LZ� L�[

6. Nariši graf racionalne funkcije

a. �� LY�

b. �� LZ

c. �� LY�LZ��

d. �� L��LZYL��

e. �� LZ��LL^��LY�

f. �� LL��

g. �� L��LY�

h. �� LZLZ��

i. �� LZ��LY�LZY�LY�

j. �� LZ��L��LZ

2.2 RACIONALNA ENAČBA

Kadar iščemo tak �, pri katerem imata dve racionalni funkciji enako vrednost (tam se njuna

grafa sekata), moramo rešiti racionalno enačbo oblike: K`�L�M`�L� � KZ�L�

MZ�L�, kjer so ��, $�, ��, $� polinomi

Enačba je smiselna le za take �, za katere je $�� ≠ 0 in $�� ≠ 0.


14

Preoblikujmo enačbo: K`�L�M`�L� � KZ�L�

MZ�L� � 0

K`�L�MZ�L��KZ�L�M`�L�M`�L�MZ�L� � 0

Ulomek je enak 0, kadar je števec enak 0, imenovalec pa različen od 0. Tako poiščemo rešitve

enačbe:

��$�� $�� 0;$�� ≠ 0D�$�� ≠ 0

2.2.1 Racionalna enačba – VAJE

1. Zapiši vrednosti spremenljivke �, za katere ulomki v enačbi nimajo pomena

a. �

LY� � �2

b. �

LY� =��L��

c. L��

LZ��L�� −�

L� =�

LY�

2. Reši enačbo

a. L��L�� = 0

b. �LY�L�� 1

c. �L�\ L�[ = 9 � �L��]

L�[

d. �

L��L�� L � �

�L��

e. �LY�L�� 6 � �L�

��L

f. L

LZ�� LLZ��L � �

LZY�L � 0

g. �LZ � �

L � �Y�LZLZ � \

L

h. LY�L�� L��

LY� � \�LZ��\

3. Dana je funkcija �� LZ�]�LZY�L��. Nariši graf funkcije � in poišči njegova presečišča s

premico � � ? � 3 = 0.

2.3 RACIONALNA NEENAČBA

Racionalne neenačbe so oblike:

��$�� > 0, ��$�� < 0, ��$�� ≥ 0, ��$�� ≤ 0

�� in $�� sta polinoma, $�� ≠ 0.

Strategija reševanja racionalnih neenačb:

1. Vse člene damo na isto stran neenačbe in na skupni imenovalec.

2. Ulomek na neničelni strani enačbe okrajšamo.

3. Poiščemo ničle in pole dobljene racionalne funkcije.

4. Z ničlami in poli razdelimo os � na podintervale.

5. Določimo predznak racionalne funkcije na posameznem podintervalu (upoštevamo

obnašanje grafa v okolici ničel in polov).

6. Odčitamo rešitev neenačbe.

MATEMATIKA 1 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA

15

2.3.1 Racionalna neenačba – VAJE

1. Nariši graf racionalne funkcije �� LY� in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� > 0.

2. Nariši graf racionalne funkcije �� = �LLY� in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� A 0.

3. Nariši graf racionalne funkcije �� = �LY�L�� in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� , 0.

4. Nariši graf racionalne funkcije �� = �L�L�� in določi tiste vrednosti spremenljivke �, za

katere je �� B 0.

5. Reši neenačbo

a. \

L� @ 0

b. LY�L�[ , 0

c. �LY�L�� B 0

d. L

L��− 1 < 0

e. �LLY�−

�� , 0

f. LZ , 1

3 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA

3.1 EKSPONENTNA FUNKCIJA

Eksponentna funkcija z osnovo � je funkcija oblike

�� L

� je pozitivno realno število, � ≠ 1. Definicijsko območje je množica vseh realnih števil.

Lastnosti eksponentnih funkcij a�b� � cb za c > d:

• definirane so za vsa realna števila (:; � —)

• zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih

števil (e; � —Y)

• grafi sekajo ordinatno os v točki f�1, 0� • so naraščajoče

• funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso

omejene

• os � je vodoravna asimptota

MATEMATIKA 1 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA

16

Lastnosti eksponentnih funkcij a�b� � cb za g < c < d:

• definirane so za vsa realna števila (:; � —)

• zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil

(e; � —Y)

• grafi sekajo ordinatno os v točki f�1, 0� • so padajoče

• funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso

omejene

• os � je vodoravna asimptota

V naravoslovju pogosto naletimo na posebno eksponentno funkcijo �� = GL. Število G je

iracionalno število. Imenujemo ga Eulerjevo število.

