MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/Bab-3... · · 2012-11-163 Fungsi pembangkit momen atau f.p.m:

Kuliah ProsStok, untuk apa?Pengantar

Peubah Acak EksponensialJanjian ala ProsStok

Jumlah P.A Eksponensial, Min Maks Peubah Acak dan Statistik TerurutAplikasi P.A Eksponensial dalam Antrean

Contoh/Latihan

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIKBab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Pintar Belajar Stokastik”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya




Contoh/Latihan

Kuliah ProsStok, untuk apa?

Fakultas Ekonomi ITB?





Contoh/Latihan

“Math is the language of economics. If you are an NYUundergraduate, studying math will open doors to you in terms ofinteresting economics courses at NYU and job opportunitiesafterwards. Start with the basics: take three calculus courses (upto and including multivariable calculus), linear algebra, and a goodcourse in probability and statistics. These basic courses willempower you. After you have these under your belt, you havemany interesting options all of which will further empower you tolearn and practice economics. I especially recommend courses in(1) Markov chains and stochastic processes, and (2) Differentialequations.”





Contoh/Latihan

Pengantar

Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu)dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrikmemodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatuproses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusieksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untukmengubah keadaan.





Contoh/Latihan

Kaitan antara Distribusi Geometrik dan Eksponensial:

Table: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson.

Percobaan Bernoulli Proses Poisson

Bnyk “sukses” Distribusi Binomial Distribusi Poisson

“Wkt” utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial





Contoh/Latihan

Asumsi laju konstan dalam praktiknya jarang dipenuhi. Misalnya,laju adanya telepon masuk akan berbeda setiap waktu dalam suatuhari. Namun, jika kita perhatikan selang waktu pada saat lajukonstan, maka distribusi eksponensial dapat dikatakan model yangcukup baik untuk melihat waktu saat telepon masuk akan terjadilagi.





Contoh/Latihan

Pertanyaan yang memang kerap diajukan adalah (i) Apakahdistribusi eksponensial tepat untuk menggambarkan, misalnya,waktu tunggu, lama seseorang mengantre dsb? (ii) Bagaimanamenggunakan distribusi eksponensial dalam berbagai aplikasi?





Contoh/Latihan

Perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan disebuah Bank terdapat 2orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lainyang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satuteller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktumelayani dari teler ke-i adalah peubah acak eksponensialdengan parameter λi , hitung E(T), dimana T adalah waktuyang dihabiskan K di Bank.





Contoh/Latihan

Bagaimana anda menjelaskan bahwa (i) waktu layanan cukup tepatdimodelkan dengan distribusi eksponensial? (ii) menghitung E (T )jauh lebih penting daripada memperdebatkan kecocokan distribusi?





Contoh/Latihan

Data EksponensialSifat Tanpa MemoriFungsi Laju Kegagalan

Peubah Acak Eksponensial

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang

f (x) = λ e−λx , x ≥ 0.

Peubah acak tersebut disebut peubah acak eksponensial dandistribusinya disebut distribusi eksponensial. Sifat distribusi danmomennya antara lain:

1 Fungsi distribusi: F (x) = 1− exp(−λx)

2 Ekspektasi: E (X ) = 1/λ

3 Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M(t) = (1− t/λ)−1





Contoh/Latihan


Diskusi

Tentukan:E (X > c),

untuk suatu konstanta c > 0. Atau,

E (X |X > c),

yang sering disebut conditional tail expectation atau CTE.





Contoh/Latihan


E (X |X > c) =

∫ ∞c

x fX (x |X > c) dx

=

∫ ∞c

xfX (x)

P(X > c)dx

=

∫∞c x fX (x) dx∫∞c fX (x) dx

= · · ·





Contoh/Latihan


Dalam konteks risiko, c adalah suatu nilai risiko pada tingkatpeluang tertentu yang sering disebut Value-at-Risk (VaR). Dengandemikian, E (X |X > c) adalah expected shortfall atau ES.





Contoh/Latihan


Data Eksponensial

Membangkitkan data berdistribusi eksponensial:

y = exprnd(3,10,1);

hist(y)





Contoh/Latihan


Inverse Transformation MethodMisalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsidistribusi kontinu F , jika kita definisikan peubah acak X sbb:

X = F−1(U)

maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F .





Contoh/Latihan


Contoh.Jika F (x) = 1− e−x maka F−1(u) adalah nilai x sedemikianhingga

1− e−x = u

ataux = − log(1− u)

Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka

F−1(U) = − log(1− U)

adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).





Contoh/Latihan


Sifat Tanpa Memori

Misalkan X peubah acak. Sifat tanpa memori (memorylessproperty) pada X adalah sifat dimana “peluang X lebih dari s + tdengan syarat/diberikan X lebih dari t sama dengan peluang Xlebih dari s”, atau

P(X > s + t

∣∣X > t)

= P(X > s

)





Contoh/Latihan


Contoh:Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkankebahagiaan. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahunsetelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang diamenunggu lebih dari 2 tahun. Orang itu tidak lagi mengingatbahwa dia telah menunggu selama 5 tahun. Itu sebabnyadikatakan “sifat tanpa memori”.





Contoh/Latihan


Perhatikan:

P(X > s + t

∣∣X > t)

=P(X > s + t,X > t

)P(X > t

)=

P(X > s + t

)P(X > t

)= P

(X > s

)





Contoh/Latihan


Akibatnya:

P(X > s + t

)= P

(X > s

)P(X > t

)yang dipenuhi HANYA oleh X berdistribusi Eksponensial denganparameter θ.





Contoh/Latihan


Buktinya sbb: Misalkan X ∼ Exp(λ), maka

P(X > s + t

)= 1− P

(X < s + t

)= 1− FX (s + t)

= 1−(1− exp(−λs − λt)

)= exp(−λs − λt)

= exp(−λs) exp(−λt)

= P(X > s

)P(X > t

)





Contoh/Latihan


Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagaicontoh, misalkan X ∼ U(0, 1), maka

P(X > s + t

)= 1− P

(X < s + t

)= 1− FX (s + t) = 1− (s + t)

6= (1− s)(1− t)

= (1− FX (s)) (1− FX (t))

= P(X > s

)P(X > t

)





Contoh/Latihan


Sifat tanpa memori:

P(X > s + t

∣∣X > t)

= P(X > s

)dapat dituliskan sebagai

P(X − t > s

∣∣X > t)

= P(X > s

).

Akibatnya,E(X − t

∣∣X > t)

= E(X).





Contoh/Latihan


Contoh/Latihan

1. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bankberdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwaseorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayaniadalah...





Contoh/Latihan


Solusi:P(X > 15) = e−15(1/10) = e−3/2





Contoh/Latihan


Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menitsetelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah...





Contoh/Latihan


Solusi:

P(X > 15|X > 10) = P(X > 5) = e−5(1/10) = e−1/2





Contoh/Latihan


2. Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yangsibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lainyang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salahsatu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahuiwaktu layanan (service time) teler A dan B adalah peubahacak-peubah acak yang berdistribusi identik eksponensialdengan parameter λ.





Contoh/Latihan


Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah pertama yang akanmeninggalkan Bank?





Contoh/Latihan


Solusi:0





Contoh/Latihan


Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akanmeninggalkan Bank?





Contoh/Latihan


Solusi:1/2





Contoh/Latihan


Solusi (detil):Misalkan SA dan SB adalah waktu layanan teller A dan B. PeluangOvi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank samaartinya dengan peluang waktu layanan Ovi di teller A (atau diteller B), setelah Uvi (atau Ivi) selesai dilayani, lebih besar dariwaktu layanan Ivi (atau Uvi) di teller B (atau di teller A).





Contoh/Latihan


Dengan kata lain,

P(SO > SU + SI )

= P(SO > SI |SI > SU)P(SI > SU)

+ P(SO > SU |SU > SI )P(SU > SI )

= P(SO > SI )P(SI > SU) + P(SO > SU)P(SU > SI )

= · · ·





Contoh/Latihan


Berapa peluang bahwa Ovi adalah BUKAN nasabah terakhir yangakan meninggalkan Bank?





Contoh/Latihan


Solusi:1/2





Contoh/Latihan


Solusi (detil):Peluang Ovi adalah BUKAN nasabah terakhir yang akanmeninggalkan Bank sama artinya dengan peluang waktu layananOvi di teller A (atau di teller B), setelah Uvi (atau Ivi) selesaidilayani, lebih kecil dari waktu layanan Ivi (atau Uvi) di teller B(atau di teller A).





Contoh/Latihan


Dengan kata lain,

P(SI > SO)P(SI > SU) + P(SU > SO)P(SU > SI )

= · · ·





Contoh/Latihan


DISKUSI:(1) Bagaimana jika parameter waktu layanan kedua teller adalahλ1 dan λ2?(2) Bagaiman jika perhatian kita adalah pada nasabah Uvi?





Contoh/Latihan


3. Banyaknya uang yang terlibat dalam kecelakaan adalahpeubah acak eksponensial dengan mean 1000. Banyaknyauang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantungapakah klaim pemegang polis lebih dari 400. Tentukan nilaiharapan dan variansi banyak uang yang dibayar perusahaanasuransi pada setiap kecelakaan.





Contoh/Latihan


Solusi:Misalkan X banyak uang yang terlibat dalam suatu kecelakaan.Jumlah uang yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepemegang polis adalah (X − 400)+ (dimana a+ didefinisikan samadengan a jika a > 0 dan sama dengan 0 jika a ≤ 0). Misalkan

I =

{1, jikaX > 400,0, jikaX ≤ 400.





Contoh/Latihan


Misalkan Y = (X − 400)+ jumlah uang yang dibayarkan. Dengansifat tanpa memori, jika uang kerusakan lebih dari 400 maka jumlahyang dibayarkan adalah p.a eksponensial dengan mean 100. Jadi

E (Y |I = 1) = 1000 = 103 I

E (Y |I = 0) = 0

Var(Y |I = 1) = 10002 = 106 I

Var(Y |I = 0) = 0





Contoh/Latihan


Karena I ∼ Bern(exp(−0.4)), maka

E (Y ) = E (E (Y |I )) = 103 E (I ) = · · ·

danVar(Y ) = E (Var(Y |I )) + Var(E (Y |I )) = · · ·





Contoh/Latihan


4. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelumakhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean10 (jam). Misalkan Ani memasuki ruangan dan mendapatkanlampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan ituselama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikanpekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam?





Contoh/Latihan


Solusi:Lampu mati ketika Ani masuk ruangan. Dengan sifat tanpamemori, maka (sisa) waktu hidup lampu, sebut W , adalah p.aeksponensial dengan mean 10. Jadi,

P(W > 5) = 1− F (5) = · · ·





Contoh/Latihan


Namun, jika distribusi waktu hidup bukan eksponensial maka

P(W > t + 5|W > t) =1− F (t + 5)

1− F (t)





Contoh/Latihan


Fungsi Laju Kegagalan

Sifat tanpa memori dapat juga diilustrasikan dengan fungsi LGatau laju kegagalan (failure/hazard rate function) dari distribusieksponensial. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi peluang fdan fungsi distribusi F . Fungsi LG didefinisikan

r(t) =f (t)

1− F (t),





Contoh/Latihan


dimana jika “sesuatu” memiliki waktu hidup X dan telah bertahanselama waktu t maka laju r(t) akan mengukur peluang sesuatu itutidak dapat bertahan pada waktu tambahan dt. Dengan kata lain

P(X ∈ (t, t + dt) |X > t

)≈ f (t) dt

1− F (t)

atau peluang bersyarat bahwa sesuatu (dengan umur t) akan gagal.





