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Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

a.a. 2008-09 Docente: Ana Millán Gasca

Lezione 6 Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali SOMMARIO: 6.1 Parti, rapporti, misure. Le origini dei numeri razionali. 6.2 I tre significati di una frazione. 6. 3. Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei numeri interi. 6.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica. 6.5 La scrittura dei numeri razionali: frazioni e decimali. Bibliografia: Che cos’è la matematica?, Cap. 2 (§1 e §2), Aritmetica di base, Cap. 4.

In conclusione della lezione 3, I numeri naturali, abbiamo sottolineato l’esigenza intrinseca di ampliare il sistema dei numeri della matematica oltre i numeri naturali: si tratta di “rimuovere le restrizioni per la sottrazione e per la divisione”. Per quanto riguarda la sottrazione, nella lezione 4 abbiamo visto che la restrizione scompare nell’insieme dei numeri interi Z (si veda il §3.6). Per poter rimuovere la restrizione sulla divisione, la matematica considera un insieme di numeri ancora più ampio, quello dei numeri razionali Q. In questa lezione descriveremo come la matematica moderna spiega che cosa è un numero razionale usando due strumenti matematici che già conosciamo: il prodotto cartesiano e la relazione di equivalenza.

Ma l’esigenza di avere a disposizione numeri non interi è emersa storicamente anche da esigenze non puramente interne alla matematica, quali quelle della misurazione e oppure la risoluzione di problemi della matematica pratica. Nei primi due paragrafi esamineremo quali sono le questioni dove diventa palese che i numeri naturali non bastano, e anche i molti significati che si nascondono sotto la notazione frazionaria.

6.1 Parti, rapporti, misure. Le origini dei numeri razionali.

«Nel dominio dei numeri razionali, le operazioni cosiddette razionali – addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione – possono essere eseguite senza restrizioni e non conducono mai fuori di questo dominio. Un tale insieme chiuso di numeri si dice un campo. Incontreremo altri esempi di campo più avanti […]

Estendere un dominio con l’introduzione di nuovi simboli, in maniera tale che le leggi che valgono nel dominio originario continuino a valere nel dominio più esteso, è uno degli aspetti del caratteristico procedimento matematico di generalizzazione. La generalizzazione dai numeri naturali ai razionali soddisfa sia alla necessità teorica di rimuovere le restrizioni per la sottrazione e la divisione, sia alla necessità pratica che i numeri esprimano i risultati di certe misure. Il vero significato dei numeri razionali è nel fatto che essi soddisfano a questa duplice necessità. Come abbiamo visto, tale estensione del concetto di numero divenne possibile con la creazione di nuovi

numeri sotto forma di simboli astratti, come 0, -2 e

!

3

4. Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci

riesce difficile credere che fino al secolo XVII non venisse generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei numeri interi positivi, e che fossero usati, se necessario, con una certa dosi di dubbio

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca

2

e di preoccupazione. Responsabile di questa esitazione a compire un passo inevitabile fu la tipica tendenza umana a tenersi al “concreto” rappresentato dai numeri naturali. Soltanto nel regno dell’astratto si può creare un sistema aritmetico soddisfacente.»

Richard Courant, Herbert Robbins, Che cos’è la matematica, p. 98

ESEMPIO 6.1 Dobbiamo piantare 6 alberi lungo una strada fra due case lunga 34 m. A quale distanza fra loro bisogna piantare gli alberi? Abbiamo condotto in aula una riflessione sulla risoluzione di questo problema con i bambini. Fra i temi emersi: aspetti matematici – l’aspetto geometrico: fare un disegno, geometrizzando la situazione: un segmento, i due estremi; l’equidistanza come criterio di armonia o di equilibrio nei luoghi creati artificialmente (architettura, giardini). Schizzo e disegno geometrico – l’aspetto pratico: dettagli da precisare (un albero davanti a ogni casa?), l’idea di suddivisione, l’approssimazione necessaria – le unità di misura di lunghezza – l’aspetto aritmetico: cercare vicino a 34 un multiplo di 7; è necessario usare i decimali; l’uso dei sottomultipli evitare di usare i numeri con la virgola aspetti didattici – in quale classe risolvere questo problema? Come proporlo? – la divisione (si veda § 5.5) Sia nei conteggi, sia nella misurazione di grandezze, i problemi più semplici possono essere risolti contando, oppure con semplici addizioni e sottrazioni di numeri interi. Molto spesso, tuttavia, il problema richiede un confronto moltiplicativo fra quantità (come nell’esempio 6.1) e quindi l’uso di numeri non interi. Fra i problemi di questo genere vi sono:

– i problemi di ripartizione o di suddivisione – i problemi di misura, in cui si confronta una grandezza (lunghezza, area, peso, capacità, tempo) con una certa unità di misura. In generale, quando si conta il numero di volte che tale unità è contenuta nella grandezza da misurare non sempre si può esprimere il risultato con un numero naturale, e quindi si fa ricorso ai sottomultipli. Nell’esempio 6.1, la nostra risposta approssimata era: piantiamo gli alberi a distanza uno dall’altro e dalle case di 4 m, 8 dm e 5

cm; altrimenti dobbiamo usare frazioni o decimali, e scrivere:

!

34

7 di metro, oppure all’incirca

4,85 m. – i rapporti, come nel disegno tecnico (tracciare una pianta in scala), nella cartografia, nella tecnica (si pensi al rapporto di trasmissione, o al caso della bicicletta, o la rapporto fra forza motrice e forza resistente in una carrucola), oppure in musica.

Questi problemi si collegano al problema matematico del confronto moltiplicativo o rapporto fra numeri naturali. Per venire incontro a queste difficoltà sono state considerati quantità non intere o frazionare.


3

Le frazioni Fin dall’Antichità sono stati usati particolari simboli per rappresentare le frazioni unitarie

(ossia quelle che hanno numeratore uno) come

!

1

2,1

3,1

4 che esprimono l’idea della parte frazionaria

che si aggiunge a un numero intero. In Egitto si aveva anche un simbolo particolare per la frazione

!

2

3. I primi a scrivere frazioni indicando due numeri interi positivi collocati uno sopra l’altro

(numeratore e denominatore, scritti ognuno di essi usando il sistema di numerazione posizionale decimale) furono gli indiani, e i primi a scrivere il trattino orizzontale di separazione fra numero in alto e numero in basso furono gli arabi.

Tuttavia, in molte occasioni, la notazioni frazionaria non è molto efficace: nell’esempio 8.1,

la frazione

!

34

7 ci rende poco chiaramente l’idea del numero non intero che indica la distanza fra gli

alberi. I numeri decimali La notazione decimale (i numeri con la virgola) permette di indicare una quantità non intera usando due idee:

– esprimere la quantità come somma della parte intera e della parte frazionaria:

!

29

4= 7 +

1

4

– esprimere la parte non intera del numero come somma di frazioni decimali, ossia

frazioni unitarie del tipo

!

1

10,1

100,1

1000,… (l’idea è usare le potenze di 10, che indicano

decimi, centesimi, millesimi e così via, per analogia con le decine, le centinaia, le migliaia e così via) e applicare la notazione posizionale:

!

1

4= 2 "

1

10+ 5 "

1

100# $ # parte frazionaria 25

– usare la virgola (o il punto) per separare la parte intera dalla parte frazionaria espressa in

forma posizionale, entrambe espresse in modo posizionale

!

7,25

Tuttavia, i numeri decimali o numeri “con la virgola” è diventata di uso comune soltanto nell’Europa moderna, soprattutto dal XVII secolo (il punto, usato ancora oggi nei paesi anglossassoni, fu introdotto da Giovanni Antonio Magini nel 1592; la virgola, nel 1608, dall’olandese Willebrod Snellius). Essa ha contribuito a far pensare le quantità non intere, ossia quelle che non possiamo esprimere con i numeri naturali, come veri e propri numeri, poiché con questa notazione i numeri naturali sono particolari numeri decimali che non hanno cifre significative dopo la virgola. 8.2 I tre significati di una frazione.


4

Le frazioni sono state usate fin dall’Antichità. Il simbolo moderno è quello dell’allineamento verticale di due numeri interi con un trattino orizzontale di separazione:

!

3

4

Il numero in alto si chiama numeratore e il numero in basso si chiama denominatore.

Una frazione è una coppia ordinata di numeri interi di cui il primo è il numeratore e il

secondo è il denominatore, con la condizione che questo secondo numero non può essere zero; usiamo la notazione:

!

a

b

Si tratta quindi di un simbolo, di un segno grafico. Nella scuola primaria si introduce questo simbolo e si impara a eseguire operazioni con frazioni, al meno nei casi più semplici. Questi primi passi, seppur elementari, pongono quindi le basi di un concetto che diventerà nel seguito parte importante del bagaglio matematico di ognuno.

È importante osservare che il simbolo de frazione viene usato a scuola in contesti diversi con significati diversi, seppure ovviamente tutti collegati fra di loro:

– la frazione come parte dell’unità. Nell’esempio, la frazione indica che un’unità (che sia una torta, o un deposito di acqua, o un’eredità) è stata divisa in quattro parti uguali e se ne prendono tre. In generale, un tutto è stato diviso in tante parti come indica il denominatore e si prendono tante come indica il denominatore. Le frazioni unitarie (le sole usate dagli Egizi, ad esempio) fanno riferimento a questa idea.

Tuttavia noi usiamo questo significato in tutta generalità:

!

5

4 di deposito usati sta a indicare

un deposito intero e un altro deposito diviso sempre in quattro parti uguali, di cui abbiamo svuotato una parte. Questo è l’esempio classico della torta con il quale si suole introdurre ai bambini l’idea di frazione.

– la frazione come quoziente indicato di due numeri. Vediamo alcune volte la frazione come

un numero di nuovo tipo, risultato della divisione di due numeri naturali; se vogliamo esprimerlo nel sistema di numerazione decimale posizionale eseguiamo una divisione con decimali e otteniamo un numero naturale (se il numeratore è multiplo del denominatore) oppure un numero decimale finito o periodico.

– la frazione come operatore. Una frazione agisce su un numero trasformandolo: essa

raccoglie due istruzioni: moltiplicare per il numeratore e dividere per il denominatore. Ad

esempio

!

1

4 di una torta di 500 grammi è una porzione di 125 grammi di torta;

!

3

4 di un

deposito di 20 litri sono 15 litri di acqua.

A questi usi potremmo aggiungere un quarto, ossia la frazione come rapporto fra due numeri. In questo caso però si tende a usare la scrittura

!

a :b , come quando si indica la scala in una cartina:

!

1: 25.000


5

Sotto tutti questi usi si nasconde un unico concetto matematico, un nuovo tipo di numeri che

amplia l’insieme dei numeri naturali e anche quello dei numeri interi: il concetto di numero razionale.

Si osservi il significato della frazione come numero: esso include la comprensione del fatto

che scrivere

!

1

4 è come scrivere 0,25. Quindi siamo in presenza di numeri dalle molte forme, a

differenza dei numeri interi. Infatti, la situazione è ancor più complicata, perché

!

1

4=2

8=35

70=25

100= 0,25

e oltretutto, il simbolo fra frazione si legge “equivalente”. Inoltre, in certi usi, si usa per designare la

frazione

!

1

4 intesa come operatore il simbolo o abbreviazione 25%.

Infine, quando vengono introdotte le frazioni, anche i numeri interi possono essere scritti in nuovi modi:

!

6 =12

2=18

6=600

100

"3 ="6

2=6

"2="30

10

Per spiegare bene sia i numeri decimali, sia le frazioni, dobbiamo quindi avere una doppia consapevolezza:

– dell’unico concetto matematico astratto sottostante, quello di numero razionale di cui non si

parla nella scuola primaria ma che i bambini apprenderanno nella scuola media; – della molteplicità di interpretazioni che il bambino deve imparare a maneggiare fin dalla

scuola primaria.

6.3 Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei numeri interi

Abbiamo descritto l’estensione da N a Z in modo informale, anche se essa può essere stabilita in modo matematicamente rigoroso, usando il concetto di prodotto cartesiano e di relazione di equivalenza (ci è bastato insistere sul fatto che questa estensione è un artificio matematico).

Per capire in cosa consiste l’estensione da Z a Q, e soprattutto per poter raccontarla ai bambini, non ci basta dire che “i numeri razionali sono le frazioni”.

«Il mago alzò il bastone e a Roberto apparve una nuova calcolatrice. Era un po’ meno ranocchiosa dell’altra, ma in compenso gigantesca […]

– Allora, adesso scrivi uno diviso tre, ordinò il vecchio.


6

1:3

disse Roberto premendo i tasti. Sulla finestrella infinitamente lunga in caratteri verde chiaro apparve il risultato.

0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333 – Ma non finisce mai? chiese. – Sì sì, disse il mago. Finisce dove finisce la calcolatrice. – E poi? – Poi continua. Solo che non puoi leggerlo. – Ma è sempre lo stesso, un tre dopo l’altro. Sembra di scivolare. – Hai ragione. – Mmm…, bofonchiò Roberto, questa roba non mi piace, preferisco scrivere un terzo.

Ecco:

!

1

3

È molto meglio. – Certo, disse il vecchio. Però devi usare i numeri frazionari, e le frazioni, se ricordo bene,

non le sopporti.» (Hans M. Ensensberger, Il mago dei numeri, “La quarta notte”)

ESEMPIO 6.2. Ai numeri 1,7, 17, glielo si legge in faccia che non possono essere divisi per 3

senza resto! Possiamo allora considerare i “quozienti” 1:3, 7:3 e 17:3 come dei veri e propri numeri:

in questo caso preferiamo usare la notazione frazionaria.

!

1

3,7

3 e

17

3 non sono più però numeri

naturali, appartengono a un insieme numerico che denotiamo con la lettera Q. Provi a rappresentare con i diagrammi di Euler Venn il rapporto di inclusione fra N e Q. Rifletta: i numeri naturali possono essere considerati anche come quozienti? Collochi nel suo diagramma le tre frazioni e altri numeri.

Le frazioni non esauriscono tutti i numeri della matematica. Provi a trovare una frazione il cui quadrato sia 2. Come dice il mago dei numeri a Roberto “la rapa di due è un numero irragionevole” (

!

2 indica un numero il cui quadrato è 2, come ad esempio la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1). Se all’insieme Q aggiungiamo i numeri irrazionali si ottiene l’insieme dei numeri reali R. Completi allora il suo diagramma di Euler Venn e collochi nel diagramma i numeri seguenti:

!

4,25

4, 3


7

Una frazione è composta da due numeri interi, disposti però in un certo ordine. Ad esempio

!

5

6

indica una cosa diversa da

!

6

5. Il ruolo dei due numeri quindi non è simmetrico, e oltretutto uno dei

due non può essere il numero 0. I due numeri sono disposti graficamente sopra e sotto oppure a sinistra e a destra di un tratto

(rispettivamente orizzontale od obliquo) in modo tale da permettere di distinguere un primo numero (il numeratore) e un secondo (il denominatore):

!

5

6 5

6 5 6

Consideriamo l’insieme formato da tutte le coppie ordinate di numeri interi (dove però la

seconda componente è un intero diverso da zero), ossia il prodotto cartesiano

!

Z " Z* = a,b( ) : a,b# Z $b % 0{ }

(

!

Z*indica l’insieme dei numeri interi diversi da zero)

Queste infinite copie non sono però tutte diverse fra loro. Vi sono famiglie di copie ordinate che consideriamo “uguali”, “indistinguibili”, ossia quelle che indicano frazioni equivalenti:

!

5

6=15

18="50

"60

quindi per noi

!

5,6( ) " 15,18( ) " #50,#60( ) Sappiamo bene quando due frazioni sono equivalenti: quando i prodotti incrociati di

numeratore e denominatore sono uguali. Possiamo scrivere quindi che nell’insieme

!

Z " Z*

date due coppie

!

a,b( ), c,d( )" Z # Z*

!

a,b( )ℜ

!

c,d( ) se

!

a " d = b " c Si dimostra, infatti, applicando le proprietà della moltiplicazione dei numeri interi, che la relazione binaria ℜ è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Quindi la frazione

!

5

6 “nasconde” non soltanto la coppia ordinata

!

5,6( ), ma un insieme infinito di

coppie ordinate equivalenti secondo il criterio appena introdotto. Indichiamo questo insieme o “classe” di coppie equivalenti racchiudendo una delle coppie ordinate in una parentesi quadra:

!

5,6( )[ ] ma potremmo anche scrivere

!

5,6( )[ ] = 15,18( )[ ] = "50,"60( )[ ] Ognuna di queste classi di equivalenza è un numero di tipo nuovo, un numero razionale.


8

ESERCIZIO 6.1 Provi a scrivere la classe

!

5,6( )[ ] per comprensione. Scriva l’espressione decimale posizionale di questo numero razionale. Scriva l’espressione sessagesimale posizionale.

DEFINIZIONE Si chiama numero razionale ognuna delle classi di equivalenza:

!

a,b( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: a $ d = b $ c{ }

ESEMPIO 6.3 Si consideri il numero razionale

!

3,4( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: 3 $ d = 4 $ c{ } = 3,4( ), %3,%4( ), 6,8( ), %6,%8( ), 9,12( ),...{ }

Appartengono quindi alla stessa classe di equivalenza le coppie (6,8) oppure (9,12), e quindi ognuna di esse può essere usate come rappresentante dell’intera classe allo stesso modo di (3,4): tutte queste coppie rappresentano lo stesso numero razionale. Possiamo usare per designare le coppie usando la notazione

frazionaria:

!

3

4,6

8,9

12.

L’insieme Q dei numeri razionali è l’insieme delle classi di equivalenza determinate in

!

Z " Z* dalla relazione di equivalenza ℜ

Q

!

= a,b( )[ ] : a,b( )" Z # Z*{ }

(la lettera Q deriva da quoziente: si dice che Q è l’insieme quoziente di

!

Z " Z* con la relazione di

equivalenza ℜ). Osserviamo quindi che ogni numero razionale è un insieme infinito di coppie ordinate che

verificano la condizione dei “prodotti incrociati”, e quindi una qualsiasi di tali coppie ordinate può essere scelta come rappresentante della classe e quindi del numero razionale. Di solito rappresentiamo ogni coppia di

!

Z " Z* con la notazione frazionaria (la prima componente della

coppia diventa il numeratore della frazione e la seconda componente il denominatore)

!

a,b( )" # $ a

b

e quando scriviamo

!

a

b=c

d il segno uguale fa riferimento al fatto che entrambe rappresentano lo

stesso numero razionale, mentre come frazioni o coppie ordinate di numeri interi esse non sono uguali ma equivalenti.


9

L’immersione di N in Q ESEMPIO 6.4 Possiamo considerare il numero 6 come un numero razionale collegandolo alla classe di equivalenza

!

6" # " 6,1( )[ ] = 6,1( ), 12,2( ), $6,$1( ),...{ }

Visto come elemento di Q, il numero 6 ha quindi molte notazioni frazionarie:

!

6

1,"6

"1,12

2,60

10,...

Allo stesso modo si possono vedere il numero 1 e il numero 0:

!

0" # " 0,1( )[ ] = 0,1( ), 0,$1( ), 0,2( ), 0,$2( ),...{ }

!

1" # " 1,1( )[ ] = 1,1( ), $1,$1( ), 2,2( ), $2,$2( ),...{ }

Visti in questo modo, i numeri 0 e 1 saranno rispettivamente l’elemento neutro per l’addizione e l’elemento neutro per la moltiplicazione dei razionali che stiamo per definire.

I numeri naturali si ritrovano in Q sotto una veste un po’ diversa. Infatti, esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e una famiglia di classi di equivalenza, quelle formate dalle coppie ordinate del tipo

!

n,1( ):

!

i :N" # " Q n

!

" # " n,1( )[ ] Allo stesso modo si ritrovano tutti i numeri negativi. Le operazioni con i numeri razionali Dati due numeri razionali v e w, ognuno di essi è una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi. Prendiamo allora un rappresentante in ogni classe:

!

v = a,b( )[ ] e

!

w = c,d( )[ ] si definisce:

!

v + w = a " d + b " c,b " d( )[ ] (addizione di numeri razionali)

!

v " w = a " c,b " d( )[ ] (moltiplicazione di numeri razionali)

Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono ben definite, ossia con la definizione

scelta il loro risultato non dipende dal rappresentante scelto nella classe di equivalenza.


10

ESERCIZIo 6.2 : Usiamo la notazione frazionaria dei numeri razionali. Consideri i numeri

!

1

4 e

!

1

2; esegua la

addizione e la moltiplicazione usando le definizioni. Verifichi che usando le frazioni equivalente

!

2

8 e

!

3

12 il

risultato è una frazione equivalente alle frazioni ottenute in precedenza. Le operazioni di addizione e di moltiplicazione di numeri razionali verificano le otto

proprietà (1)-(8) di cui godevano l’addizione e la moltiplicazione dei numeri interi (si confronti la lezione 3):

1) proprietà commutativa dell’addizione:

!

"n,m # Q,n + m = m + n

2) proprietà commutativa della moltiplicazione:

!

"n,m # Q,n $m = m $ n

3) proprietà associativa dell’addizione:

!

"l,n,m # Q,l + n + m( ) = l + n( ) + m 4) proprietà associativa della moltiplicazione:

!

"l,n,m # Q,l $ n $m( ) = l $ n( ) $m 5) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

!

"l,n,m # Q,l $ n + m( ) = l $ n + l $m 6) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione: si tratta del numero

razionale 1 (abbiamo visto che in Q esso è

!

1,1( )[ ]) il quale verifica che

!

"n # Q,n $1= n 7) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per l’addizione: si tratta del numero razionale

0 (abbiamo visto che in Q esso è

!

0,1( )[ ]) il quale verifica che

!

"n # Q,n + 0 = n 8) proprietà dell’elemento simmetrico per l’addizione (elemento opposto)

!

"n # Q,$n* # Q tale che n + n*

= 0 .

ESERCIZIO 6.3. Consideri il numero razionale

!

3,4( )[ ] . Quale è il numero razionale opposto? Scriva l’espressione decimale dell’opposto e proponga due notazioni frazionarie. Verifichi che l’addizione di

!

3,4( )[ ] con il suo opposto è

!

0,1( )[ ] .

Dato un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] , quale è il suo elemento opposto?

Oltre a queste proprietà algebriche, nell’insieme Q si ha un’altra proprietà: ogni numero

razionale v ha un elemento simmetrico per la moltiplicazione, detto anche inverso di v, ossia esiste un altro numero razionale che moltiplicato per v da come risultato 1.

Aggiungiamo quindi la proprietà:

9) proprietà dell’elemento simmetrico per la moltiplicazione:

!

"v # Q,$v* # Q : v % v* =1.


11

ESEMPIO 6.5 Consideriamo di nuovo il numero razionale

!

3,4( )[ ] .

!

3,4( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: 3 $ d = 4 $ c{ } = 3,4( ), %3,%4( ), 6,8( ), %6,%8( ), 9,12( ),...{ }

L’inverso di

!

3,4( )[ ] è il numero razionale

!

4,3( )[ ]

!

4,3( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: 4 $ d = 3 $ c{ } = 4,3( ), %4,%4( ), 8,6( ), %8,%6( ), 12,9( ),...{ }

Se prendiamo come rappresentate dell’intera classe la coppia

!

6,8( ), che in forma di frazione è

!

6

8, allora

l’inverso è la classe di tutte le coppie equivalenti a

!

8,6( ), ossia in forma di frazione

!

6

8.

Verifichiamo che è così:

!

3,4( )[ ] " 4,3( )[ ] = 3 " 4,4 " 3( )[ ] = 12,12( )[ ] =1

Per ottenere l’elemento simmetrico di un numero razionale v (detto inverso di v, e si scrive

!

1

v) basta

scegliere un rappresentante della classe v, e considerare la classe di equivalenza della coppia ordinata che si ottiene cambiando l’ordine delle due componenti:

dato

!

v " Q, allora

!

v = a,b( )[ ] e l’inverso di v è

!

1

v= b,a( )[ ]

Inverso di un numero intero

Un numero intero non ha inverso nell’insieme Z, ma visto come numero razionale ha un inverso che è un numero razionale non intero:

ESEMPIO 6.6

!

7visto come numero razionale

" # " " " " " " " 7,1( )[ ] inverso" # " " 1,7( )[ ] scritto come frazione

" # " " " " " 1

7

La divisione in Q La divisione in Q può essere eseguita sempre, essa è semplicemente la moltiplicazione per

l’inverso: dati due numeri razionali v e w,

!

v ÷ w = v "1

w

Ad esempio,

!

1

4÷3

5=1

4"5

3=5

12

La divisione in Q associa ad ogni coppia di numeri razionali v e w (naturali o no) un solo

numero q, il quoziente, che verifica la condizione

!

v = w " q Essa è l’operazione inversa della moltiplicazione nel senso che se parto dal numero v, lo

divido per il numero w e poi moltiplico il risultato per w, ottengo di nuovo il numero v di partenza.


12

Le “due divisioni” dei numeri interi

In particolare, la divisione fra due numeri interi si può sempre eseguire se li vediamo in Q:

!

7 ÷ 3 =7

3

oppure, scritto in modo completo usando le classi di equivalenza:

!

7,1( )[ ] ÷ 3,1( )[ ] = 7,3( )[ ] Si ricordi che la divisione nell’aritmetica elementare, ossia la divisione in N che abbiamo

studiato nella lezione 5, non è l’operazione inversa della moltiplicazione che si può avere solo immergendo N in Q.

Nel nostro esempio, la divisione in N associa a dividendo 7 e divisore 3 il quoziente 2 e il resto 1:

!

7 = 3 " 2 +1

6.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica.

Nell’ampliare il sistema dei numeri da N a Z abbiamo conservato l’ordinamento totale. Anche l’insieme Q ha un ordinamento totale: infatti possiamo sempre comparare due frazioni e sapere quale è maggiore dell’altra. Questo ci permette anche di rappresentare le frazioni sulla retta numerica. Vediamo come si definisce questa relazione d’ordine nel quadro teorico che abbiamo costruito. Ci serve prima distinguere numeri razionali positivi e negativi, con una definizione molto semplice che usa il confronto fra il segno del numeratore e del denominatore. Numeri razionali positivi e negativi Due numeri interi si dicono concordi se sono entrambi positivi o entrambi negativi; si dicono discordi se uno è positivo e l’altro negativo. Dato un numero razionale v qualsivoglia, e prendiamo un rappresentante

!

v = a,b( )[ ]

– se a e b sono concordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante

!

c,d( ), allora c e d saranno concordi

– se a e b sono discordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante

!

c,d( ), allora c e d saranno discordi

(per convincersi basta riflettere al legame aritmetico fra i quattro numeri a, b, c e d). DEFINIZIONE Un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] si dice positivo se a e b sono concordi. Un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] si dice negativo se a e b sono discordi. L’ordinamento totale di Q

Ora possiamo definire la relazione binaria “essere maggiore o uguale” nell’insieme Q. DEFINIZIONE Dati due numeri razionali v, z, si dice che v è maggiore o uguale di z, e si scrive

!

v " z se

!

v = z oppure esiste un numero razionale positivo w tale che

!

v = z + w .


13

Questa relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e quindi è una relazione d’ordine in Q. Questo ordinamento estende quello dei numeri interi, vale a dire, se

!

n " m in Z allora anche come numeri razionali si ha che

!

n,1( )[ ] " m,1( )[ ] (prendendo come rappresentante la frazione ridotta

ai minimi termini:

!

n

1"m

1. Come succedeva già in Z, questa relazione d’ordine non è un buon

ordinamento (il sottoinsieme dei interi negativi, ad esempio, non ha minimo). L’ordinamento di Q è diverso da quello di Z perché esso non ha “buchi” o salti. Fra due numeri interi come 8 e 15 vi sono sei numeri interi; ma fra numeri interi come 3 e 4, oppure tra -2 e -1, non vi è nessun altro numero intero. Invece scegliendo a piacere due numeri razionali, vi è sempre un altro numero razionale. ESEMPIO 6.7 Considerare i due numeri razionali

!

v = [(3,5)] e

!

z = [(9,5)]. Trovi la loro scrittura decimale e una scrittura frazionaria. Rappresenti graficamente in vari modi questi numeri razionali. Rappresenti graficamente v e z sulla linea dei numeri, e consideri il segmento di estremi v e z. Quale è il numero razionale w che, sulla linea dei numeri, si trova rappresentato dal punto medio di tale segmento? In generale, fra due razionali diversi esiste sempre almeno uno “intermedio”: si dice per questo motivo che i numeri razionali hanno la proprietà di densità. PROPRIETÀ DI DENSITÀ Dati

!

v,z " Q,

!

v < z, esiste

!

w " Q tale che

!

v < w < z

Per dimostrare questa proprietà basta vedere che il numero razionale

!

v + z

2 che è a “metà strada” verifica la

condizione. Iterando questa procedura, è facile convincersi del fatto che fra due razionali diversi esistono infiniti razionali; fra due razionali esiste il punto medio, fra il primo di essi e il punto medio esiste il punto medio, e così via. Quanti sono i numeri razionali?

Dalla proprietà di densità non bisogna ricavare l’idea che i razionali “siano molto di più” degli interi. Ricordiamo però che bisogna stare molto attenti nei ragionamenti riguardanti gli insiemi infiniti: abbiamo visto l’esempio dei numeri pari che è un sottoinsieme dell’insieme N ; poi abbiamo visto che, anche se i numeri negativi sembrano “molti di più” oppure “il doppio” dei numeri naturali. L’insieme dei numeri pari, così come l’insieme dei numeri interi, sono insiemi numerabili, ossia, esiste una corrispondenza biunivoca fra questi insiemi e l’insieme N.

Anche l’insieme Q è numerabile: può essere stabilita una corrispondenza biunivoca fra l’insieme Q e l’insieme dei numeri naturali (si veda Che cos’è la matematica, pp. 124-125) 6.5. La scrittura dei numeri razionali in forma decimale.

Oltre alla notazione frazionaria, ogni numero razionale ha un’espressione decimale o sviluppo decimale nel sistema di numerazione posizionale decimale. Esempio 6.8 Torniamo per l’ultima volta al numero razionale dell’esempio 6.3

!

3,4( )[ ] = 3,4( ), "3,"4( ), 6,8( ), "6,"8( ), 9,12( ),...{ }# Q che possiamo rappresentare usando la notazione frazionaria di uno dei rappresentanti:


14

!

3,4( )[ ] in forma di frazione" # " " " " "

3

4,6

8,

9

12,…

oppure possiamo rappresentare con la sua espressione decimale, ossia, separando la parte intera (che in questo caso è 0) dalla parte frazionaria e usando la decomposizione della parte frazionaria come somma di frazioni decimali:

!

3,4( )[ ]" # " 3

4= 7 $

1

10+ 5 $

1

100" # " 0,75

Per ottenere la parte intera di un numero razionale, che si colloca a sinistra della virgola

nell’espressione decimale posizionale, ci basta eseguire la divisione in N del numeratore per il denominatore: il quoziente è la parte intera.

Per esempio, consideriamo il numero razionale

!

29,4( )[ ]" # " 29

4

eseguiamo la divisione 29 diviso 4 e otteniamo:

!

29 = 7 " 4 +1. Quindi 7 è la parte intera dell’espressione decimale. La parte frazionaria si desume dalla divisione in N che abbiamo appena

eseguito è

!

1

4:

!

29

4= 7 +

1

4

che dobbiamo esprimere come somma di frazioni decimali moltiplicate per certi numeri. Questi numeri possiamo calcolarli ad esempio usando l’algoritmo di divisione con la virgola:

!

1

4= 2 "

1

10+ 5 "

1

100# $ # parte frazionaria 25

La rappresentazione decimale dei numeri varia a seconda della base di numerazione scelta.

Questo tipo di scrittura dei numeri non interi usando il principio posizionale fu per molto tempo un uso di tipo erudito, in particolare in astronomia. La sua origine si colloca nell’epoca babilonese, e continuò ad essere usata dagli studiosi greci e oltre; ma la procedura antica aveva due differenze importanti con quella moderna: – non usavano la virgola: gli scribi capivano il significato posizionale intero o frazionario delle cifre a seconda del contesto – usavano indicare la parte non intera dei numeri usando un decomposizione in frazioni sessagesimali, ossia

!

a1"1

60+ a

2"1

602

+ a1"1

603

+ ...


15

La rappresentazione decimale posizionale dei numeri razionali usando le frazioni decimali ha un significato aritmetico ben preciso se il rappresentante ridotto ai minimi termini del numero divide qualche potenza di 10. In questo caso si avrà quindi una rappresentazione posizionale decimale di questa forma:

!

v = an"10

n+ a

n#1 "101

+ ...+ a2"10

2+ a

1"10 + a

0+ b

1"1

10+ b

2"1

102

+ ...+ bm"1

10m

Se il denominatore non verifica la condizione menzionata, si ha uno sviluppo decimale illimitato: si hanno infinite cifre decimali dopo la virgola, che però presenta una regolarità, ossia le cifre dopo la virgola si ripetono periodicamente. Ad esempio, la frazione dell’esempio 6.1,

!

34

7= 4,857142857142...

quindi il numero 4,85 era soltanto una approssimazione, poiché nella matematica pratica le approssimazioni con espressione decimale limitata bastano. Infatti in questo caso l’espressione decimale ha un significato aritmetico molto chiaro. Vediamo invece il significato dell’espressione decimale periodica in un caso semplice:

!

1

3= 0,3333...

Torniamo qui ai misteriosi puntini …. che indicano l’infinito. Ma che significa in questo caso questa rappresentazione? Abbiamo che

!

1

3= 3 "

1

10+ 3 "

1

102

+ 3 "1

103

+ 3 "1

104

+ ...

Quindi si tratta di una somma infinita, che esce fuori dal recinto dell’aritmetica, della matematica elementare. La matematica moderna si occupa di queste somme infinite grazie al concetto astratto di limite, che è una delle idee che hanno portato allo sviluppo di branche moderne come l’analisi matematica. Grazie all’analisi la matematica ha fornito alla fisica e alla scienza un potente strumento di ricerca delle leggi dei fenomeni naturali. Esercizi 1) Seguendo la traccia dell’esempio 6.1, consideri il seguente problema:

Abbiamo a disposizione un’ora alla radio per 7 brevi interviste. Quanto tempo possiamo dedicare ad ogni intervista?

2) «Presso gli Egizi le sole frazioni ad avere diritto di cittadinanza erano quelle con numeratore

unitario, eccezion fatta per rarissimi casi come la frazione

!

2

3, per la quale esisteva sia un nome

particolare (che tradotto suona “due parti”), quasi a voler sottolineare il fatto che, con la

aggiunta di

!

1

3, si ottiene l’unità, sia un simbolo particolare. Tutte le altre frazioni venivano

espresse come somma di frazioni unitarie e poiché il ritrovarle doveva essere piuttosto


16

complicato, esistevano delle tabelle di facile consultazione, adatte a questo scopo.» (Silvia Roero, in L’alba dei numeri )

Il numeratore 1 della frazione unitaria

!

1

n (detto in termini moderni, l’inverso del numero naturale n)

non si scriveva: tale frazione veniva annotata scrivendo il simbolo per n sormontato dal geroglifico che stava per “parte”.

Scriva, usando la notazione egizia, le seguenti frazioni: a)

!

1

5 ; b)

!

2

5; c)

!

3

5

3) In uno dei più importanti documenti della matematica egizia, il rotolo di cuoio (risalente al 1650 a. C. circa e conservato presso il British Museum), si ritrova una tabella di decomposizione di frazioni unitarie in somma di due o più frazioni unitarie. Provi a ricostruirne alcune righe:

!

1

8

!

1

40

!

1

!

1

20

!

1

5

!

1

3

!

1

!

1

4

!

1

5

!

1

!

1

!

1

3

!

1

2

!

1

!

1

!

1

!

2

3

!

1

7

!

1

42

!

1

!

1

14

3) Spieghi brevemente i tre punti di vista secondo cui può essere considerata una frazione, e proponga un esempio per ognuno di essi. A quale dei tre si può ascrivere la notazione percentuale, come ad esempio 40%? 4) Verifichi che la relazione di equivalenza sull’insieme

!

Z " Z* data da:

!

a,b( )R

!

a',b'( ) se

!

a " b'= b " a' è una relazione di equivalenza. Risponda alle seguenti domande usando la definizione della relazione R. i)

!

3,6( ) appartiene alla classe di equivalenza di

!

21,42( )? ii)

!


!

"3,"6( )? iii)

!


!

1,"3( )?. 5) I numeri razionali

!

21,42( )[ ] ,

!

"3,"6( )[ ] ,

!

1,"3( )[ ] sono positivi o negativi? Scelga per ognuno di essi due rappresentanti e li scriva sia come coppia ordinata, sia come frazione. Rappresenti graficamente questi numeri usando una retta.


17

6) Che cos’è un numero razionale? Che rapporto intercorre fra il concetto di numero razionale e le frazioni? 7) Quale è la scrittura decimale dei numeri razionali dell’esercizio 5? 8) Ricordiamo che in N non possiamo definire un’operazione interna che sia l’inversa della moltiplicazione. Detto in altri termini, l’operazione moltiplicazione in N non gode della proprietà di esistenza dell’elemento simmetrico. Illustri qual’è la situazione in Q. Esiste l’operazione inversa della moltiplicazione? Ogni numero razionale ha un elemento simmetrico? Quale è l’elemento simmetrico del numero razionale [(4,7)]? 9) Il numero 4 è un numero razionale? Precisare in quale senso, ricordando l’immersione di Z in Q. Il numero 4 ha un elemento opposto in Q? Ha un elemento inverso in Q? 10) Consideri i numeri naturali 7 e 15 in Q. Quale è il risultato dell’operazione 7:15 in Q? Illustri la differenza tra il concetto di quoziente introdotto nel § 6.3 e quello introdotto nella lezione 3. 11) Consideri i numeri 0 e 2. Li rappresenti come estremi di un segmento di 16 cm. Divida il segmento in due parti e ripeta l’operazione cinque volte. Associ un numero razionale a ognuno dei punti ottenuti. Quanti numeri razionali vi sono fra 0 e 1? Quanti numeri interi? La divisibilità all’infinito di un segmento di retta è uno dei temi dei famosi paradossi di Zenone di Elea. Ad esempio, Zenone affermava che il moto non può esistere, perché per percorrere la distanza che separa un punto da un altro dobbiamo percorrere prima la metà del tragitto, poi la metà del tragitto rimanente, poi ancora la metà: quindi non arriverà mai. Il percorso è quindi:

!

1+1

2+1

4+1

8+ ...

I pensatori greci si confrontarono con l’infinito matematico sia per molteplicità (la generazione di infiniti numeri naturali aggiungendo 1) sia per divisibilità, come in questo ultimo esempio. Così come la matematica moderna è riuscita a ricondurre a degli assiomi l’infinito dei numeri naturali, essa ha anche escogitato delle procedure per ottenere la somma delle somme infinite. 12) Rappresenti sulla linea dei numeri, calcoli la parte intera e ottenga la scrittura decimale dei

numeri razionali -4, 7,

!

1

2,

!

9

8,

!

"9

8.

13) Dobbiamo eseguire l’addizione dei due numeri razionali seguenti:

!

8

7 e

!

10

6. Quali rappresentanti

è utile scegliere per facilitare il calcolo? Esprimere in notazione frazionaria entrambi questi numeri usando la frazione ridotta ai minimi termini. 14) (i) Definire la relazione di congruenza modulo 4 definita sull’insieme dei numeri interi Z.

(ii) Determinare le classi di equivalenza che essa determina in Z. (iii) L’insieme quoziente è un insieme finito? (iv) A quale classe di equivalenza appartengono i multipli di 4? (v) Giustificare se la seguente affermazione è vera o falsa:

!

18 " #9 mod 4


18

15) Una confezione in scatola di 30 cioccolatini è in offerta al supermercato. Sei amici hanno comprato una scatola e intendono dividerla a parti uguali; ma Marco oggi non è potuto venire. Quanti cioccolatini hanno mangiato? Confrontiamo i cioccolatini rimasti con la scatola: come possiamo indicare il rapporto. Discuta il problema alla luce delle idee introdotte nella lezione in vista di una discussione a scuola.

16) Dividere 13 caramelle fra 5 amiche; dividere 13 cm di nastro in 5 parti. Scriva un problema e

prepari la discussione in classe alla luce dei concetti discussi nella lezione 3 e nella lezione 6. Ricordi il ruolo dei sottomultipli

Altri esercizi: Aritmetica di base, cap. 4, no.1-9, 19-22; In equilibrio su una linea di numeri, cap. 4, no. 50-67.

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