UNIDAD III

UNIDAD III

MAGNITUD VECTORIAL

1. Concepto.- Una magnitud vectorial es aquella magnitud que para ser perfectamente comprendida o entendida se debe establecer un nmero, una unidad, una direccin, un sentido y un punto de aplicacin. Por ejemplo:

v = 36 Km/h horizontalmente hacia el norte

F = 5,3 kg de fuerza hacia abajo

a = -1,2 m/s2

d = 50,7 millas al sur

2. Vector.- Es la representacin de una cantidad que corresponde a una magnitud vectorial.

2.1. Representacin de un vector.- Los vectores pueden representarse de tres formas diferentes; grficamente, mediante componentes rectangulares y representacin polar.

2.1.1. Representacin grfica.- Grficamente un vector es un segmento de recta orientada, en otras palabras un vector es una flecha, que tiene los siguientes elementos:

1 Punto de aplicacin.- Llamado tambin origen, es el extremo donde comienza el vector.

2 Direccin.- Es la lnea imaginaria que sustenta al vector y sobre la cual se desplaza.

3 Sentido.- Es el extremo opuesto al origen, est denotado por la flecha que indica hacia donde se desplaza.

4 Mdulo.- Est determinado por un nmero y por su unidad de medida.

El nombre de un vector se simboliza mediante una letra mayscula o minscula que en la parte superior lleva una pequea flecha. Tambin se puede utilizar dos letras maysculas que indiquen ordenadamente el origen y el sentido del vector, siempre con la pequea flecha en la parte superior. Por ejemplo:

K

aM

J

a (vector a)

M (vector M)

JK (vector JK)

Para indicar el mdulo del vector se utilizan dos barras verticales que encierran al vector:

Sea: el vector D ( D )

el mdulo del D ser: | D | o simplemente: D

Ejemplo

1. Dados los siguientes vectores, identificarlos de dos maneras diferentes e indicar su mdulo de acuerdo a la escala.

ESCALA

1cm = 5m

uR

Ht

E

| H | = | u |

| t | = | ER | =

| H | = | u | = 25m | t | = | ER | = 17,5 m

o bien:

H = u = 25mt = ER = 17,5 m

2.1.2. Representacin rectangular de los vectores.- Tomamos al sistema de coordenadas rectangulares como sistema de referencia. Dado un vector cualquiera, es posible hacer coincidir su origen con el origen de coordenadas (0,0) y cuyo sentido se encuentre en un punto determinado del plano cartesiano. Dicho vector se dice que se encuentra en su posicin normal.

- Descomposicin rectangular de un vector.- Descomponer un vector es determinar dos vectores componentes a dicho vector conociendo las direcciones de dichas componentes que se encuentran sobre los ejes cartesianos.

y

A

Fy F

x1 x

0Fx B

y1Establecemos las frmulas para hallar el mdulo de las componentes

Componente horizontal ( Fx )Componente vertical ( Fy )

En OAB En OAB

Remplazamos a y

Remplazamos a y

Mdulo del componente horizontalMdulo del componente vertical

Para representar al vector en su forma rectangular es suficiente presentar el par ordenado correspondiente al sentido del vector.

Simblicamente:

Donde:

: vector F

Fx : componente horizontal del vector F

Fy : componente vertical del vector FEjemplos

1. Dado el siguiente vector libre, traza las componentes indicando la representacin rectangular del vector.

y

TTy

T

x1

x

T = 30 N Tx

= 58 y1

Nota.- Para hallar la representacin rectangular de un vector, no es necesario que la grfica del vector este a escala.

Hallamos el componente horizontalHallamos el componente vertical

Tx = T cos Ty = T sen

Tx = 30 N cos58Ty = 30 sen 58

La representacin rectangular del es:

T = (15,9 N ; 25,44 N )

2.1.3. Representacin polar. Dado un vector en posicin normal podemos hallar su longitud, lo que nos da su mdulo; luego encontramos el ngulo de inclinacin de la recta que soporta al vector, lo que nos da su direccin. Por lo tanto, tambin para identificar perfectamente a un vector es suficiente conocer su mdulo y su ngulo en su posicin normal.

Simblicamente:

Donde:

a : mdulo del a

: ngulo formado por el a y el eje x en su lado positivo

Ejemplo

Graficar el siguiente vector, en su posicin normal y hallar su representacin polar.

y

L

L

x1x

L = 70 km = 135

y1

La representacin polar del L es:

L = ( 70 km , 135 )

3. Clases de vectores.- Podemos distinguir los siguientes:

3.1. Vectores paralelos.-Son vectores que tienen la misma direccin y que equidistan en toda su extensin.

g d U P

g || d

U || P

3.2. Vectores opuestos.- Son vectores que pueden tener la misma direccin y mdulo pero sentidos opuestos.

hd

3.3. Vector Resultante.- En un sistema dado, es decir dos o ms vectores, se llama resultante, a un vector que produce el mismo efecto que todos los vectores dados.

w VR

m

VR : vector resultante

3.4. Vectores colineales.- Son aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin es decir tienen la misma direccin.

Cg A

3.5. Vectores coplanares.- Son vectores que estn contenidos en un mismo plano.

3.6. Vectores concurrentes.- Se denominan vectores concurrentes a aquellos vectores que tienen el mismo punto de aplicacin pero diferentes sentidos y direcciones.

j

b

t

g

4. Operaciones con vectores.- Se realizan las siguientes operaciones con vectores: adicin y sustraccin entre otras. Para sumar o restar vectores se utilizan dos mtodos generales: grfico y analtico, que varan de acuerdo al nmero de vectores.

4.1. Adicin de vectores.- Se presentan los siguientes casos:

4.1.1. Adicin de vectores.- Para sumar dos o ms vectores colineales procedemos de la siguiente forma:

i) Grficamente.- Dados dos vectores colineales a y b , se halla la suma a + b , copiando el a y a continuacin el b , tomando en cuenta que el extremo final del primer vector se convierte en origen del segundo vector.

ESCALA

1 cm = 5 km

| u | = 15 km a la derecha

| p | = 25 km a la derecha

up

up

u + p

| u + p | a la derecha

ii) Analticamente.- Para hallar la suma analtica procedemos a realizar la suma algebraica de los mdulos de los vectores.

u + p = 15 km + 25 km = 40 km a la derecha

4.1.2. Adicin de vectores concurrentes.- Para realizar la adicin grfica de vectores utilizamos los siguientes mtodos que varan de a cuerdo al nmero de vectores presentes en el sistema.

A) Dados dos vectores.- Grficamente utilizamos el mtodo del paralelogramo, analticamente, segn el ngulo que formen los vectores utilizamos el teorema de Pitgoras, el teorema de los cosenos y las funciones trigonomtricas.

i) Grficamente.- Utilizamos el mtodo del paralelogramo que consiste en copiar los dos vectores haciendo coincidir sus orgenes en un solo punto, por el extremo final de cada vector se traza una recta paralela a cada vector, las rectas se cortan en un punto. La suma queda determinada por la diagonal que se traza desde el origen comn hasta el punto donde se intersecan las rectas.

ii) Analticamente.- Segn el ngulo que formen recurrimos al teorema de Pitgoras, al teorema de los cosenos, adems de las funciones trigonomtricas.

Angulo rectoAngulo agudo u obtuso

Sea el tringulo rectngulo:Sea el siguiente rectngulo:

A A

c b

b

c

B a C

B a C

Teorema de Pitgoras

La hipotenusa al cuadrado es igual a la Teorema de los cosenos

suma de los cuadrados de los catetos.

Un lado al cuadrado es igual

a la suma de los cuadrados de

los otros lados, menos el doble

producto de esos mismos lados

Funciones trigonomtricaspor el coseno del ngulo que

forman.

. . .

Ejemplo

Dados dos vectores concurrentes que forman entre s un ngulo de 135. Hallar el mdulo del vector suma si: m = 12 N y n = 16 N .

i) Grficamente

ESCALA

1 cm = 4 N

S = m + n

S= m + n

n

S = m + n = 11,2 N

135 135

m

S2 = m2 + n2 2 m n cos 45

S2 = (12 N)2 + (16 N)2 2 12 N 16N cos 45

S2 = 144 N2 + 256 N2 384 N2 0,71

S2 = 400 N2 271, 53 N2

||

S = 11,33 N

B) Dados dos o ms vectores concurrentes.- Para sumar grficamente dos o ms vectores concurrentes recurrimos al mtodo del polgono y analticamente aplicamos la descomposicin de vectores.

i) Grficamente.- El mtodo del polgono consiste en copiar todos los vectores, manteniendo su direccin, uno a continuacin de otro, desde el primer hasta el ltimo vector. El vector suma queda determinado por la recta orientada que recorre desde el origen del primer vector hasta el sentido del ltimo vector.

ii) Analticamente.- Realizamos la descomposicin de cada uno de los vectores en sus componentes horizontal y vertical en los ejes cartesianos, posteriormente efectuamos la sumatoria en cada eje y obtenemos el mdulo del vector suma aplicando el teorema de Pitgoras. Para hallar la direccin del vector suma utilizamos la funcin trigonomtrica tangente (tg).

Ejemplo

Hallar el vector suma o resultante de un sistema de vectores concurrentes, el p dirigido al N, el q dirigido a 45 NE y el r dirigido a 45 SE, con mdulos: p = 36 kp; q = 48 kp; r = 60 kp .

i) GrficamenteESCALA

1 cm = 12 N

q

r

p q

VR

VR = p + q + r

VR = 81,6 kp

r

ii) Analticamente

Recuerda. Para hallar la suma por el mtodo analtico no es necesario realizar la grfica a escala.

y

p

q

qy

rx

x1 45

45qx

ryr

y1

- Primer paso: Hallamos la Vx (sumatoria de vectores en el eje X ).

Vx = rx + qx

Vx = r cos 45 + q cos 45

Vx = 60 kp 0,71 + 48 kp 0,71

Vx = 42,43 kp + 33,94 kp

Vx = 76,37 kp

- Segundo paso: Hallamos la Vy (sumatoria de vectores en el eje y).

Vy = p + qy ry Vy = p + q sen 45 r sen 45

Vy = 36 kp + 48 0,71 60 0,71

Vy = 36 kp + 33,94 kp 42,43 kp

Vy = 27,51 kp

- Tercer paso: Hallamos el mdulo del vector suma aplicando el teorema de Pitgoras.

Vy VR VR

Vy

Vx

Vx VR2 = ( Vx )2 + ( Vy )2

VR2 = ( 76,37 kp )2 + ( 27,51 kp )2

VR2 = 5832,38 kp2 + 756,8 kp2

| |

VR = 81,17 kp

- Cuarto paso: Hallamos la direccin del VR con la funcin tangente (tg).

Vy tg =

Vx

tg

tg = 0,36

= arc tg 0,36

= 19 48 36

4.2. Sustraccin de vectores.- Para restar dos o ms vectores procedemos de idntica forma que en la adicin de vectores con la siguiente variacin:

Antes de realizar la sustraccin se debe identificar al vector sustraendo y cambiar por el vector opuesto a este, posteriormente, sumamos vectorialmente.

5. Composicin de vectores.- Componer un sistema de vectores es determinar un vector resultante que tenga el mismo efecto que el conjunto de vectores. Para establecer o determinar el vector resultante basta con realizar la adicin de vectores.

Por lo tanto para denotar el vector resultante o vector suma se utiliza la siguiente simbologa:

VR o S o a + b + c . . .

Donde:

VR : vector resultante

S : vector suma

a + b + c : suma de los n vectores

3

1

2

4

Fx = F cos

Fy = F sen

EMBED Equation.3

Ty = 25,44 N

Tx = 15,9 N

a = ( a ; )

n r

i

b2 = a2 + c2

a2 = b2 + c2 2 b c cos A

b2 = a2 + c2 2 a c cos B

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