Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI
FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ŞI CALCULATOARE
DEPARTAMENTUL DE AUTOMATICĂ ŞI INGINERIA SISTEMELOR
LUCRARE DE DISERTAŢIE
Proiectarea unui invertor cu referinta nesinusoidala
Coordonator stiinţific: Absolvent:
Conf.Dr.Ing. Cătălin Petrescu Stan Mircea-Vlad
Bucureşti, 2014
1
CUPRINS
1. INTRODUCERE 4
2. INVERTOARE 6
2.1. Notiuni generale 6
2.2. Tipuri de invertoare 8
2.3. Metode de comanda 11
2.4. Consumatori 18
3. CONTROLUL CURENTULUI DE IESIRE A UNUI INVERTOR 24
3.1.Regulatorul PR 27
3.1.1. Date generale 27
3.1.2. Raspunsul in frecventa 31
4. SOLUTIA DEZVOLTATA 34
5. Bibliografie
2
LISTA FIGURI
Figura 2.1 Caracteristica curentului prin tranzistori IGBT si MOSFET 7
Figura 2.2 Invertor trifazat 8
Figura 2.3 Invertor monofazat 8
Figura 2.4 Invertor de curent monofazat in punte 9
Figura 2.5 Tensiunea de iesire 10
Figura 2.6 Spectrul de frecvente al unei unde dreptunghiulare 11
Figura 2.7 Forma de unda sinusoidala modificata 12
Figura 2.8 Invertor monofazat in punte 15
Figura 2.9 Modulare in durata, sinusoidala, cu tensiune de iesire bipolara 16
Figura 2.10 Modulare in durata, sinusoidala, cu tensiune de iesire unipolara 17
Figura 2.11 Sarcina liniara. Sarcina neliniara 19
Figura 2.12 Tensiunea si curentul intr-un resou 20
Figura 2.13 Tensiunea si curentul intr-un calculator 20
Figura 2.14 Tensiunea si curentul prin ambii consumatori in paralel 21
Figura 2.15 Semnale achizitionate perturbate 21
Figura 2.16 Filtrarea semnalelor achizitionate 22
Figura 2.17 Spectrul de frecvente a curentului prin resou 22
Figura 2.18 Spectrul de frecvente a curentului prin calculator 23
Figura 3.1 Sistem de reglare a curentului 24
Figura 3.2 Transformarea abc-dq0 26
Figura 3.3 Regulator PI sistem trifazat 26
Figura 3.4 Raspunsul regulatorului PI la referinta sinusoidala 27
Figura 3.5 HPR(s) 29
Figura 3.6 Diagrama Bode regulator PR ideal 31
Figura 3.7 Diagrama Bode regulator PR neideal 32
Figura 4.1 Model invertor 34
Figura 4.2 Tensiunea de iesire si referinta PWM a invertorului 35
3
1.Introducere
Oriunde ne-am uita se pot vedea dovezile unui proces de tehnologizare si
automatizare continuu, atat la nivel industrial cat si la nivel de individ, proces ce
implica usurarea prelucrarii informatiei prin utilizarea dispozitivelor electronice.
Aproape in orice domeniu, prezenta unui calculator, a unui telefon mobil sau a unei
conexiuni la internet reprezinta un lucru necesar. Toate aceste elemente tehnologice
functioneaza utilizand energie electrica. Fie ca vorbim despre alimentare in curent
alternativ, fie despre curent continuu, sursa principala a energiei electrice o
reprezinta reteaua nationala de distributie a acesteia.
In contextul diminuarii efectelor poluante ale generarii electricitatii prin
intermediul combustibililor fosili si a costurilor ridicate de utilizare ale sistemelor
conventionale, s-a pus accentul pe dezvoltarea solutiilor bazate pe resurse
regenerabile. Cum energia solara, a apei si a vantului sunt infinite, nepoluante, aceste
sisteme sunt cele mai des intalnite
Pentru consumatorii din zonele rurale, unde reteaua electrica nationala este
greu accesibila,dar nu numai, s-au dezvoltat sisteme distribuite de generare a energie,
incluzand surse regenerabila cat si neregenerabile, cu puteri relativ mici, de pana la
1000 kW. Numarul furnizorilor de energie care sunt in mod natural surse de curent
continuu este in continua crestere, spre exemplu fermele solare sau pilele de
combustie. La fel este si numarul surselor de energie a caror frecventa de functionare
nu este constanta sau este mult mai mare decat cea din retea. Exista anumite tipuri de
generatoare ce pot fi conectate direct la retea, cum ar fi cele asincrone folosite in
turbinele eoliene, dar tendinta generala este de a converti energia prin intermediul
electronicii de putere in curent continuu dupa care sa se apeleze la un invertor pentru
a livra puterea la parametrii retelei de distributie, lucru care asigura o eficientizare a
transferului de putere.
Invertoarele sunt dispozitive electronice care realizeaza conversia energiei de
curent continuu in energie de curent alternativ. Acestea au multiple aplicatii, pot fi
gasite in autovehicule, aparatura de climatizare, in controlul vitezei motoarelor
electrice, dispozitive UPS si multe altele. Utilizarea acestui dispozitiv permite
4
stocarea energiei electrice sub forma de curent continuu in baterii si intrebuintarea ei
sub forma alternativa atunci cand este necesar.
Atunci cand se vorbeste despre integrarea solutiilor regenerabile, exista doua
situatii posibile de utilizare a invertoarelor. Energia generata poate fi convertita in
curent alternativ, sincronizata cu reteaua de distributie si apoi injectata in aceasta, sau
poate fi convertita si utilizata local , energia electrica generata de invertor avand deja
tensiunea de iesire, frecventa si valoarea efectiva la valorile indicate de catre
consumator.
5
2.Invertorul
2.1 Notiuni generale
Invertorul reprezinta un dispozitiv electronic sau circuit care converteste
curentul continuu DC in curent alternativ AC. Acest dispozitiv a fost initial proiectat
pentru a face exact lucrul opus - de a converti curentul alternativ in curent continuu si
poarta denumirea de redresor. Dar cum aceste convertoare ar putea practic functiona
invers, au fost numite invertoare. Parametrii tensiunii de iesire si ai curentului de
iesire sunt de regula impuse de catre consumatori.
Curentul continuu este frecvent utilizat, dar prin stocarea acestuia in baterii,
tensiunea de iesire este relativ mica. Exista multe dispozitive pentru care puterea DC
generata de acestea nu este suficienta. Dispozitivele electronice functioneaza de
regula la o tensiune alternativa de 220 V si la o frecventa de 50 Hz in Europa ,
respectiv 110 V si 60 Hz in Statele Unite ale Americii. Curentul alternativ isi schimba
constant polaritatea, acesta circuland intr-o directie, dupa care isi schimba sensul si
directia de circulatie. Tot acest proces se realizeaza rapid, de 50 de ori pe secunda.
Curentul alternativ permite utilizarea unor tensiuni ridicate, ce pot fi manipulate prin
intermediul transformatoarelor mai usor decat curentul continuu. Transportul
acesteia se realizeaza mai usor, cu costuri reduse, deoarece si curentii vehiculati sunt
mai mici, prin urmare sectiunea cablurilor este mai mica.
Un invertor de putere poate fi in intregime electronic sau poate reprezenta o
combinatie de elemente mecanice cu electronica digitala. Pentru circuitul de forta se
pot utiliza tiristoare sau tranzistori. Tiristoarele sunt dispozitive de comutatie
controlate in curent pe cand tranzistorii sunt dispozitive de comutatie controlate in
tensiune. Aceste caracteristici fac ca tranzistorii sa fie mai potrivite atunci cand se
utilizeaza tehnici de control prin modulatie deoarece necesita circuite simple de
actionare, pot functiona la frecvente mari si ofera un control facil, pe cand tiristoarele
sunt folosite frecvent pentru puteri foarte mari unde regimul de functionare impune
frecvente mai mici iar costul tranzistorilor in acest caz este mai ridicat.
6
In cazul tranzistorilor exista doua tipuri utilizate frecvent in practica :
tranzistori MOSFET si tranzistori IGBT. Tranzistorii IGBT tind sa se foloseasca pentru
aplicatii ce necesita tensiuni relativ mari, mai mari de 200V. Acestia au o capacitate de
a comuta rapid mai redusa decat tranzistorii MOSFET si se folosesc de regula pana la
frecvente de pana la 29kHz. Pot face fata curentilor mari, putand fi utilizati pentru
puteri mai mari de 5 kW si au abilitatea de a functiona la temperaturi de peste 100
grade Celsius. Unul dintre dezavantajele principale ale acestui tip de tranzistor il
reprezinta intarzierea disparitiei curentului in momentul opririi. In esenta, atunci
cand un tranzistor decupleaza, curentul nu dispare imediat, lucru ce cauzeaza
pierderi la fiecare actionare.
Fig. 2.1 Caracteristica curentului prin tranzistori IGBT si MOSFET
Tranzistorii MOSFET au capacitatea de a functiona la frecvente mai mari decat
IGBT, ce depasesc 200kHz. Tensiunile si curentii ce pot fi preluati sunt mai mici, fiind
gasiti in aplicatii cu tensiuni de sub 250V si puteri mai mici de 500W. Acest tip de
tranzistori nu prezinta intarzieri in disparitia curentului, prin urmare sunt mai
eficienti.
Rolul acestor elemente semiconductoare este ca, prin controlul starilor ON-
OFF, in conductie sau blocat, sa se poata impune la bornele sarcinii una sau mai
multe tensiuni alternative. Curentul sau curentii absorbiti de sarcina depind de
tensiunile ce sunt aplicate. Comanda elementelor de comutatie se realizeaza in functie
de caracteristicile acestora si de structura invertorului .
7
2.2 Tipuri de invertoare
In functie de necesarul puterii furnizate sau de natura consumatorului, exista
invertoare monofazate si invertoare trifazate. Pentru aplicatii industriale,
consumatoare de energie, este necesar utilizarea invertoarelor trifazate. In general
acestea sunt folosite la actionarea dispozitivelor ce necesita variatia frecventei, cum ar
fi motoarele electrice sau pentru conectarea la retelele de distributie.
Fig. 2.2 Invertor trifazat
Acest tip de invertor este asemanator conectarii a trei invertoare monofazate la
fiecare borna a consumatorului. Invertoarele monofazate sunt frecvent intalnite in
aplicatii de mici dimensiuni, majoritatea consumatorilor casnici utilizand o singura
faza pentru alimentare.
Fig. 2.3 Invertor monofazat
Invertoarele pot varia in schema si alimentare in functie de marimea dorita la
iesire. Astfel se disting doua familii de invertoare: invertoare de tensiune si invertoare
de curent. Un invertor alimentat in tensiune genereaza la iesire tot o tensiune,
alternativa cu parametrii prestabiliti: amplitudine, frecventa si faza. In cazul ideal
8
tensiunea de la intrarea invertorului are o valoare constanta U, ce nu depinde de
curentul I pe care il absoarbe invertorul. Este cel mai des intalnit tip de invertor si are
o impedanta mica. De regula, pentru stabilizarea tensiunii de alimentare, se foloseste
un filtru C, un condensator cu capacitate ridicata, ce asigura un voltaj constant.
Caracterul de “sursa de tensiune ” se obtine prin conectarea in paralel la bornele sale
de iesire a unui condensator de valoare importanta sau a unui filtru L-C.
Pentru invertoarele de curent se utilizeaza alimentarea in curent, si se plaseaza
in serie cu aceasta o bobina care asigura practic curentul absorbit de invertor.
Asemanator invertoarelor de tensiune, se pastreaza regula alternantei surselor. Fiind
alimentat in curent, invertorul trebuie sa alimenteze la randul sau o sarcina de curent
alternativ, de tip sursa de curent.
Fig. 2.4 Invertor de curent monofazat in punte
Comutatoarele, in acest caz, schimba periodic directia de parcurgere a
curentului, prin urmare voltajul de la iesire este in functie de caderea de tensiune pe
consumator cauzata de trecerea curentului de iesire. Se poate observa disparitia
diodelor antiparalel deoarece comutatoarele comuta direct curentul de sarcina.
Exista mai multe topologii de invertor, insa cele mai raspandire sunt cele in
punte, sau punte-H, si cele in brat de punte. Invertoarele in punte-H sunt intalnite
mai des avand o eficienta mai mare. La o diagonala a puntii este conectata sursa de
tensiune de curent continuu, iar la ce cealalta este conectat consumatorul. Exista pe
fiecare brat al puntii un element de comutatie, tranzistor IGBT, MOSFET sau tiristor,
care permite schimbarea directiei tensiunii.
9
Pentru comanda acestor comutatoare, cea mai simpla solutie este inchiderea
pentru un interval de timp egal cu T/2 a comutatoarelor 1 si 4, dupa care deschiderea
lor si inchiderea simultana a celorlalte doua. Forma de tensiune astfel rezultata este
alternativa, de tip dreptunghiular, cu amplitudinea egala cu tensiunea de alimentare
si frecventa 1/T, dupa cum se poate observa in figura de mai jos.
Fig. 2.5 Tensiunea de iesire
Acest tip de comanda este cel mai simplu, este fiabil si ieftin, insa forma de
unda rezultata prezinta un factor de distorsiuni armonice (THD) mare, de
aproximativ 40%, lucru inacceptabil pentru numeroase aplicatii. Pentru eliminarea
armonicelor de la frecvente inalte, se pot utiliza filtre LC trece-jos ce asigura
micsorarea valorii THD, insa aceasta solutie este costisitoare. O alternativa o
reprezinta elaborarea unei legi de comanda cu modulatie in durata (PWM – pulse
width modulation). Duratele de conductie ale comutatoarelor vor fi variabile, ele
fiind rezultatul compararii unei unde sinusoidale de referinta cu un semnal
triunghiular. Rezultatul este un tren de impulsuri de latime variabila, ce urmareste ca
si valoare medie sinusoida semnalului de referinta. Tehnicile de comanda PWM vor fi
tratate separat, in detaliu.
Trasee ale curentului prin invertorul in punte H:
- daca io>0, S1 si S4 in conductie, S2
si S3 blocate,sarcina preia energie de la
Vdc
- daca io>0, S1 si S4 blocate, S2 si S3
in conductie, sarcina cedeaza energie
catre sursa
- daca io<0, S1 si S4 blocate, S2 si S3
in conductie, sarcina preia energie de la
Vdc
10
- daca io<0,S1 si S4 in conductie, S2 si S3 blocate, sarcina cedeaza energie
Invertoarele in brat de punte au doar doua elemente de comutatie ce sunt
actionate alternativ. Tensiunea de iesire nu mai are amplitudinea celei de intrare ci
este injumatatita. Prin urmare la fiecare alternare prin sarcina va trece un voltaj egal
cu Udc/2 cu polaritatea schimbata. In cazul invertoarelor de curent, aceasta topologie
nu este utilizata.
Trasee ale curentului prin invertorul in brat de punte:
daca io >0 , S1 in conductie,
sarcina preia energia Vdc/2 de la sursa
daca io>0, S1 blocat, sarcina
cedeaza energie capacitatii C2
daca io<0, S2 in conductie, sarcina
preia energia Vdc/2 de la sursa
daca io<0, S2 blocat, sarcina
cedeaza energie capacitatii C1
In consecinta, pentru aceeasi putere furnizata la iesire, curentul are valoare
dubla. Acest fapt face ca invertoarele in punte H sa fie potrivite pentru aplicatii de
puteri mari, tranzistorii fiind mai putin solicitati in curent, iar topologia in brat de
punte pentru puteri mici si medii.
2.3 Metode de comanda
Conversia energiei din curent continuu in curent alternativ se realizeaza dupa
cum a fost prezentat mai sus, utilizand in general tranzistori, care prin comutare
schimba sensul tensiunii prin sarcina. Metoda cea mai simpla de comanda este cea
pentru obtinerea unei unde alternative dreptunghiulare. In acest caz, tensiunea la
iesire trebuie sa alterneze intre un maxim si minim, fara a avea pasi intermediari,
precum 0V. Pentru a livra aceeasi putere ca un semnal sinusoidal, amplitudinea undei
dreptunghiulare trebuie sa fie egala cu valoarea efectiva RMS a celei sinusoidale. In
acest fel, tensiunea medie la iesire , prin urmare si puterea livrata, vor fi aceleasi in
ambele cazuri.
11
Fig. 2.6 Spectrul de frecvente al unei unde dreptunghiulare
Invertoarele ce utilizeaza o astfel de comanda sunt rar folosite in practica
deoarece exista putine dispozitive care pot fi alimentate astfel. Foarte multe aparate
electronice se folosesc de forma de unda a tensiunii de alimentare pentru circuitele de
masura a timpului, unde este necesara o unda apropiata de cea sinoidala.
Dupa cum se poate observa in figura de mai sus, spectrul frecventelor unei
astfel de unde este bogat, avand componente armonice relativ mari comparativ cu
armonica fundamentala. Acest lucru se traduce prin pierderi de energie si scaderea
dramatica a eficientei dispozitivelor ce sunt alimentate astfel.
Urmatorul pas in controlul invertoarelor a fost incercarea de apropiere de
forma sinusoidala prin introducerea a trei nivele de tensiune la iesire: maxim, minim
si zero. Tensiunea rezultata astfel poarta numele de unda sinusoidala modificata.
Aceasta este o aproximare mai buna a sinusoidelor pure decat unda dreptunghiulara,
si poate fi utilizata la alimentarea majoritatii dispozitivelor electrice si electronice.
Acest tip de invertor este astfel des intalnit in practica, insa prezinta acelasi
dezavantaj: pierderi de putere datorita valorilor armonicelor la frecvente joase.
12
Fig. 2.7 Forma de unda sinusoidala modificata
Cele mai bune surse de tensiune sunt cele a caror iesire sunt unde sinusoide
pure. Toate dispozitivele electrice si electronice sunt proiectate sa functioneze optim
cu astfel de surse. Tensiunile sinusoidale pure se obtin cel mai usor in cazul puterilor
mari prin mecanisme electrice rotative precum turbinele pe gaz, generatoare diesel
sau alte generatoare care implica cuplul motor pentru producerea curentului
alternativ. Toate aceste surse produc o unda sinusoida pura, fara armonici
semnificative sau zgomot, datorita principiului analogic de functionare. Pentru
aplicatii mici, aceste mecanisme nu sunt recomandate datorita dimensiunilor mari,
costurilor ridicate si necesitatii mentenantei periodice. Drept urmare, o unda
sinusoidala obtinuta prin control digital ar fi solutia potrivita.
Datorita modului discret de functionare a comutatoarelor din componenta
invertoarelor, formele de unda ale tensiunii de la iesire se abat de la forma
sinusoidala. Acestea contin pe langa armonica fundamentala cu frecventa f1 de 50 Hz
si alte armonici superioare, parazite, cu frecvente multiplii de f1 : fn = n*f1. Atenuarea
lor se poate realiza cu ajutorul filtrelor, insa datorita dimensiunilor si costurilor
ridicate, aplicarea lor nu este agreata in toate cazurile. Inlaturarea acestor probleme se
realizeaza prin elaborarea unor tehnici de comanda mai complexe, precum
construirea formelor de unda a semnalelor electrice din trepte sau pulsuri modulate
in durata.
Cea mai raspandita modalitate de control pentru obtinerea unei unde cat mai
apropiata de sinusoida pura o reprezinta modularea in durata sau PWM ( pulse-
width modulation). Modularea in durata este o tehnica folosita pentru controlul
13
circuitelor analogice cu ajutorul comenzilor digitale ale unui procesor. Aceasta
metoda este intalnita nu doar in cazul invertoarelor ci si in alte domenii precum
telecomunicatii, masurari, etc. Modularea PWM reprezinta procesul de modificare a
duratei pulsurilor dintr-un tren de pulsuri in functie de un semnal de control. Cu cat
tensiunea de control este mai mare, durata pulsurilor rezultate devine mai mare. Prin
utilizarea unei sinusoide de aceeasi frecventa cu cea a tensiunii de iesire, se poate crea
un semnal a carui valoare medie sa varieze sinusoidal.
In practica, aceasta tehnica de control este realizata de catre microcontrollere,
procesoare de semnal DSP, etc. Invertoarele controlate prin intermediul modulatiei in
durata lucreaza de regula cu frecvente de comutatie constante si permit modificarea
reglarea valorii efective a tensiunii de iesire in limite relativ mari, cu pastrarea
tensiunii de alimentare constanta. Aceasta modificare a valorii tensiunii de iesire se
realizeaza prin controlul PWM a comutatiei tranzistorilor , aducand-o in acelasi timp
la o forma cat mai apropiata de cea sinusoidala. Tensiunea astfel rezultata are un
continut de armonici mai mic, situate la frecvente inalte, lucru ce usureaza filtrarea .
Cea mai raspandita metoda de modulare in durata o reprezinta cea
sinusoidala. Aceasta presupune ca trenul de pulsuri pentru controlul tranzistorilor sa
fie generat prin compararea unei unde triunghiulare Vtr(t) cu amplitudinea ̂ si
frecventa fs, cu o unda sinusoidala, de referinta, cu amplitudinea ̂ si frecventa f1.
Aceasta frecventa trebuie sa fie egala cu frecventa tensiunii dorite la iesirea
invertorului, iar amplitudinea trebuie sa fie egala cu valoarea efectiva a acesteia.
Exista doua metode de modulare in durata. Acestea pot fi:
singulare, atunci cand comutatoarele invertorului primesc un singur puls de
control pe o perioada. Tensiunea de iesire va avea forma rectangulara.
Multiple, atunci cand comutatoarele invertorului primesc mai multe pulsuri
de comanda intr-o perioada a semnalului de referinta. Duratele pulsurilor pot
fi constante, tensiunea de iesire fiind constanta, sau pot varia, in cazul
tensiunii alternative.
Parametrii ce pot fi controlati in cazul controlului prin PWM sunt :
Raportul dintre amplitudinea purtatoarei si amplitudinea referintei, ma , de
regula cu valori intre 0 si 1
Frecventa undei purtatoare, respectiv raportul dintre frecventa acestei unde si
cea a semnalului de referinta, notat cu mf
14
Frecventa semnalului de iesire
Alegerea acestor valori trebuie facuta avand in vedere urmatoarele:
Pentru valori mici ale mf ( mf < 21 ), semnalul de referinta si purtatoarea
trebuie sa fie sincronizate, adica mf sa aibe valoare intreaga, impara. In caz
contrar, se face simtita prezenta subarmonicelor in tensiunea de iesire.
La valori mai mari decat 21 ale mf, subarmonicele sunt neglijabile, insa este
pastrata recomandarea ca mf sa fie un numar intreg, impar.
De regula, raportul ma a amplitudinilor are valori cuprinse intre 0 si 1. Pentru
valori supraunitare, purtatoarea prezinta zone in care nu se mai intersecteaza
cu semnalul de referinta, ducand la un comportament neliniar.
Pentru exemplificare voi prezenta cazul unui invertor in punte cu tensiunea
comutata bipolar.
Fig. 2.8 Invertor monofazat in punte
Pentru controlul acestuia se comuta simultan tranzistorii opusi, de pe diagonala:
Pentru Vref > Vtr se pun in conductie si
iar Vo = Vd
Pentru Vref < Vtr se pun in conductie si
iar Vo = - Vd
Curentul de sarcina va circula fie prin tranzistor, fie prin diode, in functie de
sensul acestuia. Comanda aplicata celor 4 comutatoare se poate vedea in figura de
mai jos, impreuna cu forma tensiunii de iesire.
15
Fig. 2.9 Modulare in durata sinusoidala cu tensiune de iesire bipolara
Dupa cum se poate observa, pentru raportul mf a fost aleasa o valoare intreaga
si impara, iar pentru amplitudinea semnalului purtator este mai mare decat
amplitudinea referintei. Prin metoda de control prezentata mai sus, tensiunea de
iesire este bipolara, valorile ei alternand intre + Vd si – Vd . Pentru introducerea si
nivelului 0 in iesirea tensiunii, se foloseste comanda PWM unipolara.
Tehnica PWM cu tensiune comutata de iesire unipolara presupune folosirea a
doua unde triunghiulare . Astfel, nu mai sunt comutati toti tranzistorii de putere, ci se
urmeaza urmatorul comportament.
Pentru alternanta pozitiva a undei de referinta se foloseste o unda
triunghiulara Vtr+ iar comanda rezultata este astfel:
Q1+ in conductie permanenta
Daca Vref > Vtr+ , Q2- in conductie iar Vo = Vd
Daca Vref < Vtr+ , Q2+ in conductie iar Vo = 0
16
Asemanator se procedeaza si pentru alternanta negativa, comanda facandu-se
astfel:
Q1- in conductie permanenta
Daca Vref > Vtr- , Q2- in conductie iar Vo = 0
Daca Vref < Vtr- , Q2+ in conductie iar Vo = - Vd
Avantajul celei de-a doua metode, comutarea PWM cu tensiune de iesire
unipolara il reprezinta numarul mai mic de comutari ale tranzistorilor, prin urmare se
reduc si pierderile de energie rezultate astfel.
Fig. 2.10 Modulare in durata sinusoidala cu tensiune de iesire unipolara
Pentru a crea replica semnalul de referinta cat mai fidel la iesire, au fost
dezvoltate tehnici PWM multi-nivel, ce se folosesc de mai multe semnale
triunghiulare pentru elaborarea comenzii. Cu cat numarul acestora creste, cu atat mai
bine este aproximata tensiunea de iesire. Se intalnesc in practica modulari PWM de
17
nivel 5, cu 4 semnale triunghiulare si o referinta, de nivel 7, nivel 9 si asa mai departe,
in functie de cerintele consumatorului.
PWM reprezinta o modalitate de reducere a factorului de distorsiune armonica
THD a curentului prin sarcina. Factorul de distorsiune armonica este definit ca fiind
valoarea raportului dintre suma patratelor armonicelor secundare si puterea
armonicii fundamentale si reprezinta o marime ce caracterizeaza calitatea tensiunii de
iesire.
√
[ ] (2.1)
unde V1 reprezinta amplitudinea armonicii principale, iar V2÷Vn amplitudinile
armonicelor secundare.
2.4 Consumatori
Prin intermediul invertoarelor cu comanda PWM se urmareste obtinerea unei
tensiuni la iesire cu forma cat mai apropiata de cea sinusoidala pentru a elimina
armonicele superioare. Insa aceste perturbatii pot fi introduse in retea si de catre
consumatori.
Exista doua tipuri de consumatori in functie de forma de unda a curentului ce
trece prin acestia:
consumatori liniari
consumatori neliniari
Consumatorii liniari sunt aceia care atunci cand la alimentare este aplicata o
tensiune sinusoidala, curentul rezultat are tot forma sinusoida. Un astfel de
consumator are caracter rezistiv si nu introduce armonici suplimentare.
18
Fig. 2.11 Sarcina liniara. Sarcina neliniara
Sarcinile neliniare sunt acelea care nu au rezistenta constanta, aceasta
schimbandu-se la fiecare perioada a curentului. Forma acesteia nu mai este
sinusoidala, ci una neregulata, asemanatoare pulsurilor. Consumatorii neliniari
produc, pe langa armonica fundamentala, si armonici superioare in curent. Efectul
lor se rasfrange si asupra tensiunii, care nu isi mai pastreaza aspectul sinusoidal si
proportional cu curent. Curentii nesinusoidali, tinand cont de impedanta sursei de
alimentare, pot crea perturbatii in tensiune ce afecteaza atat sursa cat si consumatorii
conectati.
De regula, consumatorii monofazati neliniari sunt acele dispozitive cu surse in
comutatie, cum ar fi calculatoarele si aparatura electronica. Prin urmare, la nivel
macroenergetic, cladirile de birouri constituie cei mai insemnati astfel de
consumatori. Pentru cazul sarcinilor trifazate, acestea se regasesc de regula in uzine,
fabrici si alti consumatori industriali.
Efectele armonicelor in distributia energiei:
pot aparea curenti mari pe firul de neutru intr-un sistem trifazat. Cum
protectiile se utilizeaza de regula doar pe cele trei faze, exista riscul de
supraincalzire a acestuia.
Supraincalzirea transformatoarelor din dispozitivele electronice, reducandu-le
durata de viata.
Perturbatii in tensiune peste limitele admise
Functionarea necorespunzatoare a protectiilor
Factor de distorsiuni armonice mare, ce se traduce prin taxarea suplimentara
de catre distribuitor a energiei consumate
19
Functionarea defectuoasa a dispozitivelor electronice,perturbarea liniilor
telefonice si de internet
Pentru studiul formelor de unda a tensiunii si curentului prin consumatori, am
achizitionat aceste semnale la alimentarea unui calorifer, a unui calculator si a celor
doua in paralel. Caloriferul are caracter rezistiv, prin urmare este liniar, iar
calculatorul are caracter neliniar. Achizitia s-a facut la frecventa de 1MHz, timp de 0.5
secunde. Formele de unda se pot observa in figura de mai jos:
Fig. 2.12. Tensiunea si curentul printr-un calorifer
Fig. 2.13. Tensiunea si curentul printr-un calculator
20
Fig. 2.14. Tensiunea si curentul prin ambii consumatori
Semnalul achizitionat este puternic afectat de zgomot.
Fig. 2.15. Semnale achizitionate perturbate
Pentru a elimina aceste perturbatii, am ales filtrarea semnalelor prin doua
metode: filtrare Butterworth si metoda mediei alunecatoare. Pentru prima metoda,
am creat un filtru trece jos de ordin 3, cu frecventa de taiere egala cu 0.4 din cea de
esantionare, utilizand metoda butter din Matlab. Pentru a doua metoda, am utilizat
metoda filter dand ca argument vectorul caracteristic filtrului.
Dupa cum se poate observa in figura de mai jos, cele mai bune rezultate au fost
obtinute prin aplicarea metodei mediei alunecatoare, distorsiunile fiind puternic
atenuate. Pentru analiza spectrului de frecvente , voi continua cu semnalele filtrare
prin a doua metoda.
21
Fig. 2.16. Filtrarea semnalelor achizitionate
Dupa filtrarea semnalelor, s-a trecut la descompunerea acestora prin
transformata Fourier si analiza spectrului de frecvente.
Fig. 2.17. Spectrul de frecventa a curentului prin calorifer
22
In imaginea de mai sus se poate observa spectrul de frecvente a curentului la
trecerea printr-un calorifer. Fiind o aproximare fidela a unei sinusoide, amplitudinea
armonicelor secundare este neglijabila
Fig. 2.18 Spectrul de frecvente a curentului printr-un calculator
In figura 15 se poate observa forma de unda a curentului absorbit de catre un
consumator neliniar, calculatorul. Aceasta nu are forma sinusoidala, prin urmare
spectrul de frecvente este bogat in armonici superioare. Amplitudinile acestora,
raportate la armonica fundamentala, au valori mari, lucru ce se traduce prin
perturbatii introduse in retea, un factor de distorsiuni armonice mare, eficienta
scazuta.
23
3. Controlul curentului de iesire a unui invertor
Utilizarea invertoarelor pentru interconectarea sistemelor distribuite de
generare a energiei electrica la reteaua nationala de electricitate dar si pentru
alimentarea diversilor consumatori presupune prezenta sistemelor de control si
reglare a energiei active si reactive, a formelor de tensiune generate si a celor curent.
Controlul curentului prin sarcina poate avea un efect semnificativ in calitatea
energiei furnizate catre consumator, prin urmate este important ca forma de unda a
acestuia sa fie cat mai apropiata de cea sinusoida in cazul in care invertorul este
conectat la retea sau de forma de unda necesara sarcinii. Astfel, se pot elimina intr-o
mare masura efectele negative ale armonicelor superioare . Provocarea acestui tip de
control o reprezinta minimizarea erorii stationare pana la valoare nula, astfel incat
iesirea invertorului sa fie in faza si de amplitudine egala cu referinta. Structura de
reglara utilizata in general este clasica, cu o singura bucla inchisa:
Fig. 3.1 Sistemul de reglare a curentului
In schema de mai sus, cu GC a fost notata functia de transfer a regulatorului, i*
este curentul de referinta, i este valoarea curenta a curentului, e=i*- i reprezinta
eroarea, Ts este perioada de esantionare iar GP este functia de transfer a circuitului de
filtrare. Intarzierile cauzate de procesarea comenzii pot fi modelate prin introducerea
termenului e-sTs daca variabilele sunt modificate la fiecare perioada de esantionare.
24
Dependenta de tensiunea prin sarcina poate fi eliminata prin adunarea si scaderea
acesteia la iesirea functiei de transfer a controller-ului.
Pentru controlul sistemelor trifazate metoda de reglare cea mai des intalnita in
momentul de fata o reprezinta implementarea controlului de tip PI, proportional-
integrator. Aceasta tehnica este una dintre cele mai studiate si abordata intr-o gama
larga de aplicatii, in care o constanta sau o referinta usor variabila trebuie urmarita.
Pentru sistemele care necesita controlul unor semnale alternative precum curentii de
iesire ai unui invertor, aplicarea directa a regulatorului PI nu duce la obtinea unor
performante satisfacatoare. Functia de transfer pentru regulatorul PI este urmatoarea,
unde Kp este factorul proportional iar KI este factorul de integrare:
( )
(3.1)
Prin controlul unui sistem trifazat variabil , implementarea controlului PI duce
la obtinerea unei erori stationare semnificative, deoarece acest tip de control poate
asigura urmarirea perfecta a referintei doar la intrari de tip treapta, adica la frecventa
curentului de 0 Hz, unde amplificarea in bucla deschisa este infinita. In bucla inchisa
acest lucru se traduce printr-o amplificare unitara. Pentru a obtine aceste conditii
pentru semnalele alternative, s-au dezvoltat tehnici de transformare a acestora in
semnale continue, in cazul de fata in curenti de tip continuu. Aceste tehnici propun
transformarea sistemelor trifazate alternative in sisteme bifazate invariabile prin
utilizarea unor matrici de rotatie, cunoscute sub numele de matrice Clark si matrice
Park. Aceste matrici vor fi doar enumerate, analiza lor nefacand rostul acestei lucrari.
Acest caz nu se doreste a fi tratat in detaliu, rezultatul acestor transformate fiind
reprezentat in figura de mai jos.
Dupa cum se poate observa, din cei trei vectori ai curentilor a,b,c se obtin doi
curenti, denumiti curent direct Id si curent in cuadratura Iq, ce au valori invariabile.
Forma invariabila a sistemului mai poarta numele de cadru cu referinta sincronizata
sau SRF ( syncronized reference frame). Bazandu-se pe aceasta transformare,
regulatoarele PI pot fi folosite pentru controlul curentilor alternativi si se pot obtine
valori nule ale erorii stationare, insa trebuie proiectat un regulator pentru fiecare
dintre curentii Id si Iq.
25
Fig. 3.2 Transformarea abc-dqo.
Daca se doreste compensarea armonicelor de ordin superior, trebuie ca pentru
fiecare in parte sa se acordeze individual, un factor proportional KPh si un factor de
integrare KIh , unde h reprezinta ordinul armonicii.
( )
(3.2)
Fig. 3.3 Regulator PI sistem trifazat
In figura de mai sus se poate observa schema principiala de reglare a curentilor
dintr-un sistem trifazat. Initial se realizeaza conversia din marimi variabile in marimi
continue, dupa care se aplica algoritmul de reglare PI pentru fiecare marime in parte.
Pe marimile obtinute se aplica transformata inversa din cadru ortogonal in cadru
trifazic. In cazul in care algoritmul PI se aplica pe asupra curentilor alternativi direct,
26
fara aplicarea metodei descrise mai sus, raspunsul se poate vedea ca sufera erori
stationare semnificative, fiind prezent si un defazaj fata de referinta:
Fig. 3.4 Raspunsul regulatorului PI la referinta sinusoidala
In figura de mai sus, cu verde este reprezentata referinta, compusa dintr-o
armonica fundamentala de 50 Hz si o armonica secundara, de frecventa 150Hz iar cu
rosu este figurat raspunsul sistemului. Se sesizeaza o desincronizare a acestora si o
eroare stationara diferita de cea nula. O alternativa la acest algoritm de reglare o
reprezinta controlul de tip proportional-rezonant, PR.
3.1 Regulatorul PR
3.1.1 Date generale
Regulatoarele rezonante sunt echivalente cu cele conventionale PI
implementate in doua cadre cu referinta sincronizata in acelasi timp: pentru secventa
pozitiva a referintei si pentru secventa negativa a referintei. De aici rezulta
capacitatea de a urmari referinte sinusoidale de frecvente ce pot varia, atat pe
secventa pozitiva a undei cat si pe cea negativa, cu eroare stationara nula. Se obtine
practic acelasi raspuns ca si cel al regulatorului PI dupa efectuarea transformarii
curentilor in marimi constante.
Comparand cele doua metode de control, metoda PR prezinta cateva avantaje
importante deloc de neglijat. In primul rand, transformarile aplicate sistemelor de
27
curenti alternativi pentru a putea fi controlati folosind regulatoare PI nu pot fi
aplicate pentru sistemele monofazate. Daca nu se efectueaza transformarile,
sistemelele au referinta sinusoidala prin urmare performanta in urmarire este scazuta.
Prin aplicarea algoritmilor PR aceste transformari nu mai sunt necesare, acestia
putand asigura eroare stationara nula pentru referinte periodice si refectarea
perturbatiilor. Un alt avantaj il constituie reducerea complexitatii si a efortului de
calcul pentru elaborarea comenzii, fiind eliminate operatiile necesare transformarii
din cadrul stationar in cadrul cu referinta sincronizata. Aplicarea matricelor Clark si
Park asupra marimilor alternative nu mai este necesara. Pe langa cele mentionate,
regulatorul PR asigura o sensibilitate redusa la zgomote si o eroare de sincronizare
mai mica, poate fi aplicat direct atat sistemelor trifazate cat si celor monofazate iar
datorita faptului ca pot controla atat in secventa pozitiva cat si in cea negativa a
referintei, numarul regulatoarelor ce necesita a fi implementate se reduce atunci cand
este dorit si controlul armonicelor superioare. Prin urmare, acest tip de regulator
poate fi implementat intr-o varietate de aplicatii precum invertoare, turbine eoliene,
controlul motoarelor,etc. si poate inlocui cu succes regulatorul PI pentru marimi de
reglare variabile.
Algoritmul de reglare PR deriva din regulatorul PI. In cele ce urmeaza vom
particulariza functia de transfer a celui din urma pana vom ajunge la legea
proportional rezonanta. Functia de transfer echivalenta in cadrul stationar a unui
regulator PI implementat pentru secventa pozitiva a SRF poate fi obtinuta printr-o
shiftare in frecventa egala cu –hω1 pentru toate frecventele atunci cand ωo=hω1 , unde
ω1 reprezinta frecventa fundamentala a curentului alternativ iar h numarul armonicii.
Acest lucru se realizeaza prin substituirea lui s cu s-jhω1 in functia de transfer a
regulatorului:
( )
( )
(3.3)
Pentru a obtine functia de transfer in cadru cu referinta stationara a
regulatorului PI implementat in secventa negativa a SRF, se inlocuieste s cu s+jhω1 :
( )
( )
(3.4)
Daca cele doua functii de transfer se aduna, rezulta functia de transfer a
regulatorului proportional-rezonant, PR:
( )
( ) ( )
(3.5)
28
unde
, iar
vom nota
( ). Aceasta lege de comanda
asigura amplificare infinita in bucla deschisa la frecventa de rezonanta hω1 , asadar in
bucla inchisa amplificarea este unitara iar eroarea stationara este zero. Aceasta ultima
trasatura implica faptul ca semnalul de iesire nu va fi defazat fata de referinta, ci vor
fi sincronizate. Termenul rezonant, ( ), este cel care asigura amplificarea infinita.
Se poate observa ca pentru s=jhω1 , numitorul este egal cu zero, toata fractia tinzand la
infinit. De preferat este ca R1h sa fie transformata Laplace a functiei cosinus in loc de
sinus deoarece ofera o stabilitate mai buna.
Functia de transfer a regulatorului PR poate fi implementata prin
descompunerea componentei rezonante in doua integratoare, ca in figura de mai jos.
Fig. 3.5 HPR(s)
Intrarea hω1 poate fi modificata in timp real in functie de valoarea curenta a
frecventei in sistem, astfel legea de reglare se poate adapta la variatia acesteia.
Controlul mai multor frecvente simultan se poate realiza prin amplasarea in
paralel a mai multor regulatoare PR. Acest lucru este des intalnit in practica atunci
cand se doreste reglarea atat a armonicii fundamentale cat si a armonicelor
superioare. Expresia generala a regulatorului obtinut astfel este:
( ) ∑ ( )
(3.6)
cu nh ordinul maxim al armonicii ce se doreste a fi controlata. Din functia de transfer
PR se constata ca termenul proportional nu influenteaza termenii dependenti de
frecventa, prin urmare are acelasi efect asupra intregului spectru. In cazul reglarii
mai multor frecvente, acesti termeni pot fi grupati intr-un singur parametru KPt ,
rezultand urmatoarea forma a regulatorului:
( ) ∑
∑ ( )
∑ ( ) (3.7)
29
Pentru compensarea intarzierilor sistemului, zero-ul din origine al
regulatorului PR poate fi mutat, prin introducerea unui avans de faza in
vecinatatea frecventei de rezonanta:
( )
( ) (
)
(3.8)
Daca se doreste compensarea unui numar intreg de esantioane ns, se alege
de forma hω1nsTs. Valoarea considerata a fi optima pentru compensare este de doua
esantioane, ns=2. De remarcat este faptul ca intarzierile devin mai importante cu cat
frecventa rezonanta devine mai mare in raport cu frecventa de esantionare.
Alegerea parametrilor de control Kp si KI se face de regula prin analiza
raspunsului in frecventa a sistemului, respectiv prin analiza diagramei Bode. In
literatura de specialitate sunt descrise urmatoarele indicatii privind acordarea acestui
tip de regulator:
factorul de amplificare Kp stabileste frecventa de taiere fc, unde
amplificarea va avea valoarea de 0dB, in cazul in care KI este 0
dupa introducerea termenului rezonant R1h in paralel cu Kp, raspunsul
general in frecventa va fi semnificativ modificat doar in vecinatatea
frecventelor de rezonanta, hf1.
factorul integrator KIh defineste banda de rezonanta din jurul
frecventelor armonicelor. Cu cat valoarea lui se mareste, cu atat
regulatorul devine mai putin selectiv, prin urmare mai sensibil la
zgomot , dar mai tolerant la modificari ale frecventei. De asemenea,
timpul tranzitoriu pentru frecventele armonicelor se imbunatateste.
pentru a asigura stabilitatea, frecventele armonicelor ce necesita reglare
trebuie sa fie mai mici decat frecventa de taiere fc
influenta termenului KI asupra stabilitatii este mica, marginea de faza si
cea de amplitudine fiind relativ aceleasi chiar daca acesta se modifica
sau este eliminat
KPt trebuie ales astfel incat sa ofere un timp tranzitoriu bun, sa permita
reglarea armonicelor cu frecvente cat mai mari si sa asigure o margine
de faza cat mai mare. De valoarea lui depinde cel mai mult stabilitatea
sistemului.
30
Urmarind indicatiile de mai sus, cea mai des intalnita metoda de acordare a
regulatorului PR consta in alegerea factorului proportional KP ca pentru un regulator
proportional P folosind criteriul marginii de faza, iar apoi introducerea in legea de
reglare a termenilor rezonanti R1(s) cu frecvente mai mici decat frecventa de taiere. De
regula, in urma acestui proces se obtin rezultate satisfacatoare. Compensarea
intarzierilor in legea de reglare face ca regulile enumerate mai sus sa nu mai fie
suficiente. Datorita avansului in frecventa , regulatorul poate fi acordat pentru
frecvente mai mari decat frecventa de taiere fara a periclita stabilitatea sistemului.
3.1.2 Raspunsul in frecventa
Raspunsul in frecventa a regulatorului proportional-rezonant ideal se poate
observa in figura de mai jos:
Fig. 3.6 Diagrama Bode regulator PR ideal
Se poate observa cum in dreptul frecventei de 50Hz ( 314.2 rad/s) amplificarea
are valoare ridicata iar banda de frecvente din jurul fundamentalei este foarte
restransa.
31
Regulatorul PR ideal, asa cum a fost prezentat mai sus, prezinta si cateva
limitari. In primul rand, amplificarea infinita a acestuia in bucla deschisa il face dificil
de implementat in realitate. O asemenea amplitudine nu poate fi obtinuta nici prin
utilizarea circuitelor analogice, nici folosind metode digitale precum microcontrollere
sau procesoare de semnal.
In al doilea rand, amplificarea regulatorului de tip PR este mult redusa la
frecvente diferite de cea de rezonanta si nu este adecvat eliminarii influentelor
armonice ce se gasesc in reteaua electrica. Pentru a remedia aceste neajunsuri, se
modifica forma ideala a regulatorului prin introducerea unui filtru trece-jos cu
amplitudine ridicata si se obtine urmatoarea forma:
( )
(3.9)
unde reprezinta frecventa de taiere a filtrului.
Daca se introduce factorul de filtrare ( regulator PR neideal), raspunsul are
caracteristicile evidentiate in figura de mai jos.
Fig. 3.7 Diagrama Bode regulator PR neideal
32
Se observa ca pentru aceleasi valori ale parametrilor KP si KI amplificarea in
dreptul frecventei fundamentale este accentuata, insa comparativ cu regulatorul ideal
este mai mica. De asemenea, regulatorul este mai putin selectiv, banda de frecvente
din jurul fundamentalei devenind mai lata. In ambele cazuri, eroare de urmarire in
jurul frecventei de rezonanta este eliminata.
33
4. Solutia dezvoltata
Pentru a putea evalua performantele algoritmului de reglare PR si a evidentia
beneficiile aduse de utilizarea acestuia, am ales simularea unui invertor conectat la o
sarcina neliniara a carui curent de iesire sa fie controlat cu ajutorul acestui regulator.
Este cunoscut efectul alimentarii unui consumator neliniar de la o sursa de tensiune
asupra formei de unda a curentului si consecintele pe care armonicele superioare
produse astfel le are asupra calitatii energiei si duratei de functionare a
echipamentelor electrice si electronice.
Pentru simulare am realizat modelul unui invertor de tensiune in punte H,
monofazat, pulsul alternativ realizandu-se cu ajutorul a patru tranzistori de tip IGBT.
Alimentarea este facuta in curent continuu, valoarea tensiunii poate varia insa pentru
cazul de fata am ales valoarea de 220 V. La iesirea invertorului este generata tot o
tensiune de 220V, insa alternativa. In mod curent, forma de unda a acesteia se apropie
foarte mult de cea a unei sinusoide pure. Curentul de iesire este dependent de
sarcina ce se conecteaza la bornele invertorului. Daca aceasta este liniara, curentul va
avea si el o forma asemanatoare tensiunii, sinusoidala. Daca este neliniara, forma
curentului va fi periodica, insa de forma nesinusoidala. Am ales sa abordez ambele
cazuri si rezultatele vor fi comparate. Simularea a fost realizata utilizand programul
Matlab si pachetul Simulink.
Fig. 4.1 Model invertor
34
Generatorul de semnal PWM este dispozitivul care comanda cele patru
dispozitive de comutatie. In cazul simularii acesta este reprezentat printr-un bloc
PWM disponibil in suita Simulink. Pentru unda purtatoare am ales o frecventa de
1080Hz, in timp ce semnalul de modulat a fost obtinut cu ajutorul blocului sinus, si
reprezinta o unda sinusoidala de frecventa 50Hz, asemanatoare retelei nationate de
distributie a energiei electrice. Aceasta poate varia, insa pentru a evidentia modul de
functionare a invertorului, in prima faza aceasta a fost setata constanta. Sarcina are
caracter liniar si este reprezentata de un rezistor cu valoarea de 10 ohmi, pentru a
putea urmari relatia dintre semnalul de referinta si iesirea invertorului.
Fig. 4.2 Tensiunea si referinta invertorului
In imaginea de mai sus se poate observa cu rosu tensiunea de iesire a
invertorului in cazul in care la intrarea in blocul PWM se gaseste o sinusoida,
reprezentata cu mov pe grafic. Desi este sub forma unor impulsuri dreptunghiulare,
tensiunea are valoarea medie a referintei iar prin filtrarea acesteia se obtine o unda
asemanatoare sinusoidei pure.
35
Bibliografie
[1] Vasilion N. Katsikis, Septembrie 2012, MATLAB – A Fundamental Tool for Scientific
Computing and Engineering Applications –Volume 3,
[2] Mohan N., Underland T., Robbins W., 2003, Converters, Application and Design, J
John Wiley & Sons, Inc.
[3] Hongying Wu, Dong Lin, Dehua Zhang, Kaiwei Yao, Jinfa Zhang, 1999, A
Current-Mode Control Technique with Instantaneous Inductor-Current Feedback for UPS
Inverters, IEEE
[4] D.Zammit, C. Spiteri Staines, M.Apap, 2014, Comparison between PI and PR Current
Controllers in Grid Connected PV Inverters, International Jurnal of Electric, Electronics,
Communication, Energi Science and Engineering, Vol.8
[5] Hanju Cha, Trung-Kien Vu, Jae-Eon Kim, 2009, Design and Control of Proportional-
Resonant Controller Based Photovoltaic Power Conditioning System, IEEE
[6] Gacsádi Alexandru, 2009, Electronica de Putere, Universitatea din Oradea
[7] M.H. Shwehdi, F.S. Al-Ismail, 2012, Investigating University Personnal Computers
(PC) Produced Harmonics Effect on line Currents, International Conference on
Renewable Energies and Power Quality, Santiago de Compostela, Spain
[8] R. Teodorescu, F.Blaabjerg, M.Liserre , P.C. Loh, 2006, Proportional-resonant
controllers and filters for grid-connected voltage-source converters, IEE Proc-Electr. Power
Applications, Vol. 153, No.5
