Upload
lehuong
View
257
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2
Scomposizione e frazioni algebriche Scomposizione in Fattori
Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di un prodotto di polinomi di grado
inferiore.
𝑎2 è di secondo grado.
𝑎 è di primo (1) grado.
Scomporre in fattori significa dunque rendere il polinomio al grado minore.
Quando un polinomio si può scomporre esso è detto polinomio riducibile, quando non è possibile
scomporlo esso è detto polinomio irriducibile.
Raccoglimento a fattor comune
Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore è possibile scomporlo utilizzando la
proprietà distributiva, tale procedimento prende nome di raccoglimento a fattor comune.
Il fattore 𝑎 è comune a tutti quanti i monomi del polinomio, egli svolge il ruolo di moltiplicare in tutti i
monomi. Dunque egli è il divisore più alto comune a tutti i monomi (MCD). Raccogliendo a fattor comune è
possibile moltiplicare l’MCD per il polinomio privato del fattore comune.
Dunque:
4𝑎
𝑎+
2𝑎2
𝑎+
7𝑎𝑏
𝑎
Che diventa
𝑎(4 + 2𝑎 + 7𝑏)
È possibile raccogliere a fattor comune utilizzando come fattore anche un binomio o un polinomio purché
sia comune.
ⓔ 5(𝑥 + 2) − 𝑥2(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(5 − 𝑥2)
3
5(𝑥 + 2) − 𝑥2(𝑥 + 2)
Se si è in difficoltà a visualizzare il calcolo si immagini (x+2) come un monomio a.
5𝑎 − 𝑥2𝑎 = 𝑎(5 − 𝑥2)
Dunque si riconverta il monomio a nel binomio (x+2).
(𝑥 + 2)(5 − 𝑥2)
Nel raccoglimento parziale prima si raccolgono i fattori comuni a parti del polinomio, quindi si procede con
il raccoglimento a fattor comune.
Scomposizione mediante i Prodotti notevoli
Differenza di due quadrati
ⓔ 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
ⓔ 16 − 9 = (4 + 3)(4 − 3)
Quadrato di un binomio
ⓔ 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝑎 + 𝑏)2
ⓔ 16 + 24 + 9 = (4 + 3)2
Quadrato del Trinomio
ⓔ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
ⓔ 9𝑏2 + 4𝑎2 − 8𝑎 + 12𝑏 + 4 − 12𝑎𝑏 = (3𝑏 − 2𝑎 + 2)3
Si individuano prima i possibili quadrati:
9𝑏2 è il quadrato di 3b; 4𝑎2è il quadrato di 2𝑎; 4 è il quadrato di 2. Verifichiamo che gli altri termini
possano essere i tre doppi prodotti esaminandone i valori assoluti: 8𝑎 = 2(2 ∗ 2𝑎); 12𝑏 = 2(3𝑏 ∗ 2);
12𝑎𝑏 = 2(3𝑏 ∗ 2𝑎). Se il segno dei doppi prodotti è negativo ciò significa che i suoi fattori sono discordi,
nell’altro caso concordi. Si studino quindi i segni. −8𝑎 segni discordi; +12𝑏 concordi;−12𝑎𝑏 discordiQuindi
si ottengono due possibilità, equivalenti:
= (3𝑏 − 2𝑎 + 2)3; (−3𝑏 + 3𝑎 − 2)3
Cubo di un binomio
ⓔ 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3
Differenza di cubi
ⓔ 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
4
Somma di cubi
ⓔ 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Trinomio caratteristico
ⓔ 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
Ruffini
Dato un polinomio P(x)= 2𝑥3 + 3𝑥2 − 17𝑥 − 30 procediamo alla ricerca di numeri che annullano il
polinomio, ovvero che se sostituiti ad x diano come risultato finale 0. Tali numeri sono da cercare tra i
divisori del termine noto (30):
±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30
E le rispettive frazioni:
±1
2; ±
3
2; ±
5
2; …
Dunque verifichiamo per quale di essi il polinomio si annulla:
P(+1)= 2(1)3 + 3(1)2 − 17(1) − 30 = -42 ≠ 0
P(-1)= 2(−1)3 + 3(−1)2 − 17(−1) − 30 = -12≠ 0
P(+2)= 2(2)3 + 3(2)2 − 17(2) − 30 = -36 ≠ 0
P(-2)= 𝟐(−𝟐)𝟑 + 𝟑(−𝟐)𝟐 − 𝟏𝟕(−𝟐) − 𝟑𝟎 = 0
Dunque il polinomio è divisibile secondo Ruffini per x-(-2) ovvero per x+2.
Il polinomio è divisibile per x+2. Disponiamo quindi i coefficienti sulla tabella. Eseguiamo quindi il calcolo
con il metodo di Ruffini
Otteniamo dunque il risultato:
(𝑥 + 2)(2𝑥2 − 𝑥 − 15)
Ancora scomponibile con Ruffini sino ad ottenere:
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(2𝑥 + 5)
Le Frazioni Algebriche
Dati i polinomi 𝐴 e 𝐵, con 𝐵 diverso dal polinomio nullo (≠ 0), la frazione 𝐴
𝐵 è detta frazione algebrica.
Una frazione algebrica perde significato quando il denominatore diventa nullo.
ⓔ 𝑥−3
𝑥−2 è nulla per x = 2
5
Condizioni di Esistenza
Se ne ricava che una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che
annullano il denominatore. Tutte le diseguaglianze (≠) che le frazioni devono verificare affinché il
denominatore non sia nullo (≠0) si chiamano condizioni di esistenza.
ⓔ 𝑥−3
𝑥−2 C.E.: x ≠ 2
Il ragionamento è semplice:
Scriviamo la disuguaglianza in forma di disequazione
𝑥 − 2 ≠ 0
«Spostiamo» tutti i termini che non sono l’incognita (x) dall’altra parte del disuguale (≠), come fosse
un’equazione. (Per spostare un termine si aggiunge l’opposto da un lato e dall’altro).
𝑥 − 2 + 2 ≠ 0 + 2
Eseguiamo i calcoli.
𝑥 ≠ 2
Semplificare le frazioni
Nella risoluzione della frazione algebrica un ruolo fondamentale svolge la semplificazione: essa può
avvenire solo fra fattori, e dunque dopo aver eseguito le scomposizioni e determinato le condizioni di
esistenza.
𝑥2−6𝑥+9
𝑥2−2𝑥−3=
(x−3)2
(x−3)(x+1)=
x−3
x+1 C.E.: x≠3 e x≠-1
Addizione e sottrazione
Nel caso in cui siano presenti più frazioni e addizionate fra loro si prosegue nelle scomposizioni. Effettuate
queste si trova l’MCD dei denominatori e, scritte le condizioni di esistenza, si prosegue come se fosse una
sola grande frazione.
ⓔ −𝑥
4−𝑥+
7
𝑥2−𝑥−12+
1
𝑥+3
1. Scomponiamo
ⓔ −𝑥
−(𝑥−4)+
7
(𝑥+3)(𝑥−4)+
1
𝑥+3 C.E. ???
2. Stabiliamo le C.E.
ⓔ −𝑥
4−𝑥+
7
(𝑥+3)(𝑥−4)+
1
𝑥+3 C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4
3. Troviamo l’MCD
ⓔ 𝑥(𝑥+3)+7+𝑥−4
(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4
4. Eseguiamo il calcolo al numeratore
ⓔ 𝑥2+3𝑥+3 +𝑥
(𝑥+3)(𝑥−4) =
𝑥2+4𝑥+3
(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4
5. Scomponiamo il trinomio caratteristico al numeratore
6
ⓔ (𝑥+3)(𝑥+1)
(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4
6. Semplifichiamo
ⓔ (𝑥+3)(𝑥+1)
(𝑥+3)(𝑥−4) =
𝑥+1
𝑥−4 C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4
Moltiplicazione
Come per le normali frazioni anche in quelle algebriche è possibile, nella moltiplicazione, la semplificazione
a croce (si eliminano i numeratori ed i denominatori uguali).
ⓔ 𝑥2−4𝑥−5
𝑥2−25∗
𝑥
2𝑥+2∗
𝑥+5
(𝑥−5)𝑥
1. Scomponiamo e raccogliamo
ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)
(𝑥−5)(𝑥+5)∗
𝑥
2(𝑥+1)∗
𝑥+5
(𝑥−5)𝑥 C.E. ???
2. Stabiliamo le C.E.
ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)
(𝑥−5)(𝑥+5)∗
𝑥
2(𝑥+1)∗
𝑥+5
(𝑥−5)𝑥 C.E. x ≠ -1 e x ≠ 0 e x ≠ ±5
3. Semplifichiamo a croce
ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)
(𝑥−5)(𝑥+5)∗
𝑥
2(𝑥+1)∗
𝑥+5
(𝑥−5)𝑥=
1
2(x−5)
Divisione
Per eseguire le divisioni fra frazioni è sufficiente, dopo aver risolto ogni parte, moltiplicare per il reciproco
del divisore (secondo termine della divisione). Si tenga presente che, poiché la frazione del divisore andrà
«ribaltata», le C.E. andranno scritte anche per il numeratore.
ⓔ 𝑥3+2𝑥2
3𝑥+3:
𝑥+2
𝑥2−1
1. Scomponiamo e raccogliamo
ⓔ 𝑥2(𝑥+2)
3(𝑥+1):
𝑥+2
(𝑥+1)(𝑥−1) C.E. ???
2. Stabiliamo le C.E.
ⓔ 𝑥2(𝑥+2)
3(𝑥+1):
𝑥+2
(𝑥+1)(𝑥−1) C.E. x ≠ ± 1 e x ≠ -2
3. Eseguiamo la divisione, ovvero moltiplichiamo per il reciproco.
ⓔ 𝑥2(𝑥+2)
3(𝑥+1)∗
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥+2=
𝑥2(𝑥−1)
3 C.E. x ≠ ± 1 e x ≠ -2
Realizzato il 07/11/2014 da Paolo Franchi, rivisto il 08/09/2015 per Sapere Aude!
AMDG