MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE · MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE 2017 EQUIPO DOCENTE ECONÓMICOS ... de costos fijos son las tarifas de renta y los sueldos de ejecutivos

MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE

2017

EQUIPO DOCENTE

Profesor Titular Susana Marcipar Katz

Profesores Adjuntos Marta Nardoni

Claudia Zanabria

Jefes de Trabajos Prácticos María Cecilia Municoy

Cristina Rogiano

Gabriela Roldán

FUNCIONES Y

MODELOS

ECONÓMICOS

Material Elaborado por:

Claudia Zanabria

Gabriela Roldán

Cristina Rogiano

UNL FCE

UNL-FCE-Matemática Básica - 1

FUNCIONES Y MODELOS MATEMÁTICOS

En este material se aborda el eje conceptual: Funciones de variable real con un enfoque que propicia la adquisición

del lenguaje matemático, la interpretación y producción de modelos que permitan tanto la resolución de problemas

como la elaboración de argumentos para la toma de decisiones.

Se organiza en cinco bloques:

1- Modelos Económicos

2- Modelos Económicos y Funciones de una variable independiente.

3- Más Modelos Económicos. Función Racional

4- Modelos de capitalización. Función exponencial, Función Logaritmo y Función

Inversa

5-Modelos Económicos y Funciones de Varias Variables.

En cada uno de ellos se presentan los contenidos a partir de la resolución de problemas en contextos, se incorporan

actividades y se cierran con un resumen de los conceptos fundamentales.

En las últimas páginas del presente eje encontrarás tres grupos de actividades para realizar en TALLER y fortalecer

tu aprendizaje.

Cada bloque es producto de una exhaustiva selección bibliográfica entrelazada por aportes de docentes de la cátedra:

Los libros seleccionados son:

-TAN(2012) “Matemática aplicada a los negocios, las ciencias sociales y de la vida”. Cengage Learning. 5ta. Ed

-STEWART et al. (2009) “Precálculo Matemática para el cálculo”. Thomson. 5ta. Ed.

-HAEUSSLER et al. (2009) “Matemática para Administración y Economía”. Pearson. 10ma. Ed.

-SWOKOWSKI/COLE (2009) “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”. Cengage Learning 12ª. Ed.


Introducción:

La siguiente información, está expresada en un idioma que no es el que usas habitualmente, pero: ¿puedes

comprender lo que expresa?

De todos los lenguajes que se han creado a lo largo de la historia, el matemático,a través de sus expresiones gráficas

o analíticas, es el que cuenta con los significados más precisos para comprender el mundo que habitamos.

Por esta razón es que las ciencias y en general la información que circula día a día por distintos medios, “hablan” en

lenguaje matemático para expresar ideas o teorías.

“La matemática es el lenguaje de la ciencia”

Esta frase es la que sustenta el enfoque de este material y es la forma en que te proponemos que aprendas matemática,

es decir pensada como un lenguaje.

La idea de la matemática como lenguaje se remonta al siglo XVII, en la época en que el estudio de los cielos dominaba

el pensamiento científico. En ese entonces Galileo decía: La Filosofía está escrita en ese gran libro del Universo,

que está continuamente abierto ante nosotros para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que

antes aprendamos el lenguaje y el alfabeto en que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las Matemáticas y

sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible

entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto. (extraído de Keith Devlin,

2002, p.20).

Acuñando una idea similar en una era muy posterior, John Polkinhorne (1986)citado por Devlin (2002), considera

que: “Las matemáticas son la llave abstracta que abre la cerradura del universo físico”……“Las matemáticas,

ciencias de las estructuras, constituyen una forma de mirar el mundo, tanto al físico como al biológico y al

sociológico que habitamos, así como también al mundo interior de nuestras mentes y pensamientos”. (p.20).

Users (million)

time


En una época más actual, precisamente en 1997, M.S Biembengut expresa que la matemática no sólo contribuye

sobremanera para el ejercicio intelectual, sino que también es el lenguaje de la ciencia.

Especialmente, en las ciencias económicas, se presentan problemas que requieren soluciones y decisiones y que por

lo tanto necesitan una formulación matemática mediante expresiones simbólicas o gráficas.

Las relaciones matemáticas expresadas mediante gráficos o ecuaciones que se utilizan para representar y estudiar en

forma simple y comprensible una porción de la realidad se la denominaModelo Matemático.

De esta manera, el lenguaje matemático, permite la elaboración de modelos matemáticos, para una mejor compresión,

simulación y previsión del fenómeno estudiado.

Sin importar el campo del cual provenga el problema real, éste se analiza con un proceso llamado modelado

matemático. Los pasos propuestos en este proceso, como se ilustra en la siguiente representación:

La lectura del presente material recorre distintas situaciones que implican la elaboración de modelos matemáticos

para su mejor interpretación. Así comenzamos el bloque1 “Modelos Económicos”

Problemareal

Solución del

problema real

Modelo

matemático

Solución del

modelo matemático

Probar Resolver

Formular

Interpretar


BLOQUE 1

MODELOS

ECONÓMICOS

REPASO DE FUNCIÓN LINEAL

REPASO DE

FUNCIÓN CUADRÁTICA

OFERTA-DEMANDA

EQUILIBRIO

COSTO, INGRESO, BENEFICIO

EQUILIBRIO

PRESUPUESTOINGRESO EN

FUNCIÓN DE LA DEMANDA


En el presente bloque número 1 se abordarán los modelos económicos fundamentales:

Oferta y demanda. Equilibrio de mercado

Costo, ingreso y Beneficio. Equilibrio Costo-Ingreso

Ingreso en función de la cantidad demanda

Presupuesto

El lenguaje matemático permitirá el análisis de estos modelos y asimismo dicho análisis será el motivo para recuperar

los conceptos de función, función lineal y función cuadrática.

FUNCIÓN: Idea intuitiva

Si bien el concepto “Función” se abordará formalmente en el bloque 2, para facilitar el análisis de los modelos

económicos se recuperará la noción de dicho concepto.

Retomando la información dada en páginas anteriores “Whatsapp isn´t slowing down”, se observa cómo el

lenguaje matemático a través de su expresión gráfica permite acceder a dicha información en forma ágil y precisa:

El gráfico presentado en dicho informe, se publicó cuando WhatsAppanunció que habían alcanzado la marca de los

600 millones de usuarios, hace casi cinco meses (agosto de 2014). En los primeros seis meses transcurridos desde la

compra sumó 150 millones de usuarios y llegó a los 600 millones. Y desde ese momento pasaron menos de cinco

meses. Y sumó otros 100 millones.

Evidentemente, la información exhibe la cantidad de usuarios de whatsapp a través del tiempo. Es decir que se

plantea una relación entre dos variables:

Variable independiente: tiempo, medido en meses a partir de abril de 2011.

Variable dependiente: cantidad de usuarios de whatsapp medida en millones.

Dado que para cada valor del tiempo corresponde una única cantidad de usuarios, dicha relación es una función.

Los valores que toma la variable independiente determinan el dominio de la función y los valores que asume la

variable dependiente conforman el conjunto imagen de dicha función.

Por lo tanto recordamos que “Una función es una relación entre dos variables, una llamada independiente y la

otra dependiente, de modo que a cada valor de la variable independiente corresponde uno y sólo un valor de

la variable dependiente”

Para que una función quede definida es suficiente y necesario establecer su dominio, su conjunto imagen y su

ley de correspondencia, ésta última se puede expresar mediante un gráfico, una ecuación, una tabla de valores

o en lenguaje coloquial.

http://planetatelefonica.com.ar/tendenciasdigitales/2014/08/25/whatsapp-y-su-nuevo-record-600-millones-de-usuarios-activos/

http://planetatelefonica.com.ar/tendenciasdigitales/2014/08/25/whatsapp-y-su-nuevo-record-600-millones-de-usuarios-activos/


FUNCIONES LINEALES

Ahora se enfoca la atención en una importante clase de funciones conocidas como funciones lineales. Es importante

recordar que una ecuación lineal en las variables x y y tienen la forma Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes

reales y A y B no son cero. Si B ≠ 0, la ecuación siempre puede resolverse para y en función de x; además la ecuación

puede escribirse en la forma explícita:

y = mx + b (m, b constantes) (1)

La ecuación (1) define y como una función de x. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números

reales. La gráfica de esta función, es una línea recta en un plano.

Las funciones lineales desempeñan un rol importante en el análisis cuantitativo de problemas de negocios y

económicos. En primer lugar, muchos problemas que surgen en estos y otros campos son de naturaleza lineal o son

lineales en los intervalos de interés y por lo tanto pueden formularse con base en funciones lineales. En segundo

lugar, como es relativamente fácil trabajar con las funciones lineales, a menudo se hacen suposiciones que implican

linealidad en la formulación de problemas. En muchos casos estos supuestos se justifican, y se obtienen modelos

matemáticos aceptables que representan de forma aproximada situaciones de la vida real.

En el resto de esta sección se propondrán varias situaciones que pueden ser modeladas con funciones lineales.

FUNCIONES LINEALES DE COSTO, INGRESO Y UTILIDAD

En una pequeña empresa de propiedad individual o en una corporación, el propietario o el ejecutivo en jefe

constantemente deben rastrear los costos de operación, el ingreso resultante por la venta de productos y servicios y,

tal vez aún más importante, las utilidades obtenidas. Tres funciones permiten a la gerencia medir estas cantidades:

la función de costo total, la función de ingreso y la función de utilidad.

Función lineal

La función definida por

f(x) = mx + b

donde m y b son constantes, se llama función lineal.

Funciones de costo, ingreso y utilidad

Sea x el número de unidades de un producto fabricado o vendido. Entonces, la función de

costo total es

C(x) = Costo total de fabricación de x unidades de un producto

La función de ingreso es

I(x) = Ingreso obtenido por la venta de x unidades del producto

La función de utilidad es

U(x) = Utilidad obtenida por la fabricación y venta de x unidades del producto


Los costos que surgen al operar un negocio en general se clasifican en dos categorías. Los costos que permanecen

más o menos constantes independientemente del nivel de actividad de la empresa se llaman costos fijos. Ejemplos

de costos fijos son las tarifas de renta y los sueldos de ejecutivos. Los costos que varían con la producción o ventas

se llaman costos variables. Ejemplos de costos variables son los salarios y los costos de materia prima.

Supongamos que una empresa tiene un costo fijo de CFdólares, un costo de producción de CV dólares por unidad

y un precio de venta de PV dólares por unidad. Entonces, la función de costo C, la función de ingreso I y la función

de utilidad U son de la forma

C(x) = CVx + CF

I(x) = PVx

U(x) = I(x) ‒ C(x) =(PV ‒CV)x ‒ CF

donde x denota el número de unidades del producto fabricado o vendido. Las funciones C, I yU son funciones

lineales de x.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Funciones de utilidad

Puritron, un fabricante de filtros de agua, tiene un costo fijo mensual de $20000, un costo de producción de

$20 por unidad y un precio de venta de $30 por unidad. Determine la función de costo, la función de ingreso

y la función de utilidad de Puritrón.

Solución: sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces

C(x) = 20x + 20000 es la función de Costo Total

I(x) = 30x es la función de ingreso

U(x) = I(x) ‒ C(x)= 30x ‒ (20x + 20)= 10x ‒ 20000 es la función de utilidad

Intersección de líneas rectas

La solución de ciertos problemas prácticos implica determinar el punto

de intersección de dos líneas rectas. Veamos cómo pueden resolverse

algebraicamente estos tipos de problemas.

Sean las rectas L1 y L2 con ecuaciones y= m1x + b1 y y = m2x + b2

respectivamente, donde m1, b1, m2y b2 son constantes y las rectas L1 y

L2 se cortan en el punto P = (x0, y0)

El punto P(x0, y0) pertenece a la recta L1 y por lo tanto satisface la

ecuación y = m1x + b1. También pertenece a la recta L2 y, por lo tanto,

satisface la ecuación y = m2x + b2. Por consiguiente, para encontrar el

punto de intersección P(x0, y0) de las rectas L1 y L2, tenemos que

resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por las siguientes

dos ecuaciones: y= m1x + b1 y y = m2x + b2

siendo x e ylas incógnitas


EJEMPLO

Determina el punto de intersección de las líneas rectas cuyas ecuaciones son:y = x + 1 ey = ‒2x + 4.

Solución: Resolvemos el sistema de ecuaciones1

2 4

y x

y x

Al sustituir el valor y= -2x+4 en la primera ecuación obtenemos

x + 1 = ‒2x + 4

3x = 3

x = 1

Al sustituir este valor de x en cualquiera de las ecuaciones dadas obtenemos y = 2. Por consiguiente, el punto de

intersección es P = (1, 2) como se observa a continuación:

Uso de la Tecnología

1. Utiliza una calculadora gráfica para trazar las rectasL1 y L2 cuyas ecuaciones son y = 2x ‒ 1 y y = 2.1x + 3,

respectivamente, en el mismo sistema de ejes,utilizando la ventana de visualización estándar. ¿Parece que las líneas se

cortan?

2. Trace las líneas rectas L1 y L2, utilizando la ventana de visualización [‒100, 100] X [‒100, 100]. ¿Parece que las líneas

se cortan? ¿Puede localizar el punto de intersección con TRACE y ZOOM? Utilizando la función “intersection” de su

calculadora graficadora?

3. Encuentre algebraicamente el punto de intersección de L1 y L2.

4. Comente sobre la efectividad de los métodos de solución en las partes 2 y 3.

ANÁLISIS DE EQUILIBRO

Considere una empresa con función de costos lineal C, función de ingresos I y función de utilidad U dadas

C(x) = CVx + CF

I(x) = PVx

U(x) = I(x) ‒ C(x) = (PV ‒ CV)x ‒ CF

P = (1, 2)


El nivel de producción al cual la empresa no tiene una utilidad ni sufre una pérdida se llama nivel de operación de

equilibrio y puede determinarse al resolver de forma simultánea las ecuaciones y = C(x) y y= I(x). Al nivel de

producción x0, la utilidad es 0 y por tanto

U(x0) = I(x0) ‒ C(x0) = 0

I(x0) = C(x0)

El punto P0= (x0, y0) que es la solución del sistema de ecuaciones y= I(x) y y = C(x) se conoce como punto de

equilibrio; el número x0 y el número y0 se llaman cantidad de equilibrio e ingreso de equilibrio, respectivamente.

En términos geométricos, el punto de equilibrio P0 = (x0, y0) es el punto de intersección de las rectas que

representan las funciones de costo e ingreso, respectivamente.

Al ser P0 = (x0, y0) la solución del sistema y= I(x)yy = C(x), este punto pertenece a las dos rectas.

Observa que si x ˂ x0, entonces I(x) ˂ C(x) de modo que U(x) = I(x) ‒ C(x) ˂ 0 y por lo tanto la empresa

experimenta una pérdida a este nivel de producción.

Por otra parte, si x ˃ x0, entonces U(x) ˃ 0 y la empresa opera a un nivel rentable.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 1:Nivel de equilibrio

Prescott fabrica sus productos a un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si el costo fijo de la

empresa es de $12000 por mes, determine el punto de equilibrio de la empresa.

Solución:la función de costo C y la función de ingreso I son C(x) = 4x + 12000 y I(x) = 10x, respectivamente.


Con I(x) = C(x) se obtiene:

10x = 4x + 12000

6x = 12000

x = 2000

Al sustituir este valor de x en I(x) = 10x obtenemos

I(2000) = 10 . 2000 = 20000

Así que, para una obtener el equilibrio, la empresa deberá fabricar 2000 unidades de su producto, lo cual da

un ingreso de equilibro de $20000 por mes.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2:Análisis de punto de equilibrio

Con los datos dados en el Ejemplo de aplicación 1 responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la pérdida sufrida por la empresa si se producen y venden sólo 1500 unidades cada mes?

b. ¿Cuál es la utilidad si se producen y venden 3000 unidades cada mes?

c. ¿Cuántas unidades deberá producir la empresa para obtener una utilidad mensual de $9000?

Solución: La función de utilidad U viene dada por:

U(x) = I(x) ‒ C(x)

= 10x ‒ (4x + 12000)

= 6x ‒ 12000

a. Si se producen y venden 1500 unidades cada mes obtenemos

U(1500) = 6(1500) ‒ 12000 = ‒3000

así que la empresa sufrirá una pérdida de $3000 por mes.

b. Si se producen y venden 3000 unidades cada mes obtenemos

U(3000) = 6(3000) ‒ 12000 = ‒6000

o una utilidad mensual de $6000.

c. Al sustituir 9000 en lugar de U(x) en la ecuación U(x) = 6x ‒ 12000 obtenemos

9000 = 6x ‒ 12000

6x = 21000

x = 3500

Por tanto, la empresa deberá producir por lo menos 3500 unidades para obtener una utilidad mínima

mensual de $9000.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 3: Análisis de decisiones

La gerencia de Robertson Controls debe decidir entre dos procesos de manufactura para su termostato

electrónico modelo “Premium”. El costo mensual del primer proceso es C1(x) = 20x + 10000 dólares, donde

x es el número de termostatos fabricados; el costo mensual del segundo proceso es C2(x) = 10x + 30000


dólares. Si las ventas mensuales proyectadas son 800 termostatos a un precio unitario de $40, ¿cuál proceso

deberá escoger la gerencia para maximizar la utilidad de la empresa?

Solución: el nivel de operación de equilibrio utilizando el primer proceso se obtiene al resolver la ecuación

40x = 20x + 10000

20x = 10000 entonces x = 500

que da una producción de 500 unidades. A continuación resolvemos la ecuación

40x = 10x + 30000

30x = 30000 entonces x = 1000

que da una producción de 1000 unidades para una operación de equilibrio con el segundo proceso. Como las

ventas proyectadas son 800 unidades, concluimos que la gerencia debe escoger el primer proceso, el cual le

permitirá a la empresa obtener utilidades.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 4: Análisis de decisiones

Remitiéndonos al Ejemplo de aplicación 3, decide cuál proceso debe escoger la gerencia de Robertson si las

ventas mensuales proyectadas son:

a) 1500 unidades b) 3000 unidades.

Solución: En ambos casos la producción rebasa el nivel de equilibrio. Como el ingreso es el mismo,

independientemente de cuál proceso emplee, la decisión se basará en cuánto cuesta cada proceso.

a. Si x = 1500, entonces

C1(x) = (20)(1500) + 10000 = 40000

C2(x) = (10)(1500) + 30000 = 45000

Por consiguiente, la gerencia deberá escoger el primer proceso.

b. Si x = 3000, entonces

C1(x) = (20)(3000) + 10000 = 70000

C2(x) = (10)(3000) + 30000 = 60000

En este caso, la gerencia deberá escoger el segundo proceso.

Ejercicios de autoevaluación

1. Utilice una calculadora gráfica para trazar las líneas L1 y L2 con ecuaciones y = 2x ‒ 1 e

y = 2.1x + 3, respectivamente, en el mismo sistema de ejes,utilizando la ventana de

visualización estándar. ¿Parece que las líneas se cortan?

2. Trace las líneas rectas L1 y L2, utilizando la ventana de visualización [‒100, 100] X [‒100,

100]. ¿Parece que las líneas se cortan? ¿Puede localizar el punto de intersección con TRACE y

ZOOM? Utilizando la función “intersection” de su calculadora graficadora?

3. Encuentre algebraicamente el punto de intersección de L1 y L2.

4. Comente sobre la efectividad de los métodos de solución en las partes 2 y 3.

Exploración con

TECNOLOGÍA


Un fabricante tiene un costo fijo mensual de $60000 y un costo de producción de $10 por unidad producida. El

producto se vende a $15 por unidad.

1. ¿Cuál es la función de costo?

2. ¿Cuál es la función de ingreso?

3. ¿Cuál es la función de utilidad?

4. Calcule la utilidad (pérdida) correspondiente a niveles de producción de 10000 y 14000 unidades/mes.

Soluciones: sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces

1. C(x)= 10x + 60000

2. I(x) = 15x

U(x) = I(x) ‒ C(x) = 15x ‒ (10x + 60000)= 5x ‒ 60000

U(10000) = 5(10000) ‒ 60000 = ‒10000o una pérdida de $10000.

3. U(14000) = 5(14000) ‒ 60000= 10000o una utilidad de $10000.

Preguntas de concepto

1. a. ¿Qué es una función lineal? Da un ejemplo.

b. ¿Cuál es el dominio de una función lineal? ¿Y el conjunto imagen?

c. ¿Cuál es la gráfica de una función lineal?

2. a. ¿Cuál es la forma general de una función lineal de costo? ¿Y de una función lineal de ingreso? ¿Y la de una

función lineal de utilidad?

3. Explica el significado de cada término:

a. Punto de equilibrio

b. Cantidad de equilibrio

c. Ingreso de equilibrio

Actividades

1. Un fabricante tiene un costo fijo mensual de $40000 y un costo de producción de $8 por cada unidad producida.

El producto se vende a $12 por unidad.

a. ¿Cuál es la función de costo?

b. ¿Cuál es la función de ingreso?

c. ¿Cuál es la función de utilidad?

d. Calcule la utilidad (o pérdida) correspondiente a niveles de producción de 8000 y 12000 unidades.

2. Determine el punto de equilibrio para la empresa cuya función de costo C y función de ingreso I son:

a. C(x) = 5x + 10000; I(x) = 15x

b. C(x) = 0.2x + 120; R(x) = 0.4x


3. Hogares con Internet de banda ancha: el número de hogares con Internet de banda ancha en Estados Unidos era

de 20 millones a principio de 2002 y se anticipaba que creciera a un ritmo de 6.5 millones de hogares por año

durante los 8 años siguientes.

a. Encuentre una función lineal f que dé el número proyectado de hogares con Internet en Estados Unidos (en

millones) en el año t donde t = 0 corresponde al inicio de 2002.

b. ¿Cuál es el número proyectado de hogares con Internet de banda ancha a principios de 2010?

4. Funciones de utilidad: la gerencia de TMI determinó que los costos fijos mensuales atribuibles a la producción de

sus focos de 100 watts es de $12100. Si el costo de producir cada paquete de dos focos es de $0.60 y cada paquete

se vende a $1.15, determine las funciones de costo, ingreso y utilidad de la empresa.

5. Análisis de punto de equilibrio: AutoTime, un fabricante de temporizadores variables de 24 horas, tiene un costo

mensual fijo y un costo de producción de $48000 y $8, respectivamente, por cada temporizador fabricado. Los

temporizadores se venden a $14 cada uno.

a. Traza las gráficas de la función de costo y la función de ingreso y encuentre con ellas el punto de equilibrio.

b. Encuentra algebraicamente el punto de equilibrio.

c. Traza la gráfica de la función de utilidad.

d. ¿En qué punto la gráfica de la función de utilidad cruza por el eje x? Interpreta este resultado.

6. Análisis del punto de equilibrio: La empresa Gibson Corporation fabrica bombas de bicicleta. Cada bomba se

vende a $9 y el costo variable de fabricar cada unidad es de 40% del precio de venta. Los costos mensuales fijos

de la división son $50000. ¿Cuál es el punto de equilibrio?

7. Análisis de decisiones: un producto puede fabricarse con la máquina I o la máquina II. El fabricante estima que

los costos mensuales fijos de usar la máquina I son $18000, mientras que los de usar la máquina II son $15000.

Los costos variables de fabricación de una unidad con la máquina I y la máquina II son $15 y $20, respectivamente.

El producto se vende a $50 cada uno.

a. Encuentra las funciones de costo asociadas con el uso de cada máquina.

b. Traza las gráficas de las funciones de costo de la parte (a) y las funciones de ingreso en el mismo sistema de

ejes.

c. ¿Cuál máquina deberá escoger la gerencia para incrementar al máximo su utilidad si las ventas proyectadas son

de 450 unidades? ¿Y 550 unidades? ¿Y 650 unidades?

d. ¿Cuál es la utilidad en cada caso de la parte (c)?

Respuestas

1.a. C(x) = 8x + 40000 b. I(x) = 12x c. U(x) = 4x ‒ 40000

d. Pérdida de $8000; utilidad de $8000

2. a. 1000 unidades; $15000 b. 6000 unidades; $240

3. a. f(t) = 6.5t + 20 (0 ≤ t ≤ 8) b. 72 millones de hogares

4.C(x) = 0.6x + 12100; I(x) = 1.15xU(x) = 0.55x ‒ 12100


5. a.

b. 8000 unidades; $112000

c.

d. (8000, 0)

6. 9529 unidades; $83331

7. a. C1(x) = 18000 +15xC2(x) = 15000 + 20x


FUNCIONES CUADRÁTICAS

Una función cuadrática es función cuya ecuación es:

y = f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

Ejemplos: la función f(x) = 2x2 ‒ 3x + 4 es cuadrática

(en este caso a = 2, b = ‒3 y c = 4).

La función f(x) = x2 + 1 es cuadrática (en este caso a = 1, b = 0 y c = 1).

La gráfica ilustra la forma general de la gráfica de una función cuadrática,

la cual se llama parábola.

En general, la gráfica de una función cuadrática es una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo. Además, la

parábola es simétrica con respecto a una línea vertical llamada eje de simetría. El punto de intersección de la parábola

con el eje de simetría se llama vértice de la parábola.

Podemos utilizar estas propiedades para trazar la gráfica de una función cuadrática.

Por ejemplo, suponga que deseamos trazar la gráfica de

f(x) = 2x2 ‒ 4x + 1

Si completamos cuadrado en x obtenemos

f(x) = 2(x2 ‒ 2x) + 1

= 2[x2 ‒ 2x + (‒1)2] +1 ‒ 2 = 2(x ‒ 1)2 ‒ 1

Observe que el primer término 2(x ‒ 1)2 es no negativo y es igual a cero cuando x = 1 y es mayor que cero si x ≠

1. Por consiguiente, f(x) ≥ ‒1 con todos los valores de x. Esto indica que el vértice (en este caso el punto mínimo) de

la parábola es el punto (1, ‒1). El eje de simetría de la parábola es la línea vertical x = 1. Por último, si marcamos el

Sumar y restar 2


vértice y unos puntos más a ambos lados de los ejes de simetría de la parábola, obtenemos la gráfica que muestra la

siguiente figura.

Para hallar las intersecciones de la gráfica de f con el eje x debemos resolver la ecuaciónf(x) = x2 – 4x + 1 = 0.

En este caso se utiliza la fórmula cuadrática con a = 2, b = ‒4 y c = 1 y obtenemos

𝑥 = ‒(‒4)± √(‒4)2 ‒ 4(2)(1)

2(2)=

4 ± √8

4=

4 ±2√2

4= 1 ±

√2

2

Por consiguiente, las intersecciones con el eje x son1 + √2/2 ≈ 1.71 y 1 ‒ √2/2 ≈ 0.29. La intersección con el

eje y se obtiene haciendo x = 0 y obtenemos f(0) = 1.

La técnica que utilizamos para analizar f(x) = 2x2 ‒ 4x + 1 puede emplearse para estudiar la función cuadrática general

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Si completamos el cuadrado en x, encontramos

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + 𝑏

2𝑎)

2

+ 4𝑎𝑐 ‒ 𝑏2

4𝑎

De esta ecuación se obtienen las siguientes propiedades de la función cuadrática f.

Propiedades de la función: f(x) = ax2 + bx + c (a≠0)

1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y su gráfica es una parábola.

2. Si a> 0, la parábola se abre hacia arriba, y si a< 0, se abre hacia abajo.

3. El vértice de la parábola es (‒𝑏

2𝑎, 𝑓 (‒

𝑏

2𝑎)).

4. El eje de simetría de la parábola es 𝑥 = ‒𝑏

2𝑎.

5. Las intersecciones con x (si las hay) se determinan al resolver f(x) = 0. La intersección con y es f(0) = c.


Ejemplo: Dada la función cuadrática f(x) = ‒2x2 +5x ‒ 2

a. Encuentre el vértice de la parábola.

b. Encuentre las intersecciones con x (si las hay) de la parábola.

c. Trace la parábola.

Solución

a. Al comparar f(x) = ‒2x2 + 5x ‒ 2 con la forma general de la ecuación cuadrática, vemos que a = ‒2, b = 5 y

c = ‒2. Por consiguiente, la coordenada x del vértice de la parábola es

‒𝑏

2𝑎= ‒

5

2(‒2)=

5

4

A continuación, encontramos la coordenada y del vértice, evaluamos f con 𝑥 = 5

4, y encontramos

𝑓 (5

4) = ‒ 2 (

5

4)

2

+ 5 (5

4) ‒ 2

= ‒25

8+

25

4 ‒ 2=

9

8

b. Para encontrar las intersecciones con x de la parábola, resolvemos la ecuación

‒ 2𝑥2 + 5𝑥 ‒ 2 = 0

utilizando la fórmula cuadrática con a = ‒2, b = 5 y c = ‒2. Encontramos

𝑥 = ‒5 ± √25 ‒ 4 (‒2)(‒2)

2(‒2)

= ‒5 ± √9

‒4

= ‒5 ±3

‒4=

1

2 𝑜 2

Por tanto, las intersecciones con x de la parábola son 1

2 y 2.

d. Como a = ‒2 < 0, la parábola se abre hacia abajo. Su vértice (5

4,

9

8) es, por consiguiente, el punto más alto de

la curva. La parábola cruza el eje x por los puntos 1

2, 0 y (2, 0). Con x = 0 se obtiene ‒2 como la intersección

con y de la curva. Por último, con esta información, trazamos la parábola mostrada en la siguiente figura.


EJEMPLO DE APLICACIÓN: Efecto de la publicidad en las utilidades

La utilidad trimestral (en miles de dólares) de Cunningham Realty es

𝑃(𝑥) = ‒1

3𝑥2 + 7𝑥 + 30 ∙ (0 ≤ 𝑥 ≤ 50)

donde x (en miles de dólares) es la cantidad de dinero que Cunningham gasta en publicidad por trimestre.

Determine la cantidad de dinero que Cunningham debe gastar en publicidad para que obtenga una utilidad

trimestral máxima. ¿Cuál es la utilidad trimestral máxima realizable por Cunningham?

Solución: la función de utilidad P es una función cuadrática y, por tanto, su gráfica es una parábola. Además,

el coeficiente de x2 es a = ‒1

3< 0, y por consiguiente la parábola se abre hacia abajo. La coordenada x de su

vértice es:‒𝑏

2𝑎= ‒

7

2(‒1

3)

= 21

2= 10.5

La coordenada y correspondiente es :

𝑓 (21

2) = ‒

1

3(

21

2)

2

+ 7 (21

2) + 30 =

267

4= 66.75

Por consiguiente, el vértice de la parábola es (21

2,

267

4). Como la parábola se abre hacia abajo, su vértice es su

punto más alto. Por tanto, la coordenada y del vértice da el valor máximo de P. Esto implica que la utilidad

trimestral máxima es de $66,750 [recuerde que P(x) está en miles de dólares] si Cunnigham gasta $10,500

por trimestre en publicidad. La gráfica de P se muestra en la siguiente figura.


CURVAS DE DEMANDA Y OFERTA

En una economía de mercado libre, una ecuación de demanda expresa la relación

entre precio unitario y la cantidad de demanda. La gráfica de una ecuación de

demanda se llama curva de demanda. En general, la cantidad demandada de un

producto se reduce a medida que su precio unitario se incrementa, y viceversa. Por

consiguiente, una función de demanda, definida por p = f(x), donde p mide el

precio unitario y x mide el número de unidades del producto en cuestión, por lo

general se caracteriza como una función decreciente de x; es decir, p = f(x)

disminuye a medida que x aumenta. Como tanto x como p asumen sólo valores no

negativos, la curva de demanda es la parte de la gráfica de f(x) situada en el primer

cuadrante.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Demanda de auriculares de diadema bluetooth

La función de demanda de una cierta marca de auriculares inalámbricos de diadema bluetooth es

𝑝 = 𝑑(𝑥) = ‒ 0.025𝑥2 ‒ 0.5𝑥 + 60

donde p es el precio unitario de venta al mayoreo de dólares y x la cantidad

demandada cada mes, medida en millares. Trace la curva de demanda

correspondiente. ¿Por encima de qué precio ya no habrá demanda? ¿Cuál es la

cantidad mensual máxima demandada?

Solución: la función dada es cuadrática, y su gráfica puede trazarse con los

métodos que se acaban de desarrollar. La intersección con p, 60, da el precio

unitario de mayoreo por encima del cual no habrá demanda. Para obtener la

cantidad máxima demandada, haga p = 0, y se obtiene:

‒0.025x2 ‒ 0.5x + 60 = 0

x2 + 20x ‒ 2400 = 0

(x + 60)(x ‒ 40) = 0

Es decir, x = ‒60 o x = 40. Como x debe ser no negativa, descartamos la raíz x = ‒60. Por lo tanto, el número

máximo de auriculares de diadema demandada por mes es de 40000.

En un mercado competitivo también existe una relación entre el precio unitario

de un producto y la disponibilidad de éste en el mercado. En general, un

incremento del precio unitario del producto induce al productor a incrementar la

oferta del producto. En cambio, una reducción del precio unitario en general

provoca una reducción de la oferta. La ecuación que expresa la relación entre el

precio unitario y la cantidad ofrecida se llama ecuación de oferta, y su gráfica se

llama curva de oferta. Una función de oferta definida por p = f(x), en general

se caracteriza como una función creciente de x; es decir, p = f(x) se incrementa

a medida que x también lo hace. Como tanto x como y asumen sólo valores no

Después de multiplicar ambos lados de la

ecuación por ‒40


negativos, la curva de oferta es la parte de la gráfica de f(x) situada en el primer

cuadrante.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Oferta de auriculares de diadema bluetooth

La función de oferta de una cierta marca de auriculares de diadema inalámbricos bluetooth es

p = s(x) = 0.02x2 + 0.6x + 20, donde p es el precio unitario de mayoreo en dólares

y x representa la cantidad (en millares) que introducirá al mercado el fabricante. Trace la curva de oferta

correspondiente. ¿Cuál es el precio más bajo al cual el proveedor introducirá los auriculares en el mercado?

Solución: en la siguiente figura aparece la curva de oferta. La intersección con p, 20, da el precio más bajo

al cual el proveedor introducirá los auriculares en el mercado.

EQUILIBRIO DEL MERCADO

En situaciones de competencia pura, el precio de un producto con el tiempo se estabilizará a un precio dictado por la

siguiente condición: la oferta del producto será igual a la demanda de él. Si el precio es demasiado alto, el consumidor

no comprará, y si el precio es demasiado bajo, el fabricante no producirá. El equilibrio del mercado prevalece

cuando la cantidad producida es igual a la cantidad demandada. La cantidad producida en la condición de equilibrio

del mercado se llama cantidad de equilibrio, y el precio correspondiente se llama precio de equilibrio.

El equilibrio del mercado corresponde al punto donde la curva de la demanda y

la de la oferta se cortan. En la figura de la izquierda, x0 representa la cantidad

de equilibrio y p0 el precio de equilibrio. El punto (x0, p0) queda en la curva de

la oferta y por consiguiente satisface la ecuación de la demanda. Por tanto, para

localizar el punto (x0, p0), y por consiguiente la cantidad y el precio de

equilibrio, se resuelven las ecuaciones de la demanda y la oferta de forma

simultánea para x y p. Para soluciones significativas, x y p deben ser positivas.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Equilibrio del mercado

Remítase a los ejemplos anteriores “auriculares de diadema inalámbricos bluetooth”.

La función de demanda de una cierta marca de auriculares de diadema inalámbricos bluetooth es

p = d(x) = ‒0.025x2 ‒ 0.5x + 60

y la función de demanda correspondiente es


p = s(x) = 0.02x2 + 0.6x + 20

donde p está en dólares y x en millares. Determine la cantidad y el precio de equilibrio.

Solución: resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

p = ‒0.025x2 ‒ 0.5x + 60

p = 0.02x2 + 0.6x + 20

Al sustituir la primera ecuación en la segunda se obtiene:

‒0.025x2 ‒ 0.5x + 60 = 0.02x2 + 0.6x + 20

lo cual es equivalente a

0.045x2 + 1.1x ‒ 40 = 0

45x2 + 1100x ‒ 40000 = 0

9x2 + 220x ‒ 8000 = 0

(9x + 400)(x ‒ 20) = 0

Por tanto, x = ‒400

9 o x = 20. Puesto que x debe ser no negativa, se

descarta la raíz x = ‒400

9. Por consiguiente, la cantidad de equilibro es

20000 auriculares de diadema. El precio de equilibrio es

p = 0.02(20)2 + 0.6(20) + 20 = 40

o $40 por auricular.


1. Considere la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

a. ¿Cuál es el dominio de f?

b. ¿Qué puede decir sobre la parábola si a< 0?

c. ¿Cuál es el vértice de la parábola en función de a y b?

d. ¿Cuál es el eje de simetría de la parábola?

2. a. ¿Qué es una función de demanda? ¿Una función de oferta?

b. ¿Qué es el equilibrio del mercado?

c. ¿Qué son la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio? ¿Cómo determina estas cantidades?

Multiplique por 1000.

Divida entre 5


Actividades

1.Con la siguiente ecuación de la demanda, donde x representa la cantidad demandada en millares y p es el precio en

dólares p = ‒x2 + 36; p = 11

a. Trace la curva de la demanda.

b. Determine la cantidad demandada cuando el precio unitario es $p.

2.Con la siguiente ecuación de la oferta, donde x es la cantidad ofertada en millares y p es el precio unitario en dólares

p = 2x2 + 18

a. Trace la curva de la demanda.

b. Determine el precio al cual el fabricante introducirá al mercado 2000 unidades.

3. Con cada par de ecuaciones de la oferta y la demanda, donde x representa la cantidad demandada en millares y p

el precio unitario en dólares, determine la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.

p = ‒2x2 + 80 y p = 15x + 30

4. Maximización de la utilidad: Lynbrook West, un complejo de departamentos, se compone de 100 departamentos

de dos recámaras. La utilidad mensual por la renta de x departamentos es:

P(x) = ‒10x2 + 1760x ‒ 50000 dólares.

¿Cuántos departamentos se deben rentar para maximizar la utilidad mensual? ¿Cuál es la máxima utilidad mensual?

5.Maximización de la utilidad: la utilidad mensual de Cannon Precision Instruments Coorporation en la fabricación

y venta de x unidades de sus cámaras modelo MI es: P(x) = ‒0.04x2 + 240x + 10000

dólares. Determine cuántas cámaras debe fabricar Cannon para maximizar sus utilidades.

6. Maximización de los ingresos: el ingreso mensual R (en cientos de dólares) realizado en la venta de rasuradoras

eléctricas Royal está relacionado con el precio unitario p (en dólares) por la ecuación: 𝑅(𝑝) = ‒1

2𝑝2 + 30𝑝

a. Trace la gráfica de R.

b. ¿Con qué precio unitario se maximiza el ingreso?

7. Ingresos de Polo Ralph Lauren: citando las fuertes ventas y beneficios de una nueva división que diseñará marcas

de estilo de vida para tiendas departamentales y especializadas, la empresa proyecta que el ingreso sea (en miles

de millones de dólares)

R(t) = ‒0.06t2 + 0.69t + 3.25 (0 ≤ t ≤ 3)

en el año t, donde t = 0 corresponde a 2005.

a. ¿Cuál fue el ingreso de la empresa en 2005?

b. Determine R(1), R(2) y R(3) e interprete sus resultados.

Fuente: reportes de la empresa

8. Equilibrio del mercado: las funciones de demanda y oferta semanales de tiendas de 5 X 7 Sportsman son

p = ‒0.1x2 ‒ x + 40

p = 0.1x2 + 2x + 20

respectivamente, donde p está en dólares y x en cientos. Determine la cantidad y el precio de equilibrio.


Respuestas:

1.a.

b. 5000

2. a.

b. $26

3. 2,500; $67.50

5. 3000

6. a.

b. $30

7. a. $3,250 millones

b. -$3,880 millones ; $4,390 millones ; $4,780 millones

8. 500, $32.50


MODELO: INGRESO EN FUNCIÓN DE LA DEMANDA

EJEMPLO: Ingreso máximo

La función de demanda para un producto es p = 1000 ‒ 2q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q

unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el

ingreso total del productor, y determinar ese ingreso.

Solución:

Estrategia: para maximizar el ingreso, debemos determinar la función de ingreso, r = f(q). Utilizando la relación:

ingreso total = (precio) (cantidad),

Luego: I = pq.

Por medio de la ecuación de demanda, podemos expresar p en términos de q, de modo que I sea estrictamente una

función de q:I(q) = pq

I (q) = (1000 ‒2q)q.

I(q) = 1000q ‒ 2q2.

Observe que r es una función cuadrática de q, con a = ‒2, b = 1000 y c = 0. Ya que a< 0 (la parábola se abre hacia

abajo), r es máximo en el vértice (q, r), dondeq = ‒ 𝑏

2𝑎= ‒

1000

2(‒2)= 250.

El valor máximo de I está dado por: Imáx= 1000(250) ‒ 2(250)2 = 250000 ‒ 125000 = 125000

Así el ingreso máximo que el fabricante puede recibir es de $125000, que ocurre en un nivel de producción de

250 unidades. La figura siguientemuestra la gráfica de la función de ingreso. Sólo la parte para la que q ≥ 0 y I ≥

0 se dibuja, ya que la cantidad y el ingreso no pueden ser negativos.

Actividades

1. Ingreso: la función de demanda para el fabricante de un producto es de p = f(q) = 1200 ‒ 3q, donde p es el

precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de

producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

2. Ingreso: la función de demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p = 2400 ‒ 6q, en

donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (semanales).

Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

3. Utilidad: la utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada

por P(x) = ‒x2 + 18x + 144, en donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las

intersecciones con los ejes de la función, y haga la gráfica de la función.


Respuestas:

1.q = 200; r = $120000.

2. 200 unidades; ingreso máximo $240000.

3. Vértice: (9,225); intersección y: (0,144); intersecciones x: (‒6, 0), (24, 0).

COMBINACIÓN DE MODELOS LINEALES Y NO LINEALES

OFERTA-DEMANDA Y COSTO-INGRESO

Ejemplo: Equilibrio

Recuerde que una ecuación que relaciona el precio por unidad y la cantidad de demanda (suministrada), se llama

ecuación de demanda (ecuación de oferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de la demanda es:

𝑝 = ‒ 1

180𝑞 + 12(1)

y la ecuación de oferta es:𝑝 = 1

300𝑞 + 8,(2)

donde q, p ≥ 0. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas que se muestran en las siguientes

figuras. Respecto al modelo de demanda se observa que el precio máximo del mercado es 12 u.m.(unidades

monetarias) y la demanda máxima es 2160 unidades. Asimismo se observa que la cantidad demandada aumenta a

medida que el precio disminuye. El modelo de oferta muestra que el precio mínimo en el mercado es 8 u.m. y a partir

de él cada vez que aumenta el precio, aumenta la cantidad ofrecida.

𝑝 = ‒ 1

180𝑞 + 12

𝑝 = 1

300𝑞 + 8


Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto se representan en el mismo plano de coordenadas, el punto

(m, n) en donde las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio. El precio, n, llamado precio de equilibrio, es

el precio al que los consumidores comprarán la misma cantidad de un producto, que los productores ofrezcan a ese

precio. En resumen, n es el precio en que se da una estabilidad entre productor y consumidor. La cantidad m se llama

cantidad de equilibrio.

Para determinar con precisión el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de oferta

y demanda. Hagamos esto para los datos anteriores, es decir, el sistema

𝑝 = 1

180𝑞 + 12 (ecuación de demanda),

𝑝 = 1

300𝑞 + 8 (ecuación de oferta).

Sustituyendo p por 1

300𝑞 + 8 en la ecuación de demanda, obtenemos

1

300𝑞 + 8 = ‒

1

180𝑞 + 12,

(1

300+

1

180) 𝑞 = 4,

𝑞 = 450 (cantidad de equilibrio).

Por tanto,

𝑝 = 1

300(450) + 8 = 9.50 (precio de equilibrio),

y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los fabricantes producirán

exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores comprarían a ese precio como se

muestra:


EJEMPLO: Efecto de los impuestos sobre el equilibrio

Sea p = 8

100𝑞 + 50 la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y suponga que la ecuación de

demanda es p = ‒7

100𝑞 + 65.

a. Si se cobra al fabricante un impuesto de $1.50 por unidad, ¿cómo se afectará el precio de equilibrio original

si la demanda permanece igual?

Solución: antes del impuesto, el precio del equilibrio se obtiene resolviendo el sistema

p = 8

100𝑞 + 50,

p = ‒ 7

100𝑞 + 65

Por sustitución,

‒ 7

100𝑞 + 65 =

8

100𝑞 + 50,

15 = 15

100𝑞,

100 = 𝑞,y 𝑝 = 8

100(100) + 50 = 58.

Por tanto, $58 es el precio de equilibrio original. Antes del impuesto el fabricante ofrecía q unidades a un

precio de p = 8

100𝑞 + 50 por unidad. Después del impuesto venderá las mismas q unidades con el $1.50 adicional por

unidad. El precio por unidad será (8

100𝑞 + 50) + 1.50, de modo que la nueva ecuación de oferta es : p =

8

100𝑞 + 51.

La resolución del sistema

p = 8

100𝑞 + 51.50,

p = ‒ 7

100𝑞 + 65

dará el nuevo precio de equilibrio:

8

100𝑞 + 51.50 = ‒

7

100𝑞 + 65,

15

100𝑞 = 13.50,

𝑞 = 90,de donde 𝑝 = 8

100(90) + 51.50 = 58.70.


El impuesto de $1.50 por unidad incrementó el precio de equilibrio en $0.70 como se muestra en la siguiente figura.

Observe que también existe una disminución en la cantidad de equilibrio, de q = 100 a q = 90, a causa del cambio en

el precio de equilibrio (en los ejercicios se le pide que determine el efecto de un subsidio dado al fabricante, lo cual

reducirá el precio del producto).

b. Determinar el ingreso total obtenido por el fabricante en el punto de equilibrio antes y después del

impuesto.

Solución: si se venden q unidades de un producto a un precio de p dólares cada una, entonces el ingreso total

está dado por

I(q) = pq.

Antes del impuesto, el ingreso en (100, 58) es (en dólares)

I(100)= (58) (100) = 5800.

Después del impuesto es (58.70) (90) = 5283, que es una disminución.

EJEMPLO: Equilibrio con demanda no lineal

Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son 𝑝 = 𝑞

40+ 10 y

𝑝 = 8000

𝑞, respectivamente.

Solución: aquí la ecuación de demanda no es lineal. Al resolver el sistema

𝑝 = 𝑞

40+ 10,

𝑝 = 8000

𝑞


por sustitución se obtiene

8000

𝑞=

𝑞

40+ 10,

320000 = 𝑞2 + 400𝑞(multiplicando ambos miembros por 40q),

𝑞2 + 400𝑞 ‒ 320000 = 0,

(𝑞 + 800)(𝑞 ‒ 400) = 0,

𝑞 = ‒ 800 𝑜 𝑞 = 400.

Descartamos𝑞 = ‒ 800, ya queqrepresenta una cantidad. Eligiendo q = 400, tenemos p = (8000/400) = 20, de

modo que el punto de equilibrio es (400, 20).

Más Puntos de Equilibrio

Suponga que un fabricante produce un producto A y lo vende a $8 por unidad. Entonces, el ingreso total I recibido

(en dólares) de la venta de q unidades es

I(q) = 8q (ingreso total)

La diferencia entre el ingreso total recibido por q unidades y el costo total de q unidades, es la utilidad del fabricante

(o pérdida si es negativa):

utilidad (o pérdida) = ingreso total ‒ costo total.

El costo total, CT, es la suma de los costos totales variables CVy los costos totales fijos CF

CT(q) = CV(q) + CF(q)


Los costos fijos son aquellos costos que bajo condiciones normales no dependen del nivel de producción; esto es, en

algún periodo permanecen constantes en todos los niveles de producción (ejemplos son renta, salario de oficinistas

y mantenimiento normal). Los costos variables son los que varían con el nivel de producción (como el costo de

materiales, salarios, mantenimiento debido al uso y desgaste, etc.). Suponga que, para q unidades de producto A,

CF(q) = 5000 (costo fijo)

y CV(q)= 22

9𝑞 (costo variable).

Entonces

CT(q) = 22

9𝑞 + 5000 (costo total).

Las gráficas del costo total y del ingreso total

El eje horizontal representa el nivel de producción, q, y el eje vertical representa el valor total, en dólares, del

ingreso o del costo. El punto de equilibrio es el punto en que el ingreso total es igual al costo total (I = CT); ocurre

cuando los niveles de producción y de ventas tienen como resultado cero pérdidas y cero utilidades. En el diagrama,

llamado diagrama del punto de equilibrio, está el punto (m, n), en el que las gráficas de I(q) = 8q y CT(q) = 22

9𝑞 +

5000 se intersecan. Llamamos a m la cantidad de equilibrio y a n el ingreso de equilibrio. Cuando el costo total y

el ingreso total están relacionados de manera lineal con la producción, como es nuestro caso, para cualquier nivel de

producción mayor que m, el ingreso total es mayor que el costo total, lo que trae como resultado una utilidad. Sin

embargo, en cualquier nivel menor que m unidades, el ingreso total es menor que el costo total, lo que trae como

resultado una pérdida. Para una producción de m unidades la utilidad es cero. En el ejemplo siguiente examinaremos

nuestros datos con mayor detalle.

EJEMPLO 3 Punto de equilibrio, utilidad y pérdida.

Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, y vende todo lo que produce. El costo fijo es de $5000 y el

variable por unidad es de 22

9 (dólares).

a. Encontrar la producción y el ingreso total en el punto de equilibrio.

Solución: a un nivel de producción de q unidades, el costo variable es


CV(q) = 22

9𝑞 y el ingreso total es I(q)= 8q. De ahí que : I(q) = 8q,

CT(q) = CV(q) + CF(q)= 22

9𝑞 + 5000.

En el punto de equilibrio, el ingreso total es igual al costo total. Ahora resolvemos el sistema formado por las

ecuaciones anteriores. Como CT(q) = I(q)

Tenemos: 8𝑞 = 22

9𝑞 + 5000,

50

9𝑞 = 5000,

𝑞 = 900.

Así que la producción deseada es de 900 unidades, lo que resulta en un ingreso total (en dólares) de

I(q) = 8(900) = 7200.

b. Encontrar la utilidad cuando se producen 1800 unidades.

Solución: ya que utilidad = ingreso total ‒ costo total, cuando q = 1800 tenemos

𝐼(𝑞) ‒ 𝐶𝑇(𝑞) = 8(1800) ‒ [22

9(1800) + 5000] = 5000.

La utilidad cuando se producen y venden 1800 unidades es de $5000.

c. Encontrar la pérdida cuando se producen 450 unidades.

Solución: cuando q = 450,

𝐼(𝑞) ‒ 𝐶𝑇(𝑞) = 8(450) ‒ [22

9(450) + 5000] = ‒ 2500.

Ocurre una pérdida de $2500 cuando el nivel de producción es de 450 unidades.

d. Encontrar la producción requerida para obtener una utilidad de $10000.

Solución: para obtener una utilidad de $10000 tenemos

utilidad = ingreso total ‒ costo total,

10000 = 8q ‒ (22

9𝑞 + 5000),

15000 = 50

9𝑞, entonces: q = 2700. Así, deben producirse 2700 unidades.


EJEMPLO: Cantidad de equilibrio

Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información siguiente: costo fijo total,

$1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta de q unidades, I(q) = 100√𝑞.

Solución: por q unidades de producción,

I(q) = 100√𝑞,

CT(q)= 2q + 1200.

Igualando el ingreso total al costo total se obtiene

100√𝑞 = 2q + 1200,

50√𝑞 = q + 600 (dividiendo ambos lados entre 2).

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos

2500q = q2 + 1200q + (600)2,

0 = q2 ‒1300q + 360000.

Por medio de la fórmula cuadrática, 𝑞 = 1300 ± √250000

2,

𝑞 = 1300 ±500

2,

𝑞 = 400 𝑜 𝑞 = 900.

Aunque tanto q = 400, como q = 900 son cantidades de equilibrio, se observa que cuando q> 900, el costo total

es mayor que el ingreso total, de modo que siempre se tendrá una pérdida. Esto ocurre porque aquí el ingreso total

no está relacionado linealmente con la producción. Por tanto, producir más de la cantidad de equilibrio no

necesariamente garantiza una utilidad.


Actividades

En los problemas del 1 al 4 se le da una ecuación de oferta y una de demanda para un producto. Si p representa el

precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio. En

el problemas 1 plantee el sistema.

1. Oferta: 𝑝 = 3

100𝑞 + 2,Demanda: 𝑝 = ‒

7

100𝑞 + 12.

2. Oferta: 35𝑞 ‒ 2𝑝 + 250 = 0,Demanda: 65𝑞 + 𝑝 ‒ 537.5 = 0.

3. Oferta: 𝑝 = 2𝑞 + 20, Demanda: 𝑝 = 200 ‒ 2𝑞2.

4. Oferta: 𝑝 = √𝑞 + 10 Demanda: 𝑝 = 20 ‒ 𝑞.

En los problemas del 5 al 7 I representa el ingreso total de dólares y CT el costo total en dólares para un fabricante.

Si q representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas, encuentre la cantidad

de equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio en el problema 5.

5. I(q) = 3q,CT(q) = 2q + 4500.

6. I(q) = 100 ‒ 1000

𝑞+5, CT(q) = q + 35.

7. I(q) = 0.05q,CT(q)= 0.85q + 600.

8. Negocios: las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son

3q – 200p + 1800 = 0y 3q + 100p ‒ 1800 = 0,

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por

período.

a. Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una gráfica.

b. Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor.

Negocios: un fabricante vende un producto a $8.35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los costos fijos son de

$2116 y el costo variable es de $7.20 por unidad. ¿A qué nivel de producción existirán utilidades de $4600? ¿A qué

nivel de producción habrá una pérdida de $1150? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto deequilibrio?

Respuestas

1.

2. (5, 212.50).

3. (9, 38).

4. (15, 5).


5.

6. 15 unidades o 45 unidades.

7. No puede tener punto de equilibrio para ningún nivel de producción.

8. a. $12; b. $12.18.

9. 5840 unidades; 840 unidades; 1840 unidades.

Teoría de la Elección del Consumidor: LÍNEA DE PRESUPUESTO

La decisión del consumidor en cuanto al conjunto de bienes que desea adquirir para su consumo viene

determinada por dos factores: Renta disponible y Gustos

Nos dedicaremos sólo al factor renta disponible, y a efectos de simplificar la explicación, consideraremos que

el consumidor únicamente puede elegir entre 2 tipos de bienes, no obstante este análisis es válido para analizar la

vida real en la que el consumidor tiene acceso a una amplísima gama de bienes.

La renta disponible fija un límite a la capacidad de gasto del consumidor, quien podrá consumir como máximo

el importe de su renta.

Por ejemplo, si un consumidor dispone de 3.000 pesos y puede elegir entre adquirir comida (10 pesos/ kg) o

bebida (20 pesos /litro) sus posibilidades de elección se situarán dentro del área sombreada.

Si y es la cantidad de Kg de comida y x la cantidad de litros de bebidas. El modelo que describe esta situación

es: 10 y +20x = 3000 o y = -2x + 300


Este consumidor podrá situarse en algún punto interior del área (no gastaría toda su renta disponible) o en algún

punto de la línea presupuestaria que limita dicho área (gastaría completamente su renta). Lo que no podrá hacer es

elegir una combinación de comida y bebida situada fuera del área (no podría pagarla).

Características de la Línea de presupuesto

Los puntos de intersección de la línea presupuestaria con los ejes representan aquella elección en la que el

consumidor dedica toda su renta a la adquisición de un sólo tipo de bien (sólo comida o sólo bebida).

La pendiente de la línea presupuestaria es negativa y equivale al precio relativo de los dos bienes (el precio de un

bien en función del otro).

En el ejemplo anterior la pendiente de la línea presupuestaria es -2 (- 2 / 1; ya que 1 kg de comida cuesta 2 pesos

y 1 lt. de bebida cuesta 1peso). Esto quiere decir que por cada kg de comida al que renuncie el consumidor podrá

adquirir 2 litros de bebida.

Variaciones de la renta: efectos sobre la decisión del consumidor

Un aumento de la renta implica un desplazamiento paralelo hacia afuera de la recta presupuestaria.

Variaciones del precio: efectos sobre la decisión del consumidor

La variación del precio de uno de los dos bienes considerados produce dos efectos:

Desplazamiento de la línea de restricción presupuestaria y variación de su pendiente.

Representamos en el siguiente gráfico la restricción presupuestaria que vimos al analizar la renta disponible

(apartado a). El aumento del precio de la comida a 15 pesos / kg desplaza la restricción presupuestaria hacia el

interior y modifica su pendiente (ya que cambia el precio relativo de los dos bienes).

El punto de corte con el eje de aquel

bien cuyo precio no ha variado

permanece constante, en cambio el punto

de corte del bien cuyo precio ha

aumentado se acerca al origen.


Actividades

1- Una entidad cuenta con un monto de $1000 para adquirir dos bienes A y B. Si se define con x e y las cantidades

de dichos bienes que se pueden adquirir, el modelo de presupuesto de esta situación es: 0.05x + 0.10 y -1 =0

a) Determina los precios unitarios de cada bien.

b) Indica cuál de las siguientes combinaciones de cantidades de bienes es posible adquirir:

b1) (10;7) b2) (5;7) b3) (4;8)

2- Una empresa cuenta con un presupuesto de $10000 para adquirir cartuchos de tinta para sus impresoras. El

cartucho de tinta negra, se recarga, y cuesta $100 y el cartucho original color cuesta $500.

a) Determina el modelo de presupuesto para esta situación.

b) Traza la línea e presupuesto correspondiente a los datos dados.

c) Traza la línea que muestra:

c1) un aumento del presupuesto delo 50%

c2) una reducción del precio del cartucho color del 20%

c3) un aumento del precio de la recarga del cartucho de tinta negra de un 25%&

3. El siguiente gráfico representa las diferentes combinaciones de cantidades que se pueden adquirir de dos

productos con un presupuesto $1000.

a) Indica el significado económico de las

intersecciones con los ejes.

b) Determina los precios unitarios de cada

uno de los dos productos

4- La contabilidad agropecuaria en el punto de partida para obtener la información confiable sobre el entorno que

involucra al proceso de producción, estableciendo adecuados controles y reuniendo una adecuada información que

sirva a éste para la toma de decisiones. En este sentido se sabe que un granjero tiene asignado $20000 por mes para

la compra de “x” toneladas de fertilizantes, con un precio de $200 por tonelada, y “y” toneladas de semillas, con un

precio de $2000 por tonelada. Determina el modelo de presupuesto que muestra las distintas combinaciones que el

granjero puede adquirir e indica su dominio y su conjunto imagen.


Respuestas:

1-a) $50 y $100 son los precios de cada uno de los bienes.

b-b1) No es posible b2) es posible b3) es posible

2-a)100x+500y= 10000

c1) 100x+500y= 15000 c2) 100x+400y= 10000 c3) 125x+500y= 10000

3- El precio de cada artículo es $5

4- 200x + 2000y = 20000


MODELOS ECONÓMICOS. RESUMEN

Observación: Las gráficas dadas se presentan a modo de ejemplo y no significa que adopten esa forma en

otra situación.

MODELO OFERTA – DEMANDA

Características

-Demanda: decreciente

-Oferta: creciente

-Puntos significativos:

Máxima Demanda-

Precio Máximo-

Precio Mínimo

- Punto de equilibrio: el

mejor precio del mercado

- Excesos de oferta (si el

precio es mayor al de

equilibrio)

-Exceso de demanda (si el

precio es menor al de

equilibrio)

- Desplazamiento: si

cambian variables distintas al

precio y la cantidad.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

Precio Máximo de Demanda

DEMANDA

OFERTA

Máxima Demanda

Punto de Equilibrio

Precio Mínimo de Oferta

Precio

MODELO COSTO-INGRESO-BENEFICIO

Características

CostoTotal= C Fijo + C

Variable total

CT = CF + CVt

CVt = (CVu) x

CVu: costo variable

unitario

Si y: precio; x: cantidad, se

obtiene:

CT: y = CF + (CVu) x

IT: y = (Pv)x , Pv (precio

venta)

Beneficio=Ingreso – Costo

Total=

= (Pv)x -(CF + (CVu) x)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

2

4

6

8

10

x

y

INGRESO TOTAL

COSTO TOTAL

BENEFICIO

Punto de Equilibrio

Ganancia

Pérdida

Pérdida

Ganancia

CF


LINEA DE PRESUPUESTO

-Si pA es precio de un producto A

pB es precio de un producto B

P es el presupuesto

x es la cantidad de A

y es la cantidad de B

P = pA x + pB y o

y = − (𝐩𝐀

𝐩𝐁) 𝐱 +

𝐏

𝐩𝐁

-Decreciente

-Se producen transformaciones

cuando cambian: P, pA o pB.

-Combinaciones posibles de adquirir

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

x

y

Cantidad Máxima de B

Cantidad Máxima de A

Combinaciones Posiblesde Adquirir

PRESUPUESTO

INGRESO EN FUNCIÓN DE LA DEMANDA

Características

-Si Demanda:

p = mq+b (p: precio, q:

cantidad, m<0, b>0)

Ingreso: I(q) = p.q =

(mq+b)q= mq2+bq

-Ingreso Máximo - Intervalo de

crecimiento.(0,xv)

-Intervalo de decrecimiento.

(xv,Dem max)

xvnivel de producción que

maximiza el ingreso

yv ingreso máximo 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Ingreso

Ingreso

Ingreso Máximo

Cantidad Máxima demandada.


BLOQUE 2

MODELOS ECONÓMICOS

FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTES

DOMINIOFUNCIONES

DEFINIDAS POR PARTES

ÁLGEBRA DE FUNCIONES.

COMPOSICIÓN

GRÁFICA DE FUNCIONES


Funciones y sus gráficas

A un fabricante le gustaría conocer la relación que la utilidad de la empresa mantiene con su nivel de producción;

a un biólogo le gustaría conocer cómo cambia el tamaño de la población de un cierto cultivo en el tiempo; a un

psicólogo le gustaría conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de

vocabulario, y a un químico le gustaría conocer cómo se relaciona la velocidad inicial de una reacción química con

la cantidad de sustrato empleada. En cada caso nos interesa la misma pregunta ¿Cómo depende una cantidad de otra?

La relación entre dos cantidades se describe convenientemente en matemáticas utilizando el concepto de función.

El conjunto A se llama dominio de la función. Se acostumbra a denotar una función con una letra del alfabeto,

tal como la letra f. Si x es un elemento en el dominio de una función f, entonces el elemento y en B con el que f se

asocia se escribe f(x) (leído “f de x”) y se llama valor de f en x. El conjunto que comprende todos los valores asumidos

por y=f(x) cuando x adopta todos los valores posibles en su dominio se llama Conjunto imagen o rango de la

función f.

Pensemos en una función f como una máquina. El dominio es el conjunto de insumos (materia prima) de la

máquina, la regla describe como se procesará el insumo, y el valor o los valores de la función son los resultados de

la máquina como se muestra.

También podemos pensar en una función f como un mapa en el cual un elemento x es dominio de f se proyecta

sobre un elemento único f(x) en B:

Notas

1. El resultado f(x) está asociado con un insumo x único. Para apreciar la importancia de esta propiedad de

unicidad, considere una regla que asocia con cada elemento x en una tienda departamental su precio de venta

Función

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A sólo un

elemento de un conjunto B.


y. Entonces, cada x debe corresponder a una y sólo a una y. Observe, sin embargo, que diferentes x pueden

asociarse con la misma y. En el contexto de este ejemplo, esto significa que diferentes elementos pueden

tener el mismo precio.

2. Aun cuando los conjuntos A y B que aparecen en la definición de una función pueden ser bastantes arbitrarios,

en este libro se denotarán como conjuntos de números reales.

Un ejemplo de una función es la conocida relación entre el área de un círculo y su radio. Sean x y y el radio y el

área de un círculo, respectivamente, por geometría elemental.

Y = πx2 (5)

La ecuación (5) define y como una función de x puesto que cada valor admisible de x (es decir, por cada número

no negativo que representa el radio de un cierto círculo) existe precisamente un número Y = πx2 queda el área del

círculo. La regla que define esta “función de área” puede escribirse como

f(x) = πx2 (6)

Para calcular el área de un círculo de 5 pulgadas de radio, simplemente reemplazamos x en la ecuación (6) con el

número 5. Por lo tanto el área del círculo es

f(5) = π 52 = 25 π

O 25 π pulgadas cuadradas.

En general, para evaluar una función con un valor específico de x reemplazamos x con dicho valor, como se ilustra

en los ejemplos 1 y 2.

EJEMPLO 1 Sea la función f definida por la regla f(x)= 2x2-x+1. Encuentre:

a. f(1) b. f(-2) c. f(a) d. f(a+h)

Solución

a. f(1) = 2(1)2-(1)+1 = 2-1+1 = 2

b. f(-2) = 2(-2)2-(-2)+1 = 8+2+1 = 11

c. f(a) = 2(a)2-(a)+1 = 2a2-a+1

d. f(a+h) = 2(a+h)2-(a+h)+1 = 2a2+4ah+2h2-a-h+1

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Funciones de utilidad.ThermoMaster fabrica un termómetro para interiores y

exteriores en su subsidiaria mexicana. La gerencia estima que la utilidad (en dólares) obtenible por ThermoMaster

por la fabricación y venta de x termómetros por semana es:

P(x) = -0.001x2+8x-5000

Encuentre la utilidad semanal de ThermoMaster si su nivel de producción es (a) 1000 termómetros por semana y

(b) 2000termometros por semana.


Solución

a. La utilidad semanal cuando el nivel de producción es de 100 unidades por semana se encuentra al evaluar la

función de utilidad P con x = 1000. Por tanto,

P (1000) = - 0.001(1000)2+8(1000)-5000 = 2000 o $2000.

b. Cuando el nivel de producción es de 2000 unidades por semana, la utilidad semanal está dada por:

P (2000) = - 0.001(2000)2+8(2000)-5000 = 7000 o $7000.

Determinación del dominio de una función

Suponga que se nos da la función y = f(x)1. Entonces, la variable x se llama variable independiente. La variable

y, cuyo valor depende de x, se llama variable independiente.

Para determinar el dominio de una función, tenemos que determinar qué restricciones, si las hay, se tienen que

imponer en la variable independiente x. En muchas aplicaciones prácticas, la naturaleza del problema dicta el dominio

de una función, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Empaque Se tiene que hacer una caja abierta con un trozo de cartón rectangular

de 16 pulgadas de largo por 10 de ancho, recortando cuadrados idénticos (de x por x pulgadas) de cada esquina y

plegando las pestañas resultantes (figura 25). Encuentre una expresión que dé el volumen de V de la caja en función

de x ¿Cuál es el dominio de la función?

(a) La caja se construye recortando cuadrados de

x por x de cada esquina.

Solución Las dimensiones de la caja son (16-2x) pulgadas por (10 -2x) pulgadas por x pulgadas, por lo que el

volumen (en pulgadas cúbicas) es:

(b) Las dimensiones de la caja

resultante son (10-2x) por (16-2x)

por x.


V = f(x) = (16-2x)(10-2x)x Longitud.ancho.altura

= (160-52x+4x2)x

= 4x3-52x2+160x

Como la longitud de cada lado de la caja debe ser mayor que o igual a cero, entonces

16-2x ≥ 0 10-2x ≥ 0 x ≥ 0

Simultáneamente, es decir

x ≤ 8 x ≤ 5 x ≥ 0

Las tres desigualdades se satisfacen al mismo tiempo, siempre 0 ≤ x ≤ 5. Por tanto, del dominio de la función f es

el intervalo [0,5].

En general, si una función está definida por una regla que relaciona x con f(x) sin mencionar específicamente su

dominio, se entiende que éste se compondrá de todos los valores de x con los cuales f(x) es un número real. En esta

conexión deberá tener en cuenta que 1) la división entre cero no está permitida y 2) la raíz par de un número negativo

no es un número real.

EJEMPLO 4:Determine el dominio de cada función.

a. f(x) = √𝑥 − 1b. f(x) = 1/(x2-4)c.f(x) = x2+3

Solución

a. Como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, es necesario que x-1 ≥ 0. El conjunto de

números reales x ≥ 1 satisface la desigualdad. Por tanto, el dominio de f es el intervalo [1, ∞).

b. La única restricción en x es que x2-4 sea diferente de cero, puesto que la división entre cero no está permitida.

Pero (x2-4) = (x+2)(x-2) = 0 si x = -2 o x = 2. Por tanto, el dominio de f en este caso se compone de los

intervalos (-∞,-2), (-2,2) y (2, ∞).

c. En este caso, cualquier número real satisface la ecuación, por lo que el dominio de f es el conjunto de todos

los números reales.

Gráficas de funciones

Si f es una función con dominio A, luego correspondiente a cada número real x en A debe haber precisamente un

número real f(x). También podemos expresar este hecho utilizando pares ordenados de números reales. Escriba

cada número x en A como el primer miembro de un par ordenado y cada número f(x) correspondiente a x como el

segundo miembro del par ordenado. Esto da precisamente un par ordenado (x, f(x)) por cada x en A. Esta observación

conduce a f


Observe que la condición de que haya uno y sólo un número f(x) correspondiente a cada número en A se

transforma en el requerimiento de que dos pares ordenados cualesquiera no tengan el mismo primer miembro.

Como los pares ordenados de números reales corresponden a puntos en el plano, encontramos una forma de

mostrar gráficamente una función.

La siguiente figura muestra la gráfica de una función f. observe que la coordenada y del punto (x, y) en la gráfica de

f da la altura de dicho punto (la distancia sobre el eje x, si f(x) es positiva. Si f(x) es negativa, entonces -f(x) da la

profundidad del punto (x, y) (la distancia por debajo de x). También, observe que el dominio de f es un conjunto de

números reales situados sobre el eje x, mientras que el rango de f queda sobre el eje y.

EJEMPLO 5 La gráfica de una función f se muestra en la figura:

a. ¿Cuál es el valor de f(3)? ¿El valor de f(5)?

b. ¿Cuál es la altura o profundidad del punto (3, f(3)) con respecto

al eje x? ¿Del punto (5, f(5)) con respecto al eje x?

c. ¿Cuál es el dominio de f? ¿El rango de f?

Solución

a. En la gráfica de f, y = -2 cuando x = 3 y concluimos que f(3) = -2. Asimismo, f(5) = 3.

b. Como el punto (3, -2) queda debajo del eje x, la profundidad del punto (3, f(3)) es -f(3) = -(-2) = 2 unidades

por debajo del eje x. el punto (5, f(5)) queda sobre el eje x a una altura de f(5), o 3 unidades sobre el eje x.

c. Observe que x puede adoptar todos los valores entre x = 1 y x = 7, inclusive y por tanto el dominio de f es [-

1, 7]. A continuación observamos que a medida que x adopta todos los valores entre -2 y 7, inclusive. (Esto

puede verlo con facilidad si mueve su dedo índice a lo largo del eje x desde x = -1 hasta x = 7 y observa los

Función (definición alterna)

Una función f con dominio A es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x))

donde x pertenece a A.

La gráfica de una funciónf es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano xy de

modo que x esté en el dominio de f y y = f(x).


valores correspondientes asumidos por la coordenada y de cada punto de la gráfica de f.) Por consiguiente el

rango de f es [-2, 7].

Se puede obtener mucha información sobre la gráfica de una función si se marcan algunos puntos en su gráfica.

Más adelante se desarrolla una técnica más sistemática y compleja para trazar gráficas de funciones.

EJEMPLO 6 Trace la gráfica de la función definida por la ecuación y = x2+1. ¿Cuál es el conjunto imagen de f?

Solución El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. Si asignamos varios valores a la

variable x y calculamos los valores correspondientes de y, se obtienen las siguientes soluciones de la ecuación y =

x2+1:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

Si marcamos estos puntos y luego los conectamos con una curva, se obtiene la gráfica de y = f(x), la cual es una

parábola. Para determinar el rango de f, observamos que x2 ≥ 0 si x es cualquier

número real, y por tanto x2+1 ≥ 1 con todos los números reales x. Concluimos

que el rango de f es [1, ∞). La gráfica de f confirma visualmente este resultado.

Una función definida por más de una regla se llama función definida por partes

EJEMLPO 7 Trace la gráfica de la función f definida por

𝑓(𝑥) = {−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

√𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0}

Solución. La función f está definida por parte en el conjunto de todos los

números reales. En el subconjunto (-∞, 0), la regla para f es f(x) = -x. La ecuación

y = -x es una ecuación lineal en la forma de pendiente-ordenada (con pendiente

-1 y ordenada 0). En el subconjunto [0, ∞) la regla para f es 𝑓(𝑥) = √𝑥. Los

valores de f(x) correspondientes a x = 0, 1, 2, 3, 4, 9 y 16 se muestran en la tabla

siguiente.La gráfica resultante se muestra a la derecha.

x 0 1 2 3 4 9 16

f(x) 0 1 √2 √3 2 3 4


EJEMPLO DE APLICACIÓN 8: Depósitos bancarios Madison Finance Company planea abrir dos sucursales

dentro de dos años en dos zonas distintas: un complejo industrial y un centro comercial recién desarrollado en la

ciudad. Como resultado de estos planes de expansión, se espera que los depósitos totales de Madison durante los

siguientes cinco años se incrementen con base en la regla siguiente:

Donde y = f(x) da la suma total de dinero (en millones de dólares) depositados en Madison en el año x (x = 0

corresponde al presente). Trace la gráfica de la función.

Solución. La función f está definida por partes en el intervalo [0,5] en el subconjunto [0,2], la regla para f es f(x)

= √2𝑥 + 20. Los valores de f(x) correspondientes a x = 0, 1 y 2 se tabulan como sigue:

x 0 1 2

f(x) 20 21,4 22

A continuación, en el subconjunto (2,5], la regla para f es f(x) = 1/2x2+20. Los valores de f(x) correspondientes a

x = 3, 4 y 5 se muestran en la tabla siguiente:

x 3 4 5

f(x) 24,5 28 32,5

Con los valores de f(x) que aparecen en esta tabla, trazamos la gráfica de la función f como se muestra a

continuación.


Prueba de la línea vertical

Si bien es cierto que toda la función f de una variable x tiene una gráfica en el plano xy, no es cierto que toda

curva en el plano xy es la gráfica de una función. Por ejemplo,

considerela curva mostrada en la figura de la izquierda. Es la gráfica de

la ecuación y2 = x. en general, la gráfica de una ecuación es el conjunto

de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación dada.

Observe que los puntos (9, -3) y (9, 3) están situados en la curva. Esto

implica que el número 9 está asociado con dos números: y = -3 y y = 3.

Pero esto claramente viola la propiedad de unicidad de una función. Por tanto, concluimos que la curva considerada

no puede ser la gráfica de una función.

Este ejemplo sugiere la siguiente prueba de la línea vertical para determinar si una curva es la gráfica de una

función.

EJEMPLO 9 Determine cuáles de las curvas mostradas en la siguiente figura son gráficas de funciones de x.

Solución. Las curvas ilustradas en la siguiente figura (a, b, c y d) son gráficas de funciones, porque cada curva

satisface el requerimiento de que cada línea vertical la corte en máximo un punto. Observe que la línea vertical

mostrada en la figura c no corta la gráfica, porque el punto sobre el eje x a través del cual pasa esta línea no está en

el dominio de la función. La curva ilustrada en la figura b no es gráfica de una función porque la línea vertical

mostrada allí corta la gráfica en tres puntos.

Prueba de la línea vertical

Una curva en el plano xy es la gráfica de una función y = f(x) si y sólo si cada línea

vertical la corta en máximo un punto.


(b)


MODELOS DE GRAFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones Potenciales

Funciones Logarítmicas y = loga x

Funciones Exponenciales y = ax



1. Sea f una función definida por: 𝑓(𝑥) =√𝑥+1

𝑥

a. Determine el dominio de f

b. Calcule f(3)

2. Determine si el punto (4, 6) pertenece a la gráfica de 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐

Soluciones de los ejercicios de autoevaluación

1.

a. La expresión bajo el radical debe ser no negativa, así x+1 ≥ 0 o x ≥ -1. También x ≠ 0 porque no se permite

dividir entre cero. Por lo tanto, el dominio de f es [-1, 0) U (0, ∞).

b. f(3) = 2/3

c. Un punto (x, y) se encuentra en la gráfica de la función f si y sólo si las coordenadas satisfacen la ecuación y

= f(x).

Ahora, f(4) = 5 ≠ 9. Y se concluye que el punto dado no se encuentra en la gráfica de f.


1. ¿Cuáles de las siguientes gráficas pueden representar funciones? Explique.

2. ¿Cuáles son el dominio y el conjunto imagen de la función f cuya gráfica es la siguiente?


Actividades

1. Sea g la función definida por g(x) = 3x2-6x-3. Determine g(0), g(-1), g(a), g(-a) y g(x+1).

2. Sea f la función definida por f(x) = 2x+5. Determine f(a+h), f(-a), f(a2), f(a-2h) y f(2a-h).

3. Sea s la función definida por s(t) =2𝑡

𝑡2−1.

Determine s(4), s(0), s(a), s(2+a) y s(t+1).

4. Sea f la función definida por: f(x) = {𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

√𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 Determine f(-2), f(0) y f(1).

5. Sea f la función definida por: f(x)={−1

2 𝑥2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

2𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 Determine f(-1), f(0), f(1)y f(2).

6. Recurra a la gráfica de la función f en la siguiente figura.

a. Determine el valor de f(0).

b. Determine el valor de x con el cual (i) f(x) = 3 y (ii) f(x) = 0.

c. Determine el dominio de f.

d. Determine el rango de f.

7. Determine si el punto (-2, -3)está situado en la gráfica de la función f(t) = |𝑡−1|

𝑡+1

8. Determine el valor de c, de modo que el punto P(a, b) quede en la gráfica de la función f(x) = 2x2-4x+c;

siendo P (1,5)

En los ejercicios siguientes determine el dominio de la función.

9. f(x) =3𝑥+1

𝑥2

10. f(x) = √𝑥2 + 1

11. f(x) =√5 − 𝑥

12. f(x) = 𝑥

𝑥2−1

13. f(x) =√1−𝑥

𝑥2−4

En los ejercicios siguientes trace la gráfica de la función con la regla dada. Determine el dominio y el conjunto

imagen de la función.

14. f(x) = √1 − 𝑥


15. f(x) = │x│-1

16. f(x) ={𝑥𝑠𝑖𝑥 < 0

2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥 ≥ 0

17. f(x) ={x + 1 si x ≤ 1

𝑥2 − 1 si x > 1

En los ejercicios 18-21 utilice la prueba de la línea vertical para determinar si las siguientes gráficas pueden

representar funciones.

18.

19.

20.

21.

22. EFICIENCIA DE LOS TRABAJADORES. En un estudio elaborado por Elektra Electronics se encontró

que el número promedio de radiocomunicadores “Space Commander” ensamblados por un trabajador t horas

después de haber empezado a trabajar a las 8 a.m. se encuentra con:

N(t) = -t3+6t2+15t (0≤ t ≤4)

¿Cuántos radiocomunicadores se espera que puedan ensamblar un trabajador promedio entre las 8 y 9 a.m.?

¿Y entre 9 y 10 a.m.?

23. GASTO EN TECNOLOGÍA DE INFORMACIÓN (TI) PARA EL CUIDADO DE LA SALUD EN

ESTADOS UNIDOS. A medida que se incrementa el costo del cuidado de la salud, los usuarios de este

servicio están optando por la tecnología y los servicios de outsourcing para mantener a raya los gastos. Se

proyecta que la cantidad de TI para el cuidado de la salud que gasta cada usuario será:

S(t) = -0.03t3+0.2t2+0.23t+5.6 (0≤ t ≤4)


Donde S(t) se mide en miles de millones de dólares y t se mide en años, con t = 0 que corresponde a 2004

¿Cuál fue la cantidad que gastaron los usuarios en TI para el cuidado de la salud en 2004? Suponiendo que la

proyección sea verdadera ¿Qué cantidad gastaron los usuarios en 2008?

24. INVERSIONES EN FONDOS DE COBERTURA. Las inversiones en fondos de cobertura se han

incrementado junto con su popularidad. Los activos en fondos de cobertura (en billones de dólares) de 2002

a 2007 se modelan con la función:

𝒇(𝒕) = {𝟎. 𝟔 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒕 < 1

𝟎. 𝟔 𝒕𝟎,𝟒𝟑 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟓

Donde t se mide en años, con t = 0 que corresponde al principio de 2002.

a. ¿A cuánto ascendieron los activos en fondos de cobertura al principio de 2003?

b. ¿A cuánto ascendieron los activos en fondos de cobertura al principio de 2005? ¿Al principio de 2007?

Respuestas

1. -3, 6, 3a2-6a-3, 3a2+6a-3, 3x2-6.

2. 2a+ 2h+5, -2a+5, 2a2+5, 2a-4h+5, 4a-2h+5.

3. 8/5, 0, 2𝑎

𝑎2−1 ,

2(2+𝑎)

𝑎2+4𝑎+3 ,

2(𝑡+1)

t(t+2)

4. 5, 1, 1.

5. 5/2, 3, 3, 9.

6. a. -2, b. (i) x = 2, (ii) x = 1, c. [0, 6], d. [-2, 6].

7. Sí.

8. 7.

9. (-∞, 0) (0, ∞).

10. (-∞,∞).

11. (-∞,5).

12. (-∞,-1) (-1, 1) U (1, ∞).

13. (-∞, -2) (-2, 1).

14. Df= (-∞,1] If: [1, +∞)

15. Df=RIf: [-1, +∞)

16. Df=RIf: (-∞, 0)[1, +∞)

17. Df=RIf: (0, +∞)

18. Sí.

19. No.

20. Sí.

21. SÍ.

22. $5600 millones; $7800 millones.

23. a. $0.6 billones; $0.6 billones, b. $0.96 billones; $1.2 billones.


TRASLACIONES Y REFLEXIONES

Hasta ahora nuestro enfoque para graficar se ha basado en la graficación de puntos y en el uso de cualquier simetría

que exista. Pero esta técnica no es necesariamente la preferida. Más adelante analizaremos gráficas utilizando otras

técnicas. Sin embargo, como algunas funciones y sus gráficas asociadas aparecen con mucha frecuencia, para

propósitos ilustrativos, encontramos útil memorizarlas. A continuación se muestran seis de tales funciones.

A veces, al modificar una función mediante una manipulación algebraica, la gráfica de la nueva función puede

obtenerse a partir de la gráfica de la función original realzando una manipulación geométrica. Por ejemplo, podemos

utilizar la gráfica de f(x) = x2 para graficar y = x2+2. Observe que y = f(x)+2. Por tanto, para cada x, la ordenada

correspondiente para la gráfica de y = x2+2, 2 unidades mayor que la ordenada para la gráfica de f(x) = x2. Esto

significa que la gráfica y = x2+2 es la gráfica de f(x) = x2 desplazada o trasladada, 2 unidades hacia arriba como se

muestra en la figura siguiente. Decimos que la gráfica de y = x2+2 es una transformación de f(x) = x2. La tabla 3.2

presenta una lista de los tipos básicos de trasformaciones.


EJEMPLO 1 Traslación horizontal

Hacer el bosquejo de la gráfica de y = (x-1)3.

Solución. Observamos que (x-1)3 es x3 con x reemplazada por x-1. Por tanto, si f(x) = x3, entonces y = (x-1)3 = f

(x-1), que tiene la forma f (x-c), donde c = 1. De la tabla 3.2, la gráfica de y = (x-1)3 es la gráfica de f(x) = x3

desplazada una unidad a la derecha


Resumen de Transformaciones, c > 0.

Actividades

En los problemas siguientes utilice las gráficas de las funciones de la figura 3.36 y las técnicas de transformación,

para graficar las funciones dadas.

1. y = x2 – 2

2. y = │x + 1│– 2

3. y = 1 – (x – 2)2

4. y=√−𝑥

En los ejercicios siguientes describa qué debe hacerse a la gráfica de y = f(x) para obtener la gráfica de la

ecuación dada.

5. y = f (x – 4) + 3

6. y = f (- x) – 5

Respuestas:

1.

Reflejar con respecto al eje x.

Reflejar con respecto al eje y.

7. y = cf (x ), c > 1Alargar verticalmente alejándose del eje x por un

factor de c.

8. y = cf (x ), c < 1Contraer verticalmente hacia el eje x por un

factor de c.

4. y = f (x + c)

5. y = - f (x )

6. y = f (-x )

Desplazar c unidades hacia arriba.

Desplazar c unidades hacia abajo.

Desplazar c unidades hacia la derecha.

Desplazar c unidades hacia la izquierda.

EcuaciónCómo transformar la gráfica de y = f(x ) para

obtener la gráfica de la ecuación

1. y = f (x ) + c

2. y = f (x ) - c

3. y = f (x - c)


2.

3.

4.

5. Trasladar 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia la arriba

6. Reflejar con respecto al eje y y trasladar 5 unidades hacia abajo


ALGEBRA DE FUNCIONES

Suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Sean S(t) y R(t), respectivamente, los gastos e ingresos del gobierno federal en cualquier momento t, medidos

en miles de millones de dólares. Las gráficas de estas funciones durante el periodo entre 1990 y 2000 se

muestran en la siguiente figura.

La diferencia R(t) – S(t) da el déficit (superávit) en miles de millones de dólares en cualquier momento t si

R(t) – S(t) es negativa (positiva). Esta observación sugiere que podemos definir la función D cuyo valor en

cualquier momento este dado por R(t) – S(t). La función D, la diferencia de las dos funciones R y S describe

D = R – S puede llamarse “función déficit (superávit)” puesto que da el déficit o el superávit del presupuesto

en cualquier momento t. Tiene el mismo dominio que las funciones S y R. La gráfica de la función D se muestra

a continuación.


La mayoría de las funciones se forma a partir de otras funciones, por lo general más simples. Por ejemplo,

podemos ver la función f(x) = 2 x + 4 como la suma de las dos funciones xxg 2)( y 4)( xh . La función

xxg 2)( puede a su vez ser vista como producto de las funciones 2)( xp y xxq )( .

En general, dadas las funciones f y g, definimos la suma f+g, la diferencia f-g, el producto f.g y el cociente

f/g de f y g como sigue:

Suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Sean f y g funciones con dominios A y B, respectivamente. Entonces la suma f+g, la diferencia f-g y el

producto f.g de f y g son funciones con dominios *BA y la regla dada por

(f+g)(x) = f(x) + g(x) Suma

(f-g)(x) = f(x) - g(x) Diferencia

(f.g)(x) = f(x) . g(x) Producto

El cociente f/g de f y g tiene dominio BA excluidos todos los elementos x de modo que 0)( xg y regla

dada por

xg

xfx

g

f

* BA se lee “A intersección B” y denota el conjunto de todos los puntos comunes a A y B.

EJEMPLO 1: Sean 1)( xxf y 12)( xxg . Determine la suma s, la diferencia d, el producto p y el

cociente q de las funciones f y g.

Solución: Como el dominio de f es ,1A y el dominio de g es ,B , el dominio de s, d y p es

,1BA . Las reglas son las siguientes.

1212)( xxxgxfxgfxs

12121212)( xxxxxgxfxgfxd

11212.1..)( xxxxxgxfxgfxp

La regla de la función cociente es

12

1

x

x

xg

xfx

g

fxq

Su dominio es ,1 junto con la restricción 2/1x . Esto se denota como ,2/12/1,1 .


La formulación matemática es de un problema que surge de una situación práctica a menudo conduce a una

expresión que implica la combinación de funciones. Considere, por ejemplo, los costos de operación de un

negocio. Los costos que permanecen más o menos constantes independientemente del nivel de actividad de la

empresa se llaman costos fijos. Ejemplos de costos fijos son las rentas y los sueldos de los ejecutivos. Por otra

parte, los costos que varían con la producción o las ventas se llaman costos variables. Ejemplos de costos

variables son los salarios y los costos de materia prima. El costo total de operación de un negocio es, por tanto,

la suma de los costos variables y los costos fijos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2: Funciones costos Suponga que Puritron, un fabricante de filtros de agua,

tiene un costo fijo mensual de $10.000 y en un costo variable de : -0.0001x2+10x 0 40000x

dólares, donde x denota el número de filtros fabricados por mes. Encuentre una función C que dé el costo

mensual total que tiene Puritron en la fabricación de x filtros.

Solución: El costo fijo mensual de Puritron es siempre de $10000, independientemente del nivel de

producción y la función constante 10000FC x lo describe. A continuación, la función

20.0001 10VC x x x describe el costo variable. Como el costo total que tiene Puritron a cualquier nivel de

producción es la suma del costo variable y el costo fijo, la función de costo total requerida es

2( ) ( ) ( ) 0.0001 10 10000V FC x C x C x x x 0 40000x

A continuación, la utilidad total obtenida por una empresa que opera un negocio es la diferencia entre el

ingreso total y el costo total; es decir: ( ) ( ) ( )TU x I x C x

EJEMPLO DE APLICACIÓN 3: Funciones de utilidad. Remítase al ejemplo 2. Suponga que el ingreso

total obtenido por Puritron con la venta de x filtros de agua está dado por la función de ingreso total

2( ) 0.0005 20I x x x 0 40000x

a. Determine la función de utilidad total, es decir, la función que describe la utilidad total que Puritron realiza

al fabricar y vender x filtros de agua por mes.

b. ¿Cuál es la utilidad cuando el nivel de producción es de 10000 filtros por mes?

Solución:

a. La utilidad total obtenida por Puritron al fabricar y vender x filtros de agua por mes es la diferencia entre el

ingreso total obtenido y el costo total. Por tanto, la función de utilidad total requerida es 2 2 2( ) ( ) ( ) ( 0.0005 20 ) ( 0.0001 10 10000) 0.0004 10 10000TU x I x C x x x x x x x

b. La utilidad obtenida por Puritron cuando el nivel de producción es de 10000 filtros por mes es de 2(10000) 0.0004(10000) 10(10000) 10000 50000U

$50000 por mes.


Composición de funciones

Otra manera de formar una función a partir de otras funciones es por medio de un proceso conocido como

composición de funciones. Considere, por ejemplo, la función h, cuya regla está dada por 1)( 2 xxh . Sean f y g

funciones definidas por las reglas 1)( 2 xxf y xxg )( . Al evaluar la función g en el punto f(x), recuerde que

por cada número real x en el dominio de f, f(x) es simplemente un número real.

1)())(( 2 xxfxfg ¡La cual es justo la regla que define la función h!

En general, la composición de una función g con una función f se define como sigue:

La función fg (leída “f composición g”) también se llama función compuesta. La interpretación gráfica de la

función fgh se muestra en la figura

EJEMPLO 4: Sean 1)( 2 xxf y 1)( xxg . Determine:

a. La regla para la función compuesta fg .

Composición de dos funciones

Sean f y g funciones tales que el conjunto imagen de f está incluido en el dominio de g,

Entonces la composición de g y f es la función fg definida por

))(())(( xfgxfg

El dominio de fg es el conjunto de todas las x en el dominio de f de modo que f(x)

quede en el dominio de g.


b. La regla para la función compuesta gf .

Solución:

a. La función compuesta fg se puede definir pues el conjunto imagen de f, está incluido en el dominio

de g, comprobarlo. Luego obtenemos

111)())(())(( 2 xxfxfgxfg

b. La función compuesta gf se puede definir pues el conjunto imagen de g, está incluido en el dominio

de f, comprobarlo evalúe la función f con g(x). Por tanto,

xxxxxxgxgfxgf 21121)1(1))(())(())(( 22

El ejemplo 4 nos recuerda que en general fg es diferente de gf , por lo que se debe tener cuidado

cuando se determine la regla para la función compuesta.

Explore y analice

Sea 1)( xxf con 0x y sea 2)1()( xxg con 1x

a. Demuestre que ))(( xfg y xxgf ))(( . (Nota: se dice que la función g es la inversa de f y viceversa.)

b. Trace las gráficas de f y g juntas con la línea y=x. Describa la relación entre las gráficas f y g.

Este análisis es solo un anticipo, el tema de función inversa será tratado en el bloque 3.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 5: Contaminación automotriz

Un estudio de impacto ambiental realizado para la ciudad de Oxnard indica que, conforme a las reglas de

protección ambiental, el nivel de monóxido de carbono (CO) presente en el aire debido a la contaminación producida

por los escapes de los automóviles será de 3

2

01,0 x partes por millón cuando el número de vehículos de motor es de

x miles. Un estudio aparte finalizado por una agencia de gobierno estatal estima dentro de t años el número de

vehículos de motor de Oxnard será de 6442,0 2 tt miles.

a. Determina una expresión para la concentración de CO en el aire debido a los escapes de los automóviles

dentro de t años.

b. ¿Cuál será el nivel de concentración dentro de los 5 años?


Solución:

a. El nivel de CO presente en el aire debido a la contaminación producida por los escapes de automóviles

está descrito por la función 2

3( ) 0.01g x x donde x es el número en miles de vehículos de motor. Pero el

número de vehículos de motor x en miles dentro de t años puede ser estimado por la regla

2( ) 0.2 4 64f t t t . Por consiguiente, la concentración de CO debido a los escapes de los automóviles

dentro de los t años es

2

2 3( ) ( )( ) ( ( )) 0.01(0.2 4 64)C t g f t g f t t t partes por millón.

b. El nivel de concentración dentro de 5 años será:

2 2

2 3 3(5) 0.01(0.2(5) 4(5) 64) (0.01)89 0.20C partes por millón.


1) Sean f y g las funciones definidas por las reglas 1)( xxf y x

xxg

1)( respectivamente.

Determine las reglas para:

a. La suma s, la diferencia d, el producto p y el cociente q de f y g.

b. La función compuesta gf y fg .

2) El gasto en asistencia médica por persona realizado por el sector privado incluye pagos de individuos,

corporaciones y sus compañías de seguros es aproximadamente

50947,1848,2)( 2 tttf Con 60 t

Donde f (t) está en dólares y t en años, con t=0 correspondiente al inicio de 1994. El gasto del

gobierno correspondiente, incluidos gastos de Medicaid, Medicare y otra asistencia médica pública

federal, estatal y local es

2( ) 1.12 29.09 429g t t t Con 60 t

Donde el significado de t es el mismo de antes.

a. Encuentre la función que dé la diferencia entre el gasto en asistencia médica realizado por el

gobierno y el sector privado por persona en cualquier momento t.

b. ¿Cuál es la diferencia entre los gastos de gobierno y el sector privado por persona a principios de

1995? ¿a principios de 2000?

Fuente: Health Care Financind Administration


Soluciones

1) a. x

xxxgxfxs

11)()()(

x

xxxgxfxd

11)()()(

x

xx

x

xxxgxfxp

1

)1(

1).1()().()(

x

xx

x

x

x

xg

xfxq

)1)(1(

1

1

)(

)()(

b.

11

))(())((

x

xxgfxgf

2

1

)1(1

1))(())((

x

x

x

xxfgxfg

2) a. La diferencia entre los gastos de atención médica por persona realizados por el sector

privado y el gobierno, en cualquier momento t, está dada por la función d con la regla:

8062,106,3)42909,2912,1()50947,1848,2()()()( 222 tttttttgtftd

b. La diferencia entre los gastos de atención médica por persona realizados por el sector

privado y el gobierno a principios de 1995 está dada por:

98,7280)1(62,10)1(6,3)1( 2 d es decir, $72,98 por persona.

La diferencia entre los gastos realizados por el sector privado y el gobierno por persona a principios de

2000 está dada por:

88,14580)6(62,10)6(6,3)6( 2 d es decir, $145,88 por persona

Actividades

1. Sean 5)( 3 xxf y 2)( 2 xxg . Encuentra la regla para cada función

a) f +g b) f.g c) f/g

2. Sean: 1)( xxf 1)( xxg 12)( 3 xxh . Hallar f+g y g/h


3. Encuentre las funciones f+g, f-g, fg y f/g.

a) 5)( 2 xxf y 2)( xxg

b) 3)( xxf y 1

1)(

xxg

c) 1

1)(

x

xxf y

2

2)(

x

xxg

4. Encuentre las reglas para las funciones compuestas gf y fg .

a) 1)( 2 xxxf y 2)( xxg

b) 1)( xxf y 1)( 2 xxg

5. Evalúe h(2) donde h= fg

a) 1)( 2 xxxf y 2)( xxg

b) 12

1)(

xxf y xxg )(

6. Encuentre las funciones f y g de modo que h= fg (la respuesta no es única)

a) 1

1)(

2

xxh b)

2

3

2 )23(

1)(

x

xh

7. Costo de fabricación: TMI, un fabricante de cintas de audio vírgenes, tiene un costo mensual fijo de

$12100 y un costo variable de $60/ cinta. Encuentre la función C que dé el costo total incurrido por TMI en

la fabricación de x cintas/mes.

8. Utilidad por venta PDA. Supóngase que el ingreso total obtenido por Apolo por la venta de x PDA

está dado por la función de ingreso total 2( ) 0.1 500I x x x para 50000 x donde I(x) está en dólares.

a. Encuentre la función de utilidad total.

b. ¿Cuál es la utilidad cuando se fabrican y venden 1500 unidades cada mes?

9. Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué lo es. Si es falso,

dé un ejemplo para demostrar por qué lo es.

a. Si f y g son funciones con dominio D, entonces f+g=g+f.

b. Si f y g son funciones entonces gf = fg .

10. Valor de una inversión: el número de acciones de IBM que Nancy posee es f (t). el precio por acción

de IBM en el momento t es g (t) dólares ¿que representa la función f(t).g(t)?


Respuestas

1) a) 3)()( 23 xxxgxf

b) 1052)()( 235 xxxxgxf

c) 2

5

)(

)(2

3

x

x

xg

xf

2) a) 11)()( xxxgxf

b) 12

1

)(

)(3

x

x

xh

xf

3) a) 3)()( 2 xxxgxf ; 7)()( 2 xxxgxf ;

)2)(5()().( 2 xxxgxf ; 2

5

)(

)( 2

x

x

xg

xf

b)1

13)(1()()(

x

xxxgxf ;

( 1)( 3) 1( ) ( )

1

x xf x g x

x

3( ). ( )

1

xf x g x

x

; 3)1(

)(

)( xx

xg

xf

4) a. 1))(( 24 xxxgf ; 22 )1())(( xxxfg

b. 11))(( 2 xxgf ; ( ( )) 2g f x x x

5)

a. 49

b. 5/5

6) a. 1)( 2 xxf y 1

( )g xx

b. 23)( 2 xxf32

1( )g x

x

7) 100,126,0)( xxC

8) a. 3 2( ) 0.000003 0.07 300 100000P x x x x b.$182375

9) a. verdadero.

b.falso, El valor en dólares de las acciones de IBM que tiene Nancy en el tiempo t.


BLOQUE 3

Funciones

Racionales

Costo Medio


COSTO MEDIO y FUNCION RACIONAL

La función racional, que trabajaremos en esta sección, pueden emplearse para representar modelos de Oferta –

Demanda, Costo – Ingreso como los ya analizados o bien de Costo Medio.

COSTO MEDIO

Para una producción cualquiera, la razón entre el Costo Total (CT) y la producción (x) correspondiente define el

llamado Costo Medio o Costo por Unidad de Producción.

CM = CT / x

Ejemplo: Si la ecuación de Costo Total para un determinado producto es:

C.T: y = 3x + 10 donde x es la cantidad producida

Entonces el Costo Medio (C.M) es:

C.M: y = xx

x 103

103

y su gráfica es:

Este modelo no dice que a medida que la producción aumenta el costo por unidad tiende a 3 (costo unitario), si

la cantidad producida tiende a cero, entonces el costo por unidad es cada vez más elevado.

En términos matemáticos la expresión y = x

x 103 representa un cociente entre dos polinomios: 3x+10 y x.

Llamaremos Función Racional a toda función de ecuación:

y = f(x) = )(

)(

xQ

xP donde Q(x) 0

P(x) y Q(x) son polinomios de variable x real y coeficientes reales

Funciones Racionales y Asíntotas

El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es cero.

Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la gráfica cerca de esos valores. Se

comienza por graficar una función racional muy simple.


Ejemplo 1 Una función racional simplex

xf1

)(

La función fno está definida para 0x .En las tablas siguientes se muestra que cuando x es cercana a cero, el valor de

)(xf es grande, y mientras x se aproxime más a cero )(xf se vuelve más grande.

x f(x) x f(x)

-0.1 -10 0.1 10

-0.01 -100 0.01 100

-0.00001 -100 000 0.00001 100 000

Tiende a 0 Tiende a Tiende a

0 Tiende a

Este comportamiento se describe en palabras y símbolos como sigue. En la primera tabla se muestra que cuando x tiende a

0 por la izquierda, los valores de )(xfy disminuyen sin límite. En símbolos,

)(xf cuando 0x “y tiende a menos infinito cuando x tiende a 0 por la izquierda”

En la segunda tabla se muestra que cuando x tiende a 0 por la derecha, los valores de )(xf se incrementan sin límites. En

símbolos, )(xf cuando 0x “y tiende a infinito cuando x tiende a 0 por la derecha”

En las dos tablas siguientes se muestra como cambia )(xf cuando x se vuelve grande.

x f(x) x f(x)

-10 -0.1 10 0.1

-100 -0.01 100 0.01

-100 000 -0.00001 100 000 0.00001

Tiende a - Tiene a 0 Tiende a Tiende a 0

En estas tablas se muestra que cuando x se vuelve grande, el valor de )(xf se aproxima cada vez más a cero. Se escribe

esta situación en símbolos: )(xf 0 cuando x y )(xf 0 cuando x .

Usando la información de estas tablas y graficando algunos puntos más, se obtiene gráfica:

x f(x)=1/x

-2 -1/2

-1 -1

-1/2 -2

1/2 2

1 1

2 1/2


En el ejemplo se usó la siguiente notación de flechas.

Símbolo Significa

ax xtiende a a por la izquierda

ax xtiende a a por la derecha

x x tiende a menos infinito, x disminuye sin cota

x x tiende a infinito, x se incrementa sin cota

La recta x=0 se llama asíntota vertical de la gráfica de la función, y la recta y=0 es una asíntota horizontal. En términos

informales, una asíntota de la gráfica de una función es una línea a la que la gráfica de la función se aproxima cada vez más

cuando se va a lo largo de esta línea.

Definición de Asíntotas verticales y horizontales

1. La recta x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a±∞ cuando x tiende a a por la derecha o la

izquierda.

2. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si se aproxima a b cuando x se aproxima a ±∞.


Resumen de función racional

:a

Caso A y kx h

:ax b

Caso B ycx d


Actividades

1- Graficar cada conjunto de curvas en el mismo sistema de coordenadas cartesianas.

a) y = x

1 , y =

x

2 b) y =

x

1 , y =

2

1

x

c) y = x

1 , y =

x

1 d) y =

x

3 , y = 3

3

x

2- Para cada una de las siguientes funciones realizar su gráfica e indicar Dominio, Rango, Asíntotas y Puntos

de Intersección con los ejes coordenados.

a) y = 21

x b) y = 2

4

1

x

c) y=

2

1

1

x

d) y = 22

1

x

3- Para cada uno de los siguientes casos, determinar el valor del parámetro “a” que cumpla las siguientes

condiciones:

a) La curva de ecuación: (x-1)(y+a) = 1 tenga por asíntotas a las rectas x = 1 , y = -3

b) La gráfica de y = ax

1 se obtenga al desplazar la curva de ecuación y =

x

1

1 unidad hacia abajo

c) La curva de ecuación: (x+4)y = a pase por el punto (-1, 3)

4- Hallar la ecuación de la función de ley: (x-H)(y-K) = 1 sabiendo que su dominio es R –{6} y que corta

al eje de ordenadas en y = 2.

5- Obtener la ecuación de la hipérbola cuya gráfica es:


6-Un constructor que se dedica a refaccionar casas tiene costos fijos de $500 000 mensuales, siendo los demás

gastos de $30000 por cada refacción. Con la información dada:

a) Determina el modelo de costo total.

b) Determina la función de costo medio mensual si se refaccionan x casas por mes.

c) Grafica la función de costo medio.

7- El costo de fabricación de un determinado producto disminuye según la cantidad de unidades producidas (x). El

modelo que representa esta situación es: C(x) = 25

1+𝑥+ 50

a) Calcula el costo fijo de producción

b) Grafica la función y describe su comportamiento.

8- Dados los siguientes modelos de oferta y demanda de un determinado producto:

i) {𝑦 =

15

𝑥

𝑦 = 𝑥 + 2 ii) {

𝑦 =24

𝑥+4− 2

𝑦 = 1 +𝑥

2

a) Identifica la function de oferta y la de demanda

b) Determina el punto de equilibrio del mercado

c) Grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas

9- El modelo (x-24)(y-36) =240 representa las diferentes combinaciones de producción de dos productos en la que

se utilizan los mismo recursos. Si las variables x e y representan las posibles cantidades que se pueden fabricar

de dichos productos.

a) Calcula las cantidades máximas que se pueden fabricar de uno y otro producto.

b) Si se necesita fabricar las mismas cantidades de cada uno. Determina dichas cantidades.


Respuestas

1 a)

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

y =1/x

y=2/x

1 b)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y =1/x

2

1

xy

1 c)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y =1/x

xy

1

1 d)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

y =1/x

33

xy

2)

a)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

21

xy


b)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

4

72

x

xy

c)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

2

1

1

x

y

d)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

22

1

xy


3- a) a = 3 b) a = -1 c) a = 9

4- (x-6)(y-13/6)=1

5- (y-2)(x-3) = 3

6- a) C(x)= 30000x+500000 b) CM(x) = C(x) /x

7- A) CF= 75 U.M B) A medida que la cantidad fabricada aumenta el costo medio disminuye y se aproxima

a 50 u.m

8- Punto de equilibrio (3;5) ii) Punto de equilibrio (2;2)

9- a) Xmax = 17.3 u Ymax= 26 u

b) Aproximadamente 13.39 unidades.


Función racional. Actividades complementarias

La siguiente actividad permite realizar un repaso de la función racional

I) Completar la siguiente tabla

función Dominio Conjunto

imagen

Asíntota

vertical

Asíntota

horizontal

Ceros Intersección

ejey

a)y=x

1

b)y= 2x

1

c)y=x

1+1

d)y= 2x

1x

e)y= 2x

1x2

f)y= x3

1x

g)y= 2x2

1x4

h)y= 2x2

x6

i) y= 32x

1

Graficar las funciones utilizando los datos anteriores

II) Ejercicios de múltiple opción

1) La función f(x) = 21x

1

tiene asíntota horizontal

a) y= 0 b) y = 2 c) y= 1 d) y= -1 e) x= 2 f) NA



x1


a) y= 0 b) y= 1 c) y= -1 d) x= -1 e) NA


4x

tiene dominio

a) b) -{-4} c) -{-3} d) -{3} e) -{4} f) NA


4x

tiene como conjunto imagen

a) b) -{-4} c) -{-3} d) -{1} e) -{4} f) NA


2


a) y= 0 b) y= 1 c) y= -1 d) x= -1 e) NA

III) En cada uno de los siguientes ejercicios realiza la correspondencia de la gráfica y con la expresión analítica de la

función

a)5x

2xy

b)

1x

3xy

c)

3x

1x2y

d)

1x3

2x2y

1) 2)


3) 4)

5) 6)


BLOQUE 4

MODELOS DE CAPITALIZACIÓN

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCIÓN INVERSA

FUNCIÓN LOGARITMO


FUNCIÓN INVERSA

Función Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Problema: “Cotización de moneda”

Una empresa cuenta con un presupuesto de 8800$ para comprar euros y dólares. La cotización, en pesos, de cada

moneda al día 22 de febrero de 2014 se muestra en la siguiente tabla extraída de Fuente de información:

http://www.cotizacion-dolar.com.ar/

Cotizacion Compra Venta

Dolar 8.00 8.40

Euro 11.00 11.45

Si se expresa con las variable x e y la cantidad de dólares y euros, respectivamente, que se pueden comprar con los

$ 8800. El modelo que permite calcular la cantidad de euros en función de la cantidad de dólares que se pueden

adquirir con dicho presupuesto es:

8x + 11 y = 8 800

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 800 −8

11 𝑥

Con la información aportada:

1- Completa la tabla.

2- ¿Qué representan los valores hallados en la tabla?

3- Elabora la gráfica de la función f

x f(x)

0

440

1100


100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

x

y

4- Indica su dominio y conjunto imagen

5- Obtiene la función g que permite calcular la cantidad de dólares en función de la cantidad de euros.

6- Grafica la función g en el mismo sistema que a f. Compara ambas gráficas y extrae una conclusión

7- Indica el dominio y el conjunto imagen de g. Compáralos con los de f y extrae una conclusión.

Concepto de función inversa:

“Bajo determinadas condiciones”

Dadas dos funciones: f: AB y g: BA tal que para todo a A y para todo b B se cumple:

f(a) = b si y solo si g (b) =a

Entonces f y g son funciones inversas.

En símbolos g = f-1

Características de las funciones inversas:

El dominio de f es el conjunto imagen de f-1.

El conjunto imagen de f es el dominio de f-1.

La gráfica de f es simétrica de la gráfica de f-1 con respecto a la recta y = x.

Si el punto (a,b) pertenece a la gráfica de la función f entonces el punto (b,a) pertenece a la gráfica de la

función f-1.

8- Reflexiona: Dada una función f que relaciona cada elemento x de su dominio con cada y. ¿Siempre es

posible hallar la función g que hace corresponder a cada y un único valor de x?

A fin contar con argumentos matemáticos que posibiliten precisar la respuesta a la pregunta nro.8, es necesario

conocer los siguientes conceptos.


CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES SEGÚN EL COMPORTAMIENTO DEL CONJUNTO DE

LLEGADA

Función Inyectiva

Una función f es inyectiva, univoca o uno a uno si, f(x) = f(y) x = y.

Graficamente una línea horizontal toca a una función inyectiva en un solo punto.

Ejemplo: La función f(x) = x2 definida de R en R no es una función inyectiva. Ya que para dos elementos

distintos del dominio le corresponde la misma imagen f(2) = 4 y también f(-2) = 4

¿La función del problema “Cotización de moneda” es inyectiva?

Función Sobreyectiva

Una función f , definida un conjunto A a otro B, es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de llegada es

imagen de algún elemento del dominio. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del

conjunto dominio. Es decir el conjunto de llegada es igual al conjunto imagen.

Ejemplo: la función f(x) = 2x definida de R en R es sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 definida de R en R no es una función sobreyectiva porque el conjunto imagen es

R0+ distinto del conjunto de llegada.

¿La función del problema “Cotización de moneda” es sobreyectiva?

Función Biyectiva

Una función f , definida del conjunto A al B, es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

¿La función del problema “Cotización de moneda” es biyectiva?


Ejemplo: La función f(x) = x2 definida del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva

y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva

Los siguientes gráficos muestras distintas situaciones

Condición necesaria y suficiente para que una función admita inversa

Una función admite función inversa si y sólo si es biyectiva

¿Cómo obtener la expresión analítica de f-1 partir de la de f?

Analicemos las siguientes situaciones:

Situación 1: Sea la función f : 𝑅 → 𝑅 / f(x) = 2x+1 biyectiva

Para hallar la ecuación de f-1 el procedimiento consta de dos etapas:

1) Expresar x en función de y

y=2x+1

y-1 = 2x

(y-1)/2=x

2) Intercambiar x y : (x-1)/2=y

Luego:

Gráficamente:


Se observa que:

Dom Imagen eje x eje y

R R (-1/2,0) (0,1)

R R (1,0) (0,-1/2)

Situación 2: f: 𝑅 → 𝑅 / f(x) = x2 no es una función biyectiva

Porque:

Se debe restringir el dominio para poder hallar la función inversa Ejemplo Dom F= 𝑅0+o Dom F=

𝑅0−

f: 𝑅0→+ 𝑅0

+ / f(x) = x2 es una función biyectiva xxf )(1

𝐷𝑓: 𝑅0+ 𝐼𝑓: 𝑅0

+ 𝐷𝑓−1: 𝑅0+ 𝐼𝑓−1: 𝑅0

+


f: 𝑅0→− 𝑅0

− / f(x) = x2 es una función biyectiva

𝐷𝑓: 𝑅0− 𝐼𝑓: 𝑅0

± 𝐷𝑓−1: 𝑅0± 𝐼𝑓−1: 𝑅0

−

xxf )(1

Más ejemplos:

Ejemplo 1:f: 𝑅 − {0} → 𝑅 − {0} / f(x) = 1

𝑥es una función biyectiva

𝐷𝑓: 𝑅 − {0} 𝐼𝑓: 𝑅 − {0}

𝐷𝑓−1: 𝑅 − {0}𝐼𝑓−1: 𝑅 − {0}

Ejemplo 2

f: 𝑅 − {1} → 𝑅 − {2} / f(x) = 2𝑥+31

𝑥−1es una función biyectiva

Df: 𝑅 − {1} If: 𝑅 − {2}


Dom Im eje x eje y AV AH

𝑅 − {1} 𝑅 − {2} (-3/2,0) (0,-3) X=1 Y=2

𝑅 − {2} 𝑅 − {1} (-3,0) (0,-3/2) X=2 Y=1

Ejemplo 3: Sea f: 𝑅 − {−1

2} → 𝑅 − {1} / f(x) =

2𝑥−1

2𝑥+1es una función biyectiva

Df: 𝑅 − {−1

2} If: 𝑅 − {1}

Df -1:𝑅 − {1} If -1: 𝑅 − {−1

2}


Ejemplo 4 f: 𝑅 → 𝑅 / f(x) = √𝑥 − 1

3es una función biyectiva

Df: 𝑅 If: 𝑅

Df -1: 𝑅 If -1: 𝑅


Función Inversa y Composición de funciones

Dos funciones y=f(x) y y=f -1(x) son funciones inversas si y sólo si la composición entre ambas es la función

identidad y=x:

f -1 [ f(x) ] = x

f [ f -1(x) ] = x

f -1 [ f(x) ] = f [ f -1(x) ] = x

Ejemplos

a)

𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑓 [1

2𝑥 −

1

2] = 2 (

1

2𝑥 −

1

2) + 1 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥 = 𝑖(𝑥)

𝑓−1[𝑓(𝑥)] = 𝑓−1(2𝑥 + 1) =1

2(2𝑥 + 1) −

1

2=x+

1

2−

1

2 = x = i(x)

b)

f -1(x) = 1+𝑥

2𝑥

c)


f -1(x) = 2−𝑥

2𝑥−1


Actividades

1-6 Se da la gráfica de una función f. Determine si f es

uno a uno o inyectiva.

7-9 Determine si la función es uno a uno

7. 42)( xxf

8. xxg )(

9. xxxh 2)( 2

10-11 Suponga que f es una función uno a uno

10- a. Si 7)2( f , encuentre )7(1f

b. Si 1)3(1 f , encuentre f(-1)

11-Si xxf 25)(

, encuentre )3(1f

12-15 Use la propiedad de la función inversa para mostrar

que f y g son inversas entre sí.

12 - 6)( xxf

y 6)( xxg

19-20 Se da un función f

a. Bosqueje la gráfica de f.

b. Use la gráfica de f para bosquejar la

gráfica de f-1.

c. Encuentre f-1.

19. 63)( xxf

20. 1)( xxf

21-22 La función dada no es uno a uno.

Restrinja su dominio de modo que la función

resultante sea uno a uno. Encuentre la inversa de

la función con el dominio restringido. (Hay más

de una repuesta correcta)

21. 24)( xxf

22. 3)( xxk

23-24 Use la gráfica de f para bosquejar la

gráfica de f-1.


13- 52)( xxf y 2

5)(

xxg

14- xxf

1)(

y xxg

1)(

15- 0,4)( 2 xxxf yg(x) = √𝑥 + 4 si x ≥-4

16-18 Encuentre la función inversa de f.

16. 74)( xxf

17. x

xxf

25

31)(

18. 0,4)( 2 xxxf

Aplicaciones 25. Cuota por servicio. Por sus servicios, un investigador

privado requiere una cuota de retención de $500 más $80 por

hora. Sea x el número de horas que el investigador para

trabajando en un caso. a. Halle una función f que modela la cuota del

investigador como una función de x.

b. Encuentre f-1. ¿Qué representa f-1?

Encuentre f-1(1220). ¿Qué representa?

26. Función de demanda. La cantidad vendida de un artículo

se llama demanda del artículo. La demanda D para cierto

artículo esuna función del precio dada por

1503)( ppD

a. Encuentre D-1. ¿Qué representa D-1?

b. Determine D-1(30). ¿Qué representa su respuesta?

23.

24

27. Escalas de temperatura. La relación entre

las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada

por

325

9)( CCF

1. Encuentre F-1. ¿Qué representa F-1?

2. Determine F-1(86). ¿Qué representa su

respuesta?

3. 30)86(1 F ; cuando la temperatura es

86° F, es de 30°C.

28. Tasa de cambio. El valor relativo de las

monedas circulantes fluctúa día con día. Cuando se

escribió este problema, un dólar canadiense valía

0.8159 dólares estadounidense.

a. Encuentre una función f que proporciona el

valor f(x) en dólares estadounidenses de x

dólares canadienses.

b. Encuentre f-1. ¿Qué representa f-1?

c. ¿Cuánto serían 12.250 dólares canadienses

en moneda estadounidense actual?


Respuestas

1. No 3. Sí 5. No 7. Sí 9. No 10. a) 2 b) 3 11. 1 16. )7(4

1)(1 xxf

1732

151

x

xf

21. xxfx 4)(,0 1

23.

25. a) xxf 80500)(

b) )500(80

1)(1 xxf , la cantidad de horas laboradas en función de la

tarifa.

c) 9; si él carga 1220 dólares, trabaja 9h.

27. a) )32(9

5)(1 xxF ; la temperatura Celsius cuando la temperatura

Fahrenheit es x.


FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones exponenciales y sus gráficas

Suponga que usted hace un depósito de $1000 en una cuenta ganando intereses a una tasa de 10% anual compuesto en forma

continua (la forma en que la mayoría de las instituciones financieras calcula los intereses). Entonces, el monto acumulado al

final de t años )200( t está descrito por la función f , cuya gráfica aparece en la figura 1.* Esta función se llama función

exponencial. Observe que la gráfica de la función )10.01(1000)( ttgy , obteniendo el monto acumulado para el mismo

capital ($1000) pero ganando un interés simple a una tasa de 10% anual. La moraleja de la historia: nunca es demasiado pronto

para ahorrar.

Como se verá a lo largo del capítulo, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en muchas aplicaciones del

mundo real.

Observe que siempre que b es un número positivo y n es cualquier número real, la expresión bnes un número real. Esto nos

permite definir una función exponencial de la siguiente manera:

La función definida por: xbxf )( )1,0( bb

Se llama función exponencial con base b y exponente x. El dominio de f es el conjunto de los números reales.

Por ejemplo, la función exponencial con base 2 es la función : xxf 2)(

Con dominio ),( . Los valores de f(x) para valores seleccionados de x son:

823 3 f 222.22

2

3 2/12/3

f

120 0 f

2

121 1 f

33/2

3/2

4

1

2

12

3

2

f

Los cálculos que involucran funciones exponenciales se facilitan por las leyes de los exponentes.

En una composición

continua, una suma de

dinero crece de manera

exponencial


Leyes de los exponentes

Sean a y b números positivos y sean x y y números reales. Entonces:

1. yxyx bbb . 4. xxx

baba ..

2. yx

y

x

bb

b 5. x

xx

b

a

b

a

3. yxyx bb .

El uso de las leyes de los exponentes se ilustra en los dos ejemplos siguientes:

EJEMPLO 1

a. 322161616.16 54/52/14/72/14/7 Ley 1

b. 64888

8 2)3/1(3/5

3/1

3/5

Ley 2

c. 16

1

4

1

64

1

64

1646464

223/13/2

3/2)2/1).(3/4(2/13/4 Ley 3

d. 6

1

3

1.

2

1

81

1.

16

181.1681.16

4/14/1

4/14/14/1

Ley 4

e. 3/42/4

2/44

3/1

2/1

2

9

2

3

2

3

Ley 5

EJEMPLO 2 Sea 122)( xxf . Encontrar el valor de x cuando 16)( xf

Solución Queremos resolver la ecuación 412 2162 x

Pero esta ecuación es válida sí y sólo sí

412 x nmbb nm . Dando 2

5x .

Las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el análisis matemático. Debido a sus características

especiales, son de las funciones más útiles y se encuentran en prácticamente todos los campos donde se aplica la matemática.

Por mencionar algunos ejemplos: en condiciones ideales, el número de bacterias presente en cualquier momento t en un cultivo

puede ser descrito por una función exponencial de t, la descomposición de sustancias radiactivas en el tiempo, de acuerdo con

una ley “exponencial” del decaimiento, el dinero depositado a plazo fijo gana intereses compuestos que crecen

exponencialmente, y algunas de las funciones de distribución más importantes encontradas en las estadísticas son

exponenciales.

Vamos a comenzar nuestro análisis de las propiedades de las funciones exponenciales mediante

el estudio de sus gráficas.

EJEMPLO 3 Trace la gráfica de la función exponencial xxf 2)(

Solución En primer lugar, como se explicó antes, el dominio de la función exponencial xxfy 2)( es el conjunto de los números reales. A continuación, si suponemos x=0 se obtiene

120 y , la intersección de f en el eje y. No hay intersección en el eje x, ya que no hay ningún

valor de x para el cual y = 0. Para encontrar el rango de f, considere la siguiente tabla de valores:

La gráfica de y=2x


x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1 1 2 4 8 16 32

Vemos en estos cálculos que 2x disminuye y se aproxima a cero cuando x decrece sin límite y que 2x aumenta sin límite a

medida que x se incrementa sin límite. Así, el rango de f es el intervalo ),0( , es decir, el conjunto de números reales positivos.

Por último, se esboza la gráfica de xxfy 2)( en la figura de la izquierda.

EJEMPLO 4 Trazar la gráfica de la función exponencial xy 2/1

Solución El dominio de la función exponencial xy 2/1 es el conjunto de todos los números

reales. La intersección con el eje y es 12/10 ; no hay intersección en el eje x, ya que no hay un

valor de x para el cual y = 0. De la siguiente tabla de valores

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 32 16 8 4 2 1 2

1 4

1 8

1 16

1 32

1

se deduce que xy 2/1 aumenta sin límite cuando x decrece sin límite, y que x

y 2/1

disminuye sin límite cuando x crece sin límite. Por tanto, el rango de f es el intervalo ),0( . La

gráfica de xxfy 2/1)( se muestra .

Las funciones xy 2 y x

y 2/1 , son casos especiales de la función exponencial

xbxfy )( , obtenidos al establecer b=2 y b=1/2, respectivamente. En general, la función

exponencial xby para 0<b<1 es similar a la de x

y 2/1 . Cuando b = 1, la función xby se

reduce a la función constante y = 1. Con fines de comparación, se muestran las gráficas de las tres

funciones

Propiedades de la función exponencial

La función exponencial xby 1,0 bb tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio es ),( .

2. Su rango es ),0( .

3. Su gráfica pasa por el punto (0, 1)

4. Su gráfica es una curva ininterrumpida que carece de valles o crestas.

5. Su gráfica aumenta de izquierda a derecha si b>1 y cae de izquierda a derecha si b<1.

La gráfica de y=(1/2)x


La base e

Se puede demostrar, aunque no se hará aquí, que a medida que m se hace más y más grade, el valor de la expresión m

m

11

se aproxima el número irracional 2.7182818..., que se denota por e. Puede convencerse de la veracidad de esta definición del

número e examinando la tabla 1, que se puede construir con la ayuda de una calculadora. (También, a continuación vea el

ejercicio de Exploración con tecnología)

Exploración con TECNOLOGÍA

Para obtener una confirmación visual de que la expresión (1 + 1/m)m se aproxima al número e=2.71828... a medida que m

se hace más y más grande, trace la gráfica de xxxf )/11()( en una ventana de tamaño adecuado y observe que f(x) se

acerca a 2.71828... cuando x se hace más y más grande. Utilice ZOOM y TRACE para encontrar el valor de f(x) para valores

grande de x.

EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de la función xey

SoluciónDado que e>1, se deduce de la discusión anterior que la gráfica de xey es similar a la gráfica . Con la ayuda

de una calculadora obtenemos la siguiente tabla:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 0.05 0.14 0.37 1 2.72 7.39 20.09

A continuación, tomemos en cuenta otra función exponencial de la base e estrechamente

relacionada con la función anterior y que es particularmente útil en la construcción de

modelos que describen “decaimiento poblacional”

EJEMPLO 6 Trazar la gráfica de la función xey

Solución Dado que e>1, se deduce que 0<1/e<1, así xxx eeexf /1/1)( es una función exponencial con base

menor que 1. Por tanto, tiene una gráfica similar a la de la función exponencial xy 2/1 . Al igual que antes, construimos la

siguiente tabla de valores de xey para valores seleccionados de x.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 20.09 7.39 2.72 1 0.37 0.14 0.05


Modelo de capitalización. Interés compuesto

El interés compuesto se calcula mediante la fórmula: nt

0fn

i1C)t(C

que es una función exponencial con base

n

i1

donde Cf (t) = capital después de t años

C0 = capital inicial

i = tasa de interés anual

n= número de veces que el interés se compone por año

t= número de años

Ejemplo

Una suma de $100 se invierte a una tasa de interés compuesto del 5% anual. Calcula la cantidad de la inversión al

cabo de 3 años si la capitalización es

a) Anual b) Semestral c) Trimestral d) Mensual e) Diariaf) De manera continua

Capitalización n Capital final al cabo de 3 años

Anual 1 )3(1

1

05.01100

=115.762

Semestral 2 )3(2

2

05.01100

=115.969

Trimestral 4 )3(4

4

05.01100

=116.075

Mensual 12 )3(12

12

05.01100

=116.147

Diaria 365 )3(365

365

05.01100

=116.179

Continua 100e3(0.05)= 116.183

Actividad: Siguiendo los pasos dados en el ejemplo anterior resuelve los siguiente problemas

Problema 1: Una suma de $500 se invierte a una tasa de interés compuesto del 12% anual. Calcule la cantidad de

la inversión al cabo de 5 años si la capitalización es:

a) Anual

b) Semestral

c) Cuatrimestral

d) Semanal

e) De manera continua

Rta a) $881.17 b) $895.42 c) $900.47 d) $910.38 e) $911.06

Problema 2: ¿Qué cantidad de dinero es necesario invertir en este momento si se quiere obtener al cabo de 3 años

$10000 y la tasa de interés es 9% anual capitalizable semestralmente?

Rta: $7678.96


ACTIVIDADES FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Trace la gráfica de f si a = 2.

1. xaxf )(

2. xaxf )(

3. xaxf 3)( 4. 3)( xaxf

5. 3)( xaxf 6. 3)( xaxf

7. 3)( xaxf 8. xaxf )(

9. x

axf

1)(

10. xaxf 3)(

2-7 Trace la gráfica de f.

2. x

xf

5

2)(

5.

x

xf

5

2)(

3.3

2

15)(

x

xf 6. 2)4(8)( xxf

4. 4

2

1)(

x

xf

7. 93)( xxf

8-11 Encuentre una función exponencial de la forma xbaxf )( o cbaxf x )( que tenga la gráfica dada.

8-

9-

10-

11-

12 Interés compuesto Si se invierten $1000 a una tasa de 7% por año capitalizado mensualmente, encuentre el

capital después de:


a. 1 mes b. 6 meses c. 1 año d. 20 años

13 Interés compuesto Si un fondo de ahorros paga interés a razón de 6% por año capitalizado semestralmente,

¿cuánto dinero invertido ahora llegará a $5000 después de un año?

14 Valor de venta de un auto Si cierta marca de automóvil se compra en C dólares, su valor comercial V(t) al final

de t años está dado por 1)85.0(78.0)( tCtV . Si el costo original es $25000, calcule al dólar más cercano, el valor

después de

a. 1 año b. 4 años c.7 años

-Use la gráfica de xey para ayudar a trazar la gráfica de los siguientes pares de funciones

15. xexf )( y xexf )(

16. xexf 2)( y xexf 2)(

17. 4)( xexf y 4)( xexf

18. xexf 2)( y

xexf 2)(

19- Encuentre los ceros de la función xx exexf )(

20- Seguimiento con GPS Las empresas voltean cada vez más hacia el GPS (sistema de posicionamiento global) para

hacer seguimiento de los vehículos de su flotilla. El número estimado de los rastreadores automáticos instalados en los

automóviles de flotilla en Estados Unidos se calcula por )50(,6.0)( 17.0 tetN t donde N(t) se mide en millones y t

se mide en años, con t=0 correspondiente al año 2000.

a. ¿Cuál es el número de rastreadores automáticos instalados en el 2000? ¿Cuántos fueron proyectados para ser

instalados en 2005?

b. Trazar la gráfica de N

21- Recimiento de los sitios Web Según un estudio realizado en el año 2000, el número proyectado de las direcciones

web (en miles de millones) se aproxima mediante la función )50(,45.0)( 5696.0 tetN t donde t se mide en años, con

t=0 correspondiente al inicio del año 1997.

a. Complete la siguiente tabla encontrando el número de direcciones web en cada año

Año 0 1 2 3 4 5

N° de direcciones web (miles de

millones)

22 Usuarios de internet El número de usuarios de Internet en China se proyecta que sea )61(,5.94)( 2.0 tetN t

, donde N(t) se mide en millones y t se mide en años, con t=1 que corresponde al inicio de 2005.

a. ¿Cuántos usuarios de internet había allí a principios de 2005? ¿A principios de 2006?

b. ¿Cuántos usuarios de Internet se esperaba que hubiera allí a principios de 2010?

c. Trazar la gráfica de N.


Respuestas Actividades Función Exponencial.

1- Si a=2

2-7

8- y=2 (5/2)x

9- y=2 (2/5)x -3

10- y=( ½)(1/4)x

11- y= 4(3/2)x +1

12- a) $1005,83 b)$1035,51 c)$1072,29 d)4038,74

14- a) $19.500 b)$11.975 c) $7354


15-

16-

17

18

19- x=-1

20- a) 0.6 millones de rastreadores automáticos instalados en los automóviles de flotilla en Estados Unidos

21-

Año 0 1 2 3 4 5

N° de direcciones web (miles de

millones)

0.45 0.80 1.41 2.40 4.39 7.79

22- a) En 2005, aprox 115 usuarios

En 2006, aprox 140 usuarios

b) En 2010 (t=6), aprox 313 usuarios

AUTOEVALUACIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL


1. Definir la función exponencial f con base b y

exponente x. ¿Qué restricciones, en su caso, se consideran

para b?

2. Para la función exponencial )1,0( bbby x ,

establecer (a) su dominio y su rango, (b) la intersección en

el eje y, (c) cuándo se eleva su gráfica y cuándo desciende

para b>1 y b<1


1. Resolver la ecuación 1312 22.2 xx

2. Trazar la gráfica de xoey 4.


Solución a los ejercicios de autoevaluación

1. 1312 22.2 xx

12.2

2 3

1

12

x

x

12 3)1()12( xx

12 1 x

Esto es verdadero sí y sólo si x-1=0 o x=1

2.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y SUS GRÁFICAS

La definición de un logaritmo significa que si b y n son números reales positivos y b es diferente de 1, entonces la expresión

nblog es un número real. Esto nos permite definir una función logarítmica de la siguiente manera.

La función definida por : )1,0(log)( bbxxf b

Se llama función logarítmica con base b. El dominio de f es el conjunto de todos los números positivos.

Una forma fácil de obtener la gráfica de la función logarítmica xy blog es construir una tabla

de valores del logaritmo (base b). Sin embargo, otro método más instructivo se basa en la explotación

de la íntima relación entre las funciones exponencial y logarítmica.

Si un punto (u, v) se encuentra en la gráfica de xy blog , entonces

uv blog

Pero también se puede escribir esta ecuación en forma exponencial como vbu

Así que el punto (v, u) también se encuentra en la gráfica de la función xby . Ahora se analizará

la relación entre los puntos (u, v) y (v, u) y la recta y =. Si se piensa en la recta y = x como un espejo,

entonces el punto (v, u) es el reflejo del punto (u, v). Del mismo modo, el punto

(u, v) es un reflejo del punto (v, u). Podemos tomar ventaja de esta relación para trazar la gráfica de las funciones

logarítmicas. Por ejemplo, si al gráfica de xy blog , donde b>1, entonces tenemos sólo que se quiere trazar el reflejo en el

espejo de la gráfica de xby con respecto a la recta y = x.

Usted puede descubrir las siguientes propiedades de la función logarítmica, considerando la reflexión de la gráfica de una

función exponencial adecuada.

Los puntos (u,v) y (v,u)

son reflejos entre sí.


Propiedades de la función logarítmica

La función logarítmica xy blog 1,0 bb tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio es ),0( .

2. Su rango es ),( .

3. Su gráfica pasa por el punto (1, 0)

4. Su gráfica es una curva ininterrumpida que carece de valles o crestas.

5. Su gráfica aumenta de izquierda a derecha si b>1 y cae de izquierda a derecha si b<1.

EJEMPLO 8 Trazar la gráfica de la función xy ln

Solución En primer lugar, se traza la gráfica de .xey Luego, la gráfica requerida se obtiene trazando el reflejo de la

gráfica de xey con respecto a la recta y = x

Propiedades relativas a las funciones exponenciales y logarítmicas

Se utilizó la relación que existe entre la función exponencial xey y la función logarítmica xxg ln)( al trazar la gráfica

de g en el ejemplo 8. Esta relación se describe con más detalle mediante las siguientes propiedades, que son una consecuencia

inmediata de la definición del logaritmo de un número.

Propiedades relativas a xe y xln .

xe x ln , para x>0 (1)

xe x ln , para cualquier número real x. (2)

(La verificación de estas propiedades se deja al lector.)

De las propiedades 1 y 2, se concluye que la función compuesta

xgfxgf

xe x ln

xfgxfg

xe x ln

Por tanto,

xfgxgf


Se dice que si cualquier dos funciones f y g satisfacen la relación, son inversas entre sí. Tenga en cuenta que la función f

deshace lo que hace la función g, y viceversa, por lo que la composición de las dos funciones en cualquier orden resulta en la

función identidad F(x) = x.

Las relaciones expresadas en las ecuaciones (1) y (2) son útiles para resolver ecuaciones que involucran exponenciales y

logaritmos.

Exploración con TECNOLOGÍA

Usted puede demostrar la valides de las propiedades 1 y 2, las cuales establecen que la función exponencial xexf )( y la

función xxg ln)( son inversas entre sí, de la siguiente manera:

1. Trace la gráfica de xexgf ln , utilizando la ventana de visualización [0, 10]x[0, 10].

Interprete el resultado.

2. Trace la gráfica de xexfg ln , utilizando la ventana de visualización estándar. Interprete el

resultado.

EJEMPLO 9 Resolver la ecuación 52 2 xe

SoluciónPrimero se dividen ambos lados de la ecuación entre 2 para obtener

5.22

52 xe

A continuación se toma el logaritmo natural de cada lado de la ecuación y, se utiliza la ecuación (2), para obtener

5.2lnln 2 xe

5.2ln2 x

5.2ln2x

08.1

EJEMPLO 10 Resolver la ecuación 03ln5 x

Solución Al sumar -3 a ambos lados de la ecuación se obtiene

3ln5 x

6.05

3ln x

Y, por tanto, 6.0ln ee x


Actividades de Función Logaritmo

1- Elabora la gráfica de las siguientes funciones. Indica su dominio y conjunto imagen.

2- Determinar la función de la forma: f(x) = logax considerando los datos aportados por el gráfico.

a-

b-

c-

d-

3- Relaciona cada función logarítmica con su correspondiente gráfica.


4- Dibuja la gráfica de la función f(x) = 4x y luego utilízala para graficar g(x)= log4x

5- Determina el dominio de:

6- Resuelve los siguientes problemas:

I

II

Para resolver el problema recuerda que: Si se invierte un capital P a una tasa de interés r

durante t años, entonces:


Respuestas

1-

2- a) log 5x c) log 9 x

3- 1-II , 2-V, 3-II, 4- IV, 5-VI , 6-I

4-

5- Df= (-3;∞) Dg= (-∞; -1) U (1;∞) Dh= (0;2)

6-

7-I

7-II- a) Planteando:

Se deduce que el dinero se duplicará en aprox. 14, 03 años

II-b) Planteando:

Se deduce que el dinero se duplicará en aprox. 13.83 años


Funciones Inversas de funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo1:

f: 𝑅 → (−3, +∞) / f(x) = 2𝑥+1 − 3 es una función biyectiva

Df: R If:(−3, +∞)

32)( 1 xxf

32 1 xy

123 xy

1)3(log2 xy

xy 1)3(log2

yx 1)3(log2

1)3(log)( 2

1 xxf Df -1:(−3, +∞) If -1:R


32)( 1 xxf

R

(−3, +∞) (Ln3/ln

2-1,0)

(0,-1) No

tiene

Y=-3

1)3(log)( 2

1 xxf

(−3, +∞) R (-1,0) (0,Ln3/ln

2-1) X=-3 No

tiene

Ejemplo 2

2)5(log)( 3 xxf Df:(5, +∞) If: R


2)5(log3 xy

)5(log2 3 xy

53 2 xy

xy 53 2

yx 53 2

53)( 21 xxf Df -1:𝑅 If -1:(5, +∞)

Función Inversa y Composición de funciones

Retomando el ejemplo utilizando la propiedad

f -1 [ f(x) ] = x

f [ f -1(x) ] = x

f -1 [ f(x) ] = f [ f -1(x) ] = x

2)5(log)( 3 xxf

53)( 21 xxf


𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑓[3𝑥−2 + 5] = log3(3𝑥−2 + 5 − 5) + 2 = log3(3𝑥−2) + 2 = 𝑥 − 2 + 2 = 𝑥

= 𝑖(𝑥)

𝑓−1[𝑓(𝑥)] = 3log3(𝑥−5)+2−2 + 5 = 3log3(𝑥−5) + 5 = 𝑥 − 5 + 5 = 𝑥 = 𝑖(𝑥)

Es posible utilizando la propiedad 𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥 hallar la función inversa

Si 32)( 1 xxf

𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥 →

2𝑓−1(𝑥)+1 − 3 = 𝑥

→ 𝑥 + 3 = 2𝑓−1(𝑥)+1 →

log2(𝑥 + 3) = 𝑓−1(𝑥) + 1 →

𝑓−1(𝑥) = log2(𝑥 + 3) − 1

Actividad de función inversa exponencial y logarítmica

Dada las siguientes funciones

a) f(x) = log1/2(x – 4) b) f(x) = log3(x +5) -1

c) f(x) = 5x+2+3 d) f(x) = (½)x-1- 2

- Determinar dominio y conjunto imagen, intersecciones con los ejes cartesianos y asíntota de la función f.

- Definir la función inversa de f, indicando dominio, conjunto imagen y expresión analítica de la misma, indicando

intersecciones con los ejes cartesianos.

- Graficar las función en el mismo sistema de coordenadas

Respuestas

a)


)4(log)(2

1 xxf

(4, +∞) R (5,0) No tiene x=4 No

tiene

42

1)(1

x

xf

R (4, +∞) No tiene (0,5)

No

tiene

y=4


b)


1)5(log)( 2 xxf

(−5, +∞) R (-3,0) (0. log2 5− 1)

x=-5 No tiene

52)( 11 xxf R

(−5, +∞) (. log2 5− 1,0)

(0,-3) No

tiene

y=-5


c)


35)( 2 xxf R

(3, +∞) No tiene (0,28)

No

tiene

y=3

2)3(log)( 5

1 xxf

(3, +∞) R (28,0) No tiene x=3 No tiene

d)


22

1)(

1

x

xf

R

(−2, +∞) (-2,0) (0,-3/2)

No

tiene

y=-2

1)2(log)(2

1

1 xxf

(−2, +∞) R (-3/2,0) (0,-2) x=-2 No tiene


º

Ejercicios combinados

Graficar las siguientes funciones indicando:

a) Conjunto dominio

b) Conjunto imagen

c) Intersección con los ejes coordenados

d) Asíntotas

1) 𝑓(𝑥) = {(

1

2)

𝑥 𝑥 ≤ 1

log(𝑥 − 1) 𝑥 > 1

2) 𝑓(𝑥) = {2. 3𝑥 𝑥 ≤ 0

log1

2

𝑥 + 2 𝑥 > 0

3) 𝑓(𝑥) = {(

1

3)

𝑥+2− 3 𝑥 < −2

−3 (3

2)

𝑥 𝑥 ≥ −1

4) 𝑓(𝑥) = {(

1

2)

𝑥+1+ 1 𝑥 < −1

− log2(𝑥 + 2) 𝑥 ≥ −1


Respuestas

1) Df:R If.R

eje x (2,0)

eje y (0,1)

AV x=1

2) Df:R If.R

eje x (4,0)

eje y (0,2)

AV x=0

AH y=0

3) Df:R--2,-1 If.R

eje x (-3,0)

eje y (0,-3)

No tiene asíntotas


4) Df:R If.R-0,2

eje x (-1,0)

eje y (0,-1)

No tiene asíntotas


RESUMEN GRAFICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

GRAFICA FUNCIONES LOGARITMICAS


BLOQUE 5

MODELOS ECONÓMICOS Y

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES

DOMINIOFUNCIONES LINEALES Y

SUS GRÁFICAS


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Hasta ahora hemos estudiado funciones cuyo dominio es un subconjunto de los números reales o bien los reales. Sin

embargo, el modelo que responde a la formulación matemática de un problema, puede estar formulado en función de más de

una variable puesto que la situación puede depender de más de una de ellas.

Por ejemplo:

El volumen de una cajadepende del largo, del ancho y de la altura de la caja.

Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos I y II, dependen de la cantidad de artículos de tipo I y de

la cantidad de artículos de tipo II que produce.

La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

Veamos las siguientes situaciones problemáticas que pueden modelarse a través de funciones de dos o más variables

Situación 1: Cálculo de ganancia

Una artesana confecciona tres tipos de prendas A, B y C de las cuales obtiene una ganancia de $50, $70 y $120,

respectivamente. Si queremos construir la función que calcule la ganancia que obtiene la artesana por la venta de estas prendas,

definimos las variables de la siguiente manera:

a: cantidad de prendas A vendidas, b: cantidad de prendas B vendidas y c: cantidad de prendas C vendidas. Así, la función

ganancia queda definida como sigue

G(a, b, c) = a . 50 + b . 70 + c .120

Situación 2: Pagos de hipoteca de vivienda

El pago mensual que amortiza un préstamo de x pesos en t años, cuando la tasa de interés anual es r, está dado por

P(x, t, r) = 𝑥 .𝑟

12 .(1−(1+𝑟

12)−12.𝑡)

¿Cómo harías para hallar el pago mensual que debe realizar un cliente si el préstamos es de 270000, la tasa es del 0.08 %

anual y el préstamos es a 15 años?

Para comprender el concepto de “Función real de dos variables”, previamente damos la siguiente definición:

Definición:El conjunto de puntos (x, y) con x R ey R forman el plano cartesiano y se simboliza R2.

En símbolos: R2 = {(x, y) con x R, y R}

Gráficamente


El plano cartesiano R2

Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados (x, y) con x R, y R y D R2.

Una función real de dos variables reales es una relación que asigna a cada para ordenado (x, y) en D un único número real,

denotado por f(x, y).

El conjunto D se llama dominio de la función y el conjunto de todos los valores que toma la función es el rango o imagen

de la función.

Observación:

Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función z = f(x, y).

La variable z es la variable dependiente y x e y las variables independientes.

En símbolos: f: D R2R / z = f(x, y)

Se lee: La función f es una función que va del conjunto D en los reales tal que la imagen de (x, y) a través de f es el número

real z.

Ejemplo: Sea la función f: D R2R / z = f(x, y) = x + xy + y2 +2. Esta función es de dos variables x e y y su imagen está

incluida en el conjunto de los números reales.

Si queremos evaluar la función f en algunos puntos del dominio, procedemos así:

Si (x, y) = (0, 0) entonces f(0,0)= 0 + 0.0 +02 +2 = 2

Si (x, y) = (1, 2) entonces f(1, 2) = 9

Si (x, y) = (2,1) entonces f(2, 1) = 7

ACTIVIDAD 1

1) Indica para cada una de las siguientes funciones cuántas variables independientes tiene y calcula lo pedido

a) f(x, y) =2x + 3y - 4. Calcula f(0, 0), f(1, 0), f(0, 1), f(1, 2) y f(2, -1)

b) g(x, y) =2x2– y2. Calcula g(1, 2), g(2, 1),g(1, 1), g(-1, 1) y g(2, -1)

c) f(x, y) =x2 -2xy –x +3. Calcula f(1, 2), f(2, 1), f(-1, 2) y f(2, -1)


d) h(x, y) = x+y

x−y. Calcula h(0, 1), h(-1, 1) y h(2, 1)

e) f(x, y) = x.y.ex2+y2 . Calcula f(0, 0), f(0, 1), f(1, 1) y f(-1, -1)

f) g(r, s, t) = r .es t⁄ . Calcula g(1, 1, 1), g(1, 0, 1) y g(-1, -1, -1)

2) Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate negro. El costo de material y manode obra por producir un kilo del

chocolate blanco es de $20 y el del negro es $40. Supongamos que la empresa tiene costos fijos semanales de $1200.

a) Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipoproducido a la semana.

b) Suponga que la pastelería vende el kilo de chocolate blanco a $80 y el negro a $110. Obtenga la función utilidad mensual

en función del número de kilos producidos y vendidos a la semana de cada tipo de chocolate.

3) La empresa “Alarmas Sip” instala equipos estándar o especiales. Las siguientes expresiones expresan la relación entre

precio (P1y P2) y cantidades demandadas semanalmente de los equipos estándar y especial (x e y, respectivamente).

P1 = 300 – 1

4x −

1

8y y P2 = 240 –

1

8x −

3

8y

Determina la función Ingreso semanal.

4) La “Fórmula de Wilson del tamaño de lote” establece la cantidad óptima que debe tener en stock un negocio, es decir, la

cantidad óptima de mercancías o productos que tiene que tener almacenado el negocio en espera de su venta o

comercialización.

Esta fórmula es: Q = f(C, N, h) = √2 .C .N

h

donde C es el costo de colocar un pedido, N es el número de artículos que espera vender el negocio semanalmente y h es el

costo semanal de almacenaje para cada artículo.

Establece la cantidad óptima que tiene que tener en stock la bicicletería si el costo del negocio para colocar un pedido es de

$20, el costo semanal de almacenaje es de $5 por unidad y el negocio espera vender 40 bicicletas por semana.

Respuestas Actividad 1

1)a) f(0, 0) = -4, f(1, 0) = -2, f(0, 1) = -1, f(1, 2) = 4 y f(2, -1) = -3

b) g(1, 2) = -2 , g(2, 1) = 7,g(1, 1) = 1, g(-1, 1) = 1 y g(2, -1) = 7

c) f(1, 2) = -1, f(2, 1) = 1, f(-1, 2) = 9 y f(2, -1) = 9

d) h(0, 1) = -1, h(-1, 1) = 0 y h(2, 1) = 3

e) f(0, 0) = 0 , f(0, 1) = 0, f(1, 1) = e2 y f(-1, -1) = e2

f) g(1, 1, 1) = e , g(1, 0, 1) = 1 y g(-1, -1, -1) = -e

2) a) Sean x: cantidad de kilos producidos de chocolate blanco

y: cantidad de kilos producidos de chocolate negro

Costo semanal = C(x, y) = 1200 + 20x + 40y

b) Utilidad = Ingreso – Costo = U(x, y) = 60x + 70y -1200

3) Ingreso = I(x, y) = x . (300 – 1

4x −

1

8y) + y . (240 –

1

8x −

3

8y) =


= 300x + 240y 1

4xy −

1

4x2 −

3

8y2

4) La cantidad óptima es, aproximadamente, 18 bicicletas.

DOMINIO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Para determinar el dominio de una función de dos variables z = f(x, y) se procede en forma similar a lo que se hace para

funciones reales de una variable, estableciendo, en cada caso, los valores posibles de las variables x e y de modo que la imagen

de cada (x, y) por la ley f sea un número real. El dominio será un conjunto incluido en el plano R2 o R2.

El plano cartesiano R2

El dominio de una función real de dos variables es el conjunto de valores que pueden tomar las variables independientes.

En símbolos: Dominio f= Domf = {(x, y) R2 / f(x,y) está bien definida}

Ejemplo:Sea f(x, y)= x2+ y2

En esta función las variables x e y pueden tomar cualquier valor real porque para cualquier valor real de x e y las operaciones

x2+ y2 están bien definidas. Luego Domf = R2

La gráfica del conjunto dominio de f es el plano cartesiano


Gráfica del Conjunto Dominio de f

Ejemplo: Sea g(x, y) = 2

x−y

Esta función está definida para todo par ordenado (x, y) tal que x y puesto que si x = y el denominador es cero y no es

posible realizar el cociente.

Luego, Domg = {(x, y) R2 / x y}. La gráfica de este conjunto es el conjunto de puntos del plano que NO pertenecen a la

recta x = y por lo que es necesario graficarla con línea punteada.

Gráfica del Conjunto Dominio de g

Ejemplo: Sea f(x, y) = x+y−5

x

Para que la función f esté bien definida, la variable x no puede tomar el valor cero entonces el dominio es Df={(x,y)R2: x

0}.

Los puntos del plano que no están en el dominio de f son los que se encuentran en el eje y como por ejemplo (0,2);(0,0); (0, -2)



Ejemplo: Sea f( x, y) = ln (y – 2x – 1)

Para que la función f esté bien definida se debe cumplir que y 2x – 1 > 0 esto es y > 2x+ 1 entonces el dominio es

Df={(x,y)R2: y > 2x + 1 }

No pertenecen al dominio los puntos de la recta y= 2x+1.


Ejemplo: Sea f(x, y) = ln (𝑥+2)

2𝑥−𝑦

Para que f está bien definida se debe cumplir que x + 2 > 0 y 2x y 0 es decir x > -2 y 2x entonces el dominio es

Df={(x,y)R2: x > -2 y 2x }



Ejemplo: Sea f(x, y) = 2√y − lnx + xy

En este caso se debe cumplir que y ≥ 0 x >0

Luego,

Df={(x,y)R2: y ≥ 0 x >0}

Están en el conjunto dominio los puntos del eje x y no los del eje y


Ejemplo: Sea f(x,y) = √𝑦 − 𝑥2 − 1

La función está bien definida cuando y – x2 – 1 0 y x2 +1

Los puntos que satisfacen la inecuación son los puntos que pertenecen a la zona sombreada del siguiente gráfico.

Son puntos que cumplen una de las siguientes condiciones: o y = x2 +1 o y > x2 +1

Luego, Df={(x,y)R2: y x2 +1 }



Ejemplo: Sea la función f(x, y) =√𝑦−𝑥2−1

ln (3−𝑥−𝑦)

Para que la función esté bien definida debe cumplirse que

y-x2 -1≥ 0 3-y-x> 0 3-y-x 1

Los puntos (x, y) que satisfacen las inecuaciones simultáneamente son los puntos del área entre la parábola y = x2 +1 y la

recta y+x = 3, incluyendo los puntos que pertenecen a la parábola y no a la recta.

Excluimos los puntos (x,y) sobre la recta 3yx= 1 (ln 1= 0)

Luego, Df={(x,y)R2: yx21≥ 0 3yx> 0 3yx 1 }

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y


ACTIVIDAD 2

Determina el conjunto dominio de las siguientes funciones y represéntalo gráficamente.

a)f(x, y)= 4 yx

b) f(x,y)

yx

yx

2

c) f(x, y) = 18y3x2

1

d) f(x, y) =22 xy e)f(x,y) = xyyx ln3

f) f(x, y) = lnx+ln(2-y)

g) f(x, y )= )5log(2 yx

h) f(x, y)= ln(x2-y)

i)f(x,y)= xx

xy

2

3

j) f(x, y)=xy

yx k) f(x, y)=

y

x )1log( 2 l) f(x, y)=

22

5

yx

y



a) Df ={(x,y)R2: x + y 4 ≥ 0}

1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

b) Df ={(x,y)R2: x+ y > 0}

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

c) Df ={(x,y)R2: 2x + 3y > 18}

d) Df ={(x,y)R2: 2y x2 ≥ 0}

e) Df ={(x,y)R2: x 0 y > 0}

1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

f) Df ={(x,y)R2: 2y > 0 x > 0 }

g) Df ={(x,y)R2: x 2 ≥ 0 y + 5 > 0}

h)Df ={(x,y)R2: x2 y> 0}


1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

i) i) Df ={(x,y)R2:x0x1}

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

j) Df ={(x,y)R2:x0y0x+y0}

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

k) Df ={(x,y)R2:y0}

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

l) Df ={(x,y)R2:(x,y)(0,0)}

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

Para situar un punto en el plano se necesita un par ordenado (x, y) de números reales llamadas coordenadas cartesianas del

punto en el plano. Para localizar un punto en el espacio se necesita una terna (x, y, z) de números reales dados a partir de un

sistema de referencia, este se construye al incorporar un tercer eje al plano cartesiano, de tal forma que los tres ejes son

perpendiculares y se intersecan en el origen de coordenadas.

En símbolos: Espacio tridimensional R3 = { (x, y, z) con x R, y R y z R}

Espacio tridimensional R3

Un punto en el espacio

Comentario: Una manera de visualizar este sistema de referencia es observar una esquina inferior de una habitación. Esta

esquina será el origen de coordenadas. Ubicándonos al frente de esa esquina, con vista hacia ella, la pared de la izquierda es el

plano xz, formado por el eje vertical z dirigido hacia el techo y el eje x que llega hasta nosotros; el plano xy es el piso y el plano


yz es la pared de la derecha. El eje y es la intersección del plano yz y el piso y la parte visible de esta intersección es la parte

positiva del eje y.

Estamos observando el primer octante. El piso no nos deja ver cuatro octantes que están abajo y tiene otros tres octantes en

el piso que no logramos ver debido a los plano xz y yz.

A continuación visualizamos distintos planos en el espacio R3, comenzando con los planos coordenados

Los planos coordenados

Gráfica de una función de dos variables

La gráfica de la función f de dos variables e s

El plano (horizontal) xy , donde z=0

• El plano (vertical) yz , donde x=0

• El plano (vertical) xz , donde y=0 .


GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea f una función de dos variables.

La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos de la forma (x, y, z)

donde z = f(x, y) y (x, y) Domf.

La gráfica de una función de dos variables es una superficie en el espacio.

Para graficar una función de dos variables necesitamos un sistema de coordenadas tridimensional.

Si f es una función de dos variables x e y y z = f(x, y), existe uno y solo un punto

(x, y, z) (x, y, f(x, y)) asociado con cada punto (x, y) en el Domf.

El conjunto de estos puntos forman la Gráfica de la función f y es, con excepción de ciertos casos, una superficie en

el espacio tridimensional.

El valor z = f(x, y) de la función en el punto (x, y) es la “altura” del punto (x, y, z) sobre la gráfica de f.

Si f(x, y) > 0 entonces el punto (x, y, z) está z = f(x, y) unidades sobre el plano xy

Si f(x, y) < 0 entonces el punto (x, y, z) está z = f(x, y) unidades debajo del plano xy.

Veamos gráficas de algunas funciones

Ejemplo: Sea función z = f(x, y) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 .

La gráfica de f es una semiesfera en el plano xy y por arriba de este. El centro es el origen de coordenadas y tiene radio 5.

Esta semiesfera se muestra en la siguiente figura.

http://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml


Ejemplo: La gráfica de de la función z = f(x, y) = x2 + y2es la que se observa en la siguiente figura

La intersección de la superficie con el plano xy se obtiene al hacer z=0 y dicha intersección es el origen de coordenadas, el

punto (0, 0, 0).

La intersección con el plano xz se obtiene haciendo y = 0 y es la parábola z = x2y.

La intersección con el plano xy se obtiene haciendo x = 0 y es la parábola z = y2.

GRÁFICA DE PLANOS

Queremos graficar el plano 2x + 3y + z = 6

Una forma de graficarlo es hallar las intersecciones del plano con los ejes y con los planos coordenados.

Para hallar la intersección con el eje x hacemos y = 0 y z = 0. Obtenemos que x = 3. Luego, la intersección del plano

con el eje x es el punto (3, 0, 0).

Para hallar la intersección con el eje y hacemos x = 0 y z = 0. Obtenemos que y = 2. Luego, la intersección del plano


Para hallar la intersección con el eje z hacemos y = 0 y x = 0. Obtenemos que z = 6. Luego, la intersección del plano


Luego, hallamos las trazas, es decir, las intersecciones con los planos coordenados.

Para hallar la intersección con el plano xy hacemos z = 0. Obtenemos que 2x + 3y = 6. Luego, la intersección del

plano con el plano xy es la recta 2x + 3y = 6.


Para hallar la intersección con el plano xz hacemos y = 0. Obtenemos que 2x + z = 6. Luego, la intersección del plano

con el plano xz es la recta 2x + z = 6.

Para hallar la intersección con el planoyz hacemos x = 0. Obtenemos que 3y + z = 6. Luego, la intersección del plano

con el plano yz es la recta 3y + z = 6.

A continuación dibujamos el plano 2x + 3y + z = 6. En este dibujo observamos la gráfica en el primer octante.

ACTIVIDAD 3

1) Dibuja en el espacio los siguientes planos

a) x – y + 2z = 2 b) x = 2 c) x – y – z = 1 d) x + y – z = 2

2)Grafica los planos del ejercicio 1) ítems a), b) y c) en un mismo plano.

¿Existe al menos un punto de intersección entre los tres? Argumenta tu respuesta.


1)

a)

b)


c)

d)

2)

#1:software utilizado: DERIVE SOLVE([x - y + 2·z = 2, x = 2, x - y - z = 1], [x, y, z]) ⎡ 2 1 ⎤

⎣ 3 3 ⎦ ⎡⎡ 2 1 ⎤⎤

⎣⎣ 3 3 ⎦⎦

La respuesta a la pregunta 3 constituye una puerta hacia el siguiente tema: “Algebra Lineal y Aplicaciones”


TALLER: FUNCIONES Y MODELOS ECONÓMICOS 1, BLOQUE 1

Para realizar las actividades puedes emplear material bibliográfico y soportes tecnológicos como Pc, tablet o

smarphone.

Cada grupo se identifica con un modelo económico: Modelo de Oferta, Modelo de Demanda, Modelos de Costo-

Ingreso- Beneficio-Modelo de Ingreso en función de la demanda- Modelo de Presupuesto

Actividad 1: Elaborar una estrategia para explicar al resto de los grupos de trabajo las características fundamentales de uno

de los cinco modelos económicos nombrados.

Actividad 2:Para cada enunciado Argumenta si resulta verdadero o falso:

1- “p es condición suficiente para q”, siendo:

p: Para el modelo de beneficio B(x) = 3x-195 se conoce que si se producen y venden 65 unidades el ingreso es igual al

costo.

q: Si se producen y venden más de 65 unidades el beneficio B(x) = 3x-195 es positivo.

2- Si las ecuaciones de oferta y demanda para el producto de un fabricante son:

2x + y –10 = 0 y y2 - 3x – 7 = 0

(siendo la variable x cantidad y la variable y precio)

se puede asegurar que la cantidad de equilibrio es 3 unidades.

3- D(x) = -2x+30 es el modelo de demanda de un producto en el mercado, siendo x la cantidad que los consumidores están

dispuestos a adquirir a un determinado precio en $. Si a partir del modelo lineal de oferta, se conoce que el precio a

partir del cual el fabricante ofrece dicho producto es $10 y $20 el precio de equilibrio. Con la información dada se puede

asegurar que cuando el precio es $18 la cantidad demanda es el triple de la ofrecida.

4- Sabiendo que el modelo de ingreso en función de la demanda es:

I(q) = - 2 q2+24q, donde q es la cantidad demandada de un producto, se puede asegurar que cuando el precio del

producto en el mercado es de 12 u.m el ingreso es máximo.

5- Si a partir del modelo de presupuesto, P: 3x+2y= 30 se produce un aumento del 10% en el presupuesto, la línea de

presupuesto P se desplaza verticalmente de modo que la ordenada al origen es $33.

6- En el modelo de presupuesto P: 3x+2y= 30 la máxima cantidad que se puede adquirir de uno de los producto es 10 y

del otro 15 unidades.

7- La cantidad de equilibrio para el modelo lineal Costo-Ingreso es 100 unidades; si los costos fijos de producción son de

4 000 u.m.. La ecuación que permite evaluar el beneficio correspondiente a dicho modelo es: y= 100x + 4000


TALLER: FUNCIONES Y MODELOS ECONÓMICOS, BLOQUES 2, 3 Y 4

En este taller trabajaremos sobre los bloques 2, 3 y 4 del cuadernillo correspondiente a la unidad nro. 2: Funciones

Para realizar las actividades puedes emplear material bibliográfico y soportes tecnológicos como Pc, tablet o

smarphone.

Actividad de Reflexión: Indica cuál de los siguientes aprendizajes crees que necesitas fortalecer.

Del bloque 2:

Conocer el concepto de Función, Dominio, Conjunto imagen Identificar distintas Formas de expresar la función: tabla, gráficos, ecuación, coloquial Realizar y Analizar gráficos de funciones. Representar funciones definidas por tramos Transformar gráficos de funciones: Desplazamientos, estiramientos, reflexiones,etc. Resolver problemas de aplicación Realizar operaciones con funciones: Componer

Del bloque 3: Funciones racionales y aplicaciones a economía

Identificar funciones Racionales Determinar dominios de funciones racionales Elaborar gráfica de funciones de la forma y = 1/x y sus transformaciones. Resolver problemas de aplicación: Costo medio, curvas de transformación del producto y modelos del bloque 1

Del bloque 4: Funciones Logarítmicas y Exponenciales Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Hallar funciones inversas Identificar funciones exponenciales y logarítmicas Determinar dominios de funciones exponenciales y logarítmicas Elaborar gráfica de funciones exponenciales, logarítmicas y sus transformaciones. Resolver problemas de aplicación: Modelos de capitalización.

Actividad 2: Uso de soporte informático para intepretar funciones

a) Empleando wolfranalpha, elabora la gráfica de y = x3 +2x2-3x y luego describe toda la información

que te ofrece wolframalpha como respuesta a tu pedido. Realiza el mismo trabajo con y= 1

𝑥2−1

b) Empleando derive o graff, elabora la gráfica de la función y = 1

𝑥2+1 y responde: ¿ La función dada tiene

inversa? Si lo es argumenta tu respuesta, si no lo es realiza las restricciones necesarias y obtiene la

función inversa.


Actividad 3:Para cada enunciado Argumenta si resulta verdadero o falso:

8- El dominio de la función cuya expresión analítica es: f(x) =√2x−6

x−9 es Df= R –{9}

9- La gráfica de la función de expresión y = log (x-1) presenta una asíntota vertical y ningún cero.

10- La grafica de f(x) = -|x-4| se obtiene a partir de la grafica de g(x) = |x| desplazando esta ultima 4 unidades sobre el eje de abscisas hacia la derecha y reflejándola sobre el eje de ordenadas.

11- Si h(x) = 𝑥

𝑥+1 y toh(x) = x se puede asegurar que t(x) =

𝑥

1−𝑥

12- La función f: R -> R / y = 2x+1 posee función inversa.

13- p es condición necesaria y suficiente para q siendo:p: (fog)(x) = (gof)(x)= x

q: Dominio f = Conjunto Imagen de g

14- El conjunto imagen de la función f(x) = {log(𝑥 − 1)𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 11

1

𝑥− 1 𝑠𝑖𝑥 < 0

es R

REFLEXIÓN FINAL: (Señala A o B y el porqué de la elección) EL presente taller te resultó:

A - ÚTIL porque me ayudó a:

Fortalecer la comprensión de conceptos conocidos.

Descubrir nuevos conceptos o propiedades.

_______________________________________________________________________________________ (expresa otra razón por la que te

resultó útil)

B – INUTIL porque:

No aprendí nada nuevo.

No entendí nada.

_____________________________________________________________________________(expresa otra razón por la que te resultó útil)


TALLER: FUNCIONES Y MODELOS ECONÓMICOS, BLOQUE 5

Actividad 1: Uso de soporte informático para conocer gráficas de funciones en 3D

a) Empleando derive, graff, o wolfranalpha elabora la gráfica de las siguientes funciones: f(x,y) = 2x-3y

g(x,y) = x2 + y2 h(x,y)= 𝑥4

𝑥2+𝑦2

Actividad 2: a)Escribe el concepto de dominio de función con una variable independiente y el concepto de dominio si la

función tiene dos variables independientes.

b) Aplica los conceptos tratados en a) para determinar el dominio de:

f(x) = 𝑥

𝑥−1 f(x,y)=

2

𝑥−𝑦

c) Grafica el dominio de cada una de las funciones.

d) Utiliza derive para visualizar la gráfica de cada función y a partir de ella verifica los dominios hallado.

Actividad 3: a) Grafica los siguientes grupos de planos.

{

𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 6𝑦 + 2𝑧 = 3

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 {

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 02𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0 {

2𝑥 + 3𝑦 = −12𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = 1

b) Indica si observas a menos un punto de intersección entre ambos.

c) Emplea la opción “resolver sistemas de ecuaciones con derive” y comprueba si existen o no los puntos de intersección

observados en las gráficas elaboradas.

Actividad 4: Para cada enunciado Argumenta si resulta verdadero o falso:

1- El dominio de la función cuya expresión analítica es: f(x, y) =√2x−6

y−9 es Df= R –{9}

2- El punto de coordenadas (-1; 3; 1) pertenece a la gráfica de f(x; y) = x2 –y +3

3- Si una pastelería produce chocolate blanco y chocolate oscuro. El costo de material y mano de obra por producir un

kilo del chocolate blanco es 6 um y el del oscuro es 5um. Si la empresa tiene costos fijos semanales de 1200um.

Entonces el costo conjunto de producir ambos chocolates es c(x; y)= 6x +5y+1200

4- { (x,y) R2 / x>0, y>0} es el dominio de la función f(x, y) = ln(x - y -2)

5- La representación del dominio de la siguiente función es:

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MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE · MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE 2017 EQUIPO DOCENTE ECONÓMICOS ... de costos fijos son las tarifas de renta y los sueldos de ejecutivos