Matemática Discreta - Fundamentos e Conceitos da Teoria ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_14904... · Matem atica Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria

Matematica DiscretaFundamentos e Conceitos da Teoria dos Numeros

Professora Dr.a Donizete Ritter

Universidade do Estado de Mato Grosso

4 de setembro de 2017

Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 1 / 57

Sumario

1 FundamentosDefinicoesTeoremaProva

2 Teoria dos NumerosO algoritmo da divisaoDiv e ModMaximo Divisor Comum (MDC)Mınimo Multiplo Comum (MMC)CongruenciaAritmetica Modular

3 Logica de predicados: Quantificadores


Fundamentos

Sumario





Fundamentos Definicoes

Definicao, teorema e prova

Definicao: especificam com precisao os conceitos em que estamosinteressados;

Teoremas: Afirmam exatamente o que e verdadeiro sobre estesconceitos;

Provas: demonstram, de maneira irrefutavel, a verdade dessasassercoes.



Definicoes:

Definicao 1 (Par):Um inteiro e chamado par se e divisıvel por 2.

Mas o que e inteiro e divisıvel? Vamos supor definido o conjunto dosnumeros inteiros:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Definicao 2 (Divisıvel):Sejam a e b inteiros. Dizemos que a e divisıvel por b se existe um inteiroc tal que b · c = a. Dizemos tambem que b divide a, ou que b e umfator de a, ou que b e um divisor de a. A notacao correspondente e b|a.Se b nao divide a, escrevemos b 6 |a.



Definicoes

Exemplo: Vejamos: 12 e divisıvel por 4? Ou seja, se a = 12 e b = 4,existe um inteiro c tal que 4 · c = 12? Obviamente, esse inteiro existe e ec = 3.

Nestas condicoes, dizemos tambem que 4 divide 12 ou, equivalentemente,que 4 e um fator de 12, ou ainda, que 4 e um divisor de 12. Expressa-se4|12.

No entanto, 12 nao e divisıvel por 5, por exemplo, porque nao ha inteiro xpara o qual 5 · x = 12, assim, 5 6 |12.



Exercıcio sobre divisibilidade:

Exercıcio 1 Determine quais das assercoes seguintes sao verdadeiras equais sao falsas; utilize a definicao 2 para explicar suas respostas.

1 3|100

2 3|99

3 −3|34 −5| − 5

5 −2| − 7

6 0|47 4|08 0|0



Definicoes:

Agora podemos usar a definicao 1:

O numero 12 e par porque 2|12, ou seja, 2 · 6 = 12.

O numero 13 nao e par porque 2 6 |13, ou seja, nao existe inteiro c, talque 2 · c = 13.

Definicao 3 (Impar):Um inteiro a e chamado ımpar desde que haja um inteiro x tal quea = 2 · x + 1. Assim 13 e ımpar porque temos x = 6 e 13 = 2 · 6 + 1.

Note que a definicao de ımpar nao afirma que um inteiro e ımpar desdeque nao seja par. Isso, naturalmente, e verdade, conforme provaremosmais adiante.

”Todo inteiro e ımpar ou par, mas nao ambos” e um fato que podemosprovar.



Definicoes:

Definicao 4 (Primo):Um inteiro p e primo se p > 1 e se os unicos divisores positivos de p sao 1e p.

13 e primo pois satisfaz as duas condicoes: 13 > 1 e os unicosdivisores de 13 sao 1 e 13.

12 nao e primo pois nao satisfaz a segunda condicao, uma vez queseus divisores sao: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

1 nao e primo pois nao satisfaz a primeira condicao: 1 6> 1!

Se n > 1 nao e primo, dizemos que n e composto.Definicao 5 (Composto):Um inteiro a e chamado composto se existe um inteiro b tal que1 < b < a e b|a.O numero 1 nao e composto! Ele e chamado unidade.



Exercıcio sobre numeros primos:

Exercıcio 2 Nenhum dos numeros seguintes e primo. Explique por queeles nao satisfazem a definicao 4. Quais desses numeros sao compostos?

1 21.

2 0.

3 π

4 12

5 −2

6 −1


Teoria dos Numeros

Sumario





Teoria dos Numeros O algoritmo da divisao

O algoritmo da divisao

Teorema 1: Dados dois inteiros a e b, b > 0, existe um unico par deinteiros q e r tais que:

a = q · b + r , com 0 ≤ r < |b| (r = 0⇔ b|a)

(q e chamado de quociente e r de resto da divisao de a por b).




Exemplo 1: Sejam a = 23 e b = 10. Entao o quociente e q = 2 e o resto er = 3, porque

23 = 2 · 10 + 3 e 0 ≤ 3 < 10

Exemplo 2: Sejam a = −37 e b = 5. Entao o quociente e q = −8 e oresto e r = 3, porque

−37 = (−8) · 5 + 3 e 0 ≤ 3 < 5




Exercıcio 3: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determine inteiros q er tais que a = q · b + r e 0 ≤ r < |b|:

1 a = 100, b = 3;

2 a = −100, b = 3;

3 a = 99, b = 3;

4 a = −99, b = 3;

5 a = 0, b = 3;

6 a = 59, b = 6;

7 a = −71, b = 5;

8 a = −48, b = −7;

9 a = 67, b = −13;


Teoria dos Numeros Div e Mod

Div e Mod

Definicao de Div e Mod:Sejam a, b ∈ Z, com b > 0, pelo teorema 1, existe um unico par deinteiros q e r tais que a = q · b + r e 0 ≤ r < |b|. Definimos as operacoesdiv e mod como:

a div b = q e a mod b = r



Div e Mod

Exemplo: Os calculos a seguir ilustram as operacoes div e mod:

11 div 3 = 3 e 11 mod 3 = 2

23 div 10 = 2 e 23 mod 10 = 3

−37 div 5 = −8 e − 37 mod 5 = 3



Div e Mod

Exercıcio 4: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determinea div b e a mod b:

1 a = 80, b = 3;

2 a = −80, b = 3;

3 a = 81, b = 3;

4 a = −81, b = 3;

5 a = −33, b = 2;

6 a = 63, b = 6;

7 a = −47, b = 5;

8 a = −48, b = −6;

9 a = 60, b = −11;



Teorema Fundamental da Aritmetica

Numeros Primos

Ja vimos que um numero inteiro n (n > 1) possuindo somente doisdivisores positivos n e 1 e chamado primo. Se n > 1 nao e primo dizemosque n e composto.

Teorema 2: Todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneiraunica (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.

Teorema 3: (Euclides) A sequencia dos numeros primos e infinita.

Teorema 4: Se n nao e primo, entao n possui, necessariamente, um fatorprimo menor do que ou igual a

√n



Crivo de Eratostenes

Metodo para encontrar numeros primos usando o Teorema 4: Crivode Eratostenes

Exercıcio 6: Encontrar os numeros primos menores do que 100.

Atividade extra-classe: Fazer um programa que encontre os numerosprimos menores ou iguais a um n dado.


Teoria dos Numeros Maximo Divisor Comum (MDC)

Maximo Divisor Comum (MDC)

Definicao de Divisor Comum: Sejam a, b ∈ Z, dizemos que um inteiro de um divisor comum de a e b se d |a e d |b.

Por exemplo, os divisores comuns de 30 e 24 sao -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 e 6.



Maximo Divisor Comum (MDC)

Definicao de Maximo Divisor Comum: Sejam a, b ∈ Z, dizemos queum inteiro d e o maximo divisor comum de a e b se:

1 d e um divisor comum de a e b, e

2 se e e um divisor comum de a e b, entao e ≤ d .

Em outras palavras, o maximo divisor comum de dois inteiros a e b (a oub diferente de zero), e o maior inteiro que divide a e b.

O Maximo Divisor comum de a e b e denotado por mdc(a, b).

Por exemplo, o maximo divisor comum de 30 e 24 e 6. Escrevemosmdc(30, 24) = 6. Tambem mdc(−30,−24) = 6.



Calculo do Maximo Divisor Comum (MDC)

Proposicao 1: Sejam a e b inteiros positivos, e c = a mod b. Entao:

mdc(a, b) = mdc(b, c)

.Em outras palavras, para inteiros positivos a e b, temos:

mdc(a, b) = mdc(b, a mod b)

.




O Algoritmo de Euclides para o Maximo Divisor Comum

Entrada: Inteiros positivos a e b. Saıda: mdc(a, b).

Seja c = a mod b

Se c = 0, retornamos a resposta b e paramos.

Em caso contrario (c 6= 0), calculamos mdc(b, c) e consideramos istocomo resposta.




O Algoritmo de Euclides para o Maximo Divisor ComumExemplo: Calcular o mdc(689, 234) usando o Algoritmo de Euclides.




O Algoritmo de Euclides para o Maximo Divisor ComumExercıcio 5: Encontrar, usando o Algoritmo de Euclides, o maximo divisorcomum dos seguintes pares de numeros a e b.

1 mdc(542, 234)

2 mdc(9652, 252)

3 mdc(24573, 1387)

4 mdc(4276, 1234)

5 mdc(48762, 176)

6 mdc(42516, 97421)

7 mdc(8374, 24517)

8 mdc(35262, 12753)


Teoria dos Numeros Mınimo Multiplo Comum (MMC)

Mınimo Multiplo Comum (MMC)

O Mınimo Multiplo Comum de dois inteiros positivos a e b e o menorinteiro positivo que e divisıvel por a e b. O mınimo multiplo comum de a eb e denotado por mmc[a, b].

Por exemplo, o mınimo multiplo comum de 30 e 24 e 120. Escrevemosmmc[30, 24] = 120.



Calculo do Mınimo Multiplo Comum (MMC)

Exercıcio 7: Encontrar, usando tecnicas ja conhecidas, o mınimo multiplocomum dos seguintes pares de numeros a e b.

1 mmc(44, 32)

2 mmc(234, 12)

3 mmc(35, 24)

4 mmc(142, 742)

5 mmc(17, 141)

6 mmc(42, 52)

7 mmc(501, 2141)

8 mmc(144, 64)




O teorema a seguir nos ajudara a calcular o Mınimo MultiploComum

Teorema 5: Para a e b inteiros positivos temos,mmc[a, b] ·mdc(a, b) = a · b.

Exemplo: Calcular, usando o Teorema 5, o mmc(689, 234).




Exercıcio 8: Encontrar o mınimo multiplo comum, usando o Teorema 5,dos seguintes pares de numeros a e b.

1 mmc(542, 234)

2 mmc(9652, 252)

3 mmc(24573, 1387)

4 mmc(4276, 1234)

5 mmc(48762, 176)

6 mmc(42516, 97421)

7 mmc(8374, 24517)

8 mmc(35262, 12753)


Teoria dos Numeros Congruencia

Congruencia

Definicao de Congruencia: Se a e b sao inteiros dizemos que a econgruente a b modulo m (m > 0) se m|(a− b). Denotamos isto pora ≡ b(mod m).

Se m 6 |(a− b) dizemos que a e incongruente a b modulo m e denotamosa 6≡ b(mod m).

Exemplo: 11 ≡ 3(mod 2) pois 2|(11− 3). Como 5 6 |6 e 6 = 17− 11temos que 17 6≡ 11(mod 5).



Congruencia

Proposicao 2: Se a e b sao inteiros, temos a ≡ b(mod m) se, e somentese, existir um inteiro k tal que a = b + k ·m.

Proposicao 3: Se a, b, m e d sao inteiros, (m > 0), as seguintessentencas sao verdadeiras:

1 a ≡ a(mod m)

2 Se a ≡ b(mod m), entao b ≡ a(mod m)

3 Se a ≡ b(mod m) e b ≡ d(mod m), entao a ≡ d(mod m)

Proposicao 4: Se a, b,m ∈ Z, com m > 0. Entao,

a ≡ b(mod m) ⇔ a mod m = b mod m



Congruencia

Teorema 6: Se a, b, m e c sao inteiros tais que a ≡ b(mod m), entao:

1 a + c ≡ b + c(mod m)

2 a− c ≡ b − c(mod m)

3 a · c ≡ b · c(mod m)

Teorema 7: Se a, b, m e d sao inteiros tais que a ≡ b(mod m) ec ≡ d(mod m), entao:

1 a + c ≡ b + d(mod m)

2 a− c ≡ b − d(mod m)

3 a · c ≡ b · d(mod m)



Congruencia

Exercıcio 9: Verifique se as afirmacoes a seguir sao verdadeiras.

1 75 ≡ 3(mod 24)

2 21 ≡ 1(mod 10)

3 368 ≡ 7(mod 19)

4 77 ≡ 5(mod 18)

5 375 ≡ 15(mod 120)

6 16 ≡ 3(mod 5)

7 3 ≡ 13(mod 5)

8 4 ≡ 4(mod 5)

9 53 ≡ 23(mod 10)


Teoria dos Numeros Aritmetica Modular

Aritmetica Modular

Um novo contexto para operacoes basicas: A aritmetica e o estudo dasoperacoes basicas: adicao, subtracao, multiplicacao e divisao. o contextogeral para o estudo destas operacoes sao os sistemas numericos como osinteiros Z ou os racionais Q por exemplo.

Agora iremos introduzir um novo contexto para os sımbolos +,−,× e ÷,onde seus significados sao diferentes do contexto tradicional. A diferenca etao significativa que adotamos sımbolos alternativos para essas operacoes.Usamos os sımbolos ⊕,,⊗ e Ø.



Aritmetica Modular

Definicao do conjunto Zn

Em lugar de fazermos aritmetica sobre inteiros ou racionais, o novoconjunto em que vamos trabalhar e denotado por Zn, onde n e um inteiropositivo. Define-se o conjunto Zn como:

Zn = 0, 1, 2, . . . , n − 1

ou seja, Zn contem todos os numeros naturais de 0 a n − 1, inclusive.Chamamos este sistema de numeros inteiros mod n.

Para distinguir ⊕,,⊗ e Ø de seus primos sem cırculo, vamos nos referira essas operacoes como adicao mod n, subtracao mod n, multiplicacaomod n e divisao mod n.



Aritmetica Modular

Definicao de Adicao e Multiplicacao ModularesSejam n um inteiro positivo e a, b ∈ Zn. Definimos:

a⊕ b = (a + b) mod n

a⊗ b = (a · b) mod n

Seja n um inteiro positivo e sejam a, b ∈ Zn. Entao, existe um e um sox ∈ Zn tal que a = b ⊕ x .

Definicao de Subtracao ModularSejam n um inteiro positivo e a, b ∈ Zn. Definimos a b como o unicovalor x ∈ Zn tal que a = b ⊕ x .Proposicao 5: Seja n um inteiro positivo e sejam a, b ∈ Zn. Entao,a b = (a− b) mod n.



Aritmetica Modular

Exemplo: Seja n = 10. Temos o seguinte:

5⊕ 5 = 0 9⊕ 8 = 7

5⊗ 5 = 5 9⊗ 8 = 2

9 8 = 1 6 9 = 7

Exercıcio 10: Calcule o seguinte no contexto de Z10:

3⊕ 3 = 6⊕ 6 = 7⊕ 3 = 9⊕ 8 =

3⊗ 3 = 4⊗ 4 = 7⊗ 3 = 5⊗ 2 =

6⊗ 6 = 4⊗ 6 = 4⊗ 1 =

5 8 = 8 5 = 9 3 =



Aritmetica Modular

Definicao de Inverso Modular

Para podermos definir a divisao em Zn, comecamos definindo inversos:

Sejam n um inteiro positivo e a ∈ Zn. O inverso de a e um elementob ∈ Zn tal que a⊗ b = 1. Um elemento de Zn que tenha um inverso echamado invertıvel.



Aritmetica Modular

Definicao de Inverso Modular: Investiguemos os inversos em Z10. Eisuma tabela de multiplicacao para Z10.

⊗ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 92 0 2 4 6 8 0 2 4 6 83 0 3 6 9 2 5 8 1 4 74 0 4 8 2 6 0 4 8 2 65 0 5 0 5 0 5 0 5 0 56 0 6 2 8 4 0 6 2 8 47 0 7 4 1 8 5 2 9 6 38 0 8 6 4 2 0 8 6 4 29 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Tabela: Multiplicacao em Z10



Aritmetica Modular


Cabem aqui diversos comentarios:

O elemento 0 nao tem inverso (o que nao e de surpreender).

Os elementos 2, 4, 5, 6 e 8 nao tem inversos.

Os elementos 1, 3, 7 e 9 sao invertıveis (tem inversos). Alem disso,tem apenas um inverso cada um.

Note que os elementos de Z10 que tem inverso sao precisamente osinteiros em Z10 que sao relativamente primos com 10.

O inverso de 3 e 7 e o inverso de 7 e 3; 1 e 9 sao seus propriosinversos.



Aritmetica Modular


Proposicao 6: Sejam n um inteiro positivo e a ∈ Zn. Se a tem uminverso em Zn, entao tem apenas um inverso.

No contexto de Zn, a−1 e o inverso de a. Nao e (e nunca devemosescrever) 1

a . Por exemplo, no contexto de Z10, temos 3−1 = 7

Note que 3 e 7 sao inversos um do outro em Z10. Temos o seguinte:

Proposicao 7: Sejam n um inteiro positivo e a ∈ Zn. Suponhamos que aseja invertıvel. Se b = a−1, entao b e invertıvel e a = b−1. Em outraspalavras, (a−1)−1 = a.



Aritmetica Modular

Definicao de Divisao Modular

Seja n um inteiro positivo e seja b um elemento invertıvel de Zn. Sejaa ∈ Zn arbitrario. Entao, aØb se define como a⊗ b−1.

Exemplo: Em Z10, calcule 2Ø7. Note que 7−1 = 3; assim2Ø7 = 2⊗ 3 = 6

Teorema 8: Elementos invertıveis de Zn

Seja n um inteiro positivo e seja a ∈ Zn. Entao a e invertıvel se e somentese a e n sao relativamente primos.



Aritmetica Modular

Exercıcio 11: Construa a tabela de multiplicacao e encontre oselementos invertıveis em Z9

⊗ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

012345678




Aritmetica Modular

Exercıcio 11: Construa a tabela de multiplicacao e encontre oselementos invertıveis em Z9

⊗ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 82 0 2 4 6 8 1 3 5 73 0 3 6 0 3 6 0 3 64 0 4 8 3 7 2 6 1 55 0 5 1 6 2 7 3 8 46 0 6 3 0 6 3 0 6 37 0 7 5 3 1 8 6 4 28 0 8 7 6 5 4 3 2 1



Logica de predicados: Quantificadores

Sumario







Definicao de PredicadosConsidere as afirmacoes:

P(x) : x > 3

Q(x , y) : x = y + 3

R(x , y , z) : x + y − z e par

Estas afirmacoes nao podem ser classificadas como verdadeiras ou falsasenquanto os valores para as variaveis nao forem especificadas. Mas,

P(2) e falso

Q(6, 3) e verdadeiro

R(2, 2, 3) e falso




Definicao de PredicadosUm predicado ou funcao proposicional e uma afirmacao envolvendovariaveis tal que qualquer substituicao de cada variavel por um ponto doseu domınio, torna a afirmacao uma proposicao.

Quantificadores:Uma alternativa a atribuir valores especıficos as variaveis de um predicadoe utilizar quantificadores que tambem transformam os predicados emproposicoes.




Quantificador Universal ∀∀ x P(x)

Para todo o x P(x)

Qualquer que seja x P(x)

Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, aproposicao P(x) e verdadeira.∀ x ∈ A, afirmacoes sobre x∀ x ∈ Z, x e impar ou x e par.

O universo podera (e devera) ser especificado quando ha ambiguidades.Exemplo:∀ x ∈ R, x2 ≥ 0 e uma proposicao verdadeira.∀ x ∈ C, x2 ≥ 0 e uma proposicao falsa.




Quantificador Existencial ∃

∃ x P(x)

Existe um x tal que P(x)

Existe pelo nenos um x tal que P(x)

Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposicao P(x) everdadeira.∃ x ∈ A, afirmacoes sobre x∃ x ∈ N, x e primo e par.

Da mesma maneira o universo podera ser especificado:∃ x ∈ R, 2x = 1 e uma proposicao verdadeira.∃ x ∈ N, 2x = 1 e uma proposicao falsa.




Exercıcio 12: Escreva as sentencas seguintes utilizando a notacaode quantificador (isto e, use os sımbolos ∀ e/ou ∃). Discuta se cadasentenca e verdadeira ou falsa.

1 Todo inteiro e primo.2 Ha um inteiro que nao e primo nem composto.3 Existe um inteiro cujo quadrado e 2.4 Todos os inteiros sao divisıveis por 5.5 Algum inteiro e divisıvel por 7.6 O quadrado de qualquer inteiro e nao negativo.7 Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que x · y = 1.8 Existem dois inteiros x e y tais que x/y = 10.9 Existe um inteiro que, quando multiplicado por qualquer inteiro,

sempre da o resultado zero.10 Qualquer que seja o inteiro que escolhamos, existe sempre outro

inteiro maior do que ele.Ritter, D. (UNEMAT) Matematica Discreta 4 de setembro de 2017 50 / 57



Combinacao de quantificadores ∀ e ∃

∀ x , ∃ y , afirmacoes sobre x e y.

∃ y , ∀ x , afirmacoes sobre x e y.

nao sao mutuamente equivalentes.Exemplo: Considere as seguintes afirmacoes sobre inteiros:

Para todo x , existe um y , tal que x + y = 0.

Existe um y , tal que para todo x , temos x + y = 0.

Em sımbolos, essas afirmacoes se escrevem:

∀x , ∃y , x + y = 0. (verdadeiro!)

∃y , ∀x , x + y = 0. (falso!)




Exercıcio 13: Assinale como verdadeira ou falsa cada uma dassentencas seguintes sobre inteiros. (nao e preciso provar suasafirmacoes)

1 ∀x , ∀y , x + y = 0.

2 ∀x , ∃y , x + y = 0.

3 ∃x , ∀y , x + y = 0.

4 ∃x , ∃y , x + y = 0.

5 ∀x , ∀y , x · y = 0.

6 ∀x , ∃y , x · y = 0.

7 ∃x , ∀y , x · y = 0.

8 ∃x , ∃y , x · y = 0.




Negacao do Quantificador Universal ∀

∀ x P(x)

Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os valoresde x .Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x) efalso.

Logo,¬(∀ x P(x))⇔ ∃ x(¬P(x))




Negacao do Quantificador Existencial ∃

∃ x P(x)

Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para oqual P(x) e verdadeiro.Para ser falso teremos que mostrar que nao ha nenhum exemplo de umvalor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Em outras palavras, paraser falso, P(x) tem que ser falso para todos os valores de x .

Logo,¬(∃ x P(x))⇔ ∀ x(¬P(x))




Exercıcio 14: Para cada uma das sentencas seguintes, escreva anegacao correspondente.

1 ∀ x ∈ Z, x e ımpar.

2 ∀ x ∈ Z, x < 0.

3 ∃ x ∈ Z, x = x + 1.

4 ∃ x ∈ N, x > 10.

5 ∀ x ∈ N, x + x = 2x .

6 ∃ x ∈ Z, ∀ y ∈ Z, x > y .

7 ∀ x ∈ Z, ∀ y ∈ Z, x = y .

8 ∀ x ∈ Z, ∃ y ∈ Z, x + y = 0.




Exercıcio 15: Sendo R o conjunto dos numeros reais, determine ovalor logico (V ou F) de cada uma das seguintes proposicoes.

1 (∀x ∈ R), (|x | = x).

2 (∃x ∈ R), (x2 = x).

3 (∃x ∈ R), (|x | = 0).

4 (∃x ∈ R), (x + 2 = x).

5 (∀x ∈ R), (x + 1 > x).

6 (∀x ∈ R), (x2 = x).

Exercıcio 16: Dar a negacao das proposicoes do Exercıcio 15.




Exercıcio 17: Sendo A = 1, 2, 3, 4, 5, determine o valor logico (V ouF) de cada uma das seguintes proposicoes.

1 (∃x ∈ A), (x + 3 = 10).

2 (∀x ∈ A), (x + 3 < 10).

3 (∃x ∈ A), (x + 3 < 5).

4 (∀x ∈ A), (x + 3 ≤ 7).

5 (∃x ∈ A), (3x > 72).

6 (∃x ∈ A), (x2 + 2x = 15).

Exercıcio 18: Dar a negacao das proposicoes do Exercıcio 17.


Documents

Matemática Discreta - Fundamentos e Conceitos da Teoria ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_14904... · Matem atica Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria