MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/Bab-7-Kalkulus-2A3.pdf · dalam matematika disamping derivatif atau turunan. Dosen:

PengantarMenentukan anti-turunan

Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)Bab 7: Teknik Pengintegralan

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Do maths and you see the world”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan



Integral atau Anti-turunan?

Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting)dalam matematika disamping derivatif atau turunan.




Perhatikan:y = f (x) = x2,

yang memiliki turunan

y ′ = f ′(x) =d

dxf (x) = 2 x .




Sekarang, jika diketahui

f ′(x) = 2 x ,

maka f (x) = x2 adalah “salah satu” anti-turunan yang sesuai.Secara umum, sering kita tuliskan

f (x) = x2 + C ,

dimana C konstanta.




Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunanbersifat “tidak tunggal” dan karenanya “lebih sulit” daripadaturunan.




Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan

df (x) = f ′(x) dx .

Atau, ∫df (x) = f (x) + C =

∫f ′(x) dx .




Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan

Menentukan anti-turunan

Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatuanti-turunan?

Gunakan “keterampilan teknis”

Manfaatkan “aturan dasar”





(Beberapa) aturan dasar anti-turunan:

1 ∫k dx = k x + C

2 ∫x r dx =

1

r + 1x r+1, r 6= −1

3 ∫ex dx = ex + C

4 ∫ax dx =

1

ln aax + C

dst...





Metode substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/caramenyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinyaadalah menentukan pemisalan/substitusi untuk suatu fungsitertentu dengan tepat.





Contoh: ∫x2 + 1

x − 2dx

mungkinkah kita memisalkan y = x2 − 1? atau y = x2 danmencari anti-turunan ?

atau memisalkan y = x − 2 ?





Contoh lain, ∫ex

4 + 9 e2xdx .

Selesaikan dengan memisalkan

y = ex ; y = e2x ; y = 9 ex ; y = 9 e2x ; y = 4+ 9 ex ; y = 4+ 9 e2x ; ?





Metode anti-turunan parsial

Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metodeanti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kitamemanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan∫

x cos x dx





Misalkan u = f (x), v = g(x),

d

dx(u v) = u′ v + u v ′

d(u v) = · · ·u v = · · ·

Jadi, ∫u dv = u v −

∫v du





Untuk contoh ∫x cos x dx ,

misalkanu = x ,

atauu = cos x , ?





Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untukmencari substitusi yang tepat.





Bagaimana dengan ∫ln x dx ,

yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?





Metode substitusi yang merasionalkan

Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunansuatu fungsi yang memuat akar, seperti∫

n√(ax + b)m dx

atau ∫ √a2 − x2 dx ,

dimana kita ingin menghilangkan tanda akar tersebut.





Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kitamelakukan pemisalan atau substitusi, seperti

(ax + b) = un,

untuk mencari anti-turunan∫n√(ax + b)m dx .





Contoh, ∫x 3√x − 4 dx ,

yang dapat diselesaikan dengan memisalkan

u = (x − 4)3

ataux = u1/3 + 4,

sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai

1

3

∫ (u2/3 + 12 u1/3

)du





Untuk kasus mencari anti-turunan∫ √a2 − x2 dx ,

dapat digunakan substitusi

x = a sin t, −π/2 ≤ t ≤ π/2,

sehingga diperoleh √a2 − x2 = a cos t





Perhatikan bahwa substitusi lain adalah

x = a tan t, −π/2 < t < π/2,

ataux = a sec t, 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2




Integral fungsi rasional

Mencari anti-turunan berbentuk seperti∫14x + 1

x3 + 5xdx ,

adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom

P(x) = 14x + 1

danQ(x) = x3 + 5x

yang perlu diperhatikan “derajat”-nya.




Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu)lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian,dapat dituliskan

14x + 1

x3 + 5x=

A

x+

Bx + C

x2 + 5

dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripadaderajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh

A = 1/5;B = −1/5;C = 14.




Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P(x)/Q(x)menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajatpembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baiksecara “langsung”, seperti

Bx + C

x2 + 5,

ataupun “tidak langsung”, seperti

C

(2x + 5)2,

dimana kata “tidak langsung” merujuk pada pemisalan y = 2x + 5dengan turunan konstan.(untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 2012)




Diskusi:Bagaimana kita mencari anti-turunan∫

x2 − 11x + 15

(x − 2)2(x + 1)dx ?




Apakah dengan menguraikan

x2 − 11x + 15

(x − 2)2(x + 1)=

A

x − 2+

B

(x − 2)2+

C

x + 1?

(dengan A = −2;B = −1;C = 3)




Atau,x2 − 11x + 15

(x − 2)2(x + 1)=

B

(x − 2)2+

C

x + 1?




Integral fungsi trigonometri

Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri,∫sinn x dx ,

atau ∫cosn x dx ,

untuk n genap atau ganjil. Atau,∫sinm x cosn x dx ,

pada beberapa kemungkinan nilai m dan n.




Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunanseperti berikut

1 ∫sin x dx = −cos x + C

2 ∫cos x dx = sinx x + C

3 ∫sec2 x dx = tan x + C

4 ∫sec x tan x dx = sec x + C

dst...




Contoh:Selesaikan ∫

sinm x dx ,

untuk m = 2, 3, 4.


Documents

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/Bab-7-Kalkulus-2A3.pdf · dalam matematika disamping derivatif atau turunan. Dosen: