Upload
auristariris
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
1/30
I. PENDAHULUAN
Ditinjau secara Kuantum, statistika dibagi menjadi dua yaitu Statistika Fermi-Dirac
dan Bose-Einstein, salah satu perbedaan dari keduanya adalah pemenuhan Larangan Pauli,
dimana Bose-Einstein tidak memenuhi kaidah larangan pauli, sedangkan Fermi-Dirac
memenuhi Larangan Pauli Kita perkenalkan !ungsi distribusi Fermi-Dirac dan Bose-Einsten
yaitu,
( )"e#p
"
+
+
=
kT
f
$F-D% dan
( )"e#p
"
+
=
kT
f
$B-E%
dimana kadalah konstanta Bolt&mann, T adalah temperatur, adalah energi, dan adalah
potensial kimia
I.1 Statistika Fermi-Dirac (F-D)
Statistik Fermi-Dirac memenuhi prinsip Larangan Pauli hal ini berhubungan dengan
teori spin-statistik yang menyatakan bah'a partikel !ermion mempunyai spin separuh
bilangan bulat (ontoh-contoh partikel !ermion antara lain) elektron, proton, dan neutron
Karena masing-masing keadaan kuantum hanya dapat ditempati paling banyak satu elektron
Dari pernyataan ini maka diperoleh peluang termodinamikanya yaitu
( )***
"iii
is
iDF
NgN
gW
==
. $"%
dimana,Ni=Jumlah partikel yangmengisi padatingkat kei
WFD=Peluang Keadaan Makrountuk FermiDirac
S=Banyaknyatingkat keadaan
Selanjutnya untuk memperoleh Entropi, kita ambil nilaigi danNi1 Dengan
menggunakan pendekatan Stirling, kita peroleh Entropi dari Fermion yaitu,
S=klnWk=k $+%
Penjelasan Slide dan
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
2/30
Karena kita anggap sistem terjadi !luktuasi jumlah partikel maka untuk memperoleh Fungsi
Partisi .rand Kanonik perlu ditambahkanzN, maka dapat ditulis
( ) ( )
=
=/
,,,N
N
N TVzTVzQ
$%
dengan
( )
=n
n
nNi
ii
egTV
,
, maka
( )
=
=
/
,,N n
n
n
N iii
egzTVzQ
untuk Fermi-Dirac,gn0 " dan mende!inisikan
=i
inN
, maka diperoleh
( ) ( )
+
=/
,,N n
n
ii
iizeTVzQ
dimanazadalah Fungsi Fugasi yaitukTez
= 1ika diekspansikan dapat dituliskan,
( ) ( ) ( ) =/ "
""
//,,
n n
nn
zezeTVzQ
Sehingga diperoleh
( ) ( )
=
n
n
i
izeTVzQ
,,
$a%
Karena statistik Fermi-Dirac memenuhi Ekslusi Pauli, dimana n hanya bernilai / dan "
Sehingga diperoleh
( ) ( )izeTVzQi
+= ",,
$b%
1ika ditulis dalam logaritmik
Penjelasan Slide 2 dan 3
Penjelasan Slide 4
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
3/30
( +=i
izeQ "lnln
$c%
I.2 Statistik Bose-Einstein (B-E)
Penamaan Statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bah'a partikel
yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrinsik $spin%
bulat Partikel jenis ini tidak diatur oleh Larangan Pauli, sehingga setiap partikel dapat berada
pada tingkat energi yang sama (ontoh dari partikel Boson adalah !oton dan !onon Karena
Statistik Bose-Einstein tidak memenuhi Larangan Pauli maka peluang termodinamikanya
dapat ditulis,
( )( )*"*
*"
" +=
=ii
iis
iEB
gN
NgW
$2%
denganNi0 jumlah partikel yang mengisi pada tingkat ke-i
5B-E0 peluang keadaan makro untuk statistik Bose-Einstein
S 0 banyaknya tingkat keadaan
Sebagaimana pada Statistik F-D, dalam Statistik B-E juga mengambil nilai gi , Ni66 " dan
menggunakan aproksimasi Stirling, diperoleh Entropi untuk Statistik B-E yaitu,
=
i i
ii
i
ii
g
Ng
N
gNkS "ln"ln
$3%
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan a dapat diperoleh !ungsi partisi grand kanonik
untuk B-E Karena statistik B-E tidak memenuhi Larangan Pauli, maka nilai ndapat bernilai
/, ", +, , dst Sehingga persamaan a dapat ditulis,
( ) ( ) ( ) ( ) ++++= +"",, iii zezezeTVzQi
$7%
dimana
kTez
= Selanjutnya dengan menggunakan deret Polinomial yang berbentuk,
Penjelasan Slide 7
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
4/30
++++=
+"
"
"xxx
x
8aka !ungsi partisi untuk Bose-Einstein dapat dituliskan,
( ) ( ) "",, = izeTVzQi
$4a%
1ika ditulis dalam bentuk logaritmik
( =i
izeQ
"lnln
$4b%
9erlihat bah'a statistik B-E dan F-D memiliki bentuk !ungsi partisi yang berbeda
Perbedaan ini timbul karena adanya kaedah Larangan Pauli Larangan Pauli menyebutkan
bah'a tidak boleh ada dua atau lebih partikel yang menempati tingkat energi yang sama Dari
kedua statistik ini yaitu B-E dan F-D, statistik F-D memenuhi larangan Pauli sedangkan
statistik B-E tidak memenuhi larangan Pauli
II. PERSAAAN !EADAAN "AS IDEAL FERI
:ntuk melihat salah satu aplikasi mekanika statistik maka akan dibahas gas ideal
!ermi .as ideal !ermi adalah kumpulan !ermion bebas ;dapun ungkapan dari persamaan
keadaan dari !ermion adalah sebagai berikut,
:ngkapan !ungsi grand partisi untuk !ermion, yaitu
( ) ( izeTVzQi
+= ",,
< $"%
!ungsi grand partisi dapat juga ditulis dalam bentuk
kTPV
G eQZ ===
< $+%
sehingga,
< $%
Penjelasan Slide >>>
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
5/30
:ntuk menentukan secara eksplisi !ungsi grand partisi pada persamaan $% kita
mengganti tanda penjumlahan dengan integral terhadap ?ariable momentum :ntuk maksud
tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan diskrit menjadi kontinu sebagai berikut,
< $%
Dengan menggunakan $% maka $% menjadi,
< $2%
1umlah rata-rata sistem
< $3%
kita dapat menulis,
< $7%
Dengan demikian, jumlah rata-rata system dapat ditulis sebagai,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
6/30
< $4%
Dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan dua persamaan utama, yaitu
< $@%
;gar lebih sederhana, dide!inisikan panjang gelombang termal sebagai berikut,
< $"/%
Dengan de!inisi $"/% maka persamaan $@% dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana
sebagai berikut,
< $""%
di mana,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
7/30
< $"+%
< $"%
:ntuk & yang sangat kecil makaf3 /2(z ) pada persamaan $"% dapat diuraikan dalam deret
taylor disekitar & 0 /, :raian tersebut adalah,
< $"%
Sebaliknya, pendekatan untuk & yang besar dilakukan proses berikut,di de!inisikan
= /k! , karena =( " #" N)$ %! maka,
< $"2%
Dengan demikianf3 /2(z ) dapat ditulis sebagai,
< $"3%
Selanjutnya dengan mengganti ?ariabel &2=y sehingga &=y dan &=
1
2y1/2
dy ,
dengan demikian persamaan $"3% mengambi bentuk,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
8/30
< $"7%
:ntuk menyelesaikan integral pada persamaan $"7% secara parsial dan diperoleh,
< $"4%
Suku pertama di ruas kanan persamaan $"4% adalah nol sehingga,
< $"@%
Selanjutnya kita uraikan y3/2
dalam deret taylor disekitar dan didapat,
< $+/%
Dengan demikian
< $+"%
< $++%
a. S#$# tin%%i &an kera'atan ermion ren&a$
Pada suhu tinggi laju partikel sangat besar sehingga panjang gelombang de Broglie
sangat kecil Pada kerapatan rendah jarak antar partikel sangat besar sehingga ?olum yang
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
9/30
ditempati per partikel besar ;kibatnya pada kondisi suhu tinggi dan kerapatan !ermion
rendah terpenuhi,
< $+%
9etapi'
3
=f
3 /2(z ) sehingga pada kondisi ini f3 /2(z ) menuju / yang menandakan &
menuju / Dengan demikian, berdasarkan persamaan $++%, dapat dilakukan aproksimasi
f3 /2(z ) menuju pada & menuju /, yaitu
< $+%
atau
< $+2%
:ntuk mencari & dilakukan operasi rekursi! sebagai berikut Dari persamaan di atas,
< $+3%
Pendekatan pertama untuk & adalah hanya mengambil suku pertama saja, yaitu
Ailaiz
1 disubstitusikan pada & dalam persamaan $+3% untuk mendapatakan
pendekatan yang lebih teliti untuk &, yaitu
< $+7%
Selanjutnya kita mendapat kan jumlah rata-rata system pada keadaan energi ke-i , yaitu
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
10/30
< $+4%
8engingat (=1/k! dan ketika 9 C terjadi ze( i1 , maka
< $+@%
yang merupakan distribusi 8a#'ell-Boltmann $partikel klasik% ni berarti pada suhu tinggi
dan kerapatan rendah !ermion berperilaku sebagai partikel klasik Ketika membahas !ermion
pada suhu tinggi dan kerapatan rendah sebenarnya kita dapat langsung menggunakan statsitik
klasik, yaitu 8a#'ell -Bolt&mann, untuk menghindari kerumitan statistik Fermi-dirac
Persamaan keadaan dapat diperoleh sebagai berikut,
< $/%
;tau
< $"%
Suku kedua di sebalah kanan sangat kecil sehingga praktisP$
k! )1
yang merupakan
persamaan keadaan gas ideal klasik
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
11/30
. S#$# ren&a$ &an kera'atan ermion tin%%i
:ntuk kondisi ini berlaku '3/ 1 sehingga dapat digunakan aproksimasi
< $+%
;mbil satu suku diruas kanan sebagai aproksimasi dan samakan dengan '3/ sehingga,
atau
< $%
8engingat z * e( F
maka,
< $%
9etapi'=(2 +mk!)
1/2
sehingga,
atau
< $2%
1umlah sistem yang menempati keadaan energy ke-i adalah
< $3%
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
12/30
1ika,i,F maka ketika ! -0 atau ( - . terjadi ni )0
II.1 APLI!ASI SIS*E "AS IDEAL FERI PADA BIN*AN" !A*AI PU*IH
Bintang katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hydrogen
9idak ada reaksi !usi lebih lanjut 8ateri penyusun bintang hanyalah helium Sumber energi
bintang semata-mata karena energi gra?itasi yang berasal dari kontraksi bintang secara
perlahan -lahan Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang tampak putih
remang -remang (ontoh bintang ini adalah pengiring Sirius Binatng ini tidak tampak olehmata karena terlalu redup tetapi secara periodik menutup Sirius Bintang ini dan Sirius
berotasi mengelilingi pusat massa keduanya
Perkiraan besaran-besaran !isis bintang katai putih adalah
Kerapatan )1010
kg=m )1010
/M
8assa )1030
kg) MM
Suhu pusat )107
K) !M
Suhu sebesar 107
K berkaitan dengan energi sebesar k! )1,3&1016
J )103
e$
Pada suhu ini semua atom helium terionisasi Bintang katai putih dapat dipandang sebagai
kumpulan inti helium dan electron-elektron yang berberak bebas
Berdasarkan data kerapatan bintang kita dapat memperkirakan jumlah atom helium
per satuan ?olum 8assa atom helium adalah 4& (1,67&1027
kg ))6& 1027 kg 0 1umlah
atom helium per satuan ?olum adalah
Satu atom helium menyumbang dua electron Dengan demikian, kerapatan electron adalah
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
13/30
Kerapatan ini melahirkan energi !ermi sebesar
9ampak bah'aF energi termal Dengan demikian dapat dikatakan bah'a dalam
bintang katai putih, electron menempati tingkat-tingkat energi paling dasar, jauh di ba'ah
energi !ermi Keadaan ini sangat mirip dengan assembli electron yang berada pada suhu
mendekati nol 1adi meskipun suhu bintang katai putih sangat tinggi, tetapi kerapatan yang
luar biasa tinggi menyebabkan energi !ermi sangat besar Energi yang dimiliki electron
sangat jauh di ba'ah energi !ermi Dari si!at ini kita dapat lakukan idealisasi sebagai berikut,
a Bintang katai putih adalah assembli A elektron pada keadaan dasar dengan kerapatan
sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara relati?istic
b Elektron bergerak dalam background A=+ buah inti helium yang melakukan gaya
gra?itasi sehingga seluruh system menyatu membentuk binatng
;da tiga mekanisme yang harus diperhitungkan secara bersama pada bintang katai putih,
yaitu,
a 9ekanan electron akibat ekslusi Pauli
b ukum gra?itasi
c Dinamika relati?istic
Energi total relati?istic yang dimiliki electron adalah
Energi assembli gas !ermi pada keadaan dasar adalah
Faktor + dimasukkan karena tiap tingkat energi ditepati dua electron dengan arah spin
berla'anan Penjumlahan dia atas dapat diganti dengan integral dengan terlebih dahulu
melakukan trans!ormasi sebagai berikut
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
14/30
1adi,
:ntuk menyelesaikan integral diatas dimisalkan
Dengan pemisalan diatas maka persamaan menjadi,
Energi rata-rata yang dimiliki tiap electron adalah
dengan
Dengan,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
15/30
8isalkan massa total bintang 8 dan jari-jarinya maka
Karenamn) mp dan
memp maka
;tau
Dengan
9ekanan yang dilakukan oleh gas Fermi adalah
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
16/30
Dengan
1adi didapatkan,
:ntuk kasus nonrelati?istic1F1
:ntuk kasus relati?istic1F1
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
17/30
Dengan
Plot Posebagai !ungsi untuk kondisi nonrelati?istk dan relat?isitik tampak pada gambar
berikut,
.ambar " Kebergantungan tekanan pada jari -jari bintang untuk kasus relati?istik dan
nonrelati?istik
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
18/30
III. S*A*IS*I! B+SE-EINS*EIN (B-E)
III.1 Persamaan !ea&aan "as I&ea, B-E
Fungsi partisi grand kanonik mempunyai hubungan dengan tekananP, ?olume V, dan
temperatur T ubungan ini dapat dituliskan dalam ungkapan berikut,kTPV
eQ =
=$"%
maka diperoleh persamaan berikut,
( ) =p
pzekT
PV "ln
$+%
dan
=
=p
p
p
ze
zeQ
zzN
"ln
$%
dengan0kT
"
, kadalah konstanta Blot&mann dan padalah energi setiap partikel yang
memiliki momentump :ntuk gas ideal B-E, persamaan + dan berbeda saatz ", hal
ini berkaitan dengan ' 0 / Dengan mengganti bentuk penjumlahan menjadi bentuk
integral diperoleh persamaan keadaan untuk gas ideal B-E yaitu,
( ) ( )
=/
+=+
"ln
""ln
- +z
Vdpzep
hkT
P mp
$a%
Penjelasan Slide "" dan -2
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
19/30
( )
+
=
/+="
+
"
"
"
-"+
z
z
Vez
dpp
h mp
$b%
dimana 0 V=N Di sini diperkenalkan !ungsi B-E yaitu,
( ) ( )
=
==/ "
+=2
++=2
+"ln-
x
zdxzexzg
$2a%
( ) ( )
=
=
="
+=+=2+=
zzg
zzzg
$2b%
dengan meman!aatkan !ungsi B-E ini, persamaan keadaan di atas dapat dituliskan
menjadi
( )( )z
V
zg
kT
P = "ln"
+=2
$3a%
( )
( )z
z
V
zg
+=
"
""
+=
$3b%
dimana!0
mkTh += :ntukzGG " persamaan keadaan gas ideal B-E dapat ditulis
( )
+=2
zg
kT
P=
$7a%
( )+="
zg=
$7b%
Energi internal dari gas ideal B-E dituliskan
T
QkT"
= ln+
$4%
dimana
kT
PVQ=ln
$@%
Sehingga diperoleh energi internal gas ideal B-E yaitu
( ) PVzgVkT
"+
+
+=2
==
$"/%
PV"+
=
Dari persamaan energi internal yang dituliskan pada persamaan "/, selanjutnya akan
dicari kapasitas kalor untuk gas ideal B-E Sebelum diperoleh kapasitas kalor, terlebih
dahulu dibahas hubungan antara persamaan 7a dan 7b Dari kombinasi kedua persamaan
tersebut diperoleh persamaan berikut,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
20/30
"
"
=
=
V
N#
NkT
PV
$""%
Bagian kanan dari persamaan "" disebut sebagai ekspansi ?irial dengan nilai #ada-lah
Kapasitas kalor dapat dide!inisikan sebagai
=Nk
PV
TNk
$V
+
$"+%
Sehingga diperoleh kapasitas kalor"
" +
2
+
=
=
V
V
N#
Nk
$
atau dapat dituliskan dalam bentuk deret
+
+
+
+=
+
///-,///33,//44-,/"+
V
N
V
N
V
N
Nk
$V
$"%
dimana!0
mkTh +=
, untuk T C kapasitas kalor pada persamaan "+ akan menjadi
yaitu
Nk$V+
=
Kapasitas kalor untuk tinjauan kuantum akan menjadi klasik saat
temperatur sistem sangat besar
III.2 !on&ensasi B-E
:ntuk mempelajari lebih detail tentang si!at-si!at persamaan keadaan B-E, kita harusmencari !ungsi Fugasi sebagai !ungsi dari temperatur dan ?olume spesi!ik Dengan
