*ANALIZA ODNOSA VIE POJAVA

Dr. Nijaz Bajgoric, BU, IEDEPT

*Regresijsku su analizu u statistici prvi koristili matematiari Legendre [Leandr] i Gauss [Gaus] koji su poetkom 19. stoljea objavili radove o metodi najmanjih kvadrata. Meutim, sam pojam regresijska analiza u statistiku je uveo Sir Francis Galton. On je 1886. u Glasniku antropolokoga instituta u Londonu objavio rad u kojemu je promatrao ovisnost visine djece o prosjenoj visini njihovih roditelja. U tom je istraivanju doao do zanimljiva zakljuka: ukoliko je prosjena visina obaju roditelja vea od medijana ureenoga niza svih prosjenih visina roditelja, visina njihova djeteta e oekivano biti manja od prosjene visine obaju roditelja (i obrnuto: ukoliko je prosjena visina obaju roditelja manja od medijana, visina njihova djeteta oekivano e biti vea od prosjene visine od prosjene visine obaju roditelja)veoma visoka povezanost visine oevi i sinovi

*

*Regresija i korelacija su sistemi nauno razraenih modela i primjenjuju se za istraivanja veza i odnosa izmeu 2 ili vie pojava.REGRESIJA izraava prosjean zakonomjeran kvantitativni odnos izmeu 2 (ili vie) pojava tako to se u obliku matematske funkcije povezuju njihove varijacije. Ona podrazumijeva prethodno kvalitativno odreivanje varijabli - izbor zavisne i nezavisne promjenjive u modelu.

*Izbor analitikog tipa funkcionalne zavisnosti kojim emo najbolje aproksimirati stvarni raspored parova podataka posmatranih pojava vri se na osnovu njihovog grafikog prikaza na dijagramu rasturanja. Ako nam on ukazuje na pravolinijsko slaganje varijacija, onda e sistemu stvarnih taaka parova podataka najbolje odgovarati linearna funkcija oblika:

*Pomono sredstvo za izbor funkcije je dijagram rasturanja (rasipanja) grafiki prikaz empirijskih vrijednosti.

*

*

*

*Razlika izmeu trenda i regresijeParametre a i b moemo odrediti na dva naina:a) metodom najmanjih kvadratab) metodom kovarijanse

*Metoda najmanjih kvadrata koristi sistem normalnih jednaina:

*Kovarijansa predstavlja prosjean stepen kvantitativnog slaganja varijacija obiljeja posmatranih pojava

*

*

*Odreivanje stepena pouzdanosti, odnosno ocjenu vrijednosti za bilo koju vrijednost x dajemo u obliku intervala povjerenja:

Y` je linearna regresijat je faktor vjerovatnoe Sy standardna greka regresije

*Vrijednost za t u intervalu povjerenja odreujemo iz tabele studentovog rasporeda ukoliko je broj parova podataka n=30 koristimo tabelu normalnog rasporeda i to tako da relativni izraz pouzdanosti podijelimo sa 2 i taj broj traimo u 3. koloni a u 1. koloni oitamo vrijednost (t)npr. 0,95/2=0,475 t=1,96

*U sluajevima kada nam logika stvari dozvoljava promjenu smjera posmatranja odnosa uzrok -posljedica, moemo da konstruiemo oblik zavisnost pomou indirektnog (inverznog) modela oblika:

Za dvije varijable (X i Y) mogue je postaviti dva regresijska modela:a)X nezavisna varijabla, a Y zavisna varijablab)Y nezavisna varijabla, a X zavisna varijabla

*Metod najmanjih kvadrataMetod kovarijanse

*Rezidualna odstupanja:

Kriterij za izbor procjene parametara, metodom najmanjih kvadrata:

*Varijansa regresije aritmetika sredina kvadrata rezidualnih odstupanja

Standardna devijacija regresije

Koeficijent varijacije regresije

*

Korelacija

Pod korelacijom se podrazumijeva kvantitavno slaganje varijacija posmatranih pojava.Prosta korelacijaKorelaciona analiza treba da pokae da li izmeu posmatranih pojava x i y postoji kvantitavno slaganje, te da utvrdi stepen tog slaganja. To se utvruje na bazi koeficijenta determinacije i korelacije.Determinacija oznaava stepen zavisnosti varijacija zavisno promjenjive od varijacija nezavisno promjenjive, a korelacija stepen njihove meuzavisnoti.

*Koeficijent korelacije kao kvantitativna mjera meuzavisnosti, moe se odrediti na vie naina:a) u obliku odnosa kovarijanse i proizvoda standardnih devijacija obiljeja posmatranih pojava:

b) kao geometrijska sredina regresionih koeficijenata direktnog i indirektnog modela

*odnosom objanjenog i ukupnog varijabiliteta zavisno promjenjive

na bazi odnosa neobjanjenog i ukupnog varijabiliteta

*Ukupan varijabilitet zavisno promjenjive moe da se dekomponuje na objanjeni i neobjanjeni dio. Objanjeni varijabilitet predstavlja prosjeno kvadratno odstupanje teorijskih podataka od aritmetike sredine zavisno promjenjive

a neobjanjeni varijabilitet (varijansa regresije)

*i uvijek je

*Visina dobijenog koeficijenta korelacije se interpretira na sljedei nain:ako je , moe se zakljuiti da se regresione prave poklapaju, a to znai da postoji potpuna linearna funkcionalna zavisnost izmeu promjenjivih x i yako je r = 0 tada jednaine regresionih modela normalne jedna na drugu.

*Vrijednosti koeficijenta korelacije i tumaenja

rOpis povezanosti-1potpuna negativna korelacija-1 -0,7snana negativna korelacija-0,7 -0,3umjerena negativna korelacija-0,3 +0,3slaba korelacija (bez korelacije za r=0)+0,3 +0,7umjerena pozitivna korelacija+0,7 +1snana pozitivna korelacija+1potpuna pozitivna korelacija

*Koeficijent determinacije predstavlja kvadratni izraz koeficijenta korelacije pa prema tome on moe poprimati samo pozitivne vrijednosti iz intervala (0,1), to je blie 1 kaemo da izmeu pojava postoji vei stepen zavisnosti.Koeficijent determinacije predstavlja omjer protumaenih i ukupnih odstupanja:

*Visina koeficijenta determinacije govori o reprezentativnosti modela

*Razlikom izmeu stvarne i funkcionalne zavisnosti definisan je koeficijent kontingencije koji oznaava uticaj ostalih faktora koji nisu obuhvaeni regresionom vezom na varijaciju zavisno promjenjive

*Primjer 1Poznati su podaci o ukupnom prihodu i plaama 9 preduzea jedne privredne grane:

*Odrediti i grafiki prikazati regresione prave direktnog i inverznog modela i standardnu greku direktnog modela.Za koliko e se prosjeno promijeniti plae ako se ukupan prihod povea za 1 mil. KMZa koliko e se prosjeno promijeniti ukupan prihod ako se plae poveaju za 1 mil. KMKoliki ukupan prihod odgovara prosjenom nivou plaeKoliki nivo plaa odgovora prosjenom ukupnom prihoduKoliki je stepen meuzavisnosti plaa i ukupnog prihodaOdrediti u kojoj mjeri ukupan prihod determinie visinu plaa, a koliki je uticaj ostalih faktoraOcijeniti u kom intervalu bi se kretale plae ako bi ukupan prihod iznosio 250 mil. KM uz nivo pouzdanosti od 95%

*

*a) Direktni model regresije

*

*a) Direktni model regresije

*

*

*Indirektni model regresije

*

*Indirektni model regresije

*

*b)

c)

d)

e)

*f)

g)

*h)

*Primjer 2Promatrane su visine i teine uenikaa) Postavite model regresije!b) Koliki je koeficijent determinacije?c) Koliki je koeficijent korelacije?

*

*

*

*

*odstupanja protumaena modelom:

neprotumaena odstupanja:

ukupna odstupanja:

*koeficijent determinacije

*Primjer 3eli se ispitati utjecaj trokova propagandnih aktivnosti na prihod od prodaje jedne amerike firme. Podaci su sljedei: Odrediti status varijabli u modelu regresijeNacrtati dijagram rasturanjaProcijeniti parametre modelaIzraunati regresijske vrijednostiIzraunati standardnu devijaciju i koeficijent varijacije regresije te koeficijent determinacijeKoliki je koeficijent korelacije?

*Primjer 4Istraivanjem veze izmeu nacionalnog proizvoda i aktivnih stalnih sredstava u jednoj oblasti privrede uoeno je sljedee:da nacionalni proizvod zavisi od stalnih sredstava sa 78%ako se aktivna stalna sredstva poveaju za 1 mil. KM, nacionalni proizvod e se poveati za 0,1758 mil. KMaritmetika sredina za aktivna stalna sredstva iznosi 45 mil. KMstandardna devijacija aktivnih stalnih sredstava iznosi 28,5 mil. KMaritmetika sredina za nacionalni proizvod iznosi 15,8 mil. KM.U kom intervalu se oekuje vrijednost nacionalnog proizvoda ako bi stalna sredstva imala vrijednost 100 mil. KM i ako se zakljuak daje uz 5% rizika?

*Nezavisna varijabla regresijskog modela se oznaava simbolom y.DA NEViestruka regresija promatra utjecaj vie nezavisnih varijabli na zavisnu varijablu.DA NEVrijednost koeficijenta korelacije oekuje se u intervalu od -1 do +1.DA NE

*Odnos koeficijenta korelacije i koeficijenta determinacije.

5. Konstantni lan regresione jednaine predstavlja vrijednost regresione funkcije kada je vrijednost x varijable102k

*295000 sa pouzdanou 99%%

*

*

*Kritine vrijednosti Studentove distribucije

*

*