MAKALAH KALKULUS 1

TURUNAN tingkat tinggi dan turunan

fungsi implisit

Oleh;

Siti Nurohmah (21401071094)

Siti andriani (21401072095)

Syam Wiji Astuti (21401071096)

Siti mamluatun nikmah (21401072097)

UNIVERSITAS ISLAM MALANG

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MATEMATIKA

2014

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang yang telah

memberikan segala hidayah, rahmat dan kemudahan pada penulis dalam penyusunan makalah

yang berjudul “turunan tingkat tinggi dan turunan fungsi implisit” sehingga dapat terselesaikan

tepat pada waktunya. Sholawat dan salam tak lupa tetap tercurahkan kepada jujungan Nabi

Akhir zaman Nabi Muhammad SAW. Yang ditunggu safaatnya besok dihari kiamat kelak.

Dalam penyusunan makalah ini tidak lepas dari dukungan, doa, motivasi, bantuan baik

material maupun non material dari beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan banyak

terimakasih , diantaranya kepada Ibu Dra. Sunismi M.Pd Selaku dosen pembimbing mata kuliah

Kalkukus I, Bapak dan Ibu , teman-teman seperjuangan, serta pihak-pihak lain yang tidak dapat

penulis sebut satu per satu. Selain itu, makalah ini juga disusun dari referensi-referensi seperti

buku-buku pendukung dan bahan dari internet.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari

kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan

demi perbaikan dan kesempurnaan makalah ini.

Malang, 09 Desember 2014

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR............................................................................................................. i

DAFTAR ISI ............................................................................................................................ ii

BAB I : PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ............................................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................................ 1

1.3 Tujuan .......................................................................................................................... 1

BAB II : PEMBAHASAN

2.1 Pengertian turunan tingkat tinggi.................................................................................. 2

2.2 Lambang turunan.......................................................................................................... 2

2.3 Bentuk umum turunan................................................................................................... 3

2.4 Pengertian Turunan Fungsi Implisi............................................................................... 6

2.5 cara menyelesaikan fungsi implicit…………………………………………………….. 6

Turunan pertama fungsi implicit……………………………………………… 8

Turunan kedua fungsi implisit ......................................................................... 9

BAB III : PENUTUP

3.1 Kesimpulan................................................................................................................... 11

3.2 Saran............................................................................................................................. 11

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................... 12

i

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kita telah mengetahui bahwa matematika sangat banyak ditemui dalam kehidupan kita dan

salah satu yang dibahas dalam metematika adalah turunan tingkat tinggi dan fungsi implisit.

Penulis mengangkat makalah tentang “Turunan Tingkat Tinggi dan turunan fungsi impisit”

karena penulis mengetahui dalam matematika khususnya pada mata kuliah kalkulus materi ini

sangat sulit dan membutuhkan pemahaman yang lebih untuk memahami Turunan Tingkat Tinggi

dan fungsi implisit ini.

1.2 Rumusan masalah

Dari pembahasan yang ada , maka kita dapat menarik beberapa rumusan masalah . Yang

diantaranya adalah sebagai berikut :

1. Apa pengertian Turunan Tingkat Tinggi?

2. Apa saja macam – macam lambang turunan?

3. Bagaimana aturan mencari turunan ke – n di satu titik?

4. Apakah yang dimaksud dengan fungsi implisit ?

5. Bagaimana cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit ?

1.3 Tujuan Pembahasan

Tujuan dari dibentuknya makalah dengan judul turunan fungsi implisit dan grafiknya ini antara

lain adalah sebagai berikut :

a. Memahami apa yang dimaksud dengan Turunan Tingkat Tinggi.

b. Mengetahui macam – macam lambang turunan.

c. Mengetahui aturan mencari bentuk umum ke - n

d. Untuk memberikan pengetahuan kepada para pembaca tentang turunan fungsi implicit .

e. Untuk memberikan pengetahuan tentang penyelesaian soal-soal yang berkaitan dengan turunan

fungsi implisit .

i

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian turunan tingkat tinggi

Turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari f, yaitu

f′ jika fungsi f′ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh

fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan lambang f″. Secara

umum turunan ke-n dari fungsi f , ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara

menghitung turunan dari fungsi f(n-1), n = 1, 2, 3, … , dengan f(0)(x) = f(x). Sebagai contoh,

f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 8

Maka

f′(x) = 6x2 – 8x + 7

f″(x) = 12x – 8

f‴(x) = 12

f″″(x) = 0

Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan

nol.

2.2 Lambang Turunan

Lambang turunan ke -n dari fungsi f dapat ditulis dengan berbagai cara, yaitu sebagai

berikut.

TurunanNotasi

y′

Notasi

f′

Notasi

LeibnizNotasi D

Pertama y′ f′(x)dydx

Dxy

Kedua y″ f″(x)d2 yd x2 D x

2y

Ketiga y‴ f‴(x)d3 yd x3 D x

3 y

Keempat y″ ″ f″″(x)d4 ydx4 D x

4 y

Kelima y(5) f(5)(x)d5 ydx5 D x

5 y

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

i

Ke-n y(n) f(n)(x)dn ydn D x

n y

Catatan : Aturan fungsi f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f.

Contoh :

1. y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2 d3y/dx3 = ……?

dy/dx = 18 x2 + 24 x + 5

d2y/dx2 = 36x + 24.

d3y/dx3 = 36

2. y = sin 2x, d4y/dx4 = ……?

dy/dx = 2 cos 2x,

d2y/dx2 = -4 sin 2x,

d3y/dx3 = -8 cos 2x,

d4y/dx4 = 16 sin 2x.

2.3 Bentuk Umum Turunan ke - n

Dari aturan f(n) untuk sejumlah berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu

bentuk umum dari f(n). Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh

tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut.

Contoh 1. Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xm, m bilangan asli.

Jawab: Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah

f′(x) = m xm-1

f″(x) = m (m-1 ) xm-2

f‴(x) = m(m-1) (m-2) xm-3

Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n

= m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n

Contoh

y = x6 y(4)..?

y(4) = 6.5.4.3.x2 = 360 x2

Contoh 2. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = sin x.

i

Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari fungsi f, kemudian nyatakan

hasilnya sebagai fungsi dari sinus lagi, maka diperoleh hasil sebagai berikut.

f′(x) = cos x = sin (x + 12

π)

f″(x) = -sin x =sin (x + π)

f‴(x) = -cos x = sin (x + 112

π)

f″′′(x) = sin x = sin (x + 2π)

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

f(n)(x) = sin (x + n12

π) = sin (x + 12

nπ).

Contoh 3. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = 1

1+2x

Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri

dari setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya.

f(x) = (1 + 2x)-1

f′(x) = -(1 + 2x)-2 (2) = -2(1 + 2x)-2 = (-1)-1.1!.2!.(1 +2x)-2

f″(x) = 4(1 + 2x)-3(2) = 8(1 + 2x)-3 = (-1)2.2!.22.(1 + 2x)-3

f‴(x) = -24(1 + 2x)-4(2) = -48(1 + 2x)-4 = (-1)3.3!.23.(1 + 2x)-4

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah

f(n)(x) = (-1)n.n!.2n.(1 + 2x)-(n+1), n = 1, 2, 3, …

Catatan bila didefenisikan 0! = 1, maka bentuk umum turunan ke- n ini berlaku juga untuk n =

0, karena

f(0)(x) = (-1)0.0!.20.(1 + 2x) -(0+1) = (1 + 2x) -1 = 1

1+2 x

Contoh 4. Tentukan bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f(x) = 1

√1−x

Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi f, kemudian

cermatilah ciri spesifik setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya.

f(x) = (1 – x) -1/2

f′(x) = -12

(1 – x) -3/2 (-1) = 12

(1 – x) -3/2

f″(x) = - 12

. 32

(1 – x) -5/2 (-1) = 34

(1 – x) -5/2

f‴(x) = - 34

. 52

(1 – x) -7/2 (-1) = 158

(1 – x) -7/2 = 1.3.5 .

23 (1 – x) -7/2

i

f″″(x) = 1.3.5 .7

24 (1 – x) -9/2(-1) = 1.3.5 .7

24 (1 – x) -9/2

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah

f(n)(x) = 1.3.5 .7… (2 n−1)

2n (1 – x)- (2n + 1)/2

= (2n−1 ) !

2n (1 – x)-(2n+1)/2, n = 1, 2, 3, …

Aturan leibinz

Contoh :

1. Y = X4 (3x + 5)3 Y(4) (pakai aturan LEIBNIZ)

Penyelesaian :

Misalkan : u = x4 dan v = (3x + 5)3

Y(4) = (4

0) u(4 ) v(0 ) + (4

1) + u(3 ) v (1 )

(42) u(2 ) v(2 ) + (4

3) + u(1) v (3 ) + (4

4) + u(0) v (4)

U = x v = (3x+5)3

U(1) = 3x3 v(1) = 9 (3x+5)2

U(2) = 12x2 v(2) = 54 (3x+5)

U(3) = 24x v(3) = 162

U(4) = 24 v(4) = 0

(40) = 4 !

0 ! (4 − 0 ) != 1 .

(41) = 4 ( 4

3) = 4 ( 4

2) = 6 (4

4) = 1

Y(4) = 1.24. (3x5)p + 4 (24x) {9(3x+5)}+

i

Jika Y = u.v y(n) = …

Y(1) = u’v + uv’

Y(2) = u’’v + u’v’ + u’v’ + uv’’

= u’’v + 2u’v’+uv’’

y(n) = ∑k=o

n

[nk ] u (n−k ) v( k ) ; n = 1,2,3 , .. .. . .. .. .. .

u(0) = u dan v(0) = v aturan LEIBNIZ

aturan LEIBNIZ

6.12x2 {54(3x+5)} + 4.4x3 . 162 + 1.x4

= 27216 x3 + 28600 x x2 + 27000 x + 3000

2.4 Pengertian Turunan Fungsi Implisit

Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x,y)=0. dengan y sebagai

fungsi dalam x.

Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara

peubah bebas dan tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka di

katakana fungsi implisit. Dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x,y) = 0.

Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh :

a. Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah

menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah

dibicarakan yaitu :

ddx ( y )

= ddx ( f ( x ))

Contoh :

-2xy + x² - 1 = 0 (implisit)

y = x2−12x

(eksplisit)

b. Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi

eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan

dibahas berikut ini.

2.5 cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit.

Dalam menentukan turunan fungsi implsit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan

dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunanya. Namun tidak

semua fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara

menurunkanya fungsi dalam bentuk implisit berikut.

Contoh 1 :

i

Tentukan dydx

bila y-4x+2xy = 5

Jawab :

Bentuk fungsi dapat di ubah menjadi eksplisit , y =4 x+51+2 x

. digunakan aturan penurunan

didapatkan,

dydx

=−6¿¿

Contoh 2 :

tentukan dydx

dari fungsi yang dirumuska dengan y−2 x2−8=0

Penyelesaian :

Apabila kedua ruas y−2 x3−8=0 , diturunkan terhadap x, maka diperoleh: dydx

−6 x2=0

dydx

=6 x2.

Contoh 3 :

Tentukan dydx

dari fungsi yang dirumuskan dengan 2 x3 y−7 y−x2+1=0

Penyelesaian

Apabila kedua ruas 2 x3 y−7 y−x2+1=0 , ditiurunkan terhadap x,

maka akan diperoleh :

6 x2 y+2 x3 dydx

−7dydx

−2 x=0

dydx

(2 x3−7 )=2 x−6 x2 y

dydx

=2 x−6 x2 y2 x3−7

Contoh 4 :

tentukannilaidydx

di x=1 , bila y−4 x+2 x2 y2=−3

Jawab :

Turunan dari fungsi diatas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi implsit.

Turnan dari x dan y berturut-turut di nyatakan dengan dx dan dy. Bila dalam satu suku terdapat

i

dua peubah (x dan y) maka kita lakukan secara bergantian, bisa terhadap x dahulu baru ke-y atau

sebaliknya. Hasil turunan dydx

akannampak bila masing−masingruas dibagi ole h dx .

y−4 x+2 x2 y2=−3

dydx

−4+4 x y2+4 x2 ydydx

=0 ( ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan dx )

dydx

=4−4 x y2

1+4 x2 y

Subsitusi x=1, ke fungsi didapatkan 2 y2+ y−1=0atau y=12

dan y=−1

untuk (1,-1), dydx

=0

Untuk ( 1,1/2), dydx

=1.

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT

Dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama diturunkan (di

deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x. ddx

f (x,y) = ddx

(0).

Turunan ruas kiri akan mengandung dxdy

dengan penyelesaian lebih lanjut akan didapatkan nilai

dxdy

.

Contoh 5 :

Tentukan dydx

dari fungsi implisit x2y + 2xy2 + 3 = 0

Penyelesaian :

ddx

(x2y) + ddx

(2xy2) + ddx

(3) = ddx

(0)

Untuk mempermudah penyelesaian dicari turunan masing-masing Suku:

1.ddx

(x2y) = ddx

(x2) . y + ddy

(y). dydx

x2

= 2xy + x2 dydx

.

2. ddx

(2xy2) = ddx

(2x) . y2 + ddy

(y2). dydx

2x

i

= 2y2 + 2y.dydx

. 2x

= 2y2 + 4xydydx

.

3.ddx

(3) = 0 dan ddx

(0) = 0.

2xy + x2 dydx

+ 2y2 + 4xy dydx

= 0

dydx

=−2 y (x+ y )

x(x+4 y )

Contoh 6:

Carilah dydx

jika 4 x2−3 y=x3−1.

Penyelesain

Cara 1, kita dapat menyelesaiakn persamaan yang diberikan secara eksplisit untuk y sebagai

berikut.

y (4 x2−3 )=x3−1

y= x3−14 x ²−3

Jadi,

dydx

=( 4 x2−3 ) (3 x2 )−(x2−1)

¿¿

Cara 2, diferensiasi imlplisit kita menyarankan turunan-turunan kedua ruas dari:

dydx

( 4 x2 y−3 y )=dydx

( x3−1)

Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama . kita peroleh :

4 x2 .dydx

+ y .8x−3dydx

=3 x2

dydx

( 4 x2−3 )=3 x2−8 xy

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

.

Kedua jawaban ini terlihat berbeda , untuk satu hal, jawaban diperoleh dari metode 1 hanya

melibatkan x , sedangkan dari jawaban metode 2 melibatkan x dan y . ingatlah meskipun

demikian, bahwa persamaan asli dapat diselesaikan untuk y dalam x untuk memberikan y=

i

x3−14 x2−3

. ketika kita mensubstusi y = x3−1

4 x2−3 kedalam persamaan untuk mendapatkan

dydx

, kita

memperoleh hasil berikut:

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

=3 x2−8 x

x3−14 x2−3

4 x2−3

¿ 12 x4−9 x2−8 x4=8 x¿¿

TURUNAN KE-DUA FUNGSI IMPLISIT

Jika turunan pertama f (x,y) = 0 ada dan turunan ini di turunkan lagi

Dengan pengertian y adalah fungsi x maka turunan ini disebut turunan ke-2 dari f (x,y) = 0

Contoh :

Tentukan d2y/dx2dari fungsi di bawah ini !

1. x2 + xy – y = 0

d/dx (x2) + d/dx (xy) – d/dx (y) = 0

2x + d/dx (x) . y + d/dy (y) .dy/dx .x – d/dy . (y) dy/dx

2x + y + x dy/dx – dy/dx = 0

dy/dx = - 2x - y

x-1

d/dx (2x)+ d/dy(y)dy/dx+ d/dx (x) dy/dx+ d/dx (dy/dx).x– d/dx(dy/dx) = 0

2 + dy/dx +dy/dx + x.d2y/dx2 – d2y/dx2 = 0

2 + 2(- 2x - y ) + d2y/dx2 (x-1) = 0

x - 1

d2y/dx2 = - 2 +4x+2y

(x-1)2

2. x + xy + y – 2 = 0

d/dx (x) + d/dx (xy) + d/dx (y) = 0

1 + y + x .dy/dx + dy/dx = 0

1 + y + (x+1) dy/dx = 0

dy/dx = - 1 - yi

x + 1

d/dx (0) + dy/dx + d/dx (dy/dx) . (x+1) + d/dx (x+1) .dy/dx = 0

dy/dx + d2y/dx2 (x+1) + dy/dx = 0

2 (dy/dx) + d2y/dx2 (x+1) = 0

2 ( -1 – y ) + d2y/dx2 (x+1) = 0

x + 1

d2y/dx2 = 2 + 2y

(x + 1)2

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Pada turunan tingkat tinggi bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n

= m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n

Fungsi implisit ialah secara umum dapat ditulis sebagai f(x.y) =0 dengan y sebagai fungsi dalam

x.

Turunan pertama fungsi implicit dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama

diturunkan (di deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x

. ddx

f (x,y) = ddx

(0).

i

3.2 Saran

penulis menyarankan kepada pembaca terutama untuk mahasiswa matematika agar

memahami isi dari makalah ini. Makalah yang penulis susun masih jauh dari sempurna

maka penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca agar penulis

dapat membuat makalah yang lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Martono,Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta : Erlangga.

Purcell, dkk. 2004. Kalkulus Edisi kesembilan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Download; Matematika Dasar. Danang Mursita. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom : Bandung

Sunismi. 2001. Kalkulus 1. Malang: Universitas Islam Malang.

i