ALGEBRA CLS aXIIa

LEGI DE COMPOZITIE

Definitie :Fie A o multime se numeste lege de compozitie pe A o regula prin care la oricare doua elemente ,x y A∈ asociem un element tot din A numit xcompus cu y si notat in diverse moduri

xo y , x y∗ , x y e.t.c.

PARTE STABILA

Definitie:Fie A o multime si ,,o” o lege pe multimea A. B⊂A spunem ca B e parte stabila a lui A in raport cu legea,,o” daca ,x y B∀ ∈ atunci xoy B∈

Exemple: Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 1) Sa se demonstreze ca e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” (2, )∞ e parte stabila daca atunci(2, )∞ , (2,x y∀ ∈ ∞) (2, )xoy∈ ∞ Fie adica x, y>2 sa demonstam ca xoy>2 , (2,x y∈ ∞) xoy>2 xy-2x-2y+6>2 ⇔ ⇔ xy-2x-2y+4>0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)>0 ⇔ (x-2)(y-2)>0 dar x>2 si y>2 rezulta (x-2)(y-2)>0 deci (2, )∞ e parte stabila 2) Sa se demonstreze ca R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” R\{2}e parte stabila daca atunci, \{x y R∀ ∈ 2} \{2}xoy R∈ Fie adica x, y, \{x y R∈ 2} ≠ 2 sa demonstam ca xoy ≠ 2 Presupun xoy=2 xy-2x-2y+6=2 ⇔ ⇔ xy-2x-2y+4=0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)=0 ⇔ (x-2)(y-2)=0 dar x 2 si y≠ 2 rezulta (x-2)(y-2) ≠ ≠ 0 deci R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” 3) Sa se demonstreze ca multimea H=(1,3) e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” H e parte stabila daca ,x y H∀ ∈ atunci xoy H∈ x H∈ ⇔ 1<x<3 ⇔ -1<x-2<1 ⇔ |x-2|<1 Fie ,x y H∈ |x-2|<1 si |y-2|<1 trebuie demonstrat ca |xoy -2|<1 ⇔|xoy -2|<1 |xy-2x-2y+6-2|<1 ⇔ ⇔ |(x-2)(y-2)|<1 ⇔ |x-2||y-2|<1 ceea ce e adevarat tinand seama de faptul ca |x-2|<1 si |y-2|<1

4) fie 0 1

( ) 0 0 0 /1 0

x xM A x x R

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

⎪⎬ sa se demonstreze ca M e parte stabila a

lui M3(R) in raport cu inmultirea matricelor M e parte stabila daca ( ), ( )A x A y M∀ ∈ atunci si ( ) ( )A x A y M⋅ ∈

0 1 0 1 1 2 0 2( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1 2

1 0 1 0 2 0 1 2

x x y y x y xy x y xyA x A y A x y xy

x x y y x y xy x y xy

− − − − + + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = = = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − − − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )A x A y M⋅ ∈

)

rezulta TABLA LEGII DE COMPOZITIE se poate face doar daca multimea pe care e definita legea e multime finita * a1 a2 a3 a4

a1 a1*a1 a1*a2 a1*a3 a1*a4

a2 a2*a1 a2*a2 a2*a3 a2*a4

a3 a3*a1 a3*a2 a3*a3 a3*a4

a4 a4*a1 a4*a2 a4*a3 a4*a4

PROPRIETATI:

ASOCIATIVITATE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e asociativa daca (xoy)oz=xo(yoz) , ,x y z A∀ ∈

COMUTATIVITATE :Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e comutativa daca xoy=yox ,x y A∀ ∈

ELEMENT NEUTRU : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea are element neutru daca exista e A∈ astfel incat xoe=eox=x x A∀ ∈

Teorema: Elementul neutru daca exista e unic Observatie: in general pentru legile definite pe multime de numere

egalitatea avand loc x A∀ ∈ identificam coeficientii lui x din cei doi membrii

ELEMENTE SIMETRIZABILE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A care are element neutru . Spunem ca x A∈ e simetrizabil daca 'x A∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=e in acest caz x’ se numeste simetricul lui x

Teorema: Daca x e simetrizabil simetricul lui x’ e unic Observatie : Pentru legile definite pe multimi de numere prcedez astfel :

• plec de la xox’=e • scot pe x’ in functie de x • pentru expresia gasita pun conditia sa existe si sa faca parte din

multimea pe care e definita legea Exemplu:1)Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine

elementele simetrizabile Rezolvare : Elementul neutru: xoe=eox=x x R∀ ∈

xe-2x-2e+6=x x R∀ ∈ identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x R∈ e simetrizabil daca 'x R∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 2'

2xx

x3−

=−

punand condita sa existe rezulta

cum 2x ≠ 2 32

x Rx−

∈−

rezulta ca orice element 2x ≠ e simetrizabil , simetricul

lui e 2 3'2

xxx−

=−

Exemplu:2)Pe Z def legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabile.

Rezolvare :elementul neutru: xoe=eox=x x Z∀ ∈ xe-2x-2e+6=x x Z∀ ∈ identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x Z∈ e simetrizabil daca 'x Z∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 2'

2xx

x3−

=−

punand condita sa existe rezulta

punem conditia ca si 2x ≠ 2 32

x Zx−

∈−

122

Zx

+ ∈−

deci x-2 divide pe 1

rezulta x-2=1 sau x-2=-1 deci elementele simetrizabile sunt 3 si 1 OBSERVATIE:pentru legile definite pe multimi finite la care se poate construi tabla legii de compozitie proprietatile se pot vedea din tabla astfel:

• comutativitate:daca tabla e simetrica fata de diagonala principala • elementul neutru : e elementul pe linia caruia se regasesc elementele

multimi neschimbate • elementele simetrizabile :sunt elementele pe linia carora gaseste

elementul neutru

MONOIZI,GRUPURI.

Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid daca legea ,,o”

• e asociativa • are element neutru

Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid comutativ daca legea ,,o”

• e asociativa • are element neutru • comutativa

Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup daca legea ,,o”

• e asociativa • are element neutru • orice element e

simetrizabil Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca

(G,o) are structura algebrica de grup comutativ (abelian) daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru • orice element e

simetrizabil • comutativa

Definitie:Fie (G,o)un grup a G∈ se numeste ordinul lui a si se noteaza ord(a) cel mai mic numar natural n cu proprietatea ca unde e e

elementul neutru.Daca nu exista n cu aceasta proprietate atunci a are ordinul infinit

.....de n ori

a a a a e=o o o1442443

Definitie:Fie (G,o)un grup M⊂G spunem ca (M,o) e subgrup al lui (G,o) daca:

• M e parte stabila a lui G in raport cu legea ,,o” • x M∀ ∈ simetricul lui 'x M∈

Teorema: daca (M,o) e subgrup al lui (G,o) atunci M cu legea indusa are structura de grup

Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste morfism intre cele doua grupuri o functie :f G H→ cu proprietatea ( ) ( ) ( )f xoy f x f y∗ ,x y G∀ ∈ =

Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste izomorfism intre cele doua grupuri o functie :f G H→ cu proprietatile

1) ( ) ( ) ( )f xoy f x f y= ∗ ,x y G∀ ∈ 2) f e bijectiva

Propritate : :f G H→ izomorfism intre (G,o) si ( H,∗) atunci f(e1)= e2

unde e1 este elementul neutru al lui (G,o) si e2 e elementul neutru al lui ( H,∗) INELE,CORPURI Definitie:( A,+, ⋅)are structura de inel daca :

1) (A,+) grup abelian 2) (A, ⋅) monoid 3) inmultirea e distributiva fata de adunare adica

x ⋅(y+z)=x ⋅y+x ⋅z si (y+z) ⋅x=y ⋅x+z ⋅x ∀x,y,z∈A Definitie :Daca in plus inmultirea e si comutativa se numeste inel comutativ Definitie :Elementul neutru de la + se numeste zeroul inelului (0 ) Definitie :Elementul neutru de la a doua lege este elementul unitate al

inelului1 Definitie :Elementele simetrizabile in raport cu a doua lege de compozitie

se numesc elemente inversabile in inel sau unitatile inelului Definitie: x,y∈A se numesc divizori ai lui zero in inel daca

x,y≠ 0astfel incat x ⋅y=0 Definitie: un inel fara divizori ai lui zero se numeste inel integru Definitie: un inel comutativ fara divizori ai lui zero se numeste

domeniu de integritate Definitie: un inel in care 1 ≠ 0 si ∀x ∈A x≠ 0 e invesabil (adica

simetrizabil in raport cu a doua lege de compozitie )se numeste corp Observatie : un corp nu are divizori ai lui zero

Definitie:Fie (A,+, ) (B,*, o) doua inele se numeste morfism de inele⋅ o functie f:A B cu proprietatile : →

1) f(x+y)=f(x)*f(y) ∀x,y∈A 2) f(x ⋅ y)=f(x)of(y) ∀x,y∈A 3) f(1)=f(1’) unde 1 este unitatea primului inel si 1’este unitate celui de-al

doilea inel Definitie: un morfism de inele se numeste izomorfism daca in plus fuctia e

si bijectiva Analog pentru morfism si izomorfism de corpuri INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n Zn

Fie n∈N* n≥2 un numar natural fixat definim

0̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 0 (clasa lui 0) 1̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 1 (clasa lui 1) 2̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 2 (clasa lui 2) ……………..

1n− =multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul n-1 (clasa lui n-1) Multimea acestor clase de resturi o notam cu Zn={ , , ,…, }

numita multimea claselor de resturi modulo n 0̂ 1̂ 2̂ 1n−

Pe aceasta multime definim doua legi de compozitie : Adunarea: ˆ ˆx y+ =restul impartirii lui x+y la n Inmultirea ; ˆ ˆx y⋅ =restul impartirii lui x ⋅y la n

Proprietatile adunarii: • asociativitate • comutativitate • element neutru 0̂ • orice element e simetrizabil fata de + adica are un

opus a n a− = − Proprietatile inmultirii:

• asociativitate • comutativitate • element neutru 1̂ • nu orice element e simetrzabil singurele elemente • inversabile in Zn sunt numerele prime cu n

(Zn, +, )are structura de inel numit inelul claselor de resturi modulo n ⋅

Observatie: • daca n e numar prim (Zn, +, ⋅ ) are structura de corp • pentru un sistem cu coeficienti in Zn se poate aplica regula lui Cramer

doar daca determinantul sistemului e numar prim cu n • pentru o matrice coeficienti in Zn exista inversa ei doar doar daca

determinantul matricei e numar prim cu n A-1=(detA)-1 ⋅A* • pentru polinoame cu coeficienti in Zn doar daca n e numar prim se

poate face impartirea

PROGRESII ARITMETICE

Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r)

Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e

medie aritmetica intre a si c adica 2

a cb +=

an=a1+(n-1)r Sn= 1(2 ( 1) )

2n a n r+ − unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

PROGRESII GEOMETRICE

Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q).

Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b a= c . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac

an=a1qn-1

Sn= 1( 1

1

nqaq−−

) unde am notat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

PROBABILITATI

Probabilitatea= ..

nr cazurifavorabilenr cazuriposibile

LOGARITMI

loga b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. loga b exista doar pentru 0, 0, 1a b a> > ≠

log ba a = b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris

ca log in orice baza vreau) loga b c= revine la cb a=

logab+ logac= loga(bc) logab- logac= loga(

bc

)

logabp=p logab 1log logp aa

b bp

=

1logloga

b

ba

= loga ba b=

daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac ⇒ b>c daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac ⇒ b<c

EXPONENTIALA

x y xa a a += y x

x yy

a aa

−=

1 x

x aa

−=

( ) yx x ya a ⋅=

COMBINARI

Permutari de n se noteaza Pn

Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente

Aranjamente de n luate cate k se noteaza knA

!( )

kn

nAn k

=− !

reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente ce se

pot forma dintr-o multime cu n elemente

Combinari de n luate cate k se noteaza knC

!!( )!

kn

nCk n k

=−

reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k elemente ce

se pot forma dintr-o multime cu n elemente. 0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C+ + + + =

Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente

este knC

FUNCTII

Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g

se rezolva sistemul ( )( )

y f xy g x=⎧

⎨ =⎩

Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. Inversa functiei f:

Daca ( )f x = y atunci 1( )f y x− =

Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.

Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie.

Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei ,

graficul functiei nu taie axa Oy.

FUNCTIA DE GRADUL DOI

Varful parabolei este ,2 4

bVa a− −Δ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

-daca varful este punct de minim0a >

o Conditia ca x2 0a bx c+ + ≥ ∀ ∈ este 0, 0aΔ ≤ > o Conditia ca x2 0a bx c+ + ≤ ∀ ∈ este 0, 0aΔ ≤ < o Conditia ca x2 0a bx c+ + > ∀ ∈ este 0, 0aΔ < > o Conditia ca x2 0a bx c+ + < ∀ ∈ este 0, 0aΔ < < o Conditia ca ecuatia 0x c2a b+ + = sa aibe doua solutii reale este 0Δ > o Conditia ca ecuatia 2 0a bx c+ + = 0Δ =

2 0a bx csa aibe doua solutii egale este

o Conditia ca ecuatia + + = 0Δ <sa nu aibe solutii reale este

4a−Δ este valoare minima iar

2ba− punct de minim

-daca a<0 varful este punct de maxim

4a−Δ este valoare maxima iar

2ba− punct de maxim

Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are 0Δ = Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are

00a

Δ <⎧⎨ >⎩Relatiile lui Viette Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini 1 2,x x au loc relatiile:

1 2

1 2

bx xacx xa

−⎧ + =⎪⎪⎨⎪ ⋅ =⎪⎩

Observatie ( )2

22 21 2 1 2 1 22 2b cx x x x x x

a a−⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ecuatia cu radacini 1 2,x x este 2 0x Sx P− + = unde iar

1S x x= + 2

1 2P x x= ⋅

VECTORI IN PLAN

Modulul vectorului v a este i b j= ⋅ + ⋅r r r

2 2v a b= +r

Produsul scalar a doi vectori v ar

i b j= ⋅ + ⋅r r

si w c i d j= ⋅ + ⋅ur r r

v w a c b d⋅ = ⋅ + ⋅r ur

este

Suma a doi vectori si v a i b j= ⋅ + ⋅r r r

w c i d j= ⋅ + ⋅ur r r

este ( ) (v w a c i b d+ = + + +

r ur r) jr

Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori vr

si sunt coliniri daca exista a numar real astfel incat

ur

v a u= ⋅r r

v a i b j= ⋅ + ⋅r r r

Daca vectorii sunt dati sub forma si u cr

i d j= ⋅ + ⋅r r

conditia de

coliniaritate revine la a bc d=

Daca ( , )A AA x y si ( , )B BB x y atunci ( ) ( )B A B AAB x x i y y j= − ⋅ + − ⋅uuur r r

Daca ( , )A AA x y vectorul de pozitie al lui A este A AOA x i y j= ⋅ + ⋅

uuur r r se mai

noteaza Aruuv

TRIGONOMETRIE

sin(180 ) sino x x− = | cos(180 ) coso x x− = − sin(90 ) coso x x− = | cos(90 ) sino x x− =

2 2sin cos 1x x+ = oricare ar fi x real sincos

xtgxx

= | cossin

xctgxx

=

x 0 π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o) 1 sinx 0 1 2 3 2 2 20 cos x 1 13 2 22 2Nu exista

tgx 0 13

31

1 ctgx Nu exista

0 13

3

GEOMETRIE

11 01

A A

B B

x yx yx y

=Ecuatia dreptei AB :

Panta dreptei AB A B

ABA B

y ymx x−

=−

o daca stiu doua puncte panta este

o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta a

b−

o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta

Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este ( )A Ay y m x x− = − Conditia de paralelism a doua drepte

1 21 2 d dd d m m⇔ =

Distanta dintre doua puncte 2 2| | ( ) ( )A B A BAB x x y y= − + −

mijlocul segmentului AB este ( ,2 2

A B A B )x x y yM + +

11 01

A A

B B

C C

x yx yx y

=Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare

Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul

facut de ecuatiile lor. 111

A A

B B

C C

x yx yx y

Δ =2ABCSΔ

=Aria triunghiului ABC este unde

2ABCbaza inaltimeaS ⋅

=Aria triunghiului 2 34

lS =Aria triunghiului echilateral cu latura l este:

In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza

Aria triunghiului ABC (Heron) ( )( )(ABCS p p a p b p )c= − − − unde

2a b cp + +

=

sin2

BC AC C⋅ ⋅ sin2

BC AB B⋅ ⋅ sin2

AB AC A⋅ ⋅Aria triunghiului ABC= = =

Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2

Teorema cosinusului 2 2 2 ˆ2 cos( )BC AC AB AB AC A= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 coAC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ ⋅ s( )

)

2 2 2 2 cos( )AB AC BC BC AC C= + − ⋅ ⋅ ⋅)

2sin sin sinBC AC AB R

A B C= = =Teorema sinusurilor unde R raza cercului

circumscris triunghiului Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are

ecuatia y=x. A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are

ecuatia y=-x.

Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse

Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri

congruente. _sin Cateta opusa

ipotenuza=

_cos Cateta alaturataipotenuza

=In trunghiul dreptunghic

CONDITII DE EXISTENTA

( )E x ( ) 0E x ≥

3 ( )E x exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta lo ; ; ; g ( )a E x ( ) 0E x > 0a > 1a ≠

daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0. arcsin ( )E x 1 ( )E x− ≤ ≤1

1 arccos ( )E x 1 ( )E x− ≤ ≤

( ) 22

E x kπ π≠ + ( )tgE x

domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.

FORMULE SUBIECTUL III

f e continua in a daca lim ( )x a

f x = lim ( )x a

f x = f(a)

( ) ( )lim '( )x a

f x f a f ax a→

−=

− Definitie

Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa a este ( ) '( )( )y f a f a x a− = − Panta tangentei la grafic in punctul a este '( )f a

Monotonie fie :f D → R unde D interval f derivabila pe D D R⊂ atunci f e monoton descrescatoare pe D 1) daca '( ) 0f x ≤ x D∀ ∈ atunci f e monoton crescatoare pe D 2) daca '( ) 0f x ≥ x D∀ ∈ atunci f e strict descrescatoare pe D 3) daca '( ) 0f x < x D∀ ∈ atunci f e strict crescatoare pe D 4) daca '( ) 0f x > x D∀ ∈

Punctele de extrem ale unei functii se determina din semnul derivatei Convexitate,concavitate fie :[ , ]f a b R→ de doua ori derivabila pe [a,b] 1)daca ( , )x a b∀ ∈ atunci f e convexa pe [a,b] "( ) 0f x ≥ 2)daca ( , )x a b∀ ∈ atunci f e concava pe [a,b] "( ) 0f x ≤ ASIMPTOTE Asimptote verticale : Daca spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la stanga lim ( )

x af x = ±∞

Daca spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la dreapta lim ( )x a

f x = ±∞

Asimptote orinzontale Daca lim ( )

xf x a

→∞= , a R∈ spunem ca dreapta y=a e asimptota orizontala la

; analog la . ∞ −∞ Asimptote oblice

Daca ( )limx

f x mx→∞

= lim( ( ) )x

f x mx n→∞

− = si cu ,m n R∈ , spunem ca graficul lui

f are asimptota oblica la ∞ dreapta y=mx+n ; analog la −∞'F f= F primitiva a lui f daca

Daca f e continua atunci f admite primitive

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫ Daca ( ) ( )f x g x≥ [ , ]x a b∀ ∈ atunci

( )b

a

f x dx∫Aria marginita de graficul functiei f axa Ox si dreptele x=a,x=b este

Volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei 2 ( )