3.1.1 Eksponentna funkcija – VAJE

1. Določi osnovo � eksponentne funkcije �� L, če je

a. ��3� � 8

b. ��4� � 625

c. � h �i � 32

d. � h��i � 16

2. Tabeliraj funkcijo � na danem intervalu s korakom j

a. �� 3L , k�2, 4l, j � 1 b. �� h��iL, k�8, 6l, j � 2

3. V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij

a. �� 4L , m�� h��iL

b. �� h�[iL, m�� h[�i

L

4. Določi osnovo � eksponentne funkcije �� L, če njen graf poteka skozi točko

a. N�2, 36� b. N h�2, ��\i

3.2 EKSPONENTNA ENAČBA

Enačba je eksponentna, če neznanka nastopa samo v eksponentu.

Pri reševanju upoštevamo pravila za računanje s potencami in poskušamo enačbo

preoblikovati v eno od naslednjih oblik, iz katerih potem sklepamo o rešitvi:

• �;�L� � �n�L� ⇒ �� m�� • �;�L� � %;�L� ⇒ �� 0

• �;�L� = % reševanje nadaljujemo z logaritmiranjem.

Rešitev je lahko ena, več ali pa ni rešitev.

MATEMATIKA 1 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA

17

ZGLED:

7�L � 7�LY

3� = 2� + 5

� = 5

3.2.1 Eksponentna enačba – VAJE

1. Reši enačbe

a. 3L = 81

b. h��iL = �

]

c. 5L = 5√5

d. 2L = √��

e. 10�L = 0,01

f. 5�LY� = 0,2

g. 7��L = 1

h. h�_i�LY�

= \�]

i. 4�LY�: 4�YL = ��\

j. 3L��: 3��L = √3p

k. 5L = 7L

l. 3�L� − 8�L� = 0

2. Reši enačbe

a. 3LY� + 3L = 90

b. 2�L�� + 3 ∙ 2�L − 2�LY� + 1 = 0

c. 3 ∙ 4L�� + 4L = 28

4 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA

4.1 LOGARITMI

Zapis: logU � �…logaritmand (argument) �…osnova

Beremo: logaritem števila � z osnovo �

Logaritem � s pozitivno osnovo � je tisti eksponent, pri katerem je potenca z osnovo �

enaka številu �.

logU � � ?, če in samo če je �t � �

kjer je a pozitivno realno število in � ≠ 1.

ZGLED:

log� 81 = 4, ker je 3� = 81

Logaritme z osnovo 10 imenujemo desetiški logaritmi. Pri desetiškem logaritmu opuščamo

pisanje osnove in namesto log�� uporabimo okrajšavo log �.

Logaritme z osnovo G imenujemo naravni logaritmi. Za naravni logaritem se je uveljavila

oznaka logu � � ln �.


18

4.1.1 Pravila za računanje logaritmov

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev:

logU�� ∙ ?� � logU � �logU ?

Logaritem potence je enak produktu eksponenta in logaritma osnove potence:

logU �w � ! ∙ logU �

Logaritem količnika je enak razliki logaritma deljenca in delitelja:

logU x�?y � logU � � logU ?

Pri poljubno osnovi � > 0, � ≠ 1, velja za vsak realen �:

• logU 1 = 0, ker je �� 1;

• logU � = 1, ker je �� = �;

• logU �L = �, ker je �L = �L

4.1.2 Prehod k novi osnovi

Včasih je treba zapisati logaritem pri drugi osnovi. Takrat uporabljamo obrazec:

logW � � logU �logU %

ZGLED:

Zapišimo log� 7 z logaritmom osnove 7:

log� 7 � z{|} [z{|} � � �

z{|} �

4.1.3 Logaritmi – VAJE

1. Izračunaj

a. log� 8

b. log� 81

c. log� ��

d. log`^�]

e. log`~6

2. Izračunaj s kalkulatorjem na dve decimalni mesti natančno

a. 2 log 6 � 13 log 2 + log 65

b. ln 0,1 − ln 14 + ln 0,5 ∙ ln 2,55

3. Izrazi z logaritmi z osnovo � pozitivnih števil �, ? in �

a. logU��?�� b. logU Lt

�

c. logU ?�

d. logU L^tZ

e. logU ��?


19

4. Izrazi z logaritmi pozitivnih števil �, ? in �

a. log�10�?� b. log��?�� c. log LtZ

LZt�p

d. log ��?�

5. Zapiši kot logaritem enega samega izraza

a. log� � + log� % + log� &

b. 3 log � − 5 log ?

c. 2 log`Z� + �

� log`Z ?

d. 2 log��2�?� − �� log��4�

��

6. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj

a. log 12 − log 30 + log 250 b. 2�log� 36 − log� 9� 7. Izračunaj na 3 mesta natančno

a. log� 7

b. log_ 10

c. log`Z5

d. log� �

4.2 LOGARITEMSKA FUNKCIJA

Naj bo � > 0 in � � 1. Logaritemska funkcija z osnovo � je funkcija �� logU �, pri

čemer je ? � logU � natanko takrat, ko je �t � �.

Definicijsko območje je množica pozitivnih realnih števil.

Logaritemsko funkcijo z osnovo � dobimo iz eksponentne funkcije z osnovo � tako, da

zamenjamo vlogi neodvisne in odvisne spremenljivke. Funkcija logU � je inverzna

eksponentni funkciji �L.

Lastnosti logaritemskih funkcij a�b� � ��c b za c > d:

• definirane so za vsa pozitivna realna števila

(:; � —Y)

• zaloga vrednosti je množica realnih števil (e; � —)

• imajo ničlo pri � � 1

• so naraščajoče

• ordinatna os je navpična asimptota

• funkcije so navzdol in navzgor neomejene


20

Lastnosti logaritemskih funkcij a�b� � ��c b za g < c < d:

• definirane so za vsa pozitivna realna števila (:; � —Y)

• zaloga vrednosti je množica realnih števil (e; � —)

• imajo ničlo pri � � 1

• so padajoče

• ordinatna os je navpična asimptota

• funkcije so navzdol in navzgor neomejene

Zaradi povratne enoličnosti eksponentne funkcije je tudi logaritemska funkcija povratno

enolična.

Če je � > 0 in � � 1, potem za poljuben par realnih števil �� in �� iz

logU �� logU �� sledi ��

4.2.1 Logaritemska funkcija - VAJE

1. Določi osnovo � logaritemske funkcije �� logU �, če je

a. ��2� � 1

b. ��216� � 3

c. � h��i � �1

d. ��8� � ��

2. V isti koordinatni sistem nariši grafa danih funkcij

a. �� log� � , m�� log`^�

b. �� log � , m�� log`p�

3. Določi definicijsko območje funkcije

a. �� log�� 1� b. �� log��2� � 1�

c. �� log�� 3� d. �� 3log��2� � 1� � 1

4.3 LOGARITEMSKA ENAČBA

Pri reševanju logaritemskih enačb si pomagamo z:

• definicijo logaritma

logU % � & ⇔�6 � %

• lastnostjo povratne enoličnosti

iz logU �� logU �� sledi ��

• z drugimi pravili za računanje z logaritmi.

MATEMATIKA 1 KOTNE FUNKCIJE

21

4.3.1 Logaritemska enačba – VAJE

1. Reši enačbo

a. log� � � ��

b. log�� 1� = 3

c. log_�2 − �� = ��

d. ln�3� + 5� = 2

e. logLY� 8 = 1

f. log�L�� 20 = 1

g. logLY��4� − 3� = 1

2. Reši enačbo

a. log�� − 5� − 4� = 1

b. log�� + 2� + 5� = 3

c. log`Z�� − 13� − 26� = −2

d. logL�3� + 10� = 2

3. Reši enačbo

a. log� � − log��3� − 2� = 0

b. log�2� + 1� − log � = 0

c. log�� + 4� = log�� − 2� + 2

d. log�� + 1� + log�� − 2� = 1

e. log�� + 1� = log 2

f. log��3� − 6� − log� 5 = log��7� + 3� + log� 3

g. log 3 + log�� + 1� = log 12

h. log�� − 2� + log�� + 1� = log�� + 4� + log�� − 3� 4. Reši eksponentne enačbe tako, da enačbo logaritmiraš

a. 3L = 5

b. 2L�� = 7

c. 4LY� = 3�L

d. 6LY� = 12L

5 KOTNE FUNKCIJE

5.1 SINUS IN KOSINUS

Če nas ne zanima lega kota v ravnini, ampak le velikost kota �, lahko postavimo kot v

standardno lego. Vrh kota je v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema, začetni krak

kota sovpada s pozitivnim poltrakom abscisne osi, smer vrtenja je ista kot pri originalnem

kotu.

Pravimo, da leži kot v I., II., III. ali IV. kvadrantu, če leži njegov končni krak v standardni legi v

I., II., III. ali IV. kvadrantu.


22

Od začetnega h končnemu kraku danega kota lahko pridemo tudi tako, da poltrak še

dodatno zavrtimo za poljubno število polnih obratov v pozitivni ali negativni smeri. Tako

dobljeni kot � se za večkratnik polnega kota razlikuje od danega kota �. Torej velja:

� � � � - ∙ 360° za - ∈ Ÿ

ZGLED

V katerem kvadrantu leži dani kot?

• 230°

Ker je ooo270230180 << , leži kot 230° v III. kvadrantu.

• 1380°

Velja: ooo30036031380 =⋅− in ooo

360300270 << , torej leži kot 1380° v IV. kvadrantu.

Doslej smo kote merili s stopinjami. Za računanje s kotnimi funkcijami, pa je primernejše

merjenje kotov v radianih.

