MAKALAH ALJABAR BOOLE

ALJABAR BOOLE

Aljabar Boolean pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris,

yakni George Boole, pada tahun 1854. Menurut Boole, himpunan dan logika proposisi

mempunyai sifat-sifat yang serupa. Aturan dasar logika ini membentuk struktur matematika

yang disebut dengan Aljabar Boolean.

A. Definisi

Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada operator biner, + dan ∙, dan

sebuah operator uner, ’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B, maka

tupel <B,+,∙, ’, 0,1>,.

Aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure : (i) a + b ∈ B

(ii) a ⋅ b ∈ B

2. Identitas : (i) a + 0 = a

(ii) a 1 = ⋅ a

3. Komutatif : (i) a + b = b + a

(ii) a ⋅ b = b . a

4. Distributif : (i) a (⋅ b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)

(ii) a + (b ⋅ c) = (a + b) (⋅ a + c)

5. Komplemen : (i) a + a’ = 1

(ii) a ⋅ a’ = 0

Aljabar Boolean, harus memuat:

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,

3. Memenuhi postulat Huntington

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang ada di dalam B. 0 disebut elemen

terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada

aljabar boolean( misal ∅ dan U pada himpunan, F dan T pada proposisi), Namun secara

umum tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah elemen unik yang berbeda. Elemen 0

disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit. Operator + disebut operator

penjumlahan, ⋅ disebut operator perkalian, dan ‘ disebut operator komplemen.

Terdapat perbedaan antar aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmatika

bilangan riil :

1. Hukum distributif yang pertama, a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c), sudah dikenal di dalam

ajlabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c), benar

untuk aljabar boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan kebalikan penjumlahan,

karena itu, tidak ada operasi pembagian dan pengurangan di dalan Boolean.

3. Aksioma nomor 5 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak

tersedia pada aljabar biasa.

4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak

berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen

B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B

didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai, 0 dan 1.

Hal yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variable) pada

sistem aljabar. Sebagai contoh pada aljabar biasa, elemen himpunan bilangan riil adalah

angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c dan sebagainya. Dengan cara yang sama

aljabar boolean, orang mendefinisikan elemen-elemen himpunan dan peubah seperti x, y, z

sebagai simbol-simbol yang mempresentasikan elemen.

Contoh :

Misalkan B = {1 ,2, 5 ,7 ,10 ,14 ,35 ,70 } adalah pembagi dari 70. Tunjukkan cara

membentuk B menjadi sebuah aljabar Boolean

Penyelesaian:

Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi

untuk operator +, ⋅, dan ‘. Misalkan kita definisikan

a + b = KPK(a,b) = Kelipatan Persekutuan Terkecil

a ⋅ b = PBB(a,b) = Pembagi Bersama Terbesar

a’ = 70a

akan ditunjukan B bersama-sama dengan operator biner dan operator uner memenuhi ke

lima aksioma yang didefinisikan

1) Identitas 1 adalah elemen identitas untuk operasi penjumlahan (1 sebagai elemen

zero) dan 70 adalah elemen untuk operasi perkalian(70 sebagai elemen unit) karena

(i) a + 1 = KPK(a,1) = a

(ii) a ⋅ 70 = PBB(a,70) = a

2) Komutatif berlaku karena

(i) a + b = b + a = KPK(a,b)

(ii) a ⋅ b = b . a = PBB(a,b)

3) Distibutif

(i) 10 ⋅ (5+7) = PBB(10, KPK(5,7)) = PBB(10,35) = 5

(10 ⋅ 5) + (10 ⋅7) = KPK(PBB(10,5),PBB(10,7)) = KPK(5,1)= 5

(ii) 10 + (5 ⋅ 7) = KPK(10, PBB(5,7))= KPK(10,1) = 10

(10 +5) ⋅ (10 + 7) = PBB(KPK(10,5), KPK(10,7)) = PBB(10,70) = 10

4) Komplemen berlaku karena

(i) a + a’ = KPK(a, 70/a)= 70

(ii) a ⋅ a’ = PBB(a,70/a) = 1

Oleh karena semua aksioma dipenuhi maka B = {1,2,5,7,10,14,35,70} adalah aljabar

boolean.

B. Aljabar Boolean Dua Nilai

Mengingat B tidak ditentukan anggota-anggotanya, maka kita dapat membentuk

sejumlah tidak berhingga aljabar boolean. Pada aljabar Boolean berhingga banyaknya

anggota B terbatas, tetapi paling sedikit beranggotakan dua buah elemen yang berbeda .

Aljabar boolean memiliki terapan yang luas adalah aljabar dua-nilai. Aljabar Boolean

dua-nilai di definisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1(sering

dinamakan bit, singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operasi biner, + dan ,⋅

operasi uner, ‘ . Kaidah untuk operator uner ditunjukkan pada tabel sebai berikut

Tabel I

a b a b⋅

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabel II

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Tabel III

a a’

0 1

1 0

Kita harus memperlihatkan bahwa aksioma-aksioma terpenuhi pada himpunan B

={0,1} dengan dua operator biner dan satu operator uner yang didefinisikan.

1. Identitas jelas berlaku karena dari tabel dapat dilihat bahwa:

(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 0 = 0 1 = 0⋅ ⋅

Yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1

2. Komutatif jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner

3. Distributif:

(i) a ( b + c) = ( a b) dapat ditujukan benar dari tabel operator biner di atas dengan⋅ ⋅

menggunakan tabel kebenaran untuk semua nila yang mungkin dari a, b, c . Oleh

karena nilai-nilai pada kolom a (b + c) sama dengan nilai pada kolom ( a b) +⋅ ⋅

(a c ), maka kesamaan a ( b+c) = (a b) + (a c) adalah benar⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a b) + (a c) dapat ditujukkan benar dengan⋅ ⋅ ⋅

menggunakan tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti

Tabel IV

a b c b + c a (b + c)⋅ a b⋅ a c⋅ (a b) + (a c)⋅ ⋅

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

4. Komplemen jelas berlaku karena tabel IV memperlihatkan bahwa :

(i) a + a’ = 1 karena 0 + 0’ = 0 + 1 dan 1 = 1’ + 0 = 1

(ii) a a ⋅ = 0 karena 0 ⋅ 0’ = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0

Karena aksioma-aksioma terpenuhi, maka terbukti bahwa B = {0,1} bersama-sama

dengan operasi biner +, dan ⋅ operator koplemen ‘ merupakan aljabar boolean.

C. Ekspresi Boolean

Misalkan (B,+, ,’,0,1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam ⋅

(B,+, ,’) adalah:⋅

1. Setiap elemen di dalam B

2. Setiap peubah

3. Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e⋅ 2, e1’ adalah ekspresi Boolean.

Contoh : 0, 1, a, b, c, a+b, a.b, a’(b+c), a.b’ + b.c’ + b’

Evaluasi ekspresi Boolean adalah nilai pada peubah-peubah di dalam ekspresi

tersebut dengan elemen-elemen di B.

Contoh : jika a = 0, b = 1 dan c = o,hitunglah hasil ekspresi dari a.(b’+c) !

Jawab:

a.(b’+c) = 0 . (1’ + 0) = 0.0 = 0

Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen(dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya

mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.

Contoh: a+a’b = a+b

Bukti :

a b a’ a’b a+a’b a+b

0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

Terlihat bahwa nilai-nilai pada kolom a+a’b sama dengan nilai pada kolom a+b.

∴ a+a’b = a+b terbukti

D. Prinsip Dualitas

Di dalam aljabar Boolean banyak ditemukan kesamaan (identity) yang dapat

diperoleh dari kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma distributive yang sudah

disebutkan sebelumnya, yaitu:

(i) a (b+c )=ab+ac

(ii) a+bc=(a+b )(a+c)

Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti . dengan +

dan mengganti + dengan .

Prinsip ini dikenal dengan prinsip dualitas, prinsip yang juga kita temukan di dalam teori

himpunan maupun logika.

Definisi prinsip dualitas di dalam aljabar Boolean adalah sebagai berikut.

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan

operator +, . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dari S dengan cara

mengganti :

. dengan +

+ dengan .

0 dengan 1

1 dengan 0

Dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya maka kesamaan S* juga benar. S*

disebut dual dari S

Contoh :

Tentukan dual dari

(i) a+0=a

(ii) (a . 1 ) (0+a ' )=0

(iii) a ( a'+b )=ab

(iv) (a+b ) (b+c )=ac+b

(v) (a+1 ) (a+0 )=a

Penyelesaian

(i) a .1=a

(ii) (a+0 )+(1 . a' )=0

(iii) a+a ' b=a+b

(iv) ab+bc=(a+c )b

(v) (a . 0 )+( a .1 )=a

E. Hukum-hukum Aljabar Boolean

Terdapat kemiripan antara hukum-hukum aljabar Boolean dengan hukum-hukum

aljabar himpunan dan hukum-hukum aljabar proposisi.

Hukum-hukum Aljabar Boolean

1. Hukum identitas

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1 = a

2. Hukum idempotent

(i) a + a = a

(ii) a . a = a

3. Hukum komplemen

(i) a + a’ = 1

(ii) a . a’ = 0

4. Hukum dominansi

(i) a . 0 = 0

(ii) a + 1 = 1

5. Hukum involusi

(i) (a’)’ = a

6. Hukum penyerapan

(i) a + ab = a

(ii) a(a + b) = a

7. Hukum komutatif

(i) a + b = b + a

(ii) ab = ba

8. Hukum asosiatif

(i) a + (b + c) = (a + b) + c

(ii) a (b c) = (a b) c

9. Hukum distributif

(i) a + (b c) = (a +b) (a +c)

(ii) a (b + c) = a b + a c

10. Hukum De Morgan

(i) (a + b)’ = a’ b’

(ii) (a b)’ = a’ + b’

11. Hukum 0/1

(i) 0’ = 1

(ii) 1’ = 0

Hukum-hukum aljabar Boolean diperoleh dari hukum-hukum aljabar himpunan atau

dari hukum-hukum aljabar preposisi yaitu dengan cara mempertukarkan:

∪ dengan +, atau ˅ dengan +

∩ dengan ∙, atau ˄ dengan ∙

U dengan 1, atau T dengan 1

∅ dengan 0, atau F dengan 0

Perhatikan tabel hukum-hukum aljabar Boolean di atas. Hukum yang ke-(ii) dari setiap

hukum di atas merupakan dual dari hukum yang ke-(i). Contoh:

Hukum komutatif : a + b = b + a

Dualnya : ab = ba

Hukum asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c

Dualnya : a (bc) = (ab) c

Hukum distributif : a (b + c) = ab + ac

Dualnya : a + bc = (a + b) (a + c)

Bukti:

(1i) a + 0 = a + (aa’) (Hukum komplemen)

= (a + a) (a + a’) (Hukum distributif)

= a (a + a’) (Hukum idempoten)

= a . 1 (Hukum komplemen)

= a (Hukum identitas)

(1ii)a . 1 = a . (a + a’) (Hukum komplemen)

= aa + aa’ (Hukum distributif)

= a + aa’ (Hukum idempoten)

= a + 0 (Hukum komplemen)


(1ii) adalah dual dari (1i)

(2i) a + a = (a + a) (1) (Hukum identitas)

= (a + a) (a + a’) (Hukum komplemen)

= a (a + a’) (Hukum distributif)



(2ii)a a = a a + 0 (Hukum identitas)

= a a + a a’ (Hukum komplemen)

= a (a + a’) (Hukum distributif)


= 1 (Hukum identitas)

(2ii) adalah dual dari (2i)

(3i) a + a’ = (a’ . a)’ (Hukum De Morgan)

= 0’ (Hukum komplemen)

= 1 (Hukum 0/1)

(3ii)a a’ = (a’ + a)’ (Hukum De Morgan)

= 1’ (Hukum komplemen)

= 0 (Hukum 0/1)

(3ii) adalah dualiitas dari (3i)

(4i) a + 1 = a + (a + a’) (Hukum komplemen)

= (a + a) + a’ (Hukum asosiatif)

= a + a’ (Hukum idempoten)

= 1 (Hukum komplemen)

(4ii)a . 0 = a (a a’) (Hukum komplemen)

= (a a) a’ (Hukum asosiatif)

= a a’ (Hukum idempoten)

= 0 (Hukum komplemen)

(4ii) adalah dualitas dari (4i)

(5i) (a’)’ = (a’ . 1)’ (Hukum identitas)

= a + 1’ (Hukum De Morgan)

= a + 0 (Hukum 0/1)


(6i) a + ab = a . 1 + a . b (Hukum identitas)

= a (1 + b) (Hukum distributif)

= a . 1 (Hukum dominansi)


(6ii)a (a + b) = (a + 0) (a + b) (Hukum identitas)

= a + (0 . b) (Hukum distributif)

= a + 0 (Hukum dominansi)



(7i) a + b = a . 1 + b . 1 (Hukum identitas)

= 1 (a + b) (Hukum distributif)

= (b + 1) (a + b) (Hukum dominansi)

= b + (a . 1) (Hukum distributif)

= b + a (Hukum identitas)

(7ii)ab = (a + 0) . (b + 0) (Hukum identitas)

= 0 + (ab) (Hukum distributif)

= (b .0) + (a . b) (Hukum dominansi)

= b (a + 0) (Hukum distributif)

= ba (Hukum identitas)


(10i) (ab)’ = a’ + b’

Diketahui : (ab) (ab)’ = 0

Perlihatkan : (ab) (a’ + b’) = 0

Bukti:

(ab) (a’ + b’) = ab a’ + ab b’ (Hukum distributif)

= 0 . b + a . 0 (Hukum komplemen)

= 0 + 0 (Hukum dominansi)


(10ii) (a + b)’ = a’ . b’

Diketahui : (a + b) + (a + b)’ = 1

Perlihatkan : (a + b) + (a’ b’) = 1

Bukti:

(a + b) + (a’b’) = (a + b + a’) (a + b + b’) (Hukum distributif)

= (1 + b) + (a +1) (Hukum komplemen)

= (1 + 1) (Hukum dominansi)



Contoh:

Buktikanlah bahwa untuk sebarang elemen a dan b dari aljabar Boolean maka kesamaan

berikut

a + a’b = a + b dan a(a’ + b) = = ab

adalah benar.

Penyelesaian:

(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Hukum penyerapan)

= a + (ab + a’b) (Hukum assosiatif)

= a + (a + a’) b (Hukum distributif)

= a + 1 . b (Hukum komplemen)

= a + b (Hukum identitas)

(ii) a (a’ + b) = a a’ + ab (Hukum distributif)

= 0 + ab (Hukum komplemen)

= ab (Hukum identitas)

Atau, dapat juga dibuktikan dengan dualitas dari (i) sebagai berikut.

a(a’ + b) = a (a + b) (a’ + b)

= a {(a + b) (a’ + b)}

= a {(a a’) + b}

= a (0 + b)

= ab

F. Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B. Dengan bentuk

Boolean, kita dapat menuliskannya sebagai f : Bn → B, dimana Bn adalah himpunan yang

beranggotakan pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal B.

Setiap bentuk Boolean merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean

adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z. Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya; (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga

f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= 0 + 0 + 1

= 1

Selain secara aljabar, fungsi boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran

dan dengan rangkaian logika. Jika fungsi boolean dinyatakan dengan tabel kebenaran,

maka untuk fungsi boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai-nilai peubahnya

adalah sebanyak 2n. Ini berarti terdapat 2n bris yang berbeda didalam tabel kebenaran

tersebut. Misalkan n=3, maka akan terdapat 23=8 baris tabel. Cara yang praktis membuat

semua kombinasi tersebut adalah sebagai berikut:

1. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan

4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut-turut.

2. Untuk peubah kedua, isi 2 baris berikutnya dengan 0 lagi, dan 2 baris terakhir dengan

1.

3. Untuk peubah ketiga, isi kolom ketiga secara berselang seling dengan 0 dan 1 mulai

baris pertama sampai baris terakhir.

Contoh 7.5

Diketahui fungsi boolean f(x, y, z) = xyz’, nyatakan f dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian :

Nilai-nilai fungsi boolean diperlihatkan pada tabel berikut.

x y z f(x, y, z) = xyz’

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

Fungsi boolean tidak selalu unik pada representasi ekspresinya. Artinya, dua buah

fungsi yang ekspresi booleannya berbeda dapat menyatakan dua buah fungsi yang sama.

Dengan kata lain, dua buah fungsi sama jika keduanya memiliki nilai yang sama pada

tabel kebenaran untuk setiap kombinasi peubah-peubahnya.

Contoh:

F(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ dan g(x, y, z) = x’z +xy’

Adalah dua buah fungsi boolean yang sama. Kesamaannya dapat dilihat pada tabel

berikut.

x y z x’y’z + x’yz + xy’ x’z +xy’

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

Jika sebuah fungsi boolean tidak unik dalam representasi ekspresinya, kita dapat

menemukan representasi ekspresinya dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap

ekspresi boolean yaitu dengan menggunakan hukum-hukum aljabar boolean untuk

menghasilkan bentuk yang ekivalen. Perhatikan bahwa

f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

= x’z(y’+y)+xy’ (Hukum distributif)

= x’z . 1 + xy’ (Hukum komplemen)

= x’z + xy’ (Hukum Identitas)

G. Penjumlahan dan perkalian dua fungsi

Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka

penjumlahan f+g didefinisikan sebagai

( f +g ) ( x1+x2+…+xn )=f ( x1+ x2+…+ xn )+g ( x1+x2+…+xn )

Sedangkan perkalian f ∙ g didefinisikan sebagai

( f ∙ g ) ¿

Contoh:

Misalkan f ( x , y )=x y'+ ydan g ( x , y )=x '+ y ' maka

h ( x , y )=f +g=x y '+ y+x '+ y '

yang bila disederhanakan lebih lanjut menjadi

h ( x , y )=x y '+x '+( y+ y ' )=x y '+x '+1=x y '+x '

dan

i (x , y )=f ∙ g= ( x y '+ y ) ( x '+ y ' )

H. Komplemen fungsi Boolean

1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan

Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

( x1+x2) '=x1 ' x2 ' dan dualnya: ( x1 ∙ x2 )'=x1' +x2 '

Hukum De Morgan untuk tiga buah peubah, x1, x2 dan x3, adalah

( x1+x2+x3 )'=( x1+ y )' , yang dalam hal ini y=x2+x3

¿ x1' y '

¿ x1' ( x2+x3 )'

¿ x1 ' x2 ' x3 '

Dan dualnya adalah ( x1 ∙ x2∙ x3 )'=x1' +x2 '+x3 '

Hukum De Morgan untuk n buah peubah, x1, x2,..., xn, adalah

( x1+x2+…+xn )'=x1 ' x2 ' …xn '

Dan dualnya adalah ( x1 ∙ x2∙ …∙ xn )'=x1' +x2

' +…+xn '

Contoh:

Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ =

x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.

Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan

setiap literal di dalam dual tersebut. Bentuk akhir yang diperoleh menyatakan fungsi

komplemen.

Contoh:

a. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

b. Carilah komplemen dari fungsi f(x,y,z) = x’(yz’ + y’z)

Penyelesaian :

Cara 1: f(x,y,z) = x’(yz’ + y’z)

f’(x,y,z) = (x’(yz’ + y’z))’

= x + (yz’ + y’z)’

= x + (yz’)’(y’z)’

= x + (y’+z)(y+z’)

Cara 2: f(x,y,z) = x’(yz’+y’z)

Dual dari ekspresi Booleannya: x’ + (y + z’)(y’ + z)

Komplemenkan tiap literal dari dual: f’(x,y,z) = x + (y’ + z)(y + z’)

Documents

MAKALAH ALJABAR BOOLE