Geometria Espacial IIGeometria Espacial II•Cones

•Pirâmides•Esferas

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ConesConesConjuntos de todos os segmentos de reta

com uma extremidade em V e a outra em ϒ

A base de um cone é uma região de formato circular com o raio de medida R. A distância do vértice ao centro da base formando um ângulo de 90º recebe o nome de altura (h) do cone. O comprimento da face lateral é denominado geratriz (g) do cone. 

Secção MeridianaSecção MeridianaChamamos secção meridiana do cone a

interseção do cone com um plano que contém seu eixo:

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Classificação dos ConesClassificação dos ConesOs cones podem ser divididos em:Reto- quando a sua

base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base

Oblíquo - quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.

Eqüilátero- Cone eqüilátero é um cone circular reto, do qual a secção meridiana é um triângulo que denominamos cone eqüilátero. Observe:

ÁreasÁreas Pode ser calculada pela

expressão: Ab = πr2 (п = 3,14). 

Podemos calcular a área lateral do cone utilizando a seguinte fórmula: AL = π.r.g

Podemos utilizar a seguinte expressão: At = πr (g+r) 

Áreas da Base

Área Lateral

Área Total

VolumeVolumeO volume do cone é calculado

multiplicando a área da base pela altura. 

Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva, com as seguintes medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração. Qual o volume utilizado na produção do pirulito?

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Exemplo:

PirâmidesPirâmides

Elementos da pirâmideElementos da pirâmideBase: o polígono

convexo Rarestas da base: os

lados   do polígonoarestas laterais: os

segmentos  faces laterais: os

triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA

altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção

ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Relação entre os elementos de Relação entre os elementos de uma pirâmide regularuma pirâmide regular

Toda pirâmide triangular recebe o nome de tetraedro.Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e arestas são congruentes)

Em uma pirâmide regular como, por exemplo temos que:

As faces laterais são triângulos isósceles e congruentes.

As arestas laterais também são congruentes e sua medida será indicada por a

O segmento que une o vértice com o ponto médio de qualquer lado da base é chamado de apótema da pirâmide e sua medida será indicada por m

o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide regular será indicada por R

ÁreasÁreasNuma pirâmide, temos as seguintes

áreas:Área lateral ( AL):(n.A), onde n:Lados A:

FaceÁrea da base ( AB): área do polígono

convexo ( base da pirâmide)Área total (AT):A área total de uma

pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

AT = AL +AB

VolumeVolume

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3).A(base).hO.B.S- A altura h da pirâmide pode ser

obtida pelo teorema de Pitágoras a2+b2=c2

EsferaEsferaConsiderando a rotação completa de um

semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação.

VolumeVolumeSeu volume depende do tamanho do raio,

que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade. A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:

N=