Osnovna zveza za preračunavanje kotnih stopinj v radiane in obratno je:

π=o180 radianov.

1801

π=o radianov

Tabela za pretvarjanje vrednosti nekaterih pomembnejših kotov iz stopinj v radiane in

obratno in vrednosti kotnih funkcij sin in cos za ostre kote:

stopinje 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

radiani 0 6

π

4

π

3

π

2

π π

2

3π

V ravnini, opremljeni s koordinatnim sistemom, naj bo krožnica s središčem v izhodišču

koordinatnega sistema in s polmerom 1, imenujemo jo enotska krožnica. Te kote lahko

prikažemo tudi na enotski krožnici.

ZGLED

Pretvori v radiane!

180270270

π⋅=° radianov

2

3π= radianov

Sinus kota � je enak kosinusu komplementarnega kota:

sin � � cos h�2 − �i

cos � = sin h�2 − �i

π2


23

Predznak funkcij sinus in kosinus je odvisen od kvadranta, v katerem leži kot.

II. kvadrant sin � > 0 cos � < 0

I. kvadrant sin � > 0 cos � > 0

III. kvadrant sin � < 0 cos � < 0

IV. kvadrant sin � < 0 cos � > 0

Pri določanju vrednosti kotnih funkcij za neostre kote si lahko pomagamo z ostrimi koti tako,

da kotne funkcije neostrega kota β prevedemo na kotne funkcije ostrega kota α :

• πβπ

<<2

(premični krak kota β je v drugem kvadrantu)

βπα −=

sin � � sin � cos � � � cos �

• 2

3πβπ << (premični krak kota β je v tretjem kvadrantu)

πβα −=

sin � � �sin� cos � � � cos �

• πβπ

22

3<< (premični krak kota β je v četrtem kvadrantu)

βπα −= 2

sin � � �sin� cos � � cos �

ZGLED

Prevedi na kotne funkcije ostrih kotov!

• °120sin

Kot 120° leži v II. kvadrantu, zato je

°=°−°=° 60120180120 sin�sin�sin

• °120cos

Kot 120° leži v II. kvadrantu, zato je

°−=°−°−=° 60120180120 cos�cos�cos


24

• 6

7πsin

Kot 6

7π leži v III. kvadrantu, zato je

66

6

6

7

6

7

6

7 ππππ

ππ sin�sin��sin�sin −=−−=−−=

• 6

7πcos

Kot 6

7π leži v III. kvadrantu, zato je

66

6

6

7

6

7

6

7 ππππ

ππ cos�cos��cos�cos −=−−=−−=

Vrednost funkcije sinus in kosinus se ne spremeni, če vrednosti kota prištejemo večkratnik

kota 2� oz. 360°

sin�� + -2�� = sin �

cos�� + -2�� = cos �

Za vsak kot α velja osnovna identiteta:

122 =+ αα cossin

ZGLED

Poišči αcos , če je sin � � � in leži α v II. kvadrantu!

sin� � � cos� � � 1

h� i� + cos� � = 1

cos� � = 1 − ]�

cos� � = �\�

cos � = ± �

Ker je za vsak α , ki leži v II. kvadrantu, αcos negativen je naša rešitev:

cos � = − �

5.1.1 Sinus in kosinus – VAJE

1. Izrazi kot v radianih

a. 180°

b. 45°

c. 150°

d. 225°


25

2. Izrazi kot v stopinjah

a. �

b. ��

c. �\

d. ��

3. Določi predznak vrednosti kotne funkcije

a. sin75° b. sin 289° c. cos 230° d. cos 123°12� e. sin ��

�

f. cos ��

g. cos ��[

h. sin _�

4. V enotskem krogu nariši kot, katerega sinus je

a. 1

b. 0,5

c. − ��

d. − ��

5. V enotskem krogu nariši kot, katerega kosinus je

a. ��

b. 0,4

c. −1

d. − ��

6. Izračunaj natančno sin �, če je:

a. cos � = � ; sin � > 0

b. cos � = �� ; 0° < � < 90°

c. cos � = − �� ; 180° < � < 270°

d. cos � = − �� ;

�� < � < �

7. Izračunaj natančno cos �, če je:

a. sin � = − � ; cos � > 0

b. sin � = − �� ; 270° < � < 360°

c. sin � = √�� ; 0° < � < 90°

d. sin � = − √ � ; � < � < ��

�

8. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota, manjšega od 45°

a. sin 850° b. sin 1225°

c. cos 1025° d. cos 123°47�

9. Natančno izračunaj

a. sin 150° b. cos 330° c. sin 945° d. cos 600 °

e. sin ��

f. cos ��

10. Uredi po velikosti

a. sin 720°, sin 300°, sin 150°, sin 90°, sin 270° b. cos 0°, cos 60°, cos 540°, cos 120°, cos 45°


a. �{��]�°��{�� °

�{�� °

b. �� °∙��_�°

��Z �� °

c. �{��

��^

� ��`}�~


26

5.1.2 Lastnosti funkcij sinus in kosinus

Periodičnost

Naj bo α poljuben kot v standardni legi. Če ga povečamo za polni kot, se končna kraka obeh

kotov ujemata in sekata enotsko krožnico v isti točki. Zato je

αα sin�sin� =°+ 360 in αα cos)360cos( =°+

ali

απα sin)2sin( =+ in απα cos)2cos( =+ .

