Matematica M2 pentru examenul de Bacalaureat M2 pentru examenul de...¢  Subiecte date la examenul de

  • View
    18

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Matematica M2 pentru examenul de Bacalaureat M2 pentru examenul de...¢  Subiecte date la...

  • Marian ANDRONACHE' Dinu $ERBANESCU Marius PERIANU . C[t6lin CIUPALA'Florian DUMITREL

    Matematice nentru examenul' de bacalaurefit Filiera teoretic[, profilul real, specializarea gtiinle ale naturii

    Filiera tehnologicl - toate profilurile

    @1/ cr-usur- \ /urreumctEt.ltron\

  • Tema 1.1.

    Tema 1.2.

    Tema 1.3.

    Tema 1.4.

    Tema 1.5.

    Tema 1.6.

    Tema 1.7.

    Tema 1.8.

    Tema 1.9.

    Tema 1.1O.

    Algebfi/Geometrie Clasele IX-X

    Mullimi de numere. Mullimi gielemente de logica matematica (clasa a lX-a)

    Funcfiidefinite pe multimea numerelor naturale ($iruri)

    (clasa a lX-a)

    Funclii. ProprietSli generale. Lecturi grafice

    (clasele lX-X)

    Funclia de gradul l. Funclia de gradul al ll-lea (clasa a lX-a)

    Puteri ti radicali. Ecualii iralionale (clasa a X-a)

    Exponenliale gi logaritmi (clasa a X-a)

    Numere complexe (clasa a X-a)

    Metode de numdrare. Elemente de combinatorica (clasa a X-a)

    Vectori in plan. Geometrie vectoriald. Geometrie analitice (clasele lX-X)

    Elemente de trigonometrie. Funclii 5i ecualii trigonometrice (clasa a X-a)

  • Partea Algebrd 1.turele )c->

  • Analiz6,matematicl Clasele )O-)CI

    Tema 3.{ Limite de func-tii. Functii continue. Func[ii derivabile Tema 3.2 Primitive Tema 3,3 Fun4ii integrabile

  • Variante de subiecte

    4.1. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anul 2013

    4.1.1. Filiera teoreticd, profil real, specializarea $tiinle ale naturii

    4.1.2. Filiera tehnologicS, toate profilurile 9i specializarile

    4.2. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii 2010-2012 .

    4.3. Variante de subiecte propuse spre rezolvare

    . ln anii 2010, 2Ol 1 5i 2112,clasele de profil real, specializarea gtiinle ale naturii, 5i clasele

    de la filiera tehnologici, toate profilurile gi specializirile, au avut, la matematicS, aceea5i

    programd 5i acelea;i subiecte de examen.

  • Tema 1,1 Multimi de numere.

    Mulgimi gi elemente de logici matematici

    1. Partea intreagi gi partea fraclionari a unui numir real

    Definifie. Fie r e lR . Cel mai mare num[r intreg mai mic sau egal decdt x se numegte parteaintreagda luir. Se noteaz6: [r]= -rr{p eZl p< x}.

    Num[ru] real {r} = x-lxf se nume$teparteafraclionard ahrix' Proprietili 1. [r]

  • ut OE

    ts

    =o L a

    4 2 IJ U a

    =z s G uto

    =, li, raulz Ec urrr! ci a !!I\, zo OEoz

    = I

    6

    11. Se se determine valoare de adevdr a afrmaliei: ,,Suma oric[ror doul numere iralionale este un num6r irafional."

    Yariante bac al aure at 2 0 09

    12. Determinali valoarea de adevdr a urmdtoarelor propozilii. a) ,,Diferen\a oriciror doud numere naturale este un numdr natural" D,) ,,Existi doui numere iralionale cu produsul lor un numdr natural".

    c,) ,,Pentru orice numlr natural a numlrul G "rt"

    iralional".

