Makalah Aljabar

Pecahan

Disusun oleh

Dosen Pengasuh

Dra.Nyimas Aisyah,M.Pd

Dra.Cecil Hiltrimartin,M.Si

Universitas Sriwijaya

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Prodi Pendidikan Matematika

2015

Krista Lestari T (06081281419034) Fitri Indahsari (06081281419035) Sesi Winarni (06081281419036)

A. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering membagi-bagikan makanan kepada

orang lain, misalkan kita membagi 8 buah jeruk kepada 4 orang dan setiap orang

itu mendapat bagian yang sama. Berapa buah jeruk yang diterima orang itu?

Masalah ini sangat mudah diselesaikan oleh siswa yang sudah menguasai operasi

pembagian bilangan asli yaitu 8 bagi 4 sama dengan 2. Bagaimana jika

masalahnya kita ubah menjadi sebagai berikut: misalkan kita membagi 2 buah

mangga untuk 8 orang dengan setiap orang memperoleh bagian yang sama.

Berapa buah mangga yang diterima orang itu ? maka untuk menjawab soal seperti

ini siswa harus memahami materi pecahan. Materi pecahan dibagi menjadi dua

sub yaitu bilangan pecahan dan pecahan bentuk aljabar.

I. Bilangan Pecahan

1. Pengertian bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab

,

dengan a dan b adalah bilangan bulat, b ≠ 0, dan b bukan faktor dari a. Bilangan a

disebut pembilang, dan b disebut penyebut.

Contoh:

Manakah dibawah ini yang termasuk pecahan

a.105

b.30

c.14

d.123

Jawab:

Jawaban yang benar adalah C, karena

a. bukan merupakan jawaban karena penyebutnya yaitu 5 merupakan salah satu

faktor dari 10

b. bukan merupakan jawaban karena penyebutnya sama dengan 0

d. bukan merupakan jawaban karena penyebutnya yaitu 3 merupakan faktor dari 1

2. Bilangan Pecahan Senilai

Bilangan-bilangan pecahan senilai adalah bilangan-bilangan pecahan yang

cara penulisannya berbeda tetapi mempunyai hasil bagi yang sama, atau bilangan-

bilangan itu mewakili daerah yang sama, atau mewakili bagian yang sama.

Cara menentukan pecahan senilai sebagai berikut :

1. Mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama

2. Membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama

Contoh:

Coba sebutkan tiga nama lain ( pecahan senilai ) dari pecahan 146

!

Jawab:

Pecahan yang senilai dengan 146 adalah

146

¿ 14 ÷ 26 ÷ 2

=¿ 73

146

¿ 14 ×26 ×2

=¿ 2812

146

¿ 14 ×36 ×3

=¿ 4218

3. Bilangan Murni, senama dan campuran

a. Bilangan pecahan murni

Bilangan pecahan murni dinamakan juga bilangan sejati atau bilangan

paling sederhana. Cara untuk mencari bilangan murni yaitu dengan membagi

pembilang dan penyebut dengan FPB nya.

Contoh:

Ibu membuat kue. Adi menginginkan 1527

bagian kue. Ibu memberi Adi 59

bagian

kue. Mengapa demikian ?

Jawab :

Pecahan → 1527

FPB dari 15 dan 27 adalah 3, maka

Bentuk sederhana → 1527

¿ 15 ÷327 ÷3

¿ 59

b. Bilangan pecahan senama

Bilangan pecahan senama adalah bilangan-bilangan pecahan yang

mempunyai penyebut sama.

Contoh :

14

, 314

, dan 424

c. Bilangan Pecahan campuran

Bilangan Pecahan campuran adalah bilangan–bilangan pecahan yang

mempunyai pembilang lebih besar dari penyebut atau bilangan yang lebih besar

dari satu atau gabungan dari bilangan bulat dan pecahan.

Contoh :

113

, 245

, dan 47

13

4. Mengubah Pecahan Biasa ke Bentuk Pecahan Campuran dan Sebaliknya

a. Mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan campuran

Contoh:

Ayah membeli 35 apel yang akan dibagikan kepada 4 orang anaknya

dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperoleh tiap anak adalah 8 apel dan

34

apel. Nyatakanlah bagian apel yang diterima anaknya dalam pecahan

campuran.

Jawab:

b. Mengubah pecahan campuran ke bentuk pecahan biasa

Contoh:

Ubahlah pecahan 259

ke bentuk pecahan biasa

Jawab :

Cara 1

259=¿ 2

+59

¿ 189

+¿ 59

¿ 239

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut :

Bentuk pecahan campuran pqr

dengan r ≠ 0 dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan biasa yaitu p × r+q

r

5. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal dan Sebaliknya

Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah ke dalam bentuk

pecahan decimal, maka dapat dilakukan dengan cara mengubah penyebutnya

Cara 2

259

¿ 2× 9+5

9

¿ 18+5

9

¿ 239

menjadi 10,100, 1000, 10.000, dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi

pembilang dan penyebutnya.

Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa atau

campuran dapat dilakukan dengan cara menguraikan bentuk panjangnya terlebih

dahulu.

a. Mengubah bentuk pecahan ke bentuk desimal

Contoh:

Ubahlah pecahan 34

ke dalam bentuk pecahan desimal

Jawab:

b. Mengubah bentuk desimal ke dalam pecahan biasa atau campuran

Contoh:

Nyatakan 5,82 menjadi pecahan biasa atau campuran yang paling sederhana.

Jawab:

5,82¿ 5 +¿ 8

10 +2100

¿ 5 +¿ 80

100 +2100

¿ 5 +¿ 82

100

¿ 582

100 ¿ 5

4150

Untuk mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa dapat

dilakukan dengan cara berikut :

Contoh :

x¿ 2,333… maka 10x¿23,333…

10x¿23,333…

x¿ 2,333…

9x¿ 21

x¿219

¿73

6. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen dan sebaliknya

Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan

cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100.

Jika hal itu sulit dikerjakan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan

pecahan tersebut dengan 100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen kebentuk

pecahan biasa atau campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian

sederhanakanlah .

a. Mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen

Contoh:

Nyatakan pecahan 78

dalam bentuk persen

Jawab:

78 ¿

7 ×12,58 ×12,5

¿ 87,5100

¿ 87,5 %

b. Mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan biasa atau campuran

Contoh:

Nyatakan 32 %menjadi bentuk pecahan biasa atau campuran

Jawab:

32%=¿ 32

100

¿ 32÷ 4

100÷ 4

¿ 8

25

7. Mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dan sebaliknya.

Pecahan permil adalah pecahan dalam bentuk perseribu. Dalam mengubah

bentuk pecahan ke bentuk permil dapat dilakukan dengan mengubah pecahan

semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 1000. Jika hal ini sulit

dikerjakan maka dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan

1000 0/00 .

a. Mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil

Contoh:

Nyatakan 38

dalam bentuk permil

Jawab:

38

¿ 3× 1258 ×125

¿ 375

1000

¿ 375 0/00

b. Mengubah bentuk permil ke bentuk pecahan biasa atau campuran

Contoh:

Nyatakan 90 0/00 menjadi pecahan biasa atau campuran

Jawab:

90 0/00 ¿90

1000

¿ 90÷ 101000÷ 10

¿9

100

8. Operasi Hitung Pecahan

a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Bilangan Bulat

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan

dengan bilangan bulat , ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan

denagn penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan atau

kurangkan pembilangnya sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut

berbentuk pecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulat dengan

bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut:

1.25+¿3

2. 225−¿3

Jawab:

1.25+¿3¿

25+ 15

5

¿2+15

5

¿175

¿325

2. 225−¿3¿ (2-3) +

25

¿ (-1) +25

¿−55

+ 25

¿−35

b. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Pecahan

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan,

samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari

penyebut-penyebutnya. Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan

pembilangnya.

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut:

1.37+ 4

5

2. 212−3

4

Jawab:

1. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh

37+ 4

5=15

35+ 28

35=43

35=¿1

2. Cara 1

212−3

4=¿2+¿(

12−3

4¿

¿2+( 24−3

4)

¿2+¿(−14

)

¿84+¿(

−14

)

¿74=¿1

34

Cara 2

.212−3

4=5

2−3

4

¿104

−34

¿74=¿1

34

- Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahan

Untuk setiap bilangan bulat a,b, c adalah bilangan pecahan, maka berlaku:

1) Sifat tertutup : a +b = c

2) Sifat komutatif : a +b = b + a

3) Sifat asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)

4) Bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan:

a + 0 = 0 + a = a;

5) Invers dari a adalah –a dan invers dari –a adalah a, sedemikian sehingga a + (-

a) = (-a) + a = 0

c. Perkalian Pecahan

Perkalian pecahan dengan pecahan

Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian pada pecahan,

perhatikan gambar di bawah ini:

Pada gambar di atas tampak bahwa luas daerah yang diarsir menunjukan

pecahan 38

bagian dari luas keseluruhan.

Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukan perkalian 12

×34

¿ 38

. Jadi

dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan perkalian pecahan

12

×34

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Untuk mengalikan dua pecahan pq

dan rs

dilakukan dengan

mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan

penyebut atau dapat ditulis pq

× rs ¿ p× r

q× s dengan q, s ≠ 0 .

Contoh:

Tentukan hasil dari perkalian −212

× 13

10

Jawab:

−212

× 13

10 ¿

−52

× 1310

¿ −5× 132× 10

¿ −6520

¿ −65 ÷520 ÷5

¿ −13

4 ¿ −3

14

- Sifat-sifat perkalian pada perkalian

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku

1) sifat tertutup: a × b = c;

2) sifat komutatif: a × b = b × a;

3) sifat asosiatif: (a × b) ×c = a ×(b × c);

4) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:

a × (b + c) = (a × b) + (a ×c);

5) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:

a × (b – c) = (a × b) – (a × c);

6) a × 1 = 1 × a = a; bilangan 1 adalah unsur identitas pada perkalian.

d. Pembagian pecahan

Operasi pembagian pada bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari

perkalian. Hal ini juga berlaku pada pembagian bilangan pecahan.

Untuk sembarang pecahan pq

dan rs

dengan q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 berlaku pq

÷rs

¿ pq

× sr dimana

sr

merupakan kebalikan (invers) dari rs .

Contoh :

Tentukan hasil pembagian bilangan berikut 38

÷ 5 12

Jawab:

38

÷ 5 12

¿ 38

÷ 115

¿ 3

8 4 ÷

2111

¿ 3

44

II. Pecahan Bentuk Aljabar

1. Operasi Pecahan Aljabar

a. Penjumlahan dan pengurangan pecahan Aljabar

Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar sama seperti

penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan, yaitu “ pada penjumlahan dan

pengurangan pecahan aljabar dengan penyebutnya sama maka dapat langsung

dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya. Adapun pada penjumlahan dan

pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda dapat dapat dilakukan

dengan cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan

persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.”

Contoh:

1.4

x2−9+ 3

x+3

2.4

x+3− 5

x−1

Jawab:

1.4

x2−9+ 3

x+3= 4

( x+3 ) ( x−3 )+

3 ( x−3 )( x+3 ) (x−3 )

¿4+3 x−9

x2−9

ab+ c

d=ad+bc

bd atau

ab− c

d=ad−bc

bd

¿ 3 x−5

x2−9

2.4

x+3− 5

x−1=

4 ( x−1 )( x+3 ) (x−1 )

−5 ( x+3 )

( x+3 ) ( x−1 )

. ¿4 x−4−5 x−15

x2+2 x−3

¿ −x−19

x2+2 x−3

b. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar

Perkalian antara dua pecahan aljabar sama dengan perkalian antara dua

pecahan biasa ,yaitu dapat dilakukan dengan mengalikan antara pembilang dengan

pembilang dan penyebut dengan penyebut.

ab

×cd=¿

a × cb ×d

=¿ acbd

Contoh :

1. aa+5

×a2−25a−2

Jawab:

aa+5

×a2−25a−2

¿a (a+5 ) (a−5 )(a+5 )(a−2)

¿a (a−5 )

a−2 ¿ a2−5 a

a−2

Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan mengubah

bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan cara mengalikan dengan

kebalikan pecahan pembagi.

ab

÷cd=a

b×

dc=¿

a ×db × c

=¿ adbc

Contoh :

1. m3

÷m2+4 m

4

Jawab:

m3

÷m2+4 m

4 ¿

m3

×4

m2+4 m

¿4 m

3 m(m+4)

¿ 43(m+4 )

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Perpangkatan pecahan bentuk aljjabar sama dengan perpangkatan pada

bilangan riil yaitu berlaku :

Contoh :

1. ( x+2x−3 )

2

Jawab :

( x+2x−3 )

2

¿(x+2)2

(x−3)2 =(x+2)(x+2)(x−3)(x−3)

¿x2+2 x+2x+4x2−3 x−3 x+9

¿x2+4 x+4x2−6 x+9

d. Menyederhanakan pecahan aljabar

Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut pecahan

tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan , kecuali 1. Dengan kata lain, jika

pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki factor yang sama kecuali 1 maka

pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk

aljabar.

an=a × a ×a × …×a

Sebanyak n faktor

Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan

memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian dibagi

dengan factor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.

Contoh:

1. 3 a2 b−2 a b2

4 ab

Jawab:

3 a2 b−2 a b2

4 ab=

ab (3 a−2 b )4 ab

¿(3a−2 b )

4

e. Menyederhanakan pecahan bersusun (kompleks)

Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yang pembilang

dan penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat pecahan. Untuk

menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan dengan cara mengalikan

pembilang dan penyebutnya dengan KPK dari penyebut pecahan pada pembilang

dan penyebut pecahan pada penyebut pecahan bersusun.

Contoh :

1.

1a+ 1

b

a−1b

Jawab:

1a+ 1

b

a−1b

=¿

b+aab

ab−1b

¿b+aab

×b

ab−1

¿b

a(ab−1)

A. Soal Latihan

1. Sederhanakanlah bentuk pecahan aljabar berikut 2 x2−x−1516 x4−625

!

Kunci : (x−3)

(4 x2+25 ) (2x−5)

2. Sederhanakanlah bentuk perpangkatam berikut : ( −3 mn2m+2 n )

3

!

Kunci : −27 m3 n3

8 m3+24 m2n+24 mn2+8 n3

3.3 x−2

x2−x−2= k

x−2+ l

x+1 tentukan nilai k dan l.

Kunci : 3 ; 43

4. Nyatakan bentuk pecahan yang ditunjuan oleh daerah yang diarsir pada

gambar berikut :

a. b.

kunci : 5

24 ;

14

5. Tentukan hasil penjumlahan bilangan berikut :

.1

1× 2+ 1

2× 3+ 1

3 × 4+…+ 1

99 ×100=…

Kunci : 99

100

6. Seorang tukang ingin memasang plafon rumah

dengan bahan triplek. Ukuran luas satu triplek adalah

5 m2 . triplek besar dipotong-potong pengganti asbes

berbentuk persegi dengan panjang sisi 12

m. berapa banyak asbes yang

dapat dibuat dari satu triplek besar?

Kunci : 20 buah

7. Ibu menerima gajih untuk dua bulan sebesar Rp3.000.000,00. Untuk biaya

sekolah anak-anaknya, ibu harus menggunakan uang sebesar 45

dari gaji

satu bulan. Untuk kebutuhan belanja dapur, ia harus mengeluarkan uang

sebesar 112

dari biaya-biaya sekolah. Berapa rupiah untuk keperluan

dapur?

Kunci : Rp 1.800.000,00

8. Dalam memperingati hari kemerdekaan 17 agustus, diadakan pertandingan

melompat bagi anak-anak umur 12 tahun ke bawah. Dari hasil

pertandingan diperoleh juara I mampu melompat 113

m dan juara II hanya

mampu mencapai jarak 34

dari lompatan juara I. berapa meter hasil

lompatan juara II?

Kunci : 1 meter

9. Rini mempunyai album foto besar. Sebanyak 813

halaman dari album itu

masih kosong. Rini bermaksud mengisi separuh dari halaman kosong itu

dengan foto-foto artis secara berurutan. Berapa halaman dari album itu

yang akan diisi dengan foto-foto artis?

Kunci : 416

halaman

10. Seorang tukang kayu ingin melobangi sebuah kayu dengan diameter tidak

lebih dari 0,6 inci. Dapatkah tukang kayu ini melobangi kayu itu

menggunakan bor ukuran 58

inci? Berilah alasan !

Kunci : tidak

11. Tentukan nilai p dari 534

÷p ¿13

20

Kunci : 5

12. Selesaikan a2−b2

b−a=¿

Kunci : −a−b

13. Jika diberikan a+b+c=0, tentukanlah nilai dari a2

bc+ b2

ac+ c2

ab

Kunci : 3

14. Jika diketahui xy=2 dan x2+ y2=5, maka nilai xy+ y

x?

Kunci : 52

15. Jika diketahui 3 x+4 y2 x−2 y

=5, maka tentukan harga untuk x2+2 y2

xy

Kunci : 3

B. Referensi

Agus, Nuniek Avianti. 2008 . Mudah Belajar Matematika 2 . [e-book]. Diakses

20 januari 2015. <http://matematika100.blogspot.com/2012/05/download-

bse-matematika-smp-kelas-7_18.html>

Nuharini, Dewi. Triwahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk

SMP/Mts Kelas VIII. [e-book] . Diakses tanggal 20 januari 2015.

<http://matematika100.blogspot.com/2012/05/download-bse-matematika-

smp-kelas-7_18.html>

Nuharini, Dewi. Triwahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk

SMP/Mts Kelas VII. [e-book] .Diakses tanggal 20 januari 2015.<

http://bse.invir.com//smp7mat%20MatematikaKonsepDanAplikasinya.zi>

Thohir, Ahmad. 2013 . Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade

Matematika. [pdf]. Diakses tanggal 20 januari 2015. < https:/

/jhonabdi.files.wordpress.com/2013/03materi-contoh-soal-dan-

pembahasan-olimpiade-matematikaosnsma-ma.pdf >

Wintarti, atik, Dkk. 2008 . Matematika Contextual Teaching And Learning: untuk

SMP/Mts Kelas VIII. [e-book] . Diakses pada tanggal 20 januari 2015. <

http://bse.invir.com/smp/smp8mat%20ContextualTeachingAndLearning

%20EndahBudi.zip >