Upload
phamnhu
View
330
Download
71
Embed Size (px)
Citation preview
3er G
rado
Vo
lum
en II
SUSTITU
IR
matemticaS3er Grado Volumen II
III
III
mat
em
tica
SLi
bro
para
el m
aest
ro
Libr
o pa
ra e
l mae
stro
Libr
o pa
ra e
l mae
stro
MAT3 LM Vol2 portada.indd 1 12/15/08 12:39:44 PM
Libro para el maestro
3er Grado Volumen II
IIImatemticas
MAT3 B3 PREL maestro.indd 1 12/11/08 10:42:37 PM
Matemticas III. Libro para el maestro. Volumen II fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.
AutoresAna Laura Barriendos Rodrguez, Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
Revisores acadmicos externosDavid Francisco Block Sevilla, Diana Violeta Solares Pineda
Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez
ColaboradoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato
Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano Pineda, Emilio Domnguez Bravo,Deyanira Monroy Zarin
Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez
Primera edicin, 2008Quinta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)
D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.
ISBN 978-968-01-1718-5 (obra completa)ISBN 978-968-01-1720-8 (volumen II)
Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta
Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito
DiseoZona Grfica
DiagramacinBruno Contreras, Vctor Vilchis
IconografaCynthia Valdespino
IlustracinCurro Gmez, Vctor Eduardo Sandoval, Gabriela Podest, Juan Pablo Romo
FotografaBruno Contreras, Cynthia Valdespino, Fernando Villafn, Art Explosion 2007
LPM-MATE-3-V2-LEGAL-13-14.indd 2 12/06/12 14:06
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidasPistas didcticas
Mapa-ndiceClave de logos
BLOqUE 3secuencia 14 Relaciones funcionales y expresiones algebraicassecuencia 15 Resolucin de ecuaciones cuadrticas por la frmula generalsecuencia 16 Teorema de Talessecuencia 17 Figuras homotticassecuencia 18 Grficas de relaciones funcionalessecuencia 19 Algunas carctersticas de graficas no linealessecuencia 20 Grficas por pedazos
BLOqUE 4secuencia 21 Diferencias en sucesionessecuencia 22 Teorema de Pitgorassecuencia 23 Razones trigonomtricassecuencia 24 El crecimiento exponencial y el linealsecuencia 25 Representacin de la informacin
BLOqUE 5secuencia 26 Ecuaciones y sistemas de ecuacionessecuencia 27 Conos y cilindrossecuencia 28 Volumen del cono y del cilindrosecuencia 29 Estimar volmenessecuencia 30 Grfica cajabrazos
Examen bloque 3Examen bloque 4Examen bloque 5Bibliografa
4
6
8
10
12
14
16
20
25
26
28
38
52
64
74
84
110
120
122
136
146
162
176
184
186
192
202
208
210
222
244
252
262
ndice
MAT3 B3 PREL maestro.indd 3 12/11/08 10:42:40 PM
MAT3 B3 PREL maestro.indd 4 12/11/08 10:42:43 PM
Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria
1 3 452
MAT3 B3 PREL maestro.indd 5 12/11/08 10:42:50 PM
L ib ro para e l maest ro
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:
Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema.
Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los proyectos de Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del ao escolar.
Crear un ambiente de confianza1
MAT3 B3 PREL maestro.indd 6 12/11/08 10:42:56 PM
L ib ro para e l maest ro
Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y tomar sugerencias.
Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido conceptual.
Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.
Cmo hacer una lluvia de ideasuna lluvia de ideasuna lluvia de ideas
Cmo coordinar la discusin de
un dilema moral
MAT3 B3 PREL maestro.indd 7 12/11/08 10:43:01 PM
L ib ro para e l maest ro
Es importante usar diferentes prcticas acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseanza en el aula:
Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos mejor.
Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.
Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.
Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias.
Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.
Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
2
MAT3 B3 PREL maestro.indd 8 12/11/08 10:43:06 PM
L ib ro para e l maest ro
Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se oyen (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.
Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.
Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.
Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.
Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En matemticas, por ejemplo, el carcter formal o acabado del procedimiento de solucin depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemtico est en construccin permanente.
Cmo apoyar la elaboracin de resmenes
Cmo introducir otros recursos
Para hacer uso del diccionario
Cmo leerun mapa
Cmo concluirun dilogo o actividad
MAT3 B3 PREL maestro.indd 9 12/11/08 10:43:11 PM
10 L ib ro para e l maest ro10 L ib ro para e l maest ro
El dilogo e interaccin entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:
Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.
Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos.
Fomentar la interaccin en el aula
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
3
MAT3 B3 PREL maestro.indd 10 12/11/08 10:43:18 PM
11L ib ro para e l maest ro
Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.
Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera).
Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.
Cmo llevar a cabo un debate
Cmo conducir una revisin grupal de textos
Cmo conducir un dilogo grupal
Cmo coordinar la discusin de
un dilema moral
MAT3 B3 PREL maestro.indd 11 12/11/08 10:43:26 PM
12 L ib ro para e l maest ro
Una parte fundamental de la educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las clases y
Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos.
Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede
Utilizar recursos mltiples
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
4
MAT3 B3 PREL maestro.indd 12 12/11/08 10:43:30 PM
13L ib ro para e l maest ro
fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna actividad experimental.
Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas
Cmo introducir otros recursos
MAT3 B3 PREL maestro.indd 13 12/11/08 10:43:36 PM
14 L ib ro para e l maest ro
Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y constante. Por ejemplo, se puede:
Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.
Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:
Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
tratar de inferir el significado del texto.
Buscarla en el diccionario.
Preguntar al maestro o a un compaero.
saltarla y seguir leyendo.
Qu hacer cuando no sabes Qu significa una palabra?
5
MAT3 B3 PREL maestro.indd 14 12/11/08 10:43:53 PM
15L ib ro para e l maest ro
Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la consulta continua.
Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a su estilo y sus intereses.
Cmo organizar la bitcora del grupo
MAT3 B3 PREL maestro.indd 15 12/11/08 10:43:59 PM
1 L ib ro para e l maest ro
Pistas didcticas
Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o imgenes que aparecen en distintos medios, se cita
su procedencia, usando alguno de los siguientes cdigos:
Libro: apellido del autor, nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar tambin las palabras o pginas consultadas.
Revista o peridico: ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas.
Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal.
Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los
textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.
Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrn y despus en su cuaderno.
Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo.
En cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan.
Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.
Cmo conducir un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn,
para recuperarlas en la discusin o conclusiones.
Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas.
Para avanzar en el dilogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu otras observaciones se podran hacer?
Cierre cada punto y d pie al siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado.
En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano.
Seale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.
textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio
cepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por
aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el
olicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban
n cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no
iempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.
MAT3 B3 PREL maestro.indd 16 12/11/08 10:44:02 PM
1L ib ro para e l maest ro
Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu
pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).
Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y planteen dudas.
Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla.
Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera).
Resuma con el grupo las principales aportaciones.
Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
lantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).
onforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada,
etome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los
participantes.
Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron.
Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones.
Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos.
Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms importantes.
Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca
escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.
Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografas, etctera.
Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.
Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.com se explica cmo hacerlo.
MAT3 B3 PREL maestro.indd 17 12/11/08 10:44:06 PM
1 L ib ro para e l maest ro
Cmo coordinar la discusin de un dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que
los comentarios se harn ms adelante.
Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles, por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el personaje en cuestin?
Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria.
Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura.
A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra otros argumentos?, cules?
Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema.
medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e
Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con
el grupo.
Presente el material (libro, revista, artculo de peridico, mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es, el autor o artista, el ao.
Lea o mustrelo al grupo.
Converse con los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja.
Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que estn abordando en el curso.
Cmo llevar a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y
de secretario, explicndoles en qu consiste su labor.
Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando.
El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema.
El secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos que aportan.
Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas.
Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cules son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones.
Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.
ntes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y
efina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse
l secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos
l agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones;
ada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan
MAT3 B3 PREL maestro.indd 18 12/11/08 10:44:13 PM
1L ib ro para e l maest ro 1L ib ro para e l maest ro
Cmo leer un mapa Pida a los alumnos que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin
representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o procesos del pasado.
Revise con los alumnos las referencias o simbologa.
Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa.
Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin.
Comente con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o relacionndolo con otras informaciones previas.
Interprete la orientacin a partir de leer la rosa de los vientos.
Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen
tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.
Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y luego en su cuaderno.
Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.
En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.
Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir y lalo con el grupo.
Solicite participaciones a partir de las preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?, cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas.
A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto.
De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.
Para hacer uso del diccionario Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden.
Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico.
Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin pueden hacer uso de sinnimos.
Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente.
Si an quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.
Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivosCmo conducir una revisin grupal de textos colectivos otro para comentarlo. Copie fragmen
tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.
cepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su
olicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo
MAT3 B3 PREL maestro.indd 19 12/11/08 10:44:17 PM
20 L ib ro de l maest ro
Blo
qu
e1
SEC
UEN
CIA
SESI
N
REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
1.
Prod
ucto
sno
tabl
esy
fac
toriz
aci
n.
Efec
tuar
os
impl
ifica
rc
lcul
osc
one
xpre
sion
esa
lgeb
raic
ast
ales
co
mo:
(x
+ a
)2;(
x +
a)(
x +
b);
(x
+ a
)(x
a)
.Fac
toriz
are
xpre
sion
es
alge
brai
cas
tale
sco
mo:
x 2
+ 2a
x +
a 2;a
x 2 +
bx;
x 2
+ bx
+ c
;x 2
+ a 2
.
1.1
Afo
rmar
cua
drad
osPr
ogra
ma
1
1.2
Elc
uadr
ado
deu
nad
ifer
enci
aIn
tera
ctiv
o
1.3
Lad
ifer
enci
ade
dos
cua
drad
os
1.4
Afo
rmar
rect
ngu
los
Prog
ram
a2
1.5
Un
caso
esp
ecia
lde
fact
oriz
aci
n
2.
Tri
ngul
osc
ongr
uent
esy
cua
dril
tero
s.
Aplic
arlo
scr
iter
ios
dec
ongr
uenc
iad
etr
ing
ulos
en
laju
stifi
caci
n
dep
ropi
edad
esd
elo
scu
adril
ter
os.
2.1
Lado
sop
uest
osig
uale
sLa
dia
gona
lde
unp
aral
elog
ram
o
(Geo
met
rad
inm
ica)
2.2
Punt
osm
edio
sPr
ogra
ma
3In
tera
ctiv
oC
mo
verifi
car
lac
ongr
uenc
iad
ela
sfig
uras
(G
eom
etra
din
mic
a)
3.
Entr
ere
ctas
yc
ircun
fere
ncia
s.
Det
erm
inar
med
iant
eco
nstr
ucci
ones
las
posi
cion
esre
lati
vas
entr
ere
ctas
yu
nac
ircun
fere
ncia
ye
ntre
circ
unfe
renc
ias.
Ca
ract
eriz
arla
rect
ase
cant
ey
lat
ange
nte
aun
aci
rcun
fere
ncia
.
3.1
Punt
ose
nco
mn
3.2
Traz
osd
eta
ngen
tes
Prog
ram
a4
Inte
ract
ivo
T ang
ente
s
(Geo
met
rad
inm
ica)
3.3
Entr
eci
rcun
fere
ncia
sIn
tera
ctiv
o
3.4
Algu
nos
prob
lem
asPr
ogra
ma
5
4.
ngu
los
enu
nac
ircun
fere
ncia
.
Det
erm
inar
lare
laci
ne
ntre
un
ngu
loin
scrit
oy
un
ngul
oce
ntra
lde
una
circ
unfe
renc
ia,s
iam
bos
abar
can
elm
ism
oar
co.
4.1
Dos
ng
ulos
de
una
circ
unfe
renc
ian
gulo
sin
scrit
ose
nun
aci
rcun
fere
ncia
(G
eom
etra
din
mic
a)
4.2
Rela
cion
esa
med
ias
4.3
Prob
emos
que
uno
es
lam
itad
del
otr
oPr
ogra
ma
6In
tera
ctiv
o
4.4
Prob
lem
asd
em
edid
aPr
ogra
ma
7
5.
Prob
lem
asc
onc
urva
s.
Calc
ular
lam
edid
ade
ng
ulos
insc
ritos
yc
entr
ales
,as
com
ode
ar
cos,
el
rea
des
ecto
res
circ
ular
esy
de
lac
oron
a.
5.1
Slo
una
par
tePr
ogra
ma
8In
tera
ctiv
o
5.2
Loq
uere
sta
5.3
De
todo
un
poco
6.
Lara
zn
dec
ambi
o.
Anal
izar
lara
zn
dec
ambi
ode
un
proc
eso
ofe
nm
eno
que
se
mod
ela
con
una
func
in
linea
lyre
laci
onar
lac
onla
incl
inac
in
ope
ndie
nte
dela
rect
aqu
elo
repr
esen
ta.
6.1
Elin
crem
ento
Sab
esq
uee
sun
ara
zn?
(H
oja
dec
lcu
lo)
6.2
Pend
ient
ey
raz
nde
cam
bio
Prog
ram
a9
Inte
ract
ivo
6.3
Algu
nas
razo
nes
dec
ambi
oim
port
ante
sPr
ogra
ma
10
7.
Dis
eo
dee
xper
imen
tos
yes
tudi
ose
stad
sti
cos.
D
ise
aru
nes
tudi
oo
expe
rimen
toa
par
tir
ded
atos
obt
enid
osd
edi
vers
asf
uent
esy
ele
gir
laf
orm
ade
org
aniz
aci
ny
repr
esen
taci
n
tabu
lar
ogr
fica
ms
ade
cuad
apa
rap
rese
ntar
lain
form
aci
n.
7.1
Dis
eo
deu
nes
tudi
oes
tad
stic
o.
Qu
mat
eria
te
gust
am
s?
Prog
ram
a11
Inte
ract
ivo
7.2
Un
jueg
ode
letr
as.O
tro
estu
dio
esta
dst
ico
7.3
Qu
can
tida
dde
agu
aco
nsum
en
diar
iam
ente
los
alum
nos
det
erce
rgr
ado?
Prog
ram
a12
EV
AL
UA
CI
N
MAT3 B3 PREL maestro.indd 20 12/11/08 10:44:18 PM
21L ib ro de l maest ro
Blo
qu
e2
SEC
UEN
CIA
SESI
N
REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
8.