Funkciji sinus in kosinus sta periodični funkciji s periodo π2 .

Prav tako se vrednost obeh funkcij ponovi, če kot povečamo ali zmanjšamo za poljubno

število polnih kotov. Zato za poljubno celo število k velja

απα

απα

cos)2cos(

sin)2sin(

=⋅+

=⋅+

k

k

Vsak cel večkratnik števila π2 je perioda funkcije sinus in kosinus. Najmanjša pozitivna

perioda je število π2 , pravimo mu tudi osnovna perioda funkcij sinus in kosinus.

Lihost in sodost

Kosinus je soda funkcija, sinus je liha funkcija:

αα

αα

sin)sin(

cos)cos(

−=−

=−

ZGLED

Poenostavi izraz!

11 + cos�−�� +

11 − cos � =

=1

1 + cos �+

11 − cos �

=

=1 − cos � + 1 + cos �

(1 + cos �)(1 − cos �)=

=2

1 − cos� �=

=2

sin� �


27

5.1.3 Lastnosti funkcij sinus in kosinus – VAJE


a. � �{��]�°�

�� °��°� b. ��Z}�^ �{��

�{�Z``�� Y��Zh��~i

2. Poenostavi izraze

a. sin � � sin�� b. ��

�{��{��

5.1.4 Grafa funkcij sinus in kosinus

Funkcijo sinus smo definirali na množici —, zaloga vrednosti funkcije pa je interval k�1,1l. �:— → k−1,1l �: � ⟼ sin �

Graf funkcije �� sin �, je množica točk CN��, ?�; � ∈ —, ? � sin �J

Lastnosti funkcije sinus:

• ničle ima pri 0, �, 2�, 3�,… bg � 1�; - ∈ Ÿ

• maksimum ? � 1 doseže pri �� ,

�� 2�,… b�cb � �

� � 1��; - ∈ Ÿ

• minimum ? � �1 doseže pri �� ,

�� 2�,… b��

� � 1��; - ∈ Ÿ

• je periodična z osnovno periodo 2�

• je liha, saj je sin�� sin�

• je omejena, spodnja meja je �1, zgornja meja je 1


28

Funkcija kosinus je definirana za vsa realna števila.

�:— → k−1,1l �: � ⟼ cos �

Graf funkcije kosinus ima enako obliko kot graf funkcije sinus, le da je premaknjen za �� v

levo. Graf funkcije �� cos �, je množica točk CN��, ?�; � ∈ —, ? � cos �J

Lastnosti funkcije kosinus:

• ničle ima pri �� ,

�� ,

�� , … bg � �

� � 1�; - ∈ Ÿ

• maksimum ? � 1 doseže pri 0, 2�, 4�,… b�cb � 1��; - ∈ Ÿ

• minimum ? � �1 doseže pri �, 3�, 5�,… b�� 1��; - ∈ Ÿ

• je periodična z osnovno periodo 2�

• je soda, saj je cos�� cos �

• je omejena, spodnja meja je �1, zgornja meja je 1

5.1.5 Grafa funkcij sinus in kosinus – VAJE

1. Reši enačbo

a. sin � � 0

b. cos � � 0

c. sin � � 1

d. cos � � �1

2. Izračunaj ničle dane funkcije in določi tiste vrednosti spremenljivke �, pri katerih ima

funkcija največjo oz. najmanjšo vrednost

a. �� sin 2�

b. �� cos 3� c. �� sin L

�


29

5.2 TANGENS IN KOTANGENS

Funkcija tangens je kvocient funkcij sinus in kosinus

tan � � sin �cos �

Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije kosinus:

:; � —� C�;cos � � 0J � —� ��2 � -�; - ∈ Ÿ

V točkah �� -�; - ∈ Ÿ so poli.

V polih ima funkcija tangens navpične asimptote.

Ničle funkcije tangens so ničle števca, torej ničle funkcije sinus: �� -�; - ∈ Ÿ

Funkcija tangens je periodična z osnovno periodo �:

tan�� tan �

Funkcija tangens je liha:

tan�� tan �

Lastnosti funkcije tangens:

• je periodična s periodo �

• je liha funkcija

• je odsekoma naraščajoča

• ni omejena

• zaloga vrednosti je množica realnih števil

Funkcija kotangens je kvocient funkcij kosinus in sinus

cot � � cos �sin �


30

Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije sinus:

:; � —� C�;sin � � 0J � —� C-�; - ∈ ŸJ

Pri večkratnikih števila � ima funkcija kotangens pole, v polih pa navpične asimptote.

Ničle funkcije kotangens so ničle števca, torej ničle funkcije kosinus: �� -�; - ∈ Ÿ

Funkcija kotangens je periodična z osnovno periodo �:

cot�� cot �

Funkcija kotangens je liha:

cot�� cot �

Podobno kot pri sinusu in kosinusu lahko tudi tangens in kotangens kotov, večjih od ��,

prevedemo na tangens in kotangens ostrega kota.

Tangens in kotangens sta pozitivna v točkah, v katerih imata sinus in kosinus enak predznak,

sicer sta negativna.

Tangens in kotangens sta pozitivna v I. in III. kvadrantu in negativna v II. in IV. kvadrantu.

Veljata zvezi:

1 � tan� � � ��{�Z�

1 � cot� � � ��Z �

5.2.1 Tangens in kotangens – VAJE

1. Izračunaj

a. tan 135° � tan 585° b.

¡¢��°Y ¡¢��°¡¢�� °

c. ��°� ¡¢�� °

¡¢� �� °

d. �{�� °Y ¡¢��°

¡¢�� °Y��°�


31

2. Izračunaj tan�, če je:

a. kot � oster in sin � =�

b. kot � top in cos � = −�

c. 180° < � < 270° in sin � = −�

�

d. ��

�< � < 2� in cos � =

��

3. Izračunaj sin � in cos �, če je

a. kot � oster in tan � = 2

b. kot � top in tan � = −�

�

c. 180° < � < 270° in tan � =�

�

d. 270° < � < 360° in tan � = −�

�

5.3 ADICIJSKI IZREKI

Za poljubna kota � in � veljajo adicijski izreki:

sinus vsote kotov

sin�� sin � cos � � cos � sin �

sinus razlike kotov

sin�� sin � cos � � cos � sin �

kosinus vsote kotov

cos�� cos � cos � � sin� sin �

kosinus razlike kotov

cos�� cos � cos � � sin� sin �

tangens vsote kotov

tan�� tan� � tan�1 − tan� tan�

tangens razlike kotov

tan�� − �� = tan� − tan�1 + tan� tan�

ZGLED:

cos h� + �3i = cos � cos �3 − sin � sin �3 =

= cos � ∙12 − sin � ∙ √32 =

=12 cos � −

√32 sin �

Poišči natančno vrednost za cos75°! cos 75° = cos�30° + 45°� = = cos 30° cos 45° − sin 30° sin 45° =

=√32 ∙ √22 − 1

2 ∙√22 =

=√6

4−

√2

4=

=√6 − √2

4


32

Kosinus in sinus dvojnega kota izrazimo s funkcijama kosinus in sinus enojnega kota takole:

cos 2� = cos� � − sin� �

sin 2� = 2 sin � cos �

5.3.1 Adicijski izreki – VAJE

1. Izračunaj sin � in cos �, če je �

a. 375°

b. �75° c. 465°

2. Izračunaj

a. sin 65° cos 25° − cos 65° sin 25° b. cos 63° cos 17° − sin 63° sin 17° 3. Naj bo kot � oster. Izračunaj

a. sin h� + �\i in cos�� − 135°�, če je sin � = �

b. sin h� − �\i in cos�� − 120°�, če je cos � = �

4. Naj bo 180° < � < 270°. Izračunaj

a. sin�� + 150°� in cos�� + 150°�, če je sin � = − √��

b. sin h� − ��i in cos h� + �

�i, če je sin � = − _�[

5. Izračunaj sin�� + �� in cos�� + ��, če

a. sta kota � in � topa, cos � = − �� in cos � = −

��

b. sta kota � in � ostra, cos � = � in cos � = �

�[

c. je sin � = − � , 180° < � < 270° in sin � = − �

� , 270° < � < 360° 6. Skrči izraz

a. sin�� + 270°� − cos�� − 180°� b. cos�� − 45°� + cos�� + 45°� c. sin�� + 60°� − sin�� − 60°�

7. Izračunaj tan h� + ��i in tan h� − �

�i, če je

a. tan� = 2 b. tan� = − ��

8. Izračunaj sin 2� in cos 2�, če je:

a. sin � = � , 0° < � < 90°

b. cos � = − �� ,

�� < � < �

c. sin � = − �� , � < � < ��

�

d. cos � = � �[ , 270° < � < 360°


33

5.4 NAKLONSKI KOT PREMICE IN KOT MED DVEMA PREMICAMA

Naklonski kot premice v koordinatnem sistemu je kot, ki ga premica oklepa s pozitivno

smerjo osi �.

