1

Małgorzata Mielniczuk

FRAKTALE

Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie

nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą

równań rekurencyjnych w geometrii.

Fraktal jest figurą geometryczną o złożonej strukturze. Posiada cechę samopodobieństwa, co

oznacza, że podzielenie jej na kolejne części, w dowolnej skali określonej przez wymiar fraktalny,

ukaże pomniejszone kopie całości. Fraktal posiada również ułamkowy wymiar Hausdorffa –

Besicovitcha. Jest to nowy wymiar służący do wyliczania fraktali, korzystający z następującego

wzoru D= log N / log s. N jest liczbą mniejszych części składowych fraktala wytwarzanych przez

jedną większą część fraktala, a s jest wielkością nowopowstałej części w stosunku do wielkości

pierwotnej struktury. Krótko mówiąc wzór ten opisuje jak wiele małych fraktali tworzy strukturę

pierwotną. Wymiar Hausdorffa jest większy lub równy wymiarowi topologicznemu. Wymiar

topologiczny natomiast jest używany w geometrii klasycznej. Najczęściej opisuje się go definicją:

„dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych

punktu w przestrzeni d-wymiarowej”.1

Oznacza to, iż linia jest jednowymiarowa, kwadrat

dwuwymiarowy, a sześcian trójwymiarowy.

Nie ma innej nazwy w klasycznej matematyce dla omawianej figury niż fraktal.

Z angielskiego „fraction” - ułamek, łacina „fractus” - złamany. Matematycy w XX wieku próbowali

zmierzyć się z pojęciami takimi jak wymiar, ciągłość oraz krzywa. Podczas tych zmagań

dostrzeżono istnienie struktur, które dzisiaj nazywamy fraktalami. Technika komputerowa

umożliwia tworzenie bardzo złożonych fraktali.

1 http://pldocs.org/docs/index-163008.html?page=3

2

Niektóre jednak mogą powstać na kartce, a do ich narysowania nie są potrzebne specjalne

umiejętności. Najprostszym przykładem jest zbiór Cantora. Powstaje on poprzez dzielenie na trzy

części odcinka oraz usuwanie z nich środkowej. Czynność tą można wykonać nieskończoną ilość

razy, jednak po pewnym czasie jej efekt przestanie być widoczny dla ludzkiego oka.

źródło: https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_Cantora

Wielu badaczy twierdzi iż geometria fraktali jest geometrią przyrody. Wiele z przykładów

owej geometrii możemy spotkać w otaczającym nas świecie stworzonych przez naturę, bez

jakiejkolwiek ingerencji człowieka. Warto zaznaczyć iż w modelach matematycznych fraktali

możliwe jest przybliżanie obiektu nieskończoną ilość razy bez utraty samopodobieństwa. Natomiast

w naturze w pewnym momencie samopodobieństwo się kończy. Shaun Lovejoy, kanadyjski

geofizyk, wykazał podczas swoich badań nad chmurami, że jeszcze w siódmym „zanurzeniu” ich

samopodobieństwo nadal istnieje.2 Oznacza to, że dalsze zagłębianie się w ich strukturę zapewne

nie wykaże już podobieństwa do całości. Wiele źródeł podaje jako przykład fraktala płatek śniegu:

„Obiekty w przybliżeniu samopodobne, o cechach fraktali [...]. Podobne cechy ma fragment kwiatu

kalafiora, płatek śniegu, zgrupowanie chmur, sieć dopływów niektórych rzek lub pewne łańcuchy

gór.”3 Jednak nie każdy płatek śniegu może być fraktalem, gdyż jego kształt nie zawsze tworzy się

na zasadzie samopodobieństwa. Podawanie go jako przykładu wynikać może ze skojarzenia z

matematyczną figurą fraktalną Krzywą Kocha, która została opisana poniżej.

W dalszej części opiszę działanie algorytmów, które prowadzą do powstania

matematycznych fraktali. W 1904 roku Helge von Koch, szwedzki matematyk, obmyślił

konstrukcję fraktalną nazywaną Krzywą Kocha, potocznie natomiast płatkiem śniegu. Powstaje ona

poprzez narysowanie trójkąta równobocznego o bokach równych 1 oraz podzielenie ich na trzy

równe części. Następnie do środkowych odcinków dorysowujemy kolejny trójkąt równoboczny.

2 http://zeszyty-naukowe.wwsi.edu.pl/zeszyty/zeszyt4/Fraktalne_Wokol_Nas_I_Kilka_Slow_O_Chaosie.pdf 3 http://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/pdf/foton03.pdf

3

Powstaje w ten sposób 12 boczna gwiazda o długości każdego boku ⅓. Po 5 krokach powstaje już

gwiazda o 3072 bokach. Taki proces możemy powtarzać w nieskończoność, jednak w kolejnych

krokach zmiany mogą już być niewidoczne dla ludzkiego oka.

źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki

4

Kolejny badacz, Wacław Sierpiński, stworzył fraktal z kwadratu. Powstaje on przez

podzielenie płaszczyzny na dziewięć części oraz wyrzucenie środkowej. Powtarzamy tę operację na

każdym nowo powstałym kwadracie. Fraktal ten nazywamy Dywanem Sierpińskiego. Po n krokach

fraktal ten będzie miał aż 𝑆𝑛 = 1 ∗1−8𝑛−1

1−8 “dziur”, którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki

Analogiczne operacje wykonujemy na płaszczyźnie trójkąta, której boki dzielimy na dwie części,

powstałe punkty łączymy ze sobą dzięki czemu powstaje nowy trójkąt, który usuwamy. Jest to

Trójkąt Sierpińskiego. Po n krokach trójkąt będzie miał 𝑆𝑛 = 1 ∗1−3𝑛−1

1−3 “dziur”, którymi są

usunięte trójkąty różnej wielkości.

źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki

5

Oprócz fraktali na płaszczyznach, stworzono również fraktale z brył. Jednym z nich jest

trójwymiarowy odpowiednik Dywanu Sierpińskiego. Jest nim Kostka Mengera czyli bryła fraktalna.

Konstrukcję tę podał austriacki matematyk Karl Menger w 1927 roku. W pierwszym kroku

tworzony jest sześcian, następnie należy przeciąć go na 27 sześcianów równej wielkości. Usuwamy

sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz jeden znajdujący się w środku.

Powtarzamy podane kroki w nieskończoność. Na poniższym obrazku widzimy kostkę po trzech

iteracjach.

źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge

Trójwymiarowym odpowiednikiem Trójkąta Sierpińskiego jest Piramida Sierpińskiego,

która powstaje z czworościanu foremnego. Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu.

Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Z każdego małego czworościanu usuwamy bryłę,

której krawędziami są odcinki łączące środki krawędzi czworościanów otrzymanych w pierwszym

kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur. W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak

poprzednio. Po n krokach piramida będzie miała aż 𝑆𝑛 = 1 ∗1−4𝑛−1

1−4 “dziur”, którymi są usunięte

bryły różnej wielkości.

6

źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/piramida-sierpinskiego

Podsumowując fraktale są to zwykłe figury geometryczne, jednak niezwykłe w swej

złożoności. Powstają poprzez wykonanie nieskończenie wiele razy tej samej operacji, przez co

otrzymują one cechę samopodobieństwa. Dlatego też fraktal można nieskończenie przybliżać,

a charakteryzuje go ułamkowy wymiar. Pierwsze badania na temat samopodobieństwa obiektów

przeprowadzano już w XVII wieku, jednak pojęcia fraktala do matematyki zostało wprowadzone

w XX wieku. Struktury te nie tylko tworzone są za pomocą działań matematycznych. Natura sama

tworzy wiele takich struktur wokół nas. Przykładem mogą być liście paproci, kwiat kalafiora czy

niektóre dopływy rzek lub łańcuchy górskie. Fraktale dały początek nowej geometrii zwanej

fraktalną, która umożliwia modelowanie niektórych obiektów oraz zjawisk występujących

w przyrodzie. Przykładem zjawisk fraktalnych są między innymi błyskawice. Natomiast niedawno

odkryto iż ludzkie DNA również posiada strukturę podobną do tej fraktalnej.4

4 http://www.swietageometria.info/artykuly/140-fraktalne-dna-newswee

7

Kwiat kalafiora włoskiego

źródło: http://spf.fotolog.com/photo/47/5/98/frankfuterka/1253629429292_f.jpg

źródło: http://static.frazpc.pl/board/2011/05/bc85bd4603431ea9.jpg