Ecua
cion
esn
olin
eale
s.
Uti
lizar
ecu
acio
nes
noli
neal
esp
ara
mod
elar
sit
uaci
ones
yre
solv
erla
sut
iliza
ndo
proc
edim
ient
osp
erso
nale
su
oper
acio
nes
inve
rsas
.
8.1
Eln
mer
ose
cret
oPr
ogra
ma
13Ec
uaci
ones
con
ms
de
una
solu
cin
I(C
alcu
lado
ra)
8.2
Cubo
s,cu
adra
dos
yar
ista
s
8.3
Men
de
pro
blem
asPr
ogra
ma
14In
tera
ctiv
o
9.
Reso
luci
nd
eec
uaci
ones
por
fac
toriz
aci
n.
Uti
lizar
ecu
acio
nes
cuad
rti
cas
para
mod
elar
sit
uaci
ones
yre
solv
erla
sus
ando
laf
acto
rizac
in.
9.1
Cu
nto
mid
enlo
sla
dos?
Prog
ram
a15
9.2
Los
fact
ores
de
cero
Inte
ract
ivo
9.3
Ela
dorn
oPr
ogra
ma
16
9.4
Apliq
uem
oslo
apr
endi
do
10.
Figu
ras
sem
ejan
tes.
Co
nstr
uir
figur
ass
emej
ante
sy
com
para
rla
sm
edid
asd
elo
sn
gulo
sy
delo
sla
dos.
10.1
Un
cora
zn
muy
esp
ecia
lPr
ogra
ma
17In
tera
ctiv
o
10.2
Apl
icac
ione
sde
las
emej
anza
Prog
ram
a18
Inte
ract
ivo
11.
Sem
ejan
zad
etr
ing
ulos
.
Det
erm
inar
los
crit
erio
sde
sem
ejan
zad
etr
ing
ulos
.
Aplic
arlo
scr
iter
ios
des
emej
anza
de
tri
ngul
ose
nel
an
lisis
de
dife
rent
esp
ropi
edad
esd
elo
spo
lgon
os.
Ap
licar
las
emej
anza
de
tri
ngul
ose
nel
cl
culo
de
dist
anci
aso
al
tura
sin
acce
sibl
es.
11.1
Exp
lora
ndo
las
emej
anza
de
tri
ngul
osPr
ogra
ma
19
11.2
Crit
erio
sde
sem
ejan
zad
etr
ing
ulos
IId
ead
etr
ing
ulos
sem
ejan
tes
(G
eom
etra
din
mic
a)
11.3
Crit
erio
sde
sem
ejan
zad
etr
ing
ulos
II
11.4
Cl
culo
de
dist
anci
asPr
ogra
ma
20In
tera
ctiv
o
12.
ndic
es.
In
terp
reta
ry
utili
zar
ndi
ces
para
exp
licar
elc
ompo
rtam
ient
ode
di
vers
ass
itua
cion
es.
12.1
El
ndic
ena
cion
ald
epr
ecio
sal
co
nsum
idor
Prog
ram
a21
12.2
nd
ices
en
lae
scue
la
12.3
Q
uin
es
elp
elot
ero
ms
val
ioso
?Pr
ogra
ma
22
12.4
Ms
sob
ren
dice
sIn
tera
ctiv
o
13.S
imul
aci
n.
Uti
lizar
las
imul
aci
npa
rare
solv
ers
itua
cion
esp
roba
bils
tica
s.13
.1S
imul
aci
nPr
ogra
ma
23
13.2
Apl
ican
dola
sim
ulac
in
13.3
Sim
ulac
in
yti
ros
libre
sPr
ogra
ma
24In
tera
ctiv
oSi
mul
aci
nco
nel
mod
elo
deu
rna
(1)
(Hoj
ade
cl
culo
)
EV
AL
UA
CI
N
MAT3 B3 PREL maestro.indd 21 12/11/08 10:44:19 PM
22 L ib ro de l maest ro
Blo
qu
e3
SEC
UEN
CIA
SESI
N
REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
14.
Rela
cion
esf
unci
onal
esy
exp
resi
ones
alg
ebra
icas
.[2
8-37
]
Reco
noce
ren
dif
eren
tes
situ
acio
nes
yfe
nm
enos
de
laf
sic
a,la
bio
log
a,
lae
cono
ma
yo
tras
dis
cipl
inas
,la
pres
enci
ade
can
tida
des
que
vara
nun
aen
fun
cin
de
lao
tra
yre
pres
enta
rla
regl
aqu
em
odel
aes
tav
aria
cin
m
edia
nte
una
tabl
ao
una
expr
esi
nal
gebr
aica
.
14.1
El
rea
dela
imag
enIn
tera
ctiv
o
14.2
Elc
orra
lde
los
cone
jos
Prog
ram
a25
14.3
Elm
edio
litr
ode
lech
ePr
ogra
ma
26
15.
Reso
luci
nd
eec
uaci
ones
cua
drt
icas
por
laf
rm
ula
gene
ral.
[38-
51]
U
tiliz
are
cuac
ione
scu
adr
tica
spa
ram
odel
ars
itua
cion
esy
reso
lver
las
usan
dola
fr
mul
age
nera
l.
15.1
La
frm
ula
gene
ral
15.2
Elb
eisb
olis
taPr
ogra
ma
27In
tera
ctiv
o
15.3
Cu
ntas
sol
ucio
nes
tien
eun
aec
uaci
n
15.4
La
raz
ndo
rada
Prog
ram
a28
16.
Teor
ema
deT
ales
.[5
2-63
]
Det
erm
inar
elt
eore
ma
deT
ales
med
iant
eco
nstr
ucci
ones
con
seg
men
tos.
Aplic
are
lteo
rem
ade
Tal
ese
ndi
vers
osp
robl
emas
geo
mt
ricos
.
16.1
La
culp
aes
de
las
para
lela
sPr
ogra
ma
29In
tera
ctiv
oTe
orem
ade
Tal
es(G
eom
etra
din
mic
a)
16.2
Pro
porc
iona
lidad
con
tra
para
lelis
mo
Rec
proc
ode
lteo
rem
ade
Tal
es
(Geo
met
rad
inm
ica)
16.3
Ah
est
el
teo
rem
ade
Tal
esPr
ogra
ma
30
17.
Figu
ras
hom
ott
icas
.[6
4-73
]
Det
erm
inar
los
resu
ltad
osd
eun
aho
mot
ecia
cua
ndo
lara
zn
esig
ual,
men
oro
may
orq
ue1
oq
ue
1.
Det
erm
inar
las
prop
ieda
des
que
perm
anec
enin
varia
ntes
ala
plic
aru
na
hom
otec
iaa
una
figu
ra.
Co
mpr
obar
que
una
com
posi
cin
de
hom
otec
ias
con
elm
ism
oce
ntro
es
igua
lalp
rodu
cto
dela
sra
zone
s.
17.1
Esp
ecia
lmen
tes
emej
ante
sPr
ogra
ma
31In
tera
ctiv
oLa
hom
otec
iac
omo
aplic
aci
nde
lte
orem
ade
Tal
es(G
eom
etra
din
mic
a)
17.2
Dep
ende
de
lara
zn
Prog
ram
a32
Inte
ract
ivo
18.
Gr
ficas
de
rela
cion
esf
unci
onal
es.
[74-
83]
In
terp
reta
r,co
nstr
uir
yut
iliza
rgr
fica
sde
rela
cion
esf
unci
onal
esn
olin
eale
spa
ram
odel
ard
iver
sas
situ
acio
nes
ofe
nm
enos
.
18.1
Pla
noin
clin
ado
Prog
ram
a33
Inte
ract
ivo
18.2
La
ley
deB
oyle
Prog
ram
a34
18.3
La
caja
19.
Algu
nas
cara
cter
sti
cas
deg
rfic
asn
olin
eale
s.[8
4-10
9]
Esta
blec
erla
rela
cin
que
exi
ste
entr
ela
for
ma
yla
pos
ici
nde
lac
urva
de
fun
cion
esn
olin
eale
sy
los
valo
res
dela
slit
eral
esd
ela
sex
pres
ione
sal
gebr
aica
squ
ede
finen
ae
stas
fun
cion
es.
19.1
Ab
iert
asy
ms
abi
erta
s!In
tera
ctiv
oFu
ncio
nes
cuad
rti
cas
(H
oja
dec
lcu
lo)
19.2
Pa
raa
rrib
ay
para
aba
jo!
Inte
ract
ivo
19.3
Las
des
plaz
adas
Prog
ram
a35
Inte
ract
ivo
19.4
Ah
les
van
una
sc
bica
s!Pr
ogra
ma
36In
tera
ctiv
o
19.5
Ah
les
van
una
shi
prb
olas
!Pr
ogra
ma
37In
tera
ctiv
o
19.6
Efe
ctos
esp
ecia
les
Inte
ract
ivo
20.
Gr
ficas
por
ped
azos
.[1
04-1
19]
In
terp
reta
ry
elab
orar
gr
ficas
for
mad
asp
ors
ecci
ones
rect
asy
cur
vas
que
mod
elan
sit
uaci
ones
de
mov
imie
nto,
llen
ado
dere
cipi
ente
s,et
cte
ra.
20.1
Las
alb
erca
sIn
tera
ctiv
o
20.2
Div
erso
spr
oble
mas
Prog
ram
a38
Inte
ract
ivo
EV
AL
UA
CI
N
MAT3 B3 PREL maestro.indd 22 12/11/08 10:44:20 PM
23L ib ro de l maest ro
Blo
qu
e4
SEC
UEN
CIA
SESI
N
REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
21.
Dif
eren
cias
en
suce
sion
es.
[122
-135
]
Det
erm
inar
una
exp
resi
ng
ener
alc
uadr
tic
apa
rad
efini
rel
en
sim
ot
rmin
oen
suc
esio
nes
num
ric
asy
figu
rati
vas
utili
zand
oel
mt
odo
ded
ifer
enci
as.
21.1
Nm
eros
figu
rado
sPr
ogra
ma
39In
tera
ctiv
o
21.2
Las
dif
eren
cias
en
expr
esio
nes
cuad
rti
cas
21.3
Elm
tod
ode
dif
eren
cias
Prog
ram
a40
21.4
Apl
ique
mos
loa
pren
dido
22.
Teor
ema
deP
itg
oras
.[1
36-1
45]
Ap
licar
elt
eore
ma
deP
itg
oras
en
lare
solu
cin
de
prob
lem
as.
22.1
Q
un
osd
ice
elt
eore
ma
deP
itg
oras
?Pr
ogra
ma
41In
tera
ctiv
oTe
orem
ade
Pit
gor
as
(Geo
met
rad
inm
ica)
22.2
Apl
icac
ione
sde
lteo
rem
ade
Pit
gor
asI
Prog
ram
a42
Inte
ract
ivo
22.3
Apl
icac
ione
sde
lteo
rem
ade
Pit
gor
asII
23.
Razo
nes
trig
onom
tric
as.
[146
-161
]
Reco
noce
ry
dete
rmin
arla
sra
zone
str
igon
omt
ricas
en
fam
ilias
de
tri
ngul
osre
ctn
gulo
sse
mej
ante
s,co
mo
coci
ente
sen
tre
las
med
idas
de
los
lado
s.
Calc
ular
med
idas
de
lado
sy
de
ngul
osd
etr
ing
ulos
rect
ngu
los
apa
rtir
delo
sva
lore
sde
razo
nes
trig
onom
tric
as.
Re
solv
erp
robl
emas
sen
cillo
s,en
div
erso
sm
bito
s,ut
iliza
ndo
las
razo
-ne
s tr
igon
omt
ricas
.
23.1
La
com
pete
ncia
Inte
ract
ivo
ngu
lod
eel
evac
in
yde
pres
in
(H
oja
dec
lcu
lo)
23.2
Cos
enos
ys
enos
Prog
ram
a43
23.3
30
,45
y6
0
23.4
Are
solv
erp
robl
emas
Prog
ram
a44
Inte
ract
ivo
24.
Elc
reci
mie
nto
expo
nenc
ialy
ell
inea
l.[1
62-1
75]
In
terp
reta
ry
com
para
rla
sre
pres
enta
cion
esg
rfic
asd
ecr
ecim
ient
oar
itm
tic
oo
linea
lyg
eom
tric
oo
expo
nenc
iald
edi
vers
as
situ
acio
nes.
24.1
Cre
cim
ient
ode
pob
laci
ones
Prog
ram
a45
Inte
ract
ivo
24.2
Int
ers
com
pues
to
24.3
Gr
fica
deu
nas
uces
in
expo
nenc
ial
Prog
ram
a46
24.4
La
depr
ecia
cin
de
las
cosa
sPr
ogra
ma
47In
tera
ctiv
o
25.
Repr
esen
taci
nd
ela
info
rmac
in.
[1
76-1
83]
An
aliz
arla
rela
cin
ent
red
atos
de
dist
inta
nat
ural
eza,
per
ore
ferid
os
aun
mis
mo
fen
men
oo
estu
dio
que
sep
rese
nta
enre
pres
enta
cion
es
dife
rent
es,p
ara
prod
ucir
nuev
ain
form
aci
n.
25.1
Muc
hos
dato
sPr
ogra
ma
48In
tera
ctiv
o
25.2
De
impo
rtan
cia
soci
al
EV
AL
UA
CI
N
MAT3 B3 PREL maestro.indd 23 12/11/08 10:44:21 PM
24 L ib ro de l maest ro
Blo
qu
e5
SEC
UEN
CIA
SESI
N
REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
26.
Ecua
cion
esy
sis
tem
asd
eec
uaci
ones
.[1
86-1
91]
D
ado
unp
robl
ema,
det
erm
inar
lae
cuac
in
linea
l,cu
adr
tica
o
sist
ema
dee
cuac
ione
sco
nqu
ese
pue
dere
solv
er,y
vic
ever
sa,
prop
oner
una
sit
uaci
nq
ues
em
odel
eco
nun
ade
esa
sre
pres
enta
-ci
ones
.
26.1
Los
dis
cpu
los
deP
itg
oras
26.2
Ecu
acio
nes
yge
omet
raPr
ogra
ma
49In
tera
ctiv
o
27.
