MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL

1

MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL

Con el apoyo académico de la Universidad Católica de Lovaina y la Universidad de Gante

(Bélgica)

2

PROGRAMA DE AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

Universidad de Ibagué – Marzo 19 de 2009

3

SEÑALES Y SISTEMAS

Ing. M.Sc. PhD José Aldemar Muñoz HernándezCorreo electrónico: [email protected]. M.Sc (c) Ricardo Enrique Troncoso HernándezCorreo electrónico: [email protected]

4

3. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

5

Secuencias

x(0)x(T) x(2T)

x(3T)

0 T 2T 3T

t=nTPresiónsanguínea

Tiempo t

Muestreadorideal

x(t) x(nT) x(t) x(nT)

switch

T

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

6

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETOLas mismas conclusiones acerca de los sistemas pueden obtenerse en caso de que el sistema sea digital. Aquí las señales vienen dadas por secuencias y la ecuación del sistema por ecuaciones en diferencia.

Sistema tiempo contínuo Sistema tiempo discreto

Ecuación diferencial Ecuación en diferencia

Y[n]+A1y[n-1]+A2 y[n-2]+…+AN y[n-N] =B0x[n]+B1x[n-1]+…+BMx[n-M]

7


Señales en tiempo discreto

• Las señales se representan como secuencias de números (muestras)• El valor de la muestra de alguna señal típica o secuencia se denota con

x[n],

Representación gráfica de una señal en tiempo discreto

∞≤≤∞− n

8


• T: Intervalo de muestreo o periodo de muestreo

• Fs : Frecuencia de muestreo (T=1/Fs)

• Si T esta en segundos, Fs estará en ciclos por segundo(Hz)

• Sin importar si x[n] se obtiene por muestreo, la cantidad x[n] se llama la n-ésimamuestra de la secuencia

• x[n] es una secuencia real, si la n-ésima muestra x[n] es real ∀n, de lo contrariox[n] es una seecuencia compleja.

• Una secuencia compleja se puede escribir como :

][][][ nxfnxnx imre +=

9


• Secuencia conjugada compleja de x[n]

• Tipos de señales discretas :

Señales de datos muestreados (sampled-data signals)

Los valores de las muestras estan en contínuo

Señales digitales (digital signals)

Los valores de las muestras estan en discreto

][][][ ImRe

* nxfnxnx −=

10


• Señal en tiempo discreto de longitud finita :

• Una secuencia de longitud N esta dada por una secuencia de N puntos.

• La longitud o duración de la secuencia de longitud finita esta dada por :

• Una secuencia de lado derecho (right-sided) x[n] tiene muestras con valor ceropara n<N1

• Si N1∆0, la secuencia es causal Secuencia de lado izquierdo(left-sided)

21 NnN ≤≤

112 +−= NNN

11


Operaciones básicas

1. Producto (modulación)

2. Aadición

3. Multiplicación

12


4. Desplazamiento en el tiempo

N>0Retardo unitario

N<0Operación avance

5. Operación folding

13


6. Operación de ramificación (Branching)

Ejemplo :

]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nxanxanxanxany

14


Alteración de la rata de muestreo : se emplea para generar una nuevaSecuencia y[n] con una rata de muestreo F´T más alta o más baja que laRata de muestreo FT de una secuencia dada x[n].

Razón de alteración de la rata de muestreo

• Si R>1, el proceso se llama interpolación• Si R<1, el proceso se llama decimación

T

T

FFR

´

=

15


• Muetsreo por encima por un factor entero L>1, L-1 muestras con valor cero equidistantes se insertan por el muestreador entre cada dos muestras consecutivas de la secuencia de entrada x[n].

16


• En muestreo hacia abajo por un factor entero M>1, cada M-ésimas muestrasde la entrada se mantienen y M-1 muestras entre ellas son removidas :

17


• Una secuencia arbitraria se puede representar en el dominio del tiempocomo una suma pesada de alguna secuencia básica y su versión reatardada (avanzada)

18

TRANSFORMADA Z

E z Z e k e z r z Rkk

k

( ) [ ] ,= = < <−

= −∞

∞

∑ 0 0

Se define la transformada z, E(z) de una secuencia e[k] :

La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominiocomplejo

Para una secuencia x[n]=6 4 2 2 -2 la transformada z esta dada por :

Como X(z) es una serie de potencias, no converge para todo z. Los valores de convergencia definen la región de convergencia(ROC).

Toda X(z) tiene asociada una ROC, pues puede ocurrir que dos secuenciasdistintas tengan una X(z) idéntica, pero diferentes ROC.

sftjerz π2=

21012 22246)( −− −+++= zzzzzzXn=0

19

TRANSFORMADA Z

Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z,excepto para z=0 y/o z=∞

Transformada z de algunas secuencias

• Impulso unitario

• Pulso rectangular

• Escalón unitario

∞≤≤∞−== zROCzXnnx ,;1)(];[][ δ

0,1;11)(];[][][

1

01 ≠≠

−−

==−−= ∑−

=−

−− zROCz

zzzzXNnununx

N

k

Nk

1:;1

1)(];[][0

1 >−

=== ∑∞

=−

− zROCz

zzXnunxk

k

20

TRANSFORMADA Z

Transformada z idéntica para dos secuencias, pero ROC diferente.

