Módulo3

OBJETIVOSESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módul.o, el alumn.o:

Explicará en que c.onsiste un sistema de ecuaci.ones lineales c.on tres variables.Resolverá sistemas de ecuaci.ones lineales en tres variables mediante'elmétod.o desuma .oresta.

Res.olverá sistemas de ecuaci.ones lineales c.on tres variables mediante el mét.od.o p.orsustitución. .

l~

2.

3.

ESQUEMA-RESUMENI , .

Mét.od.os de

solución..

suma yresta

Sustitución

J '

59

Sistemas deEcuaci.ones '- ecuaci.ones lineales

lineales c.ontresvariables

,

¿Cu'lesel procesoalgebraicoparalaIOIuci6nde-ecu8ciones?

~..

6,0

3.1 ,Solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

Los, métodos de' suma o resta y 4e sustitución que hemosusado para resolver sistelJlas de ecuaciones con dos variables, nosservirán también para resolver sistemas de ecuaciones con tres o másvariables. Cuan40 el sistema tiene más de tres variables, el uso de estosmétodos para su solucilm es un' poco ~dioso por lo que despuésaprenderás otros métodos. ./

Dado que la interpretacló.n geométrica de la solución de unsistema de ecuaciones lineales con tres v:ariables, requiere de un sis-tema de coordenadas en tres dimensiones, tema que, estudiarás' pos-teriormente. Nos concretamos en este punto al proceso,algebraicoque.conduce a la sol~ción -del sistema y que será una tema ordenada(x,y, z). ' "

El proceso consiste en reducir el sistema de 3 ecuaciones a unsistema de 2 ecuaciones mediante la eliminacióJ :le una de las tresvariables, proceso en el que deben intervenir las tr j8 ecuacione&

Ejemplo: ' ,

. Resolver el siguiente sistema por el método de suma o resta;

<.. 2x' .,..3y + z =- '.... x + 2y + Z =- 2' .- 6x + 2y - 3z.= - 2

(1) .' ~(2»

(3)

Elimnamosla Z tom~do las ecuaciones (1) y (2) Y la (2) y (3)restando de la ecuación (1) la ecuación (2). '

,- 2x - 3y + z = - 1, X + '2y ... z == 2 el.

X- 5y = -3 (4)

M~pUcam08 por '3 la ecuación (2) y le sumamos la ecuación (3) ,

3x+8y+3z= 8::-5x + 2y - .~ = - 2- 2x'+ ay = 4 (5)

tomando las ecuaciones (4) Y (5). Multiplicamos por 2 la .ecuación(4) y.le sumamos la ecuación (5). '

2x' - 10y = - 6- 2x + 8V'= 4

-2y = -2

Y ,= 1

....

, Sustituimos/este valor en la ecuación '(4)

x - 5(1) = '1"'"3,

x - 5 =-3x = ~ '

SustitUi~os los valores de x y y que hemos obtenido, en cual.quiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de z (tohacemos en la ecuación. (1».

2(2) - 3(1) + z =- 14'- 3+z'=-1

z=-1:-4+3z = :- 2' '

Porlo tanto, lasolucióndelsistemaes x= 2, y = 1, z = -2. '

Comproeba que estos valores satisfacen las ecuacionés (2) y (3)sustituyéndolos en ellas. "

Ejemplo:Resolver el siguiente sistema PQr el método de sustitución. .

, I '

x - 2y' + 2z = 12x - 3y- z = - 113x + 2y + z = 4"

(1)(2)(3)

Resolviendo p'ara z la ecuaci?n (3)

-z=,4 - 3x - 2y,

f .Ysustituimos en las ecuaciones(1) Y(2)., En la ecuación (1) ,

(4)

x - 2y + 2(4 - 3x - 2y) = 1x - 2y + 8 - 'ex- 4y =1-, 5x - 6y '= -:7 (5)

"

En la ecuación (2)

'2x - 3y - (4 - 3x - 2y) = -112x - 3y - 4 + 3x + 2y = - 11

5x - y = - 7 (6)

l{p.solviendo para la ecuación (6)

y = 5x + 7 (7)

l'I

61

.62

y sustutuimos en la ecuación (5)

- 5x - 6(5x + 7) = - 7- 5x - 30x - 42 = -:..7

- 35?,= 35x = - 1

Sustituimos x por - 1en la ecuación (7)

y = 5(-1) + 7y = -5 + 7y=2

Sustituimosx por -1. y Y por 2 encualquieradelaseéuacio-nesoriginales(lo hacemosenla (3».

3(-1) + 2(2) + z = 4-- 3 + 4 + z-= 4

~=3

Por lo tanto la solución del sistemaes

x = -1-, Y = 2 Y z = 3.

Ejemplo: -Un ~quipo está formado por 60 jugadores de las escuelasPre-

paratoria, Agronomía y \ Economía. Hay diez -al~os menos deEconomía que l~ suma de los de Preparatoria y Agronomía y elnúmero de alumnos de las escuelasde Agronomía y Economía eseldoble del número-de alumnos-de la escuelaPreparatoria.¿Cuántosalumnos hay de cadaescuela?

Representamos por medio de una incógnita lo que nos pre-guntan:x ~ número dejugadores de la escuelaPreparatoria'y = número dejugadores de la escuelade Agronomíaz = número dejugadores de la escuelade Economía

Con los datos que nos proporciona el problema, es necesarioformar tres ecuaciones ya que tenemos tres incógnitas y lo hacemos

de la siguiente forma: .

x+y+z=60 El total de jugadores formado por las tres e~cue-las es60. .

Sumamos los de Preparatoria y Agronomía y le

restamos 10- para poder igualarlos con 108 deEconomía. -

x + y -10 = z

y+z=2x Los de Agronomía y Economía son el doble de

los -de,Preparatoria.

Escribimos las tres ecuaciones encontradas de la siguientemanera:

x+y+z=60x + y - z =10

- 2x + y + z =- O

(1)(2)(3)

Resolvemos este sistema usando el método de suma o resta:

A la ecuación (1) le sumamos la ecuación (2) para eliminar z.. . \ .

. x+y+z=60x + y - z = 10

2x '+ 2y =70 (4)

A la ecuación (2) le sumamos la ecuación (3) para eliminar -

- también.z -'

x +. Y - z = 10~ 2x + y + z = O- x + 2y -= 10 (5)

Multiplicamos por .¡'la ecuaCión (4) y le sumamos la ecuación(5)

x + y = 35'7 X + 2y = 10

3y=45Y= 15

Sustituimos, este va~o~en la e~uación (4)

2x + 2(15) =702x + 30 =70

2x =70 - 302x=40

x ==20

Sustituimos los valores de y = 16 Y x "= 20 en la ecuación(1)

20 + 15 + z = 6'035+z=60

,z = 60 - 35z = 25

'- 63

Por lo tanto la solución al problema es:Número de jugadores de Preparatoria = 20Número de jugadores de Agronomía = 15'

Número de jugador~s de Economía = 25

Ideas .

para un problemade planteo.

Antes de resolver un problema de planteo, no olvides lo si-guiente,ya que te será muy útil para que puedas Ileg~ra su solución:l. Leer cuidadosamente el problema hasta estar seguro de haberlo

entendidoperfectamente. .

2. Representar por medio de .incógnitaslo que se pide.3. Identificar qué datos se conocen en el problema.4. Relacionar los datos conocidos con las incógnitas por medio de

ecuaciones.5. Res()lverel sistema de ecuaciones a que se ha llegado 'usando

algunos de 108métodos conocidos~6. Comprobar la solución.

REACTIVOSDEAUTOEVALUACION

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres variables usandocual,quier método.

,64

a) 2x+3y-4z=1 f) 4x...,.3y+ 31=8,3x- y-2z=4 2x+3y+24z=14x - 7y '-Iz' = -7 8x - y+ 8z=-1

b) x+y+z=3 - ) 8x + 2y'+ 4z = 22x + y - Z = -8 4x- y + 2z = -33x- y + z = 11 7x - 2y - 31 == 6

IC) 4x + 4y -:- 3z=3 h) 'x-&y+3z=9'2x + 3y + = -4 2x- y+4z=63x - y+4z=4

....3x-2y+ z=2-

d) 3x+ y + 4z =6 i) 2x+2y+,3z=22x- 3y- &z=2 3x - y-6z=43x- 4y+3z=8 8x+4y+3z=8

e) 2x-3y-3z=9 j) x+3y-2z= 2x+3y+2z=3 2X - 3y ... 31 = 11

3x -4y - z=4 3x" + 2y + 2z ==14

Módulo4

OBJETIVOSESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módulo el alumno:

l.2.3.4.

Explicará en que consiste una desigualdad lineal.Graficará desigualdades en el plano cartesiano.Explicará en que consiste un sistema de desigualdades lineales con dos incógnitas.Resolverá sistemas de desigualdades lineales con dos incógnitas utilizando el métodográfico'Resolverá problemas' de planteo .con sistemas de desigualdades lineales mediante elmétodo gráfico. .

5.

ESQUEMARESUMEN

. Solución .. Métodográfico

.Aplicaciones:

programación lineal,Conjuntosolución.

65

-.DelligualdadesSistemas de

lineales desigualdadesbneales

,Ir

Una desigualdadlin.1 eL..

,

66

4.1 Sistema de desip8ldades linealescon dos variables

..

A un. sistema de dos o más desigualdades de la forma. Ax + By + e ~ o 6 Ax + By + e ~ o ó cualquier forma

equivalente donde A =1= O 6 B =1=/OY A, B, e E R se le llamaunsistema de desipaldades lineales con dos variables. La solución deeste sÍ8temapuede encontrarse por. varios métodos; sin embargo.,nosotros usaremos sólo el método gráfico. Recuerda que la gráfica deuna desigual4ad son todos los puntos localizados en la mitad de unplano y por lo tanto, la gráfica de un sistema de desigualdades es la

inte1'8ección de las dos rintades de planos que representan las gráficasde cada una de las desipaldade8linealea. .

. También es necesario que recuerdes todos los postulados yteoremas de orden, ya que te Serán útiles para comprender el métodocrifico tJU:eaquí usaremos. Vamos primero a cons~ir las gráficas déalgunas. deaipaldades lineales y en íodas ellas, primero, escribimosla deiipa1dad ~ en la forma equiv81ente a que se ¡lega resolvien-do para y. En caso de que no tengamos y será la' x la que dejaremossola en un lado de l~ desigualdad. .

'Ejemplo:Graficar x + y -2 < O; resolviend()primero para la y su-

mándole laambos lados de la desigualdadlos inversosaditivos de x yde -2, nos queda .

y ~ -x + 2

Ahora,graficamosla recta y = -x + 2 que es la que divide'al plano Cartesianoen dos Remiplanos;para elloencontrareploslaintersecciones de la recta con los ejes de coordenadas, cuando f

x=Ox=2

y = 2 .y=O

(ver figura 18)las coordenadas de todos los puntos ~e qued.andebajo de la

recta, s.tisiacen la desigualdad(prueba algunasde ellas) por lo que lagráfica del conjunto solución es el semiplano que queda localizado

- debajo de la recta.

Ejemplo:Graficar x + y -2 > O(esta desigualdad difiere de la anterior

sólo en JIUees > en lugar de <). Resolviendopara y nos queday > -x + 2.

1

Figura 18.

Figura 18,

¡Figyra19

x

\

67

68

Tod~s los pares ordenados cuya grafi~a queda 'arriba de larecta, satisfacen la desigualdad.por lo que la gráfica del conjuntosolución es el semiplanolocalizado arriba de la recta. (Ver figura 19)

Ejemplo:Graficarla desigualdadx. >. 2..

,2,,-)C I,.~I I

-N '

IfI

!

Figura 20

..

x>2 x...

El conjunto solución es: Todo~ los pares ordenados cuya figura

es'el,semiplano localizado ~ I,aderecha de !a recta" X = 2.

Ya habiendo apr~ndido CÓmose grafica una d~8igualdad? resol-veremQ8 ahora algunos ejemplos de sistemas de desigualdades linealescon dos variables. Para mostrar la solución del sistema, graficamoslasdesigualdade$ que Iq forman sobre un mismo sistema de coordena-das, siendo la solución la intersección de los conjuntos solución dec~da una de ellas como y~ lo habíamos dicho anteriormente.

Ejemplo:

ftesolver el sistema de desigualdades lineales.

x-2y+4>02x + y - 2 < .0

(1)(2)

, I

Transfor,mamos primero cada mía d~ las desigualdades a otra

equivalente resolviendo para y Para la desigualdád (1) 'tenem'os que

¿por qué?

Para la desigualdad (2) tenemos que

y<-2x+2 ¿po~qué?

Ahor~, graficamos las d~s desigualdades en un mismo sistemade ejes coordenados y nos queda la siguiente fIgUra.

y

Figura 21

. Conjunto solución

~&\.,

parala.desigualdad ).\I 1

Y<2'x+2 -

Conjunto 801ucilm '0para la desigualdad ~

., < -2x + 2

Conjunto ~solución

para el sistema

69

~~~.- -.

Ejemplo: .

Resolver el siguiente sistema. x> 4x + y + 2.> O

-x+y-3<O

Tiansformamos elsÍ8tema al siguiente que es equivalente

x>4.Y> - X - 2y<x+3

"",~,¡;;las_~dadea~',

~, / /"." "+" ., ' ,,' 2

..!!J¡¡' "~, /, ,, , ''""

¿Por qué?

,"

,",,,,",

/"'""-"

Figura 22 ~

v

"Conjunto soluciónpara la desigualdad

/x>4

\~----------.Conjunto soluciónpara la desigualdad

y<x+3

; .

Conj1,tnto soluciónpara la desigualdad

y > -x -2

Conjunto soluciQD '

para el sistema.

70

Ejemplo:Resolver el siguiente sistema. y<4

2x - 3y s;: 6

Transformamos primero a un sistema que es equivalente-

y < 42

Y? 3" x-2¡Por qué?

G¡'aficam~s ahora las dos desigualdades

,Conjunto solución

1 ! 1

,

para ~ :¡aJdad ~. Conjunto solución.para el sis"'ma. r~\

Conjunto solución

parala des~aldad2

V ~ "3x - ,2.

x

Figura23

71

Apli-=-cionesdedesigualdadeslineales.

.~.

72

La gráfica del conjunto solución, es el conjunto de puntos dela intersección de las gráficas de los dos conjuntos solución de lasdesigualdades que forman el sistema, además en este ejemplo todos

los puntos que pertenecen a la recta y= l x ~2 son tambiénelementos del conjunto solución del sistema, debido a .que en la

segunda desigualdad tenemos y ~ ~ x -' 2, es decirla y puede,al 2 2 ' . 2

ser ¡gu a ¡ X - o mayor que - x - 2.\ 3

El uso de las desigUaldades tiene. una gran variedad de aplica-ciones; aquí daremos una de ellas llamada programación lineal Si setienen dos cantidades variables que son controladas por un conjuntode condiciones que puedan ser expresadas como desigualdades linea-les, entonces la gráfica de este sistema es el conjunto de puntosdentro de cierta figura geométrica limitada por líneas rectas llamada.polígono. Dado que podemos expresar una tercera cantidad comouna expresión lineal en la que intervengan las mismas dos variables,su valor máximo o mínimo ocurrirá para' los valores de las variablesen uno de los vértices del polígono; desde luego que este hecho no lodemostraremos aquí, pero lo tomaremos como cierto. Si quieresampliar más tus conocimientos sobre este tema puedes consultar unode los libros que se dan en la bibliografía.

En seguida vamos a presentar ejemplos que nos ilustrarán per-fectamente todo lo que acabamos de decir. .

//

Ejemplo:. Una agencia.de viajes está organizando una excursión por laciudad yha decidido que puede aceptar como máximo a 12 personasde las cuales deben. ser cuan~o menos 5 hombres y 4 mujeres. Lautilidad por cada hombres es de $12 y por cada mujer es de $10.¿Cuántos hombres y cuántas mujeres deben ir en 'a excursión paraque la utilidad de la agencia sea máxima?

Primero representamos pqr medio de literales las variables queintervienen en el problema, o sea ¿cuántos hombres y cuántas mu-jeres deben ir en la excursión? Hagamos. .

x = número de hombres

y = número' de mujeres'

Las condiciones que deben de cumplir X y Y son:

x + y ~ 12x ~ 5Y ~ 4

número máximo de personas es 12número mínimo de hombres es 5

número mínimo de mujeres es 4

Graficamos el sistema. La solución del sistema está en el trián-

gulo ÁDJ (polígono de 3 lados) y serán los .pares ordenados (x, vI,representados en la gráfica(ver figura 24). .

.Y

M11en

En la. figura podemos ver que (x y) está dentro o en ellímite del triángulo A D J Ypuesto que' x, y E N. sólo hay 10pares ordenados de números naturales que satisfacen las tres desi-

73

E 11.- F-\-'"

y.=4"\..u. .

A' . e

o 1 2- 3 .4 & . 7 ... ¡ . 10 11' 12

Figura 24

Máximoy minimode una funci6nutilidad.

74

. .

gualdades. Cada uno de estos puntos es~ representado en la gráficapor A, B, e, D, E, F, G, H. I Y J. .

La función utilidad la.representamos como U y queda expre.-sada como sigue:

.} 12x

U = 12x + .1Oy L 10y

utilidad que dejan los hombres .

utilidad que dejan las mujeres

Si ~. es la utilidad pa~a A (5,4) Y Ubpara B (6,4) Y asísucesivamenteóbtenemos.

Para A (5,4)Para ~ (6,4)Para e (7,4)Para D (8,4)Para' E (5,5)Para F (6,5)Para G (7,5)

. Para H (5,6)Para I (6,6)Para J (5,7)

U. = 12. 5 + 10. 4 =Ub = 12. 6 + 10. 4 =Uc = 12. 7 + 10. 4 =Ud = 12. 8 + 10. 4 =.U. .=' 12 .5 + 10. 5 =Uf = 12. 6 + 10 .-5 =U, = 12. 7 + 10. 5 =Uh = 12. 5 t 10. 6 =U. = 12. 6 + 10. 6 =Uj = 12 . 5 + '10." =

$100'112124136110122 .134120132130

Podemos.ver que la máxima .utilidad se obtiene en el púntoD (8,4), es decir cuando en la excursión vayan 8 hombres y 4mujeres. Vemos también que la mínima utilidad se obtiene en elpunto A (5,4) es decir cuando vayan 5 hombres y 4 mujeres;por loque podemos concluir que el valor máximo y el valor mínimo de lafunción U ocurre siempre en algún vértice del polígono que seforma con las desigualdades.

Hagamos de' nuevo la gráfica anterior y de los 10 pares ordena-dos que analizamos, consideremos sólo los correspondientes a losvértices del .triá.ngulo.

En esta misma figura tracemos algunas rectas de la familia de\ rectas que representan la función utilidad. (Observaque ésta familia

de rectas tiene pendiente igual a - ! ) (Ver figura 25).. 5 '

Algunas de estas rectas son las rectas 1,2, 3.y 4, Yen la figuravemos que el vértice más próximo al origen contenido en una de

estas rectas es el punto donde la función utilidad es mínima (recta 2en nuestro caso) y el vértice más alejado del origen contebido en unade 'estas r~etás representa el punto donde la función utilidad es máxi- '

ma (recta 4 en nuestro caso). Este m~todo es otra forma de deter-minar qu~ vértice del polígono representa el valor ~áximo o mínimo

, para la función utilidad. . .

12

.,.,

10

9

'\ ,",~8

7

, ,'\"

0",."

'\ ,'\ ",

J

5

4

3

2

'1

ox

(Figura 25)

Ejemplo:Una persona necesita .10, 12 Y 12 unidades de los fertilizantes

A, B YC, respectivamente para.su jardín. Un producto líquido con-tiene 5, 2 Y 1 unidades de los fertilizantes A, B Ye respectivam~nte

, por litro; y un pr~duct;)sólidocontiene1,2 Y4 unidadesde fertili-zante A, B Y e respectivamente por kilo. Si el costo del productolíquido. es de $ 3.00 litro y el del producto sblido es de $2.00 porkilo, ¿cuántos litros del producto líquido y cuántos kilos delproduc-to sólido debe comprar, para que el costo sea mínirqo y ademáscumpla con los requérimientos de los fertili~antes A, B Y Cl

75

Antes de intentar resolver este problema, vamos a resumir losdatos conocidos por medio de una tabla.

Representamos por medio de literales I~ que nos. piden. Ha-ciendo

x = litros que se compran del.producto líquidoy = kilos que se compran del producto sólido,

Buscamosminimizar una función e (costo) que está dada por

e=3x+~

sujeta a las siguientes condiciones

5x + y ~ 1D2x + 2y ~ 12x + 4y ~ 12 "

~n estos próblemas de programación lineal, otra condición quedebe .de cumplirse es que las variables no sean negativas, es decir quex ~ OYY ~ o.

G~cámos todases~ condiciones.(Verfigura26).

Los vértices d~1 polígono son los puntos A, B, e y D:encontramos el valor de la función cOItoen cada uno de ellos.

. . .

Para A (0,10) e. = 3(0) + 2(10) = 820Para B (1,5) Ctt= 3(1) + 2(6) =' 13Para e (4,2) ea = 3(4) + 2(2) = 18.Para D (12,0) . c.. =3(12) + 2(0) = 38

.~

Unidades por Unidades por Unidades que selitro kilo necesitan

Fertilizante A .5 l \ 10

Fertilizante B 2 2 .12

Fertilizante C 1 4 12

Costo 3 2

y

o '.

Figura26

Podemos v.er que el costo es mínimo en el punto B. por loque, se dcbe de comprar 1 litro de producto líquido y 5 kilos deprod1tctt>sólido., , . .

En.la figur~.a}l~rior~pódemos ver la recta 9Ue'representa lafunción costo, y si movemos tina recta paralela hacia la derecha deesta recta, el primer vértice que toca es el B lo cual concuerda con'lo que ya habíamos dicho acerca de qué punto hace que la función, . .,

sea UQ ml~lmo.

REACTIVOSDEAUTOEVALUACIO,N

1.Los primeros, 10, ejercicios son problemas.de planteo, los cuales podrás resolver.

mediante,~I uso de sistemas deecuaciones lineales c~n dos o tres variables y lo~.siguientes

77

2 ejercicios son problemas de p~amacióo 60- Si tienes dificultad en la solución deeste ejercicio se te recomienda que vuelvas a estudiar los ejemplos e,indicacionesque se te

, dieron para este tipo de problemas.

a) Una colecta de la Cruz Verde en una' escuela fué de,S130, si había 700 niños ycada uno de ellos aportó un'amoneda de $0.10 ó u,nade SO.25 ¿cuántos-aportaron SO.10y cuántos $0.25?

b) Duran~ un año una persona recibe $9,000 por la renta de dos casas. Si las rentasdifieren en S200, y la más barata estu~o ocupada sólo 10 meses del año ¿cuánto era la . I

renta de cada una de las casas?

c) Un contratista tiene trabajando 45 obreros en la construcción de una máquina,'siuna parte de eRos hacen la parte A y la restante la parte B Y además sabemos que los que

'hacen la parte A son el doble de los que hacen la parte B ¿cuántos obreros trabajanhaciendo la parte A y cuántos haciendo la parte B? .

d) Se tie~en"dos ~oluciones de sal, una al 5%Y la otra al lO%. ¡Cuánto debemos'poner de cada una para hacer 100 litros de una soluc,ión al 6 % de sal?

e) Dos aeropuertos A y B, están a 800 km uno del ,otro y B está al Norte de'A:Un avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en 5 horas. Si durante todo elviaje estuvo soplando viento del sur a velocidad constante, encol1:trarla velocidad delavión en .aireen 'reposoy la velo~idaddeí viento. Usesela fórmula. d = vt

. I'd = distancia en kilómetros

V = ,velocidaden kilómetrospor horat '= tiempo e~ hora

fr Un estudiante compro un cuaderno, un libro y una pluma y en total" pagó $100. , 'Si el librocostó el dobleque la plumay la plumay.el cuadernojuntos costaronlas .

pa~s de lo que costó el libro ¡cuánto pagó e~estu~ante por cada una de las tres cosasque co~pró? . , ,

, g) Un comerciante tiene tres diferentes calidades de arroz con precios por kilogra-mo de $7, $9 ,y $12 resp,ectivamente.~Mezciala mitad del de $7 con la mitad del de $9 yobtiene una' calidad de $7.75. El resto del de $9 lo mezcla con el de 12 y obtiene unacalidad de SI1.50 ¿cuántos kilogra~os de cada calidad original tenía si la suma de ellosera de 310 kg?

h) Las sumas de las edades de un padre, su hijo y su 'hija suman 75 años. Si la edaddel padres es el doble que. la edad del hijo y 10 mas después la edad del padre será eldoble que la edad de la hija ¿cuál es la edad de cada uno?

78

. i) Un. matrimonio fue de compras al mercado Y'entre ambos llevaban $900 paragastar sólo que el esposo gastó las 2/3 partes de su dinero y la esposa gastó. 4/5 del suyopor lo que regresaron a' su c~a con $260. ¿Cuánto llevaba cada uno de ellos inicialment~para gastar en él mercado? '

j) Un sastre tiene 60 m 2 de tela de algodón y 80 m2 de tela de lana. Para hacer unsaco se necesitan 2 m2 dé tela de algodón y 4 m2 de tela de lana. Para hacer un abrigo senecesitan 3 m2 de, tela' de algodón y 2 m2 de tela de lana. ¿Cuántos sacos y cuántosabrigos debe el sastre -fabricar pa¡:a obtener una utilidad máxima si cada saco lo vende a$20 y cada abrigo a S30? . R~presenta por X el número de sacos que va a fabricar y pory el número de abrigos.

k) Una co~pafÍla renta dos tipos diferentes de camiones de carga; el tipo A tiene1,mmetro cúbico de espacio refrigerado y 2m3 de esp~cio no r~frigerado y el tipo B tiene3 m3 d~ espacio refrigerado y 2 m3 de esp~cio no re.frigerado. Una planta ~e alimentosnecesita embarcar 60 m3 de productos que necesitan refngeración y 80 m3 de productosque no necesitan refrigeración. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe rentar para, mhli-mizar sus costos si el camión A se lo rentan a S1 el kilóme~o y el camión B se lo rentana $2 el kilómetro?

Represéntese por X el número de camiones de tipo A y por Vel número decamionesde tipoB.

\

79

Bibl'iografíaparaconsulta.UnidadIX

ALGEBRA MODERNA

Eugene D. NicholsReaph T. HeimerE. Henry GarlandCompañía Editorial Contine,ntal, S. A.1969.

ALGEBRA SUPERIORRoss H. Bardell

. Abraham SpitzbartCompañía Editorial Continental, S. A.1966

81

L-

o a) 2x + y - 10 ~ Ob)' 3x - y - 4 =O

e) 7x - By - 7 = O

d) 3x+4y+1=O. e) 2x - 3y - 4 =O

f) 4x - Y - 7 =O

~ k-y-1~0

~ k+V-7=0

i) 4x - 2y - 3 = O

D 7x - 4y - 12 = O

2~

~

82

Paneles de verificación

MODULO1 - VALlDACION

x, Y E R (0~10)~(S,O), (1,8) x E R(-2, -10), (-1, -7), (3,5) x E I

14 . 21(-4, -7), (-1, - '&) (-2, - i) x E. I(1, -1) (-3, 2), (-7,5)

. (2,0) .1 6 41

( ¡, -B), (- 3' - 3)' (2,1)2 3 7 3. 14

(3' 1), (¡., .2)' (- i' - -¡-)

(- ~, 3V2+ 7), W2,-.3V2 + 7), (Ji, - 3Ji + 7)(vii 4..[i, - 3) (.¡j 4./7 - 3) (- t=.13 . -4J13- 3 ), 2 ' , 2 ' V 1;', -(- V2 -7../'2 -1~)

(.! - 17

) (6 23

), 4 ' 2. 8" ~..

/

y

x

b).V

..

vd)

. ~)"

e)I '

I

x

x

V.

\,

x

x

x

m =0

84

f) y =-3g) x = -.2h) y=Oi) x=O

3.

a) m= - 2, b ==!2

b)7 b = -!m=-- 8 ' 8

e) m=! b=O3 '

d) m = 2, b =-2

e) m = O b=O .I

1) m = -1, b=4

g)

Y

l.

o a)

h) y

~x

i) Y,=3x-2

MODULO2 - VALlDACIONy

Se intersecan en un

punto.

85

b) y

y

e)

Son paralelas.

x

86

Se' intersecan en

uIÍ punto.

x

d)

-y

-10

e) y

x

Soncoincidentes.

Son paralelas.

87

y

f)

'X

Se intersecan en un punto.

g)

x

Se intersecan en un. punto.

88

}l) y

6

4

2).a)b)

c)

d)e)

t)

g)

h)

-1

-2

-3Son coincidentes.

. -4

-5'

x=2 y=3x=-2 y=-1

x=! y=-!2 . 2

x =.4 Y= - 5x = 10, Y= 5,

46 121x= 17 y = 17

b2 +.2 2b - .x =, 2. + b y = '28+b

- 3 4x-.:¡ y=¡

31 6x = 14 y = 14No tiene solución. Son ecuaciones inconsistentes.Un número infinito de soluciones.

. 1 1X='j Y=j

x=.-2 y=":"3

i)

j)k)

1)

m)

x

89

3.~)

b)c)d)e)

t)

g)h)'i)j) Ik)

. 1)

m).n)

o)

.."

xi)

o)p)

q)

'r)8)

t)

x=! y=.!!.7 14x = 4 'Y = - 1

x=3 y=-2',6' . 1

x=-¡ y=¡No tiene solución. Son ecuaciones inconsistentes.

x=1 y=! 2

x = - &"2 y=2

p) .

q)

r)'s)t) .

4.a)b)e)d)e)

x=! y=-!., & &

x=1 y=2x=-2 y=-1x=3 y=3No tiene soluciól1. Son ecuaciones inconsistentes.- 1 - 1 .x-¡ y--¡x =2 . y =-3x=-1 y=-3x = -6 Y= 7Un' númer~ infinito de soluciones. Son rectas coincidentes.

x = -6 Y = ~x = ! y =-113 3

x=2 y=-3No tiene solución.. Son ecuaciones inconsis~ntes.

- 4 - 5x - ¡ y - i- 2

Y- 3x-¡ -.

" - 3x=! y=-2 2

x =10 Y =8x=-2. y=1x=1 y=1

x=2x =.1x =.2x' = 1x=3

y = -1Y ='3Y = 3'y=2

. Y = 1

90

MODULO3 -. VALlDACION

a)- x = 3 y = 1 z = 2b) x::: 1 y ~ - 3 z = 5c) x = 2 ¡ Y = - 2 z = -,.

3 '1 1d) x=- ¡y¡=-- z=-2 , 2 2

e) x = 3 Y = 2 z = - 3

t) X - - 3Y

- 4 2 I--2 -- z=¡

. - 2 7 5g) x -= - y = - z = - -, 3 3 3

h) x = - ! Y = - -1 z = !2 r 2.

) ,1 3 2I x=- y=- z=--223

- j) x = 4 Y = O ~ ~. 1

MODULO4 - V~LlDACION

a) 300 aportaron 10 (:entavos;400 aportaron 25 centavos.b) $300 y $500. . -

91

x =-2 3f) Y =2g) x =-2 y=7b) x¡= -3 y=1i) x=2 y=2j) X = 1. y=O

k) x = 7- y=-!I

1) x = ! y =!2 2-

m) x=3 y =! '"2

) x = 1 Y = 2"

o) x = 1 - 7Y -- 2

p) x = -! y =!3 2

q)1 - 1X = - y - -- 6 - 5

r) x = 1 Y = 1

s)1 1X = - y=--2 ' 2

t) No tine solución.

e)d)e)

. La parte A 30; la parte BIS.80 litros de la de 5%; 20 li~os de la de 10%.

Velocidad del avión en aire en reposo 180 'km por hora. Velocidad del viento 20 kmpor hora., .

Cuaderno 810; libro 860, pluma 830.

De 87, 100 kilogram~s; de 89,60 kilogramos; de 812, 150 kilogramos~Edad del padre 40 años, edad del hijo 20 años, edad de la hija 15 años.Esposo 8600, esposa8300. .

Las desigualdades 9ue forman el sistema. son:

f)g)h)i)j)

/

2x+3y~604x + 2y ~ 80

(1)(2)

La función que .sebusca maximizar es U =20x + 30yL~gráfica del ~stema es la siguiente:

xo 10 20

k)

La solución óptima es: .

15 sacos y 10 abrigos con una utilidad d~ 8600 ó Osacos y ~O abrigos con la mismautilidad de 8600. . .. . .

Las-desigualdades'.que fprman et sistema son: ,

x+ ~ ~ 602x'+ 2y ~ 80

(1)(Z)

La función que se bu.sca minimizar es

C=x+2y

92

La gráfica d~lsistema es la siguiente: .

y

50

40

30

20

10

La solución óptima es:

Rentar 30 camiones de tipo A y 10 camiones de tipo B.

\

x

93