Matematiqki fakultet

Univerzitet u Beogradu

Master rad

C0−simplektiqka topologija

Student: Mentor:

Maksim Stoki dr Darko Milinkovi

U Beogradu, 2018-2019.

Sadraj

Sadraj 1

1 Uvod u Florove teorije 4

1.1 Simplektiqke mnogostrukosti i skoro kompleksne strukture . . . 4

1.2 Hamiltonova Florova teorija za simplektqki asferiqne mno-

gostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Lagraneva Florova teorija za kotangentna raslojea . . . . . . 9

2 Spektralne invarijante 11

2.1 Homologija podnivoa funkcije na zatvorenoj mnogostrukosti . . . 11

2.2 Spektralne invarijante u Hamiltonovoj Florovoj teoriji . . . . 12

2.3 Lagraneve spektralne invarijante . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Nejednakosti sa simplektiqkim kapacitetima . . . . . . . . . . . 17

2.5 Istrajni moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Bar kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Simplektiqki i Hamiltonovi homeomorfizmi 25

3.1 Osobine grupe Hamiltonovih homeomorfizama . . . . . . . . . . . 27

4 C0−neprekidnost spektralne norme 32

4.1 Dokaz C0 neprekidnosti spektralne norme . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Posledice neprekidnosti spektralne norme . . . . . . . . . . . . . 37

5 Koizotropna rigidnost 40

5.1 Definisae C0 koizotropnih podmnogostrukosti . . . . . . . . . 43

6 Arnoldova Hipoteza i Hameomorfzmi 45

6.1 C0 kontraprimer Arnoldove hipoteze . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Kratak opis konstrukcije kontraprimera . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Pokuxaj spasavaa Arnoldove hipoteze za homeomorfizme . . . . 48

Literatura 50

1

Predgovor

C0−simplektiqka topologija izuqava ponaxae simplektiqkih objekata i in-varijanti pri C0−limesima. Prvi znaqajan rezultat koji je ujedno i moti-

vacija za izuqavae ove oblati je Gromov Eaxbergova teorema o C0−rigidno-sti simplektomorfizama, koja kae da je grupa simpletomorfizama C0−zatvo-rena u grupi difeomorfizama. Ovaj iznenaujui rezultat nam omoguava da

definixemo pojam simplektiqkog homemorfizma i otvara qitav niz pitaa

o simplektiqkoj rigidnosti i fleksibilnosti ovih preslikavaa.

Opxtije pitae je da li je simplektiqka topologija fundamentalno o glatkim

objektima ili nekim mae regularnim objektima? Kao ilustraciju ovog fenom-

ena dajemo primer kohomologije. Za nekoga ko je samo video De Ramovu koho-

mologiju pojam kohomologije je vezan samo za glatke objekte, ali naravno znamo

da je kohomologija mnogo opxtiji koncept.

Qesto izuqavae objekata mae regularnosti (recimo sa slabijom topologijom)

dovodi do boeg razumevaa glatkih objekata, xto je sluqaj u C0−simplektiqk-oj topologiji. Na primer izuqavaem C0−rigidnosti Puasonovih zagrada

Buhovski, Entov i Polteroviq su definisali nove invarijante sa Puasonovim

zagradama koje su naxle primene u glatkoj Hamiltonovoj dinamici (pogledati

[22]). Jox jedan takav primer je [23, 24, 25] gde su Humiliere, Leklerk i Sejfa-

dini motivisani konkretnim pitaima C0−simplektiqke topologije otkriliniz novih osobina spektralnih invarijanti za glatka preslikavaa.

Iz ugla klasiqne mehanike sasvim je smisleno izuqavati efekte C0−perturba-cija Hamiltonijana, jer one mogu da slue kao model za nepravilnosti realnog

sveta u mnogim situacijama.

Singularni simplektiqki objekti se sve qexe javaju u novim istraiva-

ima i ihovo sistematiqno izuqavae je neizbeno, a C0−simplektiqka topo-logija predstava jedan aspekt ovog trenda.

2

U prvoj glavi dajemo kratak opis konstrukcija jednostavnijih verzija Florovih

teorija. Ci te glave je samo uvoee osnovnih pojmova koji e nam biti

neophodni u drugoj glavi za definisae spektralnih invarijante=i, koje pred-

stavaju jedan od najbitnijih objekata u izuqavau C0 simplektiqke topologije.

Pored spektralnih invarijanti, u drugoj glavi definixemo pojam simplek-

tiqkih kapaciteta, istrajne module i barkodove, pa moemo rei da ova glava

uvodi osnovne alate koje emo koristiti u dokazivau teorema iz C0 simplek-

tiqke topologije.

Trea glava u potpunosti prati rad [18] u kome su O i Miler definisali

pojmove simplektiqkih i Hamiltonovih homeomorfizama. Posebna pau

obraamo na Hamiltonove homeomorfizme za koje jox uvek ne postoji opxte

prihvaena definicija, tako da emo dati dve definicije za slabe i jake

Hamiltonove homeomorfizme.

U qetvrtoj, petoj i xestoj glavi su predstaveni najbitniji rezultati iz C0

simplektiqke topologije, kao i ihove posledice.

Na kraju bih eleo da se zahvalim svom mentoru, profesoru Darku Milinkoviu,

koji mi je pomogao pri odabiru i izradi ove teze. egovi saveti i predavaa

su u velikoj meri unapredili moj naqin uqea i shvataa matematike. Takoe,

eleo bih da se zahvalim i qlanovima komisije profesorima Igoru Uareviu

i Jovani Nikoli.

3

Glava 1

Uvod u Florove teorije

1.1 Simplektiqke mnogostrukosti i skoro

kompleksne strukture

Simplektiqka mnogostrukost je par (M,ω), gde jeM glatka mnogostrukost, a ω

zatvorena nedegenerisana 2−forma. Simplektomorfizmi su difeomorfizmi

koji quvaju simplektiqku formu. Oni qine grupu koju oznaqavamo Symp(M,ω).

Za razliku od grupe izometrija Rimanove mnogostrukosti koja je u generiqkom

sluqaju trivijalna, grupa simetrija simplektiqke mnogostrukosti Symp(M,ω)

je uvek beskonaqna.

Hamiltonijan je glatka funkcija H : R ×M → R sa kompaktnim nosaqem.

Nekada umesto oznake H(t, x) pixemo Ht(x). Hamiltonovo vektorsko poe ili

simplektiqki gradijent pridruen hamiltonijanu H je vremenski zavisno

vektorsko poe XHt dato kao

ω(XHt , ·) = dHt.

Diferencijalna jednaqina ddtφtH = XH(φtH), φ0

H = IdM zadaje Hamiltonov

tok φtH . Za difeomorfizam φ1H kaemo da je Hamiltonov difeomorfizan

generisan saH. Svi Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu

i qine grupu Hamiltonovih difeomorfizama

Ham(M,ω) = φ1H | H : R×M → R.

Grupa Ham(M,ω) je normalna podgrupa grupe Symp(M,ω), xto je jedna od

posledica sledeih identiteta za hamiltonijane H i G:

4

• (φtH)−1

= φtH, gde je H(t, x) = −H(t, φtH(x)),

• φtH φtK = φtH#K , gde je H#K(t, x) = H(t, x) +K(t, (φtH)−1(x)),

• ψ−1 φtH ψ = φtψ∗H , gde je ψ ∈ Symp(M,ω) i ψ∗H(t, x) = H(t, ψ(x)).

Neka je (M,ω) simplektiqka mnogostrukost. Oznaqimo sa [ω] klasu simplek-

tiqke forme u de Ramovoj kohomologiji.

Skoro kompleksna struktura naM je glatko preslikavae raslojea J : TM →TM koje je linearno po fibrama i za koje je J2 = −Id. Kaemo da je skoro kom-

pleksna struktura ω−kompatibilna ako je sa ω(·, J ·) data Rimanova metrika iako je ω(J ·, J ·) = ω.

Stav 1.1 Skup J svih ω−kompatibilnih skoro kompleksnih struktura na

M je neprazan i kontraktibilan.

Dokaz. Pogledati [1].

Prva Qernova klasa kompleksnog vektorskog raslojea (TM, J) ne zavisi od

J ∈ J i ozaqava se sa c1(TM) ∈ H2(M) (za definiciju pogledati [2]).

Kaemo da je simplektiqka mnogostrukost je simplektiqki asferiqna ako

vai

〈ω, π2(M)〉 = 0 i 〈c1(TM), π2(M)〉 = 0.

Ovaj uslov je veoma restriktivan ali ukuquje bitne mnogostrukosti kao xto

su torusi T2n i povrxi pozitivnog roda i ihove proizvode.

Simplektiqku mnogostrukost nazivamo monotonom ako postoji λ > 0 za koje

vai [ω] = λc1(TM). Ova klasa je mnogo vea i ukuquje i kompleksne pro-

jektivne prostore. Simplektiqku mnogostrukost zovemo racionalnom ako je

grupa 〈ω, π2(M)〉 diskretna.

1.2 Hamiltonova Florova teorija za

simplektqki asferiqne mnogostrukosti

Neka je (M,ω) zatvorena simplektiqki asferiqna simplektiqka mnogostrukost.

Florova teorija je definisana i za opxtije klase simplektiqkih mnogostruko-

sti, ali u ovom sluqaju moemo da zaobiemo kvantnu homologiju koja e biti

5

izomorfna singularnoj i na taj naqin jednostavnije definixemo spektralne

invarijante. Takoe, svi rezultati koje emo prezentovati su dokazani za sim-

plektiqki asferiqne mnogostrukosti.

Oznaqimo sa Ω(M) prostor glatkih kontraktibilnih peti naM , vienih kao

preslikavaa R/Z → M . Neka je H ∈ C∞([0, 1] ×M) gladak Hamiltonijan.

emu pridruujemo Hamiltonov funkcional dejstva

AH : Ω(M)→ R, γ 7→∫ 1

0

H(t, γ(t))dt−∫D2

u∗ω,

gde je u : D2 → M preslikavae za koje vai u|∂D2 = γ. Definicija je dobra

jer zbog uslova 〈ω, π2(M)〉 vrednost∫D2 u

∗ω ne zavisi od izbora preslikavaa

u. Funkcional dejstva je centralni objekat u Hamiltonovoj dinamici zbog

sledeeg stava.

Stav 1.2 Kritiqne taqke funkcionala dejstva AH su 1−periodiqne orbiteHamiltonovog toka φtH .

Dokaz. Neka je γ ∈ Ω(M) kritiqna taqka i γs ena varijacija, tako da γ0 = γ

i ξ = dds|s=0γs(t) ∈ TγΩ(M). Tada primenom Kartanove formule dobijamo

dAH(γ)ξ = −∫ 1

0

ω(ξ, γ −XH(γ))dt = 0.

Kako varijaciju biramo prizvono, gori integral se anulira ako i samo ako

vai γ = XH(γ), odnosno kritiqne taqke su rexea Hamiltonove jednaqine u

Ω(M).

Dakle kritiqne taqke funkcionala dejstva AH su u bijekciji sa fiksnim

taqkama Hamiltonovog difeomorfizma φ1H .

Definicija 1.3 Hamiltonijan H nazivamo nedegenerisan ako je grafik pres-

likavaa φ1H transverzalan na dijagonalu u M ×M .

Florova homologija je prvobitno konstruisana kako bi se dokazala Arnoldova

hipoteza koja predvia veliki broj fiksnih taqaka za Hamiltonov difeomor-

fizam. Iz prethodnih razmatraa zakuqujemo da je dovono predvideti ve-

liki broj kritiqnih taqaka funkcionala dejstva AH , pa bi prirodan pokuxaj

6

bio probati Morsovu teoriju za funkcional AH . Klasiqan prostor na kome

bi posmatrali ovaj funkcional je prostor Soboeva W 1,2contr(S1,M), meutim

problem je xto je funkcional AH neograniqen na ovom prostoru i dodatno

Morsov indeks je beskonaqan, tako da sve tehnike klasiqne Morsove teorije

ovde ne prolaze.

Flor je posmatrao L2−gradijent na prostoru peti Ω(M) dat uz pomo skalarnog

proizvoda definisanog kao

ξ, η ∈ TγΩ(M), 〈ξ, η〉 =

∫ 1

0

ω(ξ(γ(t)), Jtη(γ(t)))dt

gde je Jt familija ω−kompatibilnih skoro kompleksnih struktura, a ξ, η vek-torska poa du pete γ. Gradijent u odnosu na ovako definisan skalarni

proizvod je

∇AH(γ) = Jt(γ)(γ −XH(γ)).

Negativna gradijentna jednaqina za x : R→ Ω(M) data sa

d

dsx(s) = −∇AH(x(s))

ne definixe tok na prostoru peti. Florova revolucionarna ideja je da

zameni obiqnu diferencijalnu jednaqinu na prostoru peti sa parcijalnom

diferencijalnom jednaqinom na mnogostrukosti. Definixemo preslikavae

u : R × S1 → M kao u(s, t) = x(s)(t). Na ovaj naqin umesto krivih u prostoru

peti posmatramo cilindre na mnogostrukosti.

Negativna gradijentna jednaqina sada postaje Florova jednaqina

∂su+ Jt(u)(∂tu−XHt(u)) = 0. (1.1)

Neka je H nedegenerisan Hamiltonijan. Florov kompleks CF∗(H) je defin-

isan kao Z/2−vektorski prostor generisan sa Crit(AH). Graduacija ovog vek-

torskog prostora je zadata uz pomo Konli-Cenderovog indeksa iCZ (za defini-

ciju pogledati [3]).

Skup Florovih trajektorija izmeu dve kritiqne taqke γ− i γ+ funkcionala

AH je definisan kao

M(γ−, γ+;H, J) =

u : R× S1 →M

∣∣∣∣∣ u zadovoava (1.1)∀t ∈ S1, u(±∞, t) = γ±(t)

7

gde su limesi u(±∞, t) ravnomerni po t. Primetimo da na gorem skupu imamo

slobodno R−dejstvo translacijama s 7→ s+τ . Modulski prostor Florovih tra-

jektorija izmeu γ− i γ+ definisan je kaoM(γ−, γ+;H, J) := M(γ−, γ+;H, J)/R.

Kaemo da je rexee u Florove jednaqine (1.1) regularno ako je linearizacija

operatora u 7→ ∂su+ Jt(u)(∂tu−XHt(u)) surjektivna u u. Za skoro kompleksnu

strukturu J kaemo da je regularna ako je svako u ∈ M(γ−, γ+;H, J) regu-

larno za svaki izbor γ− i γ+. Regularnost skoro kompleksne strukture J

povlaqi da su modulski prostori M(γ−, γ+;H, J) glatke konaqnodimenzione

mnogostrukosti dimenzije iCZ(γ−) − iCZ(γ+) − 1, za γ− 6= γ+. Skup regularnih

skoro kompleksnih struktura Jreg(H) je druge kategorije u skupu svih 1−perio-diqnih ω−kompatibilnih skoro kompleksnih struktura (xto znaqi da je gener-iqki izabrana skoro kompleksna struktura J regularna).

Ako je iCZ(γ−) − iCZ(γ+) = 1, modulski prostor je kompaktan i dimenzije 0

pa je konaqan. Ovo nam omoguava da definixemo Florov graniqni operator

∂ : CF∗(H)→ CF∗−1(H)

∂γ− =∑γ+

#M(γ−, γ+;H, J) · γ+

gde je suma uzeta po svim 1−periodiqnim orbitama γ+ za koje je iCZ(γ−) −iCZ(γ+) = 1 i # oznaqava kardinalnost skupa M(γ−, γ+;H, J) po modulu 2.

Gora definicija se po linearnosti proxiruje na ceo kompleks.

Moe se dokazati da je ∂2 = 0, xto znaqi da je ∂ diferencijal na CF∗(H) qiju

homologiju oznaqavamo sa HF∗(H, J) i nazivamo Florovom homologijom.

Iako Florov kompleks zavisi od (H, J), Florova homologija ne zavisi. Naime,

postoje morfizmi

ΨH1,J1H0,J0

: CF (H0)→ CF (H1)

koji indukuju izomorfizme u homologiji. Ispostava se da je Florova ho-

mologija izomorfna singularnoj, odnosno postoji PSS−izomorfizam (pogle-

dati [4])

ΦH,J : H∗(M)→ HF∗(H, J).

8

1.3 Lagraneva Florova teorija za

kotangentna raslojea

Neka je L zatvorena mnogostrukost, (T ∗L, dλ) simplektiqka mnogostrukost i

λ Luivilova 1−forma. Oznaqimo sa L0 nulto seqee kotangentnog raslojea

T ∗L. Posmatrajmo prostor puteva Ω(T ∗L) = γ : [0, 1] → T ∗L | γ(0), γ(1) ∈ L0i na emu funkcional dejstva ALH dat sa

γ 7→∫ 1

0

Ht(γ(t))dt−∫γ∗λ.

Kritiqne taqke funkcionala dejstva su Hamiltonovi putevi koji poqiu i

zavrxavaju se na L0, odnosno Cirt(ALH) = γ ∈ Ω(T ∗L) | ddtγ(t) = XH(γ(t)).

Skup kritiqnih vrednosti funkcionala ALH nazivamo spektarom Hamiltoni-

jana H i oznaqavamo SpecL(H). Spektar je nigde gust podskup realnih brojeva

koji zavisi samo od φ1H pa ga nekad oznaqavamo i sa SpecL(φ1

H).

Posmatrajmo Z2−vektorski prostor CF∗(T∗L;H) razapet sa Crit(ALH). Neka

je Jt familija ω−kompatibilnih skoro kompleksnih struktura. Familija Jtindukuje skalarni proizvod na Ω(T ∗L) dat sa: za ξ, ν ∈ TγΩ(T ∗L) definixemo

〈ξ, ν〉 :=∫ 1

0ω(ξ(t), Jtν(t))dt. Gradijent funkcionala dejstva u odnosu na ovu

metriku je dat sa

∇γALH(t) = Jt(γ(t)) (γ(t)−XH(γ(t))) .

Odgovarajuu negativnu gradijentnu jednaqinu za u : R(s)→ Ω(T ∗L) nazivamo

Florovom jednaqinom

∂u

∂s+ Jt(u)

(∂u

∂t−XH(u)

)= 0.

Za γ± ∈ Crit(ALH) oznaqimo sa M(γ−, γ+) skup rexea Florove jednaqine koja

zadovoavaju graniqne uslove u(±∞, ·) = γ±. Na ovom skupu imamo slobodno

R−dejstvo translacijama i koliqniqki prostor oznaqavamo sa M(γ−, γ+) :=

M(γ−, γ+)/R.

Za HamiltonijanH nazivamo nedegenerisanim ako je presek φ1H(L0)∩L0 transve-

rzalan, a samim tim i skup Crit(ALH) konaqan (generiqki izabran Hamiltoni-

jan je regularan). Ako je jox i J regularna, modulski prostoriM(γ+, γ−) su

9

konaqnodimenzione glatke mnogostrukosti dimenzije µCZ(γ−) − µCZ(γ+) − 1,

gde je µCZ Konli-Cenderov indeks.

Oznaqimo sa CFk(T∗L;H) potprostor prostora CF∗(T

∗L,H) razapet sa elemen-

tima indeksa µCZ = k. Uz odreene pretpostavke o skoro kompleksnoj struk-

turi Jt modulski prostori postaju kompaktni, pa ako je µCZ(γ−) = µCZ(γ+) + 1

dimenzija odgovarajueg modulskog prostora e biti 0 xto nam omoguava da

definixemo graniqni operator ∂ : CFk(T∗L;H)→ CFk−1(T ∗L;H) kao

∂γ− =∑

µCZ(γ+)=k−1

#M(γ−, γ+).

Ispostava se da je ∂2 = 0, tako da (CF∗(T∗L;H), ∂) postaje lanqasti kom-

pleks qiju odgovarajuu Florovu homologiju oznaqavamo sa HF∗(T∗L;H). Ova

homologija ne zavisi od H i kanonski je izomorfna singularnoj homologiji

H∗(T∗L).

10

Glava 2

Spektralne invarijante

Jedan od glavnih alata u C0 simplektiqkoj topologiji su simplektiqke spek-

tralne invarijane. Kao motivaciju za definiciju simplektiqkih spektralnih

invarijanti, prvo navodimo primer homoloxkih minimaks selektora.

2.1 Homologija podnivoa funkcije na

zatvorenoj mnogostrukosti

Neka je f neprekidna funkcija na zatvorenoj mnogostrukosti M . Za realan

broj t definixemo podnivo funkcije f kao

f≤t = x ∈M | f(x) ≤ t.

Inkluzija podnivoa f≤t u M indukuje preslikavae na nivou homologije

ιt : H∗(f≤t)→ H∗(M).

Definicija 2.1 Za sve homoloxke klase α ∈ H∗(M)\0 sve neprekidne fu-nkcije f : M → R, definixemo

ρ(α, f) = inf[σ]=α

max|σ|

f,

gde infimum uzimamo po svim ciklima σ koji predstavaju klasu α, a |σ|predstava nosaq tog cikla.

Alternativno, homoloxke minimaks selektore moemo da definixemo na vixe

algebarski naqin kao

ρ(α, f) = infs ∈ R | α ∈ Im(ιs).

11

Primer 2.2 1) Ako je M putno povezana tada je ρ([pt],M) = min f .

2) Ako je M orjentabilna i [M ] predstava enu fundamentalnu klasu,

onda jeM nosaq svakog cikla koji predstava [M ] pa je ρ([M ], f) = max f .

3) Ako je M = T2 2-torus, egova homologija je generisana sa qetiri klase:

[pt], [M ], [α], [β]. Slika 1 prikazuje odgovarajue vrednosti selektora za

funkciju visine f .

f

ρ([T2], f)

ρ(β, f)

ρ(α, f)

ρ([pt], f)

Glavno svojstvo homoloxkih minimaks selektora je ihova neprekidnost:

Stav 2.3 [5] Za sve homoloxke klase α ∈ H∗(M)\0, preslikavae ρ(α, ·) :

C0(M)→ R je Lipxicovo. Preciznije, vai:(∀f, g ∈ C0(M)

)min(f − g) ≤ ρ(α, f)− ρ(α, g) ≤ max(f − g).

Dokaz. Pogledati [5].

2.2 Spektralne invarijante u Hamiltonovoj

Florovoj teoriji

U ovom delu koristiemo notaciju i definicije iz sekcije u kojoj smo defin-

isali Hamiltonovu Florovu teoriju.

Definicija 2.4 Spektar Hamiltonijana H u oznaci Spec(H) predstava

skup kritiqnih vrednosti funkcionala dejstva AH .

12

Poznato je da je Spec(H) zatvoren podskup realnih brojeva koji ima Lebegovu

meru 0. Ako je (M,ω) simplektiqki asferiqna tada je Spec(H) kompaktan.

Stav 2.5 [7] Neka je (M,ω) simplektiqki asferiqna mnogostrukost. Neka

su H i G dva Hamiltonijana za koje vai φ1H = φ1

G. Tada postoji konstanta

C ∈ R tako da vai

Spec(H) = Spec(G) + C,

gde je Spec(G) + C skup dobijen od Spec(G) dodavaem C na svaki element.

Dokaz. Pogledati [7].

Iz prethodnog stava sledi da je za dati Hamiltonov difeomorfizam φ, e-

gov spektar Spec(φ) definisan dobro do na pomak za realnu konstantu. Treba

naglasiti da je restrikcija na simplektiqki asferiqne mnogostrukosti ovde

neizostavna, u opxtem sluqaju spektar Hamiltonijana zavisi od cele izotopije

φtH a ne samo od φ1H .

Neka je u : R× S1 →M rexee Florove jednaqine (1.1). Energija rexea u je

definisana kao

E(u) :=

∫R×[0,1]

||∂su||2dsdt,

gde je ||·|| norma nastala od metrike ω(·, J ·). Oqigledno je E(u) > 0 za u 6= const.

Za γ− 6= γ+ i u ∈ M(γ−, γ+;H, J) vai

AH(γ−)−AH(γ+) = E(u) > 0,

odnosno funkcional dejstva opada du Florovih trajektorija. Odavde za-

kuqujemo da je potprostor CF t∗(H) generisan sa Hamiltonovim petama de-

jstva maeg od t potkompleks kompleksa CF∗(H). Oznaqimo sa HF t∗(H, J) ho-

mologiju ovog potkompleksa, i sa ιs preslikavae u homologiji indukovano

inkluzijom CF t∗(H) → CF∗(H).

Definicija 2.6 Za regularan par (H, J) i α ∈ H∗(M) \ 0 definixemo

c(α,H, J) = infs ∈ R | ΦH,J(α) ∈ Im(ιs).

Dokazuje se da c(α,H, J) ne zavisi od J , pa emo u nastavku koristiti oznaku

c(α,H).

13

Teorema 2.7 [7] Funkcija c : (H∗(M) \ 0)×C∞([0, 1]×M)→ R ima sledee

osobine:

1. (spektralnost) c(α,H) ∈ Spec(H),

2. (monotonost) ako je H ≤ G, tada je c(α,H) ≤ c(α,G),

3. (nejednakost trougla) c(α ∩ β,H#G) ≤ c(α,H) + c(β,G),

4. (neprekidnost) |c(α,H)− c(α,G)| ≤ ||H −G||∞,

5. (dualnost) c([M ], H) = −c([pt], H).

Dokaz. Pogledati [7].

Iz neprekidnosti spektralnih invarijanti (osobina 4.) sledi da definicija

moe da se proxiri na sve neprekidne Hamiltonijane.

2.3 Lagraneve spektralne invarijante

U ovom delu koristimo notaciju i definicije iz sekcije o Lagragranevoj

Florovoj teoriji za kotangenta raslojea. Zato neka je (T ∗L, dλ) simplektiqka

mnogostrukost i neka je (H, J) regularan par.

Oznaqimo sa Ψ sledei kanonski izomorfizam

Ψ : H∗(L)→ HF∗(T∗L;H, J)

izmeu odgovarajuih homologija. Ako je u : R × [0, 1] → M rexee Florove

jednaqine, tada je egova energija definisana sa:

E(u) :=

∫R×[0,1]

||∂su||2dsdt.

Kao i u Hamiltonovom sluqaju za γ− 6= γ+ i u ∈ M(γ−, γ+;H, J) vai

ALH(γ−)−ALH(γ+) = E(u) > 0,

odnosno funkcional dejstva opada duFlorovih trajektorija, a kako graniqni

operator broji gradijentne trajektorije izmeu kritiqnih taqaka zakuqujemo

da je skup CF t∗(T

∗L;H) generisan Hamiltonovim orbitama dejstva maeg od

t potkompleks lanqastog kompleksa CF∗(T∗L;H). Oznaqimo sa HF t

∗(L;H, J)

homologiju ovog potkompleksa i sa ιt : HF t∗(T

∗L;H, J)→ HF∗(T∗L;H, J) pres-

likavae u homologiji indukovano inkluzijom CF t∗(T

∗L;H) → CF∗(T∗L,H).

14

Definicija 2.8 Za regularan par (H, J) i α ∈ H∗(L) \ 0 definixemo

l(α,H, J) := infs ∈ R | Ψ(α) ∈ Im(ιs).

Dokazuje se da l(α,H, J) ne zavisi od J , pa pixemo l(α,H).

Teorema 2.9 Funkcija l : H∗(L)× C∞([0, 1]×M)→ R ima sledee osobine:

1. (spektralnost) l(α,H) ∈ Spec(L;H),

2. (monotonost) ako je H ≤ G, tada je l(α,H) ≤ l(α,G),

3. (nejednakost trougla) l(α ∩ β,H#K) ≤ l(α,H) + l(β,K)

4. (neprekidnost) |l(α,H)− l(α,G)| ≤ ||H −G||∞

5. (dualnost) l([M ], H) = −l([pt], H).

Dokaz. Pogledati [8, 15, 6].

Iz osobine neprekidnosti sledi da definiciju moemo da proxirimo na sve

neprekidne Hamiltonijane.

Oznaqimo sa l−(H) := l([pt], H) i l+ := l([L], H) spektralne invarijante pridru-

ene klasi taqke i fundamentalnoj klasi. Ove invarijante zavise samo od φ1H

pa su dobro definisane na Hamc(T ∗L, dλ).

Definicija 2.10 Spektralna ili Viterboova norma je funkcija

γL : Hamc(T ∗L, dλ)→ R,

data sa γL(φ) = l+(φ) − l−(φ). Ako je L Hamiltonova deformacija nultog

seqea L0 definixemo γ(L,L0) = γL(φ), gde je φ Hamiltonov difeomorfizam

za koji je φ(L0) = L.

Ako su φ, φ′ ∈ Hamc(T ∗L, dλ) i ako je φ(L0) = φ′(L0) tada je γL(φ) = γL(φ′)

odakle sledi da je spektralna norma na prostoru Hamiltonovih deformacija

nultog seqea dobro definisana.

Spektralna norma ima sledee osobine (pogledati [6]):

• (nedegenerisanost) γL(φ) = 0 ⇐⇒ φ = Id

• (nejednakost trougla) γL(φψ) ≤ γL(φ) + γL(ψ)

15

• (dualnost) γL(φ) = γL(φ−1).

Spektralna norma je odozgo ograniqena Lagranevom Hoferovom normom Hamil-

tonijana, odnosno vai sledea nejednakost:

γL(φ1H) ≤

∫ 1

0

(maxL0

H(t, ·)−minL0

H(t, ·))dt.

Sada emo da damo jox jedno gore ograniqee spektralne norme koje nee

zavisiti od konkretnog Hamiltonovog difeomorfizma φ. Neka je g Rimanova

metrika na zatvorenoj mnogostrukosti L i neka je T ∗r L = (q, p) ∈ T ∗L | ||p||g ≤r kotangetno disk raslojee radijusa r. Pretpostavimo da je φtH(L0) ⊂ T ∗r L

za sve t ∈ [0, 1]. Viterbo je postavio hipotezu da tada postoji konstanta C > 0

koja zavisi od g, takva da je γL(φ1H) ≤ Cr. Sledea lema daje pozitivan odgovor

za specijalan sluqaj ove hipoteze.

L

T ∗r L

T ∗L

φ1H(L)

Lema 2.11 [10] Neka je L zatvorena mnogostrukost, V pravi otvoren podskupod L i V = π−1(V), gde je π : T ∗L → L standardna projekcija. Postoji

konstanta C > 0, koja zavisi od V, takva da vai: Za sve r > 0, ako je

H ∈ C∞c ([0, 1]× T ∗L) Hamiltonijan za koga vai H|V = 0 i φtH(L0) ⊂ T ∗r L za

sve t ∈ [0, 1] tada γL(φ1H) ≤ Cr.

Dokaz. Pogledati [10].

16

2.4 Nejednakosti sa simplektiqkim

kapacitetima

Kaemo da je Hamiltonijan H spor ako emu pridruen tok φtH nema netrivi-

jalnih kontraktibilnih periodiqnih orbita perioda ≤ 1. Oznaqimo sa H(U)

skup svih autonomnih, sporih Hamiltonijana, koji su nenegativni i nosaq im

je sadran u U .

Fiksirajmo Lagranevu podmnogostrukost L, takvu da je L ∩ U 6= ∅. Hamil-tonijan H nazivamo L−sporim ako emu pridruen tok nema netrivijalnih

orbita vremenske duine ≤ 1 koje kreu i zavrxavaju se na L. Oznaqimo sa

H(U,L) skup svih autonomnih, L−sporih Hamiltonijana, koji su nenegativni,nosaq im je sadran u U i dostiu maksimum na L.

Definicija 2.12 1. (Hofer-Cenderov kapacitet) Neka je U otvoren pod-

skup simplektiqke mnogostrukosti. Hofer-Cenderov kapacitet skupa

U je definisan kao:

cHZ(U) = supmaxH | H ∈ H(U).

2. (Lisi-Riserov relativni kapacitet) Neka je U otvoren podskup sim-

plektiqke mnogostrukosti koji ima neprazan presek sa Lagranevom

podmnogostrukoxu L. Lisi-Riserov kapacitet skupa U relativan u

odnosu na L je definisan kao:

cLR(U,L) = supmaxH | H ∈ H(U,L).

Hofer-Cenderov kapacitet je simplektiqki kapacitet u smislu Eklanda i

Hofera, odnosno zadovoava sledee aksiome:

Stav 2.13 (Ekland-Hofer) 1. Ako je U ⊂ V tada je cHZ(U) ≤ cHZ(V ),

2. Za svake dve simplektiqke mnogostrukosti (M,ω), (M ′, ω′), sve otvorene

podskupove U ⊂ M i sve difeomorfizme φ : M → M ′ takve da je φ∗ω′ =

λ2ω vai cHZ(φ(U)) = λ2cHZ(U),

3. cHZ(B2n(1)) = cHZ(Z2n(1)) = π, gde je B2n(1) jediniqna lopta i Z2n(1) =

B2(1)× R2n−2 standardan cilindar.

17

Dokaz. Pogledati [11].

Analogne osobine ima i Lisi-Riserov relativni kapacitet:

Stav 2.14 (Lisi-Riser) [12]

1. Ako je U ⊂ V tada je cLR(U) ≤ cLR(V ),

2. Za svake dve simplektiqke mnogostrukosti (M,ω), (M ′, ω′), sve otvorene

podskupove U ⊂ M , sve Lagraneve podmnogostrukosti L i sve difeo-

morfizme φ : M → M ′ takve da je φ∗ω′ = λ2ω vai cLR(φ(U), φ(L)) =

λ2cLR(U,L),

3. cLR(B2n(1),Rn) = c(Z2n(1),Rn) = π/2.

Dokaz. Pogledati [12].

Hamiltonov sluqaj

Kaemo da Hamiltonov difeomorfizam φ razdvaja podskup U od samog sebe

ako je φ(U) ∩ U = ∅.

Stav 2.15 Ako Hamiltonov difeomorfizam φ1H razdvaja otvoren podskup U

i ako je nosaq hamiltonijana G sadran u U , tada je

c([M ], G) ≤ c([M ], H) + c([M ], H).

Dokaz. Pogledati [13].

Definicija 2.16 Vrednost c([M ], H)+c([M ], H) se naziva spektralna norma

ili Viterboova norma i oznaqava se sa γ(H).

Prethodni stav nam garantuje nedegenerisanost spektralne norme. Sledea

nejednakost se naziva strogom nejednako71u izmeu energije i kapaciteta:

Teorema 2.17 (stroga nejednakost izmeu energije i kapaciteta) [13]

Ako Hamiltonov difeomorfizam φ1H razdvaja otvoren podskup U tada je

cHZ(U) ≤ γ(H).

18

Dokaz. Pogledati [13].

Posledica teoreme je poznata nejednakost izmeu energije i kapaciteta:

Stav 2.18 Ako Hamiltonov difeomorfizam razdvaja otvoren podskup U od

samog sebe, tada je

cHZ(U) ≤ ||φ1H ||Hofer.

Lagranev sluqaj

Relativna verzija nejednakosti izmeu energije i kapaciteta nam kae da je

minimalna energija potrebna da bi se Lagraneva podmnogostrukost razdvo-

jila od otvorenog skupa strogo pozitivna.

L

φ1H(L)

φ1H

U

Teorema 2.19 [16] Neka je L0 nulto seqee, U otvoren podskup simplektiqke

mnogostrukosti (T ∗L, dλ) i neka je L∩U 6= ∅. Ako je H Hamiltonijan za koji

je φ1H(L0) ∩ U = ∅. Tada je

cLR(U ;L0) ≤ γL(H).

Dokaz. Pogledati [16].

Kako je γL(φ1H) = γL

((φ1

H)−1), napomenimo da gora nejednakost vai u sluqaju

kada je L0 ∩ φ1H(U) = ∅.

Posledica. Korixeem teoreme i nejednakosti sa spektralnom normom do-

bijamo da vai cLR(U ;L0) ≤∫ 1

0(maxL0 Ht −minL0 Ht)dt.

19

Definicija 2.20 Na prostoru Hamiltonovih deformacija nultog seqea,

definixemo Lagranevo Hoferovo rastojae izmeu dve Lagraneve podmno-

gostrukosti L,L′ kao

δ(L,L′) = inf∫ 1

0

(maxL

Ht −minLHt)dt | φ1

H(L) = L′.

Sada posledicu moemo da formulixemo u obliku sledeeg stava iz koga sledi

nedegenerisanost Lagraneve Hoferove metrike:

Stav 2.21 Ako Hamiltonov difeomorfizam φ razdvaja nulto seqee L0 od

otvorenog skupa U odnosno φ(L0) ∩ U = ∅, tada je cLR(U) ≤ δ(L0, φ(L0)).

2.5 Istrajni moduli

Ispostava se da je mogue uopxtiti definiciju spektralnih invarijanti u

mnogo razliqitih situacija. U ovom delu emo definisati istrajne module

koji predstavaju apstraktnu algebarsku strukturu pogodnu za ovo uopxtee.

Postoji vixe pristupa ovoj teoriji, a mi emo pratiti [14].

Definicija 2.22 (Istrajni modul) Za dati prsten R, istrajni modul

predstava familiju R−modula Q• = (Qt)t∈R zajedno sa preslikavaima ιts :

Qt → Qs za sve s ≤ t koja zdovoavaju:

• Za sve t ∈ R, ιtt je identiqko preslikavae Qt → Qt,

• Za sve r, s, t ∈ R, takve da je r ≤ s ≤ t vai ιts ιsr = ιtr.

Sa Q oznaqavamo direktan limes

Q = lim−→t→+∞

Qt,

i sa ιs : Qs → Q oznaqavamo prirodnu inkluziju.

Ako je Qt = Qs i ιts = Id za dovono velike s i t, kaemo da se istrajni modul

Q stabilizuje. U tom sluqaju je Q = Qt i ιs = ιts za dovono veliko t.

Za naxe potrebe najinteresantniji primeri istrajnih modula e biti oni koji

nastaju od filtriranih kompleksa, odnosno lanqastih kompleksa (C, ∂) zajedno

sa familijom potkompleksa (Ct)t∈R takvih da za s ≤ t imamo Cs ⊂ Ct.

20

Od filtriranog kompleksa dobijamo istrajni modul tako xto posmatramo ho-

mologiju potkompleksa Qt = H(Ct, ∂), dok nam inkluzije Cs ⊂ Ct indukuju

preslikavaa u homologiji ιts.

Primer 2.23 Ako je X kompaktan topoloxki prostor i f : X → R neprekidna

funkcija, tada singularni lanqasti kompleks C∗(X) dopuxta filtraciju

datu singularnim lancima qije su vrednosti u skupu f≤t. Indukovani istra-

jni modul je familija Qt = H∗(f≤t, R), u kojoj su preslikavaa ιts indukovana

inkluzijama f≤s → f≤t za s ≤ t.

Definicija 2.24 (Spektralne invarijante za istrajne module) Neka je

Q• istrajni modul. Svakom α ∈ Q \ 0 pridruujemo realan broj

c(α,Q•) = infs ∈ R | α ∈ Im(ιs).

Ukoliko se istrajni modul Q• stabilizuje, onda je c(α,Q•) konaqan.

Od dva istrajna modula Q1, Q2 moemo da formiramo ihovu direktnu sumu

Q := (Qt1 ⊕Qt

2)t∈R. Morfizme ιts na Q dobijamo kao direktnu sumu morfizama

na Q1 i Q2. Za dati interval I = (a, b], gde je a ∈ R, b ∈ R∪ ∞, definixemoistrajni modul

Q(I) =

R, t ∈ I0, inaqe

gde su morfizmi ιts definisani da budu identitet ako a < s ≤ t ≤ b, i 0 inaqe.

2.6 Bar kodovi

Konaqan bar kod B = (Ij,mj)Nj=1 je konaqan skup intervala Ij = (aj, bj], aj ∈R, bj ∈ R ∪ ∞ sa vixestrukostima mj ∈ N. Kaemo da su dva bar koda

B1,B2 δ−upareni ako, nakon brisaa nekoliko intervala ukupne duine maeili jednake od 2δ, postoji bijektivno uparivae intervala tako da su krajevi

uparenih intervala na rastojau maem ili jednakom od δ.

Primer 2.25 Bar kodovi ((0, 1], 1), ((0, 3], 2), ((10, 20], 1) i ((0, 4], 1), ((1, 3], 1),

((11, 18], 1) su 2−upareni.

Rastojae izmeu dva bar koda definixemo kao infimum svih δ takvih da su

bar kodovi δ−upareni i oznaqavamo sa dbottle(B1,B2).

21

Prostor svih konaqnih bar kodova sa Bottleneck rastojaem nije kompletan

metriqki prostor. egovo kompletirae zahteva uvoee i nekih beskonaqnih

bar kodova.

Definicija 2.26 Bar kod B(Ij,mj)j∈N je kolekcija intervala

Ij = (aj, bj], aj ∈ R, bj ∈ R ∪ ∞

sa vixestrukostima mj ∈ N, tako da za svako ε > 0 postoji samo konaqno

intervala Ij duine vee od ε.

Rastojae izmeu konaqnih bar kodova se proxiruje na bar kodove. Ako oz-

naqimo sa Barcodes skup svih bar kodova, tada je (Barcodes, dbottle) kompleti-

rae prostora konaqnih bar kodova. Za dati bar kod B = (Ij,mj)j∈N defin-

ixemo egov spektar, Spec(B), kao skup krajih taqaka intervala Ij.

Bar kodovi za Hamiltonijane

U ovom delu opisaemo kanonski naqin za pridruivae bar koda datom

Hamiltonijanu. Za to e nam biti potrebna strukturna teorema za istrajne

module:

Teorema 2.27 Za svaki istrajni modul Q postoji jedinstven konaqan bar kod

B(Q) = (Ij,mj)Nj=1 takav da je Q izomorfno sa⊕N

j=1Q(Ij)mj .

Dokaz. Pogledati [17].

Pretpostavimo sada da je H nedegenerisan. Funkcional dejstva zadaje fil-

traciju Hamiltonovog Florovog kompleksa qija homologija daje istrajni modul

Q = (HF t∗(H))t∈R. Inkluzije na nivou kompleksa indukuju preslikavaa u ho-

mologiji, pa ako fiksiramo Konli-Cenderov indeks j dobiemo istrajne mod-

ule Qj = (HF tj (H))t∈R sa istim preslikavaima, samo posmatranih na j-tim

homoloxkim grupama. Oqigledno e vaiti Q =⊕

j Qj.

Iz strukturne teoreme za istrajne module sledi da svakom nedegenerisanom

Hamiltonijanu H moemo da pridruimo bar kod B(H) koji odgovara istra-

jnom modulu Q, i bar kodove Bj(H) koji odgovaraju istrajnim modulima Qj.

Lako se proverava da vai

B(H) = tjBj(H).

22

Primetimo da spektralne invarijante Hamiltonijana H odgovaraju krajim

taqkama polubeskonaqnih intervala bar koda B(H). U nastavku navodimo os-

obine ovako nastalih bar kodova (za dokaz pogledati [14]):

• Neprekidnost: dbottle(Bj(H),Bj(G)) ≤ ||H − G||, ova nejednakost nam

omoguava da proxirimo definiciju bar koda sa nedegenrisanih na bilo

koji gladak, pa qak i neprekidan Hamiltonijan. Za proizvono nepreki-

dno H, uzmimo niz nedegenerisanih Hamiltonijana Hi, takvih da ||H −Hi|| → 0 i definiximo Bj(H) := limBj(Hi) gde je limes posmatran u

odnosu da dbottle. Na taj naqin dobijamo neprekidno preslikavae

Bj : C∞([0, 1]×M)→ Barcodes.

Jasno je da e navedena osobina neprekidnosti vaiti i za bar kod B(H)

takoe.

• Spektralnost: Ako je H nedegenerisan onda je Spec(B(H)) = Spec(H),

a ako je H proizvoan gladak vaie Spec(B(H)) ⊂ Spec(H).

• Invarijantnost: Za svaki ψ ∈ Symp(M,ω) i bilo koji gladak hamil-

tonijan H vai

Bj(H ψ) = Bj(H), B(H ψ) = B(H).

Bar kodovi za Hamiltonove difeomorfizme

Za dati bar kod B = (Ij,mj)∞j=1 i c ∈ R definixemo B+ c = (Ij + c,mj)∞j=1.

Oznaqimo sa ∼ relaciju ekvivalencije na prostoru bar kodova datu sa B ∼ Cako postoji c ∈ R tako da vai C = B+ c i oznaqimo odgovarajui koliqniqki

prostor sa Barcodes. Bottleneck rastojae se prenosi na Barcodes i nastaviemo

da ga oznaqavamo sa dbottle.

Pretpostavimo sada da su H,H ′ dva hamiltonijana koja generixu isti difeo-

morfizam φ1H = φ1

H′ . Tada e postojati c ∈ R tako da vai B(H) = B(H ′) + c

i Bj(H) = Bj(H ′) + c, odakle zakuqujemo da preslikavaa definisana u

prethodnom delu indukuju preslikavaa

B,Bj : Ham(M,ω)→ Barcodes.

Sledee osobine se direktno izvode iz osobina bar kodova za hamiltonijane:

23

• Neprekidnost: dbottle(Bj(φ),Bj(ψ)) ≤ dHofer(φ, ψ) za svaka dva φ, ψ ∈Ham(M). Takoe vai dbottle(B(φ),B(ψ)) ≤ dHofer(φ, ψ).

• Spektralnost: Klasa ekvivalencije bar koda u Barcodes ima definisan

spektar do na pomak za realnu konstantu, a ista stvar vai i za spektar

Hamiltonovog difeomorfizma φ. Tako da moemo da zakuqimo da je

Spec(B(φ)) ⊂ Spec(φ), xto zapravo znaqi da je Spec(B(φ)) podskup od

Spec(φ) do na pomak za realnu konstantu.

• Invarijantnost: Za svako ψ ∈ Symp(M,ω) i svako φ ∈ Ham(M,ω) vai

Bj(ψ−1φψ) = Bj(φ), B(ψ−1φψ) = B(φ).

Ova jednakost sledi iz osobine invarijantnosti za bar kodove hamiltoni-

jana i qienice da je φtHψ = ψ−1φtHψ.

24

Glava 3

Simplektiqki i Hamiltonovi

homeomorfizmi

Za poqetak, podsetimo se definicije C0−topologije na grupi homeomorfizamaHomeo(M) zatvorene mnogostrukosti M . Fiksirajmo Rimanovu metriku na

M i oznaqimo sa d indukovanu funkciju rastojaa na M . Oznaqimo sa dC0

standardno C0−rastojae izmeu preslikavaa dato sa

dC0(φ, ψ) = maxx∈M

d(φ(x), ψ(x)).

Tada za homeomorfizme φ, ψ ∈ Homeo(M) definixemo ihovo C0−rastojaekao

d(φ, ψ) = maxdC0(φ, ψ), dC0(φ−1, ψ−1).

U odnosu na ovu metriku Homeo(M) postaje kompletan metriqki prostor. Topo-

logiju indukovanu metrikom d nazivamo C0−topologijom na Homeo(M). Ova

topologija se poklapa sa kompaktno-otvorenom topologijom, odakle sledi da

ona ne zavisi od izbora Rimanove metrike.

Neka je sada (M,ω) zatvorena simplektiqka mnogostrukost. Oznaqimo sa

Symp(M,ω) grupu simplektiqkih difeomorfizama, tj podgrupu grupe Diff(M)

koja sadri difeomorfizme φ : M →M za koje je φ∗ω = ω. U C∞−topologijina Diff(M) podgrupa Symp(M,ω) je zatvorena topoloxka podgrupa. Putnu kom-

ponentu identiteta u Symp(M,ω) u indukovanoj C∞−topologiji oznaqavamo saSymp0(M,ω). Quvena Gromov-Eaxbergova teorema tvrdi

Teorema 3.1 [18] Podgrupa Symp(M,ω) ⊂ Diff(M) je zatvorena u C0−topologiji.

25

Dokaz. Pogledati [18].

Sada je prirodno definisati simplektiqke homeomorfizme kao zatvoree

Symp(M,ω) ⊂ Homeo(M), gde je zatvoree u odnosu na C0−topologiju unutargrupe homeomorfizama.

Definicija 3.2 Gore zatvoree opremeno sa C0−topologijom oznaqavamo

sa

Sympeo(M,ω) := Symp(M,ω),

i zovemo ovu grupu grupa simplektiqkih homeomorfizama.

Za poqetak primetimo da simplektiqki homeomorfizmi quvajuLiuvilovu meru

indukovanu formom zapremine

Ω =1

n!ω∧n

xto je posledica Fatuove leme u teoriji mere. Ova qienica sledi iz op-

xtijeg rezultata: skup homeomorfizama koji quvaju meru je zatvoren u grupi

homeomorfizama u kompaktno-otvorenoj topologiji (propozicija 2.1. u [18]).

U dimenziji dva vai da je Sympeo(M,ω) = HomeoΩ(M), gde je HomeoΩ(M)

grupa homeomorfizama koji quvaju Liuvilovu meru. Ovo sledi iz qienice da

bilo koji homeomorfizam koji quva povrxinu, moe biti dobijen kao C0−limesdifeomorfizama koji quvaju povrxinu u dimenziji 2 (teorema 5.1. u [18]). Ako

je dimM ≥ 4 onda na osnovu Eaxbergove teoreme o rigidnosti imamo da vai

Sympeo(M,ω) ( HomeoΩ(M).

Od velikog znaqaja u simplektiqkoj topologiji je podgrupa Hamiltonovih

difeomorfizama Ham(M,ω) ⊂ Symp0(M,ω). Konstrukcija grupe Hamiltonovih

homeomorfizama nije tako prirodna kao konstrukcija grupe simplektiqkih

homeomorfizama. O i Miler u svom radu [18] navode da je precizna formu-

lacija topologije na ovoj grupi veoma bitna za neprekidnost spektralnih in-

varijanti, kao i za konstrukciju C0−verzija odgovarajuih C∞−objekata iliinvarijanti.

Definicija 3.3 (Slabi Hamiltonovi homeomorfizmi) Zatvoree gru-

pe Ham(M,ω) ⊂ Diff(M) u C0−topologiji oznaqavamo sa Ham(M,ω) i ele-

mente tog skupa nazivamo slabim Hamiltonovim homeomorfizmima.

26

Sledea definicija koju su postavili O iMiler nam garantuje da je Hamiltonov

homeomorfizam generisan neprekidnim hamiltonijanom, xto daje vixe sliq-

nosti sa glatkim sluqajem.

Definicija 3.4 (Hameomorfizmi) Neka je (φt)t∈[0,1] izotopija homeomor-

fizama simplektiqke mnogostrukosti M (odnosno neprekidno preslikavae

[0, 1] → (Homeo(M), dC0), t 7→ φt). Kaemo da je φt neprekidna Hamiltonova

izotopija (ili krae ,,hameotopija") ako postoji kompakt K ⊂ M i niz

glatkih Hamiltonijana Hi : [0, 1]×M → R sa nosaqem u K takvih da vai:

1. Niz φtHiC0−konvergira ka φt uniformno po t, tj.

limi→∞

maxt∈[0,1]

d(φtHi, φt) = 0.

2. Niz Hi uniformno konvergira ka neprekidnoj funkciji H : [0, 1]×M → R,odnosno ||Hi −H||∞ → 0, gde je || · ||∞ supremum norma.

Kaemo da H generixe φt (oznaqavamo sa φtH) i nazivamo H neprekidnim

Hamiltonijanom. Sa C0Ham(M,ω) oznaqavamo skup svih neprekidnih Hamil-

tonijana. Homeorfizam nazivamo Hamiltonovim ako je jednak φ1H za H ∈

C0Ham(M,ω).

Skup svih Hamiltonovih homeomorfizama oznaqavamo Hameo(M,ω), a uskoro

emo videti da ima strukturu grupe.

3.1 Osobine grupe Hamiltonovih

homeomorfizama

Sledea teorema pokazuje da se neprekidne Hamiltonove izotopije ponaxaju

sliqno kao glatke i opravdava iskaz ,,H generixe φt" i notaciju φt = φtH .

Teorema 3.5 (Jedinstvenost) 1. (O-Miler) Neprekidan hamiltonijan u

gore navedenom smislu generixe jedinstvenu hameotopiju.

2. (Viterbo) Svaka hameotopija je generisana jedinstvenim neprekidnim

hamiltonijanom (do na dodavae funkcije vremena).

27

Dokaz za 1. Pretpostavimo suprotno, neka su φt i ψt dve razliqite izotopije

koje su generisane sa (Hi)i∈N i (H ′i)i∈N za koje je ||Hi − H||∞, ||H ′i − H||∞ → 0.

Tada postoji t0 ∈ [0, 1] za koje je φt0 (ψt0)−1 6= Id. Nakon reparametrizacije,

moemo pretpostaviti da je t0 = 1.

Kako je φ1 (ψ1)−1 6= Id, to e postojati dovono mala lopta B koju Hameo-

morfizam φ1 (ψ1)−1

razdvaja od sebe. Tada za dovono veliko i Hamiltonovi

difeomorfizmi φ1Hi(φ1H′i

)−1

= φ1Hi#H′i

takoe razdvajaju B samu od sebe, pa

na osnovu nejednakosti izmeu energije i kapaciteta dobijamo

cHZ(B) ≤∫ 1

0

[maxx∈M

Hi#H ′i(t, ·)−minx∈M

Hi#H ′i(t, ·)]dt.

Meutim kako∫ 1

0oscx∈M

Hi#H ′i(t, ·)dt ≤ ||Hi −H ′i||∞ → 0, to e integral na desnoj

strani teiti ka 0, odakle dobijamo kontradikciju jer je cHZ(B) > 0.

Dokaz za 2. moe se nai u [15].

Generatori Hameotopija zadovoavaju iste formule za kompoziciju kao u gla-

tkom sluqaju. Naime, ako su date dve Hameotopije φH i φK , tada je formulom

(H#K)t = Ht +Kt (φtH)−1

dat neprekidan Hamiltonijan koji generixe Hameotopiju φHφK : t 7→ φtHφtK .

Inverzni Hamiltonijan H kome odgovara inverzna Hameotopija (φH)−1 : t 7→(φtH)−1 je dat sa

(H)t = −Ht φtH .

Ako je H ∈ C0Ham(N) i h : M → N simplektiqki homeomorfizam, tada H h

pripada C0Ham(M) i generixe Hameotopiju h−1φtHh. Dokaze ovih stvari osta-

vamo za vebu. Iz prethodnog sledi sledea teorema:

Teorema 3.6 [18] Grupa Hameo(M,ω) je normalna podgrupa grupe Sympeo(M,ω).

Dokaz. Pogledati [18].

Sledea teorema je direktna posledica Arnoldove hipoteze.

Teorema 3.7 [18] Neka je (M,ω) zatvorena simplektiqka mnogostrukost.

Tada bilo koji C0−limes Hamiltonovih difeomorfizama ima fiksnu taqku.Specijalno, svaki Hamiltonov homeomorfizam ima fiksnu taqku.

28

Dokaz. Neka je h = limC0 φi za niz φi ∈ Ham(M,ω). Pretpostavimo suprotno, da

h nema fiksnu taqku. Ako oznaqimo dhmin := infx∈M d(x, h(x)), iz kompaktnosti

M e slediti da je dhmin > 0. Meutim iz Arnoldove hipoteze sledi da svaki

φi mora imati fiksnu taqku xi, pa imamo

d(h, φi) ≥ d(h(xi), φi(xi)) = d(h(xi), xi) ≥ dhmin > 0

odakle dobijamo kontradikciju sa qienicom da je

limi→∞

d(h, φi) = 0.

Dakle h mora imati bar jednu fiksnu taqku.

Videemo da za dimM ≥ 4 postoji hameomorfizam sa taqno jednom fiksnom

taqkom pa je gora ocena u tom sluqaju i najboa.

Posledica prethodne teoreme je sledee tvree: Ako postoji ψ ∈ Sympeo0(M,ω)

koji nema fiksnu taqku, tada ψ /∈ Hameo(M,ω) odnosno Hameo(M,ω) (Sympeo0(M,ω). Na primer, rotacija na torusu daje simplektomorfizam koji

nema fiksnih taqaka pa na osnovu posledice imamo

Hameo(T2n, ω0) ( Sympeo(T2n, ω0).

Sledea teorema nam govori da Hameo(M,ω), xto je i oqekivano, sadri sve

C1−Hamiltonove difeomorfizme.

Teorema 3.8 [18] Neka je φ = φ1H , gde je φtH tok pridruen Hamiltonovoj

jednaqini ddtφtH = XH(t, φtH) za H ∈ C1([0, 1]×M). Ako H zadovoava

1. ||H||C1 < C, gde je C > 0 i

2. preslikavae (t, x) 7→ dHt(x), [0, 1]×M → T ∗M je neprekidno,

tada je φ ∈ Hameo(M,ω).

Dokaz. Pogledati [18].

Sledi primer Hamiltonovog homeomorfizma koji nije C1.

29

Primer. Konstruisaemo Hamiltonov homeomorfizam na jediniqnom disku

D2 koji je neprekidan ali ne i diferencijabilan i koji je jednak identitetu

blizu ruba ∂D2. Sliqan homeomorfizam moemo da definixemo i na bilo

kojoj povrxi, tako xto izaberemo D unutar Darbuove karte i produimo iden-

titetom na ostatak povrxi. Analogne primere moemo konstruisati i u veim

dimenzijama.

Neka su (r, θ) polarne koordinate na D2. Standardna forma zapremine data je

sa

Ω = rdr ∧ dθ

Posmatrajmo preslikavaa φρ : D2 → D2 data sa

φρ : (r, θ) 7→ (r, θ + ρ(r)),

gde je ρ : (0, 1]→ [0,∞) glatka funkcija koja za malo ε > 0 zadovoava

(1) ρ′ < 0 na (0, 1− ε) i ρ = 0 na [1− ε, 1]

(2) limr→0+ rρ′(r) = −∞.

Primetimo da je φρ glatko osim u koordinatnom poqetku u kome je φρ neprekidno

ali ne i glatko. Preslikavae φ−ρ je inverzno preslikavau φρ xto pokazuje

da je homeomorfizam. Na D2 \ 0 vai

φ∗ρ(rdr ∧ dθ) = rdr ∧ dθ,

xto pokazuje da φρ quva povrxinu. Odavde sledi da je φρ simplektiqki home-

omorfizam koji nije simplektomorfizam.

Sada nam je ci da odaberemo konkretno ρ za koje e φρ postati Hamiltonov

homeomorfizam. Posmatrajmo izotopiju

t ∈ [0, 1] 7→ φtρ ∈ HomeoΩ(D2).

Pravolinijskim raqunom dobijamo da je Hamiltonijan dat vremenski nezavis-

nom funkcijom

Hρ(r, θ) = −∫ r

1

sρ(s)ds.

L(1,∞)−norma od Hρ jednaka je ∫ 1

0

sρ(s)ds.

30

Izaberimo sada bilo koje ρ za koje gori integral konvergira, npr. ρ(r) = 1√r

blizu r = 0. Neka je ρn niz glatkih funkcija regularnih u 0 koje tee ka

ρ, i neka su φρn odgovarajui Hamiltonovi difeomorfizmi. Sada dobijamo

da φρn → φρ u C0−topologiji, pa zakuqujemo da je φρ Hamiltonov homeomor-

fizam koji nije difeomorfizam.

31

Glava 4

C0−neprekidnost spektralnenorme

U ovom delu (M,ω) e oznaqavati zatvorenu, povezanu i simplektiqki as-

feriqnu simplektiqku mnogostrukost. Oznaqimo sa Ham(M,ω) ⊂ Homeo(M)

zatvoree grupe Hamiltonovih difeomorfizama u C0−topologiji.Neka su a, b ∈ H∗(M) \ 0 dve homoloxke klase. Za sve φ ∈ Ham(M,ω) defin-

ixemo razliku spektralnih invarijanti kao

γ(a, b;φ) := c(a,H)− c(b,H)

gde je H bilo koji Hamiltonijan koji generixe φ. Kako su spektralne in-

varijante za Hamiltonove difeomorfizme definisane do na pomak za realnu

konstantu, ova razlika nee zavisiti od H. Ako odaberemo konkretno a = [M ]

i b = [pt], funkcija

γ([M ], [pt]; ·) : Ham(M,ω)→ R

indukuje nedegenerisanu normu na Ham(M,ω) koju nazivamo spektralnom nor-

mom i oznaqavamo sa γ(·). Spektralna norma ima sledee osobine (za dokaz

pogledati [7]):

1. (Nedegenerisanost) γ(φ) ≥ 0 pri qemu jednakost vai ako i samo ako je

φ = Id,

2. (Ograniqenost) γ(φ) ≤ dHofer(φ, Id),

3. (Invarijantnost) za sve ψ ∈ Symp(M,ω) vai γ(ψφψ−1) = γ(φ),

4. (Nejednakost trougla) γ(φψ) ≤ γ(φ) + γ(ψ),

32

5. (Dualnost) γ(φ−1) = γ(φ),

6. (Energija-kapacitet nejednakost) γ(φ) ≤ 2e(Supp(φ)), gde je e(Supp(φ))

energija razdvajaa nosaqa od φ.

Sledea teorema je centralna u ovom delu i govori o C0 neprekidnosti spek-

tralne norme.

Teorema 4.1 [16] Neka je (M,ω) zatvorena, povezana i simplektiqki asferiqna.

Za svake dve klase a, b ∈ H∗(M) \ 0 razlika spektralnih invarijanti

γ(a, b; ·) : Ham(M,ω)→ R

je neprekidna u odnosu na C0−topologiju na Ham(M,ω) i produava se neprekidno

na Ham(M,ω).

4.1 Dokaz C0 neprekidnosti spektralne norme

Prvi korak je dokazivae slabijeg rezultata da je spektralna norma C0 neprek-

idna za Hamiltonove difeomorfizme koji fiksiraju taqke iz nekog otvorenog

skupa. Dokaz C0 neprekidnosti γ dobijamo svoeem na taj sluqaj.

Lema 4.2 Neka je U ⊂ M otvoren i povezan podskup. Tada, za svako ε > 0,

postoji δ > 0 tako da za svako φ ∈ Ham(M,ω) koje zadovoava φ(x) = x za sve

x ∈ U i dC0(φ, Id) < δ imamo da vai γ(φ) < ε.

Dokaz. Neka je F : M → R Morsova funkcija koja zadovoava sledee stvari:

• maxF −minF < ε/2,

• φ1F nema periodiqnih orbita perioda ≤ 1 osim kritiqnih taqaka,

• Crit(F ) ⊂ U .

Odavde zakuqujemo da je Spec(F ) = CritVal(F ), kao i da φ1F nema fiksnih

taqaka u M \ U . Odavde sledi da postoji δ > 0 tako da za sve x ∈M \ U vai

d(φ1F (x), x) > δ.

33

Ako je dC0(φ, Id) < δ tada φ1F φ nee imati fiksnih taqaka u M \ U . Kako je

φ identitet na U , to je skup fiksnih taqaka od φ1F φ isti kao skup fiksnih

taqaka od φ1F , xto je zapravo skup kritiqnih taqaka funkcije F , odnosno vai

Fix(φ1F φ) = Crit(F ).

Neka je H Hamiltonijan koji generixe φ, odnosno φ = φ1H . Svakoj fiksnoj

taqki x ∈ Fix(φ1F φ) moemo da pridruimo Hamiltonovu orbitu γx koja se

dobija nadovezivaem konstantnog puta t 7→ x = φtF (x) na Hamiltonovu orbitu

t 7→ φtH(x) (napomenimo da iako je φ1H = Id na U , to ne znaqi da su orbite

t 7→ φtH(x) konstantne za x ∈ U). Tada vai:

AF#H(γx) = F (x) +AH(φtH(x)).

Kako je U putno povezan, iz Stoksove teoreme i qienice da je φ1H = Id na U ,

sledi da postoji C ∈ R tako da za svako x ∈ U vai AH(φtH(x)) = C, odnosno

dejstvo svake orbite na U je isto. Drugim reqima za svako α ∈ H∗(M) \ 0vai c(α, F#H) = F (x) + C zbog osobine spektralnosti, pa imamo da vai:

γ(φ1F φ) ≤ maxF (x) + C −minF (x)− C < ε/2.

Oqigledno vai γ(φ1F ) < maxF −minF < ε/2, pa nejednakost trougla konaqno

daje

γ(φ) ≤ γ(φ−1F ) + γ(φ1

F φ) < ε.

Da bi smo dokaz teoreme sveli na prethodnu lemu, koristiemo pomono pres-

likavae:

Φ : M ×M →M ×M, (x, y) 7→ (φ(x), φ−1(x)),

gde na M × M posmatramo simplektiqku formu ω ⊕ ω. Preslikavae Φ

je takoe Hamiltonov difeomorfizam generisan Hamiltonijanom Kt(x, y) =

Ht(x) − Ht(φtH(y)). Xtavixe, ako je φ C0−blizu identiteta, bie to i Φ.

Na osnovu formule proizvoda za spektralne invarijante (teorema 5.1 u [20])

imamo da vai c([M ], K) = c([M ], H) + c([M ], H) = γ(φ), kao i c([M ], K) =

c([M ], H) + c([M ], H) = γ(φ), pa je

γ(Φ) = 2γ(φ).

34

Lema 4.3 Za sve ε > 0, postoji otvorena lopta B ∈ M , tako da za sve

ε′ > 0 postoji δ > 0, tako da ako φ ∈ Ham(M,ω) zadovoava dC0(φ, IdM) ≤ δ,

moemo da naemo Hamiltonov difeomorfizam Ψ ∈ Ham(M ×M,ω ⊕ ω) koji

zadovoava:

1. γ(Ψ) < ε,

2. dC0(Ψ, IdM×M) < ε′,

3. Φ Ψ(x, y) = (x, y) za sve (x, y) ∈ B ×B.

Dokaz. Neka je ε > 0 i neka je B′ otvorena lopta u M tako da je energija

razdvajaa otvorenog skupa B′ ×B′ u M ×M maa od ε4.

Stav 4.4 Postoji otvorena lopta B′′ ⊂ B′ i Hamiltonov difeomorfizam f

u M ×M , tako da vai:

• f = φ1F , gde je suppF ⊂ B′ ×B′,

• za sve (x, y) ∈ B′′ ×B′′ vai f(x, y) = (y, x).

Dokaz stava. Korixeem Darbuove karte i po potrebi smaivaem lopte

B′ moemo pretpostaviti da je B′ okolina 0 u R2n. Kako je prostor Sp(4n,R)

simplektiqkih matrica na R4n = R2n × R2n putno povezan, moemo izabrati

put takvih matrica (At)t∈[0,1] tako da je A0 = Id i A1 linearno preslikavae

(x, y) 7→ (y, x). Neka jeB′′ dovono mala lopta oko 0, takva da ∪t∈[0,1]At(B′′ ×B′′)⊂ B′ × B′. Neka je Qt(x) Hamiltonijan koji generixe At i neka je ρ cut-off

funkcija podrana u B′ × B′ koja je jednaka 1 na skupu ∪t∈[0,1]At(B′′ ×B′′).Tada Hamiltonijan Ft(x) = ρ(x)Qt(x) generixe tok koji se poklapa sa At na

B′′ ×B′′ i vai f = φ1F .

Za ostatak dokaza leme odaberimo loptu B′′ i Hamiltonov difeomorfizam f

kao u gorem stavu. Kako je nosaq od f sadran u B′ ×B′, nejednakost izmeuenergije i kapaciteta nam daje γ(f) ≤ 2e(B′ ×B′) ≤ ε

2.

Neka je B lopta qije je zatvoree sadrano u B′′. Neka je Υ = φ× IdM i neka

je

Ψ = Υ−1 f−1 Υ f.

Nejednakost trougla za γ nam daje γ(Ψ) ≤ 2γ(f) ≤ ε qime smo obezbedili

osobinu 1. iz leme. Xtavixe ako φ tei ka IdM , tada Ψ tei ka IdM×M , xto

35

pokazuje osobinu 2. Konaqno, ako je φ dovono blizu IdM tako da je φ(B) ⊂ B′′,

tada za sve (x, y) ∈ B ×B vai

Φ Ψ(x, y) = Φ Υ−1 f−1 Υ f(x, y)

= Φ Υ−1 f−1 Υ(y, x)

= Φ Υ−1 f−1(φ(y), x)

= Φ Υ−1(x, φ(y))

= Φ(φ−1(x), φ(y)) = (x, y).

Dakle, Φ Ψ se poklapa sa identitetom na B × B, odnosno zadovoena je i

osobina 3.

Sada emo objasniti kako iz ove leme sledi C0 neprekidnost γ u IdM . Fik-

sirajmo ε > 0 i neka je B kao u lemi. Neka je ε′ > 0 i odaberimo δ kao u lemi.

Konaqno, neka je φ takav da je dC0(φ, IdM) < δ i neka je Ψ kao u lemi. Sada nam

nejednakost trougla i osobina dualnosti daju

γ(φ) =1

2γ(Φ) ≤ 1

2γ(Φ Ψ) +

1

2γ(Ψ−1) ≤ 1

2γ(Φ Ψ) +

ε

2.

Ako su ε′ i dC0(φ, IdM) dovono mali, tada e Φ Ψ biti proizvono blizu

IdM×M . Ako sada primenimo prvu lemu na otvoren skup U = B × B ⊂ M ×Mdobiemo γ(ΦΨ) < ε. Sada konaqno dobijamo γ(φ) < ε, odnosno γ je neprekidno

u IdM .

Za zavrxetak dokaza teoreme, trebae nam sledea lema.

Lema 4.5 Za sve homoloxke klase a, b ∈ H∗(M) i sve Hamiltonove difeomor-

fizme φ, ψ vai:

|γ(a, b;φ)− γ(a, b;ψ)| ≤ γ(ψ−1 φ).

Dokaz. Neka su H i F Hamiltonijani koji generixu φ i ψ. Tada nejednakost

trougla daje:

c(a,H) = c(a ∩ [M ], F#(F#H)) ≤ c(a, F ) + c([M ], F#H).

Sliqno je c(a, F ) ≤ c(a,H)+c([M ], H#F ). Kako je c([M ], H#F ) = −c([pt], F#H),

zakuqujemo

c(a, F ) + c([pt], F#H) ≤ c(a,H) ≤ c(a, F ) + c([M ], F#H)

36

c(b, F ) + c([pt], F#H) ≤ c(b,H) ≤ c(b, F ) + c([M ], F#H).

Oduzimaem dobijamo

(c(a, F )− c(b, F ))− (c([M ], F#H)− c([pt], F#H)) ≤ c(a,H)− c(b,H)

≤ (c(a, F )− c(b, F )) + (c([M ], F#H)− c([pt], F#H)),

xto moemo da zapixemo kao

|γ(a, b;φ)− γ(a, b;ψ)| ≤ γ(ψ−1 φ).

Prethodna lema nam daje neprekidnost funkcije γ(a, b, ·) u svakom elementu φ ∈Ham(M,ω). Da bismo dokazali da se γ neprekidno produava na Ham(M,ω)

posmatrajmo niz φi ∈ Ham(M,ω) koji C0 konvergira ka φi. Kako je Ham(M,ω)

kompletan u odnosu na dC0 , to je niz φi Koxijev. Odatle dobijamo da za svako

δ > 0 postoji N ∈ N tako da za i, j > N , vai dC0(φ−1i φj, IdM) < δ, pa iz

neprekidnosti dobijamo γ(φ−1i φj) < ε. Iz prethodne leme zakuqujemo da je

γ(a, b;φi) Koxijev niz u R, pa on konvergira. Xtavixe, ako je φ′i drugi niz

koji C0 konvergira ka φ, tada e φ−1i φ′i konvergirati ka IdM u C0 topologiji,

pa prethodna lema daje da su γ(a, b;φi) i γ(a, b;φ′i) jednaki.

Konaqno, moemo da definixemo γ(a, b;φ) kao limn→∞ γ(a, b;φn) za bilo koji

niz φi ∈ Ham(M,ω) koji C0 konvergira ka φ ∈ Ham(M,ω).

4.2 Posledice neprekidnosti spektralne

norme

C0 neprekidnost bar kodova

Neka je dat Hamiltonov difeomorfizam φ, i neka su H,K dva Hamiltonijana

koja generixu φ. Tada je B(H) = B(K) u Barcodes, odnosno dobro je definisano

preslikavae

B : (Ham(M,ω), dC0)→ ( Barcodes, dbottle).

Sledea teorema daje neprekidnost ovog preslikvaa.

Teorema 4.6 [16] Neka je (M,ω) zatvorena, povezana i simplektiqki asferi-

qna. Tada je preslikavae

B : (Ham(M,ω), dC0)→ ( Barcodes, dbottle)

37

neprekidno i produava se neprekidno na Ham(M,ω).

Dokaz. Kislev i Xelukin su u [19] dokazali da za svaka dva Hamiltonova

difeomorfizma φ, ψ vai

dbottle(B(φ),B(ψ)) ≤ 1

2γ(ψ−1 φ).

Rezultat sada direktno sledi iz C0 neprekidnosti γ i prethodne nejednakosti.

Napomena. Treba naglasiti da je neophodno da posmatramo prostor bar

kodova do na pomak za realnu konstantu Barcodes. Mogue je definisati pres-

likavae B koje uzima vrednosti u prostoru bar kodova Barcodes, ali onda

neprekidnost nee vixe vaiti.

Problem izmextaa diska

Problem izmextaa diska pita da li je mogue C0−malim Hamiltonovim

homeomorfizmom izmestiti veliku simplektiqku loptu. Pokazaemo da je

odgovor negativan na svim simplektiqki asferiqnim mnogostrukostima.

Pod simplektiqkom loptom podrazumevamo simplektiqko ulagae i : (B,ω0)→(M,ω), gde je (B,ω0) zatvorena lopta u R2n a ω0 standardna simplektiqka

forma. Kaemo da je simplektiqka lopta polupreqnika r ako je B polupreq-

nika r.

Teorema 4.7 [16] Neka je (M,ω) zatvorena, povezana i simplektiqki asferi-

qna. Za svako r > 0, postoji ε > 0 sa sledeom osobinom: ako φ ∈ Ham(M,ω)

izmexta simplektiqki uloenu loptu polupreqika r, onda je dC0(Id, φ) > ε.

Dokaz. Dokaz je direktna posledica teoreme o neprekidnosti. Spektralna

norma γ neprekidno produuje na Ham(M,ω) i nastava da zadovoava sve

navedene osobine. Konkretno, ako φ ∈ Ham(M,ω) izmexta simplektiqki

uloenu loptu polupreqnika r, tada je πr2 ≤ γ(φ). Odatle iz neprekidnosti γ

i qienice da je γ(Id) = 0 sledi da postoji ε > 0, koje zavisi samo od r, takvo

da vai dC0(Id, φ) ≥ ε.

Teorema nam govori da Hamiltonovi homeomorfizmi koji su C0−mali ne moguda izmeste velike skupove. Ovo moemo da interpretiramo kao C0 verziju

nejednakosti izmeu energije i kapaciteta.

38

Primena u Hoferovoj geometriji

Le Ru je postavio sledee pitae: Za A > 0 oznaqimo sa EA komplement

zatvorene lopte polupreqnika A u Hoferovoj metrici, odnosno neka je EA :=

φ ∈ Ham(M,ω) | dHofer(Id, φ) > A. Da li EA ima nepraznu C0 ununtraxost

za sve A > 0? Odgovor za odreenu klasu simplektiqkih mnogostrukosti je

dat u sledeoj teoremi.

Teorema 4.8 [16] Neka je (M,ω) zatvorena, povezana i simplektiqki asferi-

qna. Ako je γ norma neograniqena na (M,ω), tada skup EA ima nepraznu

C0−unutraxost.

Dokaz. Uzmimo φ ∈ Ham(M,ω) za koje je γ(φ) > A. Kako je γ C0−neprekidno,to e postojati C0−otvorena okolina V od φ, tako da je γ > A na V . Dakle, V

je sadrano u unutraxosti od EA.

Oqekivano je ali ne i dokazano da je γ neograniqena na svim simplektiqki

asferiqnim mnogostrukostima. Zna se da je γ neograniqena na proizvodima

oblika (Σ, ω1)× (N,ω2), gde je Σ zatvorena povrx koja nije sfera.

Treba napomenuti da je na velikoj klasi simplektiqkih mnogostrukosti odgovor

na gore pitae negativan, odnosno postoje Hamiltonovi difeomorfizmi koji

su proizvono C0−mali ali imaju veliku Hoferovu normu.

39

Glava 5

Koizotropna rigidnost

Podmnogostrukost C simplektiqke mnogostrukosti (M,ω) nazivamo koizotrop-

nom ako za svaku taqku p ∈ C vai (TpC)ω ⊂ TpC, gde je (TpC)ω simplek-

tiqki ortogonal. Na primer Lagraneve podmnogostrukosti i hiperpovrxi

su koizotropne.

Neka su sada X, Y ∈ (TC)ω i Z ∈ TC. Korixeem Frobenijusove teoreme i

sledeeg identiteta

0 = dω(X, Y, Z) =

= Xω(Y, Z) +Y ω(Z,X) +Zω(X, Y ) +ω([Y, Z], X) +ω([Z,X], Y ) +ω([X, Y ], Z) =

= ω([X, Y ], Z)

zakuqujemo da koizotropne podmnogostrukosti definixu integrabilnu dis-

tribuciju (TC)ω, qiju karakteristiqnu folijaciju oznaqavamo sa F . U ovom

delu pokazaemo da su koizotropne podmnogostrukosti zajedno sa ihovim

karakteristiqnim folijacijama C0−rigidne.

Teorema 5.1 [23] Neka je C glatka koizotropna podmnogostrukost simplek-

tiqke mnogostrukosti (M,ω). Neka je U otvoren podskup od M i neka je

θ : U → V simplektiqki homeomorfizam. Ako je θ(C ∩ U) glatka podmno-

gostrukost, onda je ona koizotropna. Xtavixe, θ xae karakteristiqnu

folijaciju od C ∩ U u karakteristiqnu folijaciju od θ(C ∩ U).

Bitna osobina prethodne teoreme je ena lokalnost, odnosno C ne mora obavezno

biti zatvorena i θ ne mora obavezno biti globalno definisana.

Lagraneve podmnogostrukosti su ekstreman sluqaj koizotropnih. Kada je C

Lagraneva, ena karakteristiqna folijacija se sastoji samo iz jednog lista

40

C i tada teorema glasi: Ako je θ simplektiqki homeomorfizam i ako je θ(C)

glatka, onda je θ(C) Lagraneva.

Takoe treba naglasiti da je ova teorema koizotropno uopxtee Gromov-Ea-

xbergove teoreme, jer implicira da ako je grafik simplektiqkog homeomor-

fizma glatka podmnogostrukost u M ×M onda je i Lagraneva.

Mi emo izloiti dokaz teoreme u specijalnom sluqaju kada je M = T ∗L i

ω = dλ, gde je L zatvorena i λ Luivilova 1−forma. Ovaj sluqaj sadri glavneideje dokaza, ali je tehniqki jednostavniji.

Teorema 5.2 [23] Neka je L0 nulto seqee u T ∗L i θ simplektiqki homeo-

morfizam. Ako je θ(L0) glatka, onda je Lagraneva.

Za dokaz teoreme bie nam potrebna dinamiqka karakterizacija koizotropnih

podmnogostrukosti, kao i sledea teorema.

Teorema 5.3 [23] Neka je H ∈ C0Ham(T ∗L) sa indukovanom hameotopijom φtH .

Tada je restrikcija H na L0 funkcija vremena ako i samo ako φtH quva L0.

Sledea lema predstava karakterizaciju koizotropnih podmnogostrukosti.

Lema 5.4 Neka je C glatka podmnogostrukost simplektiqke mnogostrukosti

(M,ω). Sledei iskazi su ekvivalentni:

• C je koizotropna,

• Za svaki gladak Hamiltonijan H, ako je H|C funkcija vremena, onda

φtH(C) = C.

Dokaz Teoreme 6.2. Neka je H bilo koji gladak Hamiltonijan qija je restrik-

cija na θ(L0) funkcija vremena. Tada je H θ ∈ C0Ham i restrikcija H θ na

L0 je funkcija vremena. Iz teoreme 6.3 sledi da tok od H θ quva L0, odnosno

θ−1φtHθ(L0) = L0, odakle dobijamo da tok od H quva θ(L0). Sada iz leme sledi

da je θ(L0) koizotropna, a zbog dimenzije dobijamo da je θ(L0) Lagraneva.

Pre nego xto preemo na dokaz Teoreme 5.2, navodimo stav koji emo koristiti

u dokazu.

41

Stav 5.5 [23] Neka je L zatvorena mnogostrukost i Hkk niz glatkih uni-

formno kompaktno podranih Hamiltonijana na T ∗L (xto znaqi da postoji

kompakt K takav da je ∪ksupp(Hk) ⊂ K) za koje vai

(1) za sve t ∈ [0, 1], γL(φtHk)→ 0,

(2) Hkk uniformno konvergira ka neprekidnoj funkciji H.

Tada je restrikcija H na L0 funkcija vremena.

Dokaz Teoreme 6.3. ⇒ za dokaz direktne implikacije pretpostavimo da je

Ht|L0 = c(t) funkcija vremena. Pretpostavimo suprotno, da φH ne quva L0,

odnosno da postoji t0 za koje je φt0H(L0) 6⊂ L0. Nakon vremenske reparametrizacije

t 7→ t0t moemo pretpostaviti da je t0 = 1, odnosno φ1H(L0) 6⊂ L0.

Kako je H ∈ C0Ham, to postoji niz glatkih Hamiltonijana Hi : [0, 1] ×M → R

takvih da Hi uniformno konvergira ka H i φHikonvergira ka φH u C0−topolo-

giji.

Kako je φ1H(L0) 6⊂ L0, to postoji lopta B takva da je B∩L0 6= ∅ i φ1

H(B)∩L0 = ∅.Odatle sledi da za dovono veliko i vai φ1

Hi(B) ∩ L0 = ∅, pa na osnovu

nejednakosti izmeu spektralne norme i kapaciteta dobijamo

γ(φ1Hi

) ≥ cLR(B;L0) > 0.

Sa druge strane znamo da je spektralna norma odozdo ograniqena sa Lagranevom

Hoferovom normom, odnosno vai

γ(φ1Hi

) ≤∫ 1

0

(maxL0

Hi(t, ·)−minL0

Hi(t, ·))dt,

xto je u kontradikciji sa pretpostavkom da jeH|L0 funkcija vremena i prethod-

nom nejednakoxu sa kapacitetom. Dakle φH mora da quva L0.

⇐ za dokaz obrnute implikacije pretpostavimo da φH quva L0. Pokazaemo

da je funkcija H(0, ·)|L0 konstantna na M . To je i dovono pokazati jer

reparametrizacijom H(t, x) = (1− s)H(s + (1− s)t, x) dobijamo da je H(s, ·)|L0

konstantna na M , xto zapravo znaqi da je H|L0 funkcija vremena.

Neka je B otvorena lopta koja seqe L0 i U otvorena okolina od B, takva da skup

L0 \ π(U) ima nepraznu unutraxost, gde je π : T ∗L→ L0 prirodna projekcija

(ovakvo U biramo da bi smo mogli da primenimo lemu 3.11).

42

Neka je ψ bilo koji simplektomorfizam qiji je nosaq sadran u B i koji quva

L0. Neka je ε > 0 takvo da vai φtH(B), (φtH)−1 b U za sve t ∈ [0, ε] (oznaka b oz-

naqava da je podskup kompaktno sadran). Nakon vremenske reparametrizacije

u kojoj H(t, x) zamenimo sa εH(εt, x) moemo pretpostaviti da vai:

(∀t ∈ [0, 1]) φtH(B),(φtH)−1b U.

Da bismo problem lokalizovali na U , posmatrajmo sledeu Hameotopiju(φtH)−1

ψ−1φtHψ ∈ Hameo(T ∗L, dλ),

koja je generisana sa G ∈ C0Ham datim sa

G = (H ψ −H) φH .

Dokazaemo da je G|L0 = 0. Nosaq od od G je sadran u U , a kako ψ i φH quvaju

L0 zakuqujemo da tok od G takoe quva L0.

Kako je H ∈ C0Ham, to postoji niz Hamiltonijana Hi koji uniformno konver-

giraju ka H i φHi konvergira ka φH . Ako definixemo Gi = (Hiψ−Hi)φHi

,

egov nosaq e biti sadran u U za dovono veliko i. Takoe niz Gi uni-

formno tei ka G i φGi tei ka φG.

Fiksirajmo malo r > 0. Kako je φtG(L0) = L0 za sve t ∈ [0, 1], to e za dovono

veliko i biti φtGi(L0) ⊂ T ∗r L. Kako su dodatno svi Hamiltonijani podrani u

U , moemo da primenimo lemu 3.11. i zakuqimo da je γL(φ1Gi

) ≤ Cr, odnosno

γL(φ1Gi

) → 0 ako pustimo r → 0. Naravno, isto vai i za bilo koje t ∈ [0, 1],

odnosno γ(φtGi) → 0 za t ∈ [0, 1]. Sada moemo da primenimo stav 6.5 koji nam

kae da je G|L0 = c(t). Kako je nosaq od G sadran u U , zakuqujemo da je

G|L0 = 0.

Specijalno, G|L0 = 0 za t = 0, odakle sledi da je H(0, ψ(x)) = H(0, x) za svee

x ∈ L0. Simplektomorfizam ψ moemo da odaberemo tako da za bilo koje dve

taqke x1, x2 ∈ B∩L0 vai ψ(x1) = x2, odakle dobijamo da jeH(0, ·)|B∩L0 = const,

odakle variraem lopti B dobijamo da je H(0, ·)|L0 = const.

5.1 Definisae C0 koizotropnih

podmnogostrukosti

U ovom delu emo koristiti teoremu o koizotropnij rigidnosti da bi smo

definisali C0−koizotropne podmnogostruosti. Moe da se pokae da je svaka

43

koizotropna podmnogostrukost kodimenzije k lokalno simplektomorfna sa

C0 = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) | (yn−k+1, . . . , yn) = (0, . . . , 0) ⊂ R2n,

Definicija 5.6 Topoloxka podmnogostrukost C simplektiqke mnogostru-

kosti (M,ω) je C0−koizotropna ako oko svake taqke p ∈ C postoji C0−koizo-tropna karta, odnosno postoji par (U, θ) gde je U otvorena okolina taqke p i

θ : U → V ⊂ R2n simplektiqki homeomorfizam takav da je θ(C ∩U) = C0 ∩V .C0−koizotropnu podmnogostrukost kodimenzije n nazivamo C0−Lagrane-

vom.

Teorema 6.1. nam garantuje da su glatke C0−koizotropne podmnogostrukostikoizotropne.

Primer. Grafici simplektiqkih homeomorfizma uM×M su C0−Lagranevepodmnogostrukosti kao i grafici diferencijala C1 formi u T ∗M .

44

Glava 6

Arnoldova Hipoteza i

Hameomorfzmi

Hipoteza (Arnold). Hamiltonov difeomorfizam na simplektiqkoj mno-

gostrukosti (M,ω) ima bar onoliko fiksnih taqaka koliki je i minimalan

broj kritiqnih taqaka glatke funkcije na M .

Znaqaj ove hipoteze je qienica da predvia veliki broj fiksnih taqaka, xto

se moe shvatiti kao manifestacija simplektiqke rigidnosti. Za proizvoan

difeomorfizam ne moemo da predvidimo postojae vixe od jedne fiksne

taqke.

Arnoldova hipoteza je bila od velikog znaqaja za razvoj simplektiqke topologi-

je i posluila je kao motivacija za konstrukciju Florove homologije. Navodimo

jox jednu verziju Arnoldove hipoteze: Svaki nedegenerisan Hamiltonov difeo-

morfizam zatvorene simplektiqke mnogostrukosti M ima bar onoliko fik-

snih taqaka koliko i zbir Betijevih brojeva mnogostrukosti M .

Definicija 6.1 Kohomoloxka duina cl(M) putno povezanog i kompaktnog

topoloxkog prostora X je maksimalan broj k za koji postoji k kohomoloxkih

klasa pozitivnog stepena a1, . . . , ak ∈ H∗(X;R) takvih da je a1 ∪ . . . ∪ ak 6= 0.

Klasiqna uxternik-Xnirelmanova teorija daje doe ograniqee za broj

fiksnih taqaka glatke (ne obavezno Morsove) funkcije na M . Taqnije ona

pokazuje da je minimalan broj kritiqnih taqaka glatke funkcije na M uvek

vei od kohomoloxke duine cl(M). Dakle, prirodna interpretacija Arnoldove

45

hipoteze, zvana homoloxka Arnoldova hipoteza, glasi: Hamiltonov difeo-

morfizam na (M,ω) ima bar cl(M) fiksnih taqaka. Za simplektiqku mno-

gostrukost dimenzije 2n, n−ti stepen kohomoloxke klase simplektiqke formeje razliqit od 0, tako da je cl(M) ≥ n+ 1.

6.1 C0 kontraprimer Arnoldove hipoteze

Nakon xto smo dali definiciju Hamiltonovih homeomorfizama, zvanih Hameo-

morfizmi, prirodno je pitae da li Arnoldova hipoteza nastava da vai

i za ih. U sluqaju zatvorenih povrxi, Macumoto je dokazao da (slabi)

Hamiltonovi homeomorfizmi zadovoavaju Arnoldovu hipotezu. Jox jedan

dokaz je dao Le Kalvez korixeem teorije transverzalnih folijacija, me-

utim nijedna od tih tehnika se ne uopxtava na vee dimenzije. Da nada za

takvim uopxteem ne postoji pokazali su Lev Buhovski, Vinsent Umilier i

Sobhan Sejfadini:

Teorema 6.2 [21] Neka je (M,ω) zatvorena i povezana simplektiqka mno-

gostrukost dimenzije bar 4. Tada postoji Hamiltonov homeomorfizam f ∈Hameo(M,ω) sa taqno jednom fiksnom taqkom. Xtavixe f moemo odabrati

tako da zadovoava bilo koji od sledea dva uslova.

1. Neka je H normalna podgrupa od Sympeo(M,ω) koja sadri Ham(M,ω)

kao pravi podskup. Tada, f ∈ H.

2. Oznaqimo sa p jedinstvenu fiksnu taqku od f . Tada je f simplektiqki

difeomorfizam na M \ p.

Prva stvar koju treba napomenuti je da svaki Hamiltonov homeomorfizam ima

bar jednu fiksnu taqku. Pretpostavimo suprotno, da postoji f ∈ Hameo(M,ω)

koji nema fiksnih taqaka. Tada je minx∈M d(f(x), x) = dmin > 0. Napiximo f

kao C0 limes Hamiltonovih difeomorfizama fi, od kojih svaki ima bar jednu

fiksnu taqku xi. Tada je dC0(f, fi) ≥ d(f(xi), fi(xi)) = d(f(xi), xi) > dmin pa

nakon puxtaa limesa dobijamo kontradikciju.

Druga stvar koju treba napomenuti je da ne postoji nada za alternativnom

definicijom Hamiltonovih homeomorfizama koji e zadovoavati Arnoldovu

hipotezu. Kako je Ham(M,ω) normalna podgrupa od Symp(M,ω), potpuno je

46

prirodno oqekivati da alternativna definicija grupe Hamiltonovih home-

omorfizama sadri Ham(M,ω) kao podgrupu i bude normalna podgrupa od

Sympeo(M,ω). Dakle, prva osobina prethodne teoreme nam govori da nema

nade za alternativnom definicijom Hameomorfizama koji e zadovoavati

Arnoldovu hipotezu.

6.2 Kratak opis konstrukcije kontraprimera

Konstrukcija odgovarajueg homeomorfizma f se vrxi u dva velika koraka.

Prvi i tei korak je opisan lemi koja sledi odmah nakon definicije.

Definicija 6.3 Kompaktan podskup T glatke mnogostrukostiM je uloeno

stablo ako postoji konaqno planarno stablo T0 i neprekidno injektivno pre-

slikavae χ : T0 → M , tako da je χ(T0) = T i preslikavae χ je glatko

ulagae unutraxosti svake ivice stabla T0.

Lema 6.4 [21] Neka je (M,ω) zatvorena i povezana simplektiqa mnogostrukost

dimenzije bar 4. Postoji Hamiltonov homeomorfizam ψ ∈ Hameo(M,ω) i

neprekidno uloeno stablo T ⊂M tako da vai

1. T je invarijantno u odnosu na ψ, tj. ψ(T ) = T ,

2. Sve fiksne taqke od ψ su sadrane u T .

3. ψ je glatko na komplementu od T .

Bitan stav u konstrukciji invarijantnog stabla T je kvantitativni h−principkoji su uveli Buhovski i Opxtejn, u qijem je dokazu neophodna pretpostavka

o dimenziji bar 4. Ideja dokaza leme je da krenemo od C2−male Morsove

funkcije H, qiji odgovarajui Hamiltonov difeomorfizam φ1H ima konaqno

fiksnih taqaka koje odgovaraju kritiqnim taqkama funkcije H. Za dve takve

taqke x1 i y1 konstruixemo zatvorenu krivu γ1, koja povezuje x1 i y1, i Hamilto-

nov homeomorfizam ψ1 koji je C0 blizu identiteta, takav da Fix(ψ1φ1H) =

Fix(φ1H) i γ1 je invarijantno pri ψ1φ

1H . Konstrukciju ponovimo dovono puta,

tako da dobijemo krive γ1, γ2, . . . , γN qija unija qini traeno stablo T . Home-

omorfizam ψ onda dobijamo kao kompoziciju ψ = ψN · · · ψ1 φ1H .

47

Drugi korak se sastoji u ,,sabijau" invarijantnog stabla T u jednu taqku koja

e ujedno biti i fiksna taqka homeomorfizma f . To radimo tako xto fiksir-

ajmo taqku p ∈ M i konstruixemo niz simplektomorfizama φi ∈ Symp(M,ω)

koji C0 konvergiraju ka preslikavau φ : M →M koje ima sledee osobine:

1. φ(T ) = p,

2. φ|M\T : M \ T →M \ p je simplektomorfizam.

Primetimo da iz prve osobine sledi da φ nije injektivno, tako da φ−1i nije

konvergentan niz. Sada definixemo f : M →M na sledei naqin:

f(x) =

p, x = p

φψφ−1(x), x 6= p

Kako je preslikavae f |M\p konjugovano preslikavau ψ : M \M \T →M \Tkoje nema fiksnih taqaka, zakuqujemo da je p zaista jedina fiksna taqka

preslikavaa f .

Paivim odabirom niza simplektomorfizama φi moemo osigurati da niz

konjugovanih preslikavaa φiψφ−1i C0 konvergira ka f zahvaujui invari-

jantnosti stabla T . Meutim dokaz da je f Hamiltonov homeomorfizam zahteva

jox dodatnog posla.

6.3 Pokuxaj spasavaa Arnoldove hipoteze

za homeomorfizme

U ovom delu emo pokuxati da objasnimo kako je mogue uz pomo simplek-

tiqkih spektralnih invarijanti dobiti rezultate koji se mogu interpreti-

rati kao varijanta Arnoldove hipoteze za Hamiltonove homeomorfizme.

Neka je (M,ω) zatvorena, simplektiqki asferiqna mnogostrukost. Za poqetak

primetimo da zbog Lipxicove neprekidnosti spektralnih invarijanti u odnosu

na Hoferovu normu moemo da definixemo spektralne invarijante i za nepreki-

dne Hamiltonijane:

Definicija 6.5 Za α ∈ H∗(M) \ 0 i neprekidan Hamiltonijan H, defin-

ixemo

c(α,H) = limt→+∞

c(α,Hi),

48

gde je Hi bilo koji niz glatkih Hamiltonijana koji konvergiraju ka H.

U ovom sluqaju nije poznato da li c(α,H) zavisi samo od φ1H (za razliku od

glatkog sluqaja), osim u sluqaju povrxi gde je odgovor potvrdan.

Oznaqimo sa f konstruisan Hamiltonov homeomorfizam koji ima taqno jednu

fiksnu taqku i predstava kontraprimer za C0−Arnoldovu hipotezu. Is-

postava se da su autori konstruisali f tako da bude veoma blizu Hamiltonovog

difeomorfizma φ1H za C2−malu Morsovu funkciju H, qije spektralne in-

varijante u tom sluqaju odgovaraju homoloxkim minimaks selektorima ρ(α, ·).Dakle, iako konstruisan hameomorfizam ima jednu fiksnu taqku, on ima mnogo

razliqitih spektralnih invarijanti. Videemo uskoro da to nije sluqajnost,

ve pravilo.

Sledei stav sledi iz klasiqne uxtenik-Xnirelmanove teorije.

Stav 6.6 [21] Neka je f glatka funkcija na zatvorenoj mnogostrukosti V .

Ako je broj razliqitih homoloxkih minimaks selektora funkcije f mai od

cl(V ), onda je broj kritiqnih taqaka funkcije f beskonaqan.

Iz ovog stava sledi da konstruisan kontraprimer ima bar cl(M) razliqitih

spektralnih invarijanti. Prirodno je pitati se da li je to sluqaj samo sa

konkretnim kontraprimerom, ili je u pitau opxti fenomen.

Teorema 6.7 [21] Neka je (M,ω) zatvorena i simplektiqki asferiqna mno-

gostrukost. Pretpostavimo da je φ ∈ Hameo(M,ω) Hameomorfizam gener-

isan neprikidnim Hamiltonijanom H. Ako je broj razliqitih spektralnih

invarijanti funkcije H mai od cl(M), tada je skup fiksnih taqaka home-

omorfizma φ beskonaqan.

Dokaz. Pogledati [21].

Ova teorema pokazuje da je Arnoldova hipoteza za Hamiltonove homeomorfizme

taqna ukoliko uz fiksne taqke brojimo i razliqite spektralne invarijante.

49

Literatura

[1] D. McDuff, D. Salamon - Introduction to symplectic topology, 2nd ed., Oxford

Sci. Pub. 1998.

[2] D. McDuff, D. Salamon - J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology,

American Mathematical Society; 2 edition (2012)

[3] J. Robbin, D. Salamon - The Maslov index for paths. Topology Vol. 32, No.

4, pp. 827-844. 1993.

[4] S. Piunikhin, D. Salamon, M. Schwarz - Symplectic Floer-Donaldson theory

and quantum cohomology. Contact and Symplectic Geometry, Publ. Newton

Instit. 8, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996, pp. 171200.

[5] C. Viterbo - Symplectic topology and Hamilton-Jacobi equations NATO Sci-

ence Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, vol 217. Springer, Dor-

drecht

[6] Y. G. Oh - Symplectic topology as the geometry of action functionalJ. Differ-

ential Geom. Volume 46, Number 3 (1997), 499-577.

[7] M. Schwarz - On the action spectrum for closed symplectically aspherical man-

ifolds. Pacific J. Math., 193(2):419461, 2000.

[8] A. Monzner, N. Vichery, F. Zapolsky - Partial quasimorphisms and quasis-

tates on cotangent bundles, and symplectic homogenization. J. Mod. Dyn.,

6(2):205249, 2012.

[9] C. Viterbo - Symplectic topology as the geometry of generating functions.

Math. Annalen, 292:685710, 1992.

[10] Y. G. Oh - Geometry of generating functions and Lagrangian spectral invari-

ants. ArXiv:1206.4788, June 2012.

50

[11] H. Hofer, E. Zehnder - Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics.

Birkhauser Advanced Texts: Basler Lehrbucher. [Birkhauser Advanced Texts:

Basel Textbooks]. Birkhauser Verlag, Basel, 1994.

[12] S. Lisi, A. Rieser - Coisotropic Hofer-Zehnder capacities and non-squeezing

for relative embeddings. ArXiv:1312.7334, 2013.

[13] M. Usher - The sharp energy-capacity inequality. Commun. Contemp. Math.,

12(3):457-473, 2010.

[14] L. Polterovich, E. Shelukhin - Autonomous Hamiltonian flows, Hofers geom-

etry and persistence modules. Selecta Math. (N.S.), 22(1):227296, 2016.

[15] C. Viterbo - On the uniqueness of generating Hamiltonian for continuous lim-

its of Hamiltonians flows. Int. Math. Res. Not., pages Art. ID 34028, 9, 2006.

[16] V. Humiliere, R. Leclercq, S. Seyfaddini - Coisotropic rigidity and C0-

symplectic geometry. Duke Math. J., 164(4):767-799, 2015.

[17] W. Crawley-Boevey - Decomposition of pointwise finite-dimensional persis-

tence modules. J. Algebra Appl., 14(5):1550066, 8, 2015.

[18] Y. G. Oh, S. Muller - The group of Hamiltonian homeomorphisms and C0-

symplectic topology. J. Symplectic Geom., 5(2):167-219, 2007.

[19] A. Kislev, E. Shelukhin - Bounds on spectral norm and barcodes.

ArXiv:1810.09865, 2018.

[20] M. Entov, L. Polterovich - Rigid subsets of symplectic manifolds. Compos.

Math., 145(3):773826, 2009.

[21] L. Buhovsky, V. Humiliere, S. Seyfaddini - A C0 counterexample to the Arnold

conjecture. Invent. math. (2018) 213: 759.

[22] L. Buhovsky, M. Entov, L. Polterovich - Poisson brackets and symplectic in-

variants. Selecta Math. (N.S.), 18(1):89-157, 2012.

[23] V. Humiliere, R. Leclercq, S. Seyfaddini - Coisotropic rigidity and C0-

symplectic geometry. Duke Math. J., 164(4):767-799, 2015.

51

[24] V. Humiliere, R. Leclercq, S. Seyfaddini - New energy-capacity-type inequal-

ities and uniqueness of continuous Hamiltonians. Comment. Math. Helv.,

90(1):1-21, 2015.

[25] V. Humiliere, R. Leclercq, S. Seyfaddini - Reduction of symplectic homeomor-

phisms. Ann. Sci. Ec. Norm. Super. (4), 49(3):633-668, 2016.

52