• Exponencial

azROCaz

zza

zazXnuanx

k

k

k

k

kk

>−

==

==

∑

∑∞

=

−∞

=

;)(

)(

)(];[][

0

0

• Exponencial

azROCaz

z

az

az

azzazazX

nuanxm

m m

mmk

k

k

n

<−

=−

−=

−=−=−=

−−−=

∑ ∑∑∞

=

∞

=

−−−

−∞=

:;)()](1[

)(

)()(

],1[][

1 1

1

21

TRANSFORMADA ZTransformada z unilateral : Suponga que se representa la secuencia discreta

u(kT), k=0,1,… como una función contínua usandola función “delta”.

u kT u t u t T u t kTk[ ] ( ) ( ) ( )= + − + + − +0 1δ δ δ

La transformada de Laplace de la secuencia discreta es :

L u kT u u e u eTsk

kTs [ ] = + + + +− −0 1

Se elimina ahora la función exponencial trascendental definiendo una nuevavariable z=esT, para obtener :

Z u kT L u kT U z u zs

Tz k

k

k

[ ] [ ] ( )ln

= = ==

−

=

∞

∑1

0

22

TRANSFORMADA Z

• Transformada z de a k

Sea,

•Si a=1 se obtiene la función paso unitario

•Si a=e+-bT se obtiene la función exponencial

zz − 1

zz e bT− ±

23

TRANSFORMADA Z

• Transformada z de

( )( )( ) ( )

( ) ( )

Z u Z ka aZ ka aZdda

a

adda

Z a adda

az

a az z

az

az

az

z a

kk k k

k

= = =

= = −

= − − −

=−

=−

−

−−

−−

−

−

−

1

11

12

1

1

12 2

1

1 1

1

Use los comandos de Matlab ztrans, iztrans

• Si a=1,

( )Tz

z − 12ZkT=TZk= Función rampa unitaria

24

TRANSFORMADA Z

• Transformada z de a=rejωT

• Si a=e+-bT

( )Z kTe

Tze

z e

bkTbT

bT ±

±

±=

−2

25

TRANSFORMADA Z

• Propiedades de la transformada z

Superposición

Desplazamiento

Escalado

)()(][][ zbYzaXnbynax +↔+

]1[...]1[]0[)(][][...]1[)(][

]1[)(]1[

1

)1(

1

−−−−−↔+−++−+↔−

−+↔−

−

−−−

−

NzxxzxzzXzNnxNxxzzXzNnx

xzXznx

NNN

NN

)/(][ azXnxan ↔

xndz

zdXznnx )(][ −↔

xn2

))((][2

dzzdXz

dzdznxn −−↔

26

TRANSFORMADA Z

• xcos )]exp()exp([21][)cos( 000 TjzXTjzXnxTn ωωω −+↔

• xsen )]exp()exp([21][)sin( 000 TjzXTjzXjnxTn ωωω −−↔

Definición y propiedades

• Convolución

• Diferencia

• Teorema del valor inicial

• Teorema del valor final

)()(][*][ zYzXnynx ↔

)()1(]1[][ 1 zXzNxnx −−↔−−

)(lim]0[ zXxx ∞→

=

)()1(lim)(lim1

zXzNxzx

−=→∞→

27

Secuencia Transformada z ROC

][nuan

)( azz−

az >

]1[ −−− nuan

)( azz− az <

][nunan2)( az

az−

az >

][][cos 0 nuTnω 1)(cos2)](cos[

0

2

0

+−−

zTnzTnzz

ωω 1>z

][][ 0 nuTsennω 1)(cos2)(

0

2

0

+− zTnzTnzsen

ωω

1>z

][][cos 0 nuTnr n ω 2

0

2

0

)(cos2)](cos[

rzTnrzTnrzz+−

−ωω rz >

TRANSFORMADA Z

28

TRANSFORMADA Z

• Desplazamiento hacia delante ó avance de una etapa

Z u u z u z z

z u z z u z

z u z zu zu

zU z zu

k kk

kk

k

k

kk

km

m

m

mm

m

( )

( )

( )

+ +−

=

∞

+− +

=

∞

+− +

=

∞−

=

∞

−

=

∞

= =

= =

= + −

= −

∑ ∑

∑ ∑

∑

1 10

11 1

0

11

0 1

10 0

0

29

TRANSFORMADA Z• Desplazamiento hacia delante ó avance de dos etapas

Z u zZ u zu

z zU z zu zu

z U z zu z u

k k

( )

( )

+ += −

= − −

= − −

2 1 1

0 1

21

20

En general:

Z u z U z z u zk nn n

mm

m

n

( )+−

=

−

= − ∑0

1

Transformada z bilateral:se define como

∑=∞

−∞=

−

n

nznxzX ][)(z es una variable compleja, y la transformada z biLateral de una señal discreta es una función analíti-ca en cierto dominio, que se denomina región deConvergencia.

30

TRANSFORMADA Z• Propiedades de la transformada z

31

TRANSFORMADA Z

• Se puede obtener la transfromada de Fourier a partir de la transformada z haciendo la substitución z=ejω. Esto corresponde a restringir |z|=1. Con z=rejω,

njn

n

nj

n

j ernxrenxreX ωωω −−∞

−∞=

−∞

−∞=∑=∑= )][()(][)(

• Esto es, la transformada z es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]r-n. Para r=1 esta es la transformada de Fourier de x[n]. De esta manera, latransformada de Fourier corresponde a la transformada z evaluada sobre el cir-culo unitario.

La transformada de Fourier es periódica en fre-cuencia.

La transformada de Fourier no converge paratodas las frecuencias(la suma infinita no siempreserá finita).

La transformada de Fourier de x[n] existe si la su-ma converge.

32

TRANSFORMADA Z• La transformada z de x[n] es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]r-n. La transformada z existe (ó converge) si,

∞<∑=∞

−∞=

−

n

nrnxzX ][)(

• Esto conduce a la condición

∞<∑−∞

−∞=

n

nznx ][

Para la existencia de la transformada z. La ROC consiste de un anillo en elPlano z :

• En casos específicos el radio interno de esteanillo puede incluir el origen, y el radio exter-no se puede extender al infinito.

• Si la ROC incluye el circulo unitario |z|=1, en-tonces la transformada de Fourier convergerá.

33

TRANSFORMADA Z• Región del plano complejo z para la cual converge la transformada z. Cuatrocasos(z=0 puede o no puede ser incluido, es un caso especial!)

34

TRANSFORMADA “Z” INVERSA

• Solución del ejemplo anterior por transformada z inversa.

• Ahora el problema consiste en tomar la transformada z inversa dela razón de dos polinomios en z.

35


• METODOS COMUNES PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA

División sintética : divide los polinomios para obtener una serie de potencia en z-1.

Expansión en fracciones parciales : descompone U(z) en una combina-ción lineal de transformadas z fácil-mente invertibles.