Contoh/Latihan

Janjian ala ProsStok

Ini cerita dari suatu khotbah pada umat.





Contoh/Latihan

Alkisah, sang pengkhotbah mengingatkan umat bahwa KanjengRosul pernah berpesan bahwa beliau tidak ingin umatnyamemelihara anjing di rumah.





Contoh/Latihan

”Mengapa?” tanya salah seorang sahabat dengan rasa penasaran.





Contoh/Latihan

”Rumah orang yang memiliki anjing tidak akan pernah didatangioleh malaikat”, jawab pengkhotbah.





Contoh/Latihan

Sahabat girang. ”Kalau begitu aku tidak akan pernah mati karenamalaikat tidak akan mencabut nyawaku”





Contoh/Latihan

”Eit, bukan begitu. Malaikat akan mencabut nyawamu setelahmencabut nyawa anjingmu....”





Contoh/Latihan

Sahabat: ”Cape deh...”





Contoh/Latihan

Ini bahan ujian tentang anjing!





Contoh/Latihan

Umur (masa hidup atau lifetime) seekor anjing bulldog dan herderadalah p.a eksponensial yang saling bebas, dengan mean (atauparameter?) θb dan θh. Seekor anjing telah (baru saja) mati.Hitung sisa umur yang diharapkan (expected additional lifetime)dari anjing yang lain?





Contoh/Latihan

Solusi:

E (sisa umur Anjing) = E (sisa umur Bulldog | Herder mati)

× P(Herder mati)

+ E (sisa umur Herder | Bulldog mati)

× P(Bulldog mati)

= E (Tb|Th < Tb)P(Th < Tb)

+ E (Th|Tb < Th)P(Tb < Th)

=1

θb

θhθh + θb

+1

θh

θbθh + θb





Contoh/Latihan

Seorang dokter hewan memiliki janji dengan seekor anjing padapukul 7.00 dan dengan anjing lain pada pukul 7.30. Banyaknyawaktu yang dihabiskan dengan anjing-anjing itu adalah p.aeksponensial yang saling bebas dengan mean 30 (menit).Asumsikan bahwa anjing-anjing itu datang tepat waktu. Hitunglama waktu yang diharapkan (expected amount of time) yangdihabiskan anjing lain alias anjing 7.30 di ruangan dokter hewantersebut.





Contoh/Latihan

Misalkan Ti lama waktu janjian ke-i , i = 1, 2. Diketahui,Ti ∼ Exp(1/30),

E (T2) = E (T2|T1 < 30)P(T1 < 30) + E (T2|T1 > 30)P(T1 > 30)

= E (T2)(1− exp(−1)) + E (T1 + T2) exp(−1)

= 30(1− exp(−1)) + (30 + 30) exp(−1)





Contoh/Latihan

Mesin 1 (M1) sedang bekerja. Mesin 2 (M2) akan dipasang untukdipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin iberdistribusi eksponensial dengan mean (atau parameter?)λi , i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akanrusak (tidak dapat dipakai lagi)?





Contoh/Latihan

P(M1 rusak pertama)

= P(M1 rusak pertama|M1 msh bekerja sampai wkt t)

× P(M1 msh bekerja sampai wkt t)

+ P(M1 rusak pertama|M1 rusak pd wkt t)

× P(M1 rusak pd wkt t)

= P(M1 < M2)P(M1 > t) + 1 · P(M1 < t)

=λ1

λ1 + λ2exp(−λ1 t) + (1− exp(−λ1 t))





Contoh/Latihan

Berapa peluang M2 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidakdapat dipakai lagi)?





Contoh/Latihan

Misalkan X dan Y peubah acak(X ∈ {1, 4, 9},Y ∈ {−2, 0, 1, 3.1}) dengan fungsi peluang bersama

−2 0 1 3.1

1 0.1 0.2 0 04 0.1 0 0.4 09 0 0.1 0 0.1

Hitung P(Y 2 > X )





Contoh/Latihan

Solusi:

P(Y 2 > X ) = f (1,−2) + f (1, 3.1) + f (4, 3.1) + f (9, 3.1)

= 0.1 + 0 + 0 + 0.1

= 0.2





Contoh/Latihan

Diketahui fungsi peluang bersama

f (x , y) =

1/3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 12/3, 1 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 10, x , y yang lain

a. Tentukan fY (y)b. Hitung P(Y > X 2)





Contoh/Latihan

Solusi:

fY (y) =

∫ 1

01/3 dx = 1/3, 0 ≤ y ≤ 1

fY (y) =

∫ 2

12/3 dx = 2/3, 0 ≤ y ≤ 1

Jadi fY (y) = 1, 0 ≤ y ≤ 1

P(Y > X 2) =

∫ 1

0

∫ 1

x21/3 dy dx

= · · ·= 2/9





Contoh/Latihan

Pandang dua buah p.a eksponensial X1 dan X2 yang saling bebasdengan parameter λ1 dan λ2, maka

P(X1 < X2) =

∫ ∫fX1,X2(x1, x2) dx2 dx1

=

∫ ∞0

∫ ∞x1

λ1 e−λ1x1 λ2 e

−λ2x2 dx2 dx1

= · · · =λ1

λ1 + λ2





Contoh/Latihan

Diskusi

Apa distribusi dari min{X1,X2}? maks{X1,X2}?Hitung P(X1 = min{X1,X2}) ?





Contoh/Latihan

P(min(X1,X2) > x)

= P(Xi > x , ∀i = 1, 2)

= P(X1 > x ,X2 > x)

= P(X1 > x)P(X2 > x)

= e−λ1x e−λ2x

= e−(λ1+λ2)x

Jadi, min(X1,X2) ∼





Contoh/Latihan

Jumlah P.A Eksponensial

Misalkan X1, . . . ,Xn sampel acak berdistribusi eksponensial.Misalkan

Y =n∑

i=n

Xi ,

maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan metode fungsipembangkit momen,

MY (t) = E (exp(tY )) = E (exp(t[X1 + · · ·+ Xn]))

=

Jadi, Y ∼ . . ., dengan mean dan variansi...





Contoh/Latihan

Catatan:X adalah p.a Gamma jika memiliki fungsi peluang

fX (x) =λα

Γ(α)xα−1 exp(−λ x).

Notasi:X ∼ Gamma(α, λ).

Fungsi pembangkit momen atau f.p.m:

MX (t) = (1− t/λ)−α.





Contoh/Latihan

Apa yang anda ketahui tentang distribusi Erlang?





Contoh/Latihan

Distribusi X1 + X2 dapat ditentukan dengan teknik fungsidistribusi. Misalkan Y = X1 + X2,

P(Y ≤ y) = P(X1 + X2 ≤ y) = P(X1 ≤ y − x2)

=

∫ y

0

∫ y−x2

0λ exp(−λ x1)λ exp(−λ x2) dx1 dx2

=

∫ y

0FX1(y − x2) fX2(x2) dx2





Contoh/Latihan

Fungsi peluang dari X1 + X2 adalah

fX1+X2(y) =

∫ y

0fX1(y − x2) fX2(x2) dx2

=

∫ y

0λ exp(−λ (y − x2))λ exp(−λ x2) dx2

= λ2 y exp(−λ y)

=λ2

(2− 1)!y2−1 exp(−λ y)





Contoh/Latihan

Statistik Terurut Eksponensial

Misalkan X1, . . . ,Xn sampel acak berukuran n dari distribusieksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dariY(k), statistik terurut ke-k . Ambil kasus untuk k = 1 dan/atauk = n.





Contoh/Latihan

Solusi:Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah:

fX(k)(x) = Cn

k−1,1,n−k (FX (x))k−1 fX (x) (1− FX (x))n−k

Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial denganparameter λ,

fX(1)(x) = C 2

0,1,1 (1− e−λx)1−1 λ e−λx (e−λx)2−1

= 2λ e−2λx





Contoh/Latihan

Aplikasi dalam Antrean

Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibukmelayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang Kyang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesaidengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-iadalah peubah acak eksponensial dengan parameter θi , hitungE (T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.





