Ejercicios Mat1 CyH 1.1

Apartado 1.1 Matemáticas para Primero de Secundaria Hoja:1

BLOQUE: CURSO: MATEMATICAS I APARTADO: 1.1EJE: Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA: NÚMEROS NATURALES

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos y no posicionales.

ORIENTACIONES DIDÁCTICASQue los alumnos planteen analicen diferentes formas de representar y nombrar números, resaltando las ventajas y desventajas de cada sistema,., así como las dificultades de su construcción a lo largo de la historia.

Conocimientos previos.

Recuerda que cualquier número elevado a la potencia 0 da como resultado 1.Ejemplos: a) 40 = 1 b) 1500=1 c) 5673280=1 d) 10000000=1

Recuerda que cuando elevamos alguna cantidad a una potencia, dicha cantidad se multiplica por si misma, las veces que marca la potencia, ejemplos:a)35=3x3x3x3x3=243 b) 28=2x2x2x2x2x2x2x2=256 c) 232=23x23=529

Sistema de numeración ROMANA.Un poco de historia.El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no-posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

Símbolo I V X L C D MValor decimal 1 5 10 50 100 500 100

Los principio que emplearon los romanos en su numeración son:. Aditivo, sustractivo y multiplicativo

Aditivo Sustractivo Multiplicativo

Número romano: II 1+1Decimal= 2

Número romano: XC 10-100Decimal= 90

Número romano: 10 x1000Decimal= 10 000

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Roma

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:BadSalzdetfurthBadenburgerStr060529.jpg


A continuación aparecen algunos ejemplos de números no-válidos en el

sistema de numeración romano, y la regla que incumplen.

Errónea Correcta Valor Motivo

VL XLV 45 Letra de tipo 5 restando

IIII IV 4 Más de tres repeticiones de letra tipo 1

VIV IX 9 Repetición de letra de tipo 5

CMM MCM 1900 Letra tipo 100 a la izquierda de dos de mayor valor

IXVI XV 15 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

IVI V 5 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta

XXL XXX 30 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda

IC XCIX 99 Letra I restando a C

IMM MCMXCIX 1999 Letra I restando a M

IXL XLI 41 Letras I y X adyacentes y restando

XIL XXXIX 39 Letras I y X adyacentes y restando


Para números con valores iguales o superiores a 4000, se coloca una línea horizontal por encima

del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1000:

Romano (miles) Decimal Nominación

5000 cinco mil

10000 diez mil

50000 cincuenta mil

100000 cien mil

500000 quinientos mil

1000000 un millón

Ejercicios con numeración romana.

Escribe la equivalencia de cada número romano en el sistema decimal.

Número romano Sistema decimal =

Número romano Sistema decimal =

DCXXXVII MCMXVIXXVII CCCLXXIXCCLV MMCCILXXXI XXICXXIX MMVIII

XLV XIIXXI XXVILVIII MCMX

CCXXXVI LXVIIICCCXCIX XXXIX

MCC DCXXIIIMDI DCCL

CXXXV MCCXXVDCCL IXCDXC CMXLIX


Escribe la equivalencia de cada número decimal en el sistema romano.

Número decimal

Sistema romano =

Número decimal

Sistema romano =

27 200059 196884 197015 1940

102 590258 68368 139111 1684487 842745 750

924 800506 656192 9212080 13 0001810 20 000

PREGUNTAS DE ANÁLISIS.

¿Qué principios emplearon los romanos en su numeración?______________________________________________________________________________¿Qué similitudes hay entre el sistema romano y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________¿Qué diferencias hay entre el sistema romano y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________


Sistema de numeración BABILONICA.Un poco de historia.Los babilonios empleaban un sistema sexagesimal posicional modificado tras tomar el de los sumerios y también de la civilización de Acadia. Los números babilónicos se escribían en cuneiforme, usando una aguja de lámina inclinada para acuñar marcas en una tablas de arcilla suave que luego se exponían al sol para endurecerlas y que quedasen permanentemente. No tenían un símbolo para el cero.

Su sistema babilónico manejaba el principio aditivo, ya que se van sumando los valores de los símbolos que lo integran. Ejemplos.

a)b)

Después del número 59, utilizaban el principio posicional, con base 60; esto quiere decir, que el mismo símbolo toma diferente valor según la posición que ocupe. El cambio se posición se determina por un espacio de separación (un espacio mayor). También utilizaban el principio multiplicativo por que los símbolos se van multiplicando por 600,601,… Ejemplos.

a)

b)

http://es.wikipedia.org/wiki/Acadia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Babylonian_numerals.jpg


c)

d)

e)

A continuación escribe los números decimales en sistema babilónico.

Número decimal

Sistema babilónico =

Número decimal

Sistema babilónico =

65 90

67 100

68 124

69 144

70 363

182 721

1222 1826

En resumen, el sistema babilónico tiene las siguientes características:

Utiliza dos símbolos básicos, llamados cuñas: Utiliza el principio aditivo hasta el número 59. Es posicional de base 60 (sexagesimal). El valor de cada grupo de símbolos se multiplica

(principio multiplicativo) por 600=1,601=60,602=3600,603=216 000,…, según se ocupe la 1ª, 2ª, 3a, 4ª… posición de derecha a izquierda.



¿Qué principios emplearon los babilonios en su numeración?______________________________________________________________________________¿Qué similitudes hay entre el sistema babilónico y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________¿Qué diferencias hay entre el sistema babilónico y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________Sistema Maya

Reglas de escritura del sistema de numeración maya:a) Para escribir cualquier número sólo disponían de tres símbolos.

b) Los números se escriben por niveles de abajo hacia arriba.

c) En cada nivel se puede repetir hasta cuatro veces y el hasta tres.d) Las cifras de cada nivel tienen un valor diferente. Es un sistema posicional, de base 20,

es decir; el valor de cada nivel de símbolos se multiplica (principio multiplicativo)por potencias de 20,

La siguiente tabla muestra el valor de cada nivel utilizando las potencias de 20.

Observa el siguiente ejemplo.


e) Se aplica el principio aditivo hasta el número 19.

f) En cada nivel puede escribirse hasta el 19.

g) Contaban con el símbolo para el cero:

Observa y analiza estos ejemplos:

Actividad: Escribe el valor de los siguientes números mayas:

a). b ).

c). d).

e). f).


Actividad. Escribe en símbolos mayas del 0 al 19, en la siguiente tabla.

Sistema decimal

Numeración maya

Sistema decimal

Numeración maya

Sistema decimal

Numeración maya

Sistema decimal

Numeración maya

0 5 10 15

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19


¿Qué principios emplearon los mayas en su numeración?______________________________________________________________________________¿Qué similitudes hay entre el sistema maya y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________¿Qué diferencias hay entre el sistema maya y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________


Sistema de numeración binaria.

En mundo actualmente vive una revolución tecnológica, sobre todo en el campo de las comunicaciones y la computación, donde cada día se logran avances importantes, y sus aplicaciones las podemos utilizar cada uno de nosotros.

En el siglo XVII, el matemático de origen alemán Leibnitz utilizó el sistema de numeración binaria (de base dos). Este sistema se llama de base dos, por que únicamente utiliza dos dígitos para representar cualquier cantidad, estos son el 0 y el 1.

Este sistema utiliza potencias de 2, escritas de derecha a izquierda, como lo hacemos en el nuestro sistema de numeración decimal.

Observa la siguiente tabla que muestra las potencias de 2.

Posición …. 8 7 6 5 4 3 2 1Potencia

de 2…. 27 26 25 24 23 22 21 20

Forma desarrollada

…. 2x2x2x2x2x2x2

2x2x2x2x2x2 2x2x2x2x2 2x2x2x2 2x2x2 2x2 2 1

Valor …. 128 64 32 16 8 4 2 1

¿Cómo podemos leer los números binarios? Se leen muy fácil, solo observa el ejemplo.

a) 100102 = 18

Si lo desglosamos en posiciones que daría así

Posición5 4 3 2 11 0 0 1 0

X16 X 2

1 x 16 +1 x 2 = 16 + 2 = 18

El valor de un número binario se encuentra sumando todos los valores relativos de la expresión. Por lo que se utiliza el principio aditivo.

Es un sistema posicional, por que según la posición en donde se localice un 0 o un 1, se multiplica por una potencia de 2.

Se basa en un principio multiplicativo por que se desarrollan las potencias del 2. Abajo del número binario se coloca un 2 pequeñito, con el cual señalamos que estams

utilizando el sistema binario. Ejemplo: 110012

Otros ejemplos.

a) 11102 = 1x8 + 1x4 + 1x2 + 0 = 8+4+2+0= 14b) 1000002 = 1x32 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0=32c) 101010012 = 1x128 + 0 + 1x32 + 0 + 1x8 + 0 + 0 + 1x1= 128+32+8+1 = 169


Actividad: Encuentra el valor en sistema decimal de los siguientes números binarios.

Número binario Sistema decimal

1012

101112

1112

10011002

100112

111112

100100112

1000002

111012

101102


¿Cómo escribir un número decimal en sistema binario?

Para ello se toman las potencias de dos, después se buscan aquellas cantidades que al sumarlas nos den el número decimal y se escriben los 1 o 0 en cada orden según corresponda. Observa los siguientes ejemplos.

a) 78 = _______________ 2

El 78 lo podemos obtener utilizando las siguientes potencias del dos: 64+8+4+2, por lo tanto en esas posiciones ponemos un 1 y en las restantes un 0.

128 64 32 16 8 4 2 1 Potencia de 2

1 0 0 1 1 1 0

78=10011102

b) 181 = ________________ 2

El 181 lo podemos obtener utilizando las siguientes potencias del dos: 128+32+16+4+1, por lo tanto en esas posiciones ponemos un 1 y en las restantes un 0.

128 64 32 16 8 4 2 1 Potencia de 2

1 0 1 1 0 1 0 1

181=101101012

Actividad. Escribe los siguientes números en sistema binario (usa la tabla de potencias de 2)

a) 25= b) 33=c) 63=d) 80=e) 58=f) 256=g) 15=h) 51=i) 7=j) 23=



¿Qué principios se emplean el sistema binario ?______________________________________________________________________________¿Qué similitudes hay entre el sistema binario y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________¿Qué diferencias hay entre el sistema binario y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________

Sistemas de base tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho.

El número de dígitos usados, determina la base, observa la siguiente tabla.

Sistema base Dígitos utilizadosTres 0,1,2

Cuatro 0,1,2,3Cinco 0,1,2,3,4Seis 0,1,2,3,4,5Siete 0,1,2,3,4,5,6Ocho 0,1,2,3,4,5,6,7

De la misma forma en que se maneja el sistema binario, se manejan los sistemas de base: tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Es decir manejando sus potencias y sumando las cantidades.Tabla de potencias de 3:

Tabla de potencias de 4:

n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

4n … 47 46 45 44 43 42 41 40 Potencia… … 16384 4096 1024 256 64 16 4 1 Valor


n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

5n … 57 56 55 54 53 52 51 50 Potencia

n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

3n … 37 36 35 34 33 32 31 30 Potencia… … 2187 729 243 81 27 9 3 1 Valor


… … 78125 15625 3125 625 125 25 5 1 Valor


n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

6n … 67 66 65 64 63 62 61 60 Potencia… … 279936 46656 7776 1296 216 36 6 1 Valor


n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

7n … 77 76 75 74 73 72 71 70 Potencia… … 823543 117649 16807 2401 343 49 7 1 Valor


n … 8 7 6 5 4 3 2 1 Posición

8n … 87 86 85 84 83 82 81 80 Potencia… … 2097152 262144 32768 4096 512 64 8 1 Valor

Ejemplos.

a) 2135= Valor de las posiciones 3ª= 25 2ª= 5 y 1ª= 1; en la tabla de potencias de cinco, por lo tanto:

2x25 + 1x5 + 3x1 = 50+5+3 = 58

b) 12211013=Valor de las posiciones 7ª= 728, 6ª= 243, 5ª=81, 4ª=27, 3ª=9, 2ª=3, 1ª=1; en la tabla de potencias de 3, por lo tanto:

1x728 + 2x243 + 2x81 + 1x27 + 1x9 + 0x3 + 1x1 = 728+486+162+54+9+0+1 = 1440


El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Los símbolos chinos son los siguientes:

y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar de esta forma utilizando el principio multiplicativo. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. Por lo que es un sistema posicional.

Observa los siguientes ejemplos.

a). b).


c), d)

Actividad. Encuentra los valores representados por los siguientes símbolos chinos.

Sistema chino Sistema decimal Sistema chino Sistema decimal


Escribe los siguientes números del sistema decimal en numeración china.

Sistema decimal Numeración china Sistema decimal Numeración china

56 34875

321 89

856 71

6722 489

8584 931



¿Qué principios emplearon los chinos en su numeración?______________________________________________________________________________¿Qué similitudes hay entre el sistema chino y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________¿Qué diferencias hay entre el sistema chino y el nuestro que es el decimal?______________________________________________________________________________

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