1.  Skupovi 

Skup  je osnovni pojam u matematici  i  kao  takav  se ne definiše.  Skupove označavamo  velikim  slovima  latinice: 

, , ,...A B C Skupove treba shvatiti kao neke cjeline koje se sastoje iz više dijelova. Te dijelove zovemo elementima 

skupa. Ako element a pripada skupu A, pišemo:  .a A∈  U suprotnom, pišemo:  .a A∉  Moguće je i da skup nema 

nijednog elementa. Takav skup zovemo prazan skup i označavamo oznakom  .∅  Skup S koji ima konačno mnogo 

elemenata, npr. njegovi elementi su  , , , ,a b c d  pišemo pomoću para zagrada { } { }: , , , .S a b c d=  Međutim, ako 

skup S ima mnogo elemenata, nekad ih ima beskonačno mnogo, taj način zapisivanja skupa nije praktičan. Obično 

tada uočimo neku osobinu koju posjeduju svi elementi tog skupa i pišemo:  ( ){ }S x P x= − skup svih elemenata x 

koji imaju osobinu  ( ).P x  

Ako su svi elementi nekog skupa A ujedno elementi  i skupa B, kažemo da je skup A sadržan u skupu B  i pišemo: 

.A B⊆  Kažemo još da je tada skup A podskup skupa B. 

Skupovi A  i B  su  jednaki  ako  i  samo  ako  imaju  iste  elemente. Alternativno, možemo  reći da  je  A B=   ako  je 

A B⊆  i  .B A⊆  

Ako smo pomoću zadanih skupova A i B napravili skup C, uzimajući za njegove elemente sve elemente skupa A i 

skupa B, kažemo da smo napravili uniju ta dva skupa i pišemo:  .C A B= ∪   

Za skup D kažemo da je presjek skupova A i B, ako taj skup sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu 

B i pišemo:  .D A B= ∩  

Ako je presjek dva skupa prazan skup, kažemo da su ti skupovi disjunktni. 

Razlika skupova A i B, u oznaci  \A B je skup koji sadrži sve elemente skupa A koji nisu u skupu B.  

Ukoliko je  A B⊆  i  ,A B≠  dakle skup A je strogo sadržan u skupu B (oznaka:  A B⊂ ),  tada se skup  \B A  zove 

komplementom skupa A i označava se još sa  .cA  

Skup  ( ) ( )\ \A B A B B AΔ = ∪  zovemo simetričnom razlikom skupova A i B. 

Primjer 1:  Dati su skupovi  { } { } { }1,3,5,7 , 1,2,3,4,5 , 2,4,6 .A B C= = =  Tada je 

  

Odrediti za vježbu skupove:  , , , \ , \ , \ , , .A C B C B C C B B A A C A B B C∪ ∪ ∩ Δ Δ  

 

 

 

 

 

 

 

{ } { } { }1,2,3,4,5,7 , 1,3,5 , , \ 1,3,5 .A B A B A C B C∪ = ∩ = ∩ =∅ =

1.1 Skup realnih brojeva 

Studentima  su  već  poznati  pojmovi  skupova  prirodnih,  cijelih,  racionalnih  i  realnih  brojeva,  koje  označavamo simbolima  , , , .Podsjetimo se koje elemente uključuju ovi skupovi: 

{ }1,2,3,...=  

{ }0, 1, 2,...= ± ±  

Skupove racionalnih  i realnih brojeva ne možemo navesti njihovim elementima, nego  ih zadajemo opisno. Svaki 

količnik  dva  cijela  broja  ,mn

  pri  čemu  je  0,n ≠ zovemo  racionalnim  brojem.  Otuda  pišemo  da  je 

{ }, \ 0 .m m nn

⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

 

Svaki prirodni broj je ujedno i cijeli, a svaki cijeli broj je ujedno i racionalan, jer 2 ...

1 2a aa a∈ ⇒ = = =  dakle, 

očito se svaki cijeli broj može napisati kao količnik dva cijela broja.  

Očito je  .⊆ ⊆  

Vrlo važan pojam u skupu prirodnih i cijelih brojeva je pojam djeljivosti. 

Definicija: Kažemo da je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem  0,b ≠  u oznaci  ,b a  ako postoji cijeli broj c  takav da je 

.a b c= ⋅  

Primjeri: 3 12; 2 0; 7 91−  itd. 

Postojanje brojeva koji nisu racionalni bilo  je poznato  još u vrijeme antičke Grčke. Oni su zaključili da dijagonala 

jediničnog  kvadrata  (kvadrata  stranice  1)  nije  racionalan  broj.  Očito  je  2 2.d =   Pretpostavimo  da  je 

, ,md dn

∈ =  pri čemu su m  i n relativno prosti prirodni brojevi, tj. razlomak mn se ne može skratiti. Tada  je 

22 2 2 2

2 2 2md m n mn

= = ⇒ = ⇒  je paran, pa je onda i broj m paran. Dakle, postoji  ,k ∈  tako da je  2 .m k=  Iz 

jednakosti  2 22m n=  slijedi:  2 2 2 2 24 2 2k n n m n= ⇒ = ⇒  je paran broj, pa je onda i n paran. Ali, pošto su m i n 

parni brojevi, razlomak mn se može skratiti sa 2. To je nemoguće zbog polazne pretpostavke, pa zaključujemo da 

broj d nije racionalan. 

Ako broj nije racionalan, kažemo da  je on  iracionalan. Skup  iracionalnih brojeva označavamo slovom  .I  Očito  je 

.I ∩ =∅  

Skup realnih brojeva   dobijemo kao uniju skupova racionalnih i iracionalnih brojeva. Svaki realni broj možemo prikazati u decimalnom obliku. Npr. 

3 0,7545 1,66666... 1,63

=

= = i 

58 0,585858... 0,5 899

= = i i  

2 1,414213562373...3,141592654...π=

= 

Očito racionalni broj u decimalnom prikazu  ima  ili konačno mnogo decimala,  ili beskonačno mnogo decimala sa periodičnim  ponavljanjem.  Iracionalni  brojevi  imaju  uvijek  beskonačno mnogo  decimala  koje  se  ne  ponavljaju periodično. 

Skup realnih brojeva zadovoljava sljedeće osobine: 

1) S obzirom na operaciju sabiranja (+) 

( ) ( ) ( )) , ,a x y z x y z x y z+ + = + + ∈  (osobina asocijativnosti sabiranja); 

)b Broj 0 ima osobinu da je  0x x+ =  za sve  x∈ (osobina postojanja neutralnog elementa za sabiranje); 

)c Za svaki realni broj x postoji njemu suprotni broj  ( )x−  takav da je  ( ) 0x x+ − = (osobina postojanja suprotnog 

elementa); 

( )) ,d x y y x x y+ = + ∈  (osobina komutativnosti sabiranja); 

2) S obzirom na operaciju množenja ( i ) 

( ) ( ) ( )) , ,a x yz xy z x y z= ∈  (osobina asocijativnosti množenja); 

)b Broj 1 ima osobinu da je  1x x⋅ =  za sve  ;x∈ (osobina postojanja neutralnog elementa za množenje); 

)c   Za  svaki  realni  broj  0x ≠   postoji  broj  1x−   sa  osobinom  da  je  1 1x x−⋅ =   (osobina  postojanja  inveznog 

elementa); 

( )) , ;d xy yx x y= ∈  

( ) ( )) , ,e x y z xy xz x y z+ = + ∈  (osobina distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje); 

3) S obzirom na relaciju ≤  

( ))a x x x≤ ∈  (refleksivnost relacije≤ ); 

)b Ako za neka dva realna broja x i y važi  x y≤  i  y x≤  tada je  x y=  (antisimetričnost relacije ≤ ); 

)c  Ako za neka tri realna broja x,y,z vrijede nejednakosti  x y≤  i  ,y z≤  tada je  x z≤  (tranzitivnost relacije ≤ ); 

)d Za svaka dva realna broja x i y ili je  x y≤  ili je  ;y x<  

( )) , , ;e x y x z y z x y z≤ ⇒ + ≤ + ∈  

( )) i 0 , ,f x y z x z y z x y z≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ ∈   

)g Ako su X i Y neprazni podskupovi skupa   i ako je  x y≤  za sve  i ,x X y Y∈ ∈ tada postoji broj  c∈  takav 

da je  x c y≤ ≤  (osobina potpunosti). 

S obzirom na grupu osobina 1), kažemo da je struktura  ( ),+  Abelova (komutativna) grupa. Zbog osobina iz 2), 

struktura  { }( )\ 0 , ⋅  je takođe Abelova (komutativna) grupa.  

Zbog osobina iz 1) i 2) struktura  ( ), ,+ ⋅  je polje. 

Imajući u vidu sve nabrojane osobine, skup   možemo zvati uređeno potpuno polje. 

 

 

 

1.2 Funkcije (preslikavanja), prebrojivi i neprebrojivi skupovi 

Skup koji sadrži  tačno dva elementa, a  i b, ali sa utvrđenim  redosljedom, da znamo koji element  je prvi, a koji 

drugi,  zovemo  uređeni  par.  Označavamo  ga  oznakom  ( ), .a b   Element  a  zovemo  prva  komponenta  (prva 

koordinata), a b druga komponenta (druga koordinata) skupa  ( ), .a b  

Očito je  ( ) ( ), , ,a b b a≠  dok je { } { }, , .a b b a=  Osim toga,  ( ) ( ), ,a b c d=  ako i samo ako je a c=  i  .b d=  

Neka su A i B neprazni skupovi. Definisaćemo Dekartov proizvod skupova A i B kao skup 

( ){ }, , .A B a b a A b B× = ∈ ∈  

Ako je  ,A B=  tada Dekartov proizvod  A A×  pišemo kraće  2A  i zovemo ga Dekartovim kvadratom skupa A. 

Bilo koji neprazni podskup Dekartovog proizvoda  A B×  zovemo relacijom na  .A B×  Međutim, ako je  f A B⊆ ×  

relacija sa osobinama: 

1) Za svaki  x A∈  postoji bar jedan  ,y B∈  tako da  ( ),x y f∈  i 

2) Ako su  x A∈  i  ,y z B∈  elementi takvi da  ( ) ( ), , , ,x y x z f∈  tada je  ,y z=  

relaciju f zovemo funkcijom ili preslikavanjem sa A u B, simbolično  : .f A B→  

Za skup A kažemo da je domen ili oblast definisanosti funkcije f, a skup B je kodomen te funkcije. 

Elemente skupa A zovemo originali, a elemente skupa B zovemo slike. 

U slučaju relacije, slike se mogu pridružiti originalima na proizvoljan način. Ali, u slučaju funkcije, svakom originalu mora biti pridružena tačno jedna slika. 

Umjesto  ( ),x y f∈   obično  se  piše  da  je  ( ).y f x=   Pri  tome  smatramo  da  je  x  argument  ili  nezavisna 

promjenljiva, dok je y zavisna promjenljiva ili funkcija. 

Ako je  ( ) ( ): i ,f A A f x x x A→ = ∈  kažemo da je f identično preslikavanje skupa A. 

Osobine preslikavanja: 

1) Za funkciju  :f A B→  kažemo da je sirjekcija (preslikavanje na) ako je  ( ) ,B f A=  tj. za svaki element  b B∈  

postoji bar jedan element  ,a A∈  tako da je  ( ).b f a=  

2) Za funkciju  :f A B→  kažemo da je injekcija ako  ( ) ( ) ,a b f a f b≠ ⇒ ≠  tj. različitim originalima odgovaraju 

različite slike. 

3) Za funkciju  :f A B→  kažemo da je bijekcija ako je ona istovremeno injekcija i bijekcija. 

Ukoliko  su  A  i  B  konačni  skupovi  i  postoji  bijekcija  : ,f A B→   jasno  je  da  tada  dati  skupovi  imaju  isti  broj 

elemenata. Očigledno vrijedi i obrnuto, ako dva skupa imaju isti broj (konačan) elemenata, između njih postoji bar jedno bijektivno preslikavanje.  

Općenito, ako postoji bijekcija  :f A B→  kažemo da su skupovi A i B ekvipotentni ili ekvivalentni ili da imaju istu 

moć. 

Ukoliko je neki skup beskonačan, može se desiti da je on ekvivalentan sa nekim svojim podskupom. 

Primjeri: 

a)   Skup prirodnih brojeva   je ekvivalentan skupu svih parnih prirodnih brojeva  { }2 2,4,6,... .=  Dovoljno je 

posmatrati funkciju  ( ) ( ): 2 , 2 .f f n n n→ = ∈  

b)  Skup  prirodnih  brojeva  je  ekvivalentan  skupu  cijelih  brojeva.    Napravimo  sljedeće  preslikavanje:  svakom negativnom  cijelom  broju  pridružimo  tačno  jedan  parni  prirodni  broj,  a  svakom  nenegativnom  cijelom  broju 

pridružimo  tačno  jedan neparan prirodni broj. Naime, posmatramo  funkciju  ( )2 , 0

: ,2 1, 0

n nf N f n

n n− <⎧

→ = ⎨ + ≥⎩ 

za sve  .n∈  Ta funkcija je očito bijekcija. Šematski: 

... 3 2 1 0 1 2 3 ...

... ...

... 6 4 2 1 3 5 7 ...

− − −

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓  

c) Skup racionalnih brojeva je takođe ekvivalentan skupu prirodnih brojeva. Svaki racionalni broj pišemo u obliku 

( ), , , 0 .m m n nn

∈ ≠   Pri  tome  se  uzima  da  se  taj  razlomak  ne  može  skratiti.  Poredajmo  sve  nenegativne 

racionalne brojeve u niz, tako da prvo napišemo one za koje je zbir brojnika i nazivnika jednak 1  ( )1 ,m n+ =  pa 

zatim one za koje je taj zbir jednak 2, itd. Na taj način dobijamo sljedeći niz:  

0 1 1 2 1 3 1 2 3 4, , , , , , , , , ,...1 1 2 1 3 1 4 3 2 1

 

Ovaj dokaz je prvi dao Kantor (Georg Cantor, 1845. – 1918., njemački matematičar). On je prvi dokazao i da skup realnih brojeva nije ekvipotentan skupu prirodnih brojeva. 

Kažemo da su svi beskonačni skupovi, koji su ekvivalentni skupu prirodnih brojeva, prebrojivi.  

Ako  je neki skup beskonačan, a nije prebrojiv, za taj skup kažemo da  je neprebrojivo beskonačan. Takav  je npr. skup realnih brojeva, skup iracionalnih brojeva i svaki od nepraznih intervala.  

Dokažimo da  skup  svih  realnih brojeva koji  su veći od 0, a manji od 1, u oznaci  ( ) { }0,1 0 1x x= ∈ < <  nije 

prebrojiv (pa samim tim ni skup   nije prebrojiv).  

Pretpostavimo da se  ipak svi brojevi  iz ovog skupa mogu poredati u niz. Tada bi se svi elementi  iz skupa  ( )0,1  

mogli nabrojati ovako: 

11 12 130, ...a a a  

21 22 230, ...a a a  

31 32 330, ...a a a  

... 

1 2 30, ...n n na a a  

.... 

Pri  tome  su  { }0,1,2,...,9ija ∈  decimale navedenih brojeva  (tj.  cifre).   Formirajmo  sad broj  1 2 30, ...b b b  gdje  su 

{ }0,1,2,...,9ib ∈  decimale izabrane na sljedeći način. Za svako  1, 2,3,...i =  uzmimo  2,ib =  ako je  1iia =  ako je 

8iia =   i  1,ib =  ako  je  1.iia ≠  Tada  se dobijeni broj  1 2 30, ...b b b   razlikuje od  svih gore navedenih brojeva, a  s 

druge strane i taj broj je očito iz skupa  ( )0,1 .  Dobijena kontradikcija pokazuje da je skup  ( )0,1  neprebrojiv. 

Neka su a i b konačni realni brojevi i pri tome je  .a b<  Intervali su sljedeći podskupovi skupa realnih brojeva: 

( ) { },a b x a x b= ∈ < < − otvoreni interval: 

[ ] { },a b x a x b= ∈ ≤ ≤ − zatvoreni interval ili segment; 

[ ) { },a b x a x b= ∈ ≤ < − poluotvoreni (poluzatvoreni) interval; 

( ] { },a b x a x b= ∈ < ≤ − poluotvoreni (poluzatvoreni) interval; 

( ) { }, ;a x x a−∞ = ∈ <  

( ) { }, ;a x x a+∞ = ∈ >  

( ] { }, ;a x x a−∞ = ∈ ≤  

[ ) { }, ;a x a x+∞ = ∈ ≤  

 

Funkcija  ( ) ( ): 0,1 ,f a b→  definisana  jednakošću  ( ) ( ) ( )( )0,1f x a b a x x= + − ∈   je bijekcija (što se direktno 

provjerava).  Zbog  toga,  svaki  interval  ( ), ,a b   a  time  i  svaki  interval  oblika  [ ] [ ) ( ], , , , , ,a b a b a b   pri  čemu  su 

, , ,a b a b∈ <  je neprebrojiv skup.  

Najzad, funkcija  ( ) ( )1 1 arctg2

F x x xπ

= + ∈  preslikava bijektivno skup realnih brojeva na interval  ( )0,1  pa je 

jasno  onda  da  je  i  skup    neprebrojiv  i  da  svaki  interval  ( ),a b   ima  istu moć  kao  skup    a  to  je  tzv. moć 

kontinuuma. Moć kontinuuma se obično obilježava slovom c.  

Moć  skupa prirodnih  (cijelih;  racionalnih) brojeva označava  se oznakom  0ℵ   (čita  se: alef –nula).  Jasno  je da  je 

0 .cℵ <   Postoji  li  beskonačni  skup  čija  je  moć  veća  od  0ℵ   i  manja  od  c?  Taj  problem  nazvan  je  problem 

kontinuuma.  Ovaj problem u matematici još uvjek stoji kao neriješen. 

Definicija:  Kompozicija  (slaganje)  preslikavanja  :f A B→   i  :g B C→   je  preslikavanje  : ,h g f A C= →  

definisano relacijom  ( ) ( )( ) ( ).h x g f x x A= ∈  

Za funkciju nastalu kompozicijom dvije (ili više) funkcija kažemo da je složena funkcija. Operacija slaganja funkcija 

u opštem slučaju nije komutativna, tj.  ,f g g f≠  ali jeste asocijativna,  ( ) ( ) .f g h f g h=  

Primjeri: Ako je  ( ) ( )2f x x x= ∈  i  ( ) ( )sing x x x= ∈  tada je 

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin sinf g x f x x x x= = = ∈  i  

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2sin .g f x g x x x= = ∈  

Definicija:  Neka je preslikavanje  :f A B→  bijekcija. Tada za preslikavanje  1 :f B A− →  kažemo da je inverzno 

preslikavanju f, ako važi: 

( ) ( ) ( )1 , .f b a f a b a A b B− = ⇔ = ∈ ∈  

Kompozicija preslikavanja  f  i  1f −  je komutativna i daje identično preslikavanje, tj. 

( )( ) ( )( )1 1 .f f x f f x x− −= =  

Primjeri:  

a) Ako je  ( ) 3 5: ,f x x= + →  odredimo njegovo inverzno preslikavanje. Najprije njegovu formulu napišemo 

u kraćem obliku  3 5,y x= +  a zatim zamijenimo slova x i y, tj.  3 5.x y= +  Sada ovu jednačinu treba riješiti po y. 

Očito je 5 .

3xy −

=  Zaključujemo da je  ( ) ( )1 5 .3

xf x x− −= ∈  

b)  Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije  ( ) ( )2 : 0,xf x = → +∞  je funkcija 

( ) ( )2log : 0, .g x x= +∞ →  Naime,   22 2 log .x yy x y x= ⇒ = ⇒ =  

c) Odredite inverzne funkcije funkcija  ( ) 3 4 :f x x= − →  i  ( ) { }1 : \ 3 .3xg x

x+

= →−