A MATEMATIKA I(prvi kolokvij 26.10.2013.)

1. Odredite λ tako da vektor ~c = (2 − λ, 1, 3) zatvara isti kut s vektorom ~a = (4, 2,−4) i vektorom ~b = (8, 0, 6),odnosno ^(~a, ~c) = ^(~b, ~c).

(10 bodova)

2. Zadani su vektori ~a = (3, 1, 4), ~b = (0, 1, 1) i ~c = (1, 1, 2).

a) Ispitajte leže li ti vektori u istoj ravnini.

b) Jesu li vektori ~a × ~b i ~a × ~c kolinearni? Obrazložite.

(10 bodova)

3. Zadan je pravac (x, y, z) = (2 − 3t, 1 + t, 3 − 2t) i tocka A(−2, 1,−5) van tog pravca. Nadite tocku T na pravcukoja je najbliža tocki A.

(20 bodova)

4. Zadani su pravac p : (x, y, z) = (2 + t, 3 + 2t, 2 + 3t) i ravnina x − 2y + z = 1.

a) Pokažite da su pravac i ravnina paralelni i da pravac ne leži u ravnini.

b) Nadite pravac koji leži u zadanoj ravnini i paralelan je pravcu p.

(20 bodova)

5. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav

2x1 + x2 + x3 = 3x1 + x2 + x3 = 2x1 − x2 = 2

2x2 + 3x3 = 4−x1 + 4x2 + 5x3 = 5

(20 bodova)

6. Zadana je matrica A =[

2 00 −1

].

a) Odredite sve matrice B koje komutiraju s A: AB = BA.

b) Koristeci se rezultatom a) odredite inverz matrice A.

(10 bodova)

7. Ocitajte rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme. Ako sustav ima beskonacno rješenjanapišite barem dva primjerka rješenja.

a)

1 2 0 3 10 1 0 1 −10 0 0 2 0

, b)

1 0 2 −2 30 1 0 1 10 0 0 0 0

.(10 bodova)

C MATEMATIKA I(prvi kolokvij 26.10.2013.)

1. Zadan je vektor ~a = (−2, 0, 1). Odredite vektor ~b = (x, 5, z) tako da je okomit na ~a i da je |~b| = 5.(10 bodova)

2. Zadani su vektori ~a = (1, 4, 1), ~b = (2, 5,−3) i ~c = (0, 1, 2).

a) Odredite volumen paralelepipeda kojeg tvore ti vektori.

b) Odredite visinu tog paralelepipeda spuštenu na bazu sa stranicama −→a i −→c .

(10 bodova)

3. Zadana su dva pravca

p . . . (x, y, z) =(1 + 4t, 2 − 2t, 1 + 2t)

q . . . (x, y, z) =(3 − 2s,−4 + s, 5 − s).

a) Pokažite da su ta dva pravca paralelna.

b) Odredite ravninu u kojoj leže oba pravca.

(20 bodova)

4. Zadana je ravnina x − 2y + z + 3 = 0 i tocka A(4,−3,−1). Odredite tocku B simetricnu tocki A u odnosu nazadanu ravninu.

(20 bodova)

5. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav

x1 + 2x2 + x3 + 6x4 = 0x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 3x2 + 4x4 = 0− x2 + x3 + 2x4 = 0

4x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 0

(20 bodova)

6. Odredite sve matrice A takve da je[−1 −22 2

]T= A +

[1 23 4

]·

[−1 00 2

]−1

.

(10 bodova)

7. Dane su ešalonske forme dva sustava linearnih jednadžbi. Koji su moguci slucajevi rješenja sustava ovisno ovrijednosti broja a? Ako sustav ima rješenje napišite kako glasi.

a)

1 2 0 10 1 0 30 0 a a + 1

, b)

1 2 1 00 1 0 20 0 a 3a

.(10 bodova)