MAKİNE DİNAMİĞİ_III.pdf

7/29/2019 MAKİNE DİNAMİĞİ_III.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/makine-dinamigiiiipdf 1/13

MAKĠNE DĠNAMĠĞĠ (HIZ VE ĠVME ANALĠZĠ)

ÖTELEME HAREKETĠ

Öteleyen bir cisim üzerinde alınan iki nokta arasındaki düz bir çizgi (doğrultu), öteleme

esnasında sürekli paralel kalır.

Cisim üzerinde alınan iki noktayı düşünelim. Bu noktalar arasında

A B A Br r r

/

konum vektörleri yazılabilir.

Ar

: A noktasının konum vektörü (yere göre)

Br

: B noktasının konum vektörü (yere göre)

A Br

/

: B noktasının A noktasına göre konumu

(Bağıl konum vektörü) Bu vektörün zamana göre türevi alınırsa

dt r d

dt r d

dt r d A B A B /

Burada

dt

r d v

A

A

: A noktasının yere göre hız vektörü

dt

r d v

B

B

: B noktasının yere göre hız vektörü

dt

r d v

A B

A B

/

/

: B noktasının A’ya göre bağıl hız vektörü

A Br / vektörünün hem boyu hem yönü sabit olduğundan türevi sıfırdır, dolayısıyla

A Bvv

ve ikinci kez türevi alınırsa

A Baa

bulunur . Dolayısıyla A ve B noktalarının hem hızları hem de ivmeleri aynıdır.Özetle, ötelemeyapan cisimlerde cisim üzerinde bulunan her noktanın hızları ve ivmeleri birbirler ine eşittir.

A

B

A’

B’

A

B

Ar

Br

A Br

/

x

y



SABĠT BĠR EKSEN ETRAFINDA DÖNME HAREKETĠ

Sabit bir O noktası etrafında dönen çubuğun A ucundaki

yer değiştirme:

A A r r

Δt zaman aralığında

t r

t

r

A

A

Limitte

t r

t

r

t A

A

t

00

limlim →dt

d r

dt

dr

A

A

Burada ω açısal hız olup

dt

d

t t 0

lim ile tanımlanır. Birimi rad/s dir.

Hız vektörünün yönü, hızı bulunan noktayı merkeze bağlayan doğruya diktir. Dolayısıyla A

noktasının hızı vektörel olarak

A Ar v

yazılır. Bu ifadenin türevi alınırsa A noktasının ivmesi de bulunabilir.

)()( A A

A

A A A r r dt

r d

r dt

d

r dt

d

a

Buradadt

d

açısal ivmeyi temsil eder. Birimi rad/s2 dir. Ayrıca düzlemsel mekanizmalar

için A Ar r 2)( yazmak mümkündür.

Yukarıdaki ifadede vektör çarpımlarına dikkat edilirse, A

t

Ar a

nın yönü A nın

yörüngesine teğet veya A yı merkeze bağlayan doğruya dik olup teğetsel ivme olarak

adlandırılır. Buna karşın A A

n

Ar r a 2)( nın yönü, A dan merkeze doğrudur ve

normal ivme olarak adlandırılır.

KONUM, HIZ VE ĠVME VEKTÖRLERĠNĠN

KARMAġIK SAYILARLA GÖSTERĠM

i

A Aer r

(r A = sabit)

i

A Aier v

Burada Ar hız vektörün şiddeti,

iie ise yönüdür.

A A r v

x

y

z

θ

Δθ

r A

Δr A A

A’

O

r A

θ

ie

r A

iie

A

ie

O



İkinci kez türev alınırsa

n

A

t

A

i

A

i

A Aaaer ier a

)(2

Hız formülleri incelenirse; açısal hız cismin her

noktasında sabit olduğundan hız merkezden

uzaklaştıkça artar.

İvme formülleri incelenirse, teğetsel ivmenin

çizgisel hıza benzediği görülür. Normal ivme ise,

merkeze yaklaştıkça küçülen bir eğilim gösterir.

GENEL DÜZLEMSEL HAREKET

Genel düzlemsel hareket, dönme ile ötelemenin aynı anda oluştuğu hareket şeklidir.

A ve B noktaları arasındaki bağıl hareket

A B A Br r r /

ile ifade edilebilir. Bu yer değiştirmelerin Δt zamanda gerçekleştirildiği düşünülürse

θ

O

iie

ie

n

Aa

t

Aa

Aa

ie

Ar

A

ie

O

Ar

Ar

2

θ

r A

A

O

ωr A

O

A

B

A’,A’’

B’ B’’

Ar

Br

A B

r /

Ar

Ar

A B

r /

A Br

/

Br



t

r

t

r

t

r A B A B

/

Limitte

t

r

t

r

t

r A B

t

A

t

B

t

/

000 limlimlim

A B A Bvvv

/

Burada

A Bt

A B A Bt

A B

t A B

r t

r t

r t

r v

/0

//0

/

0/

limlimlim

ve vektörel olarak da yine A B A B

r v//

şeklinde ifade edilir. Yönü ise

A Br

/

vektörüne

diktir.

Aynı sonuç karmaşık sayılarla ifade edilebilir.

i

BA A Ber r r

i

BA A Bier vv

A B A Bvvv

/

Burada

Bv

: B nin mutlak hızı

i BA A B ier v /

: Bağıl hız; yönü AB ye dik

ĠVME

A B A Bvvv /

A B A Br vv /

dt

r d r

dt

d

dt

vd

dt

vd A B

A B

A B /

/

A B A B A Bvr aa //

)( // A B A B A Br r aa

n

A B

t

A B A Baaaa //

t

A Ba

/

: Teğetsel bağıl ivme, yönü AB ye dik.

n

A Ba /

: normal bağıl ivme, BA yönünde (dönme merkezine doğru).

BAr

θ

Ar

Br

ie

iie

A

B



Karmaşık sayılarla:

i

BA A Bier vv

Türevi alınırsa

)(2

i

BA

i

BA A B er ier aa

CORIOLIS ĠVME BĠLEġENĠ

Bu bağıl hareket tipinde ise bir hareketli cisim diğerine göre öteleme yapar; kayar mafsal,

kam çifti gibi.

2323 / A A A A r r r

2323 / A A A Avvv

23 / A Av

: A3 noktasının 2 cismi üzerindeki

A2 noktasına göre bağıl hızı

(bağıl yörüngeye teğet)

Örnek: A0 noktası etrafında dönen bir kolun üzerinde kayan bir bileziği inceleyelim.

i

Brer

: B2 ve B3 ün konum vektörü

232 / B B B

iiθ

B

Bvver ier v

dt

r d

( i

Bier v

2

dik yönde; i

B Ber v

23 / teğet

yönde)

B3 ün ivmesi:

türevininv

ii

türevininv

iii

B

B B B

ier er ier er ier a

2

2/32

)()( iiii

Bier er er ier a

2

2

it B ier a

2

in

B er a 2

2

it B B er a

23 / : Bağıl hızın şiddetinin değişimi

iie

ie

n

A Ba

/

t

A Ba

/

A Ba

/

θ

ie

iie

B

ie

A

A2’

A2, A3

3 Ar

2 Ar

A3’

23 / A Ar

θ

ie

iie

B

1 A0

2

3

r



çizgisel hız vektörünün şiddetindeki değişiminden dolayı

i

Bier v

2

iii

Bier ier ier r v )(

2'

Fark: r

Yönü: iie

r dt

dr

t

r

t

0lim

Bağıl hız vektörünün yönünün değişiminden dolayı Fark: r

Yönü: iie

r dt

d r

t

r

t

0

lim

Bu iki terimin yönü aynı: iie

Şiddetleri aynı: r

Coriolis ivme bileşeni:

ic

Bier a )(2

3

ÖZET:

c

B B

t

B B

n

B

t

B

iiii

B

aaaa

ier er er ier a

232322

3

//

2

2

MEKANĠZMALARDA HIZ VE ĠVME ANALĠZĠ

Hız ve ivmeleri bilinen noktalardan başlanır.

Mafsal noktaları çakışan noktalar olarak düşünülür.

A B A Bvvv /

BC BC vvv /

n

A B

t

A B A Baaaa //

n

BC

t

BC BC aaaa //

θ

ie

i

ie

B’ 2

A0

B2

r

r

)( ie

r

r

θ

ie

iie

B’ 2 (= B3)

ie A0

B2

r r

)( r r

r



Mekanizmalarda önce konum analizi yapılır, sonra hız ve ivme analizleri yapılır.

Devre kapalılık denklemlerinin türevi alınarak hız ve ivmeler bulunabilir.

Birinci türev: Vektörel hız devre denklemi (hız devre denklemi)

İkinci türev: Vektörel ivme devre denklemi (ivme devre denklemi)

Devre kapalılık denklemleri: Konum değişkenlerine göre nonlineer.

Hız ve ivme devre denklemleri: Hız ve ivme değişkenlerine göre lineer.

Örnek: Krank biyel mekanizmasının hız ve ivme analizi

dt

d 12

12

dt

d

dt

d 12

2

12

2

12

Vektör kapalılık denklemi:

BA B A A A 00

Vektör kapalılık denkleminin kompleks ifadesi: 1312

3142

iiea sea

Vektör kapalılık denkleminin kompleks eşleniği: 1312

3142

ii

ea sea

Skale denklemler: 13314122 coscos a sa

133122 sinsin aa

Hız devre denklemi: 1312

13314122

iiiea siea

Eşleniği: 1312

13314122

iiiea siea

Burada:dt

d 12

12

dt

d 13

13

dt

ds s

14

14

CRAMER KURALI

Lineer bir denklem takımı verilmiş olsun:

1212111b xa xa

2222121b xa xa

Bu denklem takımı matris şeklinde yazılabilir. Katsayılar bir matriste, bilinmeyenler bir

vektörde ve sabitler de sağ tarafta başka bir vektörde toplanabilir.

θ 12 θ 13

a2 a3

4 A0

A

B

12 i

e

s14

12 i

ie

ω12, α12

13 i

e

13 i

ie

konum değişkenlerine

göre nonlineer }

Hız ve açısal hızagöre lineer }



2

1

2

1

2221

1211

b

b

x

x

aa

aa

veya kısaca

[A]{x}={b}

Burada; Katsayılar matrisi:

2221

1211

aa

aa A

Bilinmeyenler vektörü:

2

1

x

x x

Sağ taraf vektörü:

2

1

b

bb

Şimdi ise katsayılar matrisinin birinci ve ikinci sütunlarını sağ taraf vektörüyle değiştirerek

yeni matrisler oluşturalım:

222

121

1

ab

ab A

221

111

2

ba

ba A

Artık bilinmeyenler bulunabilir:

A

A x

1

1

A

A x

2

2

Burada

21122211

2221

1211

aaaaaa

aa A

212221

222

121

1baab

ab

ab A

211211

221

111

2abba

ba

ba A

Cramer kuralını kullanarak hız devre denklemlerini çözelim. Önce bilinenler ve

bilinmeyenleri denklemin her iki tarafına ayrı ayrı toplayalım ve matris şeklinde yazalım.

12

12

13

13

122

122

13

14

3

3

1

1

i

i

i

i

iea

iea s

eia

eia



12

13

13122

3

)()(

1232

3

3

3122

3122

14cos

)sin(

)(

)(

1

1 1313

13121312

13

13

1312

1312

a

eeia

eeaa

eia

eia

eiaiea

eiaiea

sii

ii

i

i

ii

ii

12

133

122

3

122

3

3

122

122

13cos

cos

)(

)(

1

1

1

1

1313

1212

13

13

12

12

a

a

eeia

eeia

eia

eia

iea

iea

ii

ii

i

i

i

i

İvme devre denklemi

13131212 2

13313314

2

122122

iiiieaiea seaiea

131312122

13313314

2

122122

iiiieaiea seaiea

Matris şeklinde

131212

131212

13

13

13

2

133

2

122122

2

133

2

12212214

3

3

1

1

iii

iii

i

i

eaeaiea

eaeaiea s

iea

iea

Cramer kuralı kullanılarak

13

2

1331312

2

12213121221

14cos

)cos()sin(

aaa

A

A s

133

13213312

2122121222

13cos

sinsincos

a

aaa

A

A

bulunur.

Örnek: Dört çubuk mekanizmasının hız ve ivme analizi

Devre kapalılık denklemi ve eşleniği

141312

4132

iiieaaeaea

141312

4132

iii eaaeaea

θ 12

θ 13

θ 14

a2

a3

a4

A0

A

B0

B

a1

ω12

C

β γ

α12

b3



Birinci türevleri

141312

144133122

iiiieaieaiea

141312

144133122

iiiieaieaiea

Matris şeklinde yazalım

12

12

1413

1413

122

122

14

13

43

43

i

i

ii

ii

iea

iea

ieaiea

ieaiea

Cramer kuralı kullanılıp gerekli kısaltmalar yapıldıktan sonra

12

1413

1412

3

21

13)sin(

)sin(

a

a

A

A

121413

1312

4

22

14 )sin(

)sin(

a

a

A

A

Devre kapalılık denklemlerinin ikinci türevleri (ivmeler)

141413131212 2

144144

2

133133

2

122122

iiiiiieaieaeaieaeaiea

141413131212 2

144144

2

133133

2

122122

iiiiii

eaieaeaieaeaiea

Matris şeklinde yazılabilir:

13121214

13121214

1413

1413

2

133

2

122122

2

144

2

133

2

122122

2

144

14

13

43

43

iiii

iiii

ii

ii

eaeaieaea

eaeaieaea

ieaiea

ieaiea

Yine Cramer kuralı kullanılıp gerekli sadeleştirmelerden sonra

)sin(

)sin()cos()cos(

14133

14121221413

2

1331412

2

122

2

1441

13

a

aaaa

A

A

)sin(

)sin()cos()cos(

14134

1312122

2

1331312

2

1221413

2

1442

14

a

aaaa

A

A

C noktasının konum, hız ve ivmesi: )(

321312

ii

C ebear

)(

1331221312

ii

C iebieav

)(2

133

)(

133

2

12212213131212

iiii

C ebiebeaieaa

Not: Cramer kuralı her ne kadar tek devre denklemine sahip mekanizmalar için

kullanılabiliyor olsa da determinant hesapları oldukça fazla çaba gerektiriyor. Özellikle devre

denklem sayısı arttığında hesap maliyeti daha da artacaktır. Bu bakımdan sayısal çözüm

kaçınılmazdır.



SAYISAL ÇÖZÜM

Önceki konuda, krank biyel ve dört çubuk mekanizmalarının hız ve ivme analizleri analitik yöntemlerle bulundu. Kullanılan metot, çok basit mekanizmalar için bir miktar uğraşıdansonra bir çözüm verebilir. Fakat kompleks yapıdaki bir çok mekanizma için analitik çözüm

bulmak çok zordur. Bu maksatla, MATLAB kullanarak sayısal çözüm yapılabilir.

Örnek: Konum analizinde kullandığımız dört çubuk mekanizmasının hız ve ivme analizlerinisayısal olarak yapalım. Krank kolunun sabit 2 rad/s açısal hızla döndüğünü kabul edelim. Budurumda krankın açısal hızı sıfırdır.

Konum denklemlerini tekrar gözönüne alalım.

1441133122 coscoscos aaaa (1)

144133122sinsinsin aaa (2)

Bu iki denklemin birinci türevleri alınarak hız devre denklemleri

141441313312122 sinsinsin aaa (3)

141441313312122 coscoscos aaa (4)

ve ikinci türevleri alınarak da ivme devre denklemleri elde edilir.

14

2

1441414413

2

1331313312

2

12212122 cossincossincossin aaaaaa (5)

14

2

1441414413

2

1331313312

2

12212122 sincossincossincos aaaaaa (6)

Hız ve ivme analizlerini yapabilmek için konum analizinin yapılması gerekir. Konumdenklemleri (1-2), konum değişkenlerine göre nonlineerdir. Dolayısıyla, konum analizikonusunda MATLAB’da daha önce yaptığımız analizi aynen tekrarlayabiliriz. Bunun için (1-

2) denklemlerini, sol tarafı sıfır olacak şekilde yeniden yazabiliriz.

0coscoscos),( 144113312214131 aaaa f (1’ )

0sinsinsin),( 14413312214132 aaa f (2’ )



clc

clear all

% teta12 açısını oluşturup teker teker programa gönderelim

teta12=[0:2*pi/360:2*pi]';

for i=1:361

aci(i,:)=fsolve(@(aci) dortcubuk(aci,teta12(i)),[50*pi/180,100*pi/180]);

clc

end

for i=1:361

ahiz(i,:)=fsolve(@(ahiz) dortcubukv(ahiz,teta12(i),aci(i,1),aci(i,2)),[1,1]);

clc

end

for i=1:361

aivme(i,:)=fsolve(@(aivme) dortcubuka(aivme,teta12(i),aci(i,1),aci(i,2),ahiz(i,1),ahiz(i,2)),[0,0]);

clc

end

WAAo=[0,0,5];

for z=1:361

RAAo=[4*cosd(z),4*sind(z),0];

VA1=cross(WAAo,RAAo);

WBA=[0,0,ahiz(z,1)];

RBA=[10*cos(aci(z,1)),10*sin(aci(z,1)),0];

VBA1=cross(WBA,RBA);

VB1=VA1+VBA1;

for q=1:3

VA(z,q)=VA1(1,q);

VBA(z,q)=VBA1(1,q);

VB(z,q)=VB1(1,q);

end

end



function F=dortcubuk(aci,teta12)

% Boyutları tanımlayalım [cm] cinsinden

a1=12; a2=4; a3=10; a4=7;

% teta13=x(1) ve teta14=x(2) olmak üzere

F=[a2*cos(teta12)+a3*cos(aci(1))-a1-a4*cos(aci(2))

a2*sin(teta12)+a3*sin(aci(1))-a4*sin(aci(2))];

function F=dortcubukv(ahiz,teta12,aci1,aci2)


a1=12; a2=4; a3=10; a4=7;w=5;


F=[-a2*w*sin(teta12)-a3*ahiz(1)*sin(aci1)+a4*ahiz(2)*sin(aci2)

a2*w*cos(teta12)+a3*ahiz(1)*cos(aci1)-a4*ahiz(2)*cos(aci2)];

function F=dortcubuka(aivme,teta12,aci1,aci2,ahiz1,ahiz2)


a1=12; a2=4; a3=10; a4=7;w=5;


F=[-a2*w^2*cos(teta12)-a3*aivme(1)*sin(aci1)-a3*ahiz1^2*cos(aci1)+a4*aivme(2)*sin(aci2)+a4*ahiz2^2*cos(aci2)

-a2*w^2*sin(teta12)+a3*aivme(1)*cos(aci1)-a3*ahiz1^2*sin(aci1)-a4*aivme(2)*cos(aci2)+a4*ahiz2^2*sin(aci2)];

Documents

MAKİNE DİNAMİĞİ_III.pdf