MA5181 PROSES STOKASTIK - FMIPA Personal Blogs …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah_ProsStok...Matriks kegiatan perkuliahan Table 1: Materi kuliah MA5181 Proses

Catatan Kuliah

MA5181PROSES STOKASTIK

“(not just) Always Listening, Always Understanding”

disusun olehKhreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPAInstitut Teknologi Bandung

2012

Tentang MA5181 Proses Stokastik

A. Jadwal kuliah:

• Selasa; 9-10.40; R. Sem I.2

• Rabu; 13-13.50; R. StudyHall

B. Silabus:

• Peluang, peubah acak dan distribusi (1.5 minggu)

• Peluang/Ekspektasi bersyarat (1 minggu)

• Distribusi eksponensial (1.5 minggu)

• Proses Poisson (4 minggu)

• Proses Renewal (3 minggu)

• Rantai Markov (3 minggu)

C. Buku teks:

• Sheldon Ross, 1996, Stochastic Processes, 2nd ed., Wiley.

• Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rded., Academic Press.

E. Penilaian:

• Ujian 1,2 (90%):17 Oktober 2012 (40%)5 Desember 2012 (50%)

• Kuis/PR/Kehadiran (10%)

MA5181 Pros.Stok. i K. Syuhada, PhD.

Matriks kegiatan perkuliahan

Table 1: Materi kuliah MA5181 Proses Stokastik.

Minggu- Materi Keterangan

1 Pengantar Penjelasan kuliah2 Peluang, peubah acak dan distribusi3 Peluang/Ekspektasi bersyarat, p.a. eksponensial4 Distribusi eksponensial (lanjutan)5-8 Proses Poisson*8 Ujian 1 17 Oktober 20129 -

10-12 Proses Renewal*13-15 Rantai Markov*15 Ujian 2 5 Desember 2012

MA5181 Pros.Stok. ii K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi

1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 11.1 Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Peubah acak dan distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Ekspektasi bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Distribusi eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Proses Poisson 12.1 Mengapa Proses Poisson? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Peubah Acak Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Proses Menghitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Definisi Proses Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6 Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu . . . . . . . . . . 42.7 Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas . . . . . . . . . . . . . . 62.8 “Thinning” dari Proses Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Proses Poisson Tak Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Proses Renewal 13.1 Tentang Proses Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Distribusi Tn, Sn dan Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.2.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Distribusi Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.3 Proses Renewal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

iii

BAB 1

Peluang, Peubah Acak danDistribusi

1.1 Peluang

Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wu-judnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan meny-atakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita un-tuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memi-liki peluang kecil).

Contoh:Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuksetiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkulia-han tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuahperkuliahan benar-benar tidak terjadi?

Contoh:Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah.Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi.Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tigaorang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tirikukawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan duaorang anak pula dengan ayah tiriku”. Adakah sosok seperti Tiani?

Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitungpeluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian.

Contoh:Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya

1

satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memi-liki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki,diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran?Solusi: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memilikidua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi,

P (LK|U) =P (LK ∩ U)

P (U)

=P ({{LL} ∩ {LL,LLc, LcL}})

P ({LL,LLc, LcL})

=P ({LL})

P ({LL,LLc, LcL})= (1/4)/(3/4) = 1/3

Seringkali dibutuhkan nilai (awal) peluang suatu kejadian, untuk kemudiandapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluangmerupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging).

Contoh:Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salahsatu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan piadalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotaksurat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i,i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat.Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotaksurat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada dikotak surat 1?Solusi: Misalkan Ki, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i.Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat.Peluang kejadian itu akan terjadi adalah

P (T ) = P (T |K1)P (K1) + P (T |K2)P (K2) + P (T |K3)P (K3)

= (1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3

Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, makapeluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah

P (K1|T ) =P (T |K1)P (K1)

P (T |K1)P (K1) + P (T |K2)P (K2) + P (T |K3)P (K3)

=(1− p1)(1/3)

(1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3

MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

1.2 Peubah acak dan distribusi

Peubah acak (p.a.) adalah alat untuk “memudahkan” kita dalam “menyeder-hanakan” hitungan peluang; p.a. membuat kita bekerja dalam bilangan riil.Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah!

P.a. berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumu-latif) (f.d.). Melalui f.d., p.a. akan makin memiliki makna dan aplikatif. Con-toh, suatu p.a. menyatakan waktu tunggu seorang lulusan mendapat peker-jaan. P.a. tersebut mengikuti distribusi eksponensial. Kita dapat memahamiperilaku p.a. (secara probabilistik) tersebut melalui f.d.

Misalkan X suatu p.a.; F.d. untuk X adalah

FX(x) = F (x) = P (X ≤ x)

dengan sifat-sifat:(a) F fungsi tidak turun(b) limx→∞ F (x) = 1(c) limx→−∞ F (x) = 0(d) F fungsi kontinu kanan

Contoh:Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < 013+ x

5, 0 ≤ x < 1

35, 1 ≤ x < 2910, 2 ≤ x < 3

1, x ≥ 3Solusi:

MisalkanX p.a dengan f.d. FX(x). Kita dapat membentuk p.a. baru (menurutkonsep Transformasi Peluang) yaitu

U = FX(X) ∼ Unif(0, 1),

dengan fungsi distribusi

FU(u) = P (U ≤ u)

= P (FX(X) ≤ u)

= P (X ≤ F−1X (u))

= FX(F−1X (u))

= u.


Contoh:Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan(a) P (|X| > 1/2)(b) fungsi peluang dari |X|.Solusi:

1.3 Ekspektasi bersyarat

Distribusi BersamaMisalkan X dan Y p.a. dengan f.d. berturut-turut FX dan FY . Kita dapatmembangun f.d. dan f.p. bersama dari kedua peubah acak tersebut dari infor-masi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk duaatau lebih p.a. sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit.Hubungan antara f.d. marginal dan f.d. bersama adalah sebagai berikut: f.d.marginal mungkin dapat membangun f.d. bersama; dengan f.d. bersama kitadapat menentukan f.d. marginal.

Contoh:Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yangakan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi):

X\Y 2 3 4 5 Total2 3 0 0 03 14 12 2 0 284 2 11 5 1

Total 23 50

a. Hitung pX,Y (3, 2)b. Tentukan f.p. bersama dari X dan YSolusi:

Contoh:Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga Xdan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan f.p. bersama dari X danY adalah

pX,Y (x, y) = p2 (1− p)x+y−2, x, y ∈ N

dimana 0 < p < 1. Tentukan f.p. marginal dari X dan Y .Solusi:

Contoh:Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidupX dan Y . Fungsi


peluang bersama dari X dan Y adalah

fX,Y (x, y) = λµ exp(−λx+ µy), x, y > 0

dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsipada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yangpertama kali rusakSolusi:

Ekspektasi BersyaratIlustrasi - Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memilikitiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kem-bali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanyake terowongan yang kembali ke sel dalam waktu masing-masing empat dansatu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 den-gan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected numberof days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat?

Definisi:Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama fX,Y (x, y). JikafX(x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspek-tasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x,

E(Y |X = x) =

∫ ∞

−∞yfX,Y (x, y)

fX(x)dy =

∫ ∞

−∞y fY |X(y|x) dy

ProposisiMisalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsipeluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka

E(Y ) =

∫ ∞

−∞E(Y |X = x) fX(x) dx

atau

E(Y ) = E(E(Y |X = x))

Definisi:Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama fX,Y (x, y). JikafX(x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansidari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x,

V ar(Y |X = x) = E((

Y − E(Y |X = x))2∣∣∣X = x

)MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

ProposisiMisalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsipeluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka

V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X))

Contoh:Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama

f(x, y) = e−x(y+1), 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e− 1

(a) Hitung P(X > 1|Y = 1

2

)(b) Hitung E

(X|Y = 1

2

)Solusi:

Contoh:Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jikadia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalahpeubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). MisalkanY adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapairumah, berapa lama waktu mencapai rumah?Solusi:

Contoh:Zarudd saat ini berada di penjara Markas Brimob di Kelapa Dua, Depok. Diaingin melarikan diri (katanya sih ingin ke Bogota atau manalah) namun halini tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa kalau Zarudd hendakkeluar dari penjara dia akan menghadapi tiga pintu. Pintu pertama akanmembawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu dua jam.Pintu kedua pun demikian, akan membawanya ke sebuah lorong dan kembalike penjara dalam waktu tiga jam. Sedangkan pintu ketigalah yang membawaZarudd langsung bebas. Jika Zarudd memilih pintu-pintu, yang belum di-gunakannya, secara acak, berapa lama waktu rata-rata (expected number ofhours) yang dibutuhkan Zarudd untuk bebas?Solusi:

1.4 Distribusi eksponensial

Peubah acak eksponensial didefinisikan sebagai p.a. dengan fungsi distribusi

F (x) = 1− e−θ x, x ≥ 0,


dengan parameter θ > 0 atau p.a. yang berdistribusi eksponensial; ditulisX ∼ exp(θ). Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kon-tinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik mem-odelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untukmengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu un-tuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel 1.1). Beri gambar,ilustrasi dan contoh distribusi eksponensial!