menggunakan persamaan 3b :ntuk menyelesaikan persamaan 3b terlebih dahulu kita
pelajari si!at-si!at dari persamaan B-E secara umum,
( )
=
="
n
n
zzg
$"%
9ampak bah'a untuk nilai z dari / sampai ", memberikan nilai gn$z% yang meningkat
secara positi! .ra!ik untukgn$z% dengan nilaizdari / sampai " ditunjukkan pada gambar
Penjelasan Slide 3-4
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
21/30
" Ailai aproksimasi persamaan B-E saatz0 " adalahgn$"% 0 +,3"+ Selanjutnya dengan
mende!inisikan rata-rata bilangan okupasi untuk le?el partikel tunggal dengan
momentum '0 / yaitu
( )zzn = "=/$"2%
persamaan 3b dapat ditulis menjadi
( )zgV
n+=
/
=
$"3%
nilaiV
n/
harus bernilai positi! maka
( )"+=
g>
$"7%
persamaan "7 menunjukkan bah'a nilai harus berhingga Fenomena ini disebut
sebagai Kondensasi Bose-Einstein
.ambar " .ra!ik antaragn$z% denganz
Selanjutnya kita akan melihat bah'a pada daerah ini, sistem dapat dinyatakan sebagai
gabungan dari dua !ase termodinamika, !ase pertama terdiri dari partikel-partikel yang
memiliki momentum ' 0 /, !ase yang kedua yaitu partikel-partikel yang memiliki
momentum 'H / Saatz0 " atau nilaign$"% 0 +,3"+ menunjukkan temperatur kritis T%,
sehingga dapat dide!inisikan
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
22/30
( )"+=
g% =$"4%
atau
( )( ) +
+=
+
"
+
gmkT%
=
$"@%
dimana 0 ?olume spesi!ik, m 0 massa partikel dan k0 konstanta Bolt&mann Dari
persamaan "4 dapat diperoleh ?olume kritis %saat temperaturnya Tyaitu
( )"+=
g%
=
$+/%
dalam !ungsi T%dan %daerah yang terjadi kondensasi adalah daerah dimana TG T%atau
& % Berikut ini gra!ik solusi untuk persamaan 3b,
.ambar + .ra!ik hubungan antara I=J denganz
dan gra!ik antara !ungsi Fugasizdengan J=Iditunjukkan pada gambar
.ambar .ra!ik !ungsi Fugasi untuk gas ideal B-E
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
23/30
.ra!ik pada gambar + dan dipenuhi untuk ?olume Vyang berhingga :ntuk kasus V
C kita peroleh,
( )
( ) ( )
=
=
",
","
+=
+=
+=
gzg#k#'#k#'
gz
$+"%
:ntuk
( ) ( )"=+=
g, nilaizhanya dapat diperoleh dengan numerik
Fungsi termodinamika yang lain untuk gas ideal Bose-Einstein ditunjukkan pada
persamaan ++, +, +, +2, dan +3 Dengan mempertimbangkan temperatur kritis T%dan
?olume kritis % terhadap temperatur mutlak T dan ?olume spesi!ik diperoleh
persamaan-persamaan termodinamika berikut,
( )
( )
>=
%%
%%
#(#)TTgkT
#(#)TTzgkT
N
"
,"+
,+
+=2
+=2
$++%
( )
( )
>=
%%
%%
#(#)TTg
#(#)TTzzg
NkT
*
,"
,ln
+=2
+=2
$+%
>
=%%
%%
#(#)TT
#(#)TTz
NkT
G
,/
,ln
$+%
( )
( )
>=
%%
%%
#(#)TTg
#(#)TTzzg
Nk
S
,"+
2
,ln+
2
+=2
+=2
$+2%
( ) ( )
( )
( )
>=
%%
%%
V
#(#)TTg
#(#)TTzg
zgzg
Nk
$
,"-
"2
,-
@
-
"2
+=2
+="
+=+=2
$+3%
Persamaan ++ adalah persamaan Energi nternal gas ideal B-E, persamaan + merupakan
Fungsi elmholt& untuk gas ideal B-E, persamaan + merupakan Fungsi .ibbs untuk gas
ideal B-E, persamaan +2 adalah Entropi gas ideal B-E, dan persamaan +3 adalah
Kapasitas Kalor untuk gas ideal B-E
Penjelasan Slide @-
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
24/30
III. Foton
(ahaya merupakan salah satu contoh dari gelombang elektromagnetik Dalam teori
kuantum !oton dihasilkan dari medan elektromagnetik Setiap !oton memiliki energi
yaitu +, dan momentum +, dimana - 0 / ,=% Sesuai dengan konsekuensi
trans?ersalitas gelombang yang merupakan salah satu si!at dari gelombang
elektromagnetik, !oton hanya memiliki dua ?ektor polarisasi Dengan mengambil kasus
gelombang elektromagnetik yang berada pada kubus dengan ?olume V0., didapatkan
nilai untuk yaitu,
/.
+
n $+7%
dimana n adalah komponen ?ektor yang bernilai /, ", +, , Dari nilai pada
persamaan +3, maka dapat jumlah momentum yang dibolehkan antara -dan -M d-dapat
dirumuskan sebagai berikut,
( )( )
d
Vdf
+
+
-=
$+4%
Selama atom dapat mengemisi dan mengabsorbsi !oton, maka jumlah kuantitas !oton
tidak tetap
Energi total untuk !oton sejumlah n,dengan momentum propagasi dan polarisasi
adalah
( ) = , ,, nnE , $+@%
dimana N 0 c OO dan n,/ /, ", +, , Dalam ruang ?akum, !oton tidak tampak, hal ini
akan mengakibatkan nilai potensial kimia dari !oton adalah / Sehingga !ungsi partisi
dari !oton dapat dituliskan,
= e
Q"
"
,
, $/%
dengan0 "=kTdan ,0 c OO , jika persamaan +@ ditulis dalam logaritmik menjadi( =
eQ "ln+ln
$"%
Sedangkan rata-rata bilangan okupasi untuk !oton adalah
( )( ) "
+ln"
=
=
eQ
n
, $+%
!aktor + menunjukkan dua kemungkinan polarisasi dari !oton Energi internal !oton "
dide!inisikan sebagai,
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
25/30
( )
=
Q"
ln
, $%
maka diperoleh
=
n"
$%
9ekanan dapat diperoleh dengan mengubah terlebih dahulu !ungsi Q$N,T% menjadi
Q$V,T%, sehingga !ungsi partisinya dapat ditulis,
( =
n
nV%eQ="
+"ln+ln
, $2%
dengan de!inisi tekanan
( )V
QP
= ln"
, $3%diperoleh
"PV
nV
P
"
"
=
=
$7%
Sekarang kita menghitung energi internal " untuk seluruh ruang, dengan
meman!aatkan persamaan +4 dan mengganti bentuk penjumlahan menjadi integral pada
persamaan , maka
( ) ( ) ( )
=
=
/
/
+
""+
4
e
d
%
V
e
d%V"
%
$4%
Sehingga diperoleh energi internal per satuan ?olume yaitu
( )
=/
, dT)V
"
, $@%
dimana )$,,T% adalah !ungsi radiasi Planck dengan bentuk
( ) ( )", +
= e%T)
, $/%
dengan menghitung bentuk integral pada persamaan @, diperoleh hasil
( )
( )
-+
"2 %
kT
V
"
=
$"%
Selanjutnya diperoleh kapasitas kalor per satuan ?olume yaitu
( )-+
"2
-
%
Tk%V
=
$+%
Dari hasil ini terlihat bah'a kapasitas kalor $V T
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
26/30
ntensitas !oton adalah jumlah energi !oton yang menembus suatu permukaan per
satuan 'aktu ntensitas !oton dapat dirumuskan sebagai berikut,
( ) ( )
( )"--,
,++
==
e%
T)%T/
, $%jika kita plotkan intensitas !oton sebagai !ungsi dari !rekuensi dengan temperatur yang
berbeda-beda maka diperoleh gra!ik seperti yang ditunjukkan pada gambar
.ambar .ra!ik hukum adiasi Planck
.ra!ik pada gambar menunjukkan bah'a bila temperatur benda berbeda-beda maka
akan menghasilkan !rekuensi intensitas maksimum yang berbeda-beda pula Selanjutnya
dengan mengintegralkan persamaan untuk seluruh nilai !rekuensi, maka diperoleh
intensitas !oton sebagai !ungsi dari temperatur
( ) ( )( ) ( )
==
/
+
/ "+
,
d
e%dT/T/
diperoleh
( )( )
-
-+
3/T
%
kT/
=
$%
dimana
( )
=
-+
3/ %
k
, konstanta 0disebut sebagai konstanta Ste!an-Bolt&mann
III.0 Fonon
Fonon merupakan kuantitas gelombang bunyi dalam bentuk makroskopis Bahasan
tentang !onon biasanya pada &at padat Dalam &at padat kecepatan !onon % tidak
bergantung pada ?ektor polarisasi Sehingga kita dapat mengabaikan !aktor polarisasi
pada !onon 1ika suatu &at padat memiliki Nbuah atom, maka !onon akan memiliki N
mode normal 1umlah mode normal pada !onon dengan !rekuensi antara ,dan ,M d,
dapat dituliskan
( )
d%df +
+
+
= $2%
Penjelasan Slide -@
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
27/30
1ika persamaan kita integralkan sampai nilai !rekuensi maksimum ,mmaka diperoleh
( ) =m
Ndf
/
$3%
Ailai N ini merupakan jumlah maksimum mode gelombang !onon Sehingga energi
total dari !onon dapat ditulis
( ) =
=N
i
ii nnE
"
$7%
Sehingga !ungsi partisinya menjadi
( ) "
""
== eQ
N
i
, $4%
jika ditulis dalam logaritmik
( )=
=N
i
ieQ
"
"lnln
$@%
Sedangkan energi internal !onon adalah
=
=
=
N
i
i
ie
Q"
" "
ln
$2/%
Selanjutnya dengan meman!aatkan persamaan 2, kita hitung energi internal !onon
untuk seluruh ruang
( ) =m
e
d
%
V"
/
+"+
, $2"%
dengan memisalkan
(=maka persamaan 2" menjadi
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
28/30
( )
( ) ( ) =
/
-
"
@(e
d((kT
N
"
, $2+%
dimanakT="=
Persamaan 2+ mirip dengan !ungsi Debye seperti berikut
( )( ) ( ) =
x
(e
d((
xxD
/
"
, $2%
jika ditulis dalam bentuk deret
( )( )
( ) ( )
>>+
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
29/30
( ) ( )
( )
=+=
"
-
eD
dT
dDTD
Nk
$V
, $24%
atau dalam bentuk deret
( )
( )
+
=
DT
T
D
DD
V
TTeT
T
TTT
T
Nk
$
D
,2
"+
,+/
""
-
+
$2@%
1ika persamaan 2@ diplotkan akan diperoleh gra!ik seperti yang ditunjukkan pada gambar
2 berikut ini
.ambar 2 .ra!ik kapasitas kalor !onon terhadap temperatur
.ra!ik pada gambar 2 menunjukkan bah'a kapasitas kalor !onon sebanding dengan T
jika TG TD, hal ini akan memberikan konsekuensi untuk TGG TD, kapasitas kalor !onon
akan menuju nol Sedangkan untuk T66 TD, kapasitas kalor !onon akan Q Nk, hal ini
menunjukkan bah'a untuk temperatur !onon yang sangat tinggi maka nilai kapasitas
kalornya akan menuju statistik klasik
I. !ESIPULAN
Dari penjelasan tentang Statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein di atas , diperoleh
kesimpulan sebagai berikut)
Statistik Fermi-Dirac memenuhi Larangan Pauli, sedangkan statistik Bose-
Einstein tidak memenuhi Larangan Pauli
Persamaan keadaan gas ideal Fermi-Dirac berbeda dengan persamaan keadaan gas
ideal Bose-Einstein
7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi
30/30
Ailai energi internal untuk Fermi-Dirac dan Bose-Einstein sama yaitu
2=3
2P$
Reerensi
uang, K $"@47% S(#(is(i%# 1e%h#ni%s, +nd ed $1ohn 5iley, Ae' Rork%
Pathria, K Beale, PD $+/""% S(#(is(i%# 1e%h#ni%s, rd ed $Butter'orth
einemann%