    13.Se consider6 tunc{ia /:tR +re,"f(r)=t4(t-{4), unde {a} rcprezrntd partea

    frac{ionardanumrrului reat a.calculaf; ,(1) ,(i) ,(;)

    t 4. Se consideri mu[imea I = {" + bJi I a,b e Z\ . r:-----=;

    a) Ardta[ice ,t(t -Jz)- e e .

    b) Ar5ta\i "e

    Jz*Ji . ,q. c,) Determinali un element al mullimii Zn(0, t).

    15. Determinaf numlrut de elemente ale mu[imii lxezl (* -e)(z* -r-l)=0]. ,r- a) Calculali partea intreagd a numdrului a = $0 .

    b) Calculalipartea intreagi a numirului a = Ji - Ji . c/ Calculali partea fraclionari a numdrului o = I .J d) Caleulaf, [Ji].[Jt]. .[J*], unde [a] este partea intreagd a numsrului a.

    17. Arataticdl Jn'+n., L l=z,pentruoricezeN. 18. Determinafi cel mai mic element al mullimii {r e R l(x+2)(x' -4)= 0} .

    19. Determinafi numerele naturale din mul]imea n ={*e m 1-=1--=. , < 2}.t Jz+Jt ) 2O. Se considerdmullimile l={xeRllxl

  • 24. Determinali m e lR pentru care {t;Z} . {, = R.lx2 +rux+4 = 0} .

    25. Determinafiperechile (lz,n)e1R.xlR pentrucare {t;Z}:{xeR'l x2 +ta+n:0\.

    26. Determin ali a e Z pentru"ut" {, e R I 12 - ax + 2= 0} n {0, t, 2,...,10\ + A .

    27. SA se dea un exemplu de mu[ime I pentru care mullimea Aw{-1,0,1} are cel puf;n 4 elemente'

    variante bacalaureat 2007

    28. Se se determine mullimile X care verificd egalitatea X u {:, S} = {3, 5, Z} ' Vari ant e b ac al aureat 2 0 0 7

    29. Se se determine cdte numerele intregi sunt in mu[imea {JL,JL,JI,...,J00} .

    30. Sa se determine numdrul elementelor mu[imii qn{i/i,V2,{6,...,Vl00} .

    31. Dali un exemplu de doud numere x,y e Q\Z astfel incdt x-y e N .

    32. Dali un exemplu de doud numere intregi a,b >l astfel incit Ji -{U =t . 33. Dali un exemplu de doui mrmere naturale a Si b care indeplinesc condilia

    Ji +\og,b eZ. 34. Dali un exemplu de doui numere iralionale a Si b care indeplinesc condiliile q+b eZ

    Sia.beZ. 35. Determinaf, o pereche (a,b) e N x N care verificd condifia 2' =logtb .

    le. Gdsili numerele intregi din intervalul [-r.n,ar, f). gz. Fie 1={*+yJil x,y e Q, x2 -3y' =l\ .

    :

    a) Ardtaf cd 2e A,dat -le A. b) /rrdtati cd, 2-Jl e A.

    38. Determinali perechile (*, y).lR x lR. pentru care (x' -Z)'(y' + 2y -3\ = 0 .

    39. Determinali (x,y)elR.xlR. pentru care x'+2xy+2y2 =0.

    40. a) Aritali ci x' + y' + z' -(xy + xz + yz)=Ilt.- r1' +@- z)' *(y - r)'f, Vx,y,z e JR.

    b) /irdta\i cd dacd x' + y' + z' - xy + xz + yz, atttnci x = y = 2 .

    c,) Determinali mu[imea {(o,O1.R' I o' +b2 + 4 = ab +2a +2b\

    N

    = I

    L'

    =gJ

    = I

    7

  • Funcliidefinite pe mullimea numerelor naturale (tiruri)

    UJ OE

    ts

    ==o I

    o.l tJ U a fz s ol lIA

    =a =L,,vt UJ

    =oc uJ rr!.

    ci gl -\, =oco =

    = I

    8

    Tema 4 -2

    1. $iruri

    Definilie. $irul de numere reale xn a xn*r (x, < xn*r), yn> l,

    $irul de mrmere reale (*,),., x,2 x,rt (r, , r,*,), Yn>1.