O naklonskem kotu premice odloča koeficient - v enačbi premice ? � -� � �, ki ga

imenujemo tudi smerni koeficient premice.

Smerni koeficient premice je enak tangensu naklonskega kota premice.

- � tan£

ZGLED

Poiščimo naklonski kot premice ? � 4� + 3.

tan£ = 4

£ = 75°58�

Kot ϕ med premicama s smernima koeficientoma -� in -� izračunamo z enačbo:

tan£ � ¤ -� � -�1 + -� ∙ -�¤

ZGLED

Izračunajmo kot med premicama ? = 2� − 5 in ? =�

�� − 2.

-� = 2

-� =�

�

tan£ � ¥ `^��Y`^∙�

¥ tan£ � ¥ �p^�YZ^

¥ tan£ � ¥�pp̂

^¥

tan£ � |�1| = 1

£ = 45°


34

5.4.1 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama – VAJE

1. Določi naklonski kot premice

a. ? � 6� � 4

b. ? = � � − 7

c. � � �2

d. 3� − ? + 5 = 0

e. 5� + 2? + 12 = 0

f. L� � t

� � 1

2. Določi naklonski kot premice, ki poteka skozi točki

a. 9�1,2� in §�2,4� b. 9�0,3� in §�4,3�

c. 9�−2, �3� in §�1, �1� d. 9�−1, 0� in §��1,3�

3. Izračunaj kot med premicama

a. ? = 2� − 3 in ? = 5� + 4

b. ? = 3� + 1 in ? = −2� + 1

c. ? = 2� + 5 in ? =�

�� − 2

d. � − 2? − 6 = 0 in −� + 2? − 8 = 0

e. 6� � 4? ∓ 2 = 0 in 2� − 3? + 6 � 0

1

REŠITVE Matematika 1 – 2. Del

Polinomi in Racionalne funkcije

1.1 Polinomi

1.

a. b. c. d.

stopnja 2 3 4 5

vodilni koeficient 5 4 −1 −1

vodilni člen 5�� 4�� −�� −�

prosti člen -3 1 2 −52

2. ��1 = 4, ��0 = 4, ��−2 = 10, ��4 = 88

3. � = 0, � = −7

4. � = 4, � = −11

5. � = 2, � = 3, � = 5

6. stopnja: 4; ��0 = 1, ��2 = 57, ��−1 = 6

7. �� = 2�� − � + 3

8. �� = 3�� − 2� − 3

9. �� = 2�� + �� − 2�

1.2 Operacije v množici polinomov

1. a. �� + �� + 5� + 1 b. −3�� + 4�� + 6� − 1 c. 0

2. a. 2�� − �� + 2� + 3 b. −�� + 2�� + 3�� − 4� − 2 c. 7�� + 4�� − 5� − 1

3. a. �� − 2�� + 2� − 5 b. 2� − 6�� − 7�� + 12� c. 2�� + 2�� − 5� − 4 d. 7�� −12� + 6

4. a. �� + �� − 2� − 8 b12� + 8�� − �� + 18�� − � + 4.

c. −�� + 2�� + � − 2�� − 2�� + 2�

5. a. �� = � + 6, �� = 13 b. �� = � − 5, �� = 67 c. �� = �� + 5� + 5, �� =3

d. �� = � − 3, �� = −4� + 1 e. �� = 2�� − 5� + 12, �� = −15� + 10

6. a. ne b. da

1.3 Hornerjev algoritem

1. a. �� = �� − � + 3, �� = 2 b.�� = 2�� − 2�� + � − 3, �� = −1

c. �� = 4�� + 8�� + 14�� + 31� + 32, �� = 62

2. a. ��−2 = 3 b. ��1 = 0 c. ��3 = −16

3. z � − 3je deljiv, z � + 2je deljiv

2

1.4 Ničle polinoma

1. a. ni ničla b. je ničla c. ni ničla

2. a. � = 1(2. st) b. � = 2 (3. st) c. � = 0 (1. st), � = −3 (1. st) d. � = −3 (2. st), � = 2 (1.

st)

e. � = 0 (1. st), � = −1 (4. st), � = 2 (4. st), � = −2 (5. st)

3. a. �� = �� + 5 �� − 5 �� = 0(1. st), �� = −5 (1. st), �� = 5 (1. st)

b. �� = �� + 7 �� − 7 �� = 0(2. st), �� = −7 (1. st), �� = 7 (1. st)

c. �� = �� + 1 �� − 3 �� = 0 − 1(1. st), �� = 3 (1. st)

d. �� = �� + 6 �� − 1 �� = 0(1. st), �� = −6 (1. st), �� = 1 (1. st)

e. �� = �� + 1 �� + 5 �� − 5 �� = −1(1. st), �� = −5 (1. st), �� = 5 (1. st)

4. a. �� = 1(2. st), �� = −2 (1. st) b. �� = −1(1. st), �� = 2 (1. st), �� = 3 (1. st)

c. �� = 0(1. st), �� = −1 (3. st)

5. a. �� = −1(1. st), �� = 2 (1. st), �� = 5 (1. st) b. �� = −1(1. st), �� = �� (2. st)

c. �� = 1(1. st), �� = 2 (1. st), �� = �� (1. st) d. �� = 0(1. st), �� = 2 (2. st), �� = 5 (1. st)

6. �� = −�� − 2� + 8

7. �� = − ��

� − ��

� + 4�� − 5�

1.5 Graf polinoma

1.

a. ničle: �� = −1,

�� = 0, �� = 1

b. ničle: �� = −1,

�� = 0, �� = 1

c. ničle: �� = −1,

�� = 0, �� = 4

d. ničle: �� = −2,

�� = 0, �� = 1

e. ničle: �� = 0,

�� = �� , �� = 1

f. ničle: �� = −1,

�� = 1

3

g. ničle: �� = − ��,

�� = 1

h. ničle: �� = −1,

�� = 1

i. ničle: �� = −1,

�� = 0, �� = ��

1.6 Polinomske neenačbe

1. � ∈ !− �� , −1" ∪ �0,∞

2. � ∈ �−∞,−2 ∪ �0, 2

3. � ∈ %− �� , 0& ∪ '1,∞

4. � ∈ �−∞,1(

5. a. � ∈ �−3, 1 b. � ∈ �−4,−1 ∪ �1,∞ c. � ∈ �−1,0 ∪ �1,∞ d. � ∈ )0* ∪ '1,∞ e. � ∈ �−∞,−4( ∪ '0,2(

2.1 Graf racionalne funkcije

1. a. � = 0 b. � = 5 c. � = − �� d. �� = −2, �� = 7

2. a. +,:—− )0* b. +,:—− )−6* c. +,:—− )3, 7* d. +,:—− )−5, 0, 5*

4

3. a. �� = 6 b. �� = �� c. �� = −8, �� = 1 d. �� = 0, �� = 2 + √2, �� = 2 − √2

4. a. N: �� = −2; /�0 = −2 b. N: �� = −3; /�0 = −2 c. N: �� = −5, �� = 9; /�0 = −5

5. a. 1 = 0 b. 1 = 0 c. 1 = 1 d. 1 = 1

6.

a. N: / P: �� = −2 A: 1 = 0

b. N: / P: �� = 0 A: 1 = 0

c. N: �� = −2 P: �� = −1, �� = 1 A: 1 = 0

d. N: �� = �� P: �� = −2,

�� = 1 A: 1 = 0

e. N: �� = 0, �� = 2

P: �� = −2, �� = 1

A: 1 = 0

f. N: �� = 0 P: �� = 1

A: 1 = 1

g. N: �� = 1 P: �� = −2

A: 1 = 2

h. N: �� = 0 P: �� = 2,

�� = −2 A: 1 = 1

i. N: �� = 1 P: �� = −1,

�� = −2 A: 1 = 1

j. N: �� = −1, �� = 3

P: �� = 0, A: 1 = −1

2.2 Racionalna enačba

1. a. � = −3 b. � = −1, � = 2 c. � = −3, � = 5

2. a. R = )3* b. R = )−2* c. R = )1* d. R = 2�34 e. ni rešitve f. R = 2��4 g. R = 21, ��4 d. ni rešitve

5

3. N: �� = −3, �� = 3 P: �� = 1, A: 1 = −1

5� = �−3, 0 5� = �−1, 2 5� = �2, 5

2.3 Racionalna neenačba

1. N: / P: �� = −3, A: 1 = 0

� ∈ �−∞,−3

2. N: �� = 0 P: �� = −2, A: 1 = −1

� ∈ �−∞,−2 ∪ �0,∞

3. N: �� = − �� P: �� = 3, A: 1 = 3

� ∈ �−∞,− ��& ∪ �3,∞

4. N: �� = 0 P: �� = ��, A: 1 = 1

� ∈ '0, ��"

5. a. � ∈ �5,∞ b. � ∈ �−∞,−4( ∪ �7,∞ c. � ∈ '−2,4 d. � ∈ �−∞, 10 e. � ∈ �−∞,−2 ∪ %� , ∞ f. � ∈ 6−√5,0 ∪ �0,√57

Documents

MATEMATIKA 1 – 2. del - lung.silung.si/ekt/MA1_del2_resitve.pdf · MATEMATIKA 1 – 2. del EKONOMSKI TEHNIK – PTI ... MATEMATIKA 1 POLINOMI 8 3. Razstavi dane polinome in zapiši