ESCUELA:

NOMBRES

MATEMÁTICA BÁSICA II BIMESTRE

FECHA:

Ing. Jorge Guamán Jaramillo

ABRIL – AGOSTO 2009

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ASISTENCIA GERENCIAL Y RR.PP.

CICLO: Segundo

SUMARIO

Segundo Bimestre1. Operaciones Algebraicas - Polinomios

2. Ecuaciones; definición, factorización. 3. Funciones, distancia entre puntos y

sistemas de ecuaciones lineales.

Expresiones Algebraicas Se llama expresión algebraica a

toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos de suma, resta, multiplicación y división, en un número finito.

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Un polinomio es una expresión algebraica que puede tener una o más variables, y por lo general esta ordenado en forma ascendente o descente con respecto a una de sus variables.

GRADO DEL POLINOMIO:Si tiene una variable:

- El grado viene dado por el mayor exponente de la variable.

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POLINOMIO

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Si tiene 2 ó mas variables. El grado del polinomio viene dado por la

sumatoria de los exponentes de cada una de las variables y la mayor suma representa el grado del polinomio.

Ejm: x2y + 12x4y3 + 3xy6

Grado= ? MONOMIO Expresión con un sólo términoBINOMIO Expresión con 2 términosTRINOMIO Expresión con 3 términos

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Recuerde: “Para realizar operaciones con polinomios, estos deben poseer términos semejantes, es decir poseer factores idénticos.”

SUMA:

Se suman únicamente los coheficientes de los términos semejantes

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Resta: - Se coloca el minuendo con sus propios

signos y luego el sustraendo con los signos cambiados (ley de signos)

- Multiplicación: Mutiplicamos términos por término

utilizando la propiedad distributiva, y por último simplificamos el resultado.

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Ejercicio

Realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación de los siguientes polinomios:

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 12   Q(x) = x – 3+ 5x2 + 2x3

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División. 1. Se ordena el polinomio con relación a

una letra, iniciando por le mayor, en forma decreciente. 2. luego se comparar término a termino

cambiando de signo.. Sucesivamente hasta que el residuo sea cero o el mínimo.

Dividir:

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2. ECUACIONES Se define la ecuación como una

igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas ó variables (en ellas siempre aparece el signo “=“).

GRADO DE LA ECUACIÓN: Al igual que los polinomios, se escoje

el término con el mayor exponente o la mayor suma de las variables que conforman la ecuación. 10

- AXIOMAS DE LAS IGUALDADES Si se suma una misma cantidad a los dos

miembros de una igualdad, ésta no

altera. Si se resta una misma cantidad a los dos

miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si se multiplica por una misma cantidad a los dos

miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si se divide para una misma cantidad a los dos

miembros de una igualdad, ésta no se altera.

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Resolver las ecuaciones

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1.

2.

4x – (3x – 4) = 6x – (3 – 8x) + (-2x + 29)

3(2x – 4) – 5(x + 6) = -6(5x – 18) + (x + 3)

FACTORIZACIÓN Consiste en representar un número en productos

de números menores. La factorización es la operación contraria a la multiplicación.

Métodos de Factorización:

Factor Común:

- Determinar si existe un factor que se repite en todos los términos.

Ejemplos:

1)  xm - ym + xn - yn2) 24a3b2 - 12a3b3

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Trinomio Cuadrado Perfecto.- Si el primer y tercer término tiene

raiz cuadrada exacta- El segundo Término es el doble

producto de las raíces de los otros dos términos.

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Ejemplo: x2 + 4x + 4

Procedimiento para factorizar 1)Se extrae la raíz cuadrada del primer

y tercer término; en el ejemplo x , 2.2)Se forma un producto de dos factores

binomios con la suma de estas raíces; entonces (x + 2)(x + 2).

3)Este producto es la expresión factorizada (x + 2)2.

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EJERCICIOS

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1. Factorar 49y2 + 14y + 1

2. Factorar 81z2 - 180z + 100

3.Factorar 25x2 + 30xy + 9y2

(5x + 3y)2

FUNCION CUADRÁTICA.Ecuaciones de la forma ax² + bx + c =

0 - Esta formula sirve para calcular las

soluciones de cualquier ecuación de segundo grado con incógnita

- Resolver:

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EjerciciosResolver:1) 2x2 – 7x + 3 = 0

2) y2 - 5y + 6 = 0

3) 9x2 + 6x + 1 = 0

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FUNCIONES: y = f(x) = xRelación entre los elementos de dos conjuntos.

Conceptos: Dominio

El dominio de f es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida.

Recorrido o codominio

El recorrido o conjunto de llegada de f es el conjunto “y”

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Ejemplos:1)f(x) = x +1 El dominio y codominio

son los números reales R.2)g(x) = x² en cambio, si bien su

dominio es R , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

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DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

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EL ORDEN DE LOS PUNTOS NO CAMBIA EL RESULTADO, DE ESTA MANERA CUALQUIERA DE LOS PUNTOS INVOLUCRADOS PUEDEN SER P1 O P2.

CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS: (1,1) Y (2,3)

Función Lineal Esta dada por f(x) = ax + b, si

b=0, la gráfica pasa por el origen del plano cartesiano.

Ecuación de la Recta: y = mx + b, en donde m =

pendiente de la recta, b es la ordenada en el origen de la recta.

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PENDIENTE DE LA RECTA

Ecuaciones de la forma punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m en la forma punto-pendiente es

  y – y1 = m(x – x1). 

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Ejercicios: Hallar la ecuación de la recta dado:1)  m  = -3, punto (8, 0)2)  m = -2, punto (4, 2)3)  puntos: (0, 5)  y  (3, 3)4)  puntos: (-2, 3)  y  (-1, -6) Ejercicio de práctica:  Halla la ecuación dado:1)  m = 5 y el punto (-7, -2)2)  puntos: (3, 1)  y  (-3, -1)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Métodos de resolución:- Eliminación por sustitución

- Despejar variable de cualquier ecuación y reemplazarla en la segunda ecuación.

- Eliminación por igualdad- Despejar una variable en ambas ecuaciones y

posteriormente igualamos estos resultados.

- Eliminación por reducción- Igualar los coheficientes de un incógnita en ambas

ecuaciones, a fin de eliminarlas.

- Solución Gráfica.

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EJEMPLOS

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones :

x + y + z = 112x – y + z = 53x + 2y + z = 24

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Rta sistema de ecuaciones:

X= 4

Y = 5

Z = 2

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