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Matemática Discreta - Fundamentos e Conceitos da Teoria ...sinop. · PDF fileMatem atica Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Numeros Professora Dr.a Donizete Ritter Universidade

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Matematica DiscretaFundamentos e Conceitos da Teoria dos Numeros

Professora Dr.a Donizete Ritter

Universidade do Estado de Mato Grosso

4 de setembro de 2017

Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 1 / 57

Sumario

1 FundamentosDefinicoesTeoremaProva

2 Teoria dos NumerosO algoritmo da divisaoDiv e ModMaximo Divisor Comum (MDC)Mnimo Multiplo Comum (MMC)CongruenciaAritmetica Modular

3 Logica de predicados: Quantificadores

Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 2 / 57

Fundamentos

Sumario

1 FundamentosDefinicoesTeoremaProva

2 Teoria dos NumerosO algoritmo da divisaoDiv e ModMaximo Divisor Comum (MDC)Mnimo Multiplo Comum (MMC)CongruenciaAritmetica Modular

3 Logica de predicados: Quantificadores

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Fundamentos Definicoes

Definicao, teorema e prova

Definicao: especificam com precisao os conceitos em que estamosinteressados;

Teoremas: Afirmam exatamente o que e verdadeiro sobre estesconceitos;

Provas: demonstram, de maneira irrefutavel, a verdade dessasassercoes.

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Fundamentos Definicoes

Definicoes:

Definicao 1 (Par):Um inteiro e chamado par se e divisvel por 2.

Mas o que e inteiro e divisvel? Vamos supor definido o conjunto dosnumeros inteiros:

Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Definicao 2 (Divisvel):Sejam a e b inteiros. Dizemos que a e divisvel por b se existe um inteiroc tal que b c = a. Dizemos tambem que b divide a, ou que b e umfator de a, ou que b e um divisor de a. A notacao correspondente e b|a.Se b nao divide a, escrevemos b 6 |a.

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Fundamentos Definicoes

Definicoes

Exemplo: Vejamos: 12 e divisvel por 4? Ou seja, se a = 12 e b = 4,existe um inteiro c tal que 4 c = 12? Obviamente, esse inteiro existe e ec = 3.

Nestas condicoes, dizemos tambem que 4 divide 12 ou, equivalentemente,que 4 e um fator de 12, ou ainda, que 4 e um divisor de 12. Expressa-se4|12.

No entanto, 12 nao e divisvel por 5, por exemplo, porque nao ha inteiro xpara o qual 5 x = 12, assim, 5 6 |12.

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Fundamentos Definicoes

Exerccio sobre divisibilidade:

Exerccio 1 Determine quais das assercoes seguintes sao verdadeiras equais sao falsas; utilize a definicao 2 para explicar suas respostas.

1 3|1002 3|993 3|34 5| 55 2| 76 0|47 4|08 0|0

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Fundamentos Definicoes

Definicoes:

Agora podemos usar a definicao 1:

O numero 12 e par porque 2|12, ou seja, 2 6 = 12.O numero 13 nao e par porque 2 6 |13, ou seja, nao existe inteiro c, talque 2 c = 13.

Definicao 3 (Impar):Um inteiro a e chamado mpar desde que haja um inteiro x tal quea = 2 x + 1. Assim 13 e mpar porque temos x = 6 e 13 = 2 6 + 1.

Note que a definicao de mpar nao afirma que um inteiro e mpar desdeque nao seja par. Isso, naturalmente, e verdade, conforme provaremosmais adiante.

Todo inteiro e mpar ou par, mas nao ambos e um fato que podemosprovar.

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Fundamentos Definicoes

Definicoes:

Definicao 4 (Primo):Um inteiro p e primo se p > 1 e se os unicos divisores positivos de p sao 1e p.

13 e primo pois satisfaz as duas condicoes: 13 > 1 e os unicosdivisores de 13 sao 1 e 13.

12 nao e primo pois nao satisfaz a segunda condicao, uma vez queseus divisores sao: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

1 nao e primo pois nao satisfaz a primeira condicao: 1 6> 1!Se n > 1 nao e primo, dizemos que n e composto.Definicao 5 (Composto):Um inteiro a e chamado composto se existe um inteiro b tal que1 < b < a e b|a.O numero 1 nao e composto! Ele e chamado unidade.

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Fundamentos Definicoes

Exerccio sobre numeros primos:

Exerccio 2 Nenhum dos numeros seguintes e primo. Explique por queeles nao satisfazem a definicao 4. Quais desses numeros sao compostos?

1 21.

2 0.

3

4 12

5 26 1

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Teoria dos Numeros

Sumario

1 FundamentosDefinicoesTeoremaProva

2 Teoria dos NumerosO algoritmo da divisaoDiv e ModMaximo Divisor Comum (MDC)Mnimo Multiplo Comum (MMC)CongruenciaAritmetica Modular

3 Logica de predicados: Quantificadores

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Teoria dos Numeros O algoritmo da divisao

O algoritmo da divisao

Teorema 1: Dados dois inteiros a e b, b > 0, existe um unico par deinteiros q e r tais que:

a = q b + r , com 0 r < |b| (r = 0 b|a)

(q e chamado de quociente e r de resto da divisao de a por b).

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Teoria dos Numeros O algoritmo da divisao

O algoritmo da divisao

Exemplo 1: Sejam a = 23 e b = 10. Entao o quociente e q = 2 e o resto er = 3, porque

23 = 2 10 + 3 e 0 3 < 10

Exemplo 2: Sejam a = 37 e b = 5. Entao o quociente e q = 8 e oresto e r = 3, porque

37 = (8) 5 + 3 e 0 3 < 5

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Teoria dos Numeros O algoritmo da divisao

O algoritmo da divisao

Exerccio 3: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determine inteiros q er tais que a = q b + r e 0 r < |b|:

1 a = 100, b = 3;

2 a = 100, b = 3;3 a = 99, b = 3;

4 a = 99, b = 3;5 a = 0, b = 3;

6 a = 59, b = 6;

7 a = 71, b = 5;8 a = 48, b = 7;9 a = 67, b = 13;

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Teoria dos Numeros Div e Mod

Div e Mod

Definicao de Div e Mod:Sejam a, b Z, com b > 0, pelo teorema 1, existe um unico par deinteiros q e r tais que a = q b + r e 0 r < |b|. Definimos as operacoesdiv e mod como:

a div b = q e a mod b = r

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Teoria dos Numeros Div e Mod

Div e Mod

Exemplo: Os calculos a seguir ilustram as operacoes div e mod:

11 div 3 = 3 e 11 mod 3 = 2

23 div 10 = 2 e 23 mod 10 = 3

37 div 5 = 8 e 37 mod 5 = 3

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Teoria dos Numeros Div e Mod

Div e Mod

Exerccio 4: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determinea div b e a mod b:

1 a = 80, b = 3;

2 a = 80, b = 3;3 a = 81, b = 3;

4 a = 81, b = 3;5 a = 33, b = 2;6 a = 63, b = 6;

7 a = 47, b = 5;8 a = 48, b = 6;9 a = 60, b = 11;

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Teoria dos Numeros Div e Mod

Teorema Fundamental da Aritmetica

Numeros Primos

Ja vimos que um numero inteiro n (n > 1) possuindo somente doisdivisores positivos n e 1 e chamado primo. Se n > 1 nao e primo dizemosque n e composto.

Teorema 2: Todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneiraunica (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.

Teorema 3: (Euclides) A sequencia dos numeros primos e infinita.

Teorema 4: Se n nao e primo, entao n possui, necessariamente, um fatorprimo menor do que ou igual a

n

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Teoria dos Numeros Div e Mod

Crivo de Eratostenes

Metodo para encontrar numeros primos usando o Teorema 4: Crivode Eratostenes

Exerccio 6: Encontrar os numeros primos menores do que 100.

Atividade extra-classe: Fazer um programa que encontre os numerosprimos menores ou iguais a um n dado.

Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 19 / 57

Teoria dos Numeros Maximo Divisor Comum (MDC)

Maximo Divisor Comum (MDC)

Definicao de Divisor Comum: Sejam a, b Z, dizemos que um inteiro de um divisor comum de a e b se d |a e d |b.

Por exemplo, os divisores comuns de 30 e 24 sao -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 e 6.

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Teoria dos Numeros Maximo Divisor Comum (MDC)

Maximo Divisor Comum (MDC)

Definicao de Maximo Divisor Comum: Sejam a, b Z, dizemos queum inteiro d e o maximo divisor comum de a e b se:

1 d e um divisor comum de a e b, e

2 se e e um divisor comum de a e b, entao e d .Em outras palavras, o maximo divisor comum de dois inteiros a e b (a oub diferente de zero), e o maior inteiro que divide a e b.

O Maximo Divisor comum de a e b e denotado por mdc(a, b).

Por exemplo, o maximo divisor comum de 30 e 24 e 6. Escrevemosmdc(30, 24) = 6. Tambem mdc(30,24) = 6.

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Teoria dos Numeros Maximo Divisor Comum (MDC)

Calculo do Maximo Divisor Comum (MDC)

Proposicao 1: Sejam a e b inteiros positivos, e c = a mod b. Entao:

mdc(a, b) = mdc(b, c)

.Em outras palavras, para inteiros positivos a e b, temos:

mdc(a, b) = mdc(b, a mod b)

.

Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 22 / 57

Teoria dos Numeros Maximo Divisor Comum (MDC)

Calculo do Maximo Divisor Comum (MDC)

O Al

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