Contoh/Latihan

Solusi:

E (T ) = E (T |R1 < R2)P(R1 < R2) + E (T |R2 < R1)P(R2 < R1)

= E (T |R1 < R2)λ1

λ1 + λ2+ E (T |R2 < R1)

λ2λ1 + λ2





Contoh/Latihan

dimana

E (T |R1 < R2) = E (S + R1|R1 < R2)

= E (S |R1 < R2) + E (R1|R1 < R2)

=1

λ1+

1

λ1 + λ2





Contoh/Latihan

Solusi (alternatif):

E (T ) = E (min(R1,R2) + S)

=1

λ1 + λ2+ E (S)

dimana

E (S) = E (S |R1 < R2)λ1

λ1 + λ2+ E (S |R2 < R1)

λ2λ1 + λ2





Contoh/Latihan

Contoh/Latihan

1. Pandang soal sebelumnya (Uvi, Ivi, Ovi) dengan distribusiwaktu layanan teller A dan B memiliki parameter yangberbeda. Berapa peluang Ovi bukanlah nasabah terakhirkeluar dari bank?





Contoh/Latihan

Solusi:

P(SI > SO)P(SI > SU) + P(SU > SO)P(SU > SI )

=

(λ1

λ1 + λ2

)(λ1

λ1 + λ2

)+

(λ2

λ1 + λ2

)(λ2

λ1 + λ2

)=

(λ1

λ1 + λ2

)2

+

(λ2

λ1 + λ2

)2





Contoh/Latihan

Bagaimana kita dapat menghitung P(X1 < X2) untuk Xi p.a.eksponensial dengan parameter λi atau λ?





Contoh/Latihan

min(X1,X2) ∼ Eksp(λ1 + λ2)

ataumin(X1,X2) ∼ Eksp(2λ)





Contoh/Latihan

Statistik Terurut Eksponensial

Misalkan X1, . . . ,Xn sampel acak berukuran n dari distribusieksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dariY(k), statistik terurut ke-k . Ambil kasus untuk k = 1 dan/atauk = n.





Contoh/Latihan

Solusi:Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah:

fX(k)(x) = Cn

k−1,1,n−k (FX (x))k−1 fX (x) (1− FX (x))n−k

Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial denganparameter λ,

fX(1)(x) = C 2

0,1,1 (1− e−λx)1−1 λ e−λx (e−λx)2−1

= 2λ e−2λx





Contoh/Latihan

2. Misalkan Itta memasuki sebuah Bank yang memiliki seorangteller. Itta melihat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedangdilayani dan 4 orang yang lain antri. Itta pun antre. Jikawaktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lamawaktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita diBank?





Contoh/Latihan

Solusi:Misalkan T lama waktu Ita di Bank; Si waktu layanan,

E (TI ) = E (SI ) +5∑

i=1

E (Si ) = 6/µ





Contoh/Latihan

Apakah distribusi dari X = S1 + · · ·+ S5 untuk Si p.a.eksponensial dengan parameter λ?





Contoh/Latihan

X = S1 + · · ·+ S5 ∼ Ga(5, λ)

dengan mean E (X ) = 5/λ.





Contoh/Latihan

3. Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir danFur datang ke toko bersamaan. Fer dan Fir langsungmendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca:antre).





Contoh/Latihan

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir danFur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat(tidak acak) 10 menit?





Contoh/Latihan

Solusi:Fer tidak mungkin masih berada di toko apabila Fir (dan Fur)sudah selesai dilayani. Jadi peluangnya adalah 0.





Contoh/Latihan

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir danFur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3,i = 1, 2, 3?





Contoh/Latihan

Solusi:1/27





Contoh/Latihan

Solusi (detil):

P(SFer > SFir + SFur )

= P(SFir = 1)P(SFur = 1)P(SFer = 3) = (1/3)(1/3)(1/3)

= 1/27





Contoh/Latihan

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir danFur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial denganmean 1/µ?





Contoh/Latihan

Solusi:1/4





Contoh/Latihan

Solusi (detil):Apa saja yang akan terjadi pada Fer?(1) Fer adalah orang pertama yang keluar dari toko, denganpeluang 1/2(2) Fer adalah orang terakhir yang keluar dari toko, denganpeluang 1/4(3) Fer BUKAN orang terakhir yang keluar dari toko, denganpeluang 1/4





Contoh/Latihan

5. Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatifyang saling bebas, hitung

P(X1 < X2 |min(X1,X2) = t)





Contoh/Latihan

Solusi:

P(X1 < X2 |min(X1,X2) = t)

=P(X1 < X2,min(X1,X2) = t)

P(min(X1,X2) = t)

=P(X1 = t,X2 > t)

P(X1 = t,X2 > t) + P(X2 = t,X1 > t)

=fX1(t)SX2(t)

fX1(t)SX2(t) + fX2(t)SX1(t)





Contoh/Latihan

6. Misalkan Xi berdistribusi eksponensial dengan parameter θi ,dimana i = 1, 2, 3. Hitung

P(X1 < X2 < X3)





Contoh/Latihan

Solusi:

P(X1 < X2 < X3) = P(X2 < X3|X1 = min(X1,X2,X3))

× P(X1 = min(X1,X2,X3))

=θ2

θ2 + θ3

θ1θ1 + θ2 + θ3





Contoh/Latihan

HitungP(X1 < X2|X3 = maks(X1,X2,X3))





Contoh/Latihan

Solusi:

P(X1 < X2|X3 = maks(X1,X2,X3))

=P(X1 < X2 < X3)

P(X3 = maks(X1,X2,X3))

=P(X1 < X2 < X3)

P(X1 < X2 < X3) + P(X2 < X1 < X3)

=θ1 + θ3

θ1 + θ2 + 2θ3





Contoh/Latihan

HitungE (maksXi |X1 < X2 < X3)





Contoh/Latihan

Solusi:

E (maksXi |X1 < X2 < X3)

= E (X1 + (X2 − X1) + (X3 − X2)|X1 < X2 < X3)

= E (X1|X1 < X2 < X3) + E ((X2 − X1)|X1 < X2 < X3)

+ E ((X3 − X2)|X1 < X2 < X3)

= E (X1|X1 < X2 < X3) + E (X2|X2 < X3) + E (X3)

=1

θ1 + θ2 + θ3+

1

θ2 + θ3+

1

θ3





Contoh/Latihan

7. Pandang kasus antrean di toko dengan 2 petugas jaga dan 3nasabah. Waktu layanan petugas jaga i adalah p.aeksponensial dengan parameter αi . Berapa waktu harapan(expected time) hingga 3 nasabah tersebut meninggalkantoko?





Contoh/Latihan

Solusi:Kita tahu waktu yang dihabiskan nasabah 3 (nasabah terakhir)adalah

E (T3) =3

α1 + α2





Contoh/Latihan

8. Seorang nasabah yang datang ke suatu kantor administrasiakan dilayani oleh petugas P1, lalu petugas P2, lalu pulang.Waktu layanan petugas Pi adalah p.a eksponensial denganparameter βi , i = 1, 2. Ketika Rose datang, terlihat P1 sedangkosong (tidak sedang melayani nasabah). Sedangkan 2nasabah ada di P2 (seorang nasabah A dilayani dan seoranglain B antri). Hitung peluang nasabah A masih dilayani ketikaRose pindah ke P2?





Contoh/Latihan

Solusi:Pandang Rose saat berada di P1 dan nasabah A di P2. Waktulayanan Rose di P1 lebih singkat dari waktu layanan A di P2.Dengan kata lain,

P(P1 < P2) =β1

β1 + β2


Documents

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/Bab-3... · · 2012-11-163 Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: