Matemática I

Máximo Común Divisor

Ing. Santiago Figueroa LorenzoCorreo: urural.ingenierosantiago@gmail.com

Temas

• Primera Unidad: Elementos Algebraicos

• Tema 2: Máximo Común Divisor

Máximo Común Divisor

Objetivos

Adquirir y sistematizar los conocimientos acerca del máximo

común divisor de dos o más expresiones algebraicas.

Bibliografía Álgebra, Baldor A.

Fundamentos de Matemáticas Modernas, Mehienbacher L.

Álgebra Moderna, Nichols E.

Álgebra y Trigonometría, Raymond B.

Álgebra Superior, Spiegel M.

Introducción

Una vez comprendidos los procedimientos de

descomposición factorial se procede a analizar los conceptos

de máximo común divisor y mínimo común múltiplo para

dar paso a la posterior reducción de fracciones algebraicas.

Máximo Común DivisorFactor Común o Divisor Común

El Divisor Común de dos o más expresiones algebraicas es una

expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una

de las primeras.

Ejemplo:Determine un divisor común para las siguientes expresiones

algebraicas

a) 𝟐𝒙 y 𝒙𝟐 Divisor Común 𝒙

b) 𝟏𝟎𝒂𝟑𝒃𝟐 y 𝟏𝟓𝒂𝟒𝒃 Divisor Común 𝟓𝒂𝟑𝒃

Máximo Común DivisorExpresión Algebraica Prima

• Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por

ella misma y por la unidad.

𝒂 , 𝒃 , 𝒂 + 𝒃 y 𝟐𝒙 − 𝟏 Son expresiones algebraicas primas

• Dos expresiones algebraicas son primas entre si cuando el único

divisor común que tienen entre ellas es la unidad.

Ejemplo:Determine si siguientes expresiones algebraicas son primas entre si

a) 𝟐𝒙 y 𝟑𝒃b) 𝒂 + 𝒃 y 𝒂 − 𝒙

Máximo Común DivisorMáximo Común Divisor

El Máximo Común Divisor de dos o más expresiones algebraicas

es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y mayor

grado que está contenida exactamente en cada una de ellas.

Ejemplo:Determine por simple inspección el máximo común divisor para

las siguientes expresiones algebraicas.

a) 𝟏𝟎𝒂𝟐𝒃 y 𝟐𝟎𝒂𝟑 Máximo Común Divisor 𝟏𝟎𝒂𝟐

b) 8𝒂𝟑𝒏𝟐 , 𝟐𝟒𝒂𝒏𝟑 y 𝟒𝟎𝒂𝟑𝒏𝟒𝒑 Máximo Común Divisor

𝟖𝒂𝒏𝟐

Máximo Común Divisor

Regla para determinar Máximo Común Divisor

1- Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes

2- Se buscan las bases que sean semejantes en cada una de las

expresiones algebraicas.

3- Se escriben las letras comunes dando a cada letra el menor

exponente que tenga en las expresiones dadas.

Ejemplo:Determine el máximo común divisor para las siguientes

expresiones algebraicas

a) 𝒂𝟐𝒙𝟐 y 𝟑𝒂𝟑𝒃𝒙1- Máximo Común Divisor de los coeficientes es 1

2- Letras comunes 𝒂 y 𝒙3- Tomamos para ambas letras su menor exponente 𝒂𝟐 y 𝒙

Máximo Común Divisor 𝒂𝟐𝒙

Máximo Común Divisor

Máximo Común DivisorEjemplo:Determine el máximo común divisor para las siguientes expresiones

algebraicas

b) 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃𝟒 , 𝟒𝟖𝒂𝟖𝒃𝟖𝒄 y 𝟔𝟎𝒂𝟒𝒃𝟑𝒎

Se decomponen en factores cada uno de los coeficientes:

𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃𝟒 = 𝟐𝟐𝟑𝟐𝒂𝟐𝒃𝟒

𝟒𝟖𝒂𝟖𝒃𝟖𝒄 = 𝟐𝟒𝟑𝒂𝟖𝒃𝟖𝒄𝟔𝟎𝒂𝟒𝒃𝟑𝒎 = 𝟐𝟐𝟑𝟓𝒂𝟒𝒃𝟑𝒎

1- Máximo Común Divisor de los coeficientes es 𝟐𝟐𝟑2- Letras comunes 𝒂 y 𝒃3- Tomamos para ambas letras su menor exponente 𝒂𝟐 y 𝒃𝟑

Máximo Común Divisor 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟑

Máximo Común Divisor de

PolinomiosMáximo Común Divisor de polinomios

Para calcular el máximo común divisor de polinomios se

necesita:

Descomposición en factores

Divisiones sucesivas

Máximo Común Divisorde Polinomios por descomposiciones

factorialesRegla para determinar Máximo Común Divisor de

Polinomios

1- Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos.

2- Se buscan los factores que sean semejantes en cada uno de los

polinomios.

3- El máximo común divisor es el producto de los factores comunes

con su menor exponente.

Ejemplo 1:Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios:

a) 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂𝒃 y 𝟐𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐

1- Se factorizan ambos polinomios

𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂𝒃 = 𝟒𝒂(𝒂 + 𝒃)

𝟐𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝟐𝒂 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝟐𝒂(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)2- Se buscan factores comunes:

𝟐𝒂

(𝒂 + 𝒃)3- Tomamos para ambas letras su menor exponente 𝒂 y (𝒂 + 𝒃)

Máximo Común Divisor 𝟐𝒂(𝒂 + 𝒃)

Máximo Común Divisorde Polinomios por descomposiciones

factoriales

Ejemplo 2:Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios:

a) 𝒙𝟐 − 𝟒 , 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒1- Se factorizan ambos polinomios

𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟐

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 = (𝒙 + 𝟐)𝟐= (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟐)2- Se buscan factores comunes:

(𝒙 + 𝟐)3- Tomamos para ambas letras su menor exponente (𝒙 + 𝟐)

Máximo Común Divisor(𝒙 + 𝟐)

Máximo Común Divisorde Polinomios por descomposiciones

factoriales

Ejemplo 3:Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios:

a) 𝒙𝟔 − 𝒙𝟐, 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 y 𝟐𝒙𝟔 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝒙1- Se factorizan ambos polinomios

𝒙𝟔 − 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙𝟒 − 𝟏 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏

= 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 + 𝒙 − 𝟏 = 𝒙𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

𝟐𝒙𝟔 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 = 𝟐𝒙 𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏

= 𝟐𝒙 𝒙𝟑 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝒙 𝒙𝟑 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏

= 𝟐𝒙(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟏

Máximo Común Divisorde Polinomios por descomposiciones

factoriales

Ejemplo 4:

Determine el máximo común divisor para los siguientes

polinomios:

a) 𝒙𝟔 − 𝒙𝟐, 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 y 𝟐𝒙𝟔 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝒙

2- Se buscan factores comunes:

𝒙𝒙 − 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏3- Tomamos para ambas letras su menor exponente 1

Máximo Común Divisor 𝒙(𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟏

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

Regla para determinar Máximo Común Divisor de

Polinomios

1- Se ordenan ambos polinomios en relación a la misma letra

2- Se divide el polinomio de mayor entre el de menor grado. Si ambos

tienen el mismo grado cualquiera puede ser el dividendo

3- Si la división es exacta el divisor es el Máximo Común Divisor

4- Si no es exacta se divide el divisor por el primer residuo y luego por el

segundo y así sucesivamente hasta lograr una división exacta.

Si no se puede aplicar un método de descomposición en factores se

emplea el método de divisiones sucesivas.

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

Ejemplo 1:Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios:

a) 𝟏𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟖 y 𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

Reglas especiales para determinar Máximo

Común Divisor de Polinomios

1- Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un

factor que no divida al otro polinomio. Ese factor por no ser

factor común de ambos polinomios, no forma parte del máximo

común divisor

2- El residuo de cualquier división se puede dividir por un factor

que no divida a los polinomios dados

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

3- Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede

cambiarse el signo a todos los términos de dicho residuo

4- Si el primer término del dividendo o el primer término del algún

residuo no es divisible por el primer término de algún divisor, se

multiplican todos los términos del dividendo o del residuo por la

cantidad necesaria para hacerlo divisible

Reglas especiales para determinar Máximo

Común Divisor de Polinomios

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

Ejemplo 2:Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios:

a) 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐 y 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙

Máximo Común Divisor de Polinomios por descomposiciones factoriales

Tareas Extraclase

• Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 4

Conclusiones

Se aprendió a determinar el Máximo Común Divisor usando el método

de factorización o el de divisiones sucesivas.