Manual 89001295 Matematica Parte i

8/20/2019 Manual 89001295 Matematica Parte i

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SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

FASCÍCULO DE APRENDIZAJE

CÓDIGO: 89001295

PROFESIONAL TÉCNICO

MATEMÁTICA – PARTE I

ESTUDIOS GENERALES


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MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO

UNIDADES

Unidad I : NÚMEROS NATURALES

Unidad II : MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR

Unidad III : NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.

Unidad IV : FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN.

Unidad V : NÚMEROS DECIMALES

Unidad VI : POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Unidad VII : TRIGONOMETRÍA BÁSICA

Unidad VIII : MEDIDAS DE LONGITUD

Unidad IX : MEDIDA DE TIEMPO

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MATEMÁTICA


INDICE


1.1 Número Natural: Numeral1.2 Lectura y escritura de números naturales1.3 Operaciones en el conjunto de Números Naturales

1.3.1 Adición: - Sumas Notables1.3.2 Sustracción: Propiedades1.3.3 Multiplicación y potenciación1.3.4 División: Elementos; Tipos de división entera; Algoritmo de la división;

Propiedades1.3.5 Radicación1.3.6 Operaciones combinadas.

1.4 Planteo de Ecuaciones. Ecuaciones de 1er grado. Ecuación de 2do grado

Unidad II : MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR2.1 Divisibilidad – propiedades. – Criterios de Divisibilidad2.2 Clasificación de los números enteros.2.3 Procedimiento para determinar si un número es primo.2.4 Número primo entre sí (PESÍ)2.5 Descomposición de un número en sus factores primos.2.6 Cantidad de divisores de un número.2.7 MCD y MCM: Métodos para calcular el MCM y el MCD

Propiedades

Unidad III : NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES. 3.1 Fracción : Elementos3.2 Clasificación de Fracciones3.3 Conversión de Fracción impropia a numero mixto y de número mixto a fracción

impropia3.4 MCD Y MCM de fracciones3.5 Simplificación de fracciones. Propiedades.3.6 Fracciones equivalentes3.7 Homogenización de denominadores o numeradores, de fracciones.3.8 Comparación de fracciones

Unidad IV : FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN.4.1 Adición y sustracción de Fracciones4.2 Operaciones combinadas de adición y sustracción.4.3 Multiplicación y Potenciación de Fracciones4.4 División de Fracciones.4.5 Radicación de fracciones.4.6 Operaciones combinadas.

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Unidad V : NÚMEROS DECIMALES5.1 Numero decimal5.2 Tablero posicional de cifras de un número decimal.5.3 Lectura y escritura de números decimales5.4 Propiedades de números decimales.

5.5 Comparación de números decimales5.6 Clasificación de números decimales5.7 Generatriz de un número decimal5.8 Adición y sustracción de números decimales5.9 Multiplicación y potenciación de números decimales5.10 División de números decimales.5.11 Radicación de números decimales

Unidad VI : POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN6.1 Potenciación6.2 Signos de la Potenciación

6.2.1 Propiedades de la potenciación6.3 Radicación

6.3.1 Signos de la Radicación6.3.2 Propiedades de la Radicación6.3.3 Definición: Radicales Homogéneos, y Radicales Semejantes.6.3.4 Simplificación de radicales6.3.5 Operaciones con radicales: Adición, Sustracción, Multiplicación y

División de radicales.6.3.6 Racionalización

Unidad VII : TRIGONOMETRÍA BÁSICA7.1 Sistema de medidas angulares: sexagesimal, Centesimal, radial o Circular -

Equivalencias7.2 Razones Trigonométricas.7.3 Razones Trigonométricas de ángulos cuadrantales.7.4 Resolución de triángulos rectángulos7.5 Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de senos7.6 Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de coseno

Unidad VIII : MEDIDAS DE LONGITUD 8.1 Sistema Métrico

8.1.1 Unidad fundamental (El metro)8.1.2 Prefijos en el S.I.8.1.3 Múltiplos y Submúltiplos del metro8.1.4 Conversión de unidades.

8.2 Sistema Inglés8.2.1 Pulgada8.2.2 Equivalencias de pulgadas8.2.3 Transformación de pulgadas a milímetros8.2.4 Transformación de milímetros a pulgadas

Unidad IX : MEDIDA DE TIEMPO 9.1 Medida de tiempo

Unidad fundamental : el segundo9.2 Múltiplos del segundo9.3 Equivalencias de unidades de tiempo9.4 Operaciones con medida de tiempo

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UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES

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1.1 Número NaturalDefinición.- Un número natural es

cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...que se pueden usar para contar loselementos de un conjunto. Reciben esenombre porque fueron los primeros queutilizó el ser humano para contarobjetos de la naturaleza.

Numeral.- Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentesde los numerales romanos "I, II, III, IV, V, ..." pero ambos representan los mismosnúmeros.

Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 esel tres binario pero el once decimal.

1.2 Lectura y Escritura de Números NaturalesEn la escritura de un número natural debemos tener en cuenta que la cifra formaun orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman unperíodo.

24º Orden Centenas de millar de trillón23º Orden Decenas de millar de trillón22º Orden Unidades de millar de trillón

21º Orden Centenas de trillón20º Orden Decenas de trillón19º Orden Unidades de trillón18º Orden Centenas de millar de billón17º Orden Decenas de millar de billón16º Orden Unidades de millar de billón15º Orden Centenas de billón14º Orden Decenas de billón13º Orden Unidades de billón12º Orden Centenas de millar de millón11º Orden Decenas de millar de millón10º Orden Unidades de millar de millón9º Orden Centenas de millón8º Orden Decenas de millón7º Orden Unidades de millón6º Orden Centenas de millar 5º Orden Decenas de millar 4º Orden Unidades de millar 3º Orden Centenas simples2º Orden Decenas simples1º Orden Unidades simples

1º Clase

2º Clase

3º Clase

4º Clase

5º Clase

6º Clase

7º Clase

8º Clase

ENTE

ROS

1 º P e r í o d o

2 º P e r í o d o

3 º P e r í o d o

4 º P e r í o d o

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Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partirde la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningúnotro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º23º22º 21º 20º19º 18º17º 16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones,setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.”

Aplicación 1 : Aún recordando, usted realizará los ejercicios siguientes :Escriba como se lee cada número:

a) 4 121 ...............................................................................................b) 20 305 ...............................................................................................c) 2 000 000 ................................................................................................d) 5 001 008 .................................................................................................

Aplicación 2: Lea y escriba con cifras cada número:

a) Tres mil cinco .....................................................................

b) Cien mil cuarenta y dos.....................................................c) Un millón trescientos mil ..........................................................................d) Dieciocho millones tres mil uno ..................................................................e) Seis millones quince mil .............................................................................f) Doscientos tres millones cuatro mil uno .....................................................

Aplicación 3:Qué número esta formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CMa) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014

Aplicación 4:Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:

a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763

Aplicación 5:Cuantas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UMa) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560

Aplicación 6 :Cuántas Decenas forman Dos Millaresa)20 b)200 c)2000 d)2 e)0,2

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Aplicación 7:Como se puede escribir el producto de: 345x11a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA

1 .3 Operaciones en el Conjunto de Números Naturales

1.3.1 AdiciónDefinición.- Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cualse denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares denúmeros naturales (a ; b) su suma a + b.

Ejemplo 1 :15 + 17 = 32

Ejemplo 2 :7 + 8 + 13 = 28

Aplicación 1:Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab

Rpta: 1665

Aplicación 2:Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal

Rpta: 494550

Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n

2

)1n(nS

Ejemplo :

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25

3252

12525S

Sumandos Suma

n = 25

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II) Suma de los “ n “ primeros impares

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

2

1nS

Ejemplo :

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S

2

III) Suma de los “n” primeros pares

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n 1nnS

Ejemplo :

2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 11011010S

1.3.2 Sustracción

Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la

cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertospares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b.

Ejemplo 1: 235 - 140 = 95

Aplicación 1:Si: a4b - 3c5 = 418 ; Hallar: a + b – c

Rpta: 6

Propiedades de la Sustracción :

1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al MINUENDO y alSUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.

2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO,la DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

MINUENDO ( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

n = 39

n = 10

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3. Sí sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO ALSUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esamisma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.

S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DELMINUENDO.

M + S + D = 2M

Aplicación 1 :La diferencia de dos números es 305, si al menor le quitamos 20 y al mayor leaumentamos 85 ¿Cuál es la nueva diferencia?

Rpta: 410

Aplicación 2 :La diferencia de dos números es 157, si al menor le aumentamos 48 y al mayor lequitamos 31 ¿Cuál es la nueva diferencia?.

Rpta: 78

Aplicación 3 :La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?

Rpta : 239

1.3.3 Multiplicación

Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b lacual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertospares de números naturales (a ; b) su producto a.b.Ejemplo 1 :

18 x 15 = 270

Ejemplo 2 :

Multiplicando Multiplicador Producto

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

multiplicando

multiplicador

productosparciales

producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4

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Aplicación 1 :El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades almultiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma decifras del multiplicador?

Rpta. 7

Aplicación 2 :El producto de dos factores es 74495, si aumentamos en 23 unidades almultiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras delmultiplicador?

Rpta. 11

Potenciación Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismovarias veces.

an = a x a x a x .………a = P

Potencia de exponente cero:a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no esta definido

Ejercicio mental: resuelve las siguientes operaciones mentalmente. 23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0 = …. 152 = ….. 202 = …..

“n” veces a

Elementos de laPotenciación Donde:

a : es la basen : es el exponenteP : es la potencia

perfecta de grado n.

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1.3.4 División

Definición.- Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,

se denota b

a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares denúmeros naturales (a ; b) su cociente

b

a.

Elementos de una división:Divida 104 entre 11

Además: 104 = 11.(9) + 5

Clases de división: Exacta ( residuo = 0 )

Inexacta ( residuo ≠ 0 )

En donde : 9 + 2 = 11

r (defecto) + r (exceso) = divisor

En general:

104 11

99 9

5

Dividendo D divisor (d)

residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 70 4

D d0 q

28 = 7.(4) D = d.q

Defecto : Exceso :

D dr q

D dr* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r *

75 = 11.(6) + 9

75 119 6

75 112 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto : Exceso :

residuo por defecto residuo por exceso

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Propiedades de la división: Si : r = 0 , la división es exacta

Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

Residuo máximo : r (máx) = ( d - 1 )

Residuo mínimo : r (min) = 1 r (defecto) + r (exceso) = divisor

residuo < divisor

Si multiplicamos o dividimos el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un

mismo número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA,

pero el RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número

natural.

Aplicación 1 :El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800unidades al dividendo y se repite la división, siendo elcociente 50 más que el anterior y sin alterar el residuo ¿Cuáles el divisor de la división?

Rpta: 16

Aplicación 2 :El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y

se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuodisminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?Rpta: 6

1.3.5 Radicación Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en quedados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer númerollamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Asítenemos:

D dr q

D.k d.kr.k q

TÉRMINOSDE LARADICACIÓN

K R RK nn

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Resuelve los siguientes ejercicios:

64 3 8 4 16 1600

81 3 64 4 81 3 27000

144 3 125 4 625 4 810000

169 3 1000 4 1210 3 278

1.3.6 OPERACIONES COMBINADAS Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta

los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves , etc..)Ejemplo:

63338 = 6335 = 6315 = 618 = 3

Si una operación combinada no tiene signos deagrupación se resolverá en el siguiente orden :

o Primero: La potenciación o radicacióno Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que

aparecen) “de izquierda a derecha”o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo:

32 : 8 + 6 x 5 =Observe, con atención, las operacionesindicadas

4 + 30 =

Fueron efectuados : la división ( 32 : 8 ) y la

multiplicación (6 x 5)34 = Finalmente, fue efectuada la suma ( 4 + 30 )

Resuelva la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =

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Su respuesta debe haber sido 231; sino , corrija lo que hizo. No se olvideque cero veces cualquier numeral es cero.

7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observe paréntesis

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicacióncontenida en los paréntesis ( 9 x4)

= 7 + 3 x 4 – 23 =También fue hecha la resta(40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23

= 7 + 12 – 8 =Fue realizada la multiplicación(3 x 4)

= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )

= 11Finalmente, fue hecha la resta(19 – 8)

EJERCICOS

Resuelva las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =

12 x 22 + 32 x 42 + 52 =

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PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS

Ejemplo:

Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5m se podrán obtener?

20m5m100

pedazosde Nº pedazos de 5 m c/u

Número de cortes Número de estacas

LÍNEAABIERTA

Nº cortes = 1unitariaLongitud

totalLongitud Nº estacas = 1unitariaLongitud

totalLongitud

LÍNEACERRADA

Nº cortes =unitariaLongitud

totalLongitud Nº estacas =unitariaLongitud

totalLongitud

Ejemplo: (LINEA ABIERTA):1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud,

si cada árbol están separados 50 m?

2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesariosrealizar para obtener trozos de 50 m?

unitariaLongitudTotalLongitud

partes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles = 150

200

= 4 + 1= 5 árboles

(estacas)

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes = 150

200

= 4 - 1= 3 cortes

1º 2º 3º

CORTES

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Ejemplo: (LINEA CERRADA):1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro

es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?

2.- Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes seránnecesarios

realizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes =5

20 = 4 cortes

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m

(Longitud total)

Nº de árboles =50200

= 4 árboles(estacas)

5 m5 m

5 m5 m

1º3º

2º

4ºcortes

Número de = Número - 1Cortes de partes

Número de = Número - 1espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS:

1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 641 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Divida una barra de Hierro8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1”

3. Divida una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm.,perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuántomaterial sobra?

a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e) 12; 30cm

4. Divida una barra de cobre8

"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en

cada corte 321 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1

1.4 PLANTEO DE ECUACIONES

Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguajecomún a lenguaje matemático, por ello es que debemosdetenernos a reflexionar sobre algunos aspectos deeste lenguaje.El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Esademás, un lenguaje conciso, preciso, con reglas queno sufren excepciones.El lenguaje matemático esta conformado por diversossímbolos. A través de la combinación de estos podemos representar diversidad

de situaciones SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; estoquiere decir que no todo aquello que nos pasa diariamente puede serrepresentado en forma matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda estaalegre, no puede representarse de la manera mencionada; en cambio laexpresión: El dinero de Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguajematemático es para ser usado fundamentalmente en todo aquello que seaMEDIBLE y CUANTIFICABLE.

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MATEMÁTICA


Ejemplo :¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, ydividir dicha suma entre 19 obtendremos 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre x

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 1919

184 x

obtendremos

19

184 x

2 como resultado? 219

184

x

Resolviendo la ecuación:

219

184

x

)19.(2184 x 18384 x

204 x 5 x

TEORÍA ADICIONAL

Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

N D E

D

N E

b. Suma de Fracciones: usq MCM M

t u M r s M pq M ut

sr

q p

,,

c. Número natural.

Ejemplos : 2 y 5 son números naturales.

÷

x

=

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MATEMÁTICA


Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/opartes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen lasoperaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

NOTA- Si nos damos cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todasestas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha querepresenta el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, ala derecha de la coma redondee con CEROS y al último parte variable elevado ala potencia CERO que equivale a uno.

En está época siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar

sumas, restas, multiplicar y/o dividir.

d. Reducción de fracción de fracciones :

Ejemplos:

a.81

241

6413

1

64

3

64

3

b. 5,4

214

29

4163

6

41

3

6

43

c. 5,72

17

2

15

42

203

20

42

3

Es importante esta teoría base para hacerlas 4 operaciones de fracciones.( ,,, )

+ 5+1,000 x b0 =

5

+1

Exponente +1Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+ 2+1,000 x a0 =

2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

cb

d a

d

cb

a

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MATEMÁTICA


Problemas que tengan relación Parte – Todo :

Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?

*¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 1 / 3

*¿Qué fracción de b es c? c / b

*¿M representa que fracción de N? M / N

*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P

*¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 2 / 5

*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b

*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”? b / a

*¿Qué parte de representa 11 de 33? 11 / 32 1 / 3

ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA :

Enunciados Expresión Matemática

Forma verbal Forma Simbólica

1) la suma de 2 números consecutivos más 3 31 x x

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x

Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B

A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K

A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

Cantidad de partes iguales

que se han tomado.

Cantidad de partes iguales

en que se han dividido a la unidad f =

Qué Fracción

oQué Parte

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4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 53

B

A

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números 2

y x

7) La suma de los cuadrados de 2 números22

y x

8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y

Tengo : y

9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 204 y

Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4 B A A es mayor que B en 4 ó 4 x A

El exceso de A sobre B es 4 x B

11) Tres menos 2 veces un número X x23

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. m x x x x 421 ó

maaaaa 2112

14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3

A

R

k R 3 ; k A 4

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1.4.1 ECUACIONES DE 1ER GRADO

Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que severifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.

Propiedades de las ecuaciones:

1. Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación una cantidadconstante, la ecuación que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.

2. Si multiplicamos o dividimos a los dos miembros de una ecuación por unacantidad constante diferente de cero, la ecuación que obtenemos esEQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo : Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1XSolución :

2X + 3X + 20 = 140 – 1X

2X + 3X + 1X = 140 – 206X = 120

X = 120 / 6 X = 20

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Ejemplos de aplicación:Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 x x

2. 631209740 x x

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 x x x x

4. x

x

2

1

21

5.24

3

5

2

4

1 x x

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Problemas de Aplicación:

Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones deprimer grado. Es importante que leas el problema 2 o 3 veces hasta que locomprendas, luego haz el planteamiento y lo resuelves.

¡¡Anímate y haz los problemas !!

1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús paraseguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada unohabría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costóS/. 13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?

El autobús tenía asientos.

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Halla esos números.Los números son: , y

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otroen su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará enalcanzarle?

El tiempo que tardara es horas y minutos

Comprueba tus respuestas1. El autobús tenía 39 asientos2. Los números son 18, 20 y 223. El ciclista tardará 2h y 30 minutos

SISTEMAS DE ECUACIONES

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o másecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionarun valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones delsistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor quereemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema

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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Método de Sustitución :

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuacionescualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, acontinuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe sersustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que lahemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y unaincógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este métodoreiteradamente.Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menorcoeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otraecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos ,con lo que el sistema queda ya resuelto.

Método de Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del métodode sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y acontinuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuac iones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguientemanera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

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Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener elvalor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de lasecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentradespejada.

Método de Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendopocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. Elprocedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consisteen transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), demanera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnitaaparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se sumanambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dichaincógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el métodode resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelarla incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos unanueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos

da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita encualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener asíque el valor de es igual a 17 / 3.

-4x - 6y = -10

5x + 6y = 4

x = - 6

+

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Ejercicios de Aplicación:Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres

métodos.

1) 52

152

y x

y x

2) 6843

4

y x

y x

3) 1132

514

ba

ba 4)

01135

03427

nm

nm

5) y x

y x

9397

35

6)

121

8)2()2(

x y x

y x y x

7) 32172

25127

y x y

x x y 8)

4314

5,102743

y x

y x y x

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1.4.2 ECUACIONES DE 2DO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma

. Donde no se anula a

Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si seanula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones:

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor ovalores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en unaidentidad.

Llamamos discriminante , en función del signo del discriminanteconoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. Si el discriminante es 0 hay una solución. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Ejemplo de Aplicación 1:

¿Cuantas raíces tiene la ecuación ?

a) Ninguna solución b) Una solución: x =

c) Dos soluciones : x1 = ; x2 =

Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.

Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:

Ejemplos:


La ecuación

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

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Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0

Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ;ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.

Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de lassoluciones es x=0

Ejemplo:


Resuelve la ecuación Soluciones x1= x2=

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula

Ejemplo:


La ecuación

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO

1. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 my su área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años laedad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre yel hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiesecaminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer lamisma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas

4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años laedad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre yel hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría habercomprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros

6. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 my su área es 144m2.

El lado mayor mide m y el menor m

Comprueba tus respuestas:1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años3) Ha estado caminando 8 horas4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros

6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 mPara terminar con la Unidad 1, usted hará algunos problemas para que suraciocinio se torne más ágil. ¡Es un desafió!, se anima...¡Vamos adelante!

1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, yun par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si teníaS/ 1 000?.

Rpta. S/. 232

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2. Gaste S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aúntengo el doble de la cantidad que gasté ?

Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos

decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicialde S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es elvalor de cada letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?Rpta. 1922

6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es eltriple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?

Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos podrécomprar con S/ 78?

Rpta. 8 cuadernos

8. Di un cheque de S/. 200, para pagar 9 metro de alambre, recibí devuelto S/ 20. ¿Cuánto pagué por el metro de alambre?

Rpta. S/. 20

9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombonesrecibió cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

10. Con S/. 2 340 podré comprar 4 casacas o 9 camisas . ¿Cuál es ladiferencia de precio entre una casaca y una camisa ?

Rpta. S/. 32511. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los

pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se despreciala pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si reparto mis S/250 entre mis hijos, sólo me queda S/2; pero siaccidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/ 126; ¿Cuántoshijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8

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2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144contiene a dicho número. Calcular el doble del número.

A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

3) Andrés sube hasta el 5to piso de un edificio, luego baja al 2do y vuelvea subir al 4to piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?

A)60 B)90 C)72 D)84 E)108

4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar frentea una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud deltúnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m

5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de loque debía , costándole así cada articulo S/.2 más de lo normal.¿Cuántosartículos compro?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20

6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar untúnel de 500 m?

A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s

7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezasy 420 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32

8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cadauno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundoS/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor ganado?

A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe

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intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieranel mismo peso.

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene comoresiduo un número que es el triple del cociente contenido? Dar comorespuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .xSobrarían : S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

831

2250 º

31x 12624x

hijosde N Clave : E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

962(48): es númerodel dobleEl

48 x

3042x144

28

2

x

x

Clave : A

3) * Cuando asciende al 5to piso sube : 12 x 4 = 48 peldaños

* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36 peldaños

* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños

* Finalmente , lo que ha subido en total será :

48 + 24 = 72 peldaños Clave : C

4)

Clave : C

5) pagar debía que lo : n xa Sea

m8005 X

600 200 x60s

200 2

s

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Costo por Nº de artículoscada artículo

Luego a x n + 24 lo que pagó

12n2 an

24

n

an

artículo cada costó quelo 24

n

na

artículos12 Compro Clave : C

6) túnel + tren = para que pase por el túnel

500 + 200 =700

s14

sm 50

m 700t

Clave : B

7) Nº de cabezas = 132Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132

Se observa un exceso de patas de 108

veces54 2 108 ,para convertir ese exceso en gallinas

Finalmente :Número de gallinas : 54

Número de conejos : 132 – 54 = 78 Clave : B

8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do

2do obrero = S/. 88

Nº de días trabajados será : S/.55 S/.5 = 11

1er obrero = S/.143 11 = S/.13

2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave : E

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9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g

Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas , cada montóndebe pesar :

2190 2 = 1095g

Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en :25 – 10 = 15g

Luego , para qué aumente : 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar : 255 15 = 17 monedas Clave : D

10) Sea N el número , entonces :

N 833q q

278627"q"

para obtienese Nnúmero mayor El

27,6 q q86 N

833q 383

x N

qq N

N = 2322

Clave : A92232 cifrasdeSuma

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1. Calcular :842510051032116 x x

A)2 B)3 C)4 D)8 E)10

Solución :

2. El producto de 2 factores es 29 016;sise aumenta 112 unidades almultiplicando, el producto totalaumenta en 13 888 unidades Hallar lasuma de cifras del multiplicador.

A)5 B)6 C)7 D)10 E)11

Solución :

3. Hallar la suma de las cifras delproducto 27 xabc .Si los productos

parciales suman 4 851. A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24

Solución :

4. El cociente de dos números es 45,suresta es 3 435 y el residuo de sudivisión es 3 ,Calcular la suma delos dígitos de los dos números .

A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29

Solución :

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5. Si la diferencia entre el dividendo y elresiduo de una división es 3510.Calcular el divisor si el cocientees 45. A)45 B)65 C)68 D)47 E)78

Solución

6. La suma del dividendo y el divisor deuna división inexacta es 31 veces elresto, y la diferencia de los mismoses 21 veces dicho resto.¿Cuál es elcociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

Solución

7. El cociente de una división inexactaes 61 .Se suman 800 unidades aldividendo y se repite la división ,siendo el cociente 50 mas que elanterior y sin alterarse el residuo¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

Solución

8. Un señor quiso dar limosna a un grupode ancianos , si les daba S/.5 a cadauno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3a cada uno , le sobraría S/.70.¿Concuánto de dinero contaba esapersona?

A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280E)S/.310

Solución

9. Entre cierto número de personascompran una computadora que cuestaS/.1200.El dinero que paga cadapersona excede en 194 al número depersonas .¿Cuántos participaron en lacompra?

A)18 personas B)36 personasC)6 personas D) 12 personasE)20 personas

Solución

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10. Un padre compra entradas para sushijos, si paga las entradas de 14 solesle falta para tres de ellos , pero sipaga las de 7 soles le alcanza paratodos y le sobra 14 soles .¿Cuántoshijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

Solución

11. Esmeralda gasta cada día la mitadde lo que tiene , más 2 soles .Si luegode cuatro días se quedó sindinero.¿Cuánto tenia al inicio? A)S/30 B)S/28 C)S/60D)S/40 E)S/50

Solución

12. Un recipiente lleno de vino cuesta S/700, si se saca 80 litros , valesolamente S/140,¿Cuál es lacapacidad del recipiente?

A)1 401 B)1 081 C)1 001 E)2 001

Solución

13. Un espectáculo público cubre susgastos con las entradas de 30adultos más 70 niños o de 42 adultosmás 18 niños .Si entraron solo niños.¿Con cuántas entradas cubrirá susgastos? A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232

Solución

14. En SENATI existe un santo que haceel milagro de duplicar el dinero; pero

con la condición que deje 8 soles delimosna .Si al cabo de 3 milagrosRossmery salió sin dinero.¿Cuántodinero tuvo al ingresar?

A)S/.8 B)S/.9 C)S/.7D)S/.14 E)S/.10

Solución

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UNIDAD 02MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

YMÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

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NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se pueden clasificar en :

Números enteros negativos Z - = 1;2;3......

El cero y

Números enteros positivos Z+ = ;.........4;3;2;1

2.1 DIVISIBILIDAD

Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si aldividirlos , el cociente resulta exacto .

Si A B0 k

entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además ,

por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es unnúmero entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

Ejm.

1) ¿ 20 es divisible por 4 ?

Si , porque :

20 4

0 5luego , se cumple que :

* 20 es divisible por 4* 4 es un divisor de 20* 4 es un factor de 20* 20 es un múltiplo de 4

2) ¿ 0 es divisible por 3 ?Si es , porque :

0 30 0

luego , se cumple que :

* 0 es divisible por 3* 3 es un divisor de 0

* 3 es un factor de 0* 0 es un múltiplo de 3

3) ¿ - 42 es divisible por 7 ?Si es , porque :

- 42 7

0 - 6

luego , se cumple que :

* - 42 es divisible por 7* 7 es un divisor de - 42* 7 es un factor de - 42* - 42 es un múltiplo de 7

4) 15 no es divisible por 0( V ) ( F )

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Verdadero , porque por definiciónel divisor debe ser diferente decero.

5) 36 no es divisible por - 9( V ) ( F )

Verdadero, porque el divisordebe ser positivo .

Ejm. Hallar todos los divisores de : 8 y 18

D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8

D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18

MULTIPLICIDAD

Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B , si secumple que A = B . K donde K es un número entero .

Ejm. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿ 15 es múltiplo de 3 ?

Si , porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero.

2) ¿ - 12 es múltiplo de 4 ?

Si , porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero.

3) ¿Cero es múltiplo de 5 ?

Si, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero.

4) ¿ 5 es múltiplo de cero ?

No, porque 5 = 0 K , no hay ningún número entero que multiplicado porcero nos de 5.

5) ¿ 8 es múltiplo de - 2 ?

No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de unentero negativo.

Si un número A es múltiplo de B , su notación será :

A = B . K donde K es un número entero ó A =0

B y se leerá “ A es

múltiplo de B “.

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MATEMÁTICA


Ejm.

1) 20 =0

5 ó 20 = 5 . K

2) 18 =0

3 ó 18 = 3 . K

3) 0 =02 ó 0 = 2 . K

donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..

Ejm. Hallar los múltiplos de 3 y de 5 .

Eso se escribirá 3K y 5K , entonces :

M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..

M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………

Relación entre un múltiplo y un divisor

Ejm. Entre 24 y 6

múltiplo

24 6

divisor

Ejm. Entre 9 y 27.

divisor

9 27

múltiplo

44


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Cuando un número no es divisible por otro

Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A =0

B + r d ó A =0

B - r e

Donde r d y r e son los residuos por defecto y por exceso respectivamente dela división de A entre B , además , recordar que :

r d + r e = divisor

Ejemplo:

1) 15 no es divisible por 2 porque

15 2

1 7

Entonces:

15 =0

2 + 1

ó 1 + 1 = 2

15 =0

2 - 1


26 7

5 3

Entonces:

26 =0

7 + 5

ó 5 + 2 = 7

15 =0

7 - 2


23 5

3 4

Entonces:

23 =0

5 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 =0

5 - 2


520 12

4 43

Entonces:

520 =0

12 + 4

ó 4 + 8 = 12

520 =0

12 - 8

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PROPIEDADES :

1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor , el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2n

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del númerodebe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2

Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe serdivisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 esdivisible por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.


Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debeser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y24 es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero esdivisible por 4 .

c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisiblepor 4.


Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del númerodebe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

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Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y136 es divisible por 8.

b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero esdivisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisiblepor 8.

Divisibilidad por 5n

Para que un número sea divisible por 5n , las “n” ultimas cifras del númerodebe de ser múltiplo de 5n ,o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe sermúltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 esdivisible por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,

además 7 =0

5 + 2 , entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos comoresiduo 2.


Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del númerodebe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número sonceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 esdivisible por 25.

c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es

divisible por 25, además 88 =0

25 + 13 , entonces al dividir 257 088 entre25, obtendremos como residuo 13.

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Divisibilidad por 3

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número nosdé un número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358

2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 =0

3 por lo tanto , si es divisible por 3.

2) 283

2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3 , además 13 =0

3+ 1 lo quesignifica que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser 1.

3) 57 014

5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3 , además , 17 =0

3 + 2 lo quesignifica que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.

Divisibilidad por 9

Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nosdé un número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.

1) 9 558

9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =0

9 por lo tanto , si es divisible por 9.

2) 283

2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9 , además 13 =0

9+ 4 lo que

significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014

5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9 , además , 17 =0

9 + 8 lo quesignifica que al dividir 57 014 entre 9 , se obtiene como residuo 8.

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Divisibilidad por 7

Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de laderecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luegorealizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en casocontrario hallar su residuo.1)

1) 3 738

8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 =0

7 , si es.

3) 99 148

8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 =0

7, si es .

2) 35 266

6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 =0

7, si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 =0

7 + 5no es , y su residuo es igual a 5

Divisibilidad por 11

Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma delas cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé unnúmero que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33; …)

Para el número :

a b c d e f g =0

7 g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =0

7 1 2 3 1 2 3 1

+ +

a b c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

( g + e + c + a ) – ( f + d + b ) =0

11

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Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.

1) 539

9 + 5 – 3 = 11 =011 , entonces

539 es divisible por 11

4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 =

0

11, entonces

8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 =0

11 , entonces

5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 0

11, entonces

7 364 no es divisible por 11 yaque al dividir 7 364 entre 11 dejarácomo residuo por exceso 6 y por

defecto será 5

7 364 =0

11 - 6 =0

11 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 =0

11,

Entonces 381 909 es0

11

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 0

11 entonces 579 noes divisible por 11. El residuo pordefecto es 7 y por exceso es 4.

Divisibilidad por 6

Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisiblepor 6.


Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisiblepor 12.

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Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA

Marcar con un aspa ( X ), si el número N de la columna izquierda es divisiblepor alguno de los números de la fila horizontal superior

Número N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 6909 372 189

2.2 OTRA FORMA DE CLASIFICAR

LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros , también se pueden clasificar según la cantidad

de divisores que tenga el número como :

a) NÚMEROS SIMPLES

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ejm. Son números simples :

1) 1 , D ( 1 ) : 1

2) 5 , D ( 5 ) : 1 y 5

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3) 11 , D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidady el mismo número .

Ejm.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo

NOTA: “ El menor número primo es 2”

c) NÚMEROS COMPUESTOS

Son aquellos que tienen dos o más divisores .

Ejm.

1) D ( 6 ) : 1 , 2 , 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D ( 9 ) : 1 , 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .

Ejm.

1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50 ?

Están los : 31 ; 37 ; 41 ; 43 y 47 . Hay 5.

2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen ?

Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.

3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.

( V ) ( F )

La suma de los números primos menores a 19 es : 2+3+5+7+11+13+17 =

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2.3 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMEROES PRIMO O NO

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número .2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la

raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces elnúmero será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exactoentonces el número no será primo .

Ejm. Verificar si 97 es primo.

Solución

Paso 1 : 97 9, …. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera

y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraerla raíz cuadrada en forma aproximada “.

Paso 2 : dividimos a 97 entre los números primos menores a laraíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisionesson inexactas por lo que concluimos que 97 es primo .

Ejm. Verificar si 163 es primoSolución

Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, trabajamos solo con 12.

Paso 2 : dividimos a 163 entre todos los números primos menores a 12 ,que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es

inexacto por lo que concluimos que 163 es primo .

Ejm. 91 no es primo.( V ) ( F )

Solución

Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.

Paso 2 : Números primos menores a 9 : 2 ; 3 ; 5 y 7.91 es divisible por 7 por lo tanto , no es primo.

Ejm. 247 es primo( V ) ( F )Solución

Paso 1 : 247 en forma aproximada es 15.Paso 2 : Números primos menores a 15 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 y 13.

247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero si es divisible por13, entonces 247 no es primo.

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2.4 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ ( PESI )

Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor comúnla unidad.

Ejm. Verificar si 4 y 9 son PESISolución

D ( 4 ) : 1 ; 2 y 4

D ( 9 ) : 1 ; 3 y 9como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,por lo tanto , concluimos que 4 y 9 son PESI.

Ejm. Verificar si 6 ; 14 y 25 son PESI.

Solución

D ( 6 ) : 1 ; 2 ; 3 y 6.D (14 ) : 1 :; 2 ; 7 y 14.D ( 25 ) : 1 ; 5 y 25se puede observar que el único divisor común que tienen los tres númeroses la unidad, por lo que concluimos que los 3 números son PESI .

Ejm. 15 ; 12 y 18 son PESI.( V ) ( F )

Solución

D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.

2.5 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUSFACTORES PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Todo número se puede descomponer como producto de sus factoresprimos, elevados a exponentes que son números enteros positivos .

Para un número N , descompuesto en sus factores primos , se tiene :

N = Aa x Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , cy d , son los exponentes de los factores primos .

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Ejm. Descomponer en sus factores primos los números :

1) 90 2) 120

90 2 120 2

45 3 60 2

15 3 30 2

5 5 15 3

1 5 5

1

90 = 232

5 120 = 23

35

2.6 CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N ( CD(N) )

Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará ladescomposición del número en sus factores primos .

Para la descomposición del número N = A d cba

DC B se cumple, quela cantidad de divisores de N será :

CD ( N ) = 1111 d cba

donde : a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.También la cantidad de divisores lo podemos calcular utilizando lassiguientes fórmulas :

CD = 1 + CDprimos + CDcompuestosóCD = CDsimples + CDcompuestos

Ejm. ¿ Cuántos divisores tiene 60 ?Solución

Como 60 = 2 532

entonces CD ( 60 ) = 111112 = 12.

Ejm. Hallar la cantidad de divisores de 1 008.Solución

Como 1 008 = 24

32

7 entonces CD(1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.

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SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N ( SD (N) )

Dada la descomposición de un número N en sus factores primos:

N = AaBbCcDd , entonces :

SD (N) =1

11

1

11

1

11

1

11

D

d D

C

cC

B

b B

A

a A

Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 60 .Solución

Como 60 = 22

35 entonces

SD (60) =1515

1313

1212

223

x = 746 = 168.

Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 504.Solución

Como 504 = 23

32

7 entonces

SD(504) =17

17

13

13

12

12 234

= 15137 = 1 365.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

¿Cuántos divisores primos tiene 700?

Solución

Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2

2

5

2

7y sus divisores primos serán : 2 ; 5 y 7 por lo que tendrá 3 .

Problema 2

Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.

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Solución

Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =22

7 23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.Problema 3

¿ Cuántos divisores pares tiene 252 ?

SoluciónLos números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto,de la descomposición del número en sus factores primos , extraeremos elfactor 2 .

252 = 2 7322 = 2 732

2 entonces

CD pares = 111211 = 12

Problema 4

¿Cuántos divisores impares tiene 360?

SoluciónComo los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entoncesde la descomposición de 360 en sus factores primos , vamos a eliminar elfactor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores queresulte serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .

360 = 2 5323 = 2

3

( 32

5) entonces la cantidad de divisoresimpares será igual a la cantidad de divisores del número que está entreparéntesis .

CD( 360 )impares

= (2+1)(1+1) = 6 .

Problema 5

¿ Cuántos divisores impares tiene 1404 ?Solución

1404 = 22 3

3 13 = 2

2

( 33

13 ) entonces CD

impares = (3+1)(1+1) = 8.

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Problemas Propuestos1. De las sgts afirmaciones :

I 3 es divisor de - 18

II - 4 es un divisor de 12III 20 es un divisor de 5

IV 72 es un múltiplo de 9

V 4 es un múltiplo de 12

VI 8 no es múltiplo de cero

¿ Cuáles son falsas ? A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V

D) II y III E) III , V y VI

2. Del sgt grupo de números :53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71

¿Cuál es la diferencia entre el mayory el menor número primo?

A) 118 B) 134 C) 72 D)110

3. Calcular la suma de todos losnumeros primos comprendidosentre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120

4. Calcular la suma de todos losdivisores primos de 120.

A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12

5. ¿Cuántos divisores no primos tiene24?

A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

2.7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( MCD )

De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor delos divisores comunes.Ejm. Hallar el MCD de 12 y 18 .

D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18

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El mayor de los divisores comunes es 6 , por lo tanto , el MCD = 6.

Si hallamos los divisores del MCD , D(6): 1;2;3;6 , y justamente éstosson los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunesde un grupo de números son los divisores del MCD.

Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores delMCD de dichos números.

Propiedades1) El MCD está contenido en los números.

2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.

2.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( MCM )

De un grupo de números , el MCM , es el menor de los múltiplos comunes.

Ejm. Hallar el MCM de 4 y 6

M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..

M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….

Vemos que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,

por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .

Si hallamos los múltiplos del MCM , tendremos , M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiploscomunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichosnúmeros .

Métodos para calcular el MCD y MCM

1) Por descomposición simultanea.

Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24

18 - 24 2 18 - 24 29 12 3 9 12 33 4 3 4 3

1 4 41 1

mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72

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2) Por descomposición de los números en sus factores primos.

El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevadosa su menor exponente , y el MCM será igual al producto de losfactores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.

Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.

Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene : 18 =

2x32

y 60 = 2 532

. Luego aplicamos la propiedad.

MCD = 2x3 = 6 y

MCM = 2 52

32

= 180.

3) Por divisiones sucesivasEste método solo se aplicará para calcular el MCD de dos números.

Ejm. Calcular el MCD de 144 y 56

MCD=8

Ejm. Calcular el MCD de 480 y 572 .

MCD = 4.

Propiedades

1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su MCD .

Ejm.Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces secumple que 6 9 es igual que 3 x 18.

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos32 24 8 0

cocientes1 5 4 1 1 2

572 480 92 20 12 8 4

residuos92 20 12 8 4 0

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2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igualal producto de dichos números .

Ejm.Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y suMCM = 4 x 9 = 36.

3) Si un número esta contenido dentro de otro entonces el MCD dedichos números será el menor de los números.

Ejm.Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menorde los números.

4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidadentonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o divididopor esta misma cantidad .

Ejm.Para los números 8 ; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120 . Si alos números los dividimos entre 2 tendremos 4 ; 6 y 10 y su nuevoMCD será igual a 2 y su MCM = 60.

5) Si un número N es :

a0

N b0

c0

entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :

a0

r

N b0

r

c0

r

entonces N = mcm( a ; b ; c ) r

Ejm.Si un número N es divisible por 2 ; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible?Solución

Por propiedad , N =0

)4;3;2( MCM =0

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Ejm.

¿Cuál es el menor número que es : 30 +2 ; 7

0 - 5 y 6

0 - 4 ?

SoluciónEse número N que buscamos, debe de ser :

0

3+ 2

N 70

- 5 = 70

+ 2

60

- 4 = 60

+ 2

Por lo tanto, por propiedad sabemos que :

N = 3;7;6mcm0

+ 2 = 420

+ 2 , como nos piden el menor valor, es que de

todos los múltiplos de 42 , elegimos a 42, por lo tanto, el menor númerosería 44.

PROBLEMAS RESUELTOSProblema 1

¿Cuántos divisores comunes tienen : 14 , 28 y 42 ?

SoluciónPor teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupode números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos

números .Por lo tanto ,

MCD ( 14 ; 28 ; 42 ) = 14D ( 14 ) : 1 , 2 , 7 y 14

Entonces tendrán 4 divisores comunes .

Problema 2

¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si sedesea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?

SoluciónLa longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazospara obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiploscomunes queremos el menor .Longitud del tubo = MCM( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.Problema 3

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¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios paraconstruir un cuadrado ?

SoluciónSea X el valor de la medida del lado del cuadrado.

X

X

De la figura, se observar que la medida de x debe ser un múltiplo comúnde 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes necesitamos el menorde todos porque queremos emplear la menor cantidad de losetas, por eso esque :

X = mcm(34 ; 18) = 306La cantidad de losetas es igual a:

34

306 x

18

306 = 153

Problema 4

De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho ,se deseaobtener el menor número de pedazos de forma cuadrada , sin que sobre

material . ¿Cuántos pedazos se obtendrán ?

SoluciónSea X : longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.

96 cm

72 cm

Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debede ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidadde pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, poresto que :

X = MCD(96;72) = 24 cm

34cm

18 cm

X

X

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El número de pedazos que se obtendrán será :

# pedazos =24

96 x

24

72 = 4 x 3 = 12

Problema 5

Tres ciclistas A , B y C parten juntos desde un mismo punto en una pistacircular con velocidades constantes . A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. ymedio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente , ¿Cuántasvueltas habrá dado el ciclista A ?

SoluciónTransformando las medidas asegundos A : 3 min = 180 s

B : 3 min y medio = 210 sC : 4 min = 240 s

El tiempo que debe transcurrirpara que un ciclista vuelva a pasarnuevamente por el punto departida será un múltiplo de lostiempos empleado en dar unavuelta . Para que los tres ciclistasvuelvan a pasar por el punto departida , el tiempo a transcurrirserá un múltiplo común de los 3

tiempos dados .# vueltas que habrá dado el

ciclista A =180

5040 = 28.

PARTIDA

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PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I

1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De lasmujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usanaretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?a) 118 b) 132 c) 136 d) 164 e) 220

2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300?a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea5148.a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N , tiene 15 divisores, hallar N.

a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184

5. Si 5.412By12.45 Ann

, hallar “n” para que su MCM presente 90divisores.a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3

6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes peromás de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.¿Cuántos alumnos eran?a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796

7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día yde noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en

12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si secuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con trescaños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?

a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l

10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material?a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30

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11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en quepodemos dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m ysu ancho 700 m?a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a

las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán aencenderse nuevamente juntos?a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s

13. Si tenemos que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlosexactamente?a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l

14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm deancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formarel menor cubo compacto?a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500

15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta cajase quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántascajitas cúbicas entrarían?a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176

16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, senecesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm?a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II

1. Hallar la suma de las cifras delmenor número que tenga comodivisores : 4 ; 9 y 12 . A) 6 B) 8 C) 10 D)9 E) 5

Solución:

2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es864. ¿ Cuál es su MCD ?

A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

Solución:

3. Un número A es el triple de otroB y su MCD es igual a 27 . Hallarla suma de A mas B . A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40

Solución:

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4. El MCD de los números 36K ; 54Ky 90K es 1620 . Hallar el menor delos números .

A) 900 B) 720 C)3 600D)3 240 E) 2 400

Solución:

5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyaslongitudes son 3 780 ; 3 360 y 2520 cm .Se quiere dividirlas en trozos deigual medida y de la mayorlongitud posi

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Manual 89001295 Matematica Parte i