b

a

f x dxπ ∫:[ , ]f a b R→ este

FORMULE DE DERIVARE

( ), 1n nx n x −= ⋅ , 1x = ( ),2 2x x= ⋅ ( ),3 23x x= ⋅ , 0a =

( ),lnx xa a= ⋅ a ( ),x xe e=

( ), 12

xx

= ( ),3

3 2

13

xx

= ( ),

1

1nn n

xn x −

=

( ),sin cosx x= ( ),cos sinx x= −

( ),2

1cos

tgxx

= ( ),2

1sin

ctgxx

−=

( ),

2

1arcsin1

xx

=−

( ),

2

1arccos1

xx

−=

−

( ),2

11

arctgxx

=+ ( ),

2

11

arcctgxx

−=

+

( ), 1ln xx

= ( ), 1loglna x

x a=

( ), , ,f g f+ = + g ( ), , ,f g f− = − g ( ), ,a f a f⋅ = ⋅

( ), , ,f g f g f⋅ = ⋅ + ⋅ g

, , ,

2

f f g f gg g

⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

FORMULE DE INTEGRARE

adx ax C= +∫ 1

1

aa xx dx C

a

+

= ++∫ pentru a -1 ≠

1 lndx x Cx

= +∫ ln1 ax b

dx Cax b a

+= +

+∫

x xe dx e C= +∫ ax

ax ee dx Ca

= +∫ ln

xx aa dx C

a= +∫

sin cosxdx x C= − +∫ cossin axaxdx Ca

= − +∫

cos sinxdx x C= +∫ sincos axaxdx Ca

= +∫

ln costgxdx x C= − +∫

ln sinctgxdx x C= +∫

2

1sin

dx ctgx Cx

= − +∫

2

1cos

dx tgx Cx

= +∫

2 2

1 1 xdx arctg Cx a a a

= ++∫

2 2

1 1 ln2

x adx C

x a a x a−

= +− +∫

22

1 ln2

x dx x a Cx a

= + ++∫

2 2

2 2

1 lndx x x a Cx a

= + + ++

∫

2 2

2 2

1 lndx x x a Cx a

= + − +−

∫

2 2

1 arcsin xdx Caa x

= +−

∫

2

2

x dx x a Cx a

= + ++

∫

2

2

x dx a x Ca x

= − − +−

∫

LIMITE DE FUNCTII

Dreapta reala incheiata { ,R R }= ∪ −∞ +∞ Operatii pe , R ∞+∞ = ∞ a∞± = ∞ a−∞± = −∞−∞−∞ = −∞

,, 0

daca aa

daca a0∞ >⎧

∞⋅ = ⎨−∞ <⎩

, 0, 0

daca aa

daca a−∞ >⎧

−∞⋅ = ⎨+∞ <⎩ ,

, ∞⋅∞ = ∞ ( )∞⋅ −∞ = −∞ , ( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = ∞ 1 0=±∞

10= −∞

−10= +∞

+ , ,

CAZURI DE NEDETERMINARE 00

±∞±∞

0 ⋅ 1 00∞ 0∞±∞ ∞−∞

REGULI PENTRU LIMITELE FUNCTIILOR ELEMENTARE Teorema: 1 2lim ( ...)n n n

xax bx cx− −

→±∞+ + +

x= lim ( )nax

→±∞= ±∞

1

1

...lim ( )...

n n

p px

ax bxx xα β

−

−→±∞

+ +=

+ +lim

n

px

axxα→±∞

2π

2πarctg = arctg- =- arcctg =0 arcctg- =∞ ∞ ∞ ∞ π

loga = , ., .pt a

∞11

, ., .

11

pt apt a

−∞ >⎧⎨ ∞ <⎩pt a

∞⎧⎨−∞ <⎩

> loga0=

cazuri particulare ln∞ = ∞ ln 0 = −∞, . 1

0, . 1pt apt a

∞ >⎧⎨ <⎩

0, . 1, . 1pt apt a

>⎧⎨∞ <⎩

a∞= ∞ a- =

REZOLVAREA CAZURILOR DE NEDERMINARE 00

sau aplic regula lui L’Hospital 1)

sau folosim urmatoarele limite remarcabile : daca f(x)=0 atunci limx a→

sin ( )lim 1( )x a

f xf x→

=( )lim 1

( )x a

tgf xf x→

=arcsin ( )lim 1

( )x a

f xf x→

=( )lim 1

( )x a

arctgf xf x→

=

( )1 ( ) 1lim

( )

p

x a

f xp

f x→

+ −=

( ) 1lim ln( )

f x

x a

a af x→

−=

ln(1 ( ))lim 1( )x a

f xf x→

+=

±∞±∞

2) daca x tinde la scot factor comun fortat puterea cea mai

mare , daca nu merge aplic regula lui L’Hospital

±∞

ATENTIE daca x tinde la 2x x x= = − −∞

daca x tinde la ∞ 2x x x= =

3) ±∞ 0 din f ⋅g scriu ⋅ 1 1f gsau

g f

00

∞∞

rezulta cazul sau

4) ∞− daca apar radicali amplific cu conjugata ∞ sau scot factor comun fortat puterea cea mai mare

5) 1 folosim urmatoarea limita remarcabila daca f(x)=0 atunci ∞ limx a→

( )1( )lim 1 ( ) f x

x af x e

→+ =

6,7) si folosim ca lng g ff e= 00 0∞

OPERATII CU VECTORI

1) ADUNAREA VECTORILOR -REGULA PARALELOGRAMULUI Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine,iar suma lor e diagonala

paraleogramului avandu-i pe cei doi vectori ca laturi ,si originea comuna cu cei doi vectori :

-REGULA TRIUNGHIULUI Se aseaza cei doi vectori unul cu originea in extremitatea celuilalt(de

exemplu v cu originea in extremitatea lui u),suma celor doi vectori este latura triunghiului format de cei doi vectori ,avand aeeasi origine cu u si aceeasi extremitate cu v.

2)SCADEREA VECTORILOR Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine ,iar diferenta lor este a treia

latura a triunghiului ,orientat catre descazut(cel din care scazi).

POLINOAME

Impartirea polinoamelor Teorema impartirii cu rest

D=I⋅C+R D=deimpartit I=impartitor C=catul R=restul gradul restului <gradul

impartitorului Observatie :

Folosim de multe ori teorema imartirii cu rest pentru a afla restul cand nu pot face imartirea polinoamelor

Astfel: -scriu teorema impartirii cu rest -aflu gradul restului din conditia (gradul restului <gradul impartitorului) - dau lui x ca valori radacinile impartitorului

Exemplu: Suma coeficientilor unui polinom f

Suma coeficientilor unui polinom f este f(1) Restul impartirii lui f la X-a

Th : Restul imartirii lui f la X-a este f(a) Conditia ca un polinom sa aibe radacina a

Definitie: f∈K[X] spunem ca a∈K e radacina pentru f daca f(a)=0

Conditia ca un polinom sa aibe pe a radacina dubla f∈K[X] spunem ca a∈K e radacina dubla pentru f daca doua

dintre radacinile polinomului sunt egale cu a ( x1=x2=a ) f se divide cu (x-a)2 f(a)=f ‘(a)=0

⇔⇔

Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini intregi

Daca f ∈Z[X] si are radacini intregi atunci ele sunt divizori ai termenului liber

Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini rationale

pqDaca f ∈Z[X] are radacini rationale (de forma ) atunci p e divizor

al termenului liber iar q e divizor al coeficientului dominant Conditia ca un polinom cu coeficienti rationali sa aibe radacini de a b+forma

b b atunci are si radacina a- Daca f∈Q[X] si are radacina a+Conditia ca un polinom cu coeficienti reali sa aibe radacini

complexe nereale Daca f∈R[X] si are radacina a+ib atunci are si radacina a-ib Rezolvarea unei ecuatii de grad mai mare sau egal cu 3 In general pentru rezolvarea unei ec de grad mai mare sau egal cu trei caut o radacina a (eventual folosind teoremele anterioare) si daca gasesc radacina a fac imparirea cu X-a . Restul trebuie sa dea 0 , si folosind teorema impartirii cu rest practic reusesc descompunerea in doua polinoame unul de grad 1 si unul cu un grad mai putin decat cel initial Divizibilitatea polinoamelor Definitie Fie f,g∈K[X] spunem ca f se divide cu g sau ca g divide pe f ,daca restul impartirii lui f la g este 0

⇔Teorema : Fie f,g∈K[X] f se divide cu g orice radacina a lui g e radacina pentru f

Relatiile lui Viette ec de gr III ax3+bx2+cx+d=0 unde a,b,c,d∈C a≠0

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

bx x xa

cx x x x x xa

dx x xa

−⎧ + + =⎪⎪⎪ + + =⎨⎪

−⎪ =⎪⎩

Observatie 1

2 21 2

23x x x+ +

22

1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2( ) b cx x x x x x x x xa a−⎛ ⎞+ + − + + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠2

= Observatie 2

Pentru 3 31 2

33x x x+ + procedam astfel

3 21 1 1 0ax bx cx d+ + + = (1) x1 radacina deci verifica ecuatia 3 22 2 2 0ax bx cx d+ + + = (2) x2 radacina deci verifica ecuatia 3 23 3 3 0ax bx cx d+ + + = (3) x3 radacina deci verifica ecuatia

adunand relatiile obtinem 3 31 2

33x x x+ + 2 2

1 223x x x+ + 3 3

1 233x x x+ +a( ) +b( )+c( 1 2 3x x x+ + )+3d=0 aflam pe

ec de gr IV ax4+bx3+cx2+dx+e=0 unde a,b,c,d,e∈C a≠0

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4

bx x x xa

cx x x x x x x x x x x xa

dx x x x x x x x x x x xa

ex x x xa

−⎧ + + + =⎪⎪⎪ + + + + + =⎪⎨ −⎪ + + + =⎪⎪⎪ =⎩ Observatie

2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + =

22

1 2 3 4 1 2 1 3 2 3 1 4 4 3 2 4( ) 2( ) b cx x x x x x x x x x x x x x x xa a−⎛ ⎞+ + + − + + + + + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠2

MATRICE Inmultirea matricelor

a b c p q rA B d e f s t u

g h i w v z

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Am impartit matricele asttfel: -prima in linii a doua in coloane Vom inmultii linia 1 din matricea A cu col1 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col2 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col3 din B Ele reprezilnat linia 1 a matricei podus La fel linia a2a a lui A pe rand cu fiecare col din B Apoi linia a3a a lui A cu fiec col din B

a b c p q rA B d e f s t u

g h i w v z

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1_ 1_ 1_ 2 _2 _ 1_ 2 _ 2 _3_ 1_ 3_ 2 _

A col B linia A col BA col B linia A col BA col B linia A col B

⎞⎟⎟⎟⎠ =

1_ 3_2 _ 3 _3_ 3_

linia linia A col Blinia linia A col Blinia linia A col B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a b c p q r ap bs cw aq bt cv ar bu czA B d e f s t u dp es fw dq et fv dr eu fz

g h i w v z gp hs iw gq ht iv gr hu iz

+ + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2I 3IMatricele , , si 2O 3O

2

1 00 1

I⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

si

3

1 0 00 1 00 0 1

I⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 00 0

O⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3

0 0 00 0 00 0 0

O⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2nI I= 3

n3I I= , , Ele au propreitatile

2 2I X X I X⋅ = ⋅ = pentru orice matrice X patratica de ordin 2 3 3I X X I X⋅ = ⋅ = pentru orice matrice X patratica de ordin 3

INVERSA UNEI MATRICE O matrice patratica e inversabila daca si numai daca are determinantul diferit

de 0 Inversei unei matrice : Inversa unei matrice A se noteaza A-1 si are proprietatea A⋅A-1=A-1⋅A=In Pentru calculul inversei se procedeaza astfel -calculez determinantul matricei care trebuie sa dea nenul -calculez transpusa matricei A notata At matrice care se obtine din matricea A schimband liniile cu colanele ( adica linia1 devine col 1, linia2 devine coloana 2, etc) -calculez matricea adjuncta notata A∗ formata din comlementii algebrici ai matricei A calculati in matricea transpusa

11 21 31

12 22 32

13 23 33

δ δ δδ δ δδ δ δ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Adica A∗= pt matricea de ordin 3

11 21

12 22

δ δδ δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠si A∗= pt matricea de ordin 2

unde (determinantul obtinut din matricea A taind linia i si coloana j) ( 1)i jijδ

+= − ⋅

1det A- aflu inversa A-1= A∗

Exemplu1: 3 42 3

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

detA=9-8=1 3 24 3

tA⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 2*

2 1 2 2

( 1) 3 ( 1) 4( 1) 2 ( 1) 3

A+ +

+ +

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟

− −⎝ ⎠* 3 4

2 3A

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 * 3 42 3

A A− −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1det AA-1= A∗ cum detA=1 rezulta

Exemplul2:

1 2 30 1 20 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

det(A)=1 1 0 02 1 03 2 1

tA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 4

* 3 4 5

4 5 6

1 0 2 0 2 1( 1) ( 1) ( 1)

2 1 3 1 3 2

0 0 1 0 1 0( 1) ( 1) ( 1)

2 1 3 1 3 2

0 0 1 0 1 0( 1) ( 1) ( 1)

1 0 2 0 2 1

A

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

*

1 2 10 1 20 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 * *

1 2 11 0 1 2

det0 0 1

A A AA

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

DETERMINANTI

Determinant de ordin doi a b

ad bcc d

= −

Determinant de ordin trei Regula lui Saruss pt calculul determinantilor

a b cd e fg h i

Se copiaza primele doua linii a b cd e fg h ia b cd e f

Deci det A= a e i d h c g b f g e c a h f d b i⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Aplicatiile determinantilor in geometrie

11 01

A A

B B

x yx yx y

=

Ecuatia dreptei AB : 11 01

A A

B B

C C

x yx yx y

=

Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare

111

A A

B B

C C

x yx yx y

Δ =

2ABCSΔ

=Aria triunghiului ABC este unde

SISTEME

Natura unui system

Un sistem poate fi: • sistem incompatibil (adica nu are solutii) • sistem compatibil (adica are solutii) • compatibil determinat (adica are solutie unica) • compatibil nedeterminat (adica are o infinitate de solutii)

Conditia ca un sistem sa fie compatibil determinat Un sistem e compatibil determinat daca are determinantul diferit de 0 Metoda lui Cramer-pentru rezolvarea unui sistem compatibil determinat Daca A este matricea coeficientilor daca detA≠0 sistemul e compatibil determinat si pot aplica regula lui Cramer

adica x= detyA

Δdet

zA

Δdet

xA

ΔxΔ y= z= ,e.t.c … =det obtinut din matricea A inlocuind

coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi ;analog yΔ , e.t.c.