Cono
sy
cilin
dros
.[1
92-2
01]
An
tici
par
las
cara
cter
sti
cas
delo
scu
erpo
squ
ese
gen
eran
alg
irar
otr
asla
dar
figur
as.
Co
nstr
uir
desa
rrol
los
plan
osd
eco
nos
yci
lindr
osre
ctos
.
Anti
cipa
ry
reco
noce
rla
sse
ccio
nes
que
seo
btie
nen
alre
aliz
arc
orte
sa
unc
ilind
roo
au
nco
nore
cto.
An
tici
par
yre
cono
cer
las
secc
ione
squ
ese
obt
iene
nal
real
izar
cor
tes
aun
cili
ndro
oa
un
cono
rect
o.
Det
erm
inar
lav
aria
cin
que
se
dae
nel
radi
ode
los
dive
rsos
crc
ulos
qu
ese
obt
iene
nal
hac
erc
orte
spa
rale
los
enu
nae
sfer
aco
nore
cto.
27.1
Sl
idos
de
revo
luci
nPr
ogra
ma
50In
tera
ctiv
o
27.2
Cili
ndro
sre
ctos
27.3
Con
osre
ctos
Prog
ram
a51
27.4
Sec
cion
esd
eco
rte
Inte
ract
ivo
28.
Volu
men
del
con
oy
delc
ilind
ro.
[202
-207
]
Cons
trui
rla
sf
rmul
asp
ara
calc
ular
elv
olum
end
eci
lindr
osy
con
os.
28.1
Tin
acos
de
agua
Inte
ract
ivo
28.2
Con
osd
epa
pel
Prog
ram
a52
Inte
ract
ivo
29.
Esti
mar
vol
men
es.
[208
-209
]
Esti
mar
yc
alcu
lar
elv
olum
end
eci
lindr
osy
con
os.C
alcu
lar
dato
sde
scon
ocid
osd
ados
otr
osre
laci
onad
osc
onla
sf
rmul
asd
elc
lcu
lo
dev
olum
en.
29.1
Pro
blem
asp
rct
icos
Prog
ram
a53
Inte
ract
ivo
Prog
ram
a54
30.
Gr
fica
caja
braz
os.
[210
-221
]
Inte
rpre
tar,
elab
orar
yu
tiliz
arg
rfic
asd
eca
jabr
azos
de
unc
onju
nto
ded
atos
par
aan
aliz
ars
udi
strib
uci
na
part
irde
lam
edia
nao
de
la
med
iad
edo
so
ms
pob
laci
ones
.
30.1
Int
erpr
etac
in
ded
atos
Prog
ram
a55
30.2
Con
stru
cci
nde
lag
rfic
aca
jabr
azos
Prog
ram
a56
Inte
ract
ivo
30.3
Com
para
cin
de
dato
sm
edia
nte
lag
rfic
ade
caj
abra
zos
Prog
ram
a57
EV
AL
UA
CI
N
EJ
E 1
:Se
ntid
onu
mr
ico
ype
nsam
ient
oal
gebr
aico
EJ
E 2
:Fo
rma,
esp
acio
ym
edid
a
EJ
E 3
:M
anej
ode
lain
form
aci
n
MAT3 B3 PREL maestro.indd 24 12/11/08 10:44:21 PM
25L ib ro de l maest ro
Clave de logos
Trabajo individual
En parEjas
En Equipos
Todo El grupo
ConExin Con oTras asignaTuras
glosario
ConsulTa oTros maTErialEs
Cd dE rECursos
siTios dE inTErnET
biblioTECas EsColarEs y dE aula
programa dE TElEvisin
inTEraCTivo
audioTExTo
aula dE mEdios
oTros TExTos
MAT3 B3 PREL maestro.indd 25 12/11/08 10:44:22 PM
1
2
3
4
5
33
11
2
3
4
5
MAT3 B3 S14 maestro.indd 26 12/11/08 10:46:43 PM
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
BLOQUE 3
MAT3 B3 S14 maestro.indd 27 12/11/08 10:46:50 PM
28 L ib ro para e l maest ro
Propsito de la sesin. Establecer la expresin que describe la relacin entre el rea de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.
Propsito del Interactivo.Presentar problemas de la vida real y modelarlos mediante expresio-nes algebraicas.
Analizar las expresiones algebraicas mediante el uso de tablas.
Sugerencia didctica. Una vez que hayan ledo este prrafo, analicen juntos las imgenes: haga notar que cuando el proyector est a una distancia de 1 m de la pantalla, la imagen tiene una altura de 0.5 m; mientras que cuando el proyector est al doble de distancia (2 m), la imagen tiene el doble de altura (1 m). Por ello se afirma que es una relacin de proporcionali-dad directa.
Haga la siguiente pregunta: Si el proyector se encuentra a 5 m de distancia cul sera la altura de la imagen?
Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos escriban una expresin que describa la relacin entre la distancia a la que se encuentra el proyector y el tamao de la imagen.
Respuestas.
a) El lado medir 1 m y el rea 1 m2.
b) A tres metros, el rea sera 2.25 m2 porque el lado medira 1.5 m.
c) A medio metro, el rea sera 0.0625 m2 porque el lado medira 0.25 m.
12
secuencia 14
En esta secuencia encontrars las expresiones algebraicas que corresponden a distintas relaciones funcionales.
EL REA DE LA IMAGENPara empezarCuando una imagen se proyecta sobre una pantalla, su tamao aumenta. Dicho aumento puede ser mayor o menor dependiendo de la distancia a la que se encuentre el proyector respecto de la pantalla.
2 m
1 m
1 m
0.5 m
Ms an, la relacin entre la distancia a la que se coloca el proyector y las dimensionesde la imagen (largo y ancho) es de proporcionalidad directa. Es decir, si se duplica, triplica, reduce a la mitad, etc. la distancia a la que se encuentra el proyector, se duplicarn,triplicarn, reducirn a la mitad, etc. el largo y el ancho de la imagen.
Consideremos lo siguienteEn la imagen superior se est proyectando un cuadrado. Cuando el proyector se colocaa 1 m de distancia de la pantalla, la imagen proyectada resulta ser un cuadrado de lado0.5 m.
a) Si el proyector se colocara a 2 m de distancia, cunto medir el lado del cuadrado
proyectado? m; cul sera su rea? m2.
b) Si el proyector se colocara a 3 m, cul sera el rea de la imagen proyectada?
m2.
c) Y si se colocara a 12 m? m2.
sEsIN 1
Relaciones funcionales y expresiones algebraicas
Eje
Sentido numrico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las literales.
Subtema
Relacin funcional.
Antecedentes
Desde el primer grado de secundaria los alumnos han estudiado las relaciones entre cantidades que varan una en funcin de la otra. En esta secuencia continuarn trabajando ese tema resolviendo situaciones de otras disciplinas.
Propsitos de la secuencia Reconocer en otras disciplinas la presencia de cantidades que varan una en funcin de la otra
y representar la variacin mediante una tabla o una expresin algebraica.
Sesin Propsitos de la sesin Recursos
1
El rea de la imagen Establecer la expresin que describe la relacin entre el rea de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.
Interactivo
2El corral de los conejos Utilizar una relacin cuadrtica para encontrar el rea mxima de un corral con permetro fijo.
Programa 25
3El medio litro de leche Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenmenos.
Programa 26
MAT3 B3 S14 maestro.indd 28 12/11/08 10:46:55 PM
29L ib ro para e l maest ro
Respuestas.
d) Si x es la distancia a la que se encuentra el proyector, y y el rea de la imagen, entonces la expresin sera y = 0.25x 2.
e) 0.49 m2
Posibles respuestas para la pregunta d). La expresin y = 0.25x 2 puede escribirse de otras maneras, como:
y = (0.5x)2
y = (0.5x) (0.5x)
y = ( x2 )2
y = x 2
4Posibles dificultades. Quiz los alumnos escriban y = 0.5x para expresar la relacin entre la distancia del proyector y el rea de la imagen, pero sera errneo. La expresin en realidad sirve para hallar el lado del cuadrado de la imagen (y ) conociendo la distancia a la que se encuentra el proyector (x ).
Otro posible fuente de error ocurre cuando al querer denotar la operacin multiplicar 0.5 por x y el resultado elevarlo al cuadrado, escriben y = 0.5x 2. La jerarqua de operaciones prioriza la exponenciacin sobre la multiplicacin, por lo que primero debe elevarse x al cuadrado, y luego multiplicarse por 0.5. Si se le agregan parntesis, la expresin es correcta: y = (0.5x )2.
Sugerencia didctica. Si los alumnos escriben distintas expresiones correctas, pdales que pasen al pizarrn a explicarlas y que las comparen. Si encuentran una sola forma correcta de escribir la expresin, o si no logran escribir ninguna, permtales avanzar en la sesin, ms adelante podrn retomarlas y hacer correcciones.
Sugerencia didctica. Aunque algunos de los estudiantes no hayan logrado escribir una expresin correcta, es importante que se cercioren de que la que escribieron en realidad denote las operaciones que quieren hacer. Es decir, deben estar seguros de que no han cometido errores como olvidar la jerarqua de operaciones. Para hacer esta verificacin, pdales a todos que escriban sus expresiones en el pizarrn. Descarte las repetidas, y para todas las dems, digan cunto vale y si x es igual a 1, 2 y 4, por ejemplo. Lo importante en este punto no es decir quin escribi una expresin correcta, sino corregir errores algebraicos.
Sugerencia didctica. Para analizar la relacin que existe entre la distancia a la que se coloca el proyector y el tamao de la imagen, diga a los alumnos que observen la tabla que llenaron en el apartado Manos a la obra. Cuando x vale 1, y vale 0.25. Si la relacin fuera de proporciona-lidad directa, se esperara que cuando x vale el doble (2) y valiera el doble (0.5), pero esto no ocurre. Analicen varios casos para que quede claro que la relacin no es de proporcionalidad directa.
13
IIIMATEMTICASd) Escribe una expresin que sirva para calcular el rea de la imagen proyectada a partir
de la distancia a la que se encuentra el proyector.
Aydate de la expresin anterior para contestar la siguiente pregunta:
e) Si el proyector se colocara a 1.4 m de distancia, cul sera el rea del cuadrado?
m2.
Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.
Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla.
Distanciadel proyector a la pantalla
(m)
Longitud del lado del cuadrado
proyectado(m)
rea del cuadrado
proyectado (m2)
0.5
1.0 0.5 0.25
1.5
2.0
2.5
3.0
II. Contesten las siguientes preguntas:
a) Qu operacin hay que hacer para completar la segunda columna a partir de la
primera?
b) Si se denota con la letra x a la distancia entre el proyector y la pantalla, cul esla expresin que representa la longitud del lado del cuadrado?
Lado =
c) Qu operacin hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la
segunda?
d) Qu operaciones hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la
primera?
e) Si denotamos con la letra y el rea de la imagen proyectada, cul es la expresin
que relaciona y con x ? y =
Comparen sus respuestas y comenten si la relacin entre la x y la y es de proporcionalidad directa.
Relaciones funcionales y expresiones algebraicas
MAT3 B3 S14.indd 13 12/10/08 6:02:18 PM
0.25 0.625 0.75 0.5625 1 1 1.25 1.5625 1.5 2.25
Respuestas.a) Dividir entre 2 o multiplicar por 0.5
b) Lado = 0.5x, tambin podra escribirse Lado = x
2c) Elevar al cuadrado.
d) Dividir entre dos y despus elevar al cuadrado, o bien, multiplicar por 0.5 y despus elevar al cuadrado.
e) y = (0.5x )2
y = ( x2 )2 o alguna otra equivalente.
Sugerencia didctica. Diga a los alumnos que revisen la expresin que escribieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que hagan correcciones si fuera necesario. Este puede ser tambin un buen momento para que les plantee expresiones equivalentes a y = (0.5x )2 como:
y = 0.25x 2
y = (0.5x ) (0.5x )
y = ( x2 )2
y = x 2
4Utilicen cada expresin para obtener el valor de y asignando tres o cuatro valores a x y comprenlas. Se espera que logren decir cosas como:
Es lo mismo escribir (0.5x )2 que (0.5x ) (0.5x ), y si se efecta esa multiplicacin, se obtiene otra de las expresiones de la lista 0.25x 2. Es lo mismo (0.5x)2 que ( x2 )
2 porque da igual
multiplicar por 0.5 que dividir entre 2.
La expresin x 2
2 es equivalente a 0.25x 2
porque da lo mismo dividir entre 4 que multiplicar por 0.25.Cuando terminen de comparar las expresio-nes, planteles como reto que escriban otra que sea equivalente a las anteriores.
MAT3 B3 S14 maestro.indd 29 12/11/08 10:47:01 PM
30 L ib ro para e l maest ro
Respuestas.
a) 3.4225 m2
b) Aproximadamente a 2.8 m.
Posibles procedimientos. Para contestar la pregunta del inciso b) los alumnos debern emplear de distinta forma la expresin y = 0.25x 2.
Si ya se conoce el rea (y), para encontrar la distancia a la que se encuentra el proyector (x), la expresin sera x = y 0.25
Los alumnos ya saben utilizar operaciones inversas, por lo que podran plantearse 2 = 0.25x 2 cunto debe valer x para obtener y = 2?
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas dos actividades.
Respuestas.
1. Si el lado de la imagen mide 30 cm, entonces su rea es de 900 cm2 o 0.09 m2. La expresin sera y = 0.09x 2.
2. Ya se sabe que las medidas de los lados de la imagen y distancia a la que se encuentra el proyector (x ), tienen una relacin de proporcionalidad directa: para cualquier valor de x los lados del rectngulo medirn 0.6x y 0.4x. Entonces, basta multiplicar esas dos expresiones para obtener el rea: y = (0.6x) (0.4x) = 0.24x 2.
Ahora bien, si x = 4.3, entonces y = 0.24 (4.3)2 = 4.4376 m2.
14
secuencia 14iii. Usen la expresin que encontraron para contestar lo siguiente:
a) Si el proyector se colocara a 3.7 m, cul sera el rea de la imagen?
b) Si se quiere que la imagen tenga un rea de 2 m2, a qu distancia deber colo
carse el proyector?
A lo que llegamosEn algunas situaciones, como en el caso de la proyeccin, la relacin entre dos cantidades x, y puede ser escrita de la forma y=y=y ax 2, donde a es un nmero fijo. A esta relacin se le conoce como relacin cuadrtica, pues la variable y depende del cuadrado de la variable x, es decir, de x 2.A diferencia de las relaciones de proporcionalidad directa, al incrementar al doble el valor de x no se duplica el valor de y , sino que se cuadruplica.
Lo que aprendimos1. Un proyector despliega un cuadrado de lado 30 cm al colocarse a 1 m de la pantalla.
Al colocar el proyector a otra distancia x se producir un cuadrado de una ciertarea y en metros cuadrados, cul es la expresin que relaciona x con y?y?y
y =
2. En la siguiente figura se muestran las medidas de un rectngulo que se proyect auna distancia de 1 m. Cul sera el rea de la imagen si se proyectara a una distancia
de 4.3 m de la pantalla?
1 m
0.4 m
0.6 m
Cuando terminen de llenar la tabla, escriba en el pizarrn lo siguiente: cuando x = 1, el lado menor del rectngulo mide 0.4x y el lado mayor 0.6x. Pregnteles si ocurrir lo mismo cuando x tiene otros valores, es cierto que si x = 3 los lados del rectngulo miden 0.4x y 0.6x? Cuando estn seguros de que lo anterior es cierto, explqueles que para obtener el rea del rectngulo, hay que multiplicar las dos expresiones que ya obtuvieron: (0.6x ) (0.4x ) = 0.24x 2. Verifiquen la expresin dando distintos valores a x.
Posibles dificultades. Es probable que los alumnos encuentren difcil el problema 2. Para resolverlo, lo primero que les tiene que quedar claro es que la relacin entre la distancia del proyector y el tamao de los lados de la imagen, es de proporcionalidad directa. Si lo considera necesario, plantee algunas preguntas como: cuando el proyector est a 2 m de qu tamao son los lados del rectngulo?, y si est a 2.5 m? Tambin pueden llenar una tabla similar a la que hicieron en el apartado Manos a la obra:
Distancia del proyector a la pantalla (m)
Longitud del lado menor
del rectngulo proyectado (m)
Longitud del lado mayor
del rectngulo proyectado (m)
rea del cuadrado
proyectado (m2)
0.5
1.0 0.4 0.6 0.24
1.5
2.0
2.5
3.0
MAT3 B3 S14 maestro.indd 30 12/11/08 10:47:06 PM
31L ib ro para e l maest ro
15
MATEMTICAS IIIEL CORRAL DE LOs CONEJOsPara empezarDon Chon tiene una malla de 100 m de longitud para hacer un cerco. Ha decido usar elmaterial para hacerle un corral rectangular a sus conejos. No sabe todava de qu dimensiones hacerlo, pues quiere que sus conejos tengan el mayor terreno posible.
a) De qu medidas se puede construir el corral rectangular usando los 100 m de malla?Encuentren cuatro posibilidades para el frente y cuatro para el fondo y antenlas enlas columnas A, B, C y D.
Rectngulo A B C D
Frente (m)
Fondo (m)
b) Calculen el rea de cada uno de los corrales que propusieron.
rea de A = m2. rea de B = m2.
rea de C = m2. rea de D = m2.
c) Cul de los cuatro rectngulos que propusieron tiene mayor rea?
Comparen las medidas de los corrales que propusieron y elijan de entre todos ellos cules el que tiene mayor rea.
Consideremos lo siguientePara encontrar las medidas del corral que encierra la mayor rea posible, conviene teneruna expresin para el rea.
Denoten con x la longitud del frente del corral. Recuerden que el corral debe usar los100 m de malla.
a) Cul deber ser la medida del fondo? Fondo =
b) Representen con la letra y el rea del corral que mide x metros de frente y escriban
una expresin que relacione x con y . y =
Verifiquen que las expresiones que escribieron sirven para calcular el rea de los corralesA, B, C y D a partir de las medidas de sus frentes.
sEsIN 2
Frente
Fon
do
MAT3 B3 S14.indd 15 12/10/08 6:02:23 PM
Propsito de la sesin. Utilizar una relacin cuadrtica para encontrar el rea mxima de un corral rectangular con permetro fijo.
Posibles respuestas. Los alumnos deben dar las medidas de cuatro rectngulos con permetro 100 m, buscando que las reas a las que den lugar dichos rectngulos, sean las mayores posibles. Es buena idea que los alumnos hagan en su cuaderno una tabla con las medidas de cada rectngulo que se les vaya ocurriendo.
Como la actividad es en parejas, pueden incluir en la tabla del libro dos posibilidades de un compaero, y dos del otro.
Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos comparen las medidas que surjan en el saln. Aunque desde la escuela primaria aprendieron que dos figuras con igual permetro no necesariamente tienen igual rea, lo que hay que resaltar en este momento es cules fueron las medidas que dieron lugar a la mayor rea.
Propsito de la actividad. Que los alumnos obtengan una expresin cuadrtica para obtener el corral con mayor rea posible.
Posibles respuestas.
a) Los alumnos pueden expresar la medida del fondo del corral de distintas maneras:
50 x
(100 2x )2b) Los alumnos ya saben que el frente del corral
mide x y en el inciso a) obtuvieron la medida del fondo. El rea ser el resultado de multiplicar ambas medidas, y pueden expresarla de distintas maneras, como:
y = x (50 x ), y al efectuar las multiplicacio-nes quedara y = 50x x 2.
y = x (100 2x )2 y al efectuar las
multiplicaciones quedara y = 100x 2x 2
2
Sugerencia didctica. Pida a cada pareja de alumnos que use los datos de la tabla llenada en el apartado Para empezar para ver si la expresin a la que llegaron es correcta. Recuerden que x es igual a la medida del Frente del corral (entonces, en la tabla tienen 4 valores distintos para x). Utilizando la expresin a la que llegaron, deben obtener el rea de ese rectngulo. En el caso que no concuerde algn valor, podr comentarse con todo el grupo. La dificultad podra estar en:
Una ecuacin mal escrita.
Que el rectngulo no tenga permetro 100 m.
Un clculo errneo.
MAT3 B3 S14 maestro.indd 31 12/11/08 10:47:12 PM
32 L ib ro para e l maest ro
16
secuencia 14
Manos a la obrai. De las siguientes expresiones, cul es la que permite calcular el rea y a partir de la
medida del frente x ? Subryenla.
a) y = 50x x 2
b) y = 50x + x 2
c) y = x 2 50x
d) y = 50x 2 x
Comparen sus respuestas, comenten cmo hicieronpara elegirla y decidan si esa expresin es equivalente a la que haban contestado en el apartadoConsideremos lo siguiente.
ii. Escriban la expresin que eligieron en la actividad i en la casilla correspondiente acontinuacin, y despus completen la tabla usando esa expresin.
x 5 10 15 20 25 30 35 40
y =
a) Si y vale 625, cul debe ser el valor de x?
b) Puede ser y igual a 600? . Por qu?
c) Puede ser y igual a 650? . Por qu?
Comparen sus respuestas y comenten si el valor de y puede ser mayor que 625.
A lo que llegamosLas relaciones de la forma y=ax 2+bx y, en particular, y=ax 2, son llamadas relaciones cuadrticas. Como se puede observar, la expresin para y contiene x 2, equis cuadrada.
Por ejemplo, las siguientes expresiones corresponden a relaciones cuadrticas:
y = 50x x 2 y = 50x + x 2 y = x 2 50x y = 50x 2 x
Recuerden que:
Se dice que dos expresiones son equivalentes si dan
el mismo resultado al evaluarlas para todo valor.
Por ejemplo, al evaluar la expresin 2x+2 en
x=5 da como resultado 12. Ese mismo resultado
se obtiene al evaluar la expresin 2(x+1) en
x=5. Y al evaluar esas dos expresiones en cual-
quier otro valor de x, darn el mismo resultado.
Por esa razn, las expresiones 2x+2 y 2(x+1)
son equivalentes.
MAT3 B3 S14.indd 16 12/10/08 6:02:25 PM
Respuesta. La opcin a).
Posibles dificultades. Para decidir cul es la expresin correcta, los alumnos podran comparar las 4 opciones con la que obtuvieron en la actividad anterior. Sin embargo, esto podra requerir de una buena habilidad algebraica si la expresin no les qued idntica a la correcta. Para evitar esta dificultad, sugiera a los alumnos que evalen las cuatro opciones con las medidas de los terrenos A, B, C y D de la tabla del apartado Para empezar.
Sugerencia didctica. Este momento puede aprovecharse para explicar algebraicamente por qu las diferentes expresiones presentadas como posibles respuestas a la pregunta b) del apartado Consideremos lo siguiente, son equivalentes a la expresin y = 50x x 2.
1) x (50 x ) = 50x x 2
(efectuando la multiplicacin).
2) x (100 2x )2 = 100x 2x 2
2 (efectuando la multiplicacin).
3) x (100 2x )2 = 100x
2 2x 22
(efectuando la multiplicacin y dejando sealada la divisin de cada trmino entre 2).
4) x (100 2x )2 = 50x x 2
(efectuando la multiplicacin y la divisin de cada trmino entre 2).
Propsito de la actividad. La tabla y las siguientes preguntas pretenden apoyar el anlisis del comportamiento de la expresin obtenida: para cierto valor de x se obtiene un rea mxima, pero si se sigue aumentando x el rea disminuye. Es importante que no adelante a los alumnos esta informacin, permita que lo verifiquen por s mismos.
Respuestas.a) 25
b) S es posible. Las explicaciones que den los alumnos pueden ser muy variadas, pero se espera que giren en torno a lo siguiente: en la tabla es posible ver que cuando x vale 20, y = 600.
c) No es posible, sin embargo, para los alumnos puede ser difcil explicar por qu. Lo importante es que observen que al mover el valor de x desde casi 0 hasta 25, el valor de y va creciendo y luego se reduce. Tambin puede afirmarse que la ecuacin 50x x 2 = 650 no tiene solucin, aunque las herramientas matemticas necesarias para justificarlo no estn al alcance de los alumnos. Lo que aprendan en la siguiente secuencia les servir para argumentar mejor esta cuestin.
Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos por otros valores de y que no aparecen en la tabla. Por ejemplo: es posible que y = 609?, cunto vale x es ese caso?
Para saber ms. Aunque con esta actividad lo que se pretende es que los alumnos observen qu ocurre con los valores que toma y cuando la x crece o decrece, es posible explicar por qu la expresin 50x x 2 no puede ser mayor a 625. Si usted lo considera conveniente, comprtala con sus alumnos, pero no es obligatorio que la aprendan.
y = 50x x 2
Sumando y restando 625 se obtiene:
y = 625 625 + 50x x 2
Factorizando el signo menos se obtiene la expresin equivalente:
y = 625 (625 50x + x 2)
La parte entre parntesis es un trinomio cuadrado perfecto por lo que la expresin puede cambiarse a:
y = 625 (x 25)2
En esta tlima expresin puede verse que a 625 se le est restando algo, y ese algo es un nmero mayor o igual a cero (no puede ser negativo porque est elevado al cuadrado). Esa es la razn por la que el valor de y no puede ser mayor que 625 : para cualquier valor de x es cierto que (x 25)2 0.
Notemos lo importante de sealar que algo es mayor o igual a cero, pues de ser negativo incrementara el valor de y por encima de 625. En una expresin como y = 10 x no se puede afirmar que y es menor que 10, ya que x podra ser igual 1 y en tal caso y sera 11.
La factorizacin del trinomio cuadrado perfecto fue parte clave de este razonamiento, pues gracias a sta se pudo expresar y como la resta de 625 menos algo que ciertamente es mayor o igual a cero.
50x x 2 225 400 525 600 625 600 525 400
MAT3 B3 S14 maestro.indd 32 12/11/08 10:47:18 PM
33L ib ro para e l maest ro
17
MATEMTICAS IIIPara conocer ms de las relaciones cuadrticas, pueden ver el programa El rea mxima.
III. A don Chon le pareci que 625 m2 era demasiada superficie y prefiere que el corral sereduzca a 400 m2. De qu medidas puede hacerse el corral, haciendo uso de los 100 mde malla (sin que sobre malla) y cubriendo los 400 m2 que quiere don Chon.
Frente = Fondo =
Lo que aprendimosSe quiere cercar una regin pegada a la paed de un jardn parasembrar chayotes, como se muestra en la figura. Pero slo secuenta con 50 m de malla para cercar y se quiere usar toda lamalla. Escriban una expresin para calcular el rea de la regin de siembra a partir de la longitud x que se marca en lafigura.
y =
EL MEDIO LITRO DE LECHEPara empezarUna empresa empacadora de leche quiere hacer un recipiente de 500 ml. La forma delrecipiente deber ser un prisma rectangular con base cuadrada, como se muestra en lafigura. El deseo de los fabricantes es hacer el empaque con la menor cantidad de material posible.
Altura h
Lado
Lado
Altura h
Volumen rea
SESIN 3
x
MAT3 B3 S14.indd 17 12/10/08 6:02:27 PM
Propsito del programa 25. Modelar situaciones que tienen asociada una expresin cuadrtica.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin.
Propsito de la actividad. Esta actividad permite que el alumno plantee una ecuacin cuadrtica y que la resuelva con sus propios mtodos.
Sugerencia didctica. La solucin no es exacta, por lo que es conveniente que los alumnos busquen slo una aproximacin. Pueden emplear mtodos personales y otros aprendidos en las sesiones 7 y 8 (como el tanteo, las operaciones inversas y la factorizacin).
Respuesta. La ecuacin es 50x x 2 = 400. El corral tendra aproximadamente 10 m de frente y 40 m de fondo; o al revs, 40 m de frente y 10 m de fondo.
Integrar al portafolios. Guarde una copia de la respuesta de los alumnos a esta actividad.
Respuesta. Como el total de malla es 50 m y 2 de los lados medirn x, entonces el otro pedazo de malla mide 50 2x. Por otro lado, como la regin es rectangular, el rea sera x (50 2x).
Propsito de la sesin. Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenmenos.
Sugerencia didctica. Al observar el desarrollo plano, los alumnos podran notar la falta de pestaas. Aclreles que en general, se da por hecho que las pestaas deben ponerse para construir