El comando “residue” de MATLAB calcula la expansión en fraccionesparciales.

36

TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Método de división sintética : representa a U(z) como una serie de potencias

en z-1.

U z u u z u z( ) = + + +− −0 1

12

2

u u k u k u kk = + − + − +0 1 21 2δ δ δ[ ] [ ] [ ]

• Este método es útil para un número limitado de valores en unasecuencia ó como un método de chequeo rápido sobre otros métodos.

37

TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Método de expansión en fracciones parciales :

Donde,

i incluye todas las raíces distintas de a(z) r incluye todas las raíces repetidas de a(z) la raíz zr tiene multiplicidad mr>1.

Los coeficientes (residuos) A,B Y C se pueden calcular a mano para sistemasde orden bajo, o expandiendo U(z)/z en una expansión en fracciones parcialesUsando “residue” y multiplicando por z en sitemas de orden alto.

38

TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Cálculo de los residuos por el método de Heaviside :

( )

( )( )

Az z U z

z

Bm j

d

dz

z z

zU z

ii

z z

rjr

m j

m j

rm

z z

i

r

r

r

r

=−

=−

−

=

−

−

=

( )

!( )

1

39

TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Ejemplo 1: Obtener la transformada Z inversa de )1)(1(

2)( 2

2

+−−++

=zzz

zzzG

utilizando el método de expansión en fracciones parciales :

)3(2)2()1()3()2(2)1(2)( −+−+−=−−−+−− kxkxkxkykykyky

Solución :

11)1)(1(2)( 2

3212

2

+−+

+−

=+−−

++=

zzkzk

zk

zzzzzzG

Multiplicando por el m.c.d. : )1)(1( 2 +−− zzz

)1)(()1(2 322

12 −+++−=++ zkzkzzkzz

3232

2112

1 kzkzkzkkzkzk −−+++−=

311232

212 )()(2 kkzkkkzkkzz −+−−++=++

(Ec. A)

40


• Igualando coeficientes de potencias iguales de z :

121 =+ kk

,

1321 =+−− kkk 231 =− kk

k1 = 4, k2 = -3 y k3 = 2

• Sustituyendo en la ecuación (A) :

21

21

1

1

2 123

14

123

14)( −−

−−

−

−

+−+−

+−

=+−+−

+−

=zzzz

zz

zzz

zzG

21

2

21

21

1

1

15.0

15.03

14

−−

−

−−

−−

−

−

+−+

+−

−−

−=

zzz

zzzz

zz

21

11

21

11

11

15.0

15.013

114 −−

−−

−−

−−

−−

+−+

+−

−−

−=

zzzz

zzzz

zz (Ec. B)

41


,

• Se conoce que : [ ] 221

1

)(21)(1)( −−−−

−−−

+−−

=zewTCosez

wTCosezwtCoseZ aTaT

aTat

[ ] 221

1

)(21)()( −−−−

−−−

+−=

zewTCosezwTSenezwtSeneZ aTaT

aTat

12 =− aTe21)( =wtCos,

3π

=wt

2386.0

3)( ===

πSenwtSen23)( =wtSen

=

+−

−−−

−−

31

15.01

21

11 πkCos

zzzZ k

=

+−⋅=

+−=

+− −−

−

−−−

−

−−−

−−

31

31

12

3

31

12

1

15.0

21

11

21

11

21

11 πkSen

zz

zZ

zz

zZ

zzzZ k

( ) ( ) ( )3

)1(13

13

)1(131)( 111 ππ −+

−−= −−− kSenkCosakx kkk Para k = 1,2,3,...

x(k)=0, kΩ0

42


• Ejemplo 2:

][)21(8][)

41(16][8][

)2/1(8

)4/1(168)(

)2/1(8

)4/1(168)(

)2/1)(4/1(1)(

nununnx

zz

zzzX

zzzzzX

zzzX

nn +−=⇒

−+

−−=⇒

−+

−−=⇒

−−=

δ

][)2(][][][)2()1()1(

)()2(

1)1(

1)1(

1)()2()1()1()2()1(

1)()2()1(

)(

22

222

nunnununxz

zz

zz

zzXzzzz

zXz

Cz

Bz

Azzz

zXzz

zzX

n+−−=⇒−

+−

−−−

=⇒−

+−

−−−

=⇒

−+

−+

−=

−−=⇒

−−=

•Ejemplo 3:

43

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETOECUACIONES EN DIFERENCIA

Un sistema LTI en tiempo discreto se puede representar mediante ecua-Ciones en diferencia.

44


• Adelantos y retardos

y[k+2] – 5 y[k+1] + 6 y[k] = 3 f[k+1] + 5 f[k]

y[k] – 5 y[k-1] + 6 y[k-2] = 3 f[k-1] + 5 f[k-2]

y[k-1] = y[k-1] u[k] ≠ y[k-1] u[k-1]

Avance

K=k-2Atraso

Se trabaja con k∆0, así que u[k] estaA menudo implicado.

45

FUNCION DE TRANSFERENCIA

• Se puede describir la salida de un sistema en tiempo discreto para una entrada específica y unas condiciones iniciales dadas.

• No es una solución general la que nos motiva a mirar hacia las funcionesde transferencia de un sistema.

• Con el fin de derivar la F.T se debe separar :

Respuesta del sistema a “ESTADO CERO” a una entrada dada concondiciones iniciales cero.

Respuesta “ENTRADA CERO” a solo condiciones iniciales.

46

FUNCION DE TRANSFERENCIA Considere la respuesta al “ESTADO CERO”

1. Sin condiciones iniciales : y[-k]=0 ∀k>02. Solo entradas causales : f(-k)=0 ∀k>0

Escriba una ecuación en diferencia general de orden n-ésimo

47


Definición : La F.T de un sistema es la razón de la transformada de la salidadel sistema a la de la entrada con condiciones iniciales cero.

H[z] es una función racional (razón de dos polinomios) de la variable compleja z.

Para H(z)=a(z)/b(z)

• Los valores de z para los cuales a(z)=0 son llamados ceros de H(z). Estos de-terminan las frecuencias bloqueadas por el sistema.

• Los valores de z para los cuales b(z)=0 son llamados polos de H(z). Estos de-terminan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema).

• Si z0 es un polo de H[z] y (z-z0)pH(z) no tiene ni un polo ni un cero en z0,se dice que H[z] tiene un polo de orden p en z0.

48

FUNCION DE TRANSFERENCIA• Efecto de polos y ceros de H(z)

[ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )m

mn zzz

zzzzzzbzHγγγ −−−

−−−=

21

21

• Un número complejo es pensado como un vector en el plano complejo.

Re

Imiz

izz −z

• Como z y zi son ambos números complejos, la diferenciaes de nuevo un número complejo y de esta forma un vector en el plano complejo.

• Cada término de diferencia (z-z1), etc, en H(z) puede ser representado como un número complejo en formapolar

49


( )

( ) ( )[ ]mm

m

m

j

m

mn

jm

jj

jm

jj

nj

edddrrrb

ededederererbeH

θθθφφφ

θθθ

φφφ

+++−+++

Ω

=

=

2121

21

21

21

21

21

21

• La magnitud es la distancia del polo/cero alpunto elegido(frecuencia) sobre el circulo uni-tario.

• El ángulo es el ángulo del vector con el ejehorizontal.

50

FUNCION DE TRANSFERENCIA• Un sistema LTI también se puede expresar en una ecuación en diferencia.

][...]1[][][...]2[]1[][

1

21

MnxBnxBnxBNnyAnyAnyAny

Mo

N

−++−+=−++−+−+

• Aplicando transformada z a ambos lados de esta ecuación, se tiene lafunción de transferencia discreta del sistema H(z).

N

N

M

Mo

zAzAzBzBBzH−−

−−

++++++

=...1...)(

1

1

1

1

• En forma factorizada,

))...(())...(()(

1

1

N

M

pzpzzzzzKzH

−−−−

=

51


• S i la F.T se evalúa para los valores de z=exp(j2πfts), esto es, en el círculo unitario, se obtiene la F.T en el estado estacionario o la respuesta en fre-cuencia del sistema, H(f). Esta función H(f) es periódica con periodo ts=1/fs y esla DTFT de h[n].

• Para calcular la respuesta en frecuencia de y[n]=αy[n-1]+x[n], se substituye zpor exp(j2 πfts), entonces

−

=

+−

=

+−=

−=⇒

−=

−

−−

)2()2cos(1tan)(

)2cos(211)(

)2()2cos(11

11)(

)1(1)(

1

2/1

2

21

s

s

s

ss

ftj

ftsenftf

ftfH

ftjsenftefH

zzH

s

παπαφ

απα

ππααα π

52

FUNCION DE TRANSFERENCIA• Ejemplo 4 :

• Interpretación física de polos y ceros

• La magnitud exhibe grandes picos alre-dedor de z=0.4±j0.693(polos de G(z)).

• La magnitud exhibe pozos muy estre-chos y profundos alrededor de la loca-ción z=1.2 ±j1.2

53

FUNCION DE TRANSFERENCIA• La ROC de una transformada z es un concepto importante. Sin este conocimien-no hay una única relación entre una secuencia y su transformada z.

• La transformada z debe siempre especificarse con su ROC.

• La ROC de una transformada z racional esta limitada por la localización de suspolos.

• Ejemplo : La transformada z H(z de la secuencia h[n]=(-0.6)un[n]esta dada por :

16.011)(

−+=

zzH

• Aquí la ROC esta justo fuera del circuloque va a través del punto z=-0.6

6.0>z

54

DIAGRAMAS DE BLOQUE

• Las representaciones en función de transferencia (F.T) de sistemas discretosPermiten el uso de diagramas de bloque para describir sistemas en tiempo dis-creto de una manera análoga a como se hizo en sistemas continuos.

Adicione funciones de transferencia en paralelo.

Multiplique funciones de transferencia en serie (cascada)

Un lazo de retroalimentación sencillo se reduce a una F.T de camino hacia delante dividida por uno menos la F.T del lazo abierto.

La manipulación de diagramas de bloque y lasa reglas de Mason se aplicansin cambio.

55

DIAGRAMAS DE BLOQUE• Interconexión en serie de dos sistemas

H1 H2x[n]

y1[n] y[n]

][][]][[][ 1212 nxHnHHnyHny ===

• Interconexión en serie de dos sistemasparalelo

y[n]H1

H2

x[n]y1[n]

y2[n]

+

+

][][][ 12 nxHnxHHny =+=

56

ESTABILIDAD

• Conocida H[z] se puede encontrar la salida dada una entrada.

• Puesto que H[z] es la razón de dos polinomios, las raíces del polinomio deldenominador (polos) controlan donde H[z] puede explotar!

• Se dice que el sistema es “ESTABLE” si H[z] corresponde a una serie queconverge cuando los polos caen dentro (no sobre) de un circulo unitario.

También se puede decir que el sistema es estable si la magnitud de todos suspolos es menor que uno.

H[z] Y[z]F[z]

57

ESTABILIDAD• Un sistema LTI es asintótica mente estable siy solo si todas las raíces están dentro del circulo unitario. La estabilidad de un sistema LTI discretorequiere que la respuesta impulso h[n] sea absoluta-mente sumable(integrable en contínuo). Esto quiere

decir que h[n]=0 en n=∞.• Inestable si y solo si una o ambas de las siguientes condiciones existen :

Al menos una raíz esta fuera del circulo unitario

Raíces repetidas sobre el circulo unitario.

• Marginalmente estable si y solo si no hay raícesfuera del circulo unitario y no hay raíces repetidassobre el circulo unitario.

58

ESTABILIDAD

Estabilidad tiempo continuo vs tiempo discreto

Sistema tiempo discreto Sistema tiempo contínuo

59

ESTABILIDAD

• Estabilidad interna : se refiere a las respuestas de todas las variables internas(estados) de un sistema.

• Estabilidad externa : se refiere a la respuesta de las variables de salida de unsistema tales como las descritas por la F.T ó el modelo derespuesta impulso.

Ellas difieren en que algunos de los modos internos del sistema no pueden estarconectados a la entrada y salida de un sistema dado.

Para estabilidad externa una definición común de una respuesta apropiadaes que para cada entrada limitada la salida debe también ser limitada.

Una condición necesaria y suficiente para estabilidad BIBO(bounded input-boundedoutput) es :

hk ii

−= −∞

∞

∑ < ∞

60

ESTABILIDAD

Una F.T racional puede ser expandida en una expansión en fracciones parcialesAsí que su respuesta pulso será la suma de sus términos. Asi, si todos los polos estan dentro del circulo unitario, el sistema es estable. Si al menos un polo esta Sobre o fuera del circulo unitario, el sistema no es BIBO estable.

1. Suficiente : sea ∀i, entonces,

Así, la salida esta limitada si

2. Necesaria : considere la entrada limitada

Aaplicando esta entrada. La salida en k=0 es:

A menos que esta condición seaVerdadera, el sistema no es BIBOestable.!

61

ESTABILIDAD• La estabilidad de una F.T puede determinarse inspeccionando los coeficientesdel denominador de la F.T. Para ello debe estar en forma de términos de se-gundo órden,

)11(

)()()(

2

2

1

1

2

2

1

11

00 −−

−−−

= ++++

∏==zzzza

zDzNzH

ii

iiL

i ααββ

• Para cada término de segundo órden se calculan las raíces (λ1i y λ2i) del deno-minador así :

)1)(1(1)( 2

2

1

1

2

2

1

1

−−−− −−=++= zzzzzD iiiii λλαα

• Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple,

iii

iii

212

211

.)(

λλαλλα

=+−= 11 21 << ii y λλ

12 <iα

62

ESTABILIDAD

• Las raíces del polinomio son :

24

,2

4 2

2

11

2

2

2

11

1

iii

i

iii

i

αααλ

αααλ

−−−=

−+−=

iiiiii

iii

iii

21

2

112

2

1

12

2

1

2

2

11

1444

2412

4

αααααα

αααααα

+<⇒+−<−

−<−⇒<−+

1-1

1i2α

i1α

-1

63

ECUACION EN DIFERENCIA

Ejemplo ecuación de segundo orden :

•y[k+2] - 0.6 y[k+1] - 0.16 y[k] = 5 f[k+2] withy[-1] = 0 and y[-2] = 6.25 and f[k] = 4-k u[k]

• Respuesta entrada cero

• Respuesta estado cero

γ 2 - 0.6 γ - 0.1 6 γ = (γ + 0.2) (γ - 0.8)

(γ + 0.2) (γ - 0.8) = 0

γ1=-0.2 ; γ2=-0.8

y0[k] = C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k

Polinomio característico

Ecuación característica

Raíces características

Solución

64


• Respuesta impulsoh[k+2] - 0.6 h[k+1] - 0.16 h[k] = 5 δ[k+2]

h[-1] = h[-2] = 0Con debido a la causalidad

h[k] = (b0/a0) d[k] + y0[k] u[k] a0=-0.16; b0=0

h[k] = y0[k] u[k] = [C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k] u[k]

Se necesitan dos valores de k para resolverh[0] - 0.6 h[-1] - 0.16 h[-2] = 5 d[0] ⇒ h[0] = 5h[1] - 0.6 h[0] - 0.16 h[-1] = 5 d[1] ⇒ h[1] = 3h[0] = C1 + C2 = 5

h[1] = -0.2 C1 + 0.8 C2 = 3

C1 = 1, C2 = 4 Solución única!

•h[k] = [(-0.2)k + 4 (0.8)k] u[k]

65


• Solución respuesta estado cero

ys[k] = h[k] * f[k] = [(-0.2)k + 4(0.8)k] u[k] * (4-k u[k])ys[k] = [-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k + 5.81 (0.8)k] u[k]

• Respuesta total •y[k] = y0[k] + ys[k]

y[k] = [C1(-0.2)k + C2(0.8)k] +[-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k + 5.81 (0.8)k] u[k]

Con y[-1] =0 y y[-2] = 6.25

y[-1] = C1 (-5) + C2(1.25) = 0y[-2] = C1(25) + C2(25/16) = 6.25

C1 = 0.2, C2 = 0.8

66


Ejemplo 5:

Resuelva para : u(k)=2,3,…

%Sea l=k+1%Código MATLAB :u(1)=1;u(2)=1;for l=3:10u(l)=u(l-1)+u(l-2);endk=0:9;stem(k,u)title(‘primeros 10 términos serie Fibonnaci')

67

ECUACION EN DIFERENCIA• Aproximación clásica

1. Asuma una solución, u(k)=zk

2. Substituya en la E.D y resuelva para todos los posibles valores de z quesatisfacen la ecuación diferencial(E.D),

3. Construya un solución general en la forma de una combinación lineal delas soluciones, zk, esto es,

4. Resuelva para los Ai imponiendo las condiciones iniciales.

z i ni , = 1

u A zk i ik

i

n

==∑

1

68


• Solución del ejemplo anterior usando la aproximación clásica

69

ECUACION EN DIFERENCIA• Respuesta de un sistema con condiciones iniciales nulas

Sistema Ec[1]

Entrada

][]1[][ nxnyny +−=α

][][ nunx nα=Aplicando transformada z a la Ec[1]

][)1(][][][)()(

)(

)()(1

)()(

)()()()(

][][)(

)1(1

)()()()1)((

2

222

2

1

1

nunnunnunyz

zz

zzY

zzzz

zzY

zzzHzXzY

zznunxzX

zz

zzXzYzXzzY

nnn

cin

n

αααα

αα

αα

ααα

αα

ααα

+=+=⇒−

+−

=

−+

−=

−=⇒

−==

−=Ζ=Ζ=

−=

−=⇒=−

−

−

70

•Respuesta de un sistema con condiciones iniciales no nulas

Considere el mismo sistema anterior, pero con las condiciones iniciales : y[-1]=2

Aplicando el principio de superposición se tiene

][][][ nynyny eccin +=Siendo,

Ycin[n]: respuesta con condiciones iniciales ceroYec[n]: respuesta del sistema a entrada cero(x[n]=0) y condiciones iniciales espe-

cificadas

• Respuesta al estado cero : ]1[][ −= nyny α

][2][]1[][)(

]1[)1(

]1[][]1[][

1

1

1

nunuynyz

zyz

yzYyzYzY

nn

ec

ececec

+

−

−

=−=−−

=−−

=⇒−+=

αααα

αα

αα


71

ECUACION EN DIFERENCIA• Respuesta total del sistema :

][)21(]2[],[2][)1(][][][ 1

nunEcnununnynyny

n

nn

eccin

αααα

++=++=+= +

y[n-1] x[n] y[n](1) y[n](3)

n=0 2 1 2α+1 2α+1

n=1 2 α+1 α (2 α+2) α (2 α+2)α

n=2 (2 α+2)α α2 (2 α+3) α2 (2 α+3)α2

n=3 (2 α+3)α2 α3 (2 α+4) α3 (2 α+4) α3

n=4 (2 α+4) α4 α4 (2 α+5) α4 (2 α+4) α3

72


• Sistemas IIR y FIR

FIR(respuesta al impulso finita) causal ⇒ implementable en la práctica

Nnynnh ≥<= 0;0][

∑ −=−

=

1

0][][][

N

kknukhny

Implementación FIR no-Recursiva.

73

ECUACION EN DIFERENCIASimbología

q : operador desplazamiento directo q-1 : operador desplazamiento inverso(retardo unitario) qx[n] : x[n+1] q-1x[n] : x[n-1]

IIR (respuesta al impulso infinita) causal ⇒la mayoría de los sitemas físicos.

0;0][ <= nnh

∑ −=∞

=0][][][

kknukhny No implementable prácticamente!

• Representación IIR no-recursiva

][],...,[][ MnunuFny −=

74

ECUACION EN DIFERENCIA• Ejemplo 6: suma de convolución

∑ −=∞

=0][][][

kknukhny

• Representación IIR recursiva

][],...,[],[],...,1[][ MnunuNnynyFny −−−=

75

ECUACION EN DIFERENCIA• Ejemplo 7: Ecuación en diferencias (ED)

∑ −+∑ −−===

M

kk

N

kk knubknyany

01][][][

• N: orden de la ecuación o del sistema

Solución de ED Se necesita

u[n], n∆0

N condiciones iniciales

][],...,2[],1[ Nyyy −−−

76

ECUACION EN DIFERENCIASOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA (ED)

∑ −+∑ −−===

M

kk

N

kk knubknyany

01][][][ Ec[1]

][][][ nynyny pH += Ec[2]

• yH[n] : solución de la ecuación homogénea asociada respuesta libre

∑ −−==

N

kkH knyany

1][][ Ec[3]

• yp[n] : solución particular de la ecuación no-homogénea respuesta forzada

77


[3] se puede escribir como :

0][0

=∑ −=

N

kk knya Con a0=1

• Se proponen soluciones del tipo :n

H ny λ=][ Ec[5]

Ec[4]

Reemplazando [5] en [4] se tiene :0

0=∑

=

−N

k

kn

ka λ

• Respuesta libre

NOTA : Una representación recursiva de la forma de una ecuación en diferencias a coeficientes constantes corresponde a un sistema IIR. Lo converso no se verifica, es decir no todo sistema lineal-estacionario IIR puede describirse por una ecuación en diferencias a coeficientes constantes.

78

ECUACION EN DIFERENCIA0)...( 2

2

1

1 =++++ −−−

N

NNNNn aaa λλλλPolinomio característico:

• N raíces : λ1,λ2,…,λN

∑==

N

k

n

kkH cy1λ

• Respuesta forzada: yp[n] de la misma forma que u[n]

Entrada Solución particular, yp[n]A(cte) k(cte)

AMn kMn

AnM K0nM+k1nM-1+…+kM

AnnM An(K0nM+k1nM-1+…+kM)

Acosω0n,asenω0n k1 cosω0n+k2 senω0n

79

• La respuesta de un sistema en tiempo discreto a una secuencia muestraunitaria δ[n] es llamada la respuesta ala muestra unitaria ó la respuesta impulso y se denota por h[n].

• Ejemplo 8: Encuentre la respuesta impulso del sistema ,

]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nxnxnxnxny αααα

- Seleccione x[n]= δ[n], entonces se consigue:

]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nnnnnh δαδαδαδα

- L a respuesta impulso es así una secuencia de longitud finita de longitud 4 dada por:

,,,][ 4321 αααα=nh

RESPUESTA IMPULSO

80

• Ejemplo 9: ][]1[][ nunayny +−=

∑ −+−==

+n

k

kn knuayany0

1 ][]1[][

yH[n]Respuesta libre

yp[n]Respuesta forzada

Asumiendo condiciones iniciales nulas, (esto es, y[-1]=0), la respuesta del sis-Tema al impulso es :

∑ −==

n

k

k knany0

][][ δ nanh =][

RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO

81

• Recordando la condición necesaria y suficiente para la BIBO estabilidad delsistema se tiene

∞<∑∞

=0][

knh ⇔ ∞<∑

∞

=0k

ka ⇔ 1<a BIBO estabilidad

• El procedimeinto se puede extender para el caso de un sistema descrito poruna ecuación en diferencias de orden N de la forma Ec[1]. En este caso resulta:

∑==

N

k

n

kkcnh1

][ λ

• Para BIBO estabilidad se tiene entonces,

∞<∑∑≤∑ ∑=∑∞

==

∞

= =

∞

=

n

nk

N

kk

n

N

k

n

kkk

ccnh010 10

][ λλBIBO estabilidad Ec[¨6]


82

• Por lo que deberá ser , ,0

∞<∑∞

=

n

nkλ

Es decir, ,1 kk ∀<λ

Si algún λk es tal que entonces Ec[6] no se verifica. Se puede entoncesConcluir :

,1≥kλ

Condición necesaria y suficiente para la estabailidad de un sistema causal IIRDescrito por una ecuación en diferencias a coeficientes constantes es que lasRaíces del polinomio característico tengan módulo menor que 1.

,1 kk ∀<λ


83

Considere con

Osea e[k]=1 para k=0 y cero para otro valor de k.

H(z)=U(z)/E(z) E(z) =1

U(z) = H(z)

La transforma z de la respuesta pulso-unitario de un sistema discreto es su Función de transferencia.

RELACION ENTRE LA F.T. Y LA RESPUESTA PULSO

84

• Se usa para describir el sistema

Tener uno es equivalente a tener el otro puesto que ellos son pares de transformada Z.

Por definición la respuesta impulso h(k) es :

• Como las señales en tiempo discreto se pueden construir a partir de impulsosunitarios, conociendo la respuesta impulso se caracteriza completamente elsistema LTI.

y[k] = h[k] Cuando f[k] = δ[k]

Zh[k] = H[z] Zδ[k] ⇒ H[z] = H[z] · 1h[k] ⇔ H[z]

RELACION ENTRE h[k] Y H[Z]

85

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]zHz

zmhz

zmh

zkhkfkhky

km

mk

m

mk

k

=

=

=

∗=∗=

∑

∑∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

][

• Las exponenciales complejas tienen propiedadesEspeciales cuando son entradas a sistemas LTI.

• La salida será la misma exponencial compleja pe-sada por H[z].

• Cuando estamos en el dominio de frecuencia, la magnitud de H[z] controlarácuales frecuencias son atenuadas y cuales no.

EXPONENCIALES COMPLEJAS

86

• Para sistemas en tiempo continuo las respuestas de sinusoides son:

( )( ) ( ) ( )[ ]ωωωω

ω ωω

jHtjHtejHe tjtj

∠+→→

cos cos

• Para sistemas en tiempo discreto en el dominio z :

[ ] kk zzHz −− →

• Para sistemas en tiempo discreto en frecuencia en tiempo discreto:

( )( ) ( ) ( )[ ]ΩΩ

ΩΩΩ

∠+Ω→Ω→

cos cos

jj

kjjkj

eHkeHkeeHe

RESPUESTA EN FRECUENCIA

87

• Respuesta a sinusoides muestreados

Comience con un sinusoide en tiempo continuo,

Muestrear el sinusoide cada T segundos(substituya t=kT)

Muestre el sinusoide en tiempo discreto.

Resultando en :

La frecuencia en tiempo discreto es igual a la frecuencia en tiempo continuomultiplicada por el periodo de muestreo T.

( )t cos ω

( )Tk cos ω

( ) ( )Tkk cos cos ω=Ω

Tω=Ω

• Ejemplo 10: Calcule la respuesta en frecuencia del sistema dado como una ecuación en diferencia.

]1[][8.0]1[ +=−+ kxkyky


88

• Asumiendo condiciones iniciales cero se toma la transformada z,

( )

[ ] [ ][ ] 18.01

18.0

][8.0][

−−=

−==

=−

zzz

zXzYzH

zzXzzY

• Como Ω= jez

[ ] ( )Ω−Ω−=

−= Ω−

Ω

sincos8.011

8.011

jeeH j

j

• Agrupe las partes real e imaginaria

[ ] ( ) Ω+Ω−=Ω

sin8.0cos8.011

jeH j


89

• El valor absoluto(respuesta magnitud) es :

[ ] ( )

( ) ( )

Ω−=

Ω+Ω−=

Ω+Ω−=Ω

cos6.164.11

sin8.0cos8.01

1sin8.0cos8.01

1

22

jeH j

• El ángulo(respuesta de fase) es :

( )

Ω−Ω

−=∠ −Ω

cos8.01sin8.0tan0 1jeH

• La respuesta en frecuencia de un sistema en tiempo discreto es periódica con 2π. Por qué?. La respuesta en frecuencia e sfunción de la exponencialcompleja la cual es periódica con 2π. ( )mjj ee 2 π+ΩΩ =


90

• El valor absoluto de la respuesta en frecuencia en tiempo discreto es impar yel ángulo es par simétrico.

• El sinusoide en tiempo discreto es simétrico alrededor de π.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )kkkkkkk

kmkkkm

x

xxx

ππππ

ππ

coscossinsincoscoscos

cos2cos2cos

Ω=ΩΩ=ΩΩ=+Ω=+Ω


91

• Un sinusoide en tiempo continuo puede tener una frecuencia desde cero(0)hasta infinito.

• Muestreando un sinusoide en tiempo continuo se tiene,

( ) ( ) ( )kTktkTt

cos cos cossample

Ω=→=

ωω

• La frecuencia Ω en tiempo discreto es única desde 0 hasta π.

Solo se pueden representar frecuencias hasta la mitad de la frecuencia demuestreo fs.

Frecuencias más altas que existan deben ser traslapadas a alguna otra fre-cuencia en el rango.

2/02000 sss fffffT

T <≤⇒<≤⇒=<≤⇒<≤ ππππωπω


92

• La suma de la convolución discreta: considere un sistema lineal, estacionariodiscreto.

Si su respuesta a un pulso unitario es h(k) , entonces su respuesta a unpulso de amplitud e0 es e0*h(k), puesto que el sistema es lineal.

Puesto que el sistema es estacionario, un retraso de la entrada causará unretraso igual en la respuesta.

El efecto de una secuencia de pulsos es la suma de sus efectos individuales.Para una secuencia infinita :

• Para un sistema causal k>i.• hk-i es el efecto de un pulso de entrada en la

muestra i sobre la salida a la muestra k.

• La convolución se transforma en un producto Y(z)=E(z)H(z)

CONVOLUCION

93

• Como alguna señal de entrada x[k] se puede descomponer en una suma defunciones impulso discretas,

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=m

mkmxkx δ

• Por las propiedades lineal e invariante en el tiempo, se tiene la convolución lineal,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=−=∗=mm

mkxmhmkhmxkhkxky

• Para cada valor de k, calcule una suma diferente (posiblemente) infinita.

y[k] = h[0] x[k] + h[1] x[k-1]

k

h[k]

21

Averaging filter

CONVOLUCION

94

• Respuesta del sistema LTI

Sea,

entonces,

• Linealidad

• Invarianza en el tiempo

CONVOLUCION

CONVOLUCION

95

• Tiempo continuo

• Tiempo discreto

CONVOLUCION

96

• Propiedades de la convolución

CONVOLUCION

97

• Convolución por superposición

Sea,

CONVOLUCION

98

• Respuesta impulso h[k] y entrada x[k] a un sistema

• Superponga versiones repetidasde la respuesta impulso

• Suma las contribuciones en cada puntopara obtener la respuesta total!

I

II III

• cont…Convolución por superposición

CONVOLUCION

99

• Pasos a seguir para la convolución gráfica :

Dibuje x[k] y h[k]

Reflecte(“fold”) x[k]⇒x[-k]

Desplace x[-k] ⇒x[n-k]

Multiplique h[k]x[n-k]

Sume

CONVOLUCION

100

CONVOLUCION

101

• La convolución analíticamente

CONVOLUCION

102

• cont… La convolución analíticamente

∀α

∀α

Repaso series geométricas

Fórmula general

Casos especiales

CONVOLUCION

103

• Ejemplo 11 : Sea,

1. Aplicando superposición: Escriba h[n] en términos de impulsos.

CONVOLUCION

104

• cont.. superposición

CONVOLUCION

105

2. Aplicando método gráfico

CONVOLUCION

106

Un sistema discreto lineal, estacionario puede representarse en la siguiente forma :

Donde, y son vectores de entrada y salida, es el vector de estado y

y son matrices de dimensión apropiada.

Las matrices A,B,C,D son a menudo usadas para describirla representación en espacio de estado de un sistema.

Ejemplo 12: considere

Sea,

G(z)=U(z)/E(z)=K(z+1)/(z2-1)

X1(z)/E(z)=1/(z2-1) or x1[k+2]-x1[k]=e[k]x1[k+2]=x1[k]+e[k]=x2[k+1]

x1[k+1]=x2[k]x2[k+1]=x1[k]+e[k]

DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO

107

Entonces,U(z)/X1(z)=K(z+1) ó u[k]=K*x1[k+1]+K*x1[k]

= K*x1[k]+K*x2[k]

[ ]

x

xk

x

xk e k

u k K Kx

xk u k

1

2

1

2

1

2

10 1

1 0

0

1

0

+ =

+

=

+

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]


108

• Para transformar las ecuaciones de espacio de estado en tiempo continuoen la forma de estado discreta se procede así,

• El estado de un sistema en un instante k, es el mínimo número de variablesx1[k],x2[k],…,xn[k] tal que el conocimiento de estas variables y la entrada apli-cada permitan calcular cualquier salida futura.

A* : matriz de estado nxnB* : matriz de entrada nxrC : matriz de salida mxnD : matriz de transmisión directa mxr


109

• Esquema de la descripción de espacio de estado

CB

A

D

D

u[k] y[k]x[k]x[k+1]

• Ejemplo 13: dado el siguiente sistema en diagramade bloques obtenga la representaciónen espacio de estado

D D

5

6

u[k] y[k]+

-

x1[k+1] x2[k+1]x1[k] x2[k] ][][

][]1[][][6][5]1[

2

12

211

kxkykxkx

kukxkxkx

==+

+−=+

[ ]

=

+

−=

++

][][

10][

][01

][][

0165

]1[]1[

2

1

2

1

2

kxkx

ky

kukxkx

kxk1x


110

• Solución de la ecuación en espacio de estado

0];[][][][][]1[

≥+=+=+

kkDukCxkykBukAxkx

Por iteración se obtiene la solución para x[k+1] para cualquier entero positivo k.

∑+=

+++=+=++=+=

+=

−

=

−−1

0

1

23

2

][]0[][

]2[]1[]0[]0[]2[]2[]3[]1[]0[]0[]1[]1[]2[

]0[]0[]1[

k

i

ikk iBuAxAkx

BuABuBuAxABuAxxBuABuxABuAxx

BuAxx

La salida se puede escribir como :

∑ ++=−

=

−−1

0

1 ][][]0[][k

i

ikk kDuiBuACxCAky

Respuesta debida a las C.I Respuesta debida a la entrada


111

• Tranformada z en el espacio de estado

0];[][][][][]1[

≥+=+=+

kkDukCxkykBukAxkx

La transformada z esta dada por :

][)(]0[)(][][]0[][)(

][][][][][])0[][(

11 zBUAzIXAzIzzXzBUzxzXAzI

zDUZCXzYzBUzAXXzXz

−− −+−=

+=−+=+=−

La inversa (zI-A)-1 debe existir, ó en otras palabras |zI-A| no puede ser cero. La salida Y[z] esta dada por :

][])([]0[)(][ 11 zUDBAzICXAzIzCzY +−+−= −−


112

• Con condiciones iniciales cero y si se aplica impulsos en las diferentes entradas(U[z]=I), la salida es igual a la transformada z de la respuesta impulso así :

DBAzICzH +−= −1)(][

• Para calcular Y[k] para cualquier entrada U[k] se procede así :

Se encuentra la transformada U[z] de la entrada U[k]. Se encuentra la F.T H[z] del sistema y se obtiene la transformada z de la salida

Y[z]=H[z]U[z]. Se toma la transformada z inversa de Y[z] para obtener Y[k].

• Ejemplo 14: Obtenga la función de transferencia para el ejemplo anterior.

][][][]1[

][][6][5]1[

2

12

211

kxkykxkx

kukxkxkx

==+

+−=+


113

• Se puede concluir que :

]2[]1[]1[]1[][

1

21

+=++=+=

kykxkykxkx

[ ] [ ]01001

0165

==

=

−=

DC

BA

AzIAzIadjAzI

−−

=− − )()( 1

−−

+−=− −

516

6)5(1)( 1

zz

zzAzI

Aplicando la ecuación para H[z] se obtiene :

)2)(3(1

651][

2 −−=

+−=

zzzzzH


114

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIÁ

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MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL