LYÙ THUYEÁTLYÙ THUYEÁT

ÖÔÙC ÖÔÙC LÖÔÏNGLÖÔÏNG

GV: TS. TRAÀN ÑÌNH GV: TS. TRAÀN ÑÌNH THANHTHANH

Muïc tieâu baøi giaûngNaém vöõng:

Phöông phaùp öôùc löôïng Trung bình

Phöông phaùp öôùc löôïng Phöông sai

Phöông phaùp öôùc löôïng Hieäu hai trung bình

Phöông phaùp öôùc löôïng Tæ soá hai phöông sai

3

Öôùc löôïng laø phoûng ñoaùn moät giaù trò chöa bieát baèng caùch döïa vaøo quan saùt maãu.

Coù hai hình thöùc öôùc löôïng:

Öôùc löôïng Öôùc löôïng ñieåmñieåm

Öôùc löôïng Öôùc löôïng khoaûngkhoaûng

vaø

Thoâng thöôøng ta caàn öôùc löôïng giaù trò trung bình, tæ leä, phöông sai, heä soá töông quan…

ÖÔÙC LÖÔÏNG LAØ GÌ?ÖÔÙC LÖÔÏNG LAØ GÌ?

4

a. Öôùc löôïng ñieåm:a. Öôùc löôïng ñieåm: Keát quaû cuûa giaù trò caàn öôùc löôïng cho bôûi 1 trò soá.Thí duï:Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø: µ = 160 cm• b. Öôùc löôïng khoaûng:b. Öôùc löôïng khoaûng: Keát quaû cuûa giaù trò caàn ñöôïc öôùc löôïng cho bôûi 1 khoaûng.Thí duï:Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø: 158cm µ 162cm.

5

Öôùc löôïng ñieåm coù öu ñieåm laø cho chuùng ta moät giaù trò cuï theå, coù theå duøng ñeå tính caùc keát quaû khaùc, nhöng khoâng cho bieát ñöôïc sai soá öôùc löôïng nhieàu hay ít. Öôùc löôïng khoaûng cho ta hình dung ñöôïc sai soá nhieàu hay ít, nhöng khoâng cho ta ñöôïc giaù trò cuï theå cuûa ñaïi löôïng caàn öôùc löôïng.

6

A. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM. A. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM.

I. TIEÂU CHUAÅN ÖÔÙC I. TIEÂU CHUAÅN ÖÔÙC LÖÔÏNG LÖÔÏNG Coi nXXX ,,2,1 laø maãu ñoäc laäp,

coù haøm maätñoä f(x,) phuï thuoäc vaøo moät tham soá chöa bieát vaø caàn öôùc löôïngGoïi n21 X...,,X,XTT laø thoáng keâ

duøng ñeåöôùc löôïng tham soá .1. Öôùc löôïng 1. Öôùc löôïng ñuùng:ñuùng: Ta noùi T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa neáu:E(T) =

7

2. Ít phaân taùn (phöông sai beù): 2. Ít phaân taùn (phöông sai beù): Coi T1 , T2 laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa .Ta noùi T1 toát hôn T2 neáu T1 ít phaân taùn hôn T2 nghóa laø:

)T()T( 22

12

3. Öôùc löôïng toát 3. Öôùc löôïng toát nhaát: nhaát: Thoáng keâ T ñöôïc goïi laø öôùc löôïng toát nhaát cuûa neáu T laø öôùc löôïng ñuùng vaø ít phaân taùn nhaát, nghóa laø: (1) E(T) =

)T()T(;)T(E:T)2( /22//

8

Thí Thí duï:duï:

),(N~X 2

Quan saùt maãu X1, X2, …, Xn

duøng ñeå öôùc löôïng chieàu cao trung bình Ta coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ duøng ñeå öôùc löôïng nhö sau: 11 XT

2XX

T 212

3X2X

T 213

nXX

T n14

Giaû söû chieàu cao

9

Ta ñaùnh giaù moãi caùc öôùc löôïng T1, T2, T3, T4. Ta coù:

)X(E)T(E 11

22

XXE)T(E 21

2

32

3X2X

E)T(E 213

nn

XXE)T(E n1

4

Vaäy: T1,T2,T3,T4 laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa .

10

Ta tính phöông sai: 2

12

12 )X()T(

241

41

2XX

)T(2

222122

2

2222123

2

95

94

91

3x2X

)T(

nnXX

)T(2

n124

2

Vaäy trong 4 thoáng keâ: T1, T2, T3, T4 thì T4 laø öôùc löôïng toát

nhaát

11

T2 laø öôùc löôïng toát thöù hai.T3 laø öôùc löôïng toát thöù ba.T1 laø öôùc löôïng toát thöù tö. Ngoaøi caùc thoáng keâ T1, T2, T3,

T4, chuùng ta coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ khaùc nöõa, nhö: 4

XXX2T 321

5

...v.v,14

X5X2X4X3T 4321

6

Vaäy laøm theá naøo ñeå bieát ñöôïc moät öôùc löôïng T toát nhaát? Vaán ñeà naøy ñöôïc giaûi quyeát bôûi baát ñaúng thöùc Rao – Cramer.

12

II. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC RAO – II. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC RAO – CRAMER CRAMER 1. Tin löôïng

Fisher: Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä f(x,) phuï thuoäc tham số . Tin löôïng Fisher cuûa X laø ñaïi löôïng: 2

),X(flnE)(I

Ta duøng tin löôïng Fisher trong vieäc ñaùnh giaù öôùc löôïng.

13

Thí Thí duï:duï: X ~ B(1, ), haøm maät ñoä cuûa X laø:

khaùcnôi;0

)1;0x(;)1(),x(f

x1x

)1ln()X1(lnX),X(fln

)1(X

1X1X

),X(fln

22222

2

)X(E.)1(

1)1(

)X(E)(I

)1(1

)1(.)1(

122

14

2. Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer:Neáu T laø öôùc löôïng ñuùng

cuûa , thì:)(I.n

1)T(2

YÙ nghóa cuûa baát ñaúng YÙ nghóa cuûa baát ñaúng thöùc Rao – Cramerthöùc Rao – Cramer Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer

cho ta moät chaën döôùi (giaù trò nhoû nhaát coù theå coù ñöôïc) cuûa 2(T), vaäy neáu ta tìm ñöôïc moät thoáng keâ T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa sao cho

)(I.n1

)T(2

thì ñoù laø öôùc löôïng toát nhaát, vì khoâng coøn öôùc löôïng naøo coù ñoä phaân taùn thaáp hôn )(I.n

1

ñöôïc

15

III. CAÙCH TÌM ÖÔÙC III. CAÙCH TÌM ÖÔÙC LÖÔÏNG:LÖÔÏNG: Coù nhieàu phöông phaùp ñeå tìm öôùc löôïng, trong soá ñoù, phöông phaùp öôùc löôïng cô hoäi cöïc ñaïi ñöôïc thöôøng duøng nhieàu hôn caû. 1. Nguyeân lyù cô hoäi

cöïc ñaïi:Thí Thí duï: duï: Giaû söû coù 1 hoäp chöùa 3 bi ñoû + 7 bi traéng + 5 bi xanh = 15 bi, coù cuøng kích thöôùc, laáy ngaãu nhieân 1 bi. Haõy phaùn ñoaùn xem bi ñoù maøu gì?

16

Haún nhieân moãi chuùng ta ñeàu phaùn ñoaùn raèng bi ñoù maøu traéng, vì soá löôïng nhieàu hôn, taát nhieân cô hoäi ñeå ñoaùn truùng seõ cao hôn, thaät vaäy neáu tính xaùc suaát ta thaáy:

Ñ T XP 3/15

7/155/15

Ta ñaõ maëc nhieân söû duïng nguyeân lyù cô hoäi cöïc ñaïi trong luùc phaùn ñoaùn maøu cuûa vieân bi laáy ra.

17

2. Aùp duïng vaøo öôùc löôïng: Haøm cô hoäi ñöôïc ñònh nghóa laø: ),x(f),x(f).,x(f),x(L n21

Trong ñoù

),x(f i laø haøm maät ñoä cuûa Xi. Ta choïn giaù

trò

sao cho haøm cô hoäitaïi ñoù lôùn

nhaát.

18

Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta bieát ñöôïc giaù trò

n21 X,,X,X ; do ñoù bieåu thöùc

),x(L coøn phuï thuoäc moät ñaïi löôïng chöa bieát .Haøm

),x(L ñaït cöïc ñaïi choã naøo thì laáygiaù trò ñoù laøm öôùc

löôïng cho . Ñeå yù raèng

),x(L vaø

),x(Lln coù cuøngchieàu bieán

thieân, neân ),x(L cöïc ñaïi

thì),x(Lln cuõng cöïc ñaïi.

chæ

19

Thí Thí duï:duï: Ta muoán öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm hoûng trong moät loâ haøng thaät nhieàu. Tröôùc heát ta quan saùt maãu.

toátphaåmsaûnñöôïcneáu,0

hoûngphaåmsaûnñöôïcneáu,1X1

X1 0 1

P 1-

Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X1: 1x11x

1 )1.(),x(f

20

Töông töï, sau n laàn quan saùt ta ñöôïc maãu: X1, X2, …, Xn.

Haøm cô hoäi: ),x(f),x(f).,x(f n21 ),x(L

ixnix )1.(

)1ln(xnlnx ii ),x(Lln

1xnx

),x(Lln ii

)1(nxi

( )

;(1 )

ixn ff

n

21

0 f 1

+ 0 -

lnL CÑ

Lln

),x(Lln ñaït cöïc ñaïi khi = f, do ñoù

),x(L

cuõng ñaït cöïc ñaïi khi = f. Do ñoù coâng thöùc öôùc löôïng laø:

= f

nn

XXE)f(E n1

Ta coù:

22

n

XX)f( n122

n)1(

Tin löôïng Fisher

)1(1

)(I

Do chaën döôùi Rao – Cramer

n)1(

)(nI1

Vaäy

,)(nI

12

do ñoù = f laø öôùc löôïng

toát nhaát.

23

B.ÖÔÙC LÖÔÏNG B.ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNGKHOAÛNGI. ÖÔÙC LÖÔÏNGI. ÖÔÙC LÖÔÏNG TRONG PHAÂN TRONG PHAÂN

PHOÁI PHOÁI )bieátñaõ:(),,(N 20

20

Giaû söû ta muoán öôùc löôïng trung bình trong phaân phoái bình thöôøng coù phöông sai ñaõ bieát

20

Goïi X1, X2, X3, …, Xn laø maãu ñoäc laäp,),(N~X 2

0i

Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng .

24

20i ,N~X

n,N~

nX

X20ine

ân

Do ñoù:

)1,0(N~

nXZ

0

Cho saün giaù trò

)10(, ta tìm ñöôïc giaù

trò C sao cho:

)CZC(P

Giaù trò C ñöôïc ñoïc trong baûng phaân phoái chuaån N(0,1).

25

–C C Z

f

Ta coù: )CZC(P

CnX

CP0

n

CXn

CP 00

nCX

nCXP 00

Do ñoù:

n

CX;n

CX 00

Thoâng thöôøng ta vieát: n

CX 0

Khoaûng öôùc löôïng cuûa laø:

26

Chuù yù: 1. ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy (hay heä soá tin caäy) cuûa öôùc löôïng. Caùc trò soá thöôøng ñöôïc söû duïng cho ñoä tin caäy laø: = 0.90 thì C = 1,64

= 0.95 thì C = 1.96 = 0.99 thì C = 2.58

2. Neáu duøng ñoä tin caäy caøng lôùn thì C caøng lôùn, do ñoù khoaûng öôùc löôïng caøng roäng, vaø do ñoù sai soá öôùc löôïng seõ lôùn. Neáu muoán giaûm bôùt sai soá öôùc löôïng ta coù theå taêng n, nghóa laø phaûi quan saùt nhieàu hôn.

27

Do ñoù ta thaáy giöõa caùc ñaïi löôïng: Ñoä tin

caäy: Sai soá öôùc löôïng: n

C 0

Côõ maãu quan saùt: n

Coù lieân heä maät thieát vôùi nhau, Thoâng thöôøng, ñöùng tröôùc baøi toaùn öôùc löôïng, ta xaùc ñònh tröôùc ñoä tin caäy caàn thieát laø bao nhieâu, vaø sai soá toái ña coù theå chaáp nhaän ñöôïc, töø ñoù tính ra côõ maãu caàn thieát phaûi quan saùt ñeå ñaùp öùng yeâu caàu cuûa baøi toaùn.

28

Giaû söû ta aán ñònh tröôùc ñoä tin caäy (do ñoù bieát C), xaùc ñònh sai soá toái ña , vaø ta tính côõ maãu nhö sau:Ta muoán:

X

Ta choïn:

n

C 0

2

20

20 C

nC

n

29

Thí duï:Thí duï:

Bieát chieàu cao cuûa con ngöôøi

)100,(N~X

Ta muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá vôùi sai soá khoâng quaù 1 cm, ôû ñoä tin caäy 0,95 thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi? Giaûi:

Ta coù: 16,384)1(

)100.()96.1(Cn 2

2

2

20

2

Vaäy quan saùt ít nhaát 385 ngöôøi.

30

II. ÖÔÙC LÖÔÏNGII. ÖÔÙC LÖÔÏNG TRONG PHAÂN TRONG PHAÂN PHOÁIPHOÁI )bieátchöa:(),,(N 22 Goïi X1, X2, …, Xn laø maãu ñoäc laäp; 22

i ),,(N~X : chöa bieát. Ta duøng maãu naøy ñeå

öôùc löôïng . Ta coù:

n,N~X

2

Do ñoù:

)1,0(N~

nXZ

Ta khoâng theå duøng bieán soá naøy ñeå öôùc löôïng vì bieåu thöùc naøy coøn chöùa tham soá chöa bieát.

31

Ta coù:

)1,0(N~

nXZ

)1n(~S).1n(

Y 22

2x

Vì Z, Y ñoäc laäp, do ñoù, ñaët:

1nYZ

T

Thì T phaân phoái theo luaät Student(n-1). Ta coù:

)1n(Student~

SnX

1n

S)1n(

nX

T

2

2

32

Cho saün giaù trò , (0<<1), ta tìm ñöôïc C sao cho:

)CTC(P

Trong thöïc haønh, giaù trò C ñöôïc ñoïc trong baûng phaân phoái Student.

–C C Z

f

33

Ta coù:

C

SnX

CP)CTC(P

nS

CXnS

CP

nS

CXnS

CXP

Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cuûa laø:

nS

X;nS

CX

Thoâng thöôøng ta vieát:

nS

CX

34

Thí duï:Thí duï:

Quan saùt ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 20 ngöôøi, ta tính ñöôïc: 162X cm; S = 14 cm.

Haõy öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá ôû ñoä tin caäy = 0.95 Giaû

i:

Ta coù:

093.2C

cm14S

cm162X

;nS

CX

cm65.6162

35

Vaán ñeà côõ maãu Vaán ñeà côõ maãu

Giaû söû muoán öôùc löôïng ôû ñoä tin caäy , vaø sai soá khoâng quaù thì ta phaûi quan saùt maáy tröôøng hôïp?Ta muoán:

X

Ta choïn:

nS

C

nCS

,C ñoïc trong PP chuaån

36

Vaäy:

2

22 S.Cn

Chuù yù: Trong caùc baûng thieát laäp cho phaân phoái Student, thoâng thöôøng ngöôøi ta chæ thieát laäp ñeán 30 ñoä töï do. Vaäy, neáu gaëp tröôøng hôïp maãu lôùn (ñoä töï do lôùn hôn 30), ta duøng caùc trò soá ôû baûng N(0, 1) thay theá baûng Student.

37

III. ÖÔÙC LÖÔÏNGIII. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2 2 TRONG TRONG PHAÂN PHOÁI PHAÂN PHOÁI 2

0,N (0: ñaõ bieát)Quan saùt maãu X1, X2, …, Xn,

ñoäc laäp; 20i ,N~X

Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng phöông sai 2.

Ta coù:

)1,0(N~X

,N~X 0i20i

)1(~

X 22

20i

)n(~X

Y 22

20i

38

Cho saün giaù trò

)10(, ta tìm 2 soá a, b sao

cho: )bYa(P

vôùi qui öôùc: 2

1)bY(P)aY(P

Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng

)n(2

nhö sau:

b

21

)bY(P

a2

12

1)aY(P

39

Ta coù:

bX

aP)bYa(P2

20i

aX

bX

P2

0i22

0i

Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2 ôû ñoä tin caäy laø:

a

X,

bX 2

0i2

0i

F

a b

40

IV. ÖÔÙC LÖÔÏNGIV. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2 2 TRONG PHAÂN TRONG PHAÂN PHOÁIPHOÁI )bieátchöa:(),,(N 2

0

Quan saùt maãu X1, X2, … ,Xn ñoäc laäp; ),(N~X 2

i ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng 2

Ta coù:

2

2S)1n(Y

)1n(~

XX 22

2i

41

Vôùi quy öôùc:

21

)bY(P)aY(P

Cho saün giaù trò

)10(, tìm 2 soá a, b

sao cho:

)bYa(P

Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng

)1n(2

nhö sau:

b2

1)bY(P

a2

12

1)aY(P

42

Ta coù: )bYa(P

aXX

bXX

P2

i22

i

Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2

ôû ñoä tin caäy laø:

a

XXb

XX 2i2

2i

43

V. ÖÔÙC LÖÔÏNG TÆ LEÄ V. ÖÔÙC LÖÔÏNG TÆ LEÄ p p TRONG TRONG PHAÂN PHOÁIPHAÂN PHOÁI B(1, p) B(1, p)

Goïi X1, X2, …, Xn ñoäc laäp;

)p,1(B~Xi

maãu naøy ñeå öôùc löôïng p.

ta duøng

Ñaët: suaátTaàn:n

XXf n1

)1,0(N~)p1(pn)pf(

Z

Cho saün giaù trò

)10(, ta tìm ñöôïc Csao

cho:

44

)CZC(P

Ta coù:

C)p1(pn)pf(

CP

n

)p1(pCpf

n)p1(p

CP

n

)p1(pCfp

n)p1(p

CfP

45

Bieåu thöùc naøy chöa söû duïng ñöôïc, vì caùc ñaàu muùt cuûa khoaûng öôùc löôïng coøn phuï thuïoâc p (chöa bieát vaø caàn öôùc löôïng). Trong tröôøng hôïp naøy, ta duøng öôùc löôïng ñieåm cuûa p ñeå thay theá vaøo caùc giaù trò ôû ñaàu muùt khoaûng öôùc löôïng.

fp

Do ñoù:

n

)f1(fCfp

n)f1(f

CfP

Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:

n)f1(f

Cfp

46

Thí Thí duï:duï: Quan saùt ngaãu nhieân 200 loï thuoác trong moät loâ haøng raát nhieàu, ta thaáy coù 27 loï khoâng ñaït tieâu chuaån. Haõy öôùc löôïng tæ leä thuoác khoâng ñaït tieâu chuaån p ôû ñoä tin caäy 95%.

Giaûi:Ta coù:

170.135

200f

Vaäy:

0.135(1 )

; 1.96

200

ff f

p f C Cn

n

(0.135)(0.865)

0.135 (1.96)200

0.5 0.047p

47

Vaán Ñeà Côõ Maãu Vaán Ñeà Côõ Maãu

Giaû söû ta muoán öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy , vôùi sai soá khoâng quaù , thì quan saùt maãu ít nhaát maáy tröôøng hôïp?Ta muoán: pf

Ta choïn:

n

)f1(fC

n)f1(f

C

48

2

2 )f1(fCn

( neáu bieát f )

Trong tröôøng hôïp khoâng bieát f Ta coù: 4

1)f1(f khi 0 f 1

Vaäy neáu choïn:

2

2

2

2

2

2

)f1(fC4C4

1C

n

Do ñoù ta cuõng coù coâng thöùc tính n:

2

2

4C

n

49

Thí duï:Thí duï: Ta muoán öôùc löôïng tæ leä beänh soát reùt (p) ôû vuøng ÑB soâng Cöûu Long. • 1. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng

khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi?

• 2. Ta quan saùt ngaãu nhieân 200 ngöôøi, thaáy coù 24 ngöôøi maéc beänh soát reùt.• a. Tìm khoaûng öôùc löôïng

cuûa p ôû ñoä tin caäy 95%.• b. Muoán sai soá öôùc löôïng

khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi?

50

Giaûi:

02.0

96.1C;

4C

n 2

2

1. n 2401 ngöôøi

200n

96.1C

12.010024

f

;n

)f1(fCfpa.

2.

045.012.0p

51

b.

02.0

12.0f

96.1C

;)11(fC

n 2

2

ngöôøi1015n

18.1014n

Ta thaáy trong tröôøng hôïp caâu 2 vôùi maãu thaêm doø seõ cho ta côõ maãu n thaáp hôn, nhö vaäy chæ caàn quan saùt ít cuõng ñuû.

52

VI. BAØI TOAÙN 2 MAÃUVI. BAØI TOAÙN 2 MAÃU

Giaû söû: X1, X2, … , Xm ; Y1, Y2, … ,

Yn ñoäc laäp vôùi ,,N~X 211i 2

22j ,N~Y

1. Öôùc löôïng tæ soá

21

22

Ñaët:

221 1;

( 1)

m m

i i

x

X X XX S

m m

221 1;

( 1)

n n

i j

y

Y Y YY S

n n

53

Ta bieát

2 2, , ,X YX Y S S ñoäc laäp, ngoaøi ra

2 21 2

1 2~ , ; ~ ,X N Y Nm n

2 22 2

2 21 2

( 1) ( 1)~ ( 1), ~ ( 1)X Ym S n S

m n

Ñaët 2 22

1, 12 21

~Xm n

Y

Sf f F

S

54

Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng

1n,1mF

nhö sau:

1 1( ) ; ( )

2 2P F a P F b

Ta coù:

2 222 21

( ) X

Y

SP a f b P a b

S

2 2 2

22 2 2

1

Y Y

X X

S SP a b

S S

Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa

2221

ôû ñoä

tin laø:2 2

2 2,Y Y

X X

S Sa bS S

55

2. Öôùc löôïng daønh cho

12 khi ñaõ bieát

21

22

Ta coù:

2 21 2

2 1~ ,Y X Nm n

2

2 1 1

1,N

m n

Neân:

2 1

1

1 .~ (0, 1)

m nY X N

n m

2 2 2

2 21 1

1 1 ( 1)( 1) X Y

nS m S S

2 2

22 21 2

1 1~ ( 2)X Ym S n S

m n

56

2 1. ~ ( 2)Y X

T K Student m nS

Vôùi:1

2( 2)mn m nK

n m

Choïn C thoûa: 1P T C P T C Ta coù:

2 1( ).Y X

P C K CS

57

Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa

2 1 ôû ñoä tin laø:

;CS CS

Y X Y XK K

Ta coù theå vieát:

2 1

CSY X

K

2 1

CS CSP Y X Y X

K K

12( 2)mn m n

Kn m

22 2 1

1 YX

n SS m S

với

C đọc trong Student(n+m-2)

a) Nếu

1 2 1

2 1 2

1 1

Y XT Student m n

n m

Khi ñoù coâng thöùc öôùc löôïng

2 1

1 1Y X C

n m

Vôùi phöông sai maãu nhaäp 2 2

2 1 21 1

2

m S n S

m n

1 2 b) Nếu khi ñoù

2 1

2 2X Y

Y XT Student DIXON MASSEY

S Sm n

Độ tự do được tính như sau:

22 21 2

1 22 22 2

1 2

1 1 2 2

21 1

1 1

S Sn n

S Sn n n n

60

Luùc ñoù coâng thöùc öôùc löôïng

2 2

2 1X YS S

Y X Cm n

vôùi C ñoïc trong baûng Student(θ )

Chú ý: Nếu m,n lớn thì ta có:

2 1

2 20,1

X Y

Y XN

S Sm n

Luùc ñoù coâng thöùc öôùc löôïng

2 2

2 1X YS S

Y X Cm n

vôùi C ñoïc trong chuaån

Ví dụ 1:Trọng lượng viên thuốc của lô A và lô B

có phân phối và .Một mẫu 30 viên của lô A và một mẫu 10 viên của lô B có trọng lượng trung bình .Tìm khoảng tin cậy 95% của .

62

2,AN 2,BN

4,5; 0,5 àA AX S v 4,33; 0,305B BX S A B

Giải

Vì ,A B ta coù coâng thức ước lượng

1 1A B Y X C

n m

2 22 1 21 1

0,2132

m S n S

m n

1 14,5 4,33 1,96 0,461

30 10A B

với

0,05 38 1,96C t

neân

0,17 0,329 0,159; 0,499

0,461

Löôïng cholestrelemie cuûa 2 nhoùm ngöôøi coù phaân phoái 2

2 2, .N 21 1, ,N

Laáy 2 maãu thuoäc 2 nhoùm,keát quaû ghi nhaän:Maãu 1: 11 124, 181,25 %, 16,98 %n X mg S mg Maãu 2: 22 230, 180 %, 12 %n X mg S mg

1) Öôùc löôïng tæ soá ôû ñoä tin caäy 95%

2122

2) Öôùc löôïng tæ soá ôû ñoä tin caäy 95%

1 2

Ví dụ 2:

Khoảng ước lượng của

65

2122

:

2 2 21 1 12 2 22 2 2

S Sa bS S

Trong đoù

23,29

23,29

0,975 0,44

0,025 2,17

P F a a

P F b b

Vaäy:

22 21

2 2 22

(16,98) (16,98)0,44 2,17

(12) (12)

2122

0,881 4,345

1.

66

Böôùc 1: So saùnh 2 phöông sai (kieåm ñònh) 2

123,292

2

2,00 (0,05) 1,91S

F FS

Neân khaùc nhau coù yù nghóa.

1 2,

Böôùc 2: Öôùc löôïng 1 2

Coâng thöùc öôùc löôïng: 2 2

1 21 21 2

1 2

S SX X C

n n

C ñoïc trong Student( )

2.

67

vôùi

43,38 2 41,38 41

Neân

Vaäy:

2 2

1 2

16,98 12181,25 180 1,96

24 301,25 8,04

0,05 41 1.96C t

22 21 2

1 22 22 2

1 2

1 1 2 2

21 1

1 1

S Sn n

S Sn n n n

HỎI VÀ ĐÁP

Đại Học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh

Email:trandinhthanh56@yahoo.com

------------------------------------------------

Chúc các em thành công