Cuadernillo 33 matematica - 1 parte

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LA MATEMÁTICA EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

Documento para la Transformación Curricular en MendozaPrimera edición- Diciembre de 19985000 ejemplares

La presente es una publicación de la DirecciónGeneral de Escuelas

Está permitida la reproducción total o parcial del presentematerial colocando el texto entre comillas e indicando lafuente

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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GobernadorArturo Lafalla

Directora General de EscuelasMarta Blanco de Rodríguez

Subdirector de EducaciónJuan Carlos Nieva

Subdirector de AdministraciónWalter Cueto

Directora de Nivel Inicial yPrimariaOríeta Giol

Directora de Enseñanza MediaSusana García de Mackinon

Coordinadora Ejecutiva de la UnidadCoordinadora Provincial de Programascon Financiamiento ExternoClaudia Paparini

COMISiÓNCURRlCULARCoordinadores GeneralesJuan Carlos NievaMaría Judffh Alderete

Participación en la elaboraciónde los documentos de baseAlicia Romero de Cutropia

Mendoza, diciembre de 1998


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Producción del material

Equipo de Curriculum y Capacitación en Matemática

CoordinadoraJudith Alderete

Equipo de CurriculumKetty IturriozMima SantanderEIsa GoicoecheaAna María NuñezAriana DalveloEugenia Artola

Colaboración en la producción del materialEquipo de CapacitaciónCecilia AcetoNorma ArabiaB~atriz GalvoSilvia GarcíaEdith De MiguelElizabeh MolinaVerónica NavarroSilvía OrtegaMaría Femanda SelvaCatalina suerez:


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Consideraciones sobre el Tercer Ciclo de la EGB

El siglo que culmina, desde el campo educativo estámarcado por profundos procesos: el aumento de la cantidad,diversidad, complejidad y dinamismo del saber elaborado: laexpresión de múltiples demandas educativas derivadas delos cambios sociales, culturales y políticos, tecnológicos, eco-nómicos y la universalización y ampliación de los años deescolaridad para todos, resultante de la atención por más ymejor educación como aspiración del conjunto social.

Estos procesos exigen una nueva educación públicade calidad para todos y ésta a su vez, es una dimensiónsustantiva para el armónico crecimiento social y económicode la provincia, del país y de todos y cada uno de los miembrosde la comunidad. Este reclamo y al mismo tiempo aspiraciónpara todos, actualiza la concepción de escuela pública, populary democrática como idea central y fundante del sistemaeducativo argentino. La señal más clara es que la escuelapública y obligatoria hoy no se reduce a la escuela primara,se extiende por sus extremos (Nivel Inicial y Educación Media)y se expresa en diez años de escolaridad obligatoria y en lanueva estructura del Sistema Educativo.

La Educación General Básica es un nivel educativoesencialmente democratizador; constituyéndose en un modeloglobal que ofrece a todos una formación básica y común enun tramo obligatorio que se extiende hasta los 14 años deedad como mínimo.

Proporciona una matriz básica de conceptos,procedimientos y valores y propicia una homogeneidaden los puntos de llegada, atendiendo a la diversidad y com-pensando las desigualdades.La EGB atiende demandas de distinta índole:• políticas, para asegurar la participación ciudadana y el

fortalecimiento de la democracia;• científico-tecnológicas, para posibilitar el acceso a los

códigos básicos de la modernidad;• económicas, para promover el crecimiento del país y

el desempeño productivo de las personas;• sociales, para promover la igualdad de oportunidades.

El Tercer Ciclo de la EGB debe asumir lossiguientes desafíos: extensión de la obligatoriedad;aprendizajes significativos; retención con calidad;orientación y acompañamiento a púberes y adolescen-tes; actualización de contenidos y metodologías deenseñanza y fortalecimiento de los vínculos con lacomunidad y el mundo del trabajo.

La EGB3 se propone:- Sistematizar el conocimiento de las áreas e identificar

las opciones que les permiten desenpeñarsecompetentemente en la continuidad de los estudios y/ola iniciación laboral.

- A van zar hacia la formación de competencias máscomplejas a través de la sistematización de conceptos,


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LA MATEMÁTICA EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

las opciones que les permiten desenpeñarse compe __tentemente en la continuidad de los estudios y/o la ini-ciación laboral.- Avanzar hacia la formación de competencias más com-plejas a través de la sistematización de conceptos, pro-cedimientos y valores, enfatizando la comprensión de losprocesos globales que afectan el mundo contemporá-neo, así como la reflexión acerca de los principios y con-secuencias éticas de las acciones humanas.- Proporcionar el conocimiento social suficiente para des-envolverse como ciudadano crítico, responsable, solida-rio y respetuoso del orden institucional y de la vida de-mocrática y capaz de participar gozosa mente en la pro-ducción de bienes materiales y en la creación de bienesculturales.- Ampliar los espacios para el afianzamiento de la auto-nomía intelectual, social y moral.- Contribuir al fortalecimiento de la identidad nacional,entendida como unidad en la diversidad, en el contextolatinoamericano y mundial, reconociendo y valorando elpatrimonio cultural de la localidad, de la provincia y delpaís.- Ampliar el conocimiento y respeto de sí mismo y de losdemás, en orden a la construcción del propio proyectode vida desde una dimensión trascendente de su exis-tencia.

La Provincia de Mendoza ha optado por la implementa-

ción gradual y progresiva de EGB3 y ha focalizado lapreocupación en la articulación entre séptimo y primeroy segundo años de la actual escuela media, buscandoretener a los alumnos en el sistema y mejorar la calidadde los aprendizajes. En ese sentido, el curriculum es unode los ejes artic uladores. El curriculum es un objeto so-cial en permanente construcción que explicita las inten-ciones educativas, los contenidos, los aprendizajesesperables en cada etapa y las estrategias pedagógico-didácticas que orienten las prácticas docentes, respon-diendo a preguntas como:¿qué enseñar y aprender?,¿ cómo y cuándo enseñar y aprender?, ¿ qué, cuándo ycómo evaluar?

En el complejo camino de la construcción de los mate-riales curriculares estamos en la etapa de la segundaconcreción a nivel jurisdiccional, contextualizada en larealidad regional.Los presentes materiales "Renovación Curricular parael Tercer Ciclo" significan un esfuerzo de innovación yactualización de los saberes considerados básicos.

Serán la base para que cada institución educativa elabo-re su proyecto curricular, atendiendo la diversidad, perogarantizando la distribución equitativa de los saberes.

Subsecretaría de EducaciónDirección General de EscuelasGobierno de Mendoza

DlRECCION GENERAL DE ESCUELAS6

GOBIERNO DE MENDOZA


Introducción

En 1995 se inició un largo camino, compartido con losdocentes, para la construcción de la Propuesta Curricularde Matemática de la Jurisdicción destinada a los diezaños de la escolaridad obligatoria.En todo ese recorrido, destinado a compartir con los do-centes los avances del sequndo nivel de especificacióncurricular, se llegó hasta los docentes con publicacionesde distribución masiva y gratutita presentadas en jorna-das a la totalidad de los supervisores, directivos y maes-tros, tanto de gestión oficial como privada, dependientesde la Dirección de Nivel Inicial y PrimarioLa primera publicación fue el Fascículo 2, "Primeraaproximación a los CBC de Lengua y Matemática" .En la parte dedicada a Matemática se destacó la siguien-te reflexión que hoy parece oportuno considerarla nueva-mente."Es la misma sociedad la que plantea en nuestrosdías, demandas específicas acerca del conocimien-to. Pero también señala que éste sea abordado demanera diferente. Estamos en el inicio de una nue-va cultura, con nuevos conocimientos y con nue-vas competencias" .Durante los años 1996 y 1997 se publicaron otros docu-mentos de desarrollo curricular, destinados a las versio-nes preliminares de las Propuestas Curriculares de la Ju-risdicción para Matemática, en los distintos tramos de

la escolaridad obligatoria.- El Fascículo 5 (1996), estuvo destinado a laMatemátca en el Nivel Inicial ya una primera parte deEGB1 (Primer Ciclo de la EGB).- En el Fascículo 7 (1996), se completó la Propuesta

. Curricular para EGB1.- El Fascículo 11, (1997) se dedicó a la Matemáticaen EGB2 (Segundo Ciclo de la EGB).En todas las Propuestas Curriculares de la Jurisdic-ción se tuvieron también cuenta los aportes recibidosen los Seminarios Federales para la elaboración dediseños curriculares compatibles para el Nivel Inicial,EGB1 y 2.En febrero de 19981a Dirección General de Escuelaspublicó el Documento Curricular Provincial como re-,sultado del proceso desarrollado desde 1995.En los tres capítulos del mismo se formularon referen-cias a la Matemática: consideraciones generales, ex-pectativas de logros, aprendizajes acreditables parael Nivel Inicial, (sala de 5 años), EGB1 y EGB2 Yapren-dizajes acreditables sugeridos para cada año de losdos ciclos mencionados.Se presentó la organización de los contenidos y unapropuesta sintética de los mismos, para los tramosmencionados. También se consignaron orientacionesdidácticas para la enseñanza y la evaluación

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS

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LA MATEMÁTICA EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

En cuanto a las propuestas de apertura y secuenciaciónde contenidos fueron presentadas mediante matrices enlos fascículos 5,7 Y 11.En marzo de 1998, se presentó un nuevo documento dedesarrollo curricular: el Fascículo 24, "La Matemática en elTercer Ciclo". Contiene una primera versión de la PropuestaCurricular de Matemática, formulada por la Jurisdicción.En la primera parte del documento: consideraciones ge-nerales sobre la Matemática en la escolaridad obligatoriay en el Tercer Ciclo, la organización de los contenidos, lasexpectativas de logros y los aprendizajes acreditablespropuestos para el ciclo y orientaciones didácticas para laenseñanza y la evaluación.La presentación sintética de los contenidos desde NivelInicial hasta EGB3, tuvo el propósito de destacar un as-pecto prioritario que se ha venido señalando desde 1995:la continuidad de la enseñanza. Se pretende asegurar lacontinuidad de los aprendizajes de los alumnos, teniendoen cuenta que la apropiación de los conocimientos se ins-cribe en una doble continuidad: la que relaciona entre sí aciertos conocimientos y la que se debe tener en cuenta enun periodo más o menos largo, como puede ser un ciclo,toda la EGB y hasta el Polimodal.La segunda parte del fascículo estuvo destinada al séptimoaño: consideraciones generales, aprendizajes acreditablessugeridos, para el año, y una propuesta de apertura ysecuenciación de contenidos que responde a la organiza-ción en ejes.

El fascículo con la versión preliminar de la propuestacurricular fueron presentados a la totalidad de los su-pervisores y de los Consejos de Directivos de la Di-rección de Nivel Inicial y Primario ya los Supervisoresde la Dirección de Enseñanza Media, a la totalidad delos maestros de 70 año y de los profesores de Mate-mática de 80 y 90 años, de gestión oficial y privada y alos profesores de los Institutos de Formación Docentedependientes de la Dirección de Educación Superior.Hubo jornadas especiales con los Coordinadores delMatemática de las escuelas secundarias de la Provin-cia y se solicitó la participación de los docentes y deInstituciones destacadas, con el propósito de intercam-biar opiniones y recibir aportes para realizar ajustes ycompletar la propuesta.El presente documento contiene la propuesta curricularde la Jurisdicción, para el Tercer Ciclo de la EGB.Lo hecho hasta aquí desde 1995 fue necesario, perono caben dudas de que no es suficiente. En efecto, losdocentes, desde el Nivel Inicial, están construyendo elcurriculum de las aulas, (tercer nivel de espcificacióncurricular).Es un enorme desafío que se inscribe en un procesolento, gradual y complejo, que demandará muchos añosy que vale la pena realizarlo.Se apuesta a que los alumnos aprendan más y unamejor Matemática, focalizada en el desarrollo decompetencias básicas.


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LA MATEMÁTICA E~I EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

Indice

Propuesta Curricular de MATEMÁTICApara el Tercer Ciclo de la EGB

Parte I

La Matemática en la escolaridad obligatoriay el Tercer Ciclo de la EGB

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Consideraciones generalesOrganización curricular de los contenidos deMatemáticaAcerca de los procedimientos generalesAcerca de las actitudesExpectativa de logros y aprendizajes acredi-tables para el Tercer CicloPresentación sintética de los contenidosOrientaciones didácticas para la enseñan-zaOrientaciones didácticas para la evaluación

Parte 11

La Matemática en cada año del Ciclo

1 La Matemática en 70 año1.1 Aprendizajes acreditables sugeridos1.2 Propuesta de apertura y secuenciación

de contenidosLa Matemática en 80 año2.1 Aprendizajes acreditables sugeridos2.2 Propuesta de apertura y secuenciación

de contenidosLa Matemática en 90 año3.1 Aprendizajes acreditables sugeridos3.2 Propuesta de apertura y secuenciación

de contenidos

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Parte 11Anexo1 Las opiniones de los docentes2 Jornadas. Consultas y agradecimientos3 Bibliografía consultada


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Parte I ca I (1)-.s"Ct: ca oCD .~ (jea:E(3.~ o •...~"CCDE ea ~CD:2~..••••••••r- •caca-al-==-CD(!)

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1 Consideraciones generales

La Matemática figura entre las disciplinas a enseñar enlos diez años de la escolaridad obligatoria y luego se con-tinúa en el Polimodal.A lo largo de ese periodo la escuela debe comprometer-se a enseñar el conocimiento matemático básico, lla-mado el alfabeto matemático de la época, con el propósi-to de asegurar que todo ciudadano pueda moverse consoltura en la sociedad en que vive.

Nadie discute que la enseñanza de la matemática escolar,en el tramo de la educación obligatoria, debe contemplarel aspecto informativo, consistente en dar los elementosque se estimen necesarios para desenvolverse en la vidao que necesiten otras ciencias para su comprensión y de-sarrollo, y el aspecto formativo que sirve para enseñar apensar, fomentar el espíritu crítico, practicar el razonamien-to lógico, etc.

La discusión, en todos los tiempos, comienza cuando setrata de establecer la proporción entre los dos aspectos ycuál de ellos debe preponderar. En esta propuesta se in-tenta promover un equilibrio entre ambos.

En síntesis, la matemática escolar en el periodo obligato-rio, tiene para el alumno un valor intrumental y un valor

formativo.A esos dos valores hay que aqreqarle un valor so-cial, porque desde su lengu'ajey su método; se ha cons-tituido en un medio de comprensión y mejoramientodel mundo científico, industrial y tecnológico en el quevivimos.

Además de útil, formativa y necesaria para el desarro-llo social e individual de la persona, es una habilidadhumana a la que todos pueden acceder en formaplacentera.

Se ¡vzetede ~ at ~ de fa, ~

~6u~~~~fa,'JIt~~fuVtte dd~ ~IUJ" ~ fa, ~ dd~-~~, ~ff~C(J,-~tMide<uff 6u~~edÚ aeeaa.

La autonomía para poder emplear lo aprendido y se-guir aprendiendo se gesta en parte en la escuela, yuna condición ineludible para lograrla es la confianzaque los alumnos deben adquirir para trabajar en la dis-ciplina. también depende de la valoración que hace el


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alumno con respecto a la utilidad, sentido y belleza queposee.

Otra discusión que aparece frecuentemente con respectoa la matemática escolar obligatoria, tiene que ver con elplanteo de la metodología más adecuada para su trata-miento. Esa metodología está relacionada con la concep-ción de enseñanza y aprendizaje que se sustente.

Al llegar al Tercer Ciclo se debe procurar que los alumnosrescaten lo más que puedan de las nociones fundamenta-les en las que se iniciaron en el Nivel Inicial y EGB1, Yque luego profundizaron y complejizaron en EGB2.

Los contenidos recuperados de los ciclos anteriores de-ben ser nuevamente ampliados y profundizados en EGB3,ya sea para mejorar su organización, su forma de comuni-cación o su aplicación a nuevos temas o problemas, detal manera que los alumnos puedan acceder a un princi-pio de sistematización, integración y abstracción, nosolo en lo conceptual sino también en lo metodológico.

Se sugiere poner un énfasis especial, tanto en la cohe-sión interna de la disciplina como en su significatividady funcionalidad dada por su conexión con el mundo real,con otras disciplinas y entre sus diversas ramas.Esos aspectos deberán ser reconsiderados y cornpleji-

zados en el Nivel Polirnodal.

Al llegar al Tercer Ciclo la mayoría de los alumnos noha alcanzado la etapa de la abstracción y la compren-sión de lo que significa un sistema axiomático.

Tampoco pueden comprender las formalizaciones quese les han venido exigiendo tradicionalmente.

Sin embargo, aún cuando no entiendan conceptos deuna manera "ordenada" y ''formalizada'' , se debe pro-curar hacerles ver que la Matemática no es una co-lección de conceptos aislados y de rutinas y des-'trezas fuera de contexto.