    (r, ),-, este monoton (strict) crescdtor dacd

    este monoton (stric\ descrescdtor dacd

    Definilie. $irul de numere reale (x, ),,, este mdrginit inferior dacd existd un numir real (notat cu) n astfel incdt m I xn, Yn) l.

    $irul de numere reale (r, ),-, este mdrginit superior dac[ existi un numdr real (notat cu) M astfel incdt x, < M, Yn> l.

    Dacd girul (*^),, este mrrginit at6t inferior c6t qi superior, spunem cr qirul este mdrginit.

    2. Progresii aritmetice

    Definilie. $irul de numere rrale (o,),., este o progresie aitmeticd de ralie r dacd a,+t - Q, = r, Yn > 1 (adicd diferenfa oric5ror doi termeni consecutivi este constanti).

    Propriet5li 1. a,=ar+(n-l)'r, Yn>l

    2. a-:a'-t*a'*L.Yn>2.'2

    3. s, = n(ar+a,)

    -nr,qr'('),yn) l,unde sn=or+a2+...+at."2',2

    l. n - an-al +1, yn> l, r + o.r 3. Progresii geometrice

    Definifie. $irul de numere reale nenule (b, ),r, este o progresie geometricd de rafie q dacd bn*r = bn.q (adicd raportul oricEror doi termeni consecutivi este constant).

    ProprietS!i l. b,=br'qn-t,Vn>l 2. F, =bn-1.b,*1, Yn> 2.

    l- a^-l 3. E = 1O;-'o*' ,unde s, =br+br+...+bn.

    lr4, e =l

  • Probleme propuse

    1. S[ se arate cd numerele logr2, C, qi 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

    2. S[ se determine al zeceleatermen al girului l, 7, 13, 19, ... Yariante bacalaureat 2009

    Variante b ac alaur eat 2 0 0 9

    3. Se consideri funcfia /: R. -+ m, "f (r) =3x-l .

    a) Ardtalic[ numerele f (2), f (4) $i /(6) sunt in progresie aritrnetica.

    D,) calculafl s = /(o)+ /(1)+ 1(z)+...+7(to). c) pg5ta!, ci dacd numerele reale a, b Si c sunt in progresie aritmeticd, atunci qi

    f (o) , f (t) li / (") sunt in progresie aritmetica' 4. Determinali xeJR. gtiindc6 x, (x-l)'qi x+2 suntinprogresiearitmeticd. 5. Determinali xelR. pentru care numerele x-1,x+1 qi 3r-1 sunt in progresie

    aritmeticd' Bacaraureat 2oI r

    6. Sd se determine num[ru] real x gtiind cd numerele x+1, l-x gi 4 sunt in progresie aritmeticS.

    7. Fie progresia aritmetici (o,),,, astfel incdt as =7 ;i ar, = 43 .

    a)Determina\i a, A Numerul 2015 este termen al progresiei?

    c/ Calculafi suma I = a2 + as + as +...+ aB . 8. tntr-o progresie aritmetic[ (o,),r, se cunosc a, = 6 si at = 5 . Calculafl au .

    Bacalaureat 201 I g. Sd se calculeze sulna primilor 10 de termeni ai progresiei aritmetice (o,),rr, gtiind ci

    at-az=2 gi ar+a3+cts*au=Jg ' 10. Se considerd o progresie aritrnetici (o,),r, in care as = 5 9i qs =ll. Calculali suma

    primil0rgapteterm aiprogresiei' Bacaraureat 2010

    1 1. Calculali sumele.

    a) l+3+5+...+19. Variante bqcalaureat 2009

    b) 2+6+10+...+102. c) l+3+5+...+ (Zn-t), n e N".

    d) l+5+9+...+(+n-3), z e N..

    12. Ardtatl cI suma primelor 100 numere naturale impare este un pdtrat perfect.

    N

    = I

    t

    =utF

    = I

    9