Table 1.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson.

Percobaan Bernoulli Proses Poisson

Banyak “sukses” Distribusi Binomial Distribusi Poisson“Waktu” utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial

Untuk membangkitkan data berdistribusi eksponensial, contoh X ∼ exp(1/3),serta bentuk distribusinya (dalam histogram) kita gunakan kode berikut:

x = exprnd(3,10,1);

hist(x)

Kita dapat pula membangkitkan data dengan menggunakan teknik simulasistokastik yaitu “Invers Transformation Method”. Misalkan U peubah acakUniform(0, 1). Untuk setiap f.d. kontinu F , jika kita definisikan peubah acakX sbb:

X = F−1(U)

maka peubah acak X memiliki f.d. F . Contoh: Jika F (x) = 1 − e−x makaF−1(u) adalah nilai x sedemikian hingga

1− e−x = u

atau

x = − log(1− u)

Jadi, jika U adalah p.a. Uniform(0,1) maka

F−1(U) = − log(1− U)

adalah p.a. eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).

Sifat Tanpa MemoriMisalkan X p.a. Sifat tanpa memori (memoryless property) pada X adalah


sifat dimana “peluang X lebih dari s+ t dengan syarat/diberikan X lebih darit sama dengan peluang X lebih dari s”, atau

P(X > s+ t

∣∣X > t)= P

(X > s

)Contoh:Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan “sesuatu”.Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebihdari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun, atau,

P (X > 2 + 5|X > 5) = P (X > 2).

Orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun.Itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori.

Perhatikan:

P(X > s+ t

∣∣X > t)=

P(X > s+ t,X > t

)P(X > t

)=

P(X > s+ t

)P(X > t

)= P

(X > s

).

Atau, P(X > s + t

)= P

(X > s

)P(X > t

), yang dipenuhi HANYA oleh X

yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Buktinya sbb:

P(X > s+ t

)= 1− P

(X < s+ t

)= 1− FX(s+ t)

= 1−(1− exp(−θ s− θ t)

)= exp(−θ s− θ t)

= exp(−θ s) exp(−θ t)

= P(X > s

)P(X > t

)Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh,misalkan X ∼ U(0, 1), maka

P(X > s+ t

)= 1− P

(X < s+ t

)= 1− FX(s+ t) = 1− (s+ t)

= (1− s)(1− t)

= (1− FX(s)) (1− FX(t))

= P(X > s

)P(X > t

)MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

Contoh:Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrean di Bank berdistribusi eksponen-sial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15menit untuk dilayani adalah... Sedangkan peluang seseorang menunggu lebihdari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah...Solusi:

Contoh:Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayaninasabah Alen dan Inne. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Dani,yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah-nya. Diketahui waktu layanan (service time) teler A dan B berturut-turutadalah p.a. eksponensial dengan parameter θ1 dan θ2. Misalkan θ1 = θ2 = θ.Berapa peluang bahwa Dani adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkanBank? Apakah sifat tanpa memori dapat digunakan?Solusi:

Contoh:Banyaknya uang yang “terlibat” dalam kecelakaan (dalam kaitannya denganasuransi) adalah peubah acak eksponensial dengan mean 1000. Banyaknyauang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantung apakah klaim pe-megang polis lebih dari 400. Tentukan mean dan variansi banyak uang yangdibayar perusahaan asuransi pada setiap kecelakaan.Solusi:

Contoh:Manakah pernyataan yang BENAR?

(a) E(X2|X > 1) = E((X + 1)2)

(b) E(X2|X > 1) = E(X2) + 1

(c) E(X2|X > 1) = (E(X) + 1)2)

Solusi: Bagaimana dengan

E(X2|X > 1) ?

Buktikan!Misalkan X p.a. nonnegatif dengan f.d. F (x). Maka

E(X) =

∫ ∞

0

(1− F (x)) dx


Jika X bernilai integer, maka

E(X) =∞∑k=1

P (N ≥ k) =∞∑k=0

P (N > k)

Jumlah p.a. dan statistik terurut:Misalkan X1, . . . , Xn sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan

Y =n∑

i=n

Xi,

maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan metode fungsi pembangkitmomen,

MY (t) = E(exp(tY )) = E(exp(t[X1 + · · ·+Xn]))

= · · ·

Jadi, Y ∼ . . ., dengan mean dan variansi . . ..

Catatan:Misalkan X1 dan X2 p.a. eksponensial yang berasosiasi (berkorelasi). Maka,f.d. bersama dari (X1, X2) adalah . . ..

Pandang dua buah p.a eksponensial X1 dan X2 yang saling bebas denganparameter θ1 dan θ2, peluang X1 kurang dari X2 adalah

P (X1 < X2) =

∫ ∫fX1,X2(x1, x2) dx2 dx1

=

∫ ∞

0

∫ ∞

x1

λ1 e−λ1x1 λ2 e

−λ2x2 dx2 dx1

= · · · = λ1

λ1 + λ2

Misalkan X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensialdengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dari Y(k), statistik terurutke-k (ambil kasus untuk k = 1 dan/atau k = n).Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah:

fX(k)(x) = Cn

k−1,1,n−k (FX(x))k−1 fX(x) (1− FX(x))

n−k


Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter λ,

fX(1)(x) = C2

0,1,1 (1− e−λx)1−1 λ e−λx (e−λx)2−1

= 2λ e−2λx

Contoh:Jika X1 dan X2 p.a. eksponensial yang saling bebas, tentukan distribusi(i) Y = min(X1, X2)(ii) Z = max(X1, X2).Solusi:

Contoh:Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang salingbebas, hitung

P (X1 < X2 |min(X1, X2) = t)

Solusi:Jika X1 dan X2 berdistribusi identik, katakan eksponensial dengan parameterα, maka

P (X1 < X2 |min(X1, X2) = t)

= · · ·

Contoh:Ini tentang rekor [Baru-baru ini dalam Olimpiade London, Ye Shiwen, 16tahun, memecahkan rekor dunia untuk renang 400m gaya ganti perseorangandalam waktu 4 menit 28.43 detik dari sebelumnya 4 menit 29.45 detik yangdicetak oleh Stephanie Rice]. Misalkan X1, X2, . . . p.a. kontinu yang bersifati.i.d. Suatu rekor Xn terjadi pada waktu n(n > 0) jika

Xn > max(X1, . . . , Xn−1)

[perlukah syarat X0 = −∞ ?]. Jika Nn menyatakan total banyaknya rekoryang terjadi sampai waktu ke-n, hitung E(Nk

n) untuk k = 1, 2.Solusi:

Aplikasi p.a. eksponensial dalam antrean:Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah.Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayanisalah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktumelayani dari teler ke-i adalah p.a. ekspoensial dengan parameter θi, hitung


E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.Solusi:

Contoh: Pandang soal sebelumnya (Alen, Inne, Dani) dengan distribusiwaktu layanan teller A dan B memiliki parameter yang berbeda. Berapa pelu-ang Dani bukanlah nasabah terakhir keluar dari bank?Solusi:

Contoh:Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Van, Nia dan Ani datang ketoko bersamaan. Van dan Nia langsung mendatangi petugas toko, sedangkanAni menunggu (baca: antre). Berapa peluang bahwa Van masih berada ditoko setelah Nia dan Ani pergi apabila waktu layanan:(a) untuk setiap pertugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit?(b) adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3?(c) berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ?Solusi:


BAB 2

Proses Poisson

2.1 Mengapa Proses Poisson?

Mengapa proses Poisson?

• Proses Poisson (PP) adalah proses menghitung (counting process) untukbanyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu tertentu

• Proses ini sering disebut proses ‘lompatan’ atau “jump process” karenakeadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi

• PP adalah kasus khusus dari proses Markov kontinu

• PP memiliki aplikasi dalam bidang asuransi: (i) total klaim asuransiyang merupakan jumlahan dari klaim individu (ii) banyak klaim yangsering diasumsikan mengikuti PP

2.2 Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Misalkan kita ingin mengumpulkan kupon-kupon bertuliskan“R, I, O” dari suatu produk minuman. Misalkan N menyatakan banyaknyakupon yang kita beli untuk mendapatkan kupon lengkap. Hitung E(N), jikadiketahui bahwa peluang untuk mendapatkan kupon dengan tulisan “i” adalahpi dengan

∑i pi = 1.

(Ilustrasi-2) Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika diatidak mendapatkan ginjal baru, maka A akan meninggal setelah suatu waktuyang berdistribusi exponensial dengan parameter µA. Begitu juga dengan B,akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial denganparameter µB. Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter

1

λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A(atau ke pasien B jika B masih hidup dan A meninggal saat itu) lalu ke pasienB (jika masih hidup). Berapa peluang A mendapat ginjal baru?

(Ilustrasi-3) Mobil-mobil yang lewat dijalanan Dago melewati McD akandatang menurut Proses Poisson dengan parameter/laju λ = 3 per menit. JikaLi menyebrang jalan tanpa menoleh kanan kiri (blindly run accross), berapapeluang bahwa Li tidak akan mengalami kecelakaan jika waktu yang dibu-tuhkan Li untuk menyeberang adalah 2 detik? 20 detik?

2.3 Peubah Acak Poisson

Peubah Acak Poisson -1Suatu peubah acak X dikatakan sebagai peubah acak Poisson dengan param-eter λ jika, untuk suatu λ > 0, memiliki fungsi peluang

P (X = k) = e−λ λk

k!, k = 0, 1, . . .

Catatan: Salah satu sifat penting dari p.a Poisson adalah bahwa p.a ini dapatdigunakan untuk mendekati p.a Binomial saat n besar dan p kecil. (Buktikan!)

Contoh:

1. Banyaknya kesalahan ketik di suatu halaman sebuah buku

2. Banyaknya mahasiswa yang tinggal di daerah Dago

3. Banyaknya nasabah yang ada di Bank

Peubah Acak Poisson -2Definisi lain mengenai p.a Poisson adalah sbb. Banyaknya kejadian pada in-terval dengan panjang t adalah p.a Poisson dengan parameter λt,

P (Nt = k) = e−λt (λt)k

k!, k = 0, 1, . . .

Contoh:Banyaknya kejadian gempa di pulau Jawa dan Madura per minggu adalah 2.Berapa peluang terjadi setidaknya 3 gempa selama 2 minggu kedepan?


2.4 Proses Menghitung

DefinisiSuatu proses stokastik {Nt, t ≥ 0} adalah proses menghitung (counting pro-cess) jika Nt merupakan total banyaknya kejadian (events) yang terjadi sampaiwaktu t.

Contoh:

1. Banyaknya orang yang masuk ke suatu restoran McD pada waktu/sampaiwaktu t

2. Banyaknya bayi yang lahir

3. Banyaknya pasien yang bertahan hidup

4. Banyaknya gol yang diciptakan pemain

5. Banyaknya klaim asuransi yang masuk

KriteriaProses menghitung {Nt, t ≥ 0} haruslah memenuhi hal-hal berikut:

• Nt ≥ 0

• Nt bernilai integer

• Jika s < t maka Ns ≤ Nt

• Untuk s < t, Nt −Ns adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t]

Diskusi

• Kenaikan independen (independent increments)Suatu proses menghitung {Nt} memiliki independent increments jikabanyak kejadian yang terjadi pada [s, t], yaitu Nt − Ns, saling bebasdengan banyak kejadian sampai waktu s. Dengan kata lain, banyak ke-jadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah salingbebas

• Kenaikan stasioner (stationary increments)Suatu proses menghitung {Nt} memiliki stationary increments jikadis-tribusi banyak kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada pan-jang selang


2.5 Definisi Proses Poisson

Definisi -1Proses menghitung {Nt, t ≥ 0} adalah Proses POISSON dengan laju λ(> 0),jika

• N0 = 0

• Proses memiliki kenaikan independen

• Banyaknya kejadian di sebarang interval dengan panjang t berdistribusiPoisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t ≥ 0

P({Ns+t −Ns = n}

)= eλt

(λt)n

n!, n = 0, 1, 2, . . .

Definisi -2Proses menghitung {Nt, t ≥ 0} adalah Proses POISSON dengan laju λ(> 0),jika

• N0 = 0

• Proses memiliki kenaikan stasioner dan independen

• P({Nh = 1}

)= λh+ o(h)

• P({Nh ≥ 2}

)= o(h)

Diskusi:Tunjukkan bahwa kedua definisi Proses Poisson diatas identik.

2.6 Waktu Antar Kedatangan danWaktu Tunggu

Waktu Antar KedatanganMisalkan T1 menyatakan waktu dari kejadian pertama. Untuk n > 1, mis-alkan Tn menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-(n − 1) dam kejadianke-n. Barisan {Tn, n = 1, 2, . . .} adalah barisan waktu antar kejadian (interar-rival times). Untuk menentukan distribusi dari Tn, perhatikan bahwa kejadian{T1 > t} terjadi j.h.j tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi padainterval [0, t], sehingga

P (T1 > t) = P (Nt = 0) = exp(−λt)


Jadi T1 berdistribusi eksponensial dengan mean 1/λ.

Perhatikan juga bahwa

P (T2 > t) = E(P (T2 > t |T1)

),

sedangkan

P (T2 > t |T1 = s) = P (tidak ada kejadian pada (s, s+ t] |T1 = s)

= P (tidak ada kejadian pada (s, s+ t])

= exp(−λt)

Dengan demikian, T2 juga peubah acak eksponensial dengan mean 1/λ, danT2 saling bebas dengan T1.

Waktu TungguStatistik lain yang kita perhatikan berikut adalah Sn yaitu waktu kedatangankejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time) hingga kejadian ke-n,

Sn = T1 + · · ·+ Tn, n ≥ 1

yang berdistribusi...

Contoh/Latihan:Misalkan turis-turis datang ke suatu pulau mengikuti Proses Poisson denganparameter λ = 1 per hari.

1. Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepuluh datang?Solusi:

E(T1 + · · ·+ T10) = E(T1) + · · ·+ E(T10) = 10 · 1 = 10

atau

E(S10) = (10)(1/λ) = 10

2. Berapa peluang waktu yang dibutuhkan (elapsed time) antara turis ke-sepuluh dan kesebelas datang melebihi 2 hari?Solusi:

P (T11 > 2) = exp(−2λ) = exp(−2)


Latihan

1. Misalkan TK menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untukklaim-klaim asuransi diproses; T1 menyatakan waktu yang dibutuhkanhingga klaim pertama diproses. Diketahui T1, T2, . . . saling bebas danberdistribusi dengan f.p

f(t) = 0.1 e−0.1 t, t > 0

dengan t diukur dalam setengah-jam. Hitung peluang bahwa setidaknyasebuah klaim akan diproses pada 5 jam kedepan. Berapa peluang bahwasetidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?

Solusi:

P (T1 ≤ 10) = 1− P (T > 10) = 1− e−1

Selanjutnya, N10 ∼ POI(10(1/10) = POI(1).Jadi,

P (N10 ≥ 3) = 1− P (N10 = 0)− P (N10 = 1)− P (N10 = 2)

= 1− e−1 − (1/1!) e−1 − (12/2!) e−1

= · · ·

2. Mahasiswa-mahasiswa MA ITB akan datang ke Gedung Matematikamelewati pintu Tamansari atau pintu DayangSumbi. Kedatangan ma-hasiswa melalui kedua pintu tersebut, berturut-turut, mengikuti prosesPoisson dengan parameter λ1 = 1/2, λ2 = 3/2 per menit. Berapa pelu-ang tidak ada mahasiswa yang datang padang selang waktu 3 menit?Hitung mean waktu antara kedatangan mahasiswa-mahasiswa. Berapapeluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu Dayang-Sumbi?

2.7 Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas

Pandang dua proses Poisson {N1(t)} dan {N2(t)} yang saling bebas denganparameter, berturut-turut, λ1 dan λ2. Kita mendapatkan

N(t) = N1(t) +N2(t),

yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ1 + λ2.


Contoh/Latihan:Di suatu terminal bis, Bis A dan Bis B datang saling bebas mengikuti prosesPoisson. Ada sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B setiap8 menit. Misalkan Yun untuk melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut.Berapa peluang bahwa tepat 2 bis A akan datang pada 24 menit pertama dantepat 3 bis B datang pada 36 menit pertama? Hitung mean waktu tunggu(expected waiting time) hingga sebuah bis datang. Berapa peluang bahwadiperlukan waktu setidaknya 20 menit untuk 2 bis B datang?

2.8 “Thinning” dari Proses Poisson

Diketahui suatu proses Poisson {Nt} dengan parameter λ. Misalkan setiap kaliterdapat suatu kejadian, kejadian tersebut dapat diklasifikasi ke Tipe I denganpeluang p atau Tipe II dengan peluang 1− p, yang saling bebas untuk seluruhkejadian.

Jika N1(t) dan N2(t) berturut-turut adalah kejadian tipe I dan II pada selang[0, t] maka

• {N1(t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ p

• {N2(t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ (1− p)

• Kedua proses saling bebas

Contoh/Latihan:

1. Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis K danM. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 9 (per hari). Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwapeluang polis jenis K terpilih adalah 1/3. Hitung peluang bahwa klaim-klaim polis jenis K (atau M) yang diajukan pada suatu hari kurang dari2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu harikurang dari 2?

2. Sejalan dengan soal sebelumnya, ternyata 2/3 klaim dari polis jenis Kmemiliki besar klaim lebih dari 10jt. Sementara itu, hanya 2/9 daripolis M. Tentukan nilai harapan banyaknya klaim yang bernilai lebihdari 10jt. Berapa peluang bahwa pada suatu hari klaim yang bernilailebih dari 10jt kurang dari 2?


3. Ike datang ke halte bis transjakarta pukul 8.15 pagi. Informasi yang adasbb:- hingga pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 1 (per 30 menit)- mulai pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 2 (per 30 menit)Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time) Ike hinggasebuah bis datang?

2.9 Proses Poisson Tak Homogen

Proses menghitung {Nt} dikatakan proses Poisson tak homogen dengan fungsiintesitas λt jika

1. N0 = 0

2. Memiliki independent increments

3.

P(Nt+h −Nt = 1

)= λt h+ o(h)

dan

P(Nt+h −Nt ≥ 2

)= o(h)

Contoh/Latihan:

1. Para pembeli datang ke toko Ilfimart mengikuti proses Poisson denganparameter/laju yang naik secara linier dari 6/jam pada pukul 13 hingga9/jam pada pukul 14. Tentukan peluang ada tepat 2 pembeli datangantara pukul 13 dan 14.

2. Perusahaan asuransi AAA mendapatkan kenyataan bahwa banyaknyakecelakaan meningkat pada tengah malam hingga siang hari (pukul 12)dan turun hingga tengah malam berikutnya. Misalkan banyaknya kece-lakaan dapat dimodelkan menurut proses Poisson tak homogen denganintensitas

λt = 1/6− (12− t)2/1152,

dimana t jumlah jam setelah tengah malam. Hitung banyaknya kece-lakaan setiap hari yang diharapkan. Berapa peluang bahwa akan adatepat 1 kecelakaan antara pukul 6 pagi dan 6 malam?


BAB 3

Proses Renewal

3.1 Tentang Proses Poisson

Proses Poisson yang kita kenal selama ini berkonsentrasi pada 2 hal. Pertama,banyaknya kedatangan (arrivals) atau kejadian hingga waktu ke-t (berdis-tribusi Poisson); kedua, waktu antar-kedatangan kejadian ke-(n− 1) dan ke-n(berdistribusi eksponensial). Kedua hal ini “setara” baik dalam pemahaman(intuitif) maupun sifat distribusinya.

Perhatikan bahwa misalkan T1 PEUBAH ACAK menyatakan waktu antar-kedatangan dari tidak ada kejadian ke kejadian pertama; kita dapat meman-dang juga sebagai suatu KEJADIAN yaitu {T1 > t} yang terjadi j.h.j tidakada kejadian dari proses Poisson pada interval [0, t], sehingga

P (T1 > t) = e−λ t = e−λ t (λ t)0

0!= P (Nt = 0),

dimana Nt p.a. yang menyatakan banyaknya kedatangan atau kejadian.

Diskusi:Mungkinkah T1 berdistribusi lain (bukan eksponensial; bahkan distribusi diskrit)?Secara umum, mungkinkah barisan p.a. {Tn} saling bebas dan berdistribusiidentik bukan eksponensial?

3.2 Distribusi Tn, Sn dan Nt

3.2.1 Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Misalkan T1 p.a. banyaknya percobaan untuk mendapatkansukses pertama; dengan kata lain T1 berdistribusi geometrik. Apakah distribusi

1

dari Sn = T1+T2+· · ·+Tn, p.a. yang menyatakan banyaknya percobaan (baca:waktu) untuk mendapatkan n sukses?

(Ilustrasi-2) Misalkan distribusi antar-kedatangan adalah Poisson denganmean λ;

P (Tn = i) = e−λ λi

i!, i = 0, 1, 2, . . .

Tentukan P (Nt = n), dimana Nt = maks{n : Sn ≤ t}.

(Ilustrasi-3) Diketahui U1, U2, . . . peubah acak yang saling bebas berdis-tribusi U(0, 1). Misalkan

N = min{n : U1 + U2 + · · ·+ Un > 1}.

Hitung E(N).

(Ilustrasi-4) Wind(r)a bekerja tidak tetap (kadang-kadang dapat kerjaan,lebih sering sih jadi “pengacara”). Rata-rata, Winda bekerja selama tiga bu-lan (untuk setiap pekerjaan yang dia terima). Jika waktu antar-pekerjaanyang Winda dapatkan berdistribusi eksponensial dengan mean dua, pada rateberapa Winda akan mendapat pekerjaan baru?

3.2.2 Distribusi Nt

Kita mulai dengan memperhatikan pertanyaan berikut: ”mungkinkah banyaknyarenewal Nt dapat tak hingga pada waktu yang hingga?”. Dengan kata lain,dapatkah kita tunjukkan bahwa

Nt = maks{n : Sn ≤ t}

valid atau berlaku?Catatan: Sn adalah waktu untuk mendapatkan kedatangan atau kejadian ataurenewal ke-n.

Distribusi dari Nt dapat ditentukan sbb:

P (Nt = n) = P (Nt ≥ n)− P (Nt ≥ n+ 1)

= P (Sn ≤ t)− P (Sn+1 ≤ t)

= Fn(t)− Fn+1(t)

dimana F f.d. dari Ti, i ≥ 1; Fn adalah distribusi dari Sn. Sementara itu,


mean Nt adalah

E(Nt = n) =∞∑n=1

P (Nt ≥ n)

=∞∑n=1

P (Sn ≤ t)

=∞∑n=1

Fn(t) = mt.

Diskusi:Bagaimana jika E(Nt) = 2? E(Nt) = 2 t?Dapatkah informasi ini membantu kita untuk dapat menentukan distribusi Nt?Bagaimana perilaku Nt

tuntuk t → ∞?*

Contoh/Latihan:Telpon seluler de’ Ika selalu terisi pulsa 100rb. Jika pulsa habis, Ika langsungmengisinya (kayaknya si Ika bandar pulsa ya). Pulsa 100rb Ika akan dapatdipakai (baca: memiliki masa hidup [dalam hari]) mengikuti distribusi Uniformpada selang [3, 6]. Pada setiap berapa jam Ika harus mengisi pulsa?

Ternyata Ika bukan bandar pulsa, maksudnya saat pulsa Ika habis, Ika haruske warung dan beli pulsa. Waktu yang dihabiskan Ika untuk mendapatkanpulsa baru adalah p.a. berdistribusi U(0, 1). Jadi, setiap berapa jam Ikaharus mengisi pulsa?

3.3 Proses Renewal

DefinisiSuatu proses menghitung {Nt, t ≥ 0} adalah Proses Renewal jika barisan p.a.tak negatif {T1, T2, . . .} saling bebas dan berdistribusi identik.

Contoh/Latihan:Misalkan para nasabah bank akan datang ke sebuah mesin ATM mengikutiproses Poisson dengan parameter/laju λ. Namun nasabah-nasabah itu akanmasuk ke ruang mesin ATM apabila mesin tersebut kosong (bukan kosongduitnya, tapi tidak ada yang memakai!) saat mereka datang. Jadi, kalaumesin ATM sedang dipakai seseorang maka nasabah baru yang datang akanpulang (daripada menunggu). Jika waktu yang dihabiskan nasabah di mesinATM berdistribusi F , maka...


1. Apakah “situasi” ini dapat diterima? Dengan kata lain, mungkinkahnasabah datang mengikuti proses Poisson namun kemudian pulang jikamesin ATM sedang dipakai nasabah lain? Perlukah kita melihat ke-datangan sebagai proses Poisson?

2. Dapatkah kita mengabaikan proses kedatangan nasabah dan hanya berkon-sentrasi pada waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM?

3. Lanjutan dari butir 2, misalkan nasabah B datang dan menunggu hinggawaktu s; jika s > t (t adalah waktu yang dihabiskan nasabah A di mesinATM) maka nasabah B pulang. Jika s < t berapa waktu yang dihabiskannasabah B di mesin ATM?

4. Kembali ke situasi awal dimana kedatangan nasabah mengikuti prosesPoisson. Misalkan para nasabah bersedia antre. Diketahui seorangnasabah sedang memakai mesin ATM. Ketika Vina datang, sudah ada 2orang lain yang sedang antre. Berapa mean waktu yang dihabiskan Vinadi mesin ATM?

Teorema Renewal ElementerMisalkan proses renewal {Nt} dengan Tn menyatakan waktu antar-kedatangankejadian ke-(n − 1) dan ke-n. Misalkan mt = E(Nt) dan µ = E(Tn). Untukt → ∞,

mt

t→ 1

µ.

(Petunjuk: lihat *, perilaku Nt

tuntuk t → ∞)

Teorema Limit Pusat untuk Proses RenewalMisalkan {Nt} proses renewal dengan mean dan variansi Tn, berturut-turut,adalah µ dan σ,

limt→∞

P

(Nt − t/µ√t σ2/µ3

< x

)=

1√2 π

∫ x

−∞e−x2/2 dx.

Dengan kata lain, untuk t besar, Nt akan (mendekati) distribusi normal denganmean t/µ dan variansi tσ2/µ3.


Documents

MA5181 PROSES STOKASTIK - FMIPA Personal Blogs …personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah_ProsStok...Matriks kegiatan perkuliahan Table 1: Materi kuliah MA5181 Proses