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Autores: José Bessa, Lucinda Serra, Teresa Neto. / Conceção e elaboração: Universidade de Aveiro. / Coordenação geral do Projeto: Isabel P. Martins e Ângelo Ferreira. / Cooperação entre o Ministério da Educação de Timor-Leste, o Instituto Português de Apoio ao Desenvolvimento, a Fundação Calouste Gulbenkian e a Universidade de Aveiro. / Financiamento do Fundo da Língua Portuguesa.
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Repblica Democrca de Timor-LesteMinistrio da Educao
Manual do AlunoMATEMTICA12. ano de escolaridade
xy
Projeto - Reestruturao Curricular do Ensino Secundrio Geral em Timor-Leste
Cooperao entre:Ministrio da Educao de Timor-Leste | Cames - Instituto da Cooperao e da Lngua | Fundao Calouste Gulbenkian | Universidade de Aveiro
Financiamento do Fundo da Lngua Portuguesa
Manual do AlunoMATEMTICA12.o ano de escolaridade
Este manual do aluno propriedade do Ministrio da Educao da Repblica Democrtica de Timor-Leste, estando proibida a suautilizao para fins comerciais.
Os stios da Internet referidos ao longo deste livro encontram-se ativos data de publicao. Considerando a existncia de alguma volatilidade na Internet, o seu contedo e acessibilidade podero sofrer eventuais alteraes. Caso tenha sido inadvertidamente esquecido o pedido de autorizao de uso de algum material protegido por copyright, agradece-se que seja comunicado, a fim deserem tomadas as providncias adequadas.
TtuloMatemtica - Manual do Aluno
Ano de escolaridade12.o Ano
AutoresJos BessaLucinda SerraTeresa Neto
Coordenadora de disciplinaTeresa Neto
Consultor cientfico Joo Pedro da Ponte
Colaborao das equipas tcnicas timorenses da disciplina Este manual foi elaborado com a colaborao de equipas tcnicas timorenses da disciplina, sob a superviso do Ministrio da Educao de Timor-Leste.
IlustraoPlural Design Unipessoal, Lda.
Design e PaginaoEsfera Crtica Unipessoal, Lda. Plural Design Unipessoal, Lda. Manuela Soares de Almeida
1 Edio
Conceo e elaboraoUniversidade de Aveiro
Coordenao geral do Projeto Isabel P. Martinsngelo Ferreira
Ministrio da Educao de Timor-Leste
2014
ISBN978 - 989 - 753 - 116 - 3
Impresso e AcabamentoBuana Mega Perdana Unipessoal, Lda.
Tiragem4000 exemplares
3
ndiceUnidade Temtica
1 Clculo diferencial e integralDerivadas e aplicaesConceito de derivada de uma funo num pontoInterpretao geomtricaInterpretao fsicaDerivadas lateraisDerivabilidade e continuidadeFuno derivadaRegras de derivaoDerivao de uma funo compostaSegunda derivada de uma funoAplicaes das derivadas na fsica
Aplicao na economiaOtimizaoMximos e mnimosExtremos de uma funo (teste da 1 derivada)Concavidades do grfico e inflexesExtremos de uma funo (teste da 2 derivada)Esboo do grfico de funesIndeterminaes
Clculo de reas e volumesFuno primitivaMtodos de primitivao
Primitivao imediataPrimitivao por decomposioPrimitivao por mudana de varivelPrimitivao por partes
Noo de soma integralrea sob uma curva: Integral definidaPropriedades da integral definida de RiemannTeorema Fundamental do clculo integralAplicaes do clculo integral
a) Clculo de reas de figuras planasb) Clculo de volumes de slidos de revoluo
81012141516172021232526262931333436
42434344464849505557596061
4
Cnicas
Elipse, Parbola, Hiprbole e Superfcies cnicasA elipse
Esboo da elipseAs equaes paramtricas da elipse
Traado da elipseA parbolaA hiprbole
Esboo da hiprboleHiprboles equilteras
Superfcies cnicas e cilndricas
687076777881828586
Organizao e tratamento de dados
ProbabilidadesIntroduo ao clculo de probabilidades
Experincias aleatrias e experincias deterministasConjunto de resultados ou espao amostralOperaes com acontecimentosAcontecimentos incompatveisAcontecimento contrrio ou complementarAcontecimento diferenaLeis de MorganTeoria frequencista de probabilidadePropriedades da frequncia relativa de um acontecimentoLei dos grandes nmerosDefinio frequencista de probabilidade ou lei dos grandes nmeros
Definio clssica de propabilidade ou de LaplaceLei de LaplacePrincpio fundamental de contagem
Definio axiomtica de probabilidadeProbabilidade condicionadaAcontecimentos independentes
96969799
100101101102103104104104106106108111113114
Unidade Temtica
Unidade Temtica
2
3
5
Estatstica descritiva e indutivaIntroduoRecenseamento e sondagem
Estatstica descritiva e estatstica indutivaAtributos estatsticos
Organizao de dadosTabelas de frequnciasDistribuies estatsticasFrequncias absolutasFrequncias acumuladasFuno cumulativa
Dados agrupados em classesRepresentaes grficas
Diagrama de barrasDiagrama circularPictogramasHistogramasPolgono de frequncias
Medidas de localizaoMdiaPropriedades da MdiaModaMediana
QuartisDiagrama de extremos e quartisMedidas de dispersoAmplitude total e amplitude interquartis
Varincia e desvio padroDesvio padroPropriedades
Distribuies bidimensionaisReta de regressoCoeficiente de correlao
Distribuies de probabilidadeValor mdio de uma varivel aleatriaDesvio padro de uma varivel aleatria
Variveis aleatrias discretasDistribuio binominal ou modelo binominal
Modelo de PoissonVariveis aleatrias contnuas
Distribuio normalCaratersticas da curva normal
118118120120121121121122124126126128128129131131132133133135136137141142143144144145146147148150151153153154154156158158159
3
M E T A SDeterminar a derivada de uma funo num ponto dado, aplicando a definio;Aplicar as regras das derivadas para o estudo grfico e analtico de uma funo e na resoluo de problemas prticos de otimizao;
Definir primitiva de uma funo;Calcular primitivas usando os mtodos de primitivao por decomposio, por partes e por mudana de varivel;
Determinar a rea de figuras planas irregulares e o volume de um slido de revoluo, utilizando a integral definida.
Unidade Temtica 1 | Clculo diferencial e integralSubtema 1 - Derivadas e aplicaesSubtema 2 - Clculo de reas e volumes
Unidade Temtica 1 | Clculo diferencial e integral
8
iContedosConceito de derivada de uma
funo num ponto
Interpretao geomtrica
Interpretao fsica
Derivadas laterais
Derivabilidade e continuidade
Funo derivvel
Regras de derivao de uma
funo
Derivao de uma funo
composta
Segunda derivada de uma
funo
Aplicaes das derivadas
Referncia histrica
Isaac Newton (1642-1727 e
Gottfried Leibniz (1646-1716),
de forma quase simultnea
e independente, descobrem
um mtodo geral para a
resoluo de problemas
associados ao problema da
tangente a uma dada curva
(Clculo Diferencial) e, por
outro lado, aos problemas
de reas delimitadas por
curvas e volumes de slidos
gerados por revoluo (Clculo
Integral).
Subtema 1 - Derivadas e aplicaes
Conceito de derivada de uma funo num ponto
A noo de derivada de uma funo e as regras da sua aplicao constituem
o que conhecido por clculo diferencial que tem a sua origem, no sculo
XVII, com Leibniz (1646-1716) e Newton (1642-1727).
O conceito de derivada est presente, por exemplo, na determinao
da evoluo do crescimento de uma certa populao, nos ndices de
desenvolvimento econmico de um pas ou, na determinao das
variaes das temperaturas ou, no clculo das velocidades de corpos ou
objetos em movimento.
Considera uma funo real de varivel real definida por y = f (x) e x0 um ponto qualquer do seu domnio Df .
Seja x Df ( x x0 ),
Chama-se acrscimo ou incremento da varivel no ponto x0
diferena x = x x0 (tambm se escreve h = x x0 ).
Chama-se acrscimo ou incremento da funo no ponto x0
diferena y = f (x) f (x0 ) ou f (x0 ) = f (x0 + h) f (x0 ) .
Considera a curva que representa o grfico de uma funo contnua f num
ponto P de abcissa x0 Df .
Seja agora outro ponto Q do grfico de f, cujas coordenadas so
(x0 + h, f (x0 + h)) , onde h o acrscimo da varivel no ponto de abcissa
x0 , ocorrido do ponto P ao ponto Q.
Derivadas e aplicaes | 9
Recorda:
Uma funo diz-se contnua
num ponto x = a do seu domnio se e s se existe
limxaf ( x )e lim
xaf ( x )= f ( a ) .
Outras notaes
y '(x0 ) ou dydx
x=x0
ou yx
x=x0
Dx f (x0 ) ou dfdx
(x0 )
...l-se derivada de y ou, derivada da funo f , no
ponto 0x .
Regra de Ruffini
2 0 1 3
-1 -2 2 -3
2 -2 3 0=Resto
A reta que passa por P e Q secante curva representativa de y = f x( ). O declive desta reta determinado pela razo dos acrscimos (razo
incremental) da funo f com respeito varivel x , no ponto x0 conhecida por:
Quociente de Newton: Q(x0 ,h) =f (x0 + h) f (x0 )
h.
Derivada de uma funo, definida por y = f (x) , num ponto
x0 Df o limite (se existe) da razo N (x0 ,h) , quando o acrscimo da varivel tende para zero e escreve-se:
f '(x0 ) = limh0Q(x0 ,h) = limh0f (x0 + h) f (x0 )
h .
Se o limite existe e finito, a funo diz-se diferencivel e a diferena
x x0 representa uma pequena variao de x , prxima de x0 , ou seja
h = x x0 ou, x = x0 + h e a derivada da funo f em x0 Df pode ser
tambm expressa por: f '(x0 ) = limxx0f (x) f (x0 )x x0
Exemplo:
Usando a definio de derivada de uma funo num ponto, calcular:
a) f '(1) , sendo f (x) = 2x3 + x+1 .
Temos f '(1) = limx1
f (x) f (1)x (1)
= limx1
2x3 + x+1+ 2x+1
= limx1
2x3 + x+3x+1
Que uma indeterminao do tipo 00
que pode ser levantada, usando
a regra de Ruffini para fatorizar o polinmio do numerador. Ou seja,
10 | Clculo diferencial e integral
Tarefa 1
Usando a definio de derivada
de uma funo num ponto
calcula:
a) f '(1) , sendo 2( ) 1f x x= +
b) '(2)f , sendo 1( )f xx
=
Recorda:
o limite notvel
limx0
ex 1x
=1
Ento, f ' 1( ) = 7 .
b) f '(0) , sendo f (x) =1x+ 2
.
Temos, f '(0) = limh0
f (0+ h) f (0)h
= limh0
1h+ 2
12
h
. Ento, f '(0) = 14
.
c) f '(1) , sendo f (x) = e2x .
Temos, f '(1) = limh0
f (1+ h) f (1)h
= limh0
e2(1+h) e2
h
= limh0
e2(1+h) e2
h= limh0
e2.e2h e2
h= e2.lim
h0
e2h 1h
= 2e2 limh0
e2h 12h
Fazendo uma mudana de varvel y = 2h ,
2e2 limh0
e2h 12h
= 2e2 limy0
e y 1y
limite notvel
= 2e2 1= 2e2 .
Interpretao geomtrica da derivada
Vejamos como a derivada representa o declive da reta tangente curva
que representa o grfico de uma funo num ponto do seu domnio.
Fixe-se um ponto qualquer (arbitrrio) P1 cujas coordenadas so
(x0 + h1, f (x0 + h1)) sobre a curva que representa a funo. A reta que passa por P e P1 secante curva.
Derivadas e aplicaes | 11
Nota:
A reta tangente curva no
ponto P aquela que contm
o ponto e que melhor
aproxima o grfico da funo
na vizinhana deste ponto.
Nota
A reta normal ao grfico de
f no ponto P(x0 , y0 ) uma reta perpendicular reta
tangente neste ponto.
A equao da reta normal
(y y0 ) = 1m(x x0 ) , sendo
m o declive (coeficiente angular) da reta tangente t .
Na figura:
Os pontos P1,P2,P3,... pertencem ao grfico de f e as suas abcissas
esto cada vez mais prximas de x0 .
Os declives das retas secantes definidas pelos pontos
PP1,PP2,,PPi , esto cada vez mais prximas do declive da reta r, tangente ao grfico de f no ponto P.
Fazer os Pi se aproximarem de P consiste em fazer os valores de
h1, h2, h3, tenderem para zero, isto , tomar os valores de h arbitrariamente prximos de 0.
Observamos que:
1. Quando os Pi esto prximos de P , o declive da reta secante deve estar prximo do declive limite da reta tangente ao grfico no ponto
P . Ou seja, quando h 0 e a razo incremental se aproxima do valor finito m, dizemos que m o limite (se existe) da razo incremental
com h tendendo para zero e escrevemos:
m = limh0
f (x0 + h) f (x0 )h
= limxx 0
f (x) f (x0 )x x0
.
2. Se a funo f for contnua num ponto P(x0 , f (x0 )) ento a reta tangente curva que representa o grfico da funo no ponto P , tem
equao y f x0( ) =m x x0( ), onde m = f '(x0 ) o declive da reta.
Exemplo:
O declive da reta tangente ao grfico da funo quadrtica f x( ) = x , no ponto de coordenadas (1,1), dado por:
Logo, a reta tangente ao grfico da funo em (1,1) tem de equao
.
12 | Clculo diferencial e integral
Exemplo:
Dada a funo f x( ) = x , o declive m da reta tangente ao grfico da funo no ponto de coordenadas (1,1) dado por
mt = f '(1) = limh01+ h 1h
.
Este limite uma indeterminao do tipo 00
. Para resolver esta
indeterminao, podemos racionalizar o numerador, multiplicando e
dividindo a fraco pela expresso conjugada do denominador (ver nota
ao lado).
Logo, a reta tangente ao grfico da funo em (1,1) tem de equao
.
Em resumo, a derivada de uma funo f em um ponto x0 pode ser interpretada geometricamente como o declive da reta tangente ao
grfico de f no ponto (x0 , f (x0 )) .
Interpretao fsica da derivada
Velocidade e acelerao so noes conhecidas da Fsica.
Quando dirigimos um veculo, podemos medir a distncia percorrida num
certo intervalo de tempo. O velocmetro de um automvel marca, a cada
instante, a variao da distncia percorrida e a velocidade. Se pisarmos
no acelerador ou no travo, percebemos que a velocidade muda. Ento
sentimos a acelerao.
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s t( ) representa o espao percorrido pelo mvel at ao instante t . No intervalo de tempo
t,t +t o corpo sofre um deslocamento que pode ser representado por:
s = s t + t( ) s t( ) .
Tarefa 2
Dada a funo f x( ) = x3 , determina a equao da reta
tangente ao grfico de f , no ponto P(1,1) .
Nota:
Se para cada valor de t
(tempo), f (t) representar a distncia percorrida por um
corpo em movimento at ao
instante t, ento a velocidade
do mvel no instante t0 ,
a derivada da funo f
no ponto t0 , tal como a acelerao a derivada da
velocidade no mesmo instante
t0 .
Derivadas e aplicaes | 13
O quociente entre o espao percorrido e o tempo gasto em percorr-
-lo, ou seja vm =s(t +t) s(t)
t, corresponde velocidade mdia nesse
intervalo de tempo.
De modo geral, a velocidade mdia nada nos diz sobre a velocidade do
corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantnea do corpo no
instante t, calculamos sua velocidade mdia em instantes de tempo t cada
vez menores.
A velocidade instantnea (ou velocidade no instante t) o limite
das velocidades mdias quando t se aproxima de zero, isto ,
v(t) = limt0
st
= limt0
s(t +t) s(t)t
.
A derivada de uma funo f em um ponto x0 pode ser interpretada, na Fsica, como a velocidade instantnea de um corpo em
deslocamento dado pela funo f no instante de tempo x0 .
Exemplo:
Um pndulo de um relgio oscila para a esquerda e para a direita. A funo
posio dada por p t( ) = t 2 6t , onde p t( ) medida em metros e em t segundos. Determina:
a) Qual a variao num instante t = t0 qualquer?
A variao mdia do pndulo no intervalo de tempo t dada por:
VM =p(t0 +t) p(t0 )
t=(t0 +t)
2 6(t0 +t) (t02 6t0 )
t=
t02 + 2t0tt
2 6t0 6t t02 +6t0
t 2=2t0t +t
2 6tt
= 2t0 +t 6
A variao no instante t = t0 dada por:
V (t0 ) = limt0p(t0 +t) p(t0 )
t= limt0(2t0 +t 6) = 2t0 6 .
b) Qual a variao instantnea do pndulo em t = 0 e t = 4?
Se t0 = 0V (0) = 206 = 6 metros/segundo
Se t0 = 4V (4) = 246 = 2 metros/segundo
Tarefa 3
Admite que a altura h (em
metros), t segundos aps
ter sido disparada uma bala,
de uma arma na vertical, de
baixo para cima. dada pela
expresso h(t) = 410t t 2 .
Qual a velocidade (em
metros por segundo) da bala,
dois segundos aps o disparo?
14 | Clculo diferencial e integral
c) Em que instante a variao nula?
Como V (t0 ) = 0 t0 = 3 , o pndulo no est em movimento no instante 3 segundos.
Derivadas laterais
Recorda que o limite de uma funo num ponto existe se e s se os limites
laterais existem e so iguais. Como a derivada de uma funo num ponto
um limite, esta derivada somente existir em condies anlogas.
Seja uma funo definida por y = f (x) e x0 Df um ponto do seu
domnio tal que x0 x,x0 para um x IR+ .
A derivada lateral esquerda (ou derivada esquerda) de f em x0 dada
por: f '(x0 ) = limxx0
f (x) f (x0 )x x0
.
De modo anlogo, se x0 Df um ponto do seu domnio tal que
x0 ,x0 + x para um x IR+ , ento a derivada lateral direita (ou derivada
direita) de f em x0 dada por: f+ '(x0 ) = limxx0+f (x) f (x0 )x x0
.
Exemplo:
Determina, usando a definio de derivada de uma funo num ponto,
f '(1) , sendo f (x) = 2x1 se x 1x2 se x< 1{ .
.
f+(1) = lim
x1+
f (x) f (1)x 1
= limx1+
2x 11x 1
= limx1+
2(x 1)x 1
= 2 .
Como f(1) = 2 = f+(1) , ento f derivvel e f (1) = 2 .
Exemplo:
Mostra que a funo definida por f (x) = x+1 no derivvel no ponto de abcissa x = 1.
Escrevemos f (x) = x+1 = x1 x
Derivadas e aplicaes | 15
tangentes ao grfico no ponto 1,0( ) so diferentes. Analiticamente:
f(1) = lim
x1
f (x) f (1)x+1
= limx1
x 10x+1
= 1
f+(1) = lim
x1+
f (x) f (1)x+1
= limx1+
x+10x+1
=1
Repara que as derivadas laterais existem, mas so diferentes.
Logo no existe a derivada f '(1) .
Uma funo tem derivada ( derivvel) num ponto quando as
derivadas laterais (a direita e a esquerda), neste ponto, existem e
so iguais.
Se no existem as derivadas laterais num ponto ou, se existem e so
diferentes ento a funo no derivvel nesse ponto.
Derivabilidade e continuidade
A continuidade e a derivabilidade de uma funo esto relacionadas. Uma
funo pode ser contnua num ponto e no ter derivada nesse ponto, mas
uma funo descontnua num ponto no derivvel nesse ponto.
Toda a funo derivvel num ponto contnua nesse ponto.
Desta afirmao tambm se conclui que (regra de converso), se uma
funo descontnua num ponto, ento no derivvel nesse ponto.
Tarefa 5
Considera a funo de domnio
representada no grfico:
1. Determina os limites:
a) limxa+
f (x) f (a)x a
b) limh0
f (b+ h) f (b)h
2. Indica, se existirem, valores
para f (a) de modo que:
a) f seja contnua em x = a
b) f seja derivvel em x = a
Regra de converso:
a b verdadeira, ento tambm verdadeira a
afirmao que ~ b~ a .
16 | Clculo diferencial e integral
Exemplo:
Considera a funo definida por f (x) = { 0 se x=3 (x3)2+2 se x3
.
Verifica-se que quando x se aproxima de 3, temos que:
limx3
f (x) = limx3[(x 3)2 + 2]= (33)2 + 2 = 2 .
Ento, f no contnua para x = 3 porque 2 f (3) = 0 .
Por outro lado, derivando esquerda do ponto x = 3 , temos:
f '(3) = limx3f (x) f (3)x 3
= limx3
(x 3)2 + 20x 3
= limx3
x2 6x+11x 3
=918+110
=
Ou, derivando direita do ponto,
f+ '(3) = limx3+f (x) f (3)x 3
= limx3+
(x 3)2 + 20x 3
= limx3+
x2 6x+11x 3
=918+110+
= +
Logo, a funo no derivvel no ponto de abcissa x = 3 .
Funo derivada
Para todo o x Df em que a funo derivvel, chama-se funo
derivada de f funo definida por: f (x) = limh0
f (x+ h) f (x)h
Exemplo:
Dada a funo f (x) = 3x2 , definida em IR , calcular a expresso da sua funo derivada.
f (x) = limh0
3(x+ h)2 3x2
h= limh0
3 x2 + 2xh+ h( )2
3x2
h=
limh0
3x2 +6xh+3(h)2 3x2
h= limh0
h 6x 3h( )h
= 6x
Ou seja, f (x) = 6x, x IR .
Tarefa 6
Verifica se cada uma das
funes contnua e tem
derivada no ponto indicado.
a) f (x) =x2 , x > 02x 1 , x 0
,
em 0 0x =
b) g(x) = 2 x 1 ,
b.1 em 0 1x =
b.2 em x0 = 3
Nota:
A funo derivada de ( )y f x=
tambm pode ser indicada por:
dfdx , ,
dydx (l- se, derivada
de y em relao a x ).
Tarefa 7
Determina qual a funo
derivada de cada uma das
funes reais de varivel real
definidas por:
a) 3( )f x x=
b) 1( )g xx
=
Derivadas e aplicaes | 17
Exemplo:
Dada a funo g(x) = ex , definida em IR , calcular a expresso da sua funo derivada.
Ora, g '(x) = limh0
ex+h ex
h= limh0
ex .eh ex
h= ex lim
h0
eh 1h
= ex 1
Ou seja, g '(x) = ex , x IR .
Regras de derivao:
O clculo da derivada atravs da sua definio nem sempre simples,
pois envolve o clculo do limite de uma razo incremental (quociente de
Newton). Para minimizar este problema, utilizamos algumas propriedades
das derivadas, que chamamos regras de derivao.
Exemplos:
a) Recorrendo regra (de uma potncia) temos:
(x3) ' = 3x31 = 3x2 ou (x5) ' = 5x51= 5x6 = 5x6
b) Recorrendo regra (derivada da
exponencial) temos que (5x ) ' = 5x ln 5 .
c) Recorrendo regra (derivada do logaritmo
natural) temos que (log2 x) ' =1x ln 2
.
Usando as propriedades das funes e as proposies anteriores possvel
demonstrar outras regras de derivao que resultam das operaes
algbricas com funes.
Vejamos as seguintes:
Regras prticas:
Seja ( )y f x= uma funo
derivvel em x Df e ' '( )y f x= a expresso da sua
derivada. Ento:
y k= (k IR) y'=0
y x= y'=1n y=x (k IR) n-1 y'=nx
y=xk (k 0) y'=kxk-1
y=sen(x) y'=cos(x)
y=cos(x) - ( ) y'= sen x
y=ln(x) (a > 0,a 1) y ' =1x
x y=a .lnx y'=a a
a y=log (x) 1ln
y'=x a
18 | Clculo diferencial e integral
Sejam f , g duas funes derivveis em x (Df Dg) e f '(x) e g '(x)
as expresses das respetivas derivadas. Ento:
O produto de uma constante por uma funo derivvel e:
(k. f ) '(x) = k. f '(x) (k 0)
A soma ( f + g) derivvel e temos a regra:
( f + g) '(x) = f '(x)+ g '(x)
A diferena ( f g) derivvel e temos a regra:
( f g) '(x) = f '(x) g '(x)
O produto ( f .g) derivvel e temos a regra:
( f g) '(x) = f '(x) g(x)+ f (x) g '(x)
O quociente ( fg
), g(x) 0 derivvel e temos a regra:
( fg) '(x) = f '(x) g(x) f (x) g '(x)
g(x) 2
Exemplo:
Determina a expresso da derivada da funo afim definida por
f (x) = ax+b (a,b IR) .
Seja x0 Df , um ponto arbitrrio.
1. Usando as regras de derivao,
f '(x) = (ax+b) ' = (ax) '+b ' = a+0 = a .
2. Por definio,
f '(x0 ) = limh0f (x0 + h) f (x0 )
h= limh0
ax0 + ah+b (ax0 +b)h
= limh0
ahh= a .
Tarefa 8
Usa as regras para obter as
derivadas:
a) (x2 +3x 1) '
b) (x7 2x3) '
c) (4 ) 'xe
d) ln( )x
xe) (log2 x x) '
f) (2sin x cos x) '
Tarefa 9
Seja f (x) = xe a expresso de uma funo real de varivel
real.
a) Determina '( )f x
b) Escreve a equao da reta
tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 1x = .
Derivadas e aplicaes | 19
Exemplo:
Usar as regras prticas de derivao para obter as expresses das derivadas
das funes definidas por:
a) f (x) = x4 2x3
f '(x) = (x4 2x3) ' = (x4 ) ' (2x3) ' (pela regra da derivada da soma)
= 4x3 [2' (x3)+ 2 (x3) '] (pela regra da derivada do produto)
= 4x3 (0+ 23x2) (pela regra da derivada de uma constante)
= 4x3 6x2 .
b) f (x) = x2 +3x
(Recorrendo derivada do quociente de funes e)
f '(x) = ( x2 +3x) ' = (x
2 +3) '.x (x2 +3).x 'x2
=
=2x.x x2 3
x2=x2 3x2
c) f (x) = 5x4 (x 1)
(Recorrendo derivada do produto de funes e)
f '(x) = (5x4 ) '.(x 1)+5x4.(x 1) ' =
= 54x3(x 1)+5x.(x '1') = 20x3(x 1)+5x .
Exemplo:
Uma partcula de poeira desloca-se de acordo com a lei e(t) = 5t 2 + 20t ,
sendo e(t) a distncia percorrida em metros ao fim de t segundos.
Calcula a velocidade instantnea aos 3 segundos.
Ora, como a velocidade dada pela derivada, temos que
e '(t) = 5t 2 + 20t( )'=10t + 20 . Logo, e '(3) =103+ 20 .
A velocidade aos 3 segundos de 50 m/s.
Tarefa 10
Um balo meteorolgico
solto e sobe verticalmente de
modo que a sua distncia d (t) ao solo durante os primeiros
10 segundos de subida dada
por 2( ) 6 2d t t t= + + , na qual ( )d t medido em metros e t
em segundos.
a) Determina a velocidade
mdia do balo durante os
dois primeiros segundos da
subida.
b) Determina a velocidade
instantnea do balo quando
t=1 segundo.
20 | Clculo diferencial e integral
Derivao de uma funo composta
Dadas duas funes f e g , a composta f g (l-se f composta com g), uma funo definida por:
Dfog = x IR : x Dgg(x) Df{ }
( f g)(x) = f g(x) ,x Df g
Exemplo:
Sendo f (x) = 3x2 e g(x) = 5x 1 , ento:
( f g)(x) = f (g(x)) = f (5x 1) = 3(5x 1)2, x IR
Teorema da derivada da funo composta:
Sejam f e g duas funes reais de varivel real tais que Df CDg e f '(x) e g '(x) as expresses das respetivas derivadas.
Se g derivvel no ponto x e f derivvel no ponto y = g(x), ento a funo composta f g derivvel em x e tem-se a
seguinte regra prtica: ( f g) '(x) = f ' g(x) g '(x), x Df g .
Exemplo:
Sejam as funes definidas por f (x) = 3x2 e g(x) = 5x 1 , ento,
( f g) '(x) = f '(5x 1).(5x 1) ' = 6(5x 1)5= 30 (5x 1)
Tarefa 11
Determina as expresses
das derivadas das funes
compostas:
a) 3( ) cos(2 )h x x=
b) 23 2( ) x xh x e +=
c) h(x) = ln(x2 1)
d) h(x) = 3x2 +5x 1x 1
e) h(x) = (3x2 +6x 2)23
f) 2cos(2 )( ) xh x e=
Tarefa 12
Usa as regras prticas de
derivao para obter as
expresses das derivadas das
funes definidas por:
a) y = (ex + x 1)3
b) 25 (ln )y x x x= +
c) 21 logy x= +
d) 3 2xy e=
e) 22
1
xeyx
=+
f) y = 2x1 ln x
g) y = 2ex2
h) y = ln(2 xx+1
)
i) y = (x+1)3x2
j) 1
2 12
x
xy ++
=
k) y = log2x+1x 1
l) 1lnyx
=
Derivadas e aplicaes | 21
Exemplo:
Seja h(x) = x3 + 2x .
x g(x) = x3 + 2x h(x)= x3 + 2x ,x D( fog)
g f
Pela composta, h(x) = ( f g)(x) , sendo f (x) = x e g(x) = x3 + 2x
Pela regra de derivao da composta, temos h '(x) = g '(x). f '(g(x))
Ou seja, como f '(x) = 12 x
e g '(x) = 3x2 2 , ento h '(x) = 3x2 2
2 x3 2x.
Exemplo:
Seja i(x) = ecos x . Pela composta, i(x) = ( f g)(x) , sendo f (x) = ex e g(x) = cos x .
Sendo f '(x) = ex e g '(x) = senx , ento,
pela regra de derivao da composta, temos:
i '(x) = f '(g(x)).g '(x) = senx ecos x ,x IR .
Segunda derivada de uma funo
Seja f uma funo real de varivel real e f ' a sua funo derivada num
ponto x0 do seu domnio. Se f ' admite tambm derivada no ponto x0 ,
ento diz-se que f duas vezes derivvel no ponto x0 e tem-se:
f (x) = limh0
f (x0 + h) f '(x0 )h .
Chama-se funo segunda derivada (ou funo derivada de ordem 2) de
uma funo f a uma nova funo tal que:
Domnio de f '' o conjunto em que f ' tem derivada;
A cada ponto do domnio faz corresponder a derivada da derivada da
funo nesse ponto.
Exemplo:
Definir as expresses da primeira e a segunda derivada das funes
definidas em IR por:
a) f (x) = (2x 1)3
A primeira derivada dada por: f '(x) = 32 (2x 1)2
Regras prticas das derivadas
Seja ( )u f x= uma funo
derivvel em x Df e '( )u x a expresso da sua derivada.
Ento:
(u+ v) ' = u '+ v '
(k.u) ' = k.u ' k IR
(u.v) ' = u 'v u.v '
(uv) ' = u 'v uv '
v2
(un ) ' = nun1.u '
') '2u ( u
u=
( un ) ' = u '2 un1n
( ) ' 'u ue u e=
( ) ' ' cossen u u u=
(cos u) ' = u 'sen u
(tgu) ' = u 'cos2 u
'u (ln u)'=u
(logau)'=u '
u.lna (a > 0,a 1)
) ' . lnu u (a u a a=
22 | Clculo diferencial e integral
A 2 derivada a derivada da primeira derivada, ou seja:
f ''(x) =122 (2x 1) = 48x 24 .
b) g(x) = 1x
Ora, g '(x) = (1x)= (x1) ' = 1 x11 = x2 = 1
x2.
Para a 2 derivada, usamos a regra da derivada de um quociente. Ou
seja, g ''(x) = 1x2= 1' x2 1 (x2 ) '
(x2 )2=2xx4
=2x3
.
c) h(x) = xln x
Ora, h '(x) = x ' ln x x (ln x) '(ln x)2
=1 ln x x 1
xln2 x
=ln x 1ln2 x
Para a 2 derivada, usamos a regra da derivada de um quociente. Ou
seja, h ''(x) =
1x ln2 x 2
xln x (ln x 1)
(ln2 x)2=ln2 x 2ln2 x+ 2ln x
x ln4 x
Simplificando a expresso, temos: h ''(x) = 2 ln xx ln3 x
,x > 0 .
d) i(x) = x log2 x
Pela regra da derivada de um produto, temos:
i '(x) = x ' log2 x x(log2 x) ' . Ou seja,
.
E a 2 derivada dada por: i ''(x) = 1x ln 2
( 1ln 2) ' . E, como ( 1
ln 2) ' = 0
ento, i ''(x) = 1x ln 2
.
Exemplo:
Encontrar as primeiras derivadas de ordem n das funes definidas por:
a) f (x) = 8x4 +5x3 x2 +7
Ora,
f '(x) = 32x3 +15x2 2x
f ''(x) = 96x2 +30x 2
f '''(x) =192x+30
Derivadas sucessivas
De modo similar a derivada da
segunda derivada chamada
de terceira derivada. Podemos
nos referir s derivadas
sequentes terceira derivada
de f por: quarta, quinta, sexta, e sucessivamente.
, ( ), ( ( )),...df d df d d dfdx dx dx dx dx dx
ou, ainda,
2 3
2 3, , ,..., ,...n
n
df d f d f d fdx dx dx dxn IN
A notao mais usual para as
derivadas de ordem superior :
( ) ( )'( ), ''( ), '''( ), ( ),..., ( )iv nf x f x f x f x f x
n IN( ) ( )nf x (l-se derivada de
ordem n )
Tarefa 13
Define a primeira e a segunda
derivada das funes definidas
por:
a) f x( ) = 2x 33x+ 2b) g x( ) = x 4 x2
c) h x( ) = log x2 5x+6
d) i(x) = e2x .ln x
e) 2( ) (ln 2 )j x x=
Derivadas e aplicaes | 23
f iv (x) =192
f v (x) = f vi (x) = ...= f n (x) = 0 , n IN
b) f (x) = ex2
Ora,
f '(x) = 12ex2
f ''(x) = 14ex2
f '''(x) = 18ex2
f iv (x) = 116ex2
sucessivamente
f n (x) = 12nex2 , n IN
Aplicao das derivadas na fsica
Se uma funo s t( ) descreve a posio de um corpo em movimento, no instante t , ento s ' t( ) fornece a taxa de variao instantnea do movimento, isto , a velocidade deste corpo no instante t .
Por sua vez, a segunda derivada s '' t( ) fornece a taxa de variao instantnea de s ' t( ) , ou seja, a taxa de variao da velocidade, que conhecida como acelerao no instante t .
Exemplo:
Uma partcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a seguinte
equao de movimento:
s(t) = t2
2+4tt +1
, onde s (centmetro) a distncia orientada da partcula
at a origem em t (segundos).
Se v (em cm por segundo) for a velocidade instantnea e se a (em cm por segundo quadrado) for a acelerao, determina: t,s,v quando a acelerao nula.
Tarefa 14
Calcula as derivadas sucessivas
at ordem n indicada.
a)
f (x) = 3x4 sen(2x) ; n = 5
b) 1( ) ; 4xg x ne
= =
c) h x( ) = x2ex ; n = 4
Nota
Se s t( ) > 0 , o corpo est em acelerao e se s t( ) < 0 , o corpo est em desacelerao.
Tarefa 15
Uma bola de futebol chutada
para cima na vertical a uma
velocidade de 80 ps/segundo.
A sua altura t segundos aps o chute dada por
a(t) = 80t 16t 2 .
a) Qual a velocidade da bola
quando atingir 96 ps de
altura acima do solo?
b) Qual a desacelerao
da bola nos dois primeiros
segundos aps o chute?
c) Qual a altura mxima
atingida pela bola? Em que
instante isso ocorre?
24 | Clculo diferencial e integral
Resoluo:
Sabemos que:
v(t) = ( t2
2+4tt +1
) ' = ( t2
2) '+ ( 4t
t +1) ' = 1
22t + 4(t +1) 4t(t +1) '
(t +1)2=
t + 4t + 4 4t(t +1)2
= t + 4(t +1)2
a(t) = (t + 4(t +1)2
) ' = (t ')+ ( 4(t +1)2
) ' =1 8(t +1)(t +1)4
=
=1 8(t +1)3
,com t +1 0
Tomando a = 0 teremos:
1 8(t +1)3
= 0 (t +1)3 8
(t +1)3= 0 (t +1)3 8 = 0(t +1)3 0
t +1= 2 t 1 t =1
Quando t =1, temos: s(1) = 12+41+1
=52
e v(1) =1+ 4(1+1)2
= 2 .
Portanto, a acelerao nula 1 segundo aps o incio do movimento,
quando a partcula est a cm da origem, movendo-se para a direita, com
uma velocidade de 2 cm/seg.
Exemplo:
A distncia percorrida por um paraquedista t (segundos) aps ter aberto o seu paraquedas dada, em metros, aproximadamente, por:
d(t) = 25+6t 25e1,7t . Determina a desacelerao na queda, trs segundos aps a abrir o paraquedas (arredondado s centsimas).
Resoluo:
A acelerao obtida atravs do estudo da 2derivada. Assim,
d '(t) = 6 25 (e1,7t ) ' = 6 25 (1,7t) ' e1,7t
= 6 25 (1,7) e1.7t = 6+ 42,5e1,7t
E a segunda derivada,
d ''(t) = (6+ 42,5e1,7t ) ' = 42,5 (1,7)e1,7t = 72,25e1,7t
Ento, aps 3 segundos temos, d ''(3) = 72,25e1,73 0,4404 .
Ou seja, a desacelerao , aproximadamente, 0,44 m / s
Tarefa 16
Um Distrito atingido por
uma doena epidmica. O
Ministrio da Sade calcula
que o nmero de pessoas
atingidas pela molstia
depois de um tempo t
(medido em dias a partir do
primeiro dia da epidemia) ,
aproximadamente, dado por:
e(t) = 64t t3
3.
a) Qual a variao da
epidemia no 4dia? E, no 8
dia?
b) Qual o nmero mximo
de pessoas atingidas pela
doena?
c) Ao fim de quanto tempo j
no havia pessoas doentes?
Tarefa 17
Um Taxi seguia a uma
velocidade dada em cada
instante pela expresso
V (t) = 3t 2 + 24t .
A sinalizao existente em
todo o percurso no permite
exceder os 60km/h. Verifica,
por processos analticos, se
o Taxi excedeu a velocidade
permitida.
Derivadas e aplicaes | 25
Aplicao na economia
Em economia e contabilidade, dada uma funo y = f (x) costuma-se utilizar o conceito de funo marginal para avaliar o efeito causado em
f (x) por uma pequena variao de x unidades. Ou seja:
Custo marginal (Cmg) Variao do custo total decorrente da variao de
uma unidade na quantidade produzida.
Receita marginal (Rmg) Variao na receita total gerada pela venda de
uma unidade na quantidade vendida do bem. R(x)x
= p , onde p a demanda da produo e x o nmero de unidades produzidas.
Lucro marginal (Lmg) Variao do lucro/prejuzo total. L(x) = R(x)C(x) gerado na comercializao das unidades.
Exemplo:
Supe que a funo custo (em dlares) de x unidades de um produto
C(x) =10000+5x+0,01x2 . Ento, a funo derivada C '(x) = 5+0,02x representa o custo marginal para um nvel de produo de x unidades.
Ou seja, se forem produzidas 500 unidades, o custo marginal ser de
c '(500) = 5+0,02500 =15 dlares (por item).
Exemplo:
Se x unidades de um produto so vendidas a um preo p (dlares) por unidade, ento a receita de faturao dada por R(x) = x p(x) dlares
Ora, sabe-se que a equao da procura de um certo produto
p(x) = 600,05x .
A receita de faturao para este produto dada por:
R(x) = x(600,05x) e a respectiva receita marginal dada por:
R '(x) = 600,1x ,
Sabemos que R '(x) = 0 600,1x = 0 x = 600 .
Logo, para x = 600 unidades temos R(600) = 600(600,05600) =18000 (dlares) - valor de receita de faturao extrema (mximo).
Tarefa 18
18.1) Considera, em $US, a
funo custo:
C(x) = 0,01x3 0,5x2 +300x+100
Determina o custo marginal
para 10 unidades de um certo
produto.
18.2) Dada a funo receita,
em $US R(x) = 2x2 +1000x ,
determina a receita marginal
para 50 unidades.
18.3) A empresa tem uma
capacidade de produo
mxima de 200 unidades por
semana. A funo procura do
produto p = 0,2x+900 e a funo custo semanal
C(x) = 5008x+ x2 . Qual o preo que deve ser cobrado
para maximizar o lucro?
26 | Clculo diferencial e integral
Otimizao
A otimizao est relacionada com a escolha da melhor alternativa
para a resoluo de um problema com base em critrios especficos de
maximizao ou minimizao. Por exemplo, quando um mdico pretende
conhecer a quantidade mnima de droga que produzir o efeito desejado
nos seus pacientes; quando um produtor necessita determinar a frequncia
com que equipamentos devem ser substitudos de forma a minimizar os
custos de manuteno; ou, na maximizao/minimizao de reas, etc.
Exemplo:
Uma lata cilndrica produzida a fim de conter 1 litro de leo. O objetivo
minimizar a quantidade de metal gasto no seu fabrico. Quais devem ser
as dimenses da lata?
Resoluo:
Ora, sabemos que um cilindro de raio r, (r > 0) e altura h , tem como
volume: V = r2h .
Como 1 litro =1 dm3 , temos que 1= r2h h = 1r2
.
A rea total do cilindro, em funo do seu raio, dada por
Atotal = 2rh+ 2r2 . Sabendo que h = 1
r2 ento,
Atotal =2rr2
+ 2r2 Atotal =2r
+ 2r2
Derivando, A 'total = 2r2
+ 4r e igualando a zero, vem que:
A '(r) = 0 2r2
+ 4r = 0 r = 12
.
Sendo 3,1416(4cd ) , temos que a altura h = 1
( 12)2= 4 12,566
Logo, uma lata cilndrica com altura aproximada de 12,566 cm e dimetro
0,318 cm, a quantidade de metal gasta mnima.
Mximos e mnimos
No grfico ao lado, percebemos que a parte circulada em vermelho a
mais baixa de sua vizinhana que est dentro do crculo vermelho mas
no a mais baixa do grfico existe outra bem menor direita!
Tarefa 19
Um agricultor quer vedar com
rede um terreno retangular
encostado a um dos lados
da sua casa. Calcula quais as
dimenses do terreno com
maior rea a ser vedado,
usando 40 metros de rede.
Tarefa 20
Encontra dois nmeros x e y cuja soma seja um dado nmero positivo S e cujo
produto P seja o maior
possvel.
Tarefa 21
Uma caixa sem tampa deve ser
construda com base quadrada
e rea total constante C.
Determine os lados da caixa
de modo que o volume seja
mximo.
Derivadas e aplicaes | 27
Ou seja, diz-se que uma funo y = f (x) possui pontos extremos de
mnimo (mximo) relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo
x0 tal que f (x0 ) menor (maior) ou igual a qualquer outro f (x) nesse intervalo.
Nota que os extremos relativos apenas ocorrem nos chamados pontos
crticos, que so aqueles onde a derivada da funo zero ou onde a
funo no derivvel (o que pode ocorrer em pontos angulosos ou em
descontinuidades).
Considera a figura que representa o grfico de uma funo y = f (x) ,
onde assinalamos os pontos de abscissa x1,x2 ,x3,x4 .
Os pontos assinalados so chamados pontos extremos da funo.
Os pontos x1 e x3 so pontos de mximo relativo (ou local), enquanto
que f (x1) e f (x3) so valores mximos relativos.
Os pontos x2 e x4 so chamados pontos de mnimo relativo (ou
local), enquanto f (x2 ) e f (x4 ) so os valores mnimos relativos.
Exemplo:
A funo definida por f (x) = x4 4x2 tem um ponto de mximo relativo
em x = 0 e dois pontos de mnimos relativos em x = 2 . O valor mximo
relativo e o valor mnimo relativo f ( 2) = f ( 2) = 4 .
Considera a figura que representa o grfico de uma funo y = f (x) ,
onde assinalamos os pontos de abcissa x1,x2 ,x3,x4 ,x5,x6 ,x7 . Os valores de m representam os declives das retas tangentes ao grfico da funo em alguns pontos do seu domnio.
Nota
A parte circulada a vermelho
indica um ponto de mnimo
relativo, pois possui o menor
valor da funo na sua
proximidade.
A parte circulada a verde indica
um ponto demximorelativo,
pois possui o maior valor da
funo na sua proximidade.
28 | Clculo diferencial e integral
Observamos que:
f contnua no intervalo x1,x7
f no derivvel nos pontos x3,x4 ,x5 e x6 .
f '(x) > 0 x ( x1,x2 x5,x6 ) f estritamente crescente,
neste intervalo. O declive das retas positivo (m > 0 ).
f '(x) < 0 x ( x2 ,x3 x4 ,x5 x6 ,x7 ) f estritamente
decrescente, neste intervalo . O declive negativo (m < 0 ).
f '(x) = 0 x ( x2{ } x3,x4 ) f constante em x3,x4 e tem um extremo (mximo) relativo no ponto de abcissa x2 , porque a derivada existe neste ponto e muda de positiva para negativa.
O ponto de abcissa x5 um extremo (mnimo) relativo da funo, porque a derivada existe neste ponto e muda de negativa para
positiva, neste ponto.
O ponto de abcissa x6 um extremo (mximo) relativo da funo, porque a derivada existe e neste ponto e muda de positiva para
negativa.
Conclumos que existe uma relao entre o sinal da derivada e a
monotonia da funo.
Exemplo:
Determina os intervalos de monotonia e os extremos relativos (se existem)
da funo definida, em IR , por h(x) = 2x(x 1)4 .
Ora, a funo contnua em IR , pelo que os pontos crticos verificam a
condio h '(x) = 0 2(x 1)4 +8x(x 1)3 = 0
2(x 1)3(x 1+ 4x) = 0
Tarefa 22
Encontra os valores mnimos
e mximos, se existirem,
da funo definida por
f (x) = 2x3 15x2 + 24x+19 , para x 0
Tarefa 23
Determina os intervalos de
monotonia e extremos de cada
uma das funes definidas em
IR por:
a) f (x) = (x 2)2(x+1)
b) g(x) = ex x2ex
c) ( ) lnh x x x=
d) i x( ) = ln cos x( )
Derivadas e aplicaes | 29
(x 1)3 = 0(5x 1) = 0
x =1 x = 15
Logo, os pontos crticos so x =1 ou x = 15
.
Por observao do quadro de sinal da derivada conclumos quais os
intervalos em que esta positiva e negativa e que correspondem aos
intervalos de monotonia da funo. Ou seja:
h '(x) positiva e h estritamente crescente em ],15] 1,+ ;
h '(x) negativa e h estritamente decrescente em [15,1] ;
Nos pontos crticos, h(15) mximo relativo h(1) mnimo relativo
Extremos de uma funo (Teste da primeira derivada):
Seja c Df um ponto crtico e x um qualquer outro ponto do domnio da funo, na proximidade de c.
a) Se f '(x) muda de positiva esquerda para negativa direita, no ponto c , ento f (c) diz-se um mximo relativo (ou local) da funo.
Tarefa 24
Aplica o teste da primeira
derivada para determinados
extremos relativos de cada
uma das funes definidas em
IR por:
a) f x( ) = 2x 33x+ 2b) g x( ) = 4 x2
c) h x( ) =2+ x
2 ,x 0
2 2x ,0 < x
30 | Clculo diferencial e integral
b) Se f '(x) muda de negativa esquerda para positiva direita, no ponto c , ento f (c) diz-se um mnimo relativo (ou local) da funo.
c) Se f '(x) no muda de sinal, no ponto c , ento f (c) no extremo da funo.
Exemplo:
Aplica o teste da primeira derivada para determinar os pontos crticos e
verificar se so extremos do grfico da funo.
a) f (x) = x3 +1
Verificamos pelo grfico que a funo contnua em IR
A expresso da sua derivada f '(x) = 3x2 ,x IR .
f '(x) = 0 x = 0 , zero o nico ponto crtico e tendo em conta que
3x2 0,x , conclumos que a funo sempre crescente.
b) f (x) = x2 x+5
A funo contnua em IR e temos que f '(x) = 2x 5,x IR .
Ento, 2x 1= 0 x = 12
, um ponto crtico
2x 1> 0 x > 12
, a funo crescente
2x 1< 0 x < 12
, a funo decrescente.
O ponto crtico x = 12
um minimizante relativo, logo f (12) = 4,75
um mnimo relativo da funo.
Derivadas e aplicaes | 31
c) f (x) =x1 se x
32 | Clculo diferencial e integral
Se a segunda derivada existe no ponto de inflexo, o seu valor tem que ser
zero. No entanto, os pontos de inflexo podem ocorrer onde a segunda
derivada no existe (pontos crticos de segunda ordem).
Um ponto P(c, f (c)) do grfico de uma funo contnua uma inflexo (ou ponto de inflexo) se o sentido da concavidade do
grfico muda neste ponto crtico.
Na figura, os pontos de abcissa c1,c2,c3 e c4 so pontos de inflexo.
Observa que:
Os pontos c2 e c3 so pontos extremos relativos de f ( f no derivvel nestes pontos).
Nos pontos c1 e c4 existem as derivadas f '(c1) e f '(c4) .
Nos correspondentes pontos (c1, f (c1)) e (c4, f (c4)) a reta tangente corta o grfico da funo f .
Exemplo:
Estudar a concavidade e as inflexes do grfico da funo definida por
f (x) = x3
352x2 14x+10
Resoluo:
f '(x) = x2 5x 14f "(x) = 2x 5
f "(x)= 0 2x 5= 0 x = 52
(ponto crtico de 2ordem)
Tarefa 25
Estuda as concavidades do
grfico das funes definidas,
em IR por:
a) f (x) = x3 2x2 + x
b) ( ) xf x x e= +
c) f (x) = (x 3).ln x
Derivadas e aplicaes | 33
Para x > 52 f "(x) > 0 A curva do grfico de f cncava
Para x< 52 f " x( ) < 0 A curva do grfico de f convexa
O ponto( 52
, f (52
))uma inflexo do grfico de f
Extremos de uma funo (Teste da segunda derivada):
Sejam f uma funo derivvel num intervalo a,b e c a,b um ponto crtico da funo f , ou seja f (c) = 0 .
Se f admite segunda derivada em a,b ento temos:
a) Se f ''(c) < 0 , f (c) um mximo relativo.
b) Se f ''(c) > 0 , f (c) um mnimo relativo.
Exemplo:
Encontrar os mximos e mnimos relativos de f , aplicando o teste da segunda derivada:
a) f (x) =18x+3x2 4x3 .
Temos, f '(x) =18+6x 12x2 e f ''(x) = 6 24x .
Fazendo f '(x) = 018+6x 12x2 = 0 x = 1 x = 32
.
Logo, x = 1 x = 32
so pontos criticos de f .
Como, f ''(1) = 6 24 (1) = 30 , positivo, ento x = 1 abcissa de
um ponto de mnimo relativo de f .
Modo anlogo, f ''( 32) = 6 24 (3
2) = 30 , negativo, ento x = 3
2
abcissa de um ponto de mximo relativo de f .
b) f (x) = 6x 3x2 + 12x3 .
Temos, f '(x) = 66x+ 32x2 e f ''(x) = 6+3x .
Fazendo f '(x) = 0 e resolvendo a equao, obtemos x = 2 como nico
ponto crtico de f . Como, f ''(2) = 0 e f '' uma funo contnua que
Tarefa 26
Aplicando o teste da primeira
e da segunda derivada, indica
se existem, os extremos
relativos, pontos de inflexo
e concavidades do grfico das
funes definidas por:
a) 13)( 23 ++= xxxf
b) f (x) = (x2 1)3
c) f (x) = (x 3)ex
d) ( ) lnf x x x= , 0x >
e) 1( )f x xx
= + , x 0
f) f (x) = x2
x 1, x 1
34 | Clculo diferencial e integral
muda de sinal neste ponto, ento x = 2 um ponto de inflexo do grfico de f . Usando o teste da primeira derivada, conclumos que a funo sempre crescente em IR , logo no existem extremos.
Esboo do grfico de funes
No estudo de uma funo deves comear por identificar se a funo
pertence a alguma das famlias estudadas (quadrticas, polinomiais,
racionais, exponenciais, logartmicas, trigonomtricas,) e obter uma
representao grfica, caso disponhas de uma calculadora ou computador.
Em seguida, deves abordar os seguintes itens:
Domnio: Pode ser dado na caracterizao da funo, pode ser
determinado pelas condies do problema ou pode ser o domnio de
existncia da expresso analtica y = f (x) que define a funo;
Continuidade e paridade: Dentro de domnio importa procurar se
existem pontos de descontinuidade. E til saber se a funo par eu mpar
pois, em caso afirmativo, simplifica o estudo de muitas caractersticas;
Assintotas: Imprescindveis para a compreenso do comportamento da
funo, devem ser determinadas e caracterizadas pelas suas equaes;
Limites: H que calcular os limites laterais em pontos de descontinuidade,
de mudana de definio da funo e em pontos que no pertencem ao
domnio mas so seus pontos de acumulao. Estudar os limites da funo
quando a varivel tende para infinito;
Interseco com eixos e variao de sinal: Determinar, se existem, as
coordenadas dos pontos de interseco do grfico com os eixos e quais os
intervalos de variao de sinal positivo ou negativo da funo;
1 derivada : O sinal e os zeros da 1 derivada indicam-nos os
intervalos de monotonia e as abcissas dos possveis extremos relativos.
A derivada explica a variao da funo. No esqueas que pode
Tarefa 27
Esboa o grfico de uma
funo f que verifica as seguintes propriedades:
Df = IR+
(3) 4f =
f (x) > 0 x < 3
'(3) 0f =
f '(x) < 0 x > 3
Derivadas e aplicaes | 35
haver mximos ou mnimos em pontos onde no h derivada ou nas
fronteiras do domnio.
2 derivada: O sinal e os zeros da segunda derivada indicam o sentido
da concavidade do grfico e possveis pontos de inflexo. Estes podem
identificar onde o crescimento (decrescimento) foi mximo ou mnimo.
Esboo do grfico e contradomnio: O estudo analtico dever permitir
esboar uma representao grfica da funo que considere todas as
caractersticas obtidas. A representao grfica permite, por sua vez, a
leitura do contradomnio. A imagem geomtrica da funo a forma mais
sugestiva e eficaz de apresentar globalmente o comportamento de uma
funo.
Exemplo:
Esboar o grfico da funo, definida em IR , por f (x) = 1x+ 2
.
Ora, a funo a estudar uma funo racional de domnio
Df = x IR : x+ 2 0}= IR{ \ 2{ } e contradomnio CDf = IR \ 0{ }
A funo no par porque, f (x) f (x) nem mpar ( f (x) f (x) )
A funo descontnua para x = 2 ( (2 Df ) e a reta de equao x = 2
uma assintota vertical porque, limx2
f (x) = e limx2+
f (x) = + ,
O eixo Oy uma assintota horizontal porque,
limx
f (x) = 0 e limx+
f (x) = 0 ,
A funo no intersecta o eixo Ox (no tem zeros), mas interseta o eixo
Oy no ponto de ordenada 12
.
A primeira derivada tambm uma funo racional, definida por
f '(x) = 1(x+ 2)2
x 2 e f '(x) < 0 x 2 , logo f estritamente
decrescente. A funo no tem pontos extremos.
A segunda derivada dada por f ''(x) = 2(x+ 2)2
x 2 e
f ''(x) > 0 x 2 , logo o grfico de f tem concavidade voltada para cima (cncava) e no tem inflexes.
Tarefa 28
Esboa o grfico de uma
funo f que verifica as seguintes propriedades:
Os pontos
(2,3), (4,5), (6, 7)pertencem ao grfico
f contnua
'(6) 0f = e '(2) 0f =
f ''(x) > 0 x < 4
f ''(x) < 0 x > 4
''(4) 0f =
Tarefa 29
Esboa o grfico das funes
reais de varivel real definidas
por:
a) y = 13x3 +3x2 5x
b) y = x4 2x
36 | Clculo diferencial e integral
O grfico de y = f (x) uma hiprbole:
Indeterminaes
As derivadas podem ser muito teis no clculo de limites de quocientes
f (x)g(x)
que assumem indeterminaes, na forma 00
ou
.
Regra de Cauchy:
Sejam f e g duas funes derivveis em um intervalo aberto I contido nos respetivos domnios, tais que g '(x) 0 x I .
Se quando x tende para a ( x a ), f (x) e g(x) tendem para
0 ou para e se existe limxa
f '(x)g '(x)
= L , ento tambm existe
limxa
f (x)g(x)
e tem-se que limxa
f '(x)g '(x)
= limxa
f (x)g(x)
= L
Exemplo:
Calcular limx0
senxx
.
Ao calcular limx0
senxx
encontramos a indeterminao 00
.
Sejam f (x) = senx e g(x) = x para qualquer x 0 .
As funes so derivveis e f '(x) = (senx) ' = cos x e g '(x) = x ' =1 .
Nota
A Regra de Cauchy ainda
aplicvel na resoluo de
indeterminaes 00
ou
quando x .
Derivadas e aplicaes | 37
Ento limx0
f '(x)g '(x)
=cos x1
= cos0 =1 .
Estamos em condies de aplicar a regra de Cauchy para concluir que
limx0
senxx
= limx0
cos x1
=1 .
Exemplo:
Calcular limx+
x2
ex.
Ora, limx+
x2
ex uma indeterminao do tipo
.
Sejam f (x) = x2 e g(x) = ex . Ento, o limite das respectivas derivadas,
limx+
f '(x)g '(x)
= limx+
2xex
ainda uma indeterminao do mesmo tipo.
Derivando novamente, limx+
f ''(x)g ''(x)
= limx+
2ex
=2+
= 0 .
Pela regra de Cauchy conclumos que limx+
x2
ex= 0 .
Exemplo:
Mostra que limx0
ex 1x
=1 .
Ora, (ex 1) ' = ex e (x) ' =1 , nas condies para aplicao da regra de
Cauchy, temos que limx0
ex 1x
= limx0
ex
1= e0 =1 .
Exemplo:
Calcular limx0
3x 2x
x.
Este limite uma indeterminao 00
. Consideramos f (x) = 3x 2x e
g(x) = x , em condies de aplicar a regra de Cauchy e obter:
limx0
3x 2x
x= limx0
3x ln3 2x ln 21
= ln3 ln 2 = ln(32) .
Tarefa 30
Calcula os seguintes limites
a) limx0
ln(x+1)x
b) limx9
x 3x 9
c) limx1
x3 11 x
d) limx+
x+1 x( )e) lim
x02log (x+1)x
f) limx+
xex
38 | Clculo diferencial e integral
Exerccios e Problemas
1. Usa a definio para determinar a derivada de cada uma das seguintes funes:
a) f (x) = x
b) g(x) =1 4x2
c) h(x) = 12x 1
2. Calcula as derivadas laterais nos pontos do domnio em que a funo no derivvel.
a) f (x) = 2 | x 3 |
b) f (x) = 2x1 x1x x
Derivadas e aplicaes | 39
5. Determina as derivadas sucessivas at a ordem n indicada.
a) y = 1x
, n = 6
b) y = 3x4 2x, n = 5
c) y = sen(2x), n = 4
6. Uma empresa possui a Receita e o Custo dados pelas expresses:
Receita R(x) = x2 +11 ;
Custo C(x) = 296x+1 .
Para um intervalo de produo de zero a seis unidades, determina:
a) A produo para que o Custo seja mnimo;
b) Os intervalos em que a funo Custo cresce ou decresce;
c) A produo para que a Receita seja mxima;
d) Os intervalos em que a Receita cresce ou decresce;
e) A produo para que o Lucro seja mximo.
7. Um projtil lanado na vertical de baixo para cima a uma velocidade inicial de 140 m/segundo. A distncia,
em metros, a que encontra do solo decorrido t segundos dada por d(t) =140t 20t 2 .
7.1 Decorridos 5 segundos, a que distncia do solo se encontra o projtil?
7.2 Escreve a expresso da velocidade (1derivada) e da acelerao (2derivada) do projtil ao fim de t segundos.
7.3 Qual a altura mxima atingida pelo projtil? Em que instante isso ocorre?
7.4 Passado quanto tempo o projtil atinge o solo?
8. Uma empresa descobre que t dias aps terminada uma campanha publicitria dum determinado produto,
o nmero de vendas dirias dado em funo de t por: s(t) =100+800e0,2t .8.1 Determina:
a) O nmero de vendas no instante em que terminou a campanha.
b) O nmero de dias que se seguiram ao final da campanha e durante os quais o nmero de vendas foi
superior a 500.
8.2 Esboa graficamente ( )s t e explica como foi variando o nmero de vendas dirias com o decorrer do tempo aps ter terminado a campanha publicitria do produto.
8.3 Calcula e estuda o sinal de '( )s t . Com base nos resultados interpreta a forma como evoluiu o nmero de vendas e compara com as concluses tiradas antes.
40 | Clculo diferencial e integral
8.4 Se no for feita mais nenhuma campanha publicitria em que valor tender a estabilizar o nmero de
vendas dirias do produto?
9. A equao T (t) = 30+ 250tt 2 +10
relaciona a Temperatura T (em graus Celcius) de uma reao qumica com o
tempo da experincia (em minutos). Sabendo que experincia durou 60 minutos:
9.1 Calcula e explica o significado do quociente T (2)T (0)2
.
9.2 Qual o significado de limt2
T (t)T (2)t 2
no contexto da experincia?
9.3 Determina em que instante t se registou a temperatura mxima.
9.4 Existe alguma inflexo na curva da temperatura da experincia? Justifica a tua resposta e determina
qual o significado no contexto da situao.
10. Supondo que a equao de procura de um artigo comercial p =1000,01x e custo deste artigo C(x) = 50x+10000 dlares.
10.1 Determina o nmero de unidades que maximiza o lucro e qual o lucro total para esse valor de produo.
10.2 Supondo que cobrada uma taxa de valor igual a 10 dlares por unidade, qual ser ento o nmero
de unidades correspondente ao lucro mximo.
11.
11.1 O custo C para se beneficiar um produto alimentar base de trigo dado por: C = x2 + 4000 , onde C dado em dlares e x a quantidade de trigo (em toneladas).
a) Determina a taxa de variao mdia do custo para o intervalo 1 x 5 . Qual o significado geomtrico
desse resultado obtido?
b) Calcula a derivada do custo no ponto correspondente a x = 2 . O que significa este resultado no
contexto da situao?
11.2 Para o mesmo produto, a receita R, em dlares, ao se comercializar a quantidade y , em unidades, dada pela funo: R = 2y2 +1000y .
a) Esboa o grfico de R, assinalando os seus principais pontos de referncia.
b) Calcula a derivada R '(100) . Qual a unidade dessa derivada? O que representa no contexto da
situao?
c) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja mxima? Qual o valor desta
receita mxima?
d) Calcula R '(200) e '(300)R . O que significa o sinal do resultado obtido, no contexto da situao?
Derivadas e aplicaes | 41
12. Esboa o grfico e faz um estudo das funes, indicando o domnio, pontos crticos, extremos, intervalos de
crescimento e decrescimento, concavidades e inflexes do grfico das funes definidas em IR por:
a) f (x) = 4 x2
b) f (x) = x3 +1
c) f (x) = 2ex
d) f (x) = ln(2x+3)
e) f (x) = x3
3 9x + 2 f) f (x) = 3 (x +1)3
Unidade Temtica 1 | Clculo diferencial e integral
42
Subtema 2 - Clculo de reas e volumes
Primitivas e integrais so noes fundamentais para o clculo e a anlise
matemtica.
Conhecida a derivada de uma funo pode ser importante saber qual
a funo que lhe corresponde. A primitivao o processo inverso da
derivao.
Por sua vez, a integral definida surge relacionada com o problema de
determinar a rea de certas figuras irregulares planas e o volume de
slidos de revoluo, mas tambm possui muitas outras interpretaes
possveis. Permite por exemplo, determinar a posio futura de um corpo
a partir da sua posio atual e do conhecimento das foras que atuam
sobre ele.
Funo primitiva
Determinar uma primitiva de uma funo envolve o processo inverso da
derivao.
Uma primitiva para uma funo real de varivel real f uma outra funo real de varivel real derivvel F , cuja derivada coincide
com f , isto , F ' x( ) = f x( ).
Exemplo: Para a funo definida por f (x) = x2
, so suas primitivas as
funes definidas por:
F(x) = x3
3 , pois F '(x) = ( x
3
3) ' = 1
33x2 = x2
F(x) = x3
3+ 2
, pois F '(x) = ( x
3
3+ 2) ' = 1
33x2 +0 = x2
F(x) = x3
3+ c (c IR)
, pois F '(x) = ( x
3
3+ c) ' = x2
A constante c da ltima primitiva to geral, que se F (x) e G(x) so duas quaisquer primitivas de uma funo f ento, para todo x Df , c = F (x)G(x) . Ou seja, todas as primitivas de uma funo diferem por uma constante.
iContedosFuno primitiva
Primitivas. Mtodos de
primitivao
Teorema fundamental do
clculo
Regra de Barrow
Noo de soma integral
Integral definida. Propriedades
Aplicaes do clculo integral:
a) reas de figuras planas
b) Volumes de slidos de
revoluo
Nota
Para primitivar uma funo
f deves pensar qual a funo cuja derivada ( )f x ?...
? f
Clculo de reas e volumes | 43
Exemplo:
Todas as primitivas para a funo f (x) = x2 so da forma:
F(x) = x3
3+ c (c IR) .
Se F(x) uma primitiva para f (x) ento P[ f (x)]= F(x)+ c a expresso geral de todas as primitivas para a funo f , qualquer que seja c IR .
Exemplo:
A primitiva de uma funo uma inversa da funo derivada.
Se a derivada (x3) ' = 3x2 , ento sabemos que 3x2 uma primitiva de x3 .
Indicando por P a operao inversa da derivao (primitivao), temos
que P(3x2 ) = x3 + c (c IR) .
Mtodos de primitivao
Uma funo f diz-se primitivvel se admite uma primitiva. Para obter uma primitiva para uma funo h tcnicas de primitivao que podem
ser desenvolvidas. Vejamos algumas testas tcnicas:
Primitivao imediata
O mtodo de primitivao imediata consiste em verificar se a expresso a
primitivar define a derivada de alguma funo conhecida.
Exemplo:
(x) ' =1 P(1) = x + c, c IR ;
(x2 ) ' = 2x P(x) =12x2 + c, c IR ;
(x3) ' = 3x2 P(x2 ) =13x3 + c, c IR ;
(x5) ' = 5x4 P(x4 ) =15 x5 + c, c IR ;
Estes exemplos levam-nos a estabelecer a seguinte regra de clculo para a
primitiva de uma funo potncia:
Recorda
A regra de derivao de uma
potncia: (un ) ' = nun1 u ' .
44 | Clculo diferencial e integral
Se n 1 , P(nxn1) = xn + c , c IR . Ou seja,
P(xn ) = xn+1
n+1+ c, c IR
Se n = 1, como (ln x) ' = 1x
ento P(x1) = P(1x
) = ln | x |+c, c IR .
Nota que esta regra aplicvel a todo tipo de potncias de expoente
natural, inteiro ou racional.
Exemplo:
P(x7 ) = x7+1
7+1+ c = x
6
6+ c, c IR
P( 1x
) = P(x
12 ) = x
12+1
12+1+ c = 2 x + c, c IR
P( 1x 2
)=ln | x 2 |+c, c IR
P( 12x+1
) = 12P( 1
x+ 12
)= 12
ln | x+ 12
|+c, c IR
Se k uma constante real no nula e f uma funo que admite primitiva, ento:
P(k) = kx+ c, c IR
P[k. f (x)]= k.P[ f (x)] .
Primitivao por decomposio
A primitiva de uma soma de funes igual soma das primitivas das
funes. Ou seja,
P[( f1 + f2 + ...+ fn )(x)]= P[ f1(x)]+ P[ f2 (x)]+ ...+ P[ fn (x)]
Exemplo:
P(6x 1) = 6P(x) P(1) = 6 12x2 x+ c, c IR
Exemplo:
P(3x2 5x+ 4) = P(3x2 ) P(5x)+ P(4) = x3 52x2 + 4x+ c, c IR
Recorda
A derivada da raiz quadrada:
( u )= u '2 u
(u > 0) .
Recorda
A derivada do logaritmo
natural: (lnu)= u 'u
,u > 0 .
Tarefa 31
Calcula as seguintes primitivas:
a) cos(4 )P x
b) P(3x4 )
c) (6 )P x
d) 7( )P x
e) 31( )
2P
x
f) P( 2x3)
g) 3( )P x
h) P(13x
43 )
Recorda
A regra da derivada de
uma soma de funes:
f1 + f2 + ...+ fn ' = f1 '+ f2+...+ fn '
Clculo de reas e volumes | 45
Exemplo:
P(senx+ cos x) = P(senx)+ P(cos x) = cos x+ senx + c, c IR
Exemplo:
Se (6x+1)3 ' = 3(6x+1)2.(6x+1) ' = 36 (6x+1)2 , ento
P[18 (6x+1)2]= 6x+1( )3+ c, c IR
Se (x3 + x2 )4 ' = 4 (x3 + x2 )3.(3x2 + 2x) , ento
P[4 x3 + x2( ) 3x2 + 2x2( )]= x3 + x2( )4+ c, c IR
Nas situaes gerais, a regra da derivada da composta permite-nos
generalizar algumas das mais usuais regras prticas de primitivao.
Seja u = f (x) . Ento:
P(un . u ') = un+1
n+1+ c, c IR (n 1)
P(u1. u ') = P(u 'u
) = ln |u |+c, c IR (n = 1)
P(eu . u ') = eu + c, c IR
P(sen(u). u ') = cos(u)+ c, c IR
P(cos(u). u ') = sen(u)+ c, c IR
P( u 'cos2 (u)
) = tan(u)+ c, c IR
P( u 'sen2 (u)
) = cot g(u)+ c, c IR
a > 0a 1, P(au . u ') = au
lna+ c, c IR
Exemplos:
P(2x ) =1
ln 2
.2x + c, c IR
Tarefa 32
Calcula as seguintes primitivas:
a) P x7 6x+8( )b) P(x4 + 2x+3)
c) (3 )P senx
d) ( 5)P x +
e) P(x3 6x2 + 4x)
f) P(12x4 + x3 + 2)
Recorda
As regras de derivao:
( u) ' ' cos sen u u=
(cos u) ' = usen(u)
(eu ) ' = eu
(au ) ' = u. au .lna
46 | Clculo diferencial e integral
P[cos( x2
)]= P[cos(12x)]=
sen 12x
12
+ c = 2sen x2+ c, c IR
Primitivao por mudana de varivel
Por vezes, h necessidade de proceder a pequenas transformaes
algbricas de modo a identificar mais facilmente a derivada de alguma
funo. Esta tcnica consiste em substituir a varivel na funo a primitivar,
transformando-a em outra mais facilmente primitivvel.
Exemplos:
a) P(e5x )
Fazendo u = 5x u ' = 5 e primitivando em ordem a esta varivel,
temos: P(15eu ) = 1
5eu + c,c IR
Voltando varivel original,
P(e5x ) = 15e5x + c, c IR
Tarefa 33
Calcula as seguintes primitivas:
a) P[.sen x( ) ]b)
2 1(2 )tP te +
c) P( x3 + x 2 x 3
x2)
d) P(x3 1x3)
e) 1( )P xx
+
f) P( x3 + 2xx2 1
)
g) P(e2x 2x 5)
h) [ (2 1) cos(3 2)]P sen x x+ + +
Clculo de reas e volumes | 47
b) P[(x2 +3x)2 (2x+3)]
Fazendo u = x2 +3x e u ' = 2x+3 , temos que,
P(u2 ) = u3
3+ c, c IR ,
P = (x2 +3x)3
3+c, c IR
c) P( 5xx2 +1
)
Fazendo u = (x2 +1) e u ' = 2x , temos que,
P(duu
) = ln |u |+c, c IR
P( 5xx2 +1
) = 52Px (
2xx2 +1
) = ln(x2 +1)+ c, c IR
d) P(cos(5x))
Fazendo u = 5x u ' = 5 , temos:
15P(cosu) = senu+ c, c IR
Px (cos(5x)) =15sen(5x), c IR
e) P( x1 x2
)
Fazendo u =1 x2 u ' = 2x , temos:
P( x1 x2
) = P(x(1 x2 )12 )
P( 12u
12 ) = P( 1
2 u) = u + c, c IR
P( x1 x2
) = 1 x2 + c, c IR
f) P( 2+ ln xx
)
Fazendo u = 2+ ln x u ' = 1x
Tarefa 34
Usa a tcnica de primitivao
por mudana da varivel para
calcular:
a) 2(2 1 )P x x+
b) ( 1 )P x+
c) 2( cos )P sen x x
d) P( x +3)4 )
e) 5( )xP e
f) 2
( )xP x e
g) 2[ cos (3 )]P x x
48 | Clculo diferencial e integral
23P(u
12 ) = u
32
32
+ c, c IR
P( 2+ ln xx
) = 23
(2+ ln x)32 + c, c IR
g) P(x3ex4
+ 2)
Fazendo u = ex4
u ' = 4x3ex4
P(x3ex4
+ 2) = P(x3ex4
)+ P(2) = 14ex
4
+ 2x+ c, c IR
h) P( x1+ x
)
Fazendo u = 1+ x u2 1= x 2uu ' =1
2P(u2 1u
.u.) = 2P(u2 ) P(1) = ...= 23
( 1+ x )3 1+ x + c, c IR
Primitivao por partes
Primitivando a regra da derivada do produto de duas funes, temos:
P( f .g) '(x) = P[ f (x).g(x)]+ P[ f (x).g(x)]
Ou seja, ( f .g)(x) = P[ f (x).g(x)]+ P[ f (x).g(x)] , que equivalente a:
P[ f (x).g(x)]= ( f .g)(x) P[ f (x).g(x)] .
Esta igualdade til quando se verifica que mais fcil obter uma primitiva
imediata para o produto ( f .g ')(x) do que para o produto ( f '.g)(x) .
Regra prtica
Para aplicar esta tcnica, escolhe-se uma das funes para primitivar
(por exemplo, f (x) ) e deriva-se a outra (funo g(x) ) e usa-se a regra P( f g) = f .g P( f .g) .
Exemplo:
Para calcular P(x ln x ) , tomamos f (x) = x e g(x) = ln x . Assim, uma
primitiva para P(x) a funo F(x) = x2
2 e a derivada g(x) = 1
x.
Recorda
A regra da derivada de um
produto de funes:
( . ) . . f g f g f g= +
Clculo de reas e volumes | 49
Aplicando a regra da primitivao por partes, temos:
P(x ln x ) = x2
2ln x P( x
2
2. 1x
) = x2
2ln x 1
2P(x) = x
2
2ln x x
2
2+ c, c IR
Nota que a constante c IR s foi colocada no final para no atrapalhar os clculos intermedirios.
Exemplo:
Usar sucessivamente a tcnica da primitivao por partes para calcular
I = P(x2 cos x) .
Tomamos P (g(x ))=P (cos x ) g (x )=senx
f (x )=x2 f '(x )=2x
Primitivando por partes, obtemos:
I =()
x2senx P(2xsenx)
Tomamos P (g '(x ))=P (senx ) g (x )=cos x
f (x )=x f '(x )=dx
I =()
x2senx 2 xcos x P(cos x) .
Ou seja,
I = x2senx+ 2xcos x 2senx+ c, c IR
Noo de soma integral
A noo de soma integral assenta no mtodo da exausto atribudo a
Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeioado por Arquimedes
(287-212 a.C.). Este mtodo consiste em aproximaes sucessivas da
figura dada por meio de outras de reas e volumes conhecidos.
O caso mais conhecido o famoso problema da quadratura do crculo, isto
, o problema de obter um quadrado com a mesma rea de um crculo de
raio r dado.
Exemplo:
Uma primeira aproximao para a rea do crculo dada pela rea do
quadrado inscrito no crculo. Com o acrscimo de quatro tringulos
Tarefa 35
Usa a tcnica de primitivao
por partes para calcular:
a) (ln )P x
b) ( sin(2 ))P x x
c) ( )xP xe
d) P( ln xx2)
Referncia histrica
Arquimedes de Siracusa (287
212 aC), pela originalidade
de seus mtodos e pelo rigor
de suas demonstraes,
considerado um dos mais
ilustres matemticos da
antiguidade. Interessava-se
tanto pela matemtica pura
quanto pela aplicada e criou
dois ramos da fsica (esttica
e hidrodinmica). Tornou-se
famoso por suas invenes
mecnicas, algumas delas
utilizadas na defesa da cidade
de Siracusa.
50 | Clculo diferencial e integral
issceles convenientes, obtemos o octgono regular inscrito no crculo,
cuja rea fornece uma aproximao melhor rea do crculo.
Do ponto de vista geomtrico, possvel aproximar a rea do crculo com
polgonos regulares inscritos de 2n lados, obtendo aproximaes cada vez
melhores para a rea do crculo.
Usando um procedimento similar a este, com polgonos inscritos e
circunscritos, Arquimedes calculou a rea do crculo de raio unitrio
mostrando que a rea A = (l-se pi) um valor real compreendido entre 3 +10/71 (por defeito) e 3 + 1/7 (por excesso).
Ou seja: 3,140485 < < 3,142857 (prximo com 6 casas decimais).
rea sob uma curva: Integral definida
O que permitiu a passagem do mtodo de exausto de Arquimedes para
o conceito de integral foi a noo que, em certos casos, a rea da regio
pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximao por reas
de retngulos.
Uma partio de um intervalo a,b da reta real um conjunto finito
de pontos xo ,x1,...,xn{ } em IR tal que: a = x0 < x1 < ... < xn = b .
Clculo de reas e volumes | 51
Dado um intervalo a,b , podemos tomar uma partio muito particular, como aquela que toma pontos de modo que os sub intervalos da partio
tenham comprimentos iguais. Seja, I j = x j ,x j+1 o j-simo subintervalo da partio.
Definio de Cauchy- Riemann
Seja f : a,b IR limitada e tal que f (x) 0, x a,b .
Considere-se uma partio: a = x0 < x1 < ... < xn = b do intervalo a,b que contenha todos os n sub intervalos com o mesmo comprimento
x =b a( )n
.
Tomamos apenas os primeiros pontos da partio e fazemos uma
anlise geomtrica da curva no sub-intervalo x0 ,x1 (para os outros sub intervalos ocorre uma situao similar).
Ento, a rea sob a curva no intervalo x0 ,x1 pode ser obtida atravs
da rea S1 do retngulo cuja base mede x = x1 xo e a altura a linha
tracejada cuja medida dada por f c1( ) , onde c1 um ponto em x0 ,x1
Existe uma diferena residual entre as reas que ficam acima da curva e
dentro do retngulo e abaixo da curva e fora do retngulo.
Em cada sub intervalo I j = x j ,x j+1 desta partio tomamos um ponto
genrico qualquer c j e formamos n retngulos, todos com as bases de
medida x e alturas dadas por, f c1( ), f c2( ), ..., f cn( )
Referncia histrica
Os estudos do matemtico
francs Augustin Cauchy
(1789-1857) foram muito
importantes por terem
dado incio investigao
sobre os fundamentos do
Clculo Integral, levando ao
desenvolvimento da anlise
matemtica e da teoria das
funes.
O matemtico alemo
Bernhard Riemann (1826-
1866) realizou um estudo bem
mais aprofundado sobre a
integral e em sua homenagem
a integral estudada por ele
passou a receber o nome de
Integral de Riemann.
52 | Clculo diferencial e integral
Se a partio tem n sub intervalos, seja Sn a soma das reas dos n retngulos.
Temos que:
Sn = f c1( )x+ f c2( )x+ ...,+ f cn( )x = f (c j )xj=1
n
Para todos os valores de n possvel formar uma sucesso numrica
{S1, S2, ..., Sn ,...} de todas as somas parciais que correspondem, cada uma
rea do retngulo de base x e altura f (c j ), j =1,2,3,...,n .
Se esta sucesso convergente para um nmero real bem definido,
obtemos uma estimativa para a rea da regio delimitada pelo grfico da
funo f e pelo eixo Ox , entre as retas x = a e x = b .
Neste caso,
f integrvel no intervalo a,b e o limite desta sequncia a soma integral das reas de todos os retngulos,
s = limn+
f (c j )xj=1
n
= f (x)dxa
b
A expresso limn+
f (c j )xj=1
n
o limite da sequncia das somas
parciais Sn , tambm chamadas de somas de Darboux-Riemann.
Se a funo f integrvel, a soma f (x)dxa
b
chamada
integral definida de Riemann, no intervalo a,b .
Clculo de reas e volumes | 53
Exemplo:
Calcular 3.dx1
1
, c IR
Representando graficamente a funo integranda, definida por f (x) = 3 ,
(funo constante) verificamos que podemos obter a rea do retngulo
limitado pelas retas y = 3 , y = 0 , x = 1 e x =1 .
Sabemos que a rea A =|1 (1) |3= 6 .
Vamos calcular a rea, tendo em conta a definio de integral definida:
3 dx1
1
= limx j0
f (c j )j=1
n
x j
= limx0
3j=1
n
x j = 3limx0 x jj=1
n
= 3limx0(1 (1)) = 3(1+1) = 6
Ou seja, 3dx1
1
= 6 unidades de rea.
Observaes:
A integral definida de Riemann corresponde rea da figura
delimitada pelo grfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b .
A existncia e o valor do limite s deve ser independente da escolha
dos pontos c1, ..., cn nos sub intervalos de a,b .
O limite s da sequncia das somas Sn pode existir ou no.
Determinar condies necessrias e suficientes para que uma
funo seja integrvel (segundo Riemann) uma questo que requer
conceitos que so abordados num nvel mais avanado da anlise
matemtica e no so do mbito do programa.
Toda a funo contnua definida num intervalo limitado e fechado
integrvel, segundo Riemann.
Uma funo limitada definida num conjunto fechado e limitado
a,b integrvel, segundo Riemann, se o nmero de pontos de descontinuidade da funo neste intervalo for finito.
Se f no necessariamente positiva em a,b , a integral de f pode tambm ser definida da mesma forma, mas alguns cuidados
devem ser tomados quanto sua interpretao.
Nota
No caso geral, sendo
a,b,c IR
Se b > a ,c 0 , ento
cdxa
b
= c(b a)
Tarefa 36
Calcula as integrais definidas:
a) 2 dx1
3
b) ( 13
)dx1
2
c) x dx1
2
d) senx dx0
2
54 | Clculo diferencial e integral
Exemplo:
Seja a seguinte situao:
Consideremos o ponto c a,b como um dos pontos da partio. Caso
exista a integral de f sobre a,b , verifica-se pelas propriedades das somas integrais que:
f (x) > 0,x a,c e f (x)dxa
c
> 0 , coincide com a rea (regio rosa)
f (x) < 0,x c,b e, ento f (x)dxc
b
< 0 , pelo que a rea (regio azul)
dada por f (x)dxc
b
= f (x)dxc
b
= f (x)dxb
c
, (c < b)
A rea delimitada pelo grfico de uma funo y = f (x) e pelo eixo Ox , no intervalo a,b dada por:
rea = f (x)dxa
b
= f (x)dxa
c
f (x)dxc
b
,
ou seja: rea = f (x)dxa
c
+ f (x)dxb
c
Exemplo:
Para calcular a rea da figura delimitada pela parbola y = x2 o eixo Ox e
a reta vertical x =1 , comeamos por dividir o intervalo 0,1 em n partes
iguais de comprimento x = 1n
.
Tomemos os pontos c j como os extremos esquerdos de cada j -simo intervalo, de forma que:
Clculo de reas e volumes | 55
c1 = 0, c2 = x, c3 = 2 x, ..., cn = n1( )x
Para f (x) = x2 , tomamos o comprimento x = 1n
e escrevemos a soma
Sn = f c1( )1n
+ f c2( )1n
+ ... + f cn( )1n
na forma:
Sn = 02 + (1
n)2 + (2 1
n)2 + ...+ (n 1
n
1n
)2
1n=
Sn = 12 + 22 +32 + ...+ (n1)2
n3=
(n1).n.(2n1)6n3
Sn =
n3
3n2
2+n6
n3=1312n
+16n2
Quando n , a soma s = limn+
Sn =13
e, ento conclumos que a rea da
figura aproxima-se de s = x2 dx = 130
1 (unidades de rea).
Propriedades da integral definida de Riemann
Seja f (x)dxa
b
uma integral de Riemann.
A funo f designada por funo integranda e os nmeros reais a (limite inferior) e b (limite superior) por extremos ou limites de integrao.
O intervalo a,b designado por intervalo de integrao.
Considera-se ainda que:
f (x)dxa
a
= 0 , quando a = b
f (x)dxa
b
= f (x)dxb
a
, quando b < a
Nas propriedades seguintes, supondo que a funo integranda uma
funo contnua no intervalo de integrao, admitimos sem mostrar a
veracidade da seguinte proposio:
Toda a funo contnua num intervalo fechado a,b integrvel, segundo Riemann, nesse intervalo.
Considera que
i2i=1
n
=1+ 22 +32 + ...+ n2 =
= n(n+1)(2n+1)6
56 | Clculo diferencial e integral
Propriedade 1:
Se f uma funo integrvel no intervalo a,b e k uma constante
qualquer, ento a funo kf integrvel em a,b e
k. f (x)dx = k. f (x)dxa
b
a
b
Propriedade 2:
Se f e g so duas funes integrveis no intervalo a,b , ento f + g integrvel no mesmo intervalo e alm disso:
( f + g)(x)dx = f (x)dx+ g(x)dxa
b
a
b
a
b
As duas proposies acima constituem as propriedades lineares da integral
definida, sendo que as demonstraes das mesmas so relativamente
simples, com o uso da definio de integral apresentada.
Propriedade 3:
Se f uma funo integrvel nos intervalos a,c e c,b sendo a < c < b
ento f integrvel em a,b e alm disso:
f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dxc
b
a
c
a
b
Propriedade 4:
Sendo m e M , respetivamente, o menor e o maior valor da funo
integrvel no intervalo a,b , ento:
m(b a) f (x)dx M (b a)a
b
Propriedade 5 (Teorema da mdia):
Seja f uma funo contnua num intervalo a,b . Pelo teorema de Bolzano-
Cauchy, existe c a,b tal que: f (x)dx = f (c).(b a)a
b
Prova: Se f uma funo contnua em a,b podemos falar no menor e no maior valor que a funo assume neste intervalo.
Sejam
m =min f x( ) : x a,b { } e M =max f x( ) : x a,b { } .
Clculo de reas e volumes | 57
Existem x = x0 e x = x1 tal que m = f (x0 ) e M = f (x1) , os quais para
todo ci ,i =1,2,...,n , do intervalo a,b , temos:
m f ci( ) MDonde, realizando a soma relativa aos ndices de ci ,i =1,2,...,n obtemos:
mdxi=1
n
f (ci )i=1
n
dx Mdx1=1
n
Logo, m(b a) f (ci )i=1
n
dx M (b a)
Tomando o limite com n nas trs expresses das desigualdades,
sendo, limn
f (ci )dxi=1
n
= f (x)dxa
b
, temos:
m(b a) f (x)dxa
b
M (b a)
isto : m 1b a
f (x)dxa
b
M
Portanto, o termo intermdio das desigualdades est entre f (x0 ) e
f (x1) . Segue pelo Teorema de Bolzano-Cauchy que existe pelo menos
um c a,b tal que: f (c) =1b a
f (x)dxa
b
.
Teorema Fundamental do clculo integral
Seja f uma funo integrvel num intervalo a,b e seja F a
funo definida por F(x) = f (t)dta
x
.
Ento, em todos os pontos x ]a,b[ tem-se que:
F uma funo contnua;
Se f contnua, ento F uma funo derivvel e F '(x) = f (x) .
Prova: Considera um acrscimo h varivel x , poderemos escrever:
F(x+ h) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = F(x)+x
x+h
a
x
a
x+h
f (t)dtx
x+h
58 | Clculo diferencial e integral
Pelo teorema da mdia, existe um valor c x,x+ h , tal que:
f (t)dt = f (c).hx
x+h
Ento, F(x+ h) = F(x)+ f (c).h .
Dividindo ambos os membros por h e fazendo h 0 , temos a definio de derivada da funo. Ou seja,
limh0
F(x+ h) F(x)h
= f (x) F '(x) = f (c) .
O clculo deste limite garante que c tende para x e pela continuidade da funo, f (c) tende para f (x) e F '(x) = f (x) .
Assim: F(x) = f (t)dta
x
uma primitiva para a funo f .
O teorema fundamental do clculo integral permite exprimir a integral
definida de uma funo em termos de uma sua funo primitiva.
Em consequncia deste teorema podemos obter uma frmula para o
clculo da integral definida, conhecida por Regra de Barrow:
Seja f uma funo contnua num intervalo a,b e F uma
primitiva de f , ento, f (x)dx = F(x) b= F(b) F(a)
a
b
.
Exemplo:
Usando a frmula de Barrow, calcular a rea da figura delimitada pela
parbola y = x2 , o eixo Ox e as retas verticais x =1 e x = 2 .
Sugesto: comea por fazer um esboo do grfico que ilustra a situao.
Referncia histrica
Isaac Barrow (1630 1677)
no seu estudo do movimento
com velocidades variadas,
fez uma abordagem muito
prxima do processo moderno
de diferenciao, mediante
o uso do chamado tringulo
diferencial. A derivada da
distncia era a velocidade e
a operao inversa, partindo
da velocidade, levava
distncia. Assim, Barrow foi
dos primeiros matemticos a
perceber que a diferenciao
e a integrao so operaes
inversas uma da outra.
Esta relao est na base do
Teorema Fundamental do
Clculo integral estabelecido
mais tarde por Newton e
Leibniz.
Tarefa 37
Usa a regra de Barrow para
calcular as seguintes integrais
definidas:
a) (2x+1)dx1
1
b) x3 dx1
3
c) x dx1
2
d) cos xdx0
e) sen2xdx0
4
Clculo de reas e volumes | 59
Uma primitiva para f (x) = x2 a funo F(x) = x3
3, logo, pela frmula
de Barrow, temos que:
x2 dx1
2
= F(2) F(1) = x3
3
1
2
=8313=73
. A rea 73
unidades de rea.
Exemplo:
Calcular a rea da regio limitada pela parbola y = x2 e a reta de equao y = 2x+3 .
rea= (2x+3) x2 dx = (2x+3)dx x23
1
3
1
3
1
dx
(2x+3 x2 )dx =3
1
2 x2
2+3x x
3
3
3
1
=
= (3)2 +3 (2)(3)3
313+ 1
3=323
A rea 323
unidades de rea.
Exemplo:
Um estudo indica que, daqui t anos, a populao de um dado municpio crescer taxa de 117+ 200t pessoas por ano. Qual ser o aumento populacional deste municpio nos prximos 10 anos?
Seja P = P(t) a populao para cada t anos, ento P '(t) =117+ 200t a variao mdia da populao em t anos.
Seja P1(t) =117t +100t2 P1 '(t) = (117t +100t
2 ) ' =117+ 200t . Ento,
uma primitiva para P '(t) P1(t) =117t +100t2 , logo o aumento
populacional nos prximos 10 anos ser dado por:
P1(10) P1(0) = (117+ 200t)dt =111700
10
pessoas.
Aplicaes do clculo integral
A interpretao geomtrica da integral definida permite uma aplicao
imediata no clculo de reas planas, na determinao do volume de
alguns slidos geomtricos ou ainda, no clculo do comprimento de arcos
e curvas. Vejamos os seguintes exemplos:
Tarefa 38
Uma populao de
5000 indivduos tem
uma variao dada por,
VM 0,x = 2+6 x , (x em anos)
Determina qual a populao
daqui a 9 anos.
60 | Clculo diferencial e integral
a) Clculo de reas de figuras planas
A rea limitada por uma curva y = f (x) e as retas de equao x = a e x = b e pelo eixo Ox dada por:
Se f (x) 0 em a,b ,
A = f (x)dxa
b
Se f (x) 0 em a,b
A = f (x)dxa
b
= f (x)dxb
a
A rea limitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x) e pelas retas de equao x = a e x = b dada por:
A = f (x)dxa
b
g(x)dxb
c
Exemplo:
Calcular a rea lim