El punto de partida debería ser, en lo posible, la cons-trucción de modelos de situaciones problemáticas delmundo real.Fundamentalmente tendrían que enírentarlas, no sólodesde un pensamiento creativo e inductivo, sino tam-bién desde un pensamiento organizado y sistemático.

De esa manera, a la vez que apliquen informaciones,habilidades y estructuras del pensamiento matemáti-co, ya adquiridas en los años anteriores, puedan des-cubrir los métodos y principios del trabajo matemáticoy sus capacidades y limitaciones para poder resolver-las.


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GOBIERNO DE MENDOZA

LA MATEMA II1..A EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

Los alumnos arriban al último tramo de la escolaridad obli-gatoria, sin poseer una definición estricta de ciertos con-ceptos, porque para aprender matemática ello no es ne-cesario. Pero desde el Nivel Inicial los conceptos debe-rían ir creciendo y desarrollándose a lo largo de los años,como parte del proceso de aprendizaje y uso de cada unode ellos.

A medida que sean utilizados en diferentes circunstan-cias y por motivos diferentes, se irán fortaleciendo yresignificando, enriquecidos por la práctica.

Al llegar al Tercer Ciclo los alumnos tendrían que podermanejar los conceptos matemáticos básicos, porque sinellos no pueden resolver las situaciones a las que aludi-mos. En efecto, para comprender la realidad hay que co-nocer determinada información, pero para que ella resul-te significativa se debe disponer de los conceptos que per-mitan interpretarla y relacionarla.

"Los conceptos constituyen un conjunto de conocimientosrelacionados, en los que se incluyen las rutinas necesa-rias que caracterizan los procedimientos. Forman la partesustancial del conocimiento matemático".

No se aprende por repetición. Es necesario compren-derder los conceptos, conectarlos con conocimientos pre-vios e incluirlos en una estructura que les dé sentido.

Este modo de conocer debería marcar una diferenciaentre los alumnos que ingresan a la escuela con sabereseminentemente intuitivos, contextualizados y por lo tan-to poco transferibles, y los alumnos que salen de ella alterminar el Tercer Ciclo.

Sin embargo, se debe tener mucho cuidado para queno tengan la sensación de que el mundo concreto en elcual se desarrollaron sus conocimientos ha desapare-cido y que se los arrastra contra su voluntad a un mun-do de abstracciones. Si bien es cierto que los materia-les concretos ya no tienen la misma vigencia que en losaños anteriores de la escolaridad, no hay que descui-dar el uso de otros recursos (materiales didácticos,metodologías, textos, problemas, etc.) que potencian yenriquecen el proceso de enseñanza y aprendizaje.

También hay que tener presente que los alumnos tran-sitan el Tercer Ciclo en pleno periodo adolescente, quecoincide con los inicios de sus operaciones formales.Pueden pensar en términos de proposiciones, relacio-nar proposiciones, relacionar deducciones sobre es-tructuras formales, etc.Este peldaño cognitivo les permite disfrutar con las re-laciones formales, jugar con juegos lógicos, buscar con-tradicciones de expresiones lingüísticas yexperimen-tar obteniendo conclusiones también formales.


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Por otra parte, también hay que tener en cuenta que laMatemática es una ciencia formal que transforma objetosformales; por esa razón sus objetos de trabajo son propo-siciones sobre las cuales se realizan deducciones.

Los niños deben transitar un largo periodo escolar paraque puedan abstraer las propiedades matemáticas de al-gunos objetos de nuestra cultura.En el Tercer Ciclo se debe propiciar un mayor nivel de abs-tracción y formalización.

Si al término de la EGB no lo logran, no podrán pen-sar en términos matemáticos y sólo estarán en con-diciones de usar una matemática operatoria para de-fenderse, dentro de la sociedad, en situaciones coti-dianas elementales.

En lo que sigue se señala el enfoque con que han detratarse los contenidos de la Matemática a lo largo de laescolaridad obligatoria, tal como se lo consigna en la in-troducción al Capítulo de Matemática de los ContenidosBásico Comunes.Una ampliación sobre dicho enfoque se consideró en elFascículo 2. A todo lector interesado se lo remite a dichodocumento.Se remite a dicho document

Si bien ese enfoque tiene validez en todos los ciclos an-teriores, cobra mayor vigencia en el Tercer Ciclo.

Básicamente se propone tener en cuenta:

- La comprensión conceptual- El gusto por hacer Matemática- La habilidad para plantear problemas y resolver-los con una variedad de estrategias, teniendo encuenta que la Matemática es una habilidad huma-na a la que todos podemos acceder de manera pla-centera- La significación y funcionalidad de la Matemáticaa través de su conexión con el mundo real, entresus diversas ramas y con las otras ciencias- La potencia de la Matemática para construir mo-delos de problemas de las otras disciplinas a partirde sus estructura lógica y de su lenguaje- El valor de la nueva tecnología (calculadoras, cal-culadoras para gráficas, computadoras, mul-timedia), que se incorpora al aula, no solo para sim-plificar los cálculos, sino por la posibilidad que brin-da de "experimentar" matemáticamente, enrique-ciendo el campo perceptual y las operaciones men-tales involucradas en los procesos de construcción,estructuración y análisis de contenidos.- La coherencia interna de la Matemática- El valor de la Matemática en la cultura y la socie-dad, en la historia y en el presente.


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2 Organización curricular de los conteni-dos de Matemática

Los CBC no prescriben una organización de los conte-nidos. Es tarea de cada provincia elaborar la PropuestaCurricular de la Jurisdicción, (segundo nivel delcurriculum), especificando, reorganizando, profundi-zando o completando los CBC.A su vez, los diseños curriculares provinciales seránpunto de partida para que cada establecimiento esco-lar elabore su curriculum (tercer nivel de especificación),de manera de responder por un lado, a su pertenencianacional y provincial y por otro, a su propia identidadinstitucional.Por distintas razones, en el caso de Mendoza, se deci-dió mantener una organización similar a la adoptadadesde el Nivel Inicial.Los ocho bloques presentados en el capítulo de Mate-mática de los CBC se reagrupan en tres ejes:- Números sus, relaciones y aplicaciones- Espacio y Geometría- Razonamiento, Comunicación y Problemas.En el diagrama arbolar que sigue se ilustra de qué ma-nera se han reorganizados los bloques de los CBC enlos ejes.Los contenidos procedimentales y los contenidosactitudinales atraviesan todos los contenidos concep-tuales, lo cual justifica su ubicación en el diagrama.

I

I<;====-======-Jr Bloque 7

I CONTENIDOS PROCEDIMENTALES IL-_=r-=-~i EJE: NÚMEROS. SUS RE· ¡ ¡ EJE: EL RAZONAMII~NTO. I

1

~'I ------,

1 LACIONESYAPLlCACIO· H LA COMUNICACION y EJE: ESPACIO Y l.i NES LOS PROBLEMAS L-.J GEOMETRíA !

l. Bloque 1 Números I Bloque 3 Lenguaje gráfico I~ Bloque 3 Lenguaje I

Bloque2 Operaciones yalgebraico I gráflcoyalgebraico l'

. Bloque 3 Lenguaje gráfi. Bloque7 Contenidos pro- I Bloque 4 Nocioneseo y algebraico cedinwmtales geometricas 1

Bloque 5 Mediciones I IBloque 6 Estadística y ! I I IProbabiliadad ~ I_. .. ~ I~__ .-.J

Bloque 8

CONTENIDOS ACTITUDINALES

Los Contenidos Actitudinales "ponen de manifiesto losvalores, actitudes y comportamientos significativospara la vida de relación de todo ser humano".Los Contenidos Procedimentales son el "conjunto dereglas, pautas, estrategias, modos de aproximacióny métodos que tiene la Matemática para acercarse asus objetos de estudio e investigación".

Los contenidos del Bloque 3, Lenguaje gráfico yalgebraico convergen en los tres ejes.Los contenidos del Bloque 5, se incorporan natural-mente a dos de los ejes: el referido a las cuestionesnuméricas y el que trata las nociones geométricas.


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La presentación de los contenidos organizados en uneje numérico y en otro geométrico no debe asombrar.Basta con tener en cuenta que "la Matemática se edifi-ca sobre el concepto de número, lo que da origen a laaritmética, y sobre el concepto de forma, lo que da ori-gen a la geometría. En muchas ocasiones ambos con-ceptos se relacionan y aparecen interesantes propieda-des que tienen que ver con la forma de las figurasgeométricas" .

Los dos campos conceptuales se han ido relacionandoa través del tiempo, de ahí que en la enseñanza sea con-veniente mostrar su integración, cada vez que sea posi-ble. Por ejemplo, es posible dar significado a los cálcu-los numéricos recurriendo a situaciones geométricas, almismo tiempo la geometría se debe aprovechar paramotivar y practicar cuestiones aritméticas.También es cierto que a medida que se avanza en laescolaridad se hace necesario establecer una mayordivisión entre dichos campos conceptuales, porque sepretende una mayor profundización en el tratamiento delos contenidos. Sin embargo, parece conveniente con-ciliar ambos puntos de vista, teniendo en cuenta que enel Tercer Ciclo se pretende "matematizar" más los obje-tos concretos que fueron punto de partida de los apren-dizajes en los años anteriores.Hay que empezar a mirar esos objetos desde otras óp-ticas.

2.1 Eje Números, sus relaciones y aplicaciones

Los contenidos de este eje apuntan a que los alum-nos adquieran "sentido" del número, es decir que pue-dan comprender el significado de los números de losdistintos conjuntos numéricos, compararlos, relacio-narlos, reconocer sus magnitudes relativas, distinguiren qué situaciones es pertinente usarlos en el senode la misma Matemática y en otras áreas de conoci-miento, operar con ellos, juzgar si un resultado es ra-zonable y expresarlo de manera conveniente.

El docente debe tener claro que un buen trabajo enun intervalo numérico no garantiza la transferencia in-mediata de los aprendido a otro intervalo más am-plio. .Lo mismo ocurre con respecto a otros conjuntos don-de las operaciones no admiten las mismas interpre-taciones dadas en los números naturales.

En este eje se consideran, para los tres años del Ter-cer Ciclo, los siguientes organizadores:

- Números y operaciones- Relaciones, funciones, ecuaciones e inecua-ciones

- Medida y medición- Estadística, Probabilidad y Combinatoria


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- El organizador Números y operaciones, está refe-rido al estudio de los conjuntos numéricos, Z, (de losnúmeros enteros), ID, de los números decimales, Q ,(de los números racionales) y IR, (de los números rea-les), la naturaleza de cada uno de ellos, sus formas derepresentación y las propiedades que los caracterizan.También se ocupa de un tratamiento acerca de las ope-raciones y los cálculos. Se propone que al abordar es-tos temas se tenga en cuenta el significado de las mis-mas en cada conjunto numérico, las formas de calcularsus resultados y el análisis formal de sus propiedades.

Los distintos conjuntos numéricos responden a necesi-dades, de índole pragmática, que provienen de la vidacotidiana. Por ejemplo, los números naturales para enu-merar, contar y ordenar, los números enteros para inter-pretar ganancias y pérdidas, los números decimalespositivos para expresar porciones de la unidad, etc.

A estas razones, la escuela ha de aportarles en el Ter-cer Ciclo, las de índole matemático, presentando los dis-tintos conjuntos numéricos como raíces de diferentestipos de ecuaciones, lo cual no significa que se estépensando en una introducción formal.

Los alumnos deben comprender de qué manera las su-cesivas "ampliaciones" permiten construir los distintossistemas numéricos.

Interesa también que en cada uno de ellos tengan unaaproximación intuitiva que dé cuenta de las propie-dades de orden, discretitud, densidad y/o completitudde cada uno. Es importante que aprendan a compa-rar, ordenar, aproximar y encuadrar, en los distintosconjuntos numéricos.

Deben trabajar con el concepto de operación y delos cálculos, teniendo en cuenta:- el significado de las operaciones en cada conjuntonumérico;-las formas de calcular los resultados;- el análisis formal de sus propiedades.El cálculo, en sus diversas formas, no se desvinculadel significado de la operación, pero el procedimientode calcular se rige por la naturaleza de los númerosque intervienen, por las reglas del sistema posicionaldecimal y por las propiedades de la operación en símisma. Si bien la calculadora es un elemento habi-tual en el aula, esto no significa un uso compulsivode la misma. Es el docente quien debe promover ono, su uso, de acuerdo con el propósito de la tareapropuesta.

No sólo hay que enseñar los algoritmos convencio-nales para calcular, sino que hay que presentar si-tuaciones que los involucren y que permitan sus re-conocimiento, la estimación e interpretación de los


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resultados y la comprobación de su razonabilidad.

En cuanto a la comprensión del sistema de numeraciónposicional brinda al alumno una herramienta universalde comunicación que le permite representar en un mis-mo código, a veces en forma aproximada, todos los nú-meros reales.

Puede llamar la atención que no figure explícitamente elconjunto IN de los números naturales.Cabe recordar que su introducción se hace en el NivelInicial y que al terminar el Segundo Ciclo los alumnosmanejan con cierta soltura, los números naturales "gran-des" . Conocen sus funciones y usos, sus designacio-nes orales y escritas, saben realizar los cálculos bási-cos en distintas formas, reconocen sus propiedades, etc.

En el Tercer Ciclo tienen otra ocasión de volverlos aconsiderar cuando traten los números enteros. Los nú-meros naturales se "identifican" con los números ente-ros positivos.

- El organizador Relaciones, funciones, ecuacionese inecuaciones, tiene que ver con algunos tópicos delBloque Lenguaje gráfico y algebraico.La potencia de la aplicación del álgebra es evidente enla matemática misma y en otros campos del conocimien-to (economía, ciencias naturales, ciencias sociales, etc.,

pero por su nivel de abstracción se hace necesario untrabajo de transición entre la aritmética y esta rama dela Matemática.

Los alumnos explorarán algunos conceptos algebrai-cos, pero de manera informal, enfatizando el uso demodelos físicos, tablas de datos, gráficos, escriturasde ecuaciones, inecuaciones, fórmulas, etc., que tien-den a favorecer la comprensión del concepto de fun-ción, variable y dependencia.

En este organizador caben destacar, entre otros, lossiguientes tópicos:

a) Por un lado interesan las relaciones numéricasy entre ellas, la divisibilidad entre los números natu-rales y entre los números enteros.

A través de las nociones de divisibilidad, númerosprimos, descomposición en factores, múltiplo comúnmenor, divisor común mayor, etc. , los alumnos tie-nen ocasión de aproximarse a la problemática inter-na de la Matemática, en este caso a la que surge delestudio de la Teoría de Números.

La relación divisibilidad entre números naturales seinició en el Segundo Ciclo y se continúa en el terce-ro. Se propone la ampliación y sistematización so-

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GOBIERNO DE MENDOZA


bre los números enteros.

En el Tercer Ciclo hay que analizar las relaciones deconguencia en situaciones simples, tales como la arit-mética del reloj o de la semana y aplicarlas poe ejemplo,en los criterios de divisibilidad y en los sistemas numéri-cos finitos.

b) La noción de función es básica en Matemática yapa-rece en distintos contextos: numéricos, geométricos, etc.Se pretende destacar el poder de las funciones tanto paradescribir de manera simple situaciones complejas comopara permitir la predicción de resultados, modelizando si-tuaciones sencillas (por ejemplo, la proporcionalidad).

En este eje se hace refencia a las funciones numéricasque se han venido tratando desde los primeros años de laescolaridad, aunque de manera informal e intuitiva, median-te una exploración que enfatiza el uso de tablas de datos,gráficos, modelos físicos. etc.En el Tercer Ciclo hay que considerar limportantes funcio-nes numéricas como lo son la función lineal, la cuadrática,la hipérbólica, las funciones trigonométricas, etc.Hay que poner en evidencia el comportamiento de muchasde ellas (valores límite, ceros, continuidad, etc.) desde sugráfica.

c) Con los tópicos Ecuaciones e inecuaciones se pre-

tende un tratamiento de ecuaciones y sistemas de ecua-ciones de primer grado con dos incógnitas: su signifi-cado, resolución gráfica y analítica.

En el Tercer Ciclo interesa la presentación de proble-mas que requieran para su resolución del planteamien-to de ecuaciones e inecuaciones.

- En lo que hace al organizador La medida y la medi-ción, cabe recordar que la enseñanza de estos conte-nidos ha comenzado desde temprana edad y que seha propuesto con un criterio similar al que se sostuvocon respecto a los contenidos relativos a números, esdecir, enfatizando la construcción del significado de lasnociones de perímetro, área, (medida de la extensiónsuperficial) , volumen (medida de la extensión espa-cial), capacidad, etc., a través de su utilidad para re-solver problemas.

El cálculo de cantidades de las diferentes magnitudesmensurables, que se aborda a lo largo de la EGB y seprofundiza y sistematiza en EGB3, pone énfasis en lanecesidad de desarrollar la habilidad para estimar.

Constituye un aspecto importante tanto desde el puntode vista de las necesidades cotidianas, debido a laimportante cantidad de aplicaciones que tiene, comodesde el punto de vista de la Matemática misma, ya


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GOBIERNO DE MENDOZA

LA MATEMÁTICA EN tL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.3)

que posibilita la vinculación de aspectos aritméticos ygeométricos.

Téngase en cuenta que este organizador también figuraen el eje Espacio y Geometría.

- En el organizador Estadística, Combinatoria y Proba-bilidades se tratan tópicos nuevos en la enseñanza ele-mental.Se pretende que al término de la EGB, el alumno manejeel lenguaje básico de la Estadística, la Probabilidad y laCombinatoria y sepa aplicar las nociones para la resolu-ción de los distintos problemas que se presentan en lavida cotidiana.

Para ellos se propone un tratamiento en forma de espiral,comenzando en el Primer Ciclo, con lo cual su introduc-ción comienza a una edad muy temprana.

Ese hecho va a requerir un gran desafío por parte de losdocentes de los distintos niveles de la escolaridad parano caer en la enseñanza de errores, motivados por unasimplificación ingenua del contenido matemático.

a) Al hablar de Estadística cabe distinguir la EstadísticaDescriptiva de la Estadística Inferencial.

La primera de ellas atiende a la organización e interpreta-

ción de datos, obteniendo medidas (números) que re-sumen características de los mismos.

La segunda, utiliza estas medidas para hacer genera-lizaciones respecto a la población, en base a la infor-mación proporcionada por la muestra (subconjunto dedicha población), obteniendo medidas (números), queresumen las características de los mismos.

En la EGB sólo se pretende introducir a los alumnosen las primeras nociones referidas a la EstadísticaDescriptiva, pues debido a la complejidad de los mé-todos usados por la segunda, no se trabajará coninferencias estadísticas.

Desde el Primer Ciclo los alumnos aprenderán a re-colectar datos, organizarlos, describirlos e interpre-tarlos a partir de situaciones de la vida cotidiana. Usan-do la información suministrada por tablas y gráficospodrán extraer el promedio, la mediana y la moda comodatos cuantitativos que permiten interpretar propieda-des generales del conjunto finito de datos o resulta-dos sobre los que se trabaja.

Al llegar a EGB3 es importante que puedan no sóloligar su quehacer estadístico a situaciones de la vidacotidiana, sino también emplearlo como instrumentopara comprender contenidos y resolver problemas es-


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pecíficos de otras áreas de conocimiento como las cien-cias sociales, las ciencias naturales, la economía, etc.

Tienen que comprender que para un análisis más impor-tante de los datos interesa, además, saber cómo se con-centran. La varianza indica la dispersión de los mismoscon respecto al valor medio.

Otro tópico que aparece en el Tercer Ciclo es la correla-ción entre variables aleatorias. La correlación da la medi-da de cómo varían conjuntamente dos variables aleatorias.

b) La enseñanza de la probabilidad en la EGB tiene comopropósito trabajar con los alumnos los conceptos de azar,posibilidad, imposibilidad, grados de probabilidad, etc.Desde el Primer Ciclo aparecen estas nociones en situa-ciones de juego.

Al terminar la EGB los alumnos comprenderán el sentidode asignar una probabilidad a un suceso.

En cuanto a la definición de probabilidad bastará utilizarla definición clásica, es decir, como "el cociente entre elnúmero de casos favorables y el número de casos posi-bles".

Los alumnos podrán explorar las relaciones entre la pro-babilidad empírica y teórica, mediante situaciones de jue-go, experimentales o usando modelos de simulación.

e) Otro tópico importante que conforma el organizadores el referido a la Combinatoria, que pone a disposi-ción métodos de conteo más potentes.

Desde el Primer Ciclo los alumnos se inician en proce-dimientos que colaboran en el recuento de objetos(diagramas de árbol, principios de conteo), pero allle-gar al Tercer Ciclo se pretende que usen otros recur-sos como las fórmulas que permiten calcular el núemrode arreglos (variaciones), permutaciones y combina-ciones.

2.2 Eje Espacio y Geometría.

Los contenidos de este eje tienen como propósitointroducir nociones geométricas que ayuden a losalumnos a controlar sus relaciones con el espacio, arepresentar y describir en forma racional el mundoque los rodea y a estudiar los entes geométricoscomo modelizaciones de esa realidad.

Si bien en la EGB no se pretende un tratamientodeductivo de la Geometría pensada como sistemade axiomas, es un tópico, como otros de la Mate-mática, donde los alumnos al llegar al Tercer Ciclopueden adquirir la idea de demostración deductiva,de la necesidad de la misma y de los elementos queconstituyen las teorías matemáticas (axiomas, defi-


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niciones y teoremas).

En este eje se consideran los siguientes organizado-res:- Objetos geométricos- Transformaciones geométricas- Sistemas de referencia- Dibujo geométrico- Medida y medición

- El organizador Objetos geométricos del plano y delespacio, trata nociones pertenecientes al espacioconceptualizado de la Geometría. Hacia ellos el alumnose ha ido aproximando desde el Nivel Inicial, a travésde los objetos físicos del espacio perceptivo.

En el caso del espacio lo ha hecho, primeramente, me-diante un reconocimiento de los objetos reales que tie-nen la forma de aquéllos y luego, a través de la repro-ducción, descripción, representación y construcción decuerpos físicos.

Lo mismo vale para el plano en lo que hace a las figurascomo segmentos, semirrectas, polígonos, circunferen-cias, etc. En los primeros ciclos se aborda una aproxi-mación al conocimiento de las mismas, mediante acti-vidades similares a las mencionadas para los objetosgeométricos del espacio.

Cuando se habla de los cuerpos geométricos del es-pacio, también denominados sólidos, debe entender-se que se trata de objetos geométricos limitados poruna superficie cerrada que pueder ser o no, plana.En ellos un papel importante está dado por la pro-piedad de la convexidad.

Entre los sólidos cabe distinguir: los poliedros comolos paralelepípedos, pirámides, etc. y los sólidos derevolución, como los cilindros, conos, esferas, etc.Los poliedros convexos son los que más se reen-cuentran en la vida corriente, mediante modelos con-cretos o reales. Merecen una mención especial lospoliedros regulares o sólidos de Platón.

También son objeto de estudio en el Tercer Ciclo, lasrectas del espacio y los planos, las posiciones relati-vas entre rectas, entre planos y entre rectas y planos.

Lo dicho vale también para el plano. En el Tercer Ci-clo se pretende que los alumnos formalicen cuestio-nes relativas a las posiciones entre rectas y a las pro-piedades de las figuras, especialmente de lospolígonos convexos y de los polígonos regulares.

Entre los objetos a considerar en el Tercer Ciclo es-tán los vectores geométricos y su operatoria (suma yproducto por un número real). Su tratamiento debe


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estar orientado al trabajo con las transformaciones delplano. Se constituyen en un buen ejemplo que muestraque la Matemática no sólo trabaja con números.

Se proponen dosmodelos de vectores geométricos: lascuplas puntuales del mismo origen y los vectores libres.

- El organizador Transformaciones geométricas (delplano) está referido a un importante ejemplo funcionesgeométricas.

Desde EGB 1 se propone que los alumnos trabajen conmuchas actividades relacionadas con ellas (dobleces yrecortes de' papel, calcos, manchas de pintura o de tin-ta, dibujos, etc.) y que las mismas se continúen en elSegundo Ciclo.

Al llegar al Tercer Ciclo interesa destacar su aspectofuncional y los invariantes. Por ejemplo, las traslacionesdejan invariantes las rectas paralelas, o sea, transfor-man rectas paralelas, en rectas paralelas, etc.Lo dicho no significa que haya que plantear un tratamien-to riguroso. Muy por el contrario, la intuición, la experi-mentación, etc., permiten a los alumnos comprender elaspecto que se está señalando.Junto con las transformaciones geométricas aparecenlos pavimentos, teselados o mosaicos del plano. Se tra-ta de un tópico interesante que prolonga lo hecho en los

ciclos anteriores.El alumno debe "descubrir" con qué polígonos siem-pre puede construir pavimentos y en qué casos noes así, (por ejemplo los pentágonos regulares).

- El organizador Sistemas de referencia alude atópicos que se vienen tratando desde ciclos anterio-res y que prolongan los recorridos físicos con refe-rencia, que comenzaron en el Nivel Inicial.

En EGB3, al llegar al noveno año, recién se puedentratar las coordenadas reales. Con anterioridad sólose pueden considerar coordenadas enteras.

Es interesante que los alumnos comprendan la simi-litud de estos sistemas en el plano y en la superficieesférica.

En el caso de una recta cambia según que se la con-sidere como un espacio unidimensional (cada puntose referencia con un número único), como parte deun plano provisto de una referencia (cada punto re-quiere dos coordenadas), o como parte del espaciotridimensional munido de una referencia. En esta si-tuación, cada punto de la recta se referencia con trescoordenadas ..

- El organizador Dibujo geométrico, continúa lo pro-


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GOBIERNO DE MENDOZA


puesto en los ciclos anteriores.

La computadora, tanto como la fotografía, el retropro-yector y las fotocopiadoras pueden dar a los alumnosricas experiencias acerca del desarrollo de habilidadesespaciales y de la exploración de conceptos geomé-tricos (perspectiva, proyecciones, transformacionesgeométricas, etc), pero nunca pueden sustituir comple-tamente a las actividades relacionadas con el dibujo,realizado con los instrumentos geométricos (regla, fal-sa escuadra, escuadra, compás).

Los programas de construcción, la reproducción, etc.,son recursos interesantes que no se deben descuidaren el momento de tener que abordar las nocionesgeométricas.

- El organizador Medida y mediciones ya fue conside-rado en el eje numérico. Es decir, se pretende tenerloen cuenta en ambos ejes.Ello se justifica porque convergen en él, de manera na-tural, el número. la geometría y el mundo físico.

Desde el contexto de las magnitudes se hace necesa-rio que los alumnos desvinculen la magnitud a conside-rar de otros datos perceptuales que los confunden.Se trata de procesos que están profundamente vincula-dos con el desarrollo lógico y de habilidades percep-

tuales.

Las distintas magnitudes requieren campos de cons-trucción diferentes; de allí que no sea posible la in-troducción simultánea de todas ellas.Por esa razón se incorporan gradualmente a lo lar-go de toda la EGB.Comprender la medida implica comprender el pro-ceso de medir, la inexactitud de los resultados, elconcepto de error de medición y a qué puede seratribuible, y la importancia de la selección de la uni-dad y del instrumento adecuado para lograr la preci-sión requerida por la situación planteada.

En el Tercer Ciclo se tiene previsto abordar, básica-mente, problemas de área y de volumen, de distan-cia, relaciones métricas enel triángulo y "medidas"de ángulos.

Las razones trigonométricas admiten múltiples apli-caciones acerca de cálculos de ángulos y distanciasprocedentes de diferentes campos en que se usa laMatemática (física, astronomía, etc.), además de in-tervenir en la definición de conceptos matemáticosde mayor complejidad, que serán objeto de estudioen el Polimodal. Caben mencionar las coordenadaspolares, la representación trigonométrica de los nú-meros complejos, el ángulo entre dos vectores, etc.


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2.3 Eje Razonamiento, Comunicación y Problemas.

Este eje apunta a considerar los procedimientos gene-rales relacionados con la actividad matemática.A su vez, en los otros dos ejes se tienen en cuenta pro-cedimientos más específicos relacionados con la temá-tica de cada eje y de cada organizador.

Los tres organizadores de este eje son:- Razonamiento- Comunicación- Resolución de Problemas.

No figuran conceptos porque no es intención que se déa los alumnos cursos de lógica, heurística o lenguajematemático. Se pretende que a través de la puesta enacto de esos procedimientos y de la reflexión que sus-cite dicha práctica, los alumnos vayan comprendiendolos fundamentos lógicos en que se sustentan.

Estos contenidos han de trabajarse desde el Primer Ci-clo sobre los contenidos de los otros dos ejes ya que,como se dijo al comienzo de este apartado, constituyenun elemento importante de integración transversal entanto atienden a procesos generales de pensamiento.

Por su importancia son considerados en un apartadoespecial, lo mismo que los contenidos actitudinales.

3 Acerca de los procedimientos gene-rales del quehacer matemático.

En este apartado se pretende hacer un tratamiento másexplícito acerca de los organizadores del tercer eje decontenidos.Se trata de los procedimientos generales vinculadoscon el quehacer matemático y conforman tres catego-rías, con la misma denominación dada a los organiza-dores del eje.

Procedimientosrelacionados con

I el razonamiento la comunicación la resolución deproblemas

Con tales procedimientos se pretende acercar al alum-no desde el Nivel Inicial, a "hacer matemática" tal comolo hacen los matemáticos profesionales.

No sólo constituyen un elemento importante de integra-ción transversal de todos los contenidos de la Mate-mática sino también de las otras áreas de conocimien-to.


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GOBIERNO DE MENDOZA


Aún cuando estén presentados en forma separada en trescategorías, al sólo efecto de destacar los aspectos queabarcan, no cabe ninguna duda sobre la imposibilidad detrabajar con los de una de las categorías sin involucrar, demanera natural, a los procedimientos de las otras dos.

3.1 Razonamiento

El hecho de que el Razonamiento se mencione explícita-mente no debe interpretarse como que en el transcurso dela escolaridad obligatoria el alumno deba recibir cursosde Lógica es decir, de la ciencia que estudia las leyes delrazonamiento lógico. Sólo se pretende que adquieran gra-dualmente algunas de las herramientas básicas de él.

Por ejemplo, desde el Nivel Inicial es posible ir introducien-do, a través de juegos, el uso de los conectivos lógicos(no, y, o), de la implicación (si. .. entonces), de la doble im-plicación (si y solo si), de los cuantificadores (todos, algu-nos), lo cual no significa introducir desde el Nivellni-ciallos símbolos correspondientes. También es reco-mendable la presentación de ejemplos y contraejemplos.

Lo que se está diciendo es que los niños alcancen el co-nocimiento matemático sin desdeñar ninguna de las for-mas posibles de razonamiento: intuitiva, inductiva ydeductiva, porque ése es el proceder de los matemáticosprofesionales.

La Matemática usa la intuición como punto de parti-da, pero demuestra la verdad de sus proposiciones através de sus deducciones.

Cuando se enseña la matemática escolar se debe co-menzar por la intuición, para luego incursionar mostran-do, cuando sea posible, las otras formas de razona-miento.

En efecto, nadie aprende Matemática demosfrandotodo, y está muy bien que se acepten propiedades sinhaber recurrido al método lógico-deductivo.

Como lo afirma el matemático Luis Santaló, el alumnotiene que ir comprendiendo que "una cosa es acep-tar algo intuitivamente y otra muy distinta es creerque ese camino es suficiente para asegurar laspropiedades que requieren de una demostración".

En cuanto a la inducción es el método que emplean lamayoría de las ciencias experimentales. Se basa en laelaboración de conjeturas o hipótesis, nacidas al ge-neralizar las propiedades que se dan en un conjuntode observaciones.

Cuando se habla de la inducción no se está haciendoreferencia a la "inducción matemática", que es el mé-todo específico de demostración asociado con el nú-


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mero natural. Se alude al también llamado método ex-perimental.

Debe quedar claro que éste no es un método de razona-miento sino que se trata de un camino similar al empleadopor los científicos en el laboratorio.

Cabe esta pregunta, ¿cómo es posible que se recurra aeste camino siendo que la Matemática no es una cienciaexperimental? .La razón es fácil de entender. Permite formular conjeturassobre propiedades que se aceptan intuitivamente, aúncuando no estén demostradas por el método lógico-de-ductivo o deducción, con el cual se demuestra la verdadde las proposiciones como "conclusiones" que derivan ló-gicamente de las premisas.

El razonamiento también se debe considerar como un con-tenido. Como tal se enseña y se aprende, aún cuando nose lo haga de manera explícita.Cabe agregar que al término de la EGB, los alumnos de-berían poder demostrar teoremas sencillos, porque de esamanera se los ayuda a comprender la naturaleza de la for-ma deductiva de razonamiento.

También tendrían que saber diferenciar las formas deprueba, conjeturas y justificación, válidas para la Mate-mática, de las que lo son en otras ciencias (por ejern-

plo, las ciencias "tácticas" como la Física).

Se reitera que ello no significa que tengan que recibircursos de Lógica.

Lo que sí tienen que comprender es la diferencia que existeentre demostrar una propiedad usando el método deducti-vo y la verificación de la misma, mediante una experien-cia que puede recurrir a métodos gráficos, físicos, ..., para"descubrirla", apelando a la intuición y la verificación.

Por ejemplo, una cosa es verificar experimentalmente lapropiedad relativa a la suma de las medidas de los ángu-los interiores de un triángulo (representando triángulos encartulina y usando un transportador para "medir" los ángu-los) y otra, bien distinta, es demostrar el teorema corres-pondiente.

Es conveniente y recomendable la presentación experi-mental de la propiedad mencionada en un cierto año delciclo y en otro año posterior, el ensayo de una demostra-ción, sin que ello signifique exigir la rigurosidad formal deun teorema, como se lo hace en el seno de la Matemática.

En el caso de algunas propiedades puede ser suficiente,pero de cualquier forma el alumno tiene que comprenderque esa propiedad podría ser demostrada con el métododeductivo formal.


28GOBIERNO DE MENDOZA


Un buen docente, en cualquier nivel de la ense-ñanza, es aquél que no dice todo lo que sabe.

Todo lo dicho sobre el razonamiento y las dis in-tas formas usadas por el matemático para llegaral conocimiento es sólo para el docente. El niñoestá ajeno a esas cuestiones y es mejor que asísea.

Pero una cosa es lo que el docente tiene que sa-ber y otra, muy distinta, es lo que debe decirle asus alumnos.

3.2 COMUNICACiÓN.

Sobre este procedimiento general vinculado con el quehacermatemático, hay mucho por decir.

Por esa razón se retama lo expresado en el Fascículo 24(Dirección General de Escuelas, 1998, La Matemática en elTercer Ciclo de la EGB. Primera parte, Mendoza, DGE).

La Matemática emplea diversos marcos de representaciónde sus conceptos: verbal, simbólico, gráfico, pictórico, etc.A su vez, lo hace en distintos contextos (algebraico, geomé-trico, aritmético, de la Estadística, etc).

Por otra parte, para poder comunicar en Matemática(en forforma oral o escrita) se requiere el uso de unlenguaje específico, lo mismo que ocurre con todaciencia.No dominar ese lenguaje impide toda comunicación.

¿Acaso no se sabe que la lectura de los textos mate-máticos es diferente de la que se hace en otras dis-ciplinas, o en diarios y revistas, o en la pantalla deltelevisor y la computadora?

En síntesis, la Matemática emplea diversas formaspara representar ·sus conceptos y lo hace en distin-tos contextos (geométricos, aritméticos, algebraicos,de Estadística, etc.). Una de las formas de represen-tar es verbal. Para ello usa un lenguaje específico yes mucho más que conocer un simple vocabulario,como se verá más adelante.

Por ejemplo, una cosa es identificar que el dibujoadjunto representa una circunferencia y otra es sa-ber que en esa representación hay que interpretarla equidistancia de los puntos con el centro, lo cualjustifica el uso del compás para dibujarla.Debe quedar claro que el dibujo ono es la única forma de represen otaci~n que admite una circunfe- e •rencra.


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Por ejemplo, cuando una circunferencia del plano está dadaen relación con un sistema de referencia, y su centro coin-cide con el origen de la referencia, puede representarsemediante una ecuación de la forma: y

CX2 +y2 = r2,conocida con el nombre de ecuación(canónica) de una circunferencia delplano.Además hay que agregar que, por lo general, las repre-sentaciones en el plano de un objeto difieren de lasrepresentraciones del mismo en el espacio (por ejemplo,la ecuación de una recta)

x

El ejemplo propuesto pone en evidencia la complejidad quetiene la interpretación y uso de las diversas representacio-nes de una misma noción matemática.La complejidad es mayor aún cuando esa noción apare-ce en distintos contextos.

Entre las diversas formas de representación cabe desta-car el lenguaje que usa la Matemática para comunicar susideas.El lenguaje verbal, por ejemplo, utiliza las mismas fuentesgramaticales y semánticas que el lenguaje cotidiano, perolas emplea de distintas formas y para diferentes propósi-tos. Es decir, la Matemática no solo emplea un vocabula-rio específico, que hay que conocer y dominar, sino quetambién es necesario aprender de qué manera se usa en

su conjunto y cuáles son las relaciones semánticas que seconstruyen durante su empleo.

El lenguaje común, al ser usado en contextos de la Mate-mática, genera discusiones como consecuencia de su am-bigüedad y falta de precisión.

Por ejemplo, no es lo mismo el significado del término "y"cuando se dice

María y Clarita son hermanas,que cuando se asegura

2 y 4 son números paresSólo en el segundo caso, el término "y" funciona como unconectivo lógico (de la conjunción).

Por otra parte cabe recordar el distinto significado que tie-nen en Matemática algunos términos usados en el lengua-je cotidiano.Tal es el caso, por ejemplo, del término igual.En el lenguaje materno se dice que dos autos de la mismamarca, del mismo color, del mismo año defabricación, etc.,son iguales. En cambio, en Matemática la igualdad signi-fica identidad.

Por ejemplo, dos segmentos son iguales cuando se tratadel mismo segmento.

a---- b c----d


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El segmento ab es igual al segmento ab (o, el segmentocd es igual al segmento cd).

¿Qué se dice de los segmentos ab y cd representados?Se dice que son congruentes.

En el caso de la comunicación escrita el lenguaje específi-co de la Matemática es el lenguaje simbólico, resultadode la combinación de signos, símbolos y términos mate-máticos, y también de la lógica matemática (los conectivos,los cuantificadores, etc.).

En ese sentido el lenguaje conjuntista es un buen recursopara explicar con sencillez ideas matemática en los dis-tintos contextos.

¿Quién puede negar la conveniencia y sencillez de adop-tar ese lenguaje?¿Por qué no usar el símbolo E para indicar que un puntopertenece a una recta, o el símbolo ~ en caso contrario?

~

aED

b~D

La ventaja es que ese símbolo puede usarse en distintoscontextos.Algo similar ocurre con los símbolos e, u, n, y conotros pocos más.

Por ejemplo, si se sabe que D es una recta, que P esun plano y que la afirmación D e P es verdadera, seestá diciendo en lenguaje simbólico que la recta es par-te (subconjunto) de ese plano.

Ahora bien, adoptar ese lenguaje es lo recomenda-ble, pero hacer un estudio de él como el único fin de laenseñanza de la Matemática. dedicándole gran partedel año escolar, es un abuso y además es haber per-dido de vista los propósitos de la enseñanza deesta disciplina.

Debe quedar claro que sólo se trata de un lenguaje yque como tal se aprende por el uso. Los símbolos seintroducen a lo largo de la EGS, cuando tienen signifi-cado para los alumnos. Lo que se pretende es que alllegar al Tercer Ciclo puedan manejarlo con cierta sol-tura. De ninguna manera se piensa que la introduc-ción del lenguaje simbólico se inicie en el NivelInicial. Otra cosa son los términos del vocabulario.Los docentes deben manejar ese lenguaje correcta-mente. Por esa razón es un contenido de estudio con-signado en los CSC para la Formación Docente deGrado (NI, EGS1 y 2)Estudiar la Teoría de Conjuntos en la escolaridadelemental es otra cuestión impensable. Como sunombre lo indica se trata de una teoría reservadapara otros fines.

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUelAS GOBIERNO DE MENDOZA

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En síntesis:

Una cosa es adoptar el lenguaje conjuntistacomo un lenguaje simbólico privilegiado quepermite comunicar las ideas matemáticas consencillez y otra, muy diferente, es considerar-lo como objeto de estudio en sí mismo.Todos sabemos del uso y abuso que se hahecho en ese sentido y que todavía hoy en díase sigue haciendo.

Hasta aquí se ha hecho referencia al lenguaje de la Mate-mática. También es preciso hablar de la comunicación,es decir, del procedimiento que se debe enseñar desde elNivel Inicial, porque se trata de un contenido.

La comunicación es muy importante en el proceso de en-señanza y aprendizaje de la matemática escolar, entreotras razones porque posibilita:

recibir y transmitir información;pasar de expresiones informales hasta el lenguaje ma-temático especifico;establecer relaciones entre las diversas formas de re-presentación usadas en Matemática, teniendo en cuen-ta que se trata de una disciplina que se desarrolla enun espacio mental conceptualizado, en el cual todossus objetos son abstractos (números, figuras geomé-

tricas, funciones, etc.);comprender la necesidad de precisar el vocabulario ycompartir definiciones para evitar las ambigüedadesque existen en el lenguaje común.

Hay que estar muy atentos con respecto a las dificultadesque pueden surgir cuando los alumnos se proponen comu-nicar en Matemática. No cabe ninguna duda de que se tra-ta de un problema potencial, tanto en lo que hace a la for-ma como al uso. Pueden surgir inconvenientes en el nivel·superficial de la comunicación, pero mucho más grave aún,pueden aparecer en el nivel profundo del significado.

En el Nivel Inicial y en el Primer Ciclo de la EGB se privile-gia la comunicación oral. En el Segundo y Tercer Ciclose debe poner énfasis en la comunicación escrita.

Las escrituras matemáticas son cada vez más necesariascomo herramienta y como soporte en el momento de tenerque comunicar y justificar, por ejemplo, un procedimientoempleado, o el resultado de un problema, o un concepto.

El docente debe procurar que sus alumnos se esfuercen yaprendan a escribir correctamente un resultado, para con-servarlo o para comunicarlo, y que usen las convencionesque no son tenidas en cuenta en una comunicación oral,como puede ser el uso de paréntesis cuando se trabajacon números.


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También tienen que aprender a anotar, de manera sintética,el camino que han usado durante la búsqueda de la soluciónde un problema, de tal manera que en la respuesta estén losmismos términos de la cuestión planteada en el enunciado.

Los alumnos deben distinguir los escritos que son para sí, yque forman parte de su trabajo privado, de los escritos con-vencionales, para los cuales necesitan respetar una sintaxismás rigurosa, una vez que ella ha sido aceptada y trabajada.

Estos escritos tienen dos funciones principales:- son escritos-memoria, que quedan para el alumno, con elpropósito de recordar reglas, definiciones, procedimientos au-tornatizados, algoritmos, etc.- son escritos destinados a ser vistos por otros, como esel caso de las pruebas.

Sin ninguna duda el tener que pasar a lo escrito en Matemáti-ca, resulta difícil para muchos alumnos. Ello solo es posiblecon éxito, después de una etapa previa de verbalizaciónmediatizada por el docente.

3.3 Resolución de problemas

La resolución de problemas es otro de los procedimientosgeneralesgenerales vinculados con el quehacer matemático.En él confluyen, naturalmente, los otros dos procedimientosque se han considerado previamente.

Parece conveniente que se comience considerandoel significado de la palabra " problema".

Deriva directamente del griego problema, compuestode pro (delante) y blema, (lo que se arroja o tiende),que proviene, a su vez, del verbo bállein (echar, arro-jar). En síntesis, "problema" significa lo que ha sidoarrojado delante.

Cuando se está ante un problema hay que adoptar unaactitud y decidirse por una de las tres opciones si-guientes:- Dar marcha atrás y desandar el camino;- Esquivar el problema, en lugar de enfrentarlo;- Encarar el problema.

En la primera opción se retrocede ante el obstáculo yse renuncia a proseguir el itinerario.

En la segunda, se busca alguna forma de rodearlo,cambiando de rumbo o eligiendo alguna ruta alternati-va, u otra forma de locomoción:

En la tercera opción, se enfrenta el obstáculo y sebusca la forma de removerlo del camino, o de de-jar la ruta despejada para poder proseguir.

Encarar el problema significa enfrentarse a él, anali-


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zarlo y buscar la manera de eliminarlo. Esta actitud inte-lectual se resume en la pregunta que conduce a una res-puesta, a través de la cual se espera encontrar la solu-ción.

Como la resolución de problemas es parte integrante dela propuesta curricular de Matemática desde el Nivellni-cial, es conveniente que se formulemos otras reflexiones.

Resulta interesante destacar las distintas funciones quetiene en Matemática, un problema y su resolución.

a) Es un objetivo.

En efecto, la resolución de problemas es una compe-tencia básica que se pretende desarrollar en los alum-nos. Para ello, los docentes deben propiciar que se traba-je en el aula de manera similar a lo que hacen los mate-máticos:- con problemas presentados en un contexto significativoe interesante para los alumnos;- con problemas que permitan diferentes estrategias deresolución, lo que va a permitir la participación de todosen la búsqueda de la respuesta;- propiciando que los alumnos se animen a buscar la solu-ción por sí mismos, tanto cuando trabajan en forma grupalcomo cuando lo hacen en forma individual;- Organizando la comunicación y confrontación de los pro-

cedimientos y representaciones usadas.- Posibilitando a los alumnos que puedan defender susproducciones por medio de argumentos propios y quesean capaces de reconocer sus aciertos o errores anteel señalamiento de los pares.

b) Es una metodología para el aprendizaje de la mate-mática escolar.

En efecto, la resolución de problemas es un recurso di-dáctico para que los alumnos puedan construir nuevosconocimientos significativos.

e) Es un contenido. Lo mismo que el razonamiento y lacomunicación, atraviesa todos los demás contenidos. Seaborda a lo largo del año escolar.

Cabe agregar que las tres funciones mencionadas serelacionan entre sí.

Si la resolución de problemas es considerada como uncamino para gestar un nuevo aprendizaje, entonces setrata de una actividad privilegiada en el proceso de en-señanza y aprendizaje.Cuando un docente selecciona un problema, apuntandoa la construcción de un saber, debe explicitar los aspec-tos conceptuales o procedimentales que se propone pro-piciar. La situación seleccionada debe ser adecuada al

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS

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GOBIERNO DE MENDOZA


al nivel y garantizar la apropiación de ese conocimiento.

El hecho de se adopte la resolución de problemas comoun método privilegiado, no significa que haya que descar-tar otros métodos de enseñanza (expositivo, manejo detextos, discusión colectiva, etc.).

Esta nueva manera de considerar a los problemas comogestores del conocimiento, se contrapone con su tradicio-nal uso al finalizar un tema supuestamente aprendido.

A estos se los denomina problemas de aplicación. Enmuchos casos se trata de simple ejercicios para practicaruna rutina.

Están caracterizados por presentar las cuestiones a abor-dar de manera ordenada y cerrada.

Las informaciones son necesarias y suficientes y están da-dos con clara intención de entrenar a los alumnos para quedecodifiquen un enunciado y luego busquen entre sus co-nocimientos aquellos que se pretende aplicar.

Nadie dice que haya que dejarlos de lado. Siguen siendoimportantes en determinados momentos.

Con respecto a los problemas de construcción se reiteranlas siguientes reflexiones.

Enfrentar y buscar una solución a un proble-ma para gestar un aprendizaje no es lo mis-mo que realizar un ejercicio puramente esco-lar, en el cual se deben aplicar sin falta las téc-nicas aprendidas, teniendo en vista pruebasanálogas de evaluación y examen.

Significa que hay que identificar y organizardatos, elegir y poner en acción procedimien-tos adecuados, si es que se pretende llegar asoluciones pertinentes y verificables.

Hasta puede ocurrir que el problema plantea-do no tenga solución o que tenga varias solu-ciones.

4 Acerca de las actitudes

Hay un Bloque de los CBC, el Bloque 8, "Los conte-nidos actitudinales relacionados con el quehacer ma-temático" en el cual se describe "un conjunto de con-tenidos actitudinales tendientes a la formación de unpensamiento crítico, que busca incansablementenuevas respuestas, que formula nuevas preguntas".Estos contenidos no están separados de los conte-nidos conceptuales y procedimentales reorganiza-


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dos en los tres ejes y se los debe contemplar como partede los mismos.En efecto, el trabajo en el aula de Matemática, tanto cuan-do los alumnos realizan tareas grupales, como cuando lohacen en forma individual, ofrece una ocasión excelentepara considerarlos.

Las actitudes seleccionadas han sido agrupadas en cua-tro categorías que remiten a la formación de competen-cias en aspectos que hacen al desarrollo personal, so-cio-comunitario, del conocimiento científico-tecnológico yde la expresión y la comunicación.

A continuación se propone un listado de los que se hansido seleccionados.

- Del desarrollo personal

- Confianza en sus posibilidades de plantear y resolverproblemas.

- Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsquema desoluciones.

- Gusto por generar estrategias personales de resoluciónde problemas.

- Disposición para acordar, aceptar y respetar reglas enla resolución de problemas.

- Respeto por el pensamiento ajeno.

.- Del desarrollo socio-comunitario.

- Valoración del trabajo cooperativo y la toma de res-ponsabilidad para lograr un objetivo común.

- Apreciación del valor del razonamiento lógico para labúsqueda de soluciones a los problemas de la comuni-dad.

- Del desarrollo del conocimiento científico-tecno-lógico.

-Interés por el uso del razonamiento intuitivo, lógico, y laimaginación para plantear y resolver problemas y cálcu-los.

- Sentido crítico sobre los resultados obtenidos en la re-solución de problemas.

- Valoración de la Matemática en su aspecto lógico einstrumental y como construcción humana.

- Placer por los deaafíos intelectuales.

- Del desarrollo de la expresión y la comunicación.

- Aprecio y respeto por las convenciones que permitenuna comunicación universalmente aceptada.


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Cuadernillo 33